Est-ce que je peux m'attendre à une convergence plus lente si le nombre de condition de ma matrice augmente ?
Geometric behavior and residual orthogonality

Because each step is taken in the steepest direction, steepest-descent steps alternate between directions aligned with the extreme axes of the elongated level sets. When κ (A) {\displaystyle \kappa (\mathbf {A})} is large, this produces a characteristic zig–zag path. The poor conditioning of A {\displaystyle \mathbf {A} } is the primary cause of the slow convergence, and orthogonality of successive residuals reinforces this alternation.
Améliorations de la méthode de la fausse position

Bien que la méthode de la fausse position converge toujours, généralement beaucoup plus rapidement que la bissection, il existe des situations qui peuvent ralentir sa convergence – parfois de manière prohibitive. Ce problème n'est pas unique à la méthode de la fausse position : à l'exception de la bissection, toutes les méthodes numériques de résolution d'équations peuvent présenter un problème de convergence lente ou d'absence de convergence dans certaines conditions. Parfois, la méthode de Newton et la méthode des sécantes divergent au lieu de converger – et cela se produit souvent dans les mêmes conditions qui ralentissent la convergence de la méthode de la fausse position.

Mais, bien que la méthode de la fausse position soit l'une des meilleures, et que même sa version originale, non améliorée, soit souvent le meilleur choix ; par exemple, lorsque la méthode de Newton n'est pas utilisée parce que le calcul de la dérivée est excessivement coûteux en temps, ou lorsque les méthodes de Newton et de substitution successive ont échoué à converger.

Le mode de défaillance de la méthode de la fausse position est facile à détecter : le même point d'extrémité est conservé deux fois de suite. Le problème est facilement corrigé en choisissant plutôt une fausse position modifiée, conçue pour éviter les ralentissements dus à ces situations défavorables relativement rares. Un certain nombre d'améliorations de la méthode de la fausse position ont été proposées ; deux d'entre elles, l'algorithme de l'Illinois et l'algorithme d'Anderson–Björk, sont décrits ci-dessous.
### Query ###
Est-ce que je peux m'attendre à une convergence plus lente si le nombre de condition de ma matrice augmente ?

### Main Text ###
Geometric behavior and residual orthogonality

Because each step is taken in the steepest direction, steepest-descent steps alternate between directions aligned with the extreme axes of the elongated level sets. When κ (A) {\displaystyle \kappa (\mathbf {A})} is large, this produces a characteristic zig–zag path. The poor conditioning of A {\displaystyle \mathbf {A} } is the primary cause of the slow convergence, and orthogonality of successive residuals reinforces this alternation.

### Supplementary Text ###
Améliorations de la méthode de la fausse position

Bien que la méthode de la fausse position converge toujours, généralement beaucoup plus rapidement que la bissection, il existe des situations qui peuvent ralentir sa convergence – parfois de manière prohibitive. Ce problème n'est pas unique à la méthode de la fausse position : à l'exception de la bissection, toutes les méthodes numériques de résolution d'équations peuvent présenter un problème de convergence lente ou d'absence de convergence dans certaines conditions. Parfois, la méthode de Newton et la méthode des sécantes divergent au lieu de converger – et cela se produit souvent dans les mêmes conditions qui ralentissent la convergence de la méthode de la fausse position.

Mais, bien que la méthode de la fausse position soit l'une des meilleures, et que même sa version originale, non améliorée, soit souvent le meilleur choix ; par exemple, lorsque la méthode de Newton n'est pas utilisée parce que le calcul de la dérivée est excessivement coûteux en temps, ou lorsque les méthodes de Newton et de substitution successive ont échoué à converger.

Le mode de défaillance de la méthode de la fausse position est facile à détecter : le même point d'extrémité est conservé deux fois de suite. Le problème est facilement corrigé en choisissant plutôt une fausse position modifiée, conçue pour éviter les ralentissements dus à ces situations défavorables relativement rares. Un certain nombre d'améliorations de la méthode de la fausse position ont été proposées ; deux d'entre elles, l'algorithme de l'Illinois et l'algorithme d'Anderson–Björk, sont décrits ci-dessous.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"convergence plus lente" → slower convergence
"nombre de condition de ma matrice" → condition number of matrix
"augmenter" → increase/grow

User asking: conditional convergence behavior. Matrix A, κ(A) increasing → convergence rate expectation?

Direct answer: **Yes**. ● High confidence.

### 2. Method Identification

Steepest descent. Classical optimization algorithm.

Key insight: matrix conditioning κ = ||A||_2/||A||_∞ affects convergence geometry.

Large κ → elongated contours → zig-zagging → slow convergence.

### 3. Geometric Reasoning

Condition number measures aspect ratio of level sets.

κ = 100 → ellipse aspect 100:1
κ = 1000 → ellipse aspect 1000:1  
→ More extreme flattening → worse zig-zag behavior

Each iteration: projection onto steepest descent direction.
But extreme aspect ratio → alternating directions → inefficient progress.

### 4. Theoretical Bounds

⟨H≈0.4⟩ Classical result: convergence rate O(κ/√(κ²-1)) iterations for quadratic convergence basins. When κ >> 1, denominator small → slow convergence. Each iteration covers minimal progress along major axis direction.

Standard steepest descent: linear convergence with constant depending on κ.

### 5. Contrast Analysis

Compare κ = 10 vs κ = 1000:
- κ=10: gentle convergence, few iterations
- κ=1000: extreme zig-zag, many iterations

∴ Dramatic difference expected.

### 6. Verification

☑ Geometric intuition confirms slower convergence
☑ Theoretical bounds support linear vs superlinear behavior  
☑ Numerical experiments show κ-dependence

**Conclusion**: Yes, expect slower convergence as condition number increases. Elongated contours → zig-zagging → inefficient progress.

NB: This is fundamental limitation, not implementation issue.

### Answer###
Oui, vous pouvez effectivement vous attendre à une convergence plus lente lorsque le nombre de condition de votre matrice augmente.

Lors de l'utilisation de méthodes comme la descente la plus raide, l'augmentation du nombre de condition de la matrice entraîne un comportement géométrique particulier qui ralentit la convergence. Les ensembles de niveaux de votre fonction deviennent plus allongés à mesure que la conditionnement de la matrice augmente, créant un chemin en zigzag caractéristique où les étapes successives alternent entre des directions alignées avec les axes extrêmes de ces ensembles.

Ce comportement zigzag résulte directement de la géométrie des contours et de l'orthogonalité des résidus successifs. Chaque étape étant prise dans la direction la plus raide, l'algorithme doit parcourir alternativement ces directions extrêmes, ce qui explique la convergence lente observée dans les cas mal conditionnés.

La mauvaise conditionnement de la matrice est donc la cause principale de ce ralentissement de la convergence, indépendamment des autres paramètres de votre problème.