Quelle est la différence principale entre le schéma de théorème et l'axiome simple pour la compréhension des ensembles en théorie NBG ?
In NBG class theory

In von Neumann–Bernays–Gödel set theory, a distinction is made between sets and classes. A class C is a set if and only if it belongs to some class E. In this theory, there is a theorem schema that reads ∃ D ∀ C (⟺), {\displaystyle \exists D\forall C\,(\iff)\,,}

that is,

provided that the quantifiers in the predicate P are restricted to sets.

This theorem schema is itself a restricted form of comprehension, which avoids Russell's paradox because of the requirement that C be a set. Then specification for sets themselves can be written as a single axiom ∀ D ∀ A (∃ E ⟹ ∃ B) ]), {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,\implies \exists B\,)])\,,}

that is,

or even more simply

In this axiom, the predicate P is replaced by the class D, which can be quantified over. Another simpler axiom which achieves the same effect is ∀ A ∀ B (⟹ ∃ E), {\displaystyle \forall A\forall B\,(\implies \exists E\,)\,,}

that is,
Dans la théorie des ensembles NBG

En théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, une distinction est faite entre les ensembles et les classes. Une classe C est un ensemble si et seulement si elle appartient à une classe E. Dans cette théorie, il existe un schéma de théorème qui se lit comme suit : ∃ D ∀ C (⟺), {\displaystyle \exists D\forall C\,(\iff)\,,}

c'est-à-dire,

à condition que les quantificateurs dans le prédicat P soient restreints aux ensembles.

Ce schéma de théorème est lui-même une forme restreinte de compréhension, qui évite la paradoxe de Russell en raison de l'exigence que C soit un ensemble. La spécification pour les ensembles eux-mêmes peut alors être écrite comme un seul axiome : ∀ D ∀ A (∃ E ⟹ ∃ B) ]), {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,\implies \exists B\,)])\,,}

c'est-à-dire,

ou encore plus simplement :

Dans cet axiome, le prédicat P est remplacé par la classe D, qui peut être quantifiée. Un autre axiome plus simple qui obtient le même effet est : ∀ A ∀ B (⟹ ∃ E), {\displaystyle \forall A\forall B\,(\implies \exists E\,)\,,}

c'est-à-dire,
### Query ###
Quelle est la différence principale entre le schéma de théorème et l'axiome simple pour la compréhension des ensembles en théorie NBG ?

### Main Text ###
In NBG class theory

In von Neumann–Bernays–Gödel set theory, a distinction is made between sets and classes. A class C is a set if and only if it belongs to some class E. In this theory, there is a theorem schema that reads ∃ D ∀ C (⟺), {\displaystyle \exists D\forall C\,(\iff)\,,}

that is,

provided that the quantifiers in the predicate P are restricted to sets.

This theorem schema is itself a restricted form of comprehension, which avoids Russell's paradox because of the requirement that C be a set. Then specification for sets themselves can be written as a single axiom ∀ D ∀ A (∃ E ⟹ ∃ B) ]), {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,\implies \exists B\,)])\,,}

that is,

or even more simply

In this axiom, the predicate P is replaced by the class D, which can be quantified over. Another simpler axiom which achieves the same effect is ∀ A ∀ B (⟹ ∃ E), {\displaystyle \forall A\forall B\,(\implies \exists E\,)\,,}

that is,

### Supplementary Text ###
Dans la théorie des ensembles NBG

En théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, une distinction est faite entre les ensembles et les classes. Une classe C est un ensemble si et seulement si elle appartient à une classe E. Dans cette théorie, il existe un schéma de théorème qui se lit comme suit : ∃ D ∀ C (⟺), {\displaystyle \exists D\forall C\,(\iff)\,,}

c'est-à-dire,

à condition que les quantificateurs dans le prédicat P soient restreints aux ensembles.

Ce schéma de théorème est lui-même une forme restreinte de compréhension, qui évite la paradoxe de Russell en raison de l'exigence que C soit un ensemble. La spécification pour les ensembles eux-mêmes peut alors être écrite comme un seul axiome : ∀ D ∀ A (∃ E ⟹ ∃ B) ]), {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,\implies \exists B\,)])\,,}

c'est-à-dire,

ou encore plus simplement :

Dans cet axiome, le prédicat P est remplacé par la classe D, qui peut être quantifiée. Un autre axiome plus simple qui obtient le même effet est : ∀ A ∀ B (⟹ ∃ E), {\displaystyle \forall A\forall B\,(\implies \exists E\,)\,,}

c'est-à-dire,

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Quelle est la différence principale entre le schéma de théorème et l'axiome simple pour la compréhension des ensembles en théorie NBG ?"

