Je travaille sur une restriction de système logique mais je m'interroge sur les symboles prédicats minimaux nécessaires pour une expressivité suffisante. Dois-je conserver les symboles de prédicat d'arité supérieure à 1 ou puis-je me passer de ces extensions ?
Restricted languages

First-order logic can be studied in languages with fewer logical symbols than were described above:

Restrictions such as these are useful as a technique to reduce the number of inference rules or axiom schemas in deductive systems, which leads to shorter proofs of metalogical results. The cost of the restrictions is that it becomes more difficult to express natural-language statements in the formal system at hand, because the logical connectives used in the natural language statements must be replaced by their (longer) definitions in terms of the restricted collection of logical connectives. Similarly, derivations in the limited systems may be longer than derivations in systems that include additional connectives. There is thus a trade-off between the ease of working within the formal system and the ease of proving results about the formal system.

It is also possible to restrict the arities of function symbols and predicate symbols, in sufficiently expressive theories. One can in principle dispense entirely with functions of arity greater than 2 and predicates of arity greater than 1 in theories that include a pairing function. This is a function of arity 2 that takes pairs of elements of the domain and returns an ordered pair containing them. It is also sufficient to have two predicate symbols of arity 2 that define projection functions from an ordered pair to its components. In either case it is necessary that the natural axioms for a pairing function and its projections are satisfied.
Langues restreintes

La logique du premier ordre peut être étudiée dans des langages avec moins de symboles logiques que ceux décrits ci-dessus :

Des restrictions de ce type sont utiles comme technique pour réduire le nombre de règles d'inférence ou de schémas d'axiomes dans les systèmes déductifs, ce qui conduit à des preuves plus courtes des résultats métalogiques. Le coût de ces restrictions est qu'il devient plus difficile d'exprimer des énoncés en langage naturel dans le système formel en question, car les connecteurs logiques utilisés dans les énoncés en langage naturel doivent être remplacés par leurs définitions (plus longues) en termes de l'ensemble restreint de connecteurs logiques. De même, les démonstrations dans les systèmes limités peuvent être plus longues que les démonstrations dans les systèmes qui incluent des connecteurs supplémentaires. Il existe donc un compromis entre la facilité de travail au sein du système formel et la facilité de prouver des résultats concernant ce système formel.

Il est également possible de restreindre les arités des symboles de fonction et des symboles de prédicat, dans des théories suffisamment expressives. On peut, en principe, se passer entièrement des fonctions d'arité supérieure à 2 et des prédicats d'arité supérieure à 1 dans des théories qui incluent une fonction d'appariement. Il s'agit d'une fonction d'arité 2 qui prend des paires d'éléments du domaine et renvoie une paire ordonnée les contenant. Il est également suffisant d'avoir deux symboles de prédicat d'arité 2 qui définissent des fonctions de projection d'une paire ordonnée vers ses composantes. Dans les deux cas, il est nécessaire que les axiomes naturels pour une fonction d'appariement et ses projections soient satisfaits.
### Query ###
Je travaille sur une restriction de système logique mais je m'interroge sur les symboles prédicats minimaux nécessaires pour une expressivité suffisante. Dois-je conserver les symboles de prédicat d'arité supérieure à 1 ou puis-je me passer de ces extensions ?

### Main Text ###
Restricted languages

First-order logic can be studied in languages with fewer logical symbols than were described above:

Restrictions such as these are useful as a technique to reduce the number of inference rules or axiom schemas in deductive systems, which leads to shorter proofs of metalogical results. The cost of the restrictions is that it becomes more difficult to express natural-language statements in the formal system at hand, because the logical connectives used in the natural language statements must be replaced by their (longer) definitions in terms of the restricted collection of logical connectives. Similarly, derivations in the limited systems may be longer than derivations in systems that include additional connectives. There is thus a trade-off between the ease of working within the formal system and the ease of proving results about the formal system.

It is also possible to restrict the arities of function symbols and predicate symbols, in sufficiently expressive theories. One can in principle dispense entirely with functions of arity greater than 2 and predicates of arity greater than 1 in theories that include a pairing function. This is a function of arity 2 that takes pairs of elements of the domain and returns an ordered pair containing them. It is also sufficient to have two predicate symbols of arity 2 that define projection functions from an ordered pair to its components. In either case it is necessary that the natural axioms for a pairing function and its projections are satisfied.

### Supplementary Text ###
Langues restreintes

La logique du premier ordre peut être étudiée dans des langages avec moins de symboles logiques que ceux décrits ci-dessus :

Des restrictions de ce type sont utiles comme technique pour réduire le nombre de règles d'inférence ou de schémas d'axiomes dans les systèmes déductifs, ce qui conduit à des preuves plus courtes des résultats métalogiques. Le coût de ces restrictions est qu'il devient plus difficile d'exprimer des énoncés en langage naturel dans le système formel en question, car les connecteurs logiques utilisés dans les énoncés en langage naturel doivent être remplacés par leurs définitions (plus longues) en termes de l'ensemble restreint de connecteurs logiques. De même, les démonstrations dans les systèmes limités peuvent être plus longues que les démonstrations dans les systèmes qui incluent des connecteurs supplémentaires. Il existe donc un compromis entre la facilité de travail au sein du système formel et la facilité de prouver des résultats concernant ce système formel.

