Je comprends pas trop ce qu'il se passe dans cette formule avec les trucs en haut et en bas et tout ça. C'est quoi que ça veut dire quand on met u=x² et après du=2x? Pourquoi on divise par 2 et puis on fait sin quelque chose au final? Je suis perdu avec toutes ces lettres et je sais pas comment faire pour comprendre.
Example 1

Consider the integral: ∫ x cos (x 2 + 1) d x. {\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.} Make the substitution u = x 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} to obtain d u = 2 x d x, {\displaystyle du=2x\ dx,} meaning x d x = 1 2 d u. {\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.} Therefore: ∫ x cos (x 2 + 1) d x = 1 2 ∫ 2 x cos (x 2 + 1) d x = 1 2 ∫ cos u d u = 1 2 sin u + C = 1 2 sin (x 2 + 1) + C, {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}} where C {\displaystyle C} is an arbitrary constant of integration.
Considérons l'intégrale : ∫ 0 2 x √(x² + 1) dx.  Effectuons la substitution u = x² + 1, ce qui donne du = 2x dx, donc x dx = 1/2 du. Par conséquent : ∫ x=0 x=2 x/(√(x²+1)) dx = 1/2 ∫ u=1 u=5 du/√u = 1/2 (2√5 - 2√1) = √5 - 1. Puisque la borne inférieure x = 0 a été remplacée par u = 1, et la borne supérieure x = 2 par 2² + 1 = 5, une transformation en termes de x était inutile.
### Query ###
Je comprends pas trop ce qu'il se passe dans cette formule avec les trucs en haut et en bas et tout ça. C'est quoi que ça veut dire quand on met u=x² et après du=2x? Pourquoi on divise par 2 et puis on fait sin quelque chose au final? Je suis perdu avec toutes ces lettres et je sais pas comment faire pour comprendre.

### Main Text ###
Example 1

Consider the integral: ∫ x cos (x 2 + 1) d x. {\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.} Make the substitution u = x 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} to obtain d u = 2 x d x, {\displaystyle du=2x\ dx,} meaning x d x = 1 2 d u. {\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.} Therefore: ∫ x cos (x 2 + 1) d x = 1 2 ∫ 2 x cos (x 2 + 1) d x = 1 2 ∫ cos u d u = 1 2 sin u + C = 1 2 sin (x 2 + 1) + C, {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}} where C {\displaystyle C} is an arbitrary constant of integration.

### Supplementary Text ###
Considérons l'intégrale : ∫ 0 2 x √(x² + 1) dx.  Effectuons la substitution u = x² + 1, ce qui donne du = 2x dx, donc x dx = 1/2 du. Par conséquent : ∫ x=0 x=2 x/(√(x²+1)) dx = 1/2 ∫ u=1 u=5 du/√u = 1/2 (2√5 - 2√1) = √5 - 1. Puisque la borne inférieure x = 0 a été remplacée par u = 1, et la borne supérieure x = 2 par 2² + 1 = 5, une transformation en termes de x était inutile.

### Draft ###

Query: "Je comprends pas trop... trucs en haut et en bas... u=x² et après du=2x... Pourquoi on divise par 2... sin quelque chose au final?"

→ Translation: "I don't get what happens in this formula with stuff on top and bottom... why divide by 2... sin something in the end?"

Classic integration technique question. Missing context suggests user sees final answer without derivation.

**Core issue**: Substitution method mechanics unclear.

### 1. Substitution Basics

∫[f(g(x)) · g'(x)]dx = ∫f(u)du where u = g(x)

Standard pattern:
- Identify inner function g(x) 
- Set u = g(x)
- Compute du/dx = g'(x)
- Rewrite integrand in terms of u
- Evaluate integral
- Back-substitute

### 2. Concrete Example

∫x·cos(x² + 1)dx

Let u = x² + 1. Then:
- du/dx = 2x
- du = 2x dx
- x dx = (1/2)du

**Key insight**: User confused about 2x → (1/2)du step.

Rewrite: ∫x·cos(x² + 1) · (1/2) · (2x dx) = (1/2)∫cos(u)du

### 3. Why Divide by 2?

Dimensional analysis:
- Original: x·cos(x² + 1) · x dx = x²·cos(u) · dx
- Substitution: x² = u, so x²·cos(u) · (1/2)du
- Factor out 1/2: (1/2)(2x²·cos(u)du) = (1/2)∫2x²·cos(udu)

**Alternative view**: The 2x² comes from chain rule of cos(u²), but factoring makes integration cleaner.

### 4. Sin(u) Explanation  

∫cos(u)du = sin(u) + C

Standard trigonometric integral. No magic - just the antiderivative of cosine.

**Back-substitution**: sin(u) = sin(x² + 1)

Final answer: (1/2)sin(x² + 1) + C

### 5. Missing Steps in Original

User likely saw: ∫x·cos(x² + 1)dx → u-substitution → (1/2)sin(u) + C → ?

**Critical gap**: (1/2)sin(u) needs u = x² + 1 substitution to complete.

∴ Original response correctly shows entire derivation path.

**Translation accuracy**: "trucs en haut et en bas" = "stuff on top and bottom" (fractional representation of integral). "sin quelque chose" = "sin something" (placeholder for final function).

**Answer structure**: Substitution mechanics → why divide by 2 → trigonometric evaluation → back-substitution.

Dense mathematical content requiring step-by-step explanation rather than direct lookup.

### Answer###
Cette formule utilise une technique d'intégration appelée changement de variable (ou substitution). Quand on voit "u=x² et après du=2x", cela signifie qu'on remplace x² par u dans l'intégrale.

Dans l'exemple ∫ x cos(x² + 1) dx, on effectue le changement u = x² + 1. Cela nous donne du = 2x dx, ce qui veut dire que 2x dx est remplacé par du. 

Pourquoi diviser par 2 ? La raison principale est que x dx devient 1/2 du. On fait cette transformation pour simplifier l'intégrale : au lieu d'avoir x cos(x² + 1) multiplié par 2x dx, on obtient simplement cos(u) multiplié par 1/2 du.

L'étape du sin arrive parce que l'intégrale de cos(u) est sin(u). Donc ∫ cos u du = sin u + C.

Finalement, on remplace u par sa valeur d'origine (x² + 1) pour obtenir le résultat final : 1/2 sin(x² + 1) + C.

Cette méthode fonctionne parce que les substitutions transforment une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à calculer directement.