Search is not available for this dataset
subject string | year string | stage string | question_number int64 | question_image image | solution_image image | question_latex string | solution_latex string | has_figure bool | has_choices bool | choice_values string | answer_letter string | answer_value string |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 1 | \(ABC\) üçgeninde, \(AD\) kenarortay olmak üzere, \(m(\widehat{ADB}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{ACB}) = 30^\circ\) ise \(\widehat{ABC}\) açısı kaç derecedir? | Cevap: 105. \(B\) den \(AC\) doğrusuna çizilen dikmenin ayağı \(E\) olsun. \(BEC\) üçgeni \(30 - 60 - 90\) üçgeni olduğundan \(|BD| = |CD| = |ED| = |BE|\) olur. \(\angle ADE = \angle DAE = 15^\circ\) olduğundan \(|AE| = |ED| = |BE|\) dir. Buradan da \(\angle ABE = 45^\circ\) ve böylece \(\angle ABC = 105^\circ\) elde e... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 2 | \(3m^2n = n^3 + A\) denkleminin doğal sayılarda aşağıdaki \(A\) değerlerinden hangisi için çözümü vardır?
a) 301 b) 403 c) 415 d) 427 e) 481 | Cevap: 415. Denklemi \(n(3m^2 - n^2) = A\) olarak yazalım. \(301, 403, 427\) ve \(481\) sayılarının her birinin tüm çarpanları \(3k + 1\) şeklindedir:
301 = 7·43,
403 = 13·31,
427 = 7·61,
481 = 13·37.
Fakat \(3m^2 - n^2 \neq 1 \pmod{3}\) olduğuna göre, bu dört durumda denklemin çözümü bulunmaz. \(415 = 5(3·6^2 - 5^2)... | false | true | ["301", "403", "415", "427", "481"] | C | 415 | ||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 3 | \(P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{18} - x^{19}\) polinomu verilsin. \(Q(x) = P(x-1)\) şeklinde tanımlanan \(Q\) polinomunda \(x^2\) nin katsayısı kaçtır? | Cevap: 1140.
\[P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots x^{18} - x^{19} = \frac{1 - x^{20}}{1 + x} = \frac{1 - (y - 1)^{20}}{y}\]
olduğundan, istenilen katsayı \(1 - (y - 1)^{20}\) polinomunun \(y^3\) teriminin katsayısı olacaktır. Buna göre, cevap \(\binom{20}{3} = 1140\) olur. | false | false | \frac{1 - (y - 1)^{20}}{y} | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 4 | YARIŞMA sözcüğünün harfleriyle, her harf bu sözcükte olduğu sayıda kullanılmak üzere, anlamlı veya anlamsız, iki kelimeden oluşan kaç cümle yazılabilir? | Cevap: 15120. YARIŞMA sözcüğünün \(\frac{7!}{2!}\) tane farklı permütasyonu vardır. Bu permütasyonlardan her birini 6 farklı şekilde iki parçaya ayırarak iki kelimeden oluşan cümle elde edebiliriz. Buna göre cevap \(\frac{7!}{2!} \cdot 6 = 15120\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 5 | Bir üçgenin kenarları \(a, b, c\) olsun, eğer \(a^2, b^2, c^2\) uzunluğundaki doğru parçaları bir üçgen oluşturuyorsa bu üçgene iyi üçgen diyoruz. Aşağıda açıları verilen üçgenlerden kaç tanesi iyi üçgendir?
(i) \(40^\circ, 60^\circ, 80^\circ\)
(ii) \(10^\circ, 10^\circ, 160^\circ\)
(iii) \(110^\circ, 35^\circ, 35^\cir... | Cevap: 2. Kosinüs teoremine göre, \(a^2, b^2, c^2\) uzunluğundaki döğru parçalarının bir üçgen oluşturması için gerek ve yeter koşulun üçgenin tüm açılarının dar açı olmasıdır. Buna göre, verilmiş altı üçgenden sadece ikisi iyi üçgendir. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 6 | Eğer \(n\) pozitif tam sayısına bölünen her tam sayı, basamaklarının yerleri nasıl değiştirilirse değiştirilsin yine \(n\) ye bölünüyorsa, \(n\) ye "iyi" sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır? | Cevap: 3. \(n = 1\) ise sağladığı açıktır. \(n \ge 2\) varsayalım ve \((10, z) = 1\) olmak üzere \(n = 2^x \cdot 5^y \cdot z\) olsun. 10 ile \(9z\) sayıları aralarında asal olduğundan \(10^k \equiv 1 \pmod{9c}\) olacak şekilde bir \(k \ge 2\) pozitif tam sayısı vardır. Tam olarak \(k\) tane 1 den ve \(x + y + 1\) tane ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 7 | \(a = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1\) olduğuna göre, \(\left(\frac{4-a}{a}\right)^6\) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? | Cevap: \(9 \cdot x^2 - x + 1 = \frac{x^3 + 1}{x + 1}\) eşitliğinde \(x = \sqrt[3]{3}\) yazarsak
\[ \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1 = \frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1} \]
elde ederiz. Buna göre, \(\left(\frac{4-a}{a}\right)^6 = \left(\frac{4}{a} - 1\right)^6 = 9\). | false | false | \frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1} | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 8 | 10 × 10 bir satranç tahtasının birinci satırının karelerine sırasıyla 0, 1, 2, ..., 9, ikinci satırının karelerine sırasıyla 10, 11, ..., 19, ..., onuncu satırının karelerine sırasıyla 90, 91, ..., 99 sayıları yazılmıştır. Sayıların bazılarının önüne, her satır ve her sütunda tam olarak beş tane olacak şekilde eksi işa... | Cevap: İşaretlerin yerlerinden bağımsız olarak tüm sayıların toplamı her zaman 0 oluyor.
Her sütunda tam olarak beş tane eksi işaret olduğuna göre, tüm sayıların birler basamaklarının toplamı sıfıra eşittir. Her satırda tam olarak beş tane eksi işaret olduğuna göre, Tüm sayıların onlar basamaklarının toplamı sıfıra eş... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 9 | ABCD karesinin dışında bir E noktası verilmiştir. \(m(\overline{BCE}) = 90^\circ\), \(F \in [CE]\), \([AF] \perp [CE]\), \(|AB| = 25\) ve \(|BE| = 7\) olduğuna göre \(|AF|\) kaç birimdir? | Cevap: 31. \(\angle BCE = \alpha\) olsun. ABCD kare olduğundan \(|BC| = 25\) ve \(|AC| = 25\sqrt{2}\) dir. Pisagor teoreminden \(|CE| = 24\) olur. sin \(\alpha = 7/25\) ve cos \(\alpha = 24/25\) tir. \(|AF| = |AC| \cdot \sin(45 + \alpha) = |AC|(\sin \alpha + \cos \alpha)/\sqrt{2} = 31\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 10 | \(\sqrt{xy} - 71\sqrt{x} + 30 = 0\) denkleminin pozitif tam sayılarda kaç tane \((x, y)\) çözüm ikilisi vardır? | Cevap: 8. \(\sqrt{xy} = 71\sqrt{x} - 30\) denkleminin her iki tarafının karesini alırsak \(xy = 71^2x - 2 \cdot 30 \cdot 71 \cdot \sqrt{x}\) elde ederiz. Buna göre, \(\sqrt{x}\) bir rasyonel sayıdır ve dolayısıyla \(m\) bir negatif olmayan tam sayı olmak üzere, \(x = m^2\). Bunu \(\sqrt{xy} - 71\sqrt{x} + 30 = 0\) denk... