Je comprends pas bien pourquoi dans mes calculs avec les hyperboles, parfois le résultat change quand j'utilise des angles. Est-ce que c'est normal que ça marche pas pareil avec des courbes ? Comment je fais pour que ça marche toujours pareil ?
Eccentricity

When using polar coordinates, the eccentricity of the hyperbola can be expressed as sec φ max {\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}} where φ max {\displaystyle \varphi _{\text{max}}} is the limit of the angular coordinate. As φ {\displaystyle \varphi } approaches this limit, r approaches infinity and the denominator in either of the equations noted above approaches zero, hence:

e 2 cos 2 φ max − 1 = 0 {\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}

1 ± e cos φ max = 0 {\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}

⟹ e = sec φ max {\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}
En géométrie, l'angle hyperbolique est un nombre réel déterminé par l'aire du secteur hyperbolique correspondant de xy = 1 dans le premier quadrant du plan cartésien. L'angle hyperbolique paramètre l'hyperbole unité, qui possède des fonctions hyperboliques comme coordonnées. En mathématiques, l'angle hyperbolique est une mesure invariante car il est préservé sous les rotations hyperboliques. L'hyperbole xy = 1 est rectangulaire avec un demi-grand axe de 2, ce qui est analogue à la magnitude d'un angle circulaire correspondant à l'aire d'un secteur circulaire dans un cercle de rayon 2. L'angle hyperbolique est utilisé comme variable indépendante pour les fonctions hyperboliques sinh, cosh et tanh, car ces fonctions peuvent être basées sur des analogies hyperboliques aux fonctions trigonométriques circulaires correspondantes en considérant un angle hyperbolique comme définissant un triangle hyperbolique.
Le paramètre devient ainsi l'un des plus utiles dans le calcul différentiel et intégral des variables réelles.
### Query ###
Je comprends pas bien pourquoi dans mes calculs avec les hyperboles, parfois le résultat change quand j'utilise des angles. Est-ce que c'est normal que ça marche pas pareil avec des courbes ? Comment je fais pour que ça marche toujours pareil ?

### Main Text ###
Eccentricity

When using polar coordinates, the eccentricity of the hyperbola can be expressed as sec φ max {\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}} where φ max {\displaystyle \varphi _{\text{max}}} is the limit of the angular coordinate. As φ {\displaystyle \varphi } approaches this limit, r approaches infinity and the denominator in either of the equations noted above approaches zero, hence:

e 2 cos 2 φ max − 1 = 0 {\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}

1 ± e cos φ max = 0 {\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}

⟹ e = sec φ max {\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}

### Supplementary Text ###
En géométrie, l'angle hyperbolique est un nombre réel déterminé par l'aire du secteur hyperbolique correspondant de xy = 1 dans le premier quadrant du plan cartésien. L'angle hyperbolique paramètre l'hyperbole unité, qui possède des fonctions hyperboliques comme coordonnées. En mathématiques, l'angle hyperbolique est une mesure invariante car il est préservé sous les rotations hyperboliques. L'hyperbole xy = 1 est rectangulaire avec un demi-grand axe de 2, ce qui est analogue à la magnitude d'un angle circulaire correspondant à l'aire d'un secteur circulaire dans un cercle de rayon 2. L'angle hyperbolique est utilisé comme variable indépendante pour les fonctions hyperboliques sinh, cosh et tanh, car ces fonctions peuvent être basées sur des analogies hyperboliques aux fonctions trigonométriques circulaires correspondantes en considérant un angle hyperbolique comme définissant un triangle hyperbolique.
Le paramètre devient ainsi l'un des plus utiles dans le calcul différentiel et intégral des variables réelles.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je comprends pas bien pourquoi dans mes calculs avec les hyperboles" → Core confusion: **why do hyperbolic calculations change with angles?**

Key phrase: "ça marche pas pareil avec des courbes" → **Why do curves behave differently?**

User seeks: **consistency** in hyperbolic calculations.

### 2. Problem Identification

◐ **Angular parametrization ambiguity** - Multiple ways to express same hyperbola
● **Coordinate system matters** - Polar vs Cartesian give different angular dependencies  
○ **Conic section properties** - Hyperbolas have two focal parameters, angle-dependent

User likely encountering:
- Different formulas yielding same curve
- Angular variables causing computational jumps
- Switching between coordinate representations

### 3. Mathematical Core

**Hyperbolas fundamentally angle-dependent because:**

Focal parameter c = eccentricity × distance to directrix
→ e = c/√(c²-a²) where e > 1 (hyperbolic case)
→ **e varies with choice of focus**

∴ Same hyperbola, different angular representations → different e → different formulas

**Key insight:** ! **Parametrization choice matters more than curve itself**

### 4. Angular Issues

Polar coordinates: r = k/(1 ± e cos θ)
→ θ = angle from center to point
→ **Angular coordinate system affects calculation**

Cartesian: x²/a² - y²/b² = 1  
→ No explicit angular variable
→ **Appears "angle-independent"**

But implicit angle dependence through:
- Slope m = ±(b/a)√(1 + x²/a²)
- Parametric t = (x-a)/b yields θ = atan(t)

### 5. Solution Strategy

**For consistency:**
☑ **Choose one coordinate system** - Stick with polar or Cartesian
☑ **Document your parametrization** - Specify which angle you mean  
☑ **Check limiting cases** - Verify formulas approach expected values

**Why angles matter:**
- Focal properties are angular
- Asymptotes directions depend on orientation
- Physical interpretation (light rays, trajectories) inherently directional

**Why results change:**
- Different angular variables capture same geometric information
- Coordinate transformations preserve curve but change formulas
- **Fundamental ambiguity in "angle representation"**

### 6. Practical Verification

**Test your understanding:**
Take hyperbola H: x²/4 - y²/9 = 1
- Parametrize: t = x/2, θ = atan(3t/9)  
- Verify: r = 1/(1 - e cos θ) for some e
- **Check limit:** θ → π/2 gives infinite r (correct)

**Repeat with:**
- Polar representation from foci
- Parametric curve with different parameter
- **Verify same curve, different formulas**

∴ **Angular choice = computational convention, not mathematical truth**

**Conclusion:** ✓ **Embrace the ambiguity** - Different representations capture same geometric object. Choose system that best fits your calculation needs, but document your choices clearly.

### Answer###
Je comprends votre frustration face à ces résultats incohérents avec les calculs d'angles et les hyperboles. 

Le problème que vous observez est fondamental : les propriétés des courbes coniques, notamment les hyperboles, dépendent effectivement de manière importante des systèmes de coordonnées et des paramètres angulaires utilisés. Par exemple, dans le cas des coordonnées polaires pour les hyperboles, l'excentricité peut être exprimée comme une fonction trigonométrique de l'angle polaire (sec φmax), où φmax représente la limite angulaire.

Les angles en géométrie hyperbolique constituent d'ailleurs une notion particulièrement complexe. Contrairement aux angles circulaires, les angles hyperboliques sont déterminés par l'aire du secteur hyperbolique correspondant plutôt que par une relation géométrique directe. Cette différence fondamentale explique pourquoi les calculs peuvent sembler "incohérents" selon les contextes.

Pour obtenir des résultats cohérents, il est essentiel de choisir un système de coordonnées spécifique et de définir clairement les paramètres angulaires que vous utilisez. Les fonctions trigonométriques hyperboliques, qui sont basées sur des analogies avec les fonctions circulaires traditionnelles, peuvent vous aider à mieux comprendre ces relations angulaires.

Je vous recommande de vérifier que vous travaillez avec la même représentation de votre hyperbole et les mêmes conventions d'angles tout au long de vos calculs.