Comment c'est possible qu'un système soit stable alors que ses processus ne sont pas en équilibre dynamique ?
In systems theory, a system or a process is in a steady state if the variables which define the behavior of the system or the process are unchanging in time. In continuous time, this means that for those properties p of the system, the partial derivative with respect to time is zero and remains so:
  - ∂ p ∂ t = 0 for all present and future  t. In discrete time, it means that the first difference of each property is zero and remains so:
  - p t − p t − 1 = 0 for all present and future  t. The concept of a steady state has relevance in many fields, in particular thermodynamics, economics, and engineering. If a system is in a steady state, then the recently observed behavior of the system will continue into the future. In stochastic systems, the probabilities that various states will be repeated will remain constant. See for example Linear difference equation#Conversion to homogeneous form for the derivation of the steady state. In many systems, a steady state is not achieved until some time after the system is started or initiated. This initial situation is often identified as a transient state, start-up or warm-up period. For example, while the flow of fluid through a tube or electricity through a network could be in a steady state because there is a constant flow of fluid or electricity, a tank or capacitor being drained or filled with fluid is a system in transient state, because its volume of fluid changes with time. Often, a steady state is approached asymptotically. An unstable system is one that diverges from the steady state. See for example Linear difference equation#Stability. In chemistry, a steady state is a more general situation than dynamic equilibrium. While a dynamic equilibrium occurs when two or more reversible processes occur at the same rate, and such a system can be said to be in a steady state, a system that is in a steady state may not necessarily be in a state of dynamic equilibrium, because some of the processes involved are not reversible. In other words, dynamic equilibrium is just one manifestation of a steady state.
En théorie des systèmes, un système ou un processus est dans un état stable si les variables qui définissent le comportement du système ou du processus ne changent pas avec le temps. En temps continu, cela signifie que pour ces propriétés p du système, la dérivée partielle par rapport au temps est nulle et le reste :
  - ∂ p ∂ t = 0 pour tout t présent et futur. En temps discret, cela signifie que la première différence de chaque propriété est nulle et le reste :
  - p t − p t − 1 = 0 pour tout t présent et futur. Le concept d'état stable a une pertinence dans de nombreux domaines, en particulier la thermodynamique, l'économie et l'ingénierie. Si un système est dans un état stable, alors le comportement récemment observé du système se poursuivra dans le futur. Dans les systèmes stochastiques, les probabilités que divers états se répètent resteront constantes. Voir par exemple Équation aux différences linéaires # Conversion en forme homogène pour la dérivation de l'état stable. Dans de nombreux systèmes, un état stable n'est atteint qu'après un certain temps après le démarrage ou l'initialisation du système. Cette situation initiale est souvent identifiée comme un état transitoire, une phase de démarrage ou un temps de chauffe. Par exemple, alors que le flux d'un fluide dans un tube ou le courant électrique dans un réseau pourrait être dans un état stable en raison d'un flux constant de fluide ou d'électricité, un réservoir ou un condensateur se vidant ou se remplissant de fluide est un système dans un état transitoire, car son volume de fluide varie avec le temps. Souvent, un état stable est atteint de manière asymptotique. Un système instable est un système qui s'écarte de l'état stable. Voir par exemple Équation aux différences linéaires # Stabilité. En chimie, un état stable est une situation plus générale que l'équilibre dynamique. Bien qu'un équilibre dynamique se produve lorsque deux processus ou plus réversibles se produisent à la même vitesse, et qu'un tel système puisse être considéré comme étant dans un état stable, un système qui est dans un état stable n'est pas nécessairement dans un état d'équilibre dynamique, car certains des processus impliqués ne sont pas réversibles. En d'autres termes, l'équilibre dynamique n'est qu'une manifestation d'un état stable.
### Query ###
Comment c'est possible qu'un système soit stable alors que ses processus ne sont pas en équilibre dynamique ?

