Est-ce qu'on peut juste utiliser les mêmes axes pour mesurer l'inertie du corps même quand il bouge, au lieu de changer tout le temps ?
Inertia matrix in different reference frames

The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body-fixed reference frame. This means that as the body moves the components of the inertia matrix change with time. In contrast, the components of the inertia matrix measured in a body-fixed frame are constant.
Introduction

Lorsqu'un corps est libre de tourner autour d'un axe, un couple doit être appliqué pour modifier son moment cinétique. La quantité de couple nécessaire pour provoquer une accélération angulaire donnée est proportionnelle au moment d'inertie du corps. Les moments d'inertie peuvent être exprimés en unités de kilogramme mètre carré (kg·m) dans le système international (SI) et en livres-pied-secondes carrés (lbf·ft·s) dans les unités impériales ou américaines.

Le moment d'inertie joue le rôle en cinétique de rotation que la masse (inertie) joue en cinétique linéaire : les deux caractérisent la résistance d'un corps aux changements de son mouvement. Le moment d'inertie dépend de la façon dont la masse est distribuée autour d'un axe de rotation, et varie en fonction de l'axe choisi. Pour une masse ponctuelle, le moment d'inertie autour d'un axe donné est donné par m r 2 {\displaystyle mr^{2}}, où r {\displaystyle r} est la distance du point à l'axe, et m {\displaystyle m} est la masse. Pour un corps rigide étendu, le moment d'inertie est simplement la somme de tous les petits éléments de masse multipliés par le carré de leur distance à l'axe de rotation. Pour un corps étendu de forme régulière et de densité uniforme, cette sommation produit parfois une expression simple qui dépend des dimensions, de la forme et de la masse totale de l'objet.

En 1673, Christiaan Huygens a introduit ce paramètre dans son étude de l'oscillation d'un corps suspendu à un point d'appui, connu sous le nom de pendule composé. Le terme « moment d'inertie » (« momentum inertiae » en latin) a été introduit par Leonhard Euler dans son livre *Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum* en 1765, et il est incorporé dans la deuxième loi d'Euler.

La fréquence naturelle d'oscillation d'un pendule composé est obtenue à partir du rapport du couple imposé par la gravité sur la masse du pendule à la résistance à l'accélération définie par le moment d'inertie. La comparaison de cette fréquence naturelle à celle d'un pendule simple constitué d'un seul point de masse fournit une formulation mathématique du moment d'inertie d'un corps étendu.

Le moment d'inertie apparaît également dans la quantité de mouvement, l'énergie cinétique et dans les lois du mouvement de Newton pour un corps rigide en tant que paramètre physique qui combine sa forme et sa masse. Il existe une différence intéressante dans la façon dont le moment d'inertie apparaît dans les mouvements planaires et spatiaux. Le mouvement planaire a un seul scalaire qui définit le moment d'inertie, tandis que pour le mouvement spatial, les mêmes calculs donnent une matrice 3 × 3 de moments d'inertie, appelée matrice d'inertie ou tenseur d'inertie.

Le moment d'inertie d'un volant en rotation est utilisé dans une machine pour résister aux variations du couple appliqué et lisser sa sortie de rotation. Le moment d'inertie d'un avion autour de ses axes longitudinal, horizontal et vertical détermine la façon dont les forces de direction sur les surfaces de contrôle de ses ailes, de ses gouvernes de profondeur et de son (ses) gouvernail(s) affectent les mouvements de l'avion en roulis, en tangage et en lacet.
### Query ###
Est-ce qu'on peut juste utiliser les mêmes axes pour mesurer l'inertie du corps même quand il bouge, au lieu de changer tout le temps ?

### Main Text ###
Inertia matrix in different reference frames

The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body-fixed reference frame. This means that as the body moves the components of the inertia matrix change with time. In contrast, the components of the inertia matrix measured in a body-fixed frame are constant.

### Supplementary Text ###
Introduction

Lorsqu'un corps est libre de tourner autour d'un axe, un couple doit être appliqué pour modifier son moment cinétique. La quantité de couple nécessaire pour provoquer une accélération angulaire donnée est proportionnelle au moment d'inertie du corps. Les moments d'inertie peuvent être exprimés en unités de kilogramme mètre carré (kg·m) dans le système international (SI) et en livres-pied-secondes carrés (lbf·ft·s) dans les unités impériales ou américaines.

Le moment d'inertie joue le rôle en cinétique de rotation que la masse (inertie) joue en cinétique linéaire : les deux caractérisent la résistance d'un corps aux changements de son mouvement. Le moment d'inertie dépend de la façon dont la masse est distribuée autour d'un axe de rotation, et varie en fonction de l'axe choisi. Pour une masse ponctuelle, le moment d'inertie autour d'un axe donné est donné par m r 2 {\displaystyle mr^{2}}, où r {\displaystyle r} est la distance du point à l'axe, et m {\displaystyle m} est la masse. Pour un corps rigide étendu, le moment d'inertie est simplement la somme de tous les petits éléments de masse multipliés par le carré de leur distance à l'axe de rotation. Pour un corps étendu de forme régulière et de densité uniforme, cette sommation produit parfois une expression simple qui dépend des dimensions, de la forme et de la masse totale de l'objet.

