Si je dois vérifier si un grand nombre à 10 chiffres est divisible par 3, est-ce que j'obtiendrai un résultat plus rapide en appliquant la règle de divisibilité ou en faisant la division ?
A divisibility rule is a shorthand and useful way of determining whether a given integer is divisible by a fixed divisor without performing the division, usually by examining its digits. Although there are divisibility tests for numbers in any radix, or base, and they are all different, this article presents rules and examples only for decimal, or base 10, numbers. Martin Gardner explained and popularized these rules in his September 1962 "Mathematical Games" column in Scientific American.
Règle de divisibilité généralisée

Pour tester la divisibilité par D, où D se termine par 1, 3, 7 ou 9, la méthode suivante peut être utilisée. Trouvez un multiple de D se terminant par 9. (Si D se termine respectivement par 1, 3, 7 ou 9, multipliez par 9, 3, 7 ou 1). Ensuite, ajoutez 1 et divisez par 10, en désignant le résultat par m. Alors, un nombre N = 10t + q est divisible par D si et seulement si mq + t est divisible par D. Si le nombre est trop grand, vous pouvez également le décomposer en plusieurs chaînes de *e* chiffres chacune, satisfaisant soit 10 ≡ 1 (mod D) soit 10 ≡ -1 (mod D). La somme (ou la somme alternée) des nombres a la même divisibilité que l'original.

Par exemple, pour déterminer si 913 = 10×91 + 3 est divisible par 11, trouvez que m = (11×9+1)÷10 = 10. Ensuite, mq+t = 10×3+91 = 121 ; ceci est divisible par 11 (avec quotient 11), donc 913 est également divisible par 11. Comme autre exemple, pour déterminer si 689 = 10×68 + 9 est divisible par 53, trouvez que m = (53×3+1)÷10 = 16. Ensuite, mq+t = 16×9 + 68 = 212, ce qui est divisible par 53 (avec quotient 4) ; donc 689 est également divisible par 53.

Alternativement, tout nombre Q = 10c + d est divisible par n = 10a + b, tel que pgcd(n, 2, 5) = 1, si c + D(n)d = An pour un certain entier A, où : D(n) ≡ { 9a + 1, si n = 10a+1 3 a + 1, si n = 10a+3 7 a + 5, si n = 10a+7 a + 1, si n = 10a+9 {\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\ }

Les premiers termes de la suite, générée par D(n), sont 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (suite A333448 dans OEIS).

La forme piecewise de D(n) et la suite qu'elle génère ont été publiées pour la première fois par le mathématicien bulgare Ivan Stoykov en mars 2020.
### Query ###
Si je dois vérifier si un grand nombre à 10 chiffres est divisible par 3, est-ce que j'obtiendrai un résultat plus rapide en appliquant la règle de divisibilité ou en faisant la division ?

### Main Text ###
A divisibility rule is a shorthand and useful way of determining whether a given integer is divisible by a fixed divisor without performing the division, usually by examining its digits. Although there are divisibility tests for numbers in any radix, or base, and they are all different, this article presents rules and examples only for decimal, or base 10, numbers. Martin Gardner explained and popularized these rules in his September 1962 "Mathematical Games" column in Scientific American.

### Supplementary Text ###
Règle de divisibilité généralisée

Pour tester la divisibilité par D, où D se termine par 1, 3, 7 ou 9, la méthode suivante peut être utilisée. Trouvez un multiple de D se terminant par 9. (Si D se termine respectivement par 1, 3, 7 ou 9, multipliez par 9, 3, 7 ou 1). Ensuite, ajoutez 1 et divisez par 10, en désignant le résultat par m. Alors, un nombre N = 10t + q est divisible par D si et seulement si mq + t est divisible par D. Si le nombre est trop grand, vous pouvez également le décomposer en plusieurs chaînes de *e* chiffres chacune, satisfaisant soit 10 ≡ 1 (mod D) soit 10 ≡ -1 (mod D). La somme (ou la somme alternée) des nombres a la même divisibilité que l'original.