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 11 | Bir \((a_n)\) dizisi \(a_1 = 1\), \(a_2 = 5\) ve her \(n \ge 2\) için \(a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 7\) şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre \(a_{17}\) kaçtır? | Cevap: 905. \(b_n = a_{n+1} - a_n = b_n\) olarak tanımlanırsa \(b_1 = 5 - 1 = 4\), \(b_{n+1} - b_n = 7\) ve \(b_n = 4 + 7(n - 1)\) olur. Buradan
\[a_{17} - a_1 = b_1 + b_2 + \dots + b_{16} = \frac{4 + 4 + 7 \cdot 15}{2} \cdot 16 = 904\]
Sonuç olarak \(a_{17} = 905\) olur. | false | false | 904 | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 12 | Yedi renk kullanılarak her yüzeyi farklı bir renge boyanmış kaç küp oluşturulabilir? | Cevap: 210. Boyama için yedi renkten altısını seçelim. Bu altı rengin birinin karşısındaki yüzeyi boyamak için 5 seçenek bulunuyor. Kalan dört rengi 3! farklı şekilde kullanabiliriz. Buna göre cevap \(\binom{7}{6} \cdot 5 \cdot 3! = 210\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 13 | \(C\) açısı geniş açı olan \(ABC\) üçgeninde \(D \in [AB]\) ve \([DC] \perp [BC]\) dir. \(m(\widehat{ABC}) = \alpha\), \(m(\widehat{BCA}) = 3\alpha\) ve \(|AC| - |AD| = 10\) olduğuna göre \(|BD|\) kaç birimdir? | Cevap: 20. \([BD]\) nin orta noktası \(E\) olsun. \(BCD\) dik üçgen olduğundan \(|DE| = |BE| = |CE|\) ve \(\angle AEC = \angle ACE = 2\alpha\) olur. Buradan da \(|AE| = |AC|\) ve \(|DE| = |AE| - |AD| = |AC| - |AD| = 10\) elde ederiz. \(|BD| = 2|DE| = 20\) dir. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 14 | \(49^{303} \cdot 3993^{202} \cdot 39^{606}\) sayısının son üç rakamı nedir? | Cevap: 561. \(49^{303} \cdot 3993^{202} \cdot 39^{600} = (7^2)^{30} \cdot (3 \cdot 11^3)^{202} \cdot (3 \cdot 13)^{60} \cdot 2\) olduğundan \(49^{303} \cdot 3993^{202} \cdot 39^{600}\) = \((7 \cdot 11 \cdot 13)^{60} \cdot 3^{808}\) elde ederiz. \(7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001 \equiv 1 \pmod{1000}\) denkliğinden, \(49^{303... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 15 | \(a_1 = \frac{1}{3}\) ve her \(n \ge 1\) için \(a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{1+13a_n^2}}\) şeklinde tanımlanan \((a_n)\) dizisinin \(a_k < \frac{1}{50}\) koşulunu sağlayan en büyük terimi \(a_k\) ise \(k\) kaçtır? | Cevap: 193. Öncelikle \(a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{1+13a_{n+1}^2}}\) eşitliğinden \(\frac{1}{a_{n+1}^2} = \frac{1+13a_n^2}{a_n^2}\) ve dolayısıyla \(\frac{1}{a_{n+1}^2} = \frac{1}{a_n^2} + 13\) olduğu görülür. \(\frac{1}{a_n^2} = b_n\) dersek, \(b_1 = 9\) ve her \(n \ge 1\) için \(b_{n+1} = 13 + b_n\) olur. Buradan, he... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 16 | 50 kişilik bir sınıfta yapılan 4 soruluk bir sınavda, herhangi 40 kişiden en az 1 kişi tam olarak 3 soruyu, en az 2 kişi tam olarak 2 soruyu, en az 3 kişi tam olarak 1 soruyu doğru, en az 4 kişi ise bütün soruları yanlış çözmüştür. Tek sayıda soru çözen öğrencilerin sayısı en az kaçtır? | Cevap: 24. Tam olarak 3 soru çözenlerin sayısı 11 den az olursa, çözdüğü soru sayısı 3 olmayan en az 40 kişi bulunuyor ve çelişki gelir. Demek ki en az 11 kişi tam olarak 3 soru çözmüştür. Benzer şekilde en az 12 öğrencinin tam olarak 2 soru, en az 13 öğrencinin tam olarak 1 soru ve en az 14 öğrencinin tam olarak 0 sor... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 17 | B açısı dik olan ABC üçgeninin A ve C köşeleri, B merkezli 20 birim yarıçaplı çeyrek çemberin üzerindedirler. Bu çeyrek çemberin iç bölgesine [AB] çaplı bir yarım çember çizilmiştir. C noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası B'den farklı bir D noktası ve CD doğrusunun çeyrek çemberi kestiği nokta F dir.... | Cevap: 4. [AB] nin orta noktası E olsun. E noktası yarım çemberin merkezi olduğundan |ED| = 10 ve ED ⊥ DC dir. CB ve CD doğruları çeyrek çembere teğet olduğundan |CB| = |CD| = 20 dir. F noktası çeyrek çember üzerinde olduğundan |BF| = 20 dir. ∠BCE = α olsun. ∠ECD = α olur. BFC üçgeni eşit iki açısı 2α olan ikizkenar bi... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 18 | Kaç tane n pozitif tamsayısı için \(\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}\) tamsayıdır? | Cevap: 0.
m bir tam sayı olmak üzere, \(\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}\) = m olsun. O zaman \(\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}} = m^2 - n\), \(\sqrt{n + \sqrt{n}} = (m^2 - n)^2 - n\) ve \(\sqrt{n} = ((m^2 - n)^2 - n)^2 - n\). Buna göre, n bir tam karedir ve bir a pozitif tam sayısı için \(n = a^2\) ve \(a^2 + ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 19 | \(f : (0, \infty) \to (0, \infty)\) fonksiyonu her \(x, y \in (0, \infty)\) için
\[10 \cdot \frac{x + y}{xy} = f(x) \cdot f(y) - f(xy) - 90\]
denklemini sağlıyorsa \(f\left(\frac{1}{11}\right)\) kaçtır? | Cevap: 21. Eşitlikte \(y = 1\) yazarsak,
\[10 \cdot \frac{x + 1}{x} = f(x) \cdot f(1) - f(x) - 90 \quad (1)\]
olur. (1) de \(x = 1\) yazarsak,
\[f(1)^2 - f(1) - 110 = 0\]
olur. Buna göre, \(f(1) = 11\) ya da \(f(1) = -10\). Koşullara göre, \(f(1)\) negatif sayı olamaz. (1) eşitliğinde \(f(1) = 11\) yazarsak, \(f(x)... | false | false | 0 | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 20 | \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2008}\) tam sayılarından her biri en az 1 en çok ise 5 tir. \((a_n, a_{n+1})\) ikilisine, \(a_n < a_{n+1}\) ise artan ikili, \(a_n > a_{n+1}\) ise azalan ikili diyelim. Dizideki artan ikili sayısı 103 tane ise azalan ikili sayısı en az kaçtır? | Cevap: 25. Azalan ikili sayısı \(n\) olsun. O zaman
\[4 \ge a_{2008} - a_1 = (a_{2008} - a_{2007}) + (a_{2007} - a_{2006}) + \dots + (a_2 - a_1) \ge 103 - 4n\]
olduğuna göre, \(n \ge 25\) olur.
