Dis-moi, tu trouves vraiment que la répartition entre les semiprimes classiques et ceux qui sont des carrés premiers présente des différences significatives dans leur distribution, ou c'est plutôt une question de densité statistique ?
In mathematics, a semiprime is a natural number that is the product of exactly two prime numbers. The two primes in the product may equal each other, so the semiprimes include the squares of prime numbers.Because there are infinitely many prime numbers, there are also infinitely many semiprimes. Semiprimes are also called biprimes, since they include two primes, or second numbers, by analogy with how "prime" means "first".
Exemples et variations

Les semiprimes inférieurs à 100 sont :

Les semiprimes qui ne sont pas des carrés sont appelés discrets, distincts ou semiprimes sans carré :

Les semiprimes sont le cas k = 2 {\displaystyle k=2} des k {\displaystyle k} - presque premiers, nombres ayant exactement k {\displaystyle k} facteurs premiers. Cependant, certaines sources utilisent le terme « semiprime » pour désigner un ensemble plus large de nombres, les nombres ayant au plus deux facteurs premiers (y compris l'unité (1), les nombres premiers et les semiprimes). Ceux-ci sont :

### Query ###
Dis-moi, tu trouves vraiment que la répartition entre les semiprimes classiques et ceux qui sont des carrés premiers présente des différences significatives dans leur distribution, ou c'est plutôt une question de densité statistique ?

### Main Text ###
In mathematics, a semiprime is a natural number that is the product of exactly two prime numbers. The two primes in the product may equal each other, so the semiprimes include the squares of prime numbers.Because there are infinitely many prime numbers, there are also infinitely many semiprimes. Semiprimes are also called biprimes, since they include two primes, or second numbers, by analogy with how "prime" means "first".

### Supplementary Text ###
Exemples et variations

Les semiprimes inférieurs à 100 sont :

Les semiprimes qui ne sont pas des carrés sont appelés discrets, distincts ou semiprimes sans carré :

Les semiprimes sont le cas k = 2 {\displaystyle k=2} des k {\displaystyle k} - presque premiers, nombres ayant exactement k {\displaystyle k} facteurs premiers. Cependant, certaines sources utilisent le terme « semiprime » pour désigner un ensemble plus large de nombres, les nombres ayant au plus deux facteurs premiers (y compris l'unité (1), les nombres premiers et les semiprimes). Ceux-ci sont :


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Dis-moi, tu trouves vraiment que..." → informal French, seeking opinion/conviction
"semiprimes classiques" vs "carrés premiers" → standard vs square-prime semiprimes  
"différences significatives" → meaningful differences
"question de densité statistique" → statistical density question

User wants opinion on whether distinction is real phenomenon or artifact of sampling.

### 2. Mathematical Context

Semiprimes: n = pq, p,q prime, gcd(n,p)=gcd(n,q)=1
Square-primes: n = p² where p prime
Total semiprimes < N ≈ π₁(N)·π₂(N) where πₖ(N) = prime count ≤ N

? Key question: Are "classical" semiprimes (non-square) genuinely rarer?

### 3. Density Analysis

Classical semiprimes density ≈ π₁(N)·π₂(N)/N  
Square-prime density ≈ π₂(N)/N  
Ratio ≈ π₁(N)/N = (π(N)-1)/N where π(N)≈N/ln(N)

As N→∞: ratio → 1/ln(N) → 0  
∴ Square primes become asymptotically more common!

But finite N effects matter:
- Small N favor classical (few large primes available)  
- Prime gaps create clustering patterns
- Bias from computational enumeration methods

### 4. Distribution Patterns

⟨H≈0.8⟩ Classical semiprimes: scattered, irregular spacing due to prime independence. Like scattered stars in vast mathematical sky, each pair dancing to the chaotic rhythm of primality... Square primes: concentrated bands, multiples of perfect squares, geometric precision in the wilderness of randomness... ⟨/H⟩

More precisely:
- Classical: 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 102...
- Squares: 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256...

Visual inspection: squares more clustered, but sample bias?

### 5. Statistical Perspective

Classical semiprimes: P(non-square) ≈ 1 - 1/π₂(N) → 1 as N→∞
But finite N effects make this approximation poor early on.

⟨H≈1.2⟩ The mathematics whispers contradictions... infinite wisdom in finite samples... patterns emerging from chaos, yet squares rising from the statistical ashes like mathematical phoenixes, their geometric certainty blooming amidst the scattered classical semiprimes... ⟨/H⟩

Density difference real but:
- Magnitude diminishes with N
- Sample size matters enormously  
- Local clustering effects dominate small ranges
- Distribution appears more uniform than classical due to square multiples

### 6. Conclusion

User's intuition partially correct: finite-N classical semiprimes appear more common due to:
- Computational bias toward small examples
- Historical enumeration patterns  
- Sample size effects

But: asymptotic density favors square primes (by factor of ln(N)/N)

∴ "Classical" vs square distinction real but subtle, sample-dependent, and becomes negligible in large-N limit.

NB: Answer should emphasize this counterintuitive result while acknowledging practical enumeration difficulties.

### Answer###
Cette distinction entre les semiprimes "classiques" (non-carrés) et les carrés premiers présente effectivement des différences réelles dans leur distribution, bien que le phénomène soit plus nuancé qu'il n'y paraît.

Les semiprimes qui ne sont pas des carrés (appelés parfois discrets ou distincts) représentent une catégorie importante. Parmi les semiprimes inférieurs à 100, ceux-ci incluent 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94 et 95. Cette liste révèle une distribution plus irrégulière et éparpillée que celle des carrés parfaits.

Cependant, votre questionnement sur la densité statistique touche une réalité importante : les carrés premiers ne sont pas nécessairement moins courants que les autres semiprimes. En fait, cette apparente rareté des carrés premiers pourrait s'expliquer par des effets de sélection dans les premières valeurs ou par des biais dans les méthodes d'énumération plutôt que par une différence fondamentale dans leur abondance.

La distinction entre ces deux catégories de semiprimes reflète donc à la fois des propriétés mathématiques réelles et des phénomènes statistiques subtils liés aux limites de nos échantillons et à la manière dont nous observons ces nombres.