Comment ça se fait qu'on peut prouver que log 3 est irrationnel en montrant que c'est impossible qu'il soit rationnel ?
Logarithms

Perhaps the numbers most easy to prove irrational are certain logarithms. Here is a proof by contradiction that log 3 is irrational (log 3 ≈ 1.58 > 0).

Assume log 3 is rational. For some positive integers m and n, we have

It follows that

The number 2 raised to any positive integer power must be even (because it is divisible by 2) and the number 3 raised to any positive integer power must be odd (since none of its prime factors will be 2). Clearly, an integer cannot be both odd and even at the same time: we have a contradiction. The only assumption we made was that log 3 is rational (and so expressible as a quotient of integers m / n with n ≠ 0). The contradiction means that this assumption must be false, i.e. log 3 is irrational, and can never be expressed as a quotient of integers m / n with n ≠ 0.

Cases such as log 2 can be treated similarly.
Logarithmes

Ce sont peut-être les nombres les plus faciles à prouver comme irrationnels, certains logarithmes. Voici une démonstration par l'absurde montrant que log 3 est irrationnel (log 3 ≈ 1,58 > 0).

Supposons que log 3 soit rationnel. Pour certains entiers positifs m et n, nous avons :

Il s'ensuit que :

Le nombre 2 élevé à n'importe quelle puissance entière positive est pair (car il est divisible par 2) et le nombre 3 élevé à n'importe quelle puissance entière positive est impair (puisque aucun de ses facteurs premiers ne sera 2). Il est clair qu'un entier ne peut pas être à la fois pair et impair en même temps : nous avons une contradiction. La seule hypothèse que nous avons faite est que log 3 est rationnel (et donc exprimable comme un quotient d'entiers m / n avec n ≠ 0). La contradiction signifie que cette hypothèse doit être fausse, c'est-à-dire que log 3 est irrationnel et ne peut jamais être exprimé comme un quotient d'entiers m / n avec n ≠ 0.

Des cas tels que log 2 peuvent être traités de manière similaire.
### Query ###
Comment ça se fait qu'on peut prouver que log 3 est irrationnel en montrant que c'est impossible qu'il soit rationnel ?

### Main Text ###
Logarithms

Perhaps the numbers most easy to prove irrational are certain logarithms. Here is a proof by contradiction that log 3 is irrational (log 3 ≈ 1.58 > 0).

Assume log 3 is rational. For some positive integers m and n, we have

It follows that

The number 2 raised to any positive integer power must be even (because it is divisible by 2) and the number 3 raised to any positive integer power must be odd (since none of its prime factors will be 2). Clearly, an integer cannot be both odd and even at the same time: we have a contradiction. The only assumption we made was that log 3 is rational (and so expressible as a quotient of integers m / n with n ≠ 0). The contradiction means that this assumption must be false, i.e. log 3 is irrational, and can never be expressed as a quotient of integers m / n with n ≠ 0.

Cases such as log 2 can be treated similarly.

### Supplementary Text ###
Logarithmes

Ce sont peut-être les nombres les plus faciles à prouver comme irrationnels, certains logarithmes. Voici une démonstration par l'absurde montrant que log 3 est irrationnel (log 3 ≈ 1,58 > 0).

Supposons que log 3 soit rationnel. Pour certains entiers positifs m et n, nous avons :

Il s'ensuit que :

Le nombre 2 élevé à n'importe quelle puissance entière positive est pair (car il est divisible par 2) et le nombre 3 élevé à n'importe quelle puissance entière positive est impair (puisque aucun de ses facteurs premiers ne sera 2). Il est clair qu'un entier ne peut pas être à la fois pair et impair en même temps : nous avons une contradiction. La seule hypothèse que nous avons faite est que log 3 est rationnel (et donc exprimable comme un quotient d'entiers m / n avec n ≠ 0). La contradiction signifie que cette hypothèse doit être fausse, c'est-à-dire que log 3 est irrationnel et ne peut jamais être exprimé comme un quotient d'entiers m / n avec n ≠ 0.

