Alors, dis-moi, dans l'exemple 2, comment le théorème du gradient nous permet d'obtenir directement l'intégrale de |x|^α-1 x ?
Example 2

For a more abstract example, suppose γ ⊂ R has endpoints p, q, with orientation from p to q. For u in R, let | u | denote the Euclidean norm of u. If α ≥ 1 is a real number, then

∫ γ | x | α − 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ (α + 1) | x | (α + 1) − 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | x | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 − | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}

Here the final equality follows by the gradient theorem, since the function f (x) = | x | is differentiable on R if α ≥ 1.

If α < 1 then this equality will still hold in most cases, but caution must be taken if γ passes through or encloses the origin, because the integrand vector field | x | x will fail to be defined there. However, the case α = −1 is somewhat different; in this case, the integrand becomes | x | x = ∇(log | x |), so that the final equality becomes log | q | − log | p |.

Note that if n = 1, then this example is simply a slight variant of the familiar power rule from single-variable calculus.
Exemple 2

Pour un exemple plus abstrait, supposons que γ ⊂ R a des extrémités p, q, avec une orientation de p à q. Pour u ∈ R, notons | u | la norme euclidienne de u. Si α ≥ 1 est un nombre réel, alors

∫ γ | x | α − 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ (α + 1) | x | (α + 1) − 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | x | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 − | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}

Ici, l'égalité finale découle du théorème du gradient, puisque la fonction f (x) = | x | est différentiable sur R si α ≥ 1.

Si α < 1, cette égalité restera généralement vraie, mais il faut faire preuve de prudence si γ passe par l'origine ou l'encercle, car le champ vectoriel de l'intégrande | x | x ne sera pas défini à cet endroit. Cependant, le cas α = −1 est quelque peu différent ; dans ce cas, l'intégrande devient | x | x = ∇(log | x |), de sorte que l'égalité finale devient log | q | − log | p |.

Notez que si n = 1, cet exemple n'est qu'une légère variante de la règle de puissance familière du calcul différentiel à une variable.
### Query ###
Alors, dis-moi, dans l'exemple 2, comment le théorème du gradient nous permet d'obtenir directement l'intégrale de |x|^α-1 x ?

### Main Text ###
Example 2

For a more abstract example, suppose γ ⊂ R has endpoints p, q, with orientation from p to q. For u in R, let | u | denote the Euclidean norm of u. If α ≥ 1 is a real number, then

∫ γ | x | α − 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ (α + 1) | x | (α + 1) − 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | x | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 − | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}

Here the final equality follows by the gradient theorem, since the function f (x) = | x | is differentiable on R if α ≥ 1.

If α < 1 then this equality will still hold in most cases, but caution must be taken if γ passes through or encloses the origin, because the integrand vector field | x | x will fail to be defined there. However, the case α = −1 is somewhat different; in this case, the integrand becomes | x | x = ∇(log | x |), so that the final equality becomes log | q | − log | p |.

Note that if n = 1, then this example is simply a slight variant of the familiar power rule from single-variable calculus.

### Supplementary Text ###
Exemple 2

Pour un exemple plus abstrait, supposons que γ ⊂ R a des extrémités p, q, avec une orientation de p à q. Pour u ∈ R, notons | u | la norme euclidienne de u. Si α ≥ 1 est un nombre réel, alors

∫ γ | x | α − 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ (α + 1) | x | (α + 1) − 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | x | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 − | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}

Ici, l'égalité finale découle du théorème du gradient, puisque la fonction f (x) = | x | est différentiable sur R si α ≥ 1.

Si α < 1, cette égalité restera généralement vraie, mais il faut faire preuve de prudence si γ passe par l'origine ou l'encercle, car le champ vectoriel de l'intégrande | x | x ne sera pas défini à cet endroit. Cependant, le cas α = −1 est quelque peu différent ; dans ce cas, l'intégrande devient | x | x = ∇(log | x |), de sorte que l'égalité finale devient log | q | − log | p |.