### Main Text ###
In systems theory, a system or a process is in a steady state if the variables which define the behavior of the system or the process are unchanging in time. In continuous time, this means that for those properties p of the system, the partial derivative with respect to time is zero and remains so:
  - ∂ p ∂ t = 0 for all present and future  t. In discrete time, it means that the first difference of each property is zero and remains so:
  - p t − p t − 1 = 0 for all present and future  t. The concept of a steady state has relevance in many fields, in particular thermodynamics, economics, and engineering. If a system is in a steady state, then the recently observed behavior of the system will continue into the future. In stochastic systems, the probabilities that various states will be repeated will remain constant. See for example Linear difference equation#Conversion to homogeneous form for the derivation of the steady state. In many systems, a steady state is not achieved until some time after the system is started or initiated. This initial situation is often identified as a transient state, start-up or warm-up period. For example, while the flow of fluid through a tube or electricity through a network could be in a steady state because there is a constant flow of fluid or electricity, a tank or capacitor being drained or filled with fluid is a system in transient state, because its volume of fluid changes with time. Often, a steady state is approached asymptotically. An unstable system is one that diverges from the steady state. See for example Linear difference equation#Stability. In chemistry, a steady state is a more general situation than dynamic equilibrium. While a dynamic equilibrium occurs when two or more reversible processes occur at the same rate, and such a system can be said to be in a steady state, a system that is in a steady state may not necessarily be in a state of dynamic equilibrium, because some of the processes involved are not reversible. In other words, dynamic equilibrium is just one manifestation of a steady state.

### Supplementary Text ###
En théorie des systèmes, un système ou un processus est dans un état stable si les variables qui définissent le comportement du système ou du processus ne changent pas avec le temps. En temps continu, cela signifie que pour ces propriétés p du système, la dérivée partielle par rapport au temps est nulle et le reste :
  - ∂ p ∂ t = 0 pour tout t présent et futur. En temps discret, cela signifie que la première différence de chaque propriété est nulle et le reste :
  - p t − p t − 1 = 0 pour tout t présent et futur. Le concept d'état stable a une pertinence dans de nombreux domaines, en particulier la thermodynamique, l'économie et l'ingénierie. Si un système est dans un état stable, alors le comportement récemment observé du système se poursuivra dans le futur. Dans les systèmes stochastiques, les probabilités que divers états se répètent resteront constantes. Voir par exemple Équation aux différences linéaires # Conversion en forme homogène pour la dérivation de l'état stable. Dans de nombreux systèmes, un état stable n'est atteint qu'après un certain temps après le démarrage ou l'initialisation du système. Cette situation initiale est souvent identifiée comme un état transitoire, une phase de démarrage ou un temps de chauffe. Par exemple, alors que le flux d'un fluide dans un tube ou le courant électrique dans un réseau pourrait être dans un état stable en raison d'un flux constant de fluide ou d'électricité, un réservoir ou un condensateur se vidant ou se remplissant de fluide est un système dans un état transitoire, car son volume de fluide varie avec le temps. Souvent, un état stable est atteint de manière asymptotique. Un système instable est un système qui s'écarte de l'état stable. Voir par exemple Équation aux différences linéaires # Stabilité. En chimie, un état stable est une situation plus générale que l'équilibre dynamique. Bien qu'un équilibre dynamique se produve lorsque deux processus ou plus réversibles se produisent à la même vitesse, et qu'un tel système puisse être considéré comme étant dans un état stable, un système qui est dans un état stable n'est pas nécessairement dans un état d'équilibre dynamique, car certains des processus impliqués ne sont pas réversibles. En d'autres termes, l'équilibre dynamique n'est qu'une manifestation d'un état stable.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment c'est possible qu'un système soit stable alors que ses processus ne sont pas en équilibre dynamique ?"

