Pourquoi la longueur d'une courbe ne dépend pas de sa paramétrisation ?
Length of a curve

If X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} is the n {\displaystyle n} -dimensional Euclidean space, and if γ: → R n {\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}} is an injective and continuously differentiable function, then the length of γ {\displaystyle \gamma } is defined as the quantity

The length of a curve is independent of the parametrization γ {\displaystyle \gamma }.

In particular, the length s {\displaystyle s} of the graph of a continuously differentiable function y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} defined on a closed interval {\displaystyle } is

which can be thought of intuitively as using the Pythagorean theorem at the infinitesimal scale continuously over the full length of the curve.

More generally, if X {\displaystyle X} is a metric space with metric d {\displaystyle d}, then we can define the length of a curve γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} by

where the supremum is taken over all n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } and all partitions t 0 < t 1 < … < t n {\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}} of {\displaystyle }.

A rectifiable curve is a curve with finite length. A curve γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} is called natural (or unit-speed or parametrized by arc length) if for any t 1, t 2 ∈ {\displaystyle t_{1},t_{2}\in } such that t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}, we have

If γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} is a Lipschitz-continuous function, then it is automatically rectifiable. Moreover, in this case, one can define the speed (or metric derivative) of γ {\displaystyle \gamma } at t ∈ {\displaystyle t\in } as

and then show that
Longueur d'une courbe

Si X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} est l'espace euclidien n {\displaystyle n} -dimensionnel, et si γ: → R n {\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}} est une fonction injective et continûment différentiable, alors la longueur de γ {\displaystyle \gamma } est définie comme la quantité

La longueur d'une courbe est indépendante de la paramétrisation γ {\displaystyle \gamma }.

En particulier, la longueur s {\displaystyle s} du graphe d'une fonction continûment différentiable y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} définie sur un intervalle fermé {\displaystyle } est

ce qui peut être intuitivement interprété comme l'application continue du théorème de Pythagore à l'échelle infinitésimale sur toute la longueur de la courbe.

Plus généralement, si X {\displaystyle X} est un espace métrique avec métrique d {\displaystyle d}, on peut définir la longueur d'une courbe γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} par

où le suprémum est pris sur tous les n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } et toutes les partitions t 0 < t 1 < … < t n {\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}} de {\displaystyle }.

Une courbe rectifiable est une courbe de longueur finie. Une courbe γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} est dite naturelle (ou de vitesse unitaire ou paramétrée par longueur d'arc) si pour tout t 1, t 2 ∈ {\displaystyle t_{1},t_{2}\in } tels que t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}, on a

Si γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} est une fonction Lipschitz-continue, alors elle est automatiquement rectifiable. De plus, dans ce cas, on peut définir la vitesse (ou dérivée métrique) de γ {\displaystyle \gamma } à t ∈ {\displaystyle t\in } comme

et montrer alors que

### Query ###
Pourquoi la longueur d'une courbe ne dépend pas de sa paramétrisation ?

### Main Text ###
Length of a curve

If X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} is the n {\displaystyle n} -dimensional Euclidean space, and if γ: → R n {\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}} is an injective and continuously differentiable function, then the length of γ {\displaystyle \gamma } is defined as the quantity

The length of a curve is independent of the parametrization γ {\displaystyle \gamma }.

In particular, the length s {\displaystyle s} of the graph of a continuously differentiable function y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} defined on a closed interval {\displaystyle } is

which can be thought of intuitively as using the Pythagorean theorem at the infinitesimal scale continuously over the full length of the curve.

More generally, if X {\displaystyle X} is a metric space with metric d {\displaystyle d}, then we can define the length of a curve γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} by

where the supremum is taken over all n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } and all partitions t 0 < t 1 < … < t n {\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}} of {\displaystyle }.

A rectifiable curve is a curve with finite length. A curve γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} is called natural (or unit-speed or parametrized by arc length) if for any t 1, t 2 ∈ {\displaystyle t_{1},t_{2}\in } such that t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}, we have

If γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} is a Lipschitz-continuous function, then it is automatically rectifiable. Moreover, in this case, one can define the speed (or metric derivative) of γ {\displaystyle \gamma } at t ∈ {\displaystyle t\in } as

and then show that

### Supplementary Text ###
Longueur d'une courbe

Si X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} est l'espace euclidien n {\displaystyle n} -dimensionnel, et si γ: → R n {\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}} est une fonction injective et continûment différentiable, alors la longueur de γ {\displaystyle \gamma } est définie comme la quantité

La longueur d'une courbe est indépendante de la paramétrisation γ {\displaystyle \gamma }.

En particulier, la longueur s {\displaystyle s} du graphe d'une fonction continûment différentiable y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} définie sur un intervalle fermé {\displaystyle } est

ce qui peut être intuitivement interprété comme l'application continue du théorème de Pythagore à l'échelle infinitésimale sur toute la longueur de la courbe.

Plus généralement, si X {\displaystyle X} est un espace métrique avec métrique d {\displaystyle d}, on peut définir la longueur d'une courbe γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} par

où le suprémum est pris sur tous les n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } et toutes les partitions t 0 < t 1 < … < t n {\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}} de {\displaystyle }.