En 1673, Christiaan Huygens a introduit ce paramètre dans son étude de l'oscillation d'un corps suspendu à un point d'appui, connu sous le nom de pendule composé. Le terme « moment d'inertie » (« momentum inertiae » en latin) a été introduit par Leonhard Euler dans son livre *Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum* en 1765, et il est incorporé dans la deuxième loi d'Euler.

La fréquence naturelle d'oscillation d'un pendule composé est obtenue à partir du rapport du couple imposé par la gravité sur la masse du pendule à la résistance à l'accélération définie par le moment d'inertie. La comparaison de cette fréquence naturelle à celle d'un pendule simple constitué d'un seul point de masse fournit une formulation mathématique du moment d'inertie d'un corps étendu.

Le moment d'inertie apparaît également dans la quantité de mouvement, l'énergie cinétique et dans les lois du mouvement de Newton pour un corps rigide en tant que paramètre physique qui combine sa forme et sa masse. Il existe une différence intéressante dans la façon dont le moment d'inertie apparaît dans les mouvements planaires et spatiaux. Le mouvement planaire a un seul scalaire qui définit le moment d'inertie, tandis que pour le mouvement spatial, les mêmes calculs donnent une matrice 3 × 3 de moments d'inertie, appelée matrice d'inertie ou tenseur d'inertie.

Le moment d'inertie d'un volant en rotation est utilisé dans une machine pour résister aux variations du couple appliqué et lisser sa sortie de rotation. Le moment d'inertie d'un avion autour de ses axes longitudinal, horizontal et vertical détermine la façon dont les forces de direction sur les surfaces de contrôle de ses ailes, de ses gouvernes de profondeur et de son (ses) gouvernail(s) affectent les mouvements de l'avion en roulis, en tangage et en lacet.

### Draft ###

Query: "Est-ce qu'on peut juste utiliser les mêmes axes pour mesurer l'inertie du corps même quand il bouge, au lieu de changer tout le temps ?"

Translation check: "Can we just use the same axes to measure inertia of the body even when it moves, instead of changing all the time?"

→ User asking about reference frame stability for inertia calculations.

**Core issue identified:** Reference frame selection in rotational dynamics.

Two options exist:
1. Body-fixed axes (non-inertial)  
2. Inertial frame axes (fixed in space)

**Key distinction:** ● 
- Inertial frame → inertia matrix components constant in time
- Body-fixed frame → inertia matrix components time-dependent

∴ The "same axes" approach (body-fixed) creates temporal variation in inertia matrix.

**Why this matters:**
Newton's second law for rotation requires inertial reference frame. When body moves, angular acceleration ≠ applied torque / constant inertia.

Example: Rotating rigid body.
- Inertial frame: I_zz constant → dωz/dt = τz/I_zz  
- Body-fixed: I_zz varies → dωz/dt ≠ τz/I_zz(t)

**Physical constraint:** ● 
Inertia is frame-dependent property. Cannot have "absolute" inertia without fixed reference.

**Solution:** ◐
Use inertial frame axes. Yes, they change as body moves. But inertia matrix stays constant → valid physics.

Alternative: Transform between reference frames using rotation matrices. Computationally intensive.

**Bottom line:** Frame-invariance is fundamental. "Same axes" approach fails for moving bodies. Inertial reference essential for consistent dynamics.

NB: This connects to tensor calculus in continuum mechanics, principal axes, etc.

### Answer###
La question que vous posez touche à un aspect fondamental de la mécanique : l'importance du référentiel de mesure pour les propriétés inertielles.

Lorsque l'on mesure le moment d'inertie d'un corps, on peut utiliser soit des axes parallèles au référentiel inertiel, soit des axes fixes par rapport au corps lui-même. Ces deux approches donnent des résultats différents selon le mouvement du corps.

Si vous utilisez des axes fixes par rapport au corps (cadre de référence "corporel"), les composantes de la matrice d'inertie resteront constantes dans le temps, même lorsque le corps se déplace. Dans ce cadre, la matrice d'inertie ne change pas car elle est mesurée par rapport à un système de référence qui lui-même ne bouge pas par rapport au corps.

En revanche, si vous utilisez des axes parallèles au référentiel inertiel (cadre de référence "inertiel"), les composantes de la matrice d'inertie changeront avec le temps. Cela s'explique par le fait que le corps se déplace dans l'espace et que les axes de référence "inertiels" eux-mêmes évoluent avec le temps.

L'utilisation de la matrice d'inertie dans la seconde loi de Newton suppose que les composantes sont calculées par rapport à des axes parallèles au cadre de référence inertiel, et non par rapport à un cadre de référence fixe par rapport au corps.

Cette distinction est particulièrement importante en mécanique du solide, où le choix du référentiel peut influencer significativement les calculs et les résultats obtenus.