Notez que si n = 1, cet exemple n'est qu'une légère variante de la règle de puissance familière du calcul différentiel à une variable.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Alors, dis-moi, dans l'exemple 2, comment le théorème du gradient nous permet d'obtenir directement l'intégrale de |x|^α-1 x"

Key elements:
- "exemple 2" → suggests pedagogical context ●
- |x|^α-1 x = |x|^α-1 x_i e_i → vector-valued integrand ◐
- "directement" → user wants mechanism, not just result ●

### 2. Core Mathematical Context

Fundamental theorem of calculus for line integrals.
∫_γ F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t)dt = G(b) - G(a)

When F = ∇G, makes integration trivial.

? Which specific example? Need context.

⟨H≈0.8⟩ 
Gradient theorem... fundamental form... ∫_∂D f·n dA = ∫_D ∇f·dA... but this is divergence theorem... wait, line integral not surface... fundamental theorem of calculus... ∫_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)... yes, this is what we want... ∫_γ ∇f·dr = f(γ(b)) - f(γ(a))...

### 3. Mechanism Analysis

**Step 1**: Rewrite integrand
|x|^α-1 x = |x|^α-1 x₁e₁ + |x|^α-1 x₂e₂ + |x|^α-1 x₃e₃

**Step 2**: Recognize gradient structure
Each component: ∇(|x|^α xᵢ) = α|x|^α-1 xᵢ

∴ Original = α∇(|x|^α)

**Step 3**: Apply fundamental theorem
∫_γ ∇f·dr = f(γ(b)) - f(γ(a))

With f(x) = |x|^α, we get:
∫_γ |x|^α-1 x·dr = α(|x(b)|^α - |x(a)|^α)/α

**Step 4**: Simplify
Result: (|x(b)|^α - |x(a)|^α)/α

### 4. Verification

⟨H≈0.2⟩
Standard approach without gradient theorem:
∫_γ |x|^α-1 x dx = ∫_a^b |x(t)|^(α-1) x'(t) dt
Rewriting: ∫_a^b |x(t)|^(α-1) [x₁(t)e₁ + x₂(t)e₂ + x₃(t)e₃]·[x₁'(t)e₁ + x₂'(t)e₂ + x₃'(t)e₃] dt
Expanding: ∫_a^b (|x(t)|^(α-1))^2 |x'(t)| dt = ∫_a^b (|x(t)|^(α-1))^2 √(Σ(xᵢ'(t))^2) dt
This is messy.

Gradient approach:
∫_γ ∇(|x|^α)·dr = |x(b)|^α - |x(a)|^α
Clean.

### 5. Critical Limitations

⚠ α must be ≥ -1 for differentiability
⚠ Path orientation matters
⚠ Endpoint evaluation crucial

### 6. Pedagogical Value

Direct application of fundamental theorem to vector line integrals.
Transforms potentially intractable integral into endpoint evaluation.
Demonstrates power of recognizing gradient structures.

∴ **Core insight**: |x|^α-1 x is α times the gradient of |x|^α, making integration trivial via fundamental theorem.

### Answer###
Le théorème du gradient permet d'obtenir directement cette intégrale en reconnaissant que |x|^α-1 x est précisément le gradient d'une fonction.

La clé réside dans la reformulation du vecteur |x|^α-1 x. En remarquant que |x|^α-1 x peut s'écrire comme (α+1)|x|^(α+1)-2 x (après quelques manipulations algébriques), on peut identifier que cela correspond au gradient de la fonction |x|^(α+1).

Le théorème du gradient stipule que pour une courbe orientée γ allant de p à q, l'intégrale de ligne du gradient d'une fonction le long de cette courbe est égale à la valeur de cette fonction aux extrémités : ∫_γ ∇f · dr = f(q) - f(p).

Dans cet exemple spécifique, en posant f(x) = |x|^(α+1), le gradient ∇f correspond exactement au vecteur |x|^α-1 x que nous voulions intégrer. L'application directe du théorème donne :
∫_γ |x|^α-1 x · dr = 1/(α+1) ∫_γ ∇|x|^(α+1) · dr = (|q|^(α+1) - |p|^(α+1))/(α+1)

Cette méthode transforme une intégrale de ligne potentiellement complexe en une application directe du résultat fondamental du calcul vectoriel, évitant ainsi les calculs itératifs fastidieux.