Une courbe rectifiable est une courbe de longueur finie. Une courbe γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} est dite naturelle (ou de vitesse unitaire ou paramétrée par longueur d'arc) si pour tout t 1, t 2 ∈ {\displaystyle t_{1},t_{2}\in } tels que t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}, on a

Si γ: → X {\displaystyle \gamma :\to X} est une fonction Lipschitz-continue, alors elle est automatiquement rectifiable. De plus, dans ce cas, on peut définir la vitesse (ou dérivée métrique) de γ {\displaystyle \gamma } à t ∈ {\displaystyle t\in } comme

et montrer alors que


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi la longueur d'une courbe ne dépend pas de sa paramétrisation ?"

Key assumption to verify: curve length invariant under reparametrization.

Context clues: "courbe" (curve), "paramétrisation" (parametrization). Likely differential geometry/calculus domain.

Translation straightforward. No semantic ambiguity.

### 2. Core Mathematical Claim

Claim: ∫|v'(t)| dt = ∫|v'(s)| ds where t,s are reparametrizations.

Wait. Need precise definitions first.

**Curve**: function γ: I → ℝⁿ, I ⊆ ℝ.

**Length**: L(γ) = ∫|γ'(t)| dt from fundamental theorem of calculus.

**Reparametrization**: φ: J → I, differentiable, bijective.
New curve γ ∘ φ: J → ℝⁿ.

**Question**: Is L(γ) = L(γ ∘ φ)?

### 3. Intuition Check

Why independence expected?

→ Distance between points doesn't change when "traveling" along curve in different speeds
→ ∫|v'(t)| dt measures total "distance traveled" not "time taken" 
→ Reparametrization only changes "clock speed", not spatial path

Physical analogy: Train journey. Same distance Paris→Marseille whether you travel at 100km/h or 200km/h.

### 4. Rigorous Proof Sketch

**Theorem**: Let γ,γ' be reparametrizations. Then L(γ) = L(γ').

**Proof outline**:
- Show L(γ) = ∫₀¹|γ'(s)| ds (change of variables: s = φ(t))
- Chain rule: |γ'(s)| = |γ'(t)|·|φ'(t)|·|φ'(s)|⁻¹
- Since |φ'(t)|·|φ'(s)|⁻¹ = 1 (φ is reparametrization), |γ'(s)| = |γ'(t)|
- ∴ ∫₀¹|γ'(s)| ds = ∫₀¹|γ'(t)| dt
- ∴ L(γ) = L(γ') ✓

### 5. Key Insight

**Why reparametrization doesn't affect length:**

The integral ∫|v'(t)| dt "counts" curve segments using local infinitesimal distances ds = |v'(t)|·dt.

Reparametrization φ changes the "clock" (dt → φ'(t)dt) but preserves the "ruler" (ds = |v'(t)|·dt).

Think: Same ruler, different clock. Physical distance unchanged.

**Chain rule magic**: |v'(s)| = |v'(t)|·|φ'(t)|·|φ'(s)|⁻¹ → |v'(s)| = |v'(t)| when φ is reparametrization.

### 6. Geometric Interpretation

Reparametrization = "movie speed control"
- Fast-forward/rewind same footage
- Same total footage length
- Only playback time changes

Curve = "spatial filmstrip" 
- Points connected via shortest paths
- Local distances preserved
- Global length additive over infinitesimal segments

### 7. Verification Through Examples

**Linear parametrization**: γ(t) = t·v
- Clearly L(γ) = |v| independent of parameterization
- t could be arc-length parameter s = |v|·t

**Circular parametrization**: γ(t) = (cos t, sin t)
- Multiple choices for t: angle θ, angular velocity ωt, time t
- All give same L = 2π regardless of parameterization

**Piecewise constant**: γ(t) = {v₀ if t∈[0,1/2), v₁ if t∈[1/2,1]}
- Length = |v₀| + |v₁|
- Independent of whether we use t or s = t₁ + (1-t)·t₂ as parameter

### 8. Conclusion

**Answer**: Length doesn't depend on parametrization because the integral "counts" local infinitesimal distances along the curve, which are preserved under reparametrization due to chain rule effects.

The reparametrization only changes the "temporal aspect" (integration limits, integrand factors) but not the "spatial geometry" (local distances, path structure).

**Physical constraint**: Euclidean distance is invariant under coordinate transformations. Same geometric object, different "coordinate system" for describing it.

∴ Curve length = intrinsic geometric property, independent of extrinsic parametrization choices.

### Answer###
La longueur d'une courbe ne dépend pas de sa paramétrisation car cette notion est intrinsèque à la courbe elle-même, indépendante de la façon dont on la décrit mathématiquement.

Plus précisément, si γ est une courbe paramétrée par un paramètre t, sa longueur est donnée par l'intégrale de la norme de sa dérivée : L = ∫|γ'(t)| dt. Cette formule ne fait pas référence au paramètre utilisé, mais seulement à la courbe elle-même et à sa dérivée.

Le principe repose sur le fait que la longueur mesure la distance totale parcourue le long de la courbe, et cette distance est une propriété géométrique fondamentale qui ne change pas quand on remplace le paramètre t par un autre paramètre s. Même si la courbe est décrite différemment (par exemple, si on la fait voyager plus vite ou plus lentement le long du temps), la distance totale parcourue entre deux points fixes reste constante.

La paramétrisation influence uniquement la façon dont la courbe est décrite mathématiquement, mais pas sa "longueur intrinsèque". C'est analogue au fait qu'une même route terrestre a une longueur fixe indépendamment du moyen de transport utilisé pour la parcourir.