Soldan başlayarak 25 tane 1, 2, 3, 4, 5 bloğundan, 1 tane 1, 2, 3 bloğundan ve 1880 tane 4 ten olsun dizide tam olarak 103 ... | false | false | (a_{2008} - a_{2007}) + (a_{2007} - a_{2006}) + \dots + (a_2 - a_1) \ge 103 - 4n | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 21 | \(ABC\) dik üçgeninde \(m(\hat{A}) = 90^\circ\) olsun. \(P \in [AC], Q \in [BC], R \in [AB]\) olacak şekildeki \(APQR\) karesinin alanı 9, \(N, K \in [BC]\), \(M \in [AB]\) ve \(L \in [AC]\) olacak şekildeki \(KLMN\) karesinin alanı da 8 ise \(|AB| + |AC|\) kaçtır? | Cevap: 12. \(|AB| = x\), \(|BC| = y\) olsun. \(\triangle QRB \sim \triangle CAB\) olduğundan \((x-3)/x = 3/y\) ve buradan da \(xy = 3(x+y)\) olur. A dan geçen yüksekliğin ayağı \(E\) olsun. \(\triangle MNB \sim \triangle AEB\) ve \(\triangle ALM \sim \triangle ACB\) benzerliklerini kullanarak \(|MB|/|AB| = |MN|/|AE|\) ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 22 | Kaç \(a \ge b\) şartını sağlayan \((a, b)\) pozitif tamsayı ikilisi için \(a^2 + b^2\) ifadesi \(a^3 + b\) ve \(a + b^3\) ifadelerini böler? | Cevap: 1. Bir \(p\) asal sayısı ve bir \(s \ge 1\) tam sayısı için, \(ebob(a, b)\) nin \(p^s\) şeklindeki en büyük çarpanı \(p^s\) olsun. O zaman \(a^3 + b\) ve \(a + b^3\) ifadelerinin en az birinde \(p^s\) şeklindeki en büyük çarpan da \(p^s\) olacaktır. \(p^{2s}|a^2 + b^2\) olduğuna göre, bu \(a^2 + b^2\) nin \(a^3 ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 23 | \(a, b, c, d\) gerçel sayıları \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - bc - cd - d + \frac{2}{5} = 0\) eşitliğini sağlıyorsa \(a\) kaçtır? | Cevap: \(\frac{1}{5}\).
\[
\begin{aligned}
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - bc-cd-d + \frac{2}{5} &= \\
&= \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}b}{2} - \frac{c}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}d}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}d}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}... | false | false | 0
\end{aligned} | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 24 | \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) ve \(a_6\) sayıları \(\{-1, 0, 1\}\) kümesinin elemanları olmak üzere,
\[ a_1.5^1 + a_2.5^2 + a_3.5^3 + a_4.5^4 + a_5.5^5 + a_6.5^6 \]
ifadelerine bakalım. Bu ifadelerin kaç tanesi negatif değer alır? | Cevap: 364. Her \(n \ge 1\) değeri için \(5^n > 5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 5\) olduğundan ifade sadece \(a_1 = a_2 = \dots = a_6 = 0\) durumunda sıfıra eşit oluyor. İfadenin negatif ve pozitif olma durumlarının sayıları birbirine eşittir. Buna göre, cevap \(\frac{3^6 - 1}{2} = 364\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 25 | O merkezli çemberde [AB] çaptır. C ve D noktaları çember üzerinde [AB] çapına göre farklı yarım çemberler üzerindedirler. B den [CD] ye inen dikmenin ayağı H olsun. |AO| = 13, |AC| = 24 ve |HD| = 12 olduğuna göre DCB açısı kaç derecedir? | Cevap: 30. ACB dik üçgen olup Pisagor teoreminden |BC| = 10 olur. ∠CAB = ∠CDB olduğundan △ACB ~ △DHB olur. Buradan da |HB|/12 = 10/24 ve |HB| = 5 olur. CHB dik üçgeninde |HB| = |BC|/2 olduğundan ∠DCB = ∠HCB = 30° bulunur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 26 | A = \(\frac{2^2 + 3 \cdot 2 + 1}{3! \cdot 4!} + \frac{3^2 + 3 \cdot 3 + 1}{4! \cdot 5!} + \frac{4^2 + 3 \cdot 4 + 1}{5! \cdot 6!} + \cdots + \frac{10^2 + 3 \cdot 10 + 1}{11! \cdot 12!}\) toplamı