→ Core tension identified: stability vs non-equilibrium processes
→ "stable" = asymptotic behavior over time  
→ "équilibre dynamique" = detailed balance, vanishing net rates

? Translation nuance: "stable" could mean Lyapunov stability, attractors, or just bounded behavior

### 2. Definitional Framework

**Equilibrium Dynamics**: 
- Forward/reverse rates balanced
- Net flux = 0 for all intensive variables
- Detailed balance satisfied
- ∴ dP/dt = 0 globally

**Stability** (broad sense):
- System variables bounded
- Evolution towards steady-state  
- Attractor exists (not necessarily equilibrium)
- ∴ lim(t→∞) = fixed point ≠ necessarily zero rates

### 3. Key Distinction

! Critical insight: Stability ≠ Equilibrium

**Stable Non-Equilibrium Systems**:
- Steady-state achieved but no detailed balance
- Rates remain finite, non-zero  
- Example: Stationary transport processes
- ⟨H≈0.8⟩ Think of river flowing - steady depth, velocity, but water constantly moving. No accumulation, no depletion. Like steady-state combustion with continuous fuel feed. The system "knows" its final state without being truly "at rest" in the thermodynamic sense. ⟨/H⟩

**Equilibrium ⊂ Stability**:
- All equilibria are stable (trivial case)  
- But stability allows broader behavioral patterns
- Includes: limit cycles, quasi-stationary states, self-sustaining processes

### 4. Mathematical Foundation

Consider system dynamics:
- ẋ = f(x)  
- Steady-state: f(x*) = 0
- Stability: |Df(x*)| < 1 (Lyapunov)

Even if f(x*) ≠ 0 for all x, system can be stable if approach to x* is smooth.

**Example**: Chemical reactor with continuous feed
- Input/output rates balance asymptotically  
- Steady-state concentration profiles exist
- But individual reactions still progressing

### 5. Physical Interpretation

● High confidence examples:
- Steady-state heat flow with gradients
- Chemical reaction networks in steady-state
- Ecological populations with turnover

◐ Partial cases:
- Self-organized criticality systems
- Dissipative structures (Prigogine)

⚠ Avoid: Systems truly at thermodynamic equilibrium (no gradients, no flows)

### 6. Resolution

The apparent paradox resolves via definitional clarity:

**Stability** = bounded, asymptotically approach to steady-state
**Equilibrium Dynamics** = detailed balance, vanishing net rates

∴ Stable systems need not achieve equilibrium dynamics
∴ Equilibrium dynamics represent special case of stability

**Core mechanism**: Feedback/control processes maintain steady-state without requiring process balance. System "self-organizes" to stable configuration through continuous, non-equilibrium activity.

! Final insight: True equilibrium (thermodynamic) is rare, unstable in open systems. "Stable non-equilibrium" represents most of what we observe in complex systems - living cells, climate, economic systems, chemical reactors.

NB: This explains why systems can be "stable" yet "dynamic" - stability emerges from organization, not from cessation of activity.

### Answer###
La possibilité d'avoir un système stable sans équilibre dynamique s'explique par une distinction fondamentale entre ces deux concepts. Un système peut effectivement atteindre un état stable où les variables comportementales ne changent plus avec le temps, même si les processus individuels qui le constituent ne sont pas en équilibre réversible.

Un équilibre dynamique se produit quand deux processus ou plus réversibles se produisent à la même vitesse. Dans ce cas, le système peut être considéré comme étant dans un état stable, mais l'équilibre dynamique n'est qu'une manifestation particulière d'un état stable plus général. Un système en état stable peut donc comporter des processus qui ne sont pas réversibles, et qui ne s'annulent pas mutuellement.

Dans un système stable, on observe que le comportement récemment observé du système se poursuivra dans le futur, et les probabilités de répétition des différents états resteront constantes. Cependant, cela ne signifie pas nécessairement que tous les processus individuels du système sont en équilibre les uns avec les autres.

Cette apparente contradiction s'explique donc par le fait qu'un équilibre dynamique représente une condition particulière et restreinte d'un état stable plus large. Les systèmes stables peuvent maintenir une configuration constante sans nécessairement impliquer que chaque processus constitutif soit en équilibre avec ses processus inverses.