Je souhaiterais comprendre comment la substitution systématique des variables dans l'opération de composition de polynômes permet de démontrer que le résultat de cette opération est toujours un polynôme.
Composition

Given a polynomial f {\displaystyle f} of a single variable and another polynomial g of any number of variables, the composition f ∘ g {\displaystyle f\circ g} is obtained by substituting each copy of the variable of the first polynomial by the second polynomial. For example, if f (x) = x 2 + 2 x {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x} and g (x) = 3 x + 2 {\displaystyle g(x)=3x+2} then (f ∘ g) (x) = f (g (x)) = (3 x + 2) 2 + 2 (3 x + 2). {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).} A composition may be expanded to a sum of terms using the rules for multiplication and division of polynomials. The composition of two polynomials is another polynomial.
Composition

Étant donné un polynôme f et un autre polynôme g d'un nombre quelconque de variables, la composition f ∘ g est obtenue en remplaçant chaque occurrence de la variable du premier polynôme par le second. Par exemple, si f (x) = x² + 2x et g (x) = 3x + 2, alors (f ∘ g) (x) = f (g (x)) = (3x + 2)² + 2 (3x + 2). Une composition peut être développée en une somme de termes en utilisant les règles de multiplication et de division des polynômes. La composition de deux polynômes est un autre polynôme.
### Query ###
Je souhaiterais comprendre comment la substitution systématique des variables dans l'opération de composition de polynômes permet de démontrer que le résultat de cette opération est toujours un polynôme.

### Main Text ###
Composition

Given a polynomial f {\displaystyle f} of a single variable and another polynomial g of any number of variables, the composition f ∘ g {\displaystyle f\circ g} is obtained by substituting each copy of the variable of the first polynomial by the second polynomial. For example, if f (x) = x 2 + 2 x {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x} and g (x) = 3 x + 2 {\displaystyle g(x)=3x+2} then (f ∘ g) (x) = f (g (x)) = (3 x + 2) 2 + 2 (3 x + 2). {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).} A composition may be expanded to a sum of terms using the rules for multiplication and division of polynomials. The composition of two polynomials is another polynomial.

### Supplementary Text ###
Composition

Étant donné un polynôme f et un autre polynôme g d'un nombre quelconque de variables, la composition f ∘ g est obtenue en remplaçant chaque occurrence de la variable du premier polynôme par le second. Par exemple, si f (x) = x² + 2x et g (x) = 3x + 2, alors (f ∘ g) (x) = f (g (x)) = (3x + 2)² + 2 (3x + 2). Une composition peut être développée en une somme de termes en utilisant les règles de multiplication et de division des polynômes. La composition de deux polynômes est un autre polynôme.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"substitution systématique des variables" → systematic variable substitution
"opération de composition" → composition operation  
"résultat...toujours un polynôme" → result is always polynomial

User seeks proof sketch. Not just explanation.

### 2. Problem Structure

Composition f∘g takes:
- Polynomial f(x) in single variable x
- Polynomial g(x₁,x₂,...,xₙ) in n variables

Result: (f∘g)(x₁,x₂,...,xₙ) = f(g(x₁,x₂,...,xₙ))

### 3. Substitution Process

Key insight: f(g) = replace each x in f with entire g expression.

Example: f(x) = x² + 2x, g(x) = 3x + 2
→ f(g) = (3x+2)² + 2(3x+2) = 9x² + 12x + 4 + 6x + 4 = 9x² + 18x + 8

Systematic = replace all occurrences simultaneously.

### 4. Closure Proof

Why always polynomial?

Each variable substitution: P₁(x) → P₂(x) produces P₂(P₁(x))
- If P₁,P₂ ∈ 𝕂[x], then P₂(P₁(x)) ∈ 𝕂[x] ●

Proof by induction:
- Base case: deg(f) = 0 → f(x) = c → f(g(x)) = c·1 = c ∈ 𝕂[x] ✓
- Induction step: deg(f) = n > 0 → f(x) = aₙxⁿ + ... + a₀

f(g(x)) = aₙ(g(x))ⁿ + ... + a₀
= aₙ(bₙxⁿ + ... + b₀)ⁿ + ... + a₀ 
= aₙ(bₙⁿxⁿ + higher powers of x) + ... + a₀
= (aₙbₙⁿ)xⁿ + terms of lower degree

∴ f(g(x)) ∈ 𝕂[x]

### 5. Mathematical Foundation

Polynomial closure under composition follows from:
- Ring properties of 𝕂[x]
- Power rule: (P(x))ⁿ ∈ 𝕂[x] for P(x) ∈ 𝕂[x]
- Polynomial arithmetic preserves closure

⟨H≈0.8⟩ The systematic nature ensures all variable replacements follow same pattern... like a machine transforming input polynomials through prescribed substitution dance... each step preserves polynomial structure... mathematical induction captures this inevitable progression...

### 6. Conclusion

Systematic substitution works because:
☑ Replaces single variable with polynomial
☑ Applies to all occurrences uniformly  
☑ Maintains polynomial structure through arithmetic operations
☑ Mathematical induction confirms closure property

NB: "Systématique" crucial → uniform application prevents edge cases.

### Answer###
La substitution systématique des variables dans l'opération de composition permet de démontrer que le résultat reste un polynôme en raison de la structure même des opérations algébriques.

Lors de la composition f ∘ g, chaque occurrence de la variable du premier polynôme f est remplacée par le second polynôme g. Par exemple, si f(x) = x² + 2x et g(x) = 3x + 2, alors (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = (3x + 2)² + 2(3x + 2).

Cette substitution systématique transforme le polynôme initial en une expression qui peut être développée en une somme de termes en appliquant les règles de multiplication et de division des polynômes. Le processus génère ainsi une nouvelle expression qui, par construction, respecte les propriétés fondamentales des polynômes.

Le résultat de cette composition est effectivement toujours un polynôme car chaque étape de substitution et de développement maintient la structure algébrique d'un polynôme. La substitution uniforme de toutes les variables garantit que la transformation respecte les lois de composition polynomiales, préservant ainsi la nature polynomiale du résultat final.

Cette démonstration repose sur le principe que les opérations algébriques appliquées de manière systématique aux structures polynomiales produisent invariablement des résultats qui demeurent des polynômes, propriété essentielle de l'algèbre structurelle.