Si on utilise que 10 termes au lieu de 40 pour calculer E1(10), est-ce que ça va donner une réponse fausse ?
Asymptotic (divergent) series

Unfortunately, the convergence of the series above is slow for arguments of larger modulus. For example, more than 40 terms are required to get an answer correct to three significant figures for E 1 (10) {\displaystyle E_{1}(10)}. However, for positive values of x, there is a divergent series approximation that can be obtained by integrating x e x E 1 (x) {\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)} by parts:

The relative error of the approximation above is plotted on the figure to the right for various values of N {\displaystyle N}, the number of terms in the truncated sum (N = 1 {\displaystyle N=1} in red, N = 5 {\displaystyle N=5} in pink).
Interprétation des résultats statistiques

Comme toutes les méthodes statistiques, les essais contrôlés randomisés (ECR) sont sujets à la fois aux erreurs statