Comment expliquer que l'avantage mécanique d'un levier soit donné par le rapport des distances perpendiculaires plutôt que des distances réelles, et qu'est-ce qui maintient cette relation quand la position du levier par rapport à l'horizontale change ?
Force and levers

A lever is a beam connected to ground by a hinge, or pivot, called a fulcrum. The ideal lever does not dissipate or store energy, which means there is no friction in the hinge or bending in the beam. In this case, the power into the lever equals the power out, and the ratio of output to input force is given by the ratio of the distances from the fulcrum to the points of application of these forces. This is known as the law of the lever.

The mechanical advantage of a lever can be determined by considering the balance of moments or torque, T, about the fulcrum. If the distance traveled is greater, then the output force is lessened.

T 1 = F 1 a, T 2 = F 2 b {\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=F_{1}a,\quad \\T_{2}&=F_{2}b\!\end{aligned}}}

where F is the input force to the lever and F is the output force. The distances a and b are the perpendicular distances between the forces and the fulcrum.

Since the moments of torque must be balanced, T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}\!}. So, F 1 a = F 2 b {\displaystyle F_{1}a=F_{2}b\!}.

The mechanical advantage of a lever is the ratio of output force to input force.

M A = F 2 F 1 = a b. {\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {a}{b}}.\!}

This relationship shows that the mechanical advantage can be computed from ratio of the distances from the fulcrum to where the input and output forces are applied to the lever, assuming a weightless lever and no losses due to friction, flexibility or wear. This remains true even though the "horizontal" distance (perpendicular to the pull of gravity) of both a and b change (diminish) as the lever changes to any position away from the horizontal.
Force et leviers

Un levier est une barre reliée au sol par une charnière, ou point d'appui, appelé fulcrum. Le levier idéal ne dissipe ni n'emmagasine d'énergie, ce qui signifie qu'il n'y a pas de frottement à la charnière ni de flexion dans la barre. Dans ce cas, la puissance entrant dans le levier est égale à la puissance sortant, et le rapport de la force de sortie à la force d'entrée est donné par le rapport des distances du fulcrum aux points d'application de ces forces. Ceci est connu sous le nom de loi du levier.

L'avantage mécanique d'un levier peut être déterminé en considérant l'équilibre des moments ou du couple, T, autour du fulcrum. Si la distance parcourue est plus grande, alors la force de sortie est diminuée.

T 1 = F 1 a, T 2 = F 2 b {\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=F_{1}a,\quad \\T_{2}&=F_{2}b\!\end{aligned}}}

où F est la force d'entrée dans le levier et F est la force de sortie. Les distances a et b sont les distances perpendiculaires entre les forces et le fulcrum.

Puisque les moments de couple doivent être équilibrés, T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}\!}. Donc, F 1 a = F 2 b {\displaystyle F_{1}a=F_{2}b\!}.

L'avantage mécanique d'un levier est le rapport de la force de sortie à la force d'entrée.

M A = F 2 F 1 = a b. {\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {a}{b}}.\!}

Cette relation montre que l'avantage mécanique peut être calculé à partir du rapport des distances du fulcrum aux points où les forces d'entrée et de sortie sont appliquées au levier, en supposant un levier sans poids et sans pertes dues au frottement, à la flexibilité ou à l'usure. Cela reste vrai même lorsque la distance "horizontale" (perpendiculaire à la force de gravité) de a et de b change (diminue) lorsque le levier change de position par rapport à l'horizontale.
### Query ###
Comment expliquer que l'avantage mécanique d'un levier soit donné par le rapport des distances perpendiculaires plutôt que des distances réelles, et qu'est-ce qui maintient cette relation quand la position du levier par rapport à l'horizontale change ?

### Main Text ###
Force and levers

A lever is a beam connected to ground by a hinge, or pivot, called a fulcrum. The ideal lever does not dissipate or store energy, which means there is no friction in the hinge or bending in the beam. In this case, the power into the lever equals the power out, and the ratio of output to input force is given by the ratio of the distances from the fulcrum to the points of application of these forces. This is known as the law of the lever.

The mechanical advantage of a lever can be determined by considering the balance of moments or torque, T, about the fulcrum. If the distance traveled is greater, then the output force is lessened.

T 1 = F 1 a, T 2 = F 2 b {\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=F_{1}a,\quad \\T_{2}&=F_{2}b\!\end{aligned}}}

where F is the input force to the lever and F is the output force. The distances a and b are the perpendicular distances between the forces and the fulcrum.

Since the moments of torque must be balanced, T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}\!}. So, F 1 a = F 2 b {\displaystyle F_{1}a=F_{2}b\!}.

The mechanical advantage of a lever is the ratio of output force to input force.

M A = F 2 F 1 = a b. {\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {a}{b}}.\!}

This relationship shows that the mechanical advantage can be computed from ratio of the distances from the fulcrum to where the input and output forces are applied to the lever, assuming a weightless lever and no losses due to friction, flexibility or wear. This remains true even though the "horizontal" distance (perpendicular to the pull of gravity) of both a and b change (diminish) as the lever changes to any position away from the horizontal.

