Si on applique une transformation de coordonnées non linéaire à un tenseur métrique, est-ce qu'il va perdre sa nature géométrique ?
Geometric objects

The transformation law for a tensor behaves as a functor on the category of admissible coordinate systems, under general linear transformations (or, other transformations within some class, such as local diffeomorphisms). This makes a tensor a special case of a geometrical object, in the technical sense that it is a function of the coordinate system transforming functorially under coordinate changes. Examples of objects obeying more general kinds of transformation laws are jets and, more generally still, natural bundles.
Objets géométriques

La loi de transformation d'un tenseur se comporte comme un foncteur sur la catégorie des systèmes de coordonnées admissibles, sous les transformations linéaires générales (ou, d'autres transformations dans une certaine classe, telles que les difféomorphismes locaux). Ceci fait d'un tenseur un cas particulier d'objet géométrique, au sens technique qu'il s'agit d'une fonction du système de coordonnées qui se transforme functoriellement sous les changements de coordonnées. Des exemples d'objets obéissant à des lois de transformation plus générales sont les jets et, plus généralement encore, les faisceaux naturels.
### Query ###
Si on applique une transformation de coordonnées non linéaire à un tenseur métrique, est-ce qu'il va perdre sa nature géométrique ?

### Main Text ###
Geometric objects

The transformation law for a tensor behaves as a functor on the category of admissible coordinate systems, under general linear transformations (or, other transformations within some class, such as local diffeomorphisms). This makes a tensor a special case of a geometrical object, in the technical sense that it is a function of the coordinate system transforming functorially under coordinate changes. Examples of objects obeying more general kinds of transformation laws are jets and, more generally still, natural bundles.

### Supplementary Text ###
Objets géométriques

La loi de transformation d'un tenseur se comporte comme un foncteur sur la catégorie des systèmes de coordonnées admissibles, sous les transformations linéaires générales (ou, d'autres transformations dans une certaine classe, telles que les difféomorphismes locaux). Ceci fait d'un tenseur un cas particulier d'objet géométrique, au sens technique qu'il s'agit d'une fonction du système de coordonnées qui se transforme functoriellement sous les changements de coordonnées. Des exemples d'objets obéissant à des lois de transformation plus générales sont les jets et, plus généralement encore, les faisceaux naturels.

### Draft ###

Query: "Si on applique une transformation de coordonnées non linéaire..."

Translation check: "non linéaire" = nonlinear/non-linear. Critical distinction.

**Core question**: Does non-linear coordinate transformation destroy tensor geometric nature?

### 1. Tensor Transformation Law

Linear coordinate changes: T^μ_ν → ∂^μ_α ∂^ν_β T^α_β
→ Preserves tensor character. ●

Non-linear changes? More complex. ◐

### 2. Geometric Nature Definition

Tensor = object transforming functorially under coordinate changes.
- Contravariant/covariant behavior
- Metric signature preservation  
- Christoffel symbols, connection coefficients

**Key insight**: Geometric properties ≠ linearity of transformation.

### 3. Non-Linear Case Analysis

Consider: x^μ = x^μ(x'^ν) non-linear transformation

Tensor components: T^μ_ν(x) = T'^κ_λ(x') ∂/∂x'^κ T^μ_ν(x') ∂x'^λ/∂x^ν

**Critical factors**:
- Jacobian determinant |∂x^μ/∂x'^ν| ≠ 0
- Transformation remains differentiable
- Tensor still carries coordinate-free geometric information

### 4. Physical Constraints

Metric tensor g_μν preserving spacetime geometry.
→ Non-linear transformations maintain geodesic equations
→ Still define invariant distances: ds² = g_μν dx^μ dx^ν

**Conclusion**: Non-linear coordinate changes **don't** destroy tensor geometric nature.

### 5. Distinction Clarification

Linear transformations: Tensors stay tensors ●
Non-linear transformations: Tensors stay tensors ●  
**BUT**: Geometric interpretation may become more complex ◐

Examples where non-linear helps:
- Curvilinear coordinates in general relativity
- Polar/spherical coordinates preserving symmetry
- Conformal transformations in physics

**Final answer**: No, non-linear coordinate transformations preserve tensor geometric nature. The functorial behavior remains intact. What changes is the computational representation, not the underlying geometric object.

### Answer###
Non, une transformation de coordonnées non linéaire n'enlève pas nécessairement la nature géométrique d'un tenseur. Les tenseurs se comportent effectivement comme des objets géométriques dans le sens où ils transforment functoriellement sous les changements de coordonnées, que ces transformations soient linéaires ou non.

Plus précisément, la loi de transformation d'un tenseur fonctionne comme un foncteur sur la catégorie des systèmes de coordonnées admissibles, sous une classe de transformations incluant les difféomorphismes locaux. Cette propriété de transformation functorielle est ce qui définit la nature géométrique du tenseur.

Il est important de noter que cette transformation functorielle s'applique aux changements de coordonnées généralisés, y compris les transformations non linéaires locales. Les tenseurs conservent donc leur caractère géométrique même lorsqu'ils sont exprimés dans des systèmes de coordonnées non linéaires, à condition que la transformation respecte les lois de transformation tensorielle appropriées.

La géométrie d'un tenseur réside dans sa capacité à transporter des propriétés géométriques invariantes sous les transformations de coordonnées, et cette propriété fondamentale n'est pas altérée par la non-linéarité des transformations.