Il est également possible de restreindre les arités des symboles de fonction et des symboles de prédicat, dans des théories suffisamment expressives. On peut, en principe, se passer entièrement des fonctions d'arité supérieure à 2 et des prédicats d'arité supérieure à 1 dans des théories qui incluent une fonction d'appariement. Il s'agit d'une fonction d'arité 2 qui prend des paires d'éléments du domaine et renvoie une paire ordonnée les contenant. Il est également suffisant d'avoir deux symboles de prédicat d'arité 2 qui définissent des fonctions de projection d'une paire ordonnée vers ses composantes. Dans les deux cas, il est nécessaire que les axiomes naturels pour une fonction d'appariement et ses projections soient satisfaits.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"restriction de système logique" → restricted logical system
"symboles prédicats minimaux" → minimal predicate symbols  
"arité supérieure à 1" → arities >1
"expressivité suffisante" → sufficient expressiveness

Core question: Can we eliminate higher-arity predicates in first-order logic without losing expressive power?

### 2. Initial Assessment

● This is standard model-theoretic problem
● Answer: Yes, reducible to binary predicates + pairing function
◐ Technical details needed: pairing constructions, projection functions

### 3. Reductibility Mechanism

Key insight: Any n-ary predicate R(x₁,...,xₙ) can be encoded as:
P(pair(x₁, ..., xₙ), 1), where pair is binary pairing function

Example: R(x,y,z) → P(pair(x,y), pair(y,z), z)

### 4. Technical Framework

Need two primitive symbols:
- Pairing function: pair(x,y) → (x,y)  
- Projection functions: π₁(p), π₂(p)

Axioms ensure functionality:
- ∀x∀y∀z[pair(x,y) = pair(x,z) ↔ y=z]
- ∀x∀y[π₁(pair(x,y)) = x ∧ π₂(pair(x,y)) = y]

### 5. Expressive Completeness

Any first-order formula ϕ(x₁, ..., xₙ) can be rewritten as ϕ'(pair(x₁, ..., xₙ)) using:
- Standard FOL connectives
- Equality
- Binary predicates only

### 6. Implementation Trade-offs

Advantages of binary restriction:
- Simpler deductive systems
- Fewer inference rules possible
- Shorter proofs of metalogical results

Disadvantages:
- Longer object language formulas
- More complex translations
- Increased notational overhead

### 7. Historical Context

This reduction technique goes back to work on:
- Arithmetic hierarchies
- Descriptive complexity theory  
- Proof systems for FOL

⟨H≈0.8⟩ The pairing function becomes this strange universal tool, compressing n-tuples into binary ghosts, the model-theoretic equivalent of data compression... ⟨/H⟩

### 8. Practical Recommendation

∴ For restricted logical systems: Eliminate higher-arity predicates
∴ Use pairing function + projections  
∴ Accept translation overhead for metalogical benefits

NB: This is standard technique in proof theory and descriptive complexity.

**Final answer**: Yes, binary predicates sufficient with pairing function. Trade-off: expressibility vs. system simplicity.

### Answer###
La question que vous soulevez touche à un aspect fondamental de la conception des systèmes logiques formelles. Effectivement, il est possible de réduire considérablement le nombre de symboles prédicats nécessaires sans perdre l'expressivité complète du premier ordre.

Cette restriction peut être obtenue en ne conservant que les prédicats d'arité 1 et en introduisant une fonction d'appariement (ou paire) d'arité 2. Cette fonction prend deux éléments du domaine en entrée et produit un couple ordonné les contenant. Il suffit également d'avoir deux prédicats d'arité 2 qui définissent les fonctions de projection permettant de récupérer les composantes d'un couple ordonné.

Dans ce cadre théorique, les axiomes naturels pour la fonction d'appariement et ses projections doivent être satisfaits pour garantir la cohérence du système. Cette approche permet de remplacer les prédicats d'arité supérieure à 2 par des constructions utilisant la fonction d'appariement et les prédicats binaires.

Cette restriction présente des avantages considérables pour les systèmes déductifs, car elle réduit le nombre de règles d'inférence et de schémas d'axiomes, facilitant ainsi les preuves des résultats métalogiques. Le coût principal de cette limitation est qu'il devient plus difficile d'exprimer directement les énoncés en langage naturel dans le système formel, nécessitant souvent des définitions plus longues en termes des connecteurs logiques restreints.