En tant que statisticien expérimenté, je cherche à confirmer une information concernant l'estimation de la moyenne de population. Est-ce que la variance de l'échantillon diminue nécessairement avec la taille de l'échantillon dans le calcul de la moyenne empirique ?
The sample mean (sample average) or empirical mean (empirical average), and the sample covariance or empirical covariance are statistics computed from a sample of data on one or more random variables.

The sample mean is the average value (or mean value) of a sample of numbers taken from a larger population of numbers, where "population" indicates not number of people but the entirety of relevant data, whether collected or not. A sample of 40 companies' sales from the Fortune 500 might be used for convenience instead of looking at the population, all 500 companies' sales. The sample mean is used as an estimator for the population mean, the average value in the entire population, where the estimate is more likely to be close to the population mean if the sample is large and representative. The reliability of the sample mean is estimated using the standard error, which in turn is calculated using the variance of the sample. If the sample is random, the standard error falls with the size of the sample and the sample mean's distribution approaches the normal distribution as the sample size increases.

The term "sample mean" can also be used to refer to a vector of average values when the statistician is looking at the values of several variables in the sample, e.g. the sales, profits, and employees of a sample of Fortune 500 companies. In this case, there is not just a sample variance for each variable but a sample variance-covariance matrix (or simply covariance matrix) showing also the relationship between each pair of variables. This would be a 3×3 matrix when 3 variables are being considered. The sample covariance is useful in judging the reliability of the sample means as estimators and is also useful as an estimate of the population covariance matrix.

Due to their ease of calculation and other desirable characteristics, the sample mean and sample covariance are widely used in statistics to represent the location and dispersion of the distribution of values in the sample, and to estimate the values for the population.
Variance d'échantillon biaisée

Dans de nombreuses situations pratiques, la véritable variance d'une population n'est pas connue a priori et doit être calculée d'une manière ou d'une autre. Lorsque l'on traite avec des populations extrêmement vastes, il n'est pas possible de compter chaque objet de la population, de sorte que le calcul doit être effectué sur un échantillon de la population. On parle généralement de variance d'échantillon ou de variance empirique. La variance d'échantillon peut également être appliquée à l'estimation de la variance d'une distribution continue à partir d'un échantillon de cette distribution.

Nous tirons un échantillon avec remise de n valeurs Y₁, ..., Yₙ de la population de taille N, où n < N, et estimons la variance sur la base de cet échantillon. Le calcul direct de la variance des données de l'échantillon donne la moyenne des écarts au carré :

(Voir la section Variance de la population pour la dérivation de cette formule.) Ici, Ȳ désigne la moyenne de l'échantillon :

Puisque les Y sont sélectionnés au hasard, à la fois Ȳ et S̃₂ sont des variables aléatoires. Leurs valeurs attendues peuvent être évaluées en faisant la moyenne sur l'ensemble de tous les échantillons possibles { Y } de taille n provenant de la population. Pour S̃₂ cela donne :

Ici, σ² = E − μ² est dérivé dans la section Variance de la population et E = EE = μ² en raison de l'indépendance de Yᵢ et Yⱼ.

Par conséquent, S̃₂ donne une estimation de la variance de la population qui est biaisée d'un facteur de n − 1 / n, car la valeur attendue de S̃₂ est inférieure à la variance de la population (variance réelle) de ce facteur. Pour cette raison, S̃₂ est appelée variance d'échantillon biaisée.
### Query ###
En tant que statisticien expérimenté, je cherche à confirmer une information concernant l'estimation de la moyenne de population. Est-ce que la variance de l'échantillon diminue nécessairement avec la taille de l'échantillon dans le calcul de la moyenne empirique ?

### Main Text ###
The sample mean (sample average) or empirical mean (empirical average), and the sample covariance or empirical covariance are statistics computed from a sample of data on one or more random variables.

The sample mean is the average value (or mean value) of a sample of numbers taken from a larger population of numbers, where "population" indicates not number of people but the entirety of relevant data, whether collected or not. A sample of 40 companies' sales from the Fortune 500 might be used for convenience instead of looking at the population, all 500 companies' sales. The sample mean is used as an estimator for the population mean, the average value in the entire population, where the estimate is more likely to be close to the population mean if the sample is large and representative. The reliability of the sample mean is estimated using the standard error, which in turn is calculated using the variance of the sample. If the sample is random, the standard error falls with the size of the sample and the sample mean's distribution approaches the normal distribution as the sample size increases.

The term "sample mean" can also be used to refer to a vector of average values when the statistician is looking at the values of several variables in the sample, e.g. the sales, profits, and employees of a sample of Fortune 500 companies. In this case, there is not just a sample variance for each variable but a sample variance-covariance matrix (or simply covariance matrix) showing also the relationship between each pair of variables. This would be a 3×3 matrix when 3 variables are being considered. The sample covariance is useful in judging the reliability of the sample means as estimators and is also useful as an estimate of the population covariance matrix.

Due to their ease of calculation and other desirable characteristics, the sample mean and sample covariance are widely used in statistics to represent the location and dispersion of the distribution of values in the sample, and to estimate the values for the population.

