∀ {ι : Type u'} {K : Type u_3} {V : Type u} [inst : DivisionRing K] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module K V]
  {s : Set ι} {a : ι} {f : ι → V},
  LinearIndepOn K f s → (f a ∉ Submodule.span K (f '' s) ↔ LinearIndepOn K f (insert a s) ∧ a ∉ s)