için 11! · 12! · A sayısını 11 e bölünce kalan nedir? | Cevap: 10. Öncelikle \(\frac{n^3 + 3n^2 + 1}{(n+1)!(n+2)!} = \frac{1}{n!(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!(n+2)!}\) olduğundan \(A = \frac{1}{2!3!} - \frac{1}{11!12!}\) olur. Dolayısıyla 11! · 12! · A = (11!)² - 1 elde ederiz. 11! · 12! · A + 1 sayısı 11 ile tam bölündüğünden 11! · 12! · A sayısının 11 ile bölümünden kalan 10 o... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 27 | Bir üçgenin açıları olan α, β, γ aritmetik dizi oluşturuyorlar. sin20α, sin20β ve sin20γ da aritmetik dizi oluşturuyorsa, α kaç farklı değer alabilir? | Cevap: 7. α ≤ β ≤ γ olsun. O zaman β = 60° olacaktır. α = 60° - t, γ = 60° + t olsun. sin 20α + sin 20γ = 2 sin 20β olduğuna göre,
\[2 \sin 10(\alpha + \gamma) \cdot \cos 10(\alpha - \gamma) = 2 \sin 20\beta\]
olur. O zaman α + γ = 2β dan cos 10(γ - α) = 1 gelir: n = 0, 1, 2, ... olmak üzere, 10(γ - α) = 360°n. Burad... | false | false | 2 \sin 20\beta | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 28 | 8 × 8 bir satranç tahtasının bir köşesinden bir birim kare kesilip atıldığında kalan şekli eşit alanlı üçgenlere bölmek için en az kaç üçgen gerekir? | Cevap: 18. Üçgenlerden birinin bir kenarı kesilip atılmış birim karenin bir kenarının üzerinde yerleşecektir. Bu nedenle üçgenlerin alanları en fazla \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7 = \frac{7}{2}\) olacaktır. Buna göre, en az \(63 \cdot \frac{2}{7} = 18\) üçgen gerekiyor. 18 üçgen örneğini vermek için satranç tahtasının ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 29 | ABCD konveks dörtgeninde [AB] ile [CD] paralel değildir. [AD] nin orta noktası E, [BC] nin orta noktası F dir. |CD| = 12, |AB| = 22 ve |EF| = x olduğuna göre, x in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır? | Cevap: 121. [AC] köşgeninin orta noktası G olsun. EG || DC ve FG || AB olur. Buradan da |EG| = 6, |GF| = 11 dir. AB ile CD paralel olmadığı için E, G, F doğrusal olamaz. Buradan da EGF üçgeninde üçgen eşitsizliğinden 5 < x < 17 elde ederiz. Bu aralıktaki her x tam sayısı için şartları sağlayan bir dörtgen çizilebilir. ... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 30 | İlk terimi pozitif tam sayı olan bir dizide, her terime en büyük rakamı eklenerek bir sonraki terim elde ediliyor. Bu dizinin en çok kaç ardışık terimi tek sayı olabilir? | Cevap: 5. {857, 865, 873, 881, 889} dizisinin istenilen koşulu sağladığı açıktır. Dizimizde 6 tane ardışık terimin tek sayı olamayacağını gösterelim, aksini varsayalım. Dizinin ardışık üç elemanı a, b, c tek sayılarını alalım. a ve b nin en büyük rakamları x ve y olsun. x ve y çift sayılar olduğundan, a ve b nin son ba... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 31 | xy = 1 koşulunu sağlayan her x, y gerçel sayıları için
\[((x+y)^2 + 4)((x+y)^2 - 2) \geq A \cdot (x-y)^2\]
