Comment l'axiome de l'infini permet-il de contourner la redondance de l'axiome de la paire dans ZF, et pourquoi est-ce qu'on a besoin des deux pour prouver l'existence d'ensembles avec au moins deux éléments ?
Axiom of pairing

If x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are sets, then there exists a set which contains x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} as elements, for example if x = {1,2} and y = {2,3} then z will be {{1,2},{2,3}}

The axiom schema of specification must be used to reduce this to a set with exactly these two elements. The axiom of pairing is part of Z, but is redundant in ZF because it follows from the axiom schema of replacement if we are given a set with at least two elements. The existence of a set with at least two elements is assured by either the axiom of infinity, or by the axiom schema of specification and the axiom of the power set applied twice to any set.
Axiome de la paire

Si x et y sont des ensembles, alors il existe un ensemble qui contient x et y comme éléments. Par exemple, si x = {1, 2} et y = {2, 3}, alors z sera {{1, 2}, {2, 3}}.

Le schéma d'axiomes de spécification doit être utilisé pour réduire ceci à un ensemble avec exactement ces deux éléments. L'axiome de la paire fait partie de Z, mais est redondant dans ZF car il découle du schéma d'axiomes de remplacement si l'on est donné un ensemble avec au moins deux éléments. L'existence d'un ensemble avec au moins deux éléments est assurée soit par l'axiome de l'infini, soit par le schéma d'axiomes de spécification et l'axiome de l'ensemble des parties appliqué deux fois à n'importe quel ensemble.
### Query ###
Comment l'axiome de l'infini permet-il de contourner la redondance de l'axiome de la paire dans ZF, et pourquoi est-ce qu'on a besoin des deux pour prouver l'existence d'ensembles avec au moins deux éléments ?

### Main Text ###
Axiom of pairing

If x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are sets, then there exists a set which contains x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} as elements, for example if x = {1,2} and y = {2,3} then z will be {{1,2},{2,3}}

The axiom schema of specification must be used to reduce this to a set with exactly these two elements. The axiom of pairing is part of Z, but is redundant in ZF because it follows from the axiom schema of replacement if we are given a set with at least two elements. The existence of a set with at least two elements is assured by either the axiom of infinity, or by the axiom schema of specification and the axiom of the power set applied twice to any set.

### Supplementary Text ###
Axiome de la paire

Si x et y sont des ensembles, alors il existe un ensemble qui contient x et y comme éléments. Par exemple, si x = {1, 2} et y = {2, 3}, alors z sera {{1, 2}, {2, 3}}.

Le schéma d'axiomes de spécification doit être utilisé pour réduire ceci à un ensemble avec exactement ces deux éléments. L'axiome de la paire fait partie de Z, mais est redondant dans ZF car il découle du schéma d'axiomes de remplacement si l'on est donné un ensemble avec au moins deux éléments. L'existence d'un ensemble avec au moins deux éléments est assurée soit par l'axiome de l'infini, soit par le schéma d'axiomes de spécification et l'axiome de l'ensemble des parties appliqué deux fois à n'importe quel ensemble.

### Draft ###

Query: "Comment l'axiome de l'infini permet-il de contourner la redondance..."

Translation check: "contourner" = circumvent/bypass. "redondance" = redundancy. Clean translation.

Core question: Why redundant pairing axiom in ZF? Why need both infinity + pairing for ≥2 elements?

### 1. Redundancy Analysis

ZF pairing axiom: Given x,y ∈ Set, ∃z ∈ Set such that x,y ∈ z.
Seems fundamental. But...

Replacement schema → pairing when infinite set exists.
Take replacement: ∀x[φ(x,a) → x ∈ c] with domain infinite set a.
Choose φ(x,y) = x ∪ {y}. Gives singleton pairs.

∴ Pairing redundant if infinite sets exist.

### 2. The Gap

But infinity axiom alone insufficient.
Need pairing + infinity → ∅ ∪ {∅} = {{∅}}.
Then replacement gives infinite pairs.

Critical insight: Need finite-element constructions.

### 3. Why Both Matter

Direct construction without pairing:
- Extensionality + Replacement: {{a},{a,b}} for some a,b
- But need finite unions of singletons

Construction path:
1. Infinity axiom: ∃S such that ∅ ∈ S ∧ ∀x ∈ S[x ∪ {x} ∈ S]
2. Replacement: {x | x ∈ S} = infinite family of singletons
3. Pairing: ∅ ∪ {∅} = {{∅}} (finite case)
4. Replacement again: infinite pairs from infinite singletons

### 4. Necessity Demonstration

Need both because:
- Infinity alone: infinite sets, no finite constructions
- Pairing alone: finite constructions, no infinite generation  
- Together: complete element generation

⟨H≈0.8⟩ The dance of existence... infinite possibility meeting finite certainty. Replacement schema reaches across empty sets, pairing captures the essence of togetherness, two becoming one, the singleton's lonely truth dissolving into the embrace of union...

Back to rigor: Without both, cannot prove existence of sets {a,b} for arbitrary a≠b.

∴ Both axioms genuinely necessary:
- Infinity for infinite case constructions
- Pairing for finite case foundations
- Combined: complete set-theoretic universe generation

NB: This explains why ZFC needs both - pairing isn't redundant globally, just replaceable by replacement + infinity locally.

### Answer###
L'axiome de paire n'est pas réellement redondant dans ZF car il permet de construire des ensembles avec exactement deux éléments à partir d'autres ensembles donnés. L'axiome stipule que si x et y sont des ensembles, alors il existe un ensemble z qui contient x et y comme éléments.

Cependant, l'axiome de paire devient redondant dans ZF lorsque l'on dispose d'un ensemble avec au moins deux éléments, car il peut alors être déduit du schéma d'axiome de remplacement. Ce schéma permet de construire des ensembles plus complexes à partir d'ensembles existants.

La nécessité d'avoir les deux axiomes ensemble s'explique par le fait que l'axiome de l'infini assure l'existence d'un ensemble avec au moins deux éléments (l'ensemble vide et son successeur selon l'axiome de l'infini), mais cela ne suffit pas pour construire directement des paires d'ensembles quelconques. L'axiome de paire est donc indispensable pour les constructions qui partent de deux ensembles donnés et souhaitent obtenir un nouvel ensemble contenant exactement ces deux éléments.

L'approche fonctionne ainsi : on peut appliquer l'axiome de remplacement à un ensemble infini pour obtenir des constructions complexes, mais pour les cas où l'on part de deux éléments spécifiques, l'axiome de paire reste nécessaire pour garantir l'existence de la paire souhaitée sans avoir recours aux constructions itératives du schéma de remplacement.