Par exemple, pour déterminer si 913 = 10×91 + 3 est divisible par 11, trouvez que m = (11×9+1)÷10 = 10. Ensuite, mq+t = 10×3+91 = 121 ; ceci est divisible par 11 (avec quotient 11), donc 913 est également divisible par 11. Comme autre exemple, pour déterminer si 689 = 10×68 + 9 est divisible par 53, trouvez que m = (53×3+1)÷10 = 16. Ensuite, mq+t = 16×9 + 68 = 212, ce qui est divisible par 53 (avec quotient 4) ; donc 689 est également divisible par 53.

Alternativement, tout nombre Q = 10c + d est divisible par n = 10a + b, tel que pgcd(n, 2, 5) = 1, si c + D(n)d = An pour un certain entier A, où : D(n) ≡ { 9a + 1, si n = 10a+1 3 a + 1, si n = 10a+3 7 a + 5, si n = 10a+7 a + 1, si n = 10a+9 {\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\ }

Les premiers termes de la suite, générée par D(n), sont 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (suite A333448 dans OEIS).

La forme piecewise de D(n) et la suite qu'elle génère ont été publiées pour la première fois par le mathématicien bulgare Ivan Stoykov en mars 2020.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si je dois vérifier si un grand nombre à 10 chiffres est divisible par 3"

Key elements:
- Large 10-digit number → computational cost consideration
- Divisibility by 3 → well-known rule available
- Speed comparison: rule vs division

Translation straightforward. Core question: efficiency tradeoff between algorithmic shortcut vs full computation.

### 2. Divisibility Rule Analysis

3-divisibility rule: sum digits, check divisibility.

For 10-digit number abcdefghij:
- Rule: a + b + c + d + e + f + g + h + i + j ≡ 0 (mod 3)
- Cost: O(1) - constant operations
- No division needed

vs.

- Direct division: O(n) where n ≈ 10 digits
- Full arithmetic computation required

→ Rule clearly faster for verification step.

### 3. Computational Complexity

Direct division:
- 10-digit number → ~10 arithmetic operations
- Potential carry propagation
- Full precision required

Divisibility check:
- 10 additions → O(10) 
- Single mod 3 operation
- No carry handling

∴ Rule wins decisively for verification.

### 4. Practical Considerations

? What if number too large to fit in registers?

Decomposition strategy:
- Break into smaller chunks
- Apply rule to each chunk
- Combine results

Example: 1234567890
- Check 123 + 456 + 789 = 1368 
- 1 + 3 + 6 + 8 = 18 ÷ 3 = 0 ✓

Same principle as D(n) method mentioned in response.

### 5. Conclusion

Rule application consistently faster:
- Verification: O(1) vs O(n)
- Memory: constant vs variable
- Accuracy: same result guaranteed

Only if you need quotient itself would division be necessary.

※ Response correctly identifies this as straightforward mathematical comparison - no complex reasoning required.

### Answer###
Pour vérifier la divisibilité d'un nombre à 10 chiffres par 3, l'application de la règle de divisibilité sera effectivement beaucoup plus rapide que la division entière.

La règle de divisibilité pour 3 repose sur le principe que la somme des chiffres du nombre doit être divisible par 3. Pour un nombre de 10 chiffres, cela implique simplement d'additionner tous les chiffres et de vérifier si le résultat est divisible par 3. Cette opération nécessite quelques additions arithmétiques et une seule vérification finale, ce qui est considérablement plus rapide que de réaliser la division complète.

Si le nombre est très grand ou difficile à manipuler directement, vous pouvez le décomposer en chaînes de chiffres plus petites et appliquer la règle de divisibilité à chaque partie séparément. La somme (ou somme alternée) des résultats de chaque portion aura la même divisibilité par 3 que le nombre original.

Contrairement à la division entière, qui nécessiterait un calcul arithmétique complet, l'application de cette règle permet une vérification rapide sans avoir à effectuer l'opération de division proprement dite.