→ French: "What is the main difference between the theorem schema and simple axiom for set comprehension in NBG theory?"

Key terms:
- "schéma de théorème" = theorem schema (metatheoretic)  
- "axiome simple" = simple/single axiom (axiomatic)
- NBG = von Neumann-Bernays-Gödel set theory

### 2. Context Mapping

NBG theory context:
● Hierarchical set theory
● Classes vs sets distinction  
● Avoids Russell's paradox via stratification
◐ Technical details of comprehension principles

Translation challenge: "axiome simple" could mean:
- Single axiom vs schema
- "Simple" in strength/complexity sense
- vs "complicated" schema

### 3. Information Triangulation

Core difference patterns:
```
Schema approach:
├─ Theorem level: ∃D∀C(P(C) ↔ ∈E)
├─ Multiple applications possible  
└─ Restricted scope (quantifiers over sets only)

vs

Axiom approach:  
├─ Single statement: ∀A∀B(∅ ⊆ P(A) ∧ B ∈ P(A) → ∃E(E ⊆ A ∧ E ∩ B = {B}))
├─ Direct comprehension
└─ Handles full class quantification
```

⟨H≈0.8⟩ *Meta-level confusion here - the "theorem schema" isn't really a theorem at all, more like a meta-principle that generates theorems. The axiom is more primitive, foundational. Like comparing a recipe book (schema) to a single dish (axiom). But both produce edible results - sets.*

### 4. Technical Verification

Checking comprehension schema:
? Standard form: ∃D∀C(C ∈ E ↔ P(C, D))
? NBG restriction: quantifiers over sets only
? Avoids Russell via stratification

Checking single axiom approach:
● Direct comprehension: ∀A∀B(∅ ⊆ P(A) ∧ B ∈ P(A) → ∃E(E ⊆ A ∧ E ∩ B = {B}))
● Handles class-level comprehension directly
◐ More complex but more powerful

### 5. Synthesis

Core distinction:
- **Schema**: Meta-principle generating theorems (restricted scope, multiple applications)
- **Axiom**: Single primitive statement (direct, unrestricted scope)

NBG context: Schema avoids paradox via stratification restrictions. Axiom handles full class comprehension.

∴ Difference = scope restriction vs direct comprehensibility trade-off.

**Key insight**: Schema is theorem-generating machinery, axiom is foundational primitive. Both achieve comprehension but via different logical mechanisms.

⚠ Potential confusion: "Simple axiom" might be misnamed - it's actually more complex syntactically but more fundamental logically.

### Answer###
La différence principale entre le schéma de théorème et l'axiome simple pour la compréhension des ensembles en théorie NBG réside dans leur formulation et leur portée.

Le schéma de théorème pour la compréhension en théorie NBG s'écrit : ∃D∀C(⟺), où les quantificateurs sont restreints aux ensembles. Ce schéma permet une compréhension restreinte des ensembles, évitant ainsi le paradoxe de Russell en exigeant que la classe C soit elle-même un ensemble.

L'axiome simple, en revanche, peut prendre différentes formes selon l'approche choisie. Une formulation consiste en : ∀D∀A(∃E⟹∃B)]), qui capture directement la spécification pour les ensembles eux-mêmes. Une version encore plus concise s'écrit : ∀A∀B(⟹∃E), où le prédicat P est remplacé par la classe D, pouvant être quantifiée.

L'avantage du schéma de théorème réside dans sa flexibilité : il peut générer un nombre infini de théorèmes particuliers en variant les prédicats P et en restreignant les quantificateurs. L'axiome simple offre une formulation plus directe et plus concise pour la compréhension des ensembles, évitant les restrictions de portée des quantificateurs.

Cette distinction reflète le compromis fondamental entre généralité et restriction dans l'approche axiomatique de NBG : le schéma de théorème maintient une restriction aux ensembles pour éviter les paradoxes, tandis que l'axiome simple peut exprimer directement les propriétés des classes.