### Supplementary Text ###
Variance d'échantillon biaisée

Dans de nombreuses situations pratiques, la véritable variance d'une population n'est pas connue a priori et doit être calculée d'une manière ou d'une autre. Lorsque l'on traite avec des populations extrêmement vastes, il n'est pas possible de compter chaque objet de la population, de sorte que le calcul doit être effectué sur un échantillon de la population. On parle généralement de variance d'échantillon ou de variance empirique. La variance d'échantillon peut également être appliquée à l'estimation de la variance d'une distribution continue à partir d'un échantillon de cette distribution.

Nous tirons un échantillon avec remise de n valeurs Y₁, ..., Yₙ de la population de taille N, où n < N, et estimons la variance sur la base de cet échantillon. Le calcul direct de la variance des données de l'échantillon donne la moyenne des écarts au carré :

(Voir la section Variance de la population pour la dérivation de cette formule.) Ici, Ȳ désigne la moyenne de l'échantillon :

Puisque les Y sont sélectionnés au hasard, à la fois Ȳ et S̃₂ sont des variables aléatoires. Leurs valeurs attendues peuvent être évaluées en faisant la moyenne sur l'ensemble de tous les échantillons possibles { Y } de taille n provenant de la population. Pour S̃₂ cela donne :

Ici, σ² = E − μ² est dérivé dans la section Variance de la population et E = EE = μ² en raison de l'indépendance de Yᵢ et Yⱼ.

Par conséquent, S̃₂ donne une estimation de la variance de la population qui est biaisée d'un facteur de n − 1 / n, car la valeur attendue de S̃₂ est inférieure à la variance de la population (variance réelle) de ce facteur. Pour cette raison, S̃₂ est appelée variance d'échantillon biaisée.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"variance de l'échantillon diminue nécessairement" → variance sample decreases necessarily
"taille de l'échantillon" → sample size
"moyenne empirique" → empirical mean (sample mean)

Key semantic: "nécessairement" demands proof, not intuition.

### 2. Initial Assessment

Simple information retrieval? No. Requires mathematical verification.

Domain: ● Basic statistical inference
● Sampling theory
● Variance properties

Core question: Sample variance behavior as n increases.

### 3. Mathematical Foundation

Sample variance formula: S² = Σ(Xᵢ - X̄)²/(n-1)

Expectation of sample variance: E[S²] = σ²(n-1)/n < σ²

∴ Bias = E[S²] - σ² = -σ²/n < 0

→ Sample variance is biased estimator of population variance

### 4. Sample Size Effect Analysis

As n increases:
- Bias decreases: σ²/n → 0
- But does variance actually decrease?

Counter-intuitive: variance of biased estimator doesn't necessarily decrease.

Key insight: Var[S²] = E[(S² - σ²)²] = E[(E[S²] - σ²)² + (S² - E[S²])²]

First term: (E[S²] - σ²)² = (-σ²/n)² = σ⁴/n²
Second term: var(S²) = var(S²)

Total: Var[S²] = σ⁴/n² + var(S²)

If var(S²) ≠ 0, then Var[S²] increases with n!

### 5. Critical Resolution

! Sample variance doesn't decrease with sample size when viewed as random variable!

But: Sample mean variance decreases (σ²/n → 0)
Sample variance converges to population variance (bias → 0)

### 6. Contextual Misconception

User likely thinking of:
- Standard error of mean: σ/√n decreases
- But variance of sample variance: σ⁴/n² + var(S²) can increase

Common confusion: variance vs bias vs random variation.

### 7. Final Verification

☑ Mathematical proof: Var[S²] not necessarily decreasing
☑ Bias correction: (n-1)/n factor explains why sample variance underestimates
☑ Practical note: As sample grows, variance of estimator increases but bias vanishes

∴ Answer: No, sample variance doesn't necessarily decrease with sample size.

### Answer###
Cette information n'est pas tout à fait exacte. La variance de l'échantillon ne diminue pas nécessairement avec la taille de l'échantillon lorsque l'on calcule la moyenne empirique.

Ce qui diminue effectivement avec la taille de l'échantillon, c'est l'erreur standard de l'échantillon. L'erreur standard tombe avec la taille de l'échantillon, ce qui améliore la fiabilité des moyennes d'échantillon comme estimateurs de la moyenne de population.

Concernant la variance elle-même, il faut préciser que la variance de l'échantillon utilisée est en général une estimation biaisée de la variance de population. Cette estimation biaisée est corrigée par un facteur (n-1)/n, car sa valeur attendue est inférieure à la variance réelle de la population.

La situation est plus complexe que ce que votre question laisse entendre. Si vous vous référez spécifiquement à la variance comme mesure de dispersion, elle ne suit pas nécessairement une diminution avec la taille d'échantillon. Ce qui diminue, c'est plutôt l'incertitude autour de cette estimation lorsque la taille de l'échantillon augmente.

Pour plus de précision sur les propriétés mathématiques spécifiques de la variance d'échantillon, vous pourriez consulter la littérature sur les estimateurs statistiques et la théorie de l'échantillonnage.