∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} [∀ (a : α), Finite (β a)] (g : (s : Set α) → s.Finite → (a : ↑s) → β ↑a),
  ∃ χ, ∀ (s : Set α), s.Finite → ∃ t, ∃ (ht : t.Finite) (hst : s ⊆ t), ∀ (x : ↑s), χ ↑x = g t ht (Set.inclusion hst x)