### Supplementary Text ###
Force et leviers

Un levier est une barre reliée au sol par une charnière, ou point d'appui, appelé fulcrum. Le levier idéal ne dissipe ni n'emmagasine d'énergie, ce qui signifie qu'il n'y a pas de frottement à la charnière ni de flexion dans la barre. Dans ce cas, la puissance entrant dans le levier est égale à la puissance sortant, et le rapport de la force de sortie à la force d'entrée est donné par le rapport des distances du fulcrum aux points d'application de ces forces. Ceci est connu sous le nom de loi du levier.

L'avantage mécanique d'un levier peut être déterminé en considérant l'équilibre des moments ou du couple, T, autour du fulcrum. Si la distance parcourue est plus grande, alors la force de sortie est diminuée.

T 1 = F 1 a, T 2 = F 2 b {\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=F_{1}a,\quad \\T_{2}&=F_{2}b\!\end{aligned}}}

où F est la force d'entrée dans le levier et F est la force de sortie. Les distances a et b sont les distances perpendiculaires entre les forces et le fulcrum.

Puisque les moments de couple doivent être équilibrés, T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}\!}. Donc, F 1 a = F 2 b {\displaystyle F_{1}a=F_{2}b\!}.

L'avantage mécanique d'un levier est le rapport de la force de sortie à la force d'entrée.

M A = F 2 F 1 = a b. {\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {a}{b}}.\!}

Cette relation montre que l'avantage mécanique peut être calculé à partir du rapport des distances du fulcrum aux points où les forces d'entrée et de sortie sont appliquées au levier, en supposant un levier sans poids et sans pertes dues au frottement, à la flexibilité ou à l'usure. Cela reste vrai même lorsque la distance "horizontale" (perpendiculaire à la force de gravité) de a et de b change (diminue) lorsque le levier change de position par rapport à l'horizontale.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"avantage mécanique d'un levier soit donné par le rapport des distances perpendiculaires plutôt que des distances réelles"

→ Core confusion: why perpendicular distances? Real distances should matter.

"quand la position du levier par rapport à l'horizontale change"

→ Dynamic case. User suspects contradiction. Expects mechanical advantage to change with angle.

### 2. Physical Foundation

Static equilibrium condition: τ_input = τ_output

Force × perpendicular distance from fulcrum = constant

∴ F₁ × a = F₂ × b

Mechanical advantage: MA = F₂/F₁ = a/b

● Why perpendicular? → Pure geometry. Moment arm concept.

Force creates rotational tendency. Perpendicular distance = lever arm length. Real distance irrelevant if force direction changes.

### 3. Counter-intuitive Persistence

User's concern: "distance horizontale" changes when lever angles down.

⟨H≈0.8⟩ Imagine: crowbar lifting car. Angle shifts as you push. Perpendicular distances a,b both decrease. But a/b ratio stays constant. No contradiction. Geometry pure. ⟨/H⟩

Mathematical proof:
- Force F₁ applied at angle θ₁
- Distance from fulcrum to F₁: s₁  
- Perpendicular component: a = s₁ sin(θ₁)
- Same for F₂, s₂, b, θ₂

If system in equilibrium: F₁s₁sin(θ₁) = F₂s₂sin(θ₂)

But s₁/s₂ = b/a (similar triangles)

∴ F₁a = F₂b always

→ MA = a/b independent of angles θ₁,θ₂

### 4. Geometric Verification

Consider triangle formed by:
- Lever arm (hypotenuse)  
- Perpendicular from force to lever
- Line connecting force point to fulcrum

As angle changes:
- Hypotenuse rotates
- Perpendicular distance changes  
- But triangle similarity preserved
- Ratio of perpendiculars constant

! Key insight: Similar triangles maintain proportional relationships

### 5. Resolution

No contradiction exists. Perpendicular distances capture pure geometric relationship between forces and rotation axis.

Physical intuition: Lever amplifies/reduces force based on how far from fulcrum you apply it. Angle irrelevant to this fundamental ratio.

∴ Mechanical advantage = a/b = constant for given lever configuration, regardless of orientation or angle.

The "horizontal" distances you mention only matter for calculating actual forces when gravity is involved. But MA itself is pure geometric ratio.

### Answer###
L'avantage mécanique d'un levier est effectivement donné par le rapport des distances perpendiculaires plutôt que des distances réelles car cette relation repose sur l'équilibre des moments de couple autour du point d'appui. Lorsque les forces F₁ et F₂ sont appliquées aux distances a et b du fulcrum, respectivement, l'équilibre se traduit par T₁ = T₂, où T représente le couple. Cette condition d'équilibre implique que F₁ × a = F₂ × b, d'où l'expression de l'avantage mécanique : MA = F₂/F₁ = a/b.

Cette relation fonctionne indépendamment de la position du levier par rapport à l'horizontale en raison de la nature géométrique du concept. Les distances a et b représentent les distances perpendiculaires entre les forces et le fulcrum, et ce caractère perpendiculaire est fondamental. Même si les distances "horizontales" (perpendiculaires à la gravité) de a et b diminuent lorsque le levier s'éloigne de la position horizontale, le rapport a/b reste constant, car les deux distances diminuent proportionnellement.

Le principe demeure vrai tant que le levier est idéal (sans frottement, sans flexibilité) et que les forces appliquées maintiennent leur orientation relative au fulcrum. L'avantage mécanique capture ainsi la relation géométrique pure entre la position des forces et le point d'appui, indépendamment de l'orientation globale du dispositif.