eşitsizliği sağlanıyorsa, A sayısının alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir? | Cevap: 18. Öncelikle \(x = \sqrt{2} + 1\) ve \(y = \sqrt{2} - 1\) alırsak \(xy = 1\) koşulu sağlanır. \((x + y)^2 = 8\) ve \((x - y)^2 = 4\) olduğundan, \(12 \cdot 6 \ge A \cdot 4\) ve dolayısıyla \(A \le 18\) elde ederiz. Şimdi, \(xy = 1\) koşulunu sağlayan bütün \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları için \(((x + y)^2 + 4)((... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 32 | \(n \ge 4\) kişilik bir partide, her 3 kişinin tam olarak 1 ortak arkadaşı varsa \(n\) kaç farklı değer alabilir? | Cevap: 1. \(n\) nin alabileceği tek değerin 4 olduğunu gösterelim. \(A, S, T\) kişilerinin ortak arkadaşı \(B, A, S, B\) kişilerinin ortak arkadaşı \(C\) (\(C = T\) olabilir), \(A, B, C\) kişilerinin ortak arkadaşı \(D\) (\(D = S, T\) olabilir) olsun. Bu durumda \(A, B, C, D\) kişileri kendi aralarında arkadaş olacakla... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 33 | \(E\) noktası, \(ABCD\) eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde olmak üzere \(|AE| = |EB|\), \(m(EAEB) = 12^\circ\) ve \(m(DAE) = 72^\circ\) dir. Buna göre \(m(\overline{CDE})\) kaç derecedir? | Cevap: 66. \(ABD\) üçgeni ikizkenar olduğundan \(\angle ABD = \angle ADB = 48^\circ\) olur. \(ABD\) üçgeninin iç bölgesinde \(EAE'\) bir eşkenar üçgen olacak biçimde bir \(F\) noktası alalım. \(\angle FAD = \angle EAB = 12^\circ\) ve \(|AE| = |AF|\), \(|AB| = |AD|\) olduğundan \(\triangle EAB \cong \triangle FAD\) olur... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 34 | Ondalık yazılımında 0 dan farklı olan tüm rakamlarına bölünen pozitif bir tam sayıya “özel sayı” diyelim. En fazla kaç ardışık özel sayı vardır? | Cevap: 13. Ardışık 14 tane özel sayı olamayacağını ispatlayalım, aksini varsayalım. \(\{n, n+1, \dots, n+13\}\) sayılarının hepsi özel sayı olsun. \(i \in \{0, 1, 2, 3\}\) olmak üzere,
n+i ve n+i+10 sayılarının son basamakları aynı olduğundan, bu basamağa c dersek, c|10 elde ederiz. Dolayısıyla, n, n+1, n+2, n+3 sayıl... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 35 | x bir gerçel sayı ise \(\sqrt{x^2 - 6x + 13} + \sqrt{x^2 - 14x + 58}\) ifadesinin alabileceği en küçük gerçel değer kaçtır? | Cevap: \(\sqrt{41}\). Verilen ifade \(A(x, 0)\) noktasıyla \(B(3, 2)\) ve \(C(7, 3)\) noktalarının arasındaki uzaklıkların toplamına eşittir. A noktası ile B arasındaki uzaklık, A ile \(B'(3, -2)\) arasındaki uzaklığa eşittir. Buna göre, ifade A ile \(B'\) ve \(C\) noktalarının arasındaki uzaklıkların toplamına Eşittir... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 36 | Üst üste dizilmiş 2008 madeni paranın bulunduğu bir beyaz masa ve iki boş siyah masadan başlayarak, her hamlede herhangi bir masadaki en üst pozisyondaki parayı alıp herhangi bir boş masaya veya herhangi bir masadaki en üst pozisyona yerleştirerek, en az kaç hamlede tüm paralar beyaz masaya ters sırada yerleştirilebili... | Cevap: 6022. n tane madeni para için cevabın \(3n-2\) olduğunu kanıtlayacağız. İlk olarak bunun için \(3n-2\) hamlenin yeterli olduğunu gösterelim. Beyaz masa B, diğer masalar \(S_1\) ve \(S_2\) olsun. En üstteki parayı \(S_1\) e, kalan paraları \(S_2\) ye, \(S_1\) deki parayı B ye, \(S_2\) deki \(n-1\) tane paranın \(... | false | false |
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 28