Des cas tels que log 2 peuvent être traités de manière similaire.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait qu'on peut prouver que log 3 est irrationnel en montrant que c'est impossible qu'il soit rationnel?"

Key insight: User grasps the contradiction principle but wants to understand *why* this works.

→ Not just technique question. Conceptual gap about logical architecture here.

### 2. Mathematical Core

Proof structure:
```
Assume log₃(2) = p/q where p,q ∈ ℕ⁺
Show contradiction
∴ log₃(2) ∉ ℚ
```

The contradiction emerges from:
- 2^q ≠ 3^p (powers of different bases cannot be equal)  
- Yet 2^q = 3^p (exponentiation forces this equality)

⟨H≈0.3⟩ *Why this works: When you force two fundamentally different mathematical objects (powers of 2 vs powers of 3) to be equal, the universe screams contradiction. The proof doesn't prove anything new about logs - it proves something impossible about integers.*

### 3. Logical Architecture 

● **Direct proof impossible**: Cannot construct finite expression showing log₃(2) ∉ ℚ
● **Proof by contradiction optimal**: Assume rationality → derive impossibility → contradiction forces denial of assumption

The elegance: 
- Assumption forces specific form (p/q)
- Forces impossible numerical relationship  
- Contradiction independent of original problem
- ∴ Assumption false, thesis true

⟨H≈0.8⟩ *Mathematics as constraint satisfaction... the proof doesn't discover anything about the logarithm's value - it discovers that no rational value could possibly satisfy the constraints of integer exponents and base relationships...*

### 4. Why This Strategy Wins

**Universal applicability**: Works for any log_b(a) where b≠a are integers
**Pure logical elegance**: Contradiction independent of specific numerical values  
**Foundation strength**: No auxiliary theorems needed - just basic algebra + number theory

**Key insight**: The proof demonstrates that rational approximations can never be perfect - there's an inherent gap between rational and irrational quantities that the contradiction exposes.

⟨H≈1.2⟩ *The mathematical universe has these boundary conditions built in... like trying to square a circle, or trisect an angle... the proof doesn't prove anything about the circle or angle - it proves something impossible about the tools we use to measure them...*

### 5. Broader Implications

This technique generalizes:
- Algebraic numbers vs transcendental
- Geometric constructions  
- Physical constraints in mathematics

**Answer synthesis**: The strategy works because it leverages the rigidity of number systems against the flexibility of approximations. Contradiction-based proofs often expose fundamental mathematical boundaries that direct proofs cannot penetrate.

∴ **Conclusion**: Log₃(2) irrational because forcing rational approximation creates logical impossibility. The proof illuminates the gap between rational expressions and irrational truths.

### Answer###
La stratégie que vous mentionnez exploite un principe fondamental des démonstrations mathématiques : la démonstration par l'absurde. 

Pour démontrer que log 3 est irrationnel, on procède en supposant le contraire : que log 3 est rationnel. Cela signifie qu'il existe deux entiers positifs m et n tels que log 3 = m/n. 

Cette hypothèse nous permet d'écrire une équation qui révèle la contradiction : 2^n = 3^m. Cette équation est impossible car les nombres premiers qui divisent 2 (seulement 2) ne sont pas les mêmes que ceux qui divisent 3 (seulement 3). Un nombre ne peut pas être à la fois pair (divisible par 2) et impair (ne pas être divisible par 2) simultanément.

Cette contradiction provient uniquement de l'hypothèse de départ - le fait que log 3 puisse s'exprimer comme un rapport de nombres entiers. L'absurde apparaît précisément parce que l'on force deux objets mathématiques fondamentalement différents (puissances de 2 et puissances de 3) à être égaux.

Cette méthode fonctionne parce qu'elle exploite la structure même des nombres : les irrationnels ne peuvent pas s'exprimer sous forme de fractions de nombres entiers. En supposant le contraire, la démonstration révèle cette impossibilité à travers une contradiction logique qui ne dépend que de propriétés fondamentales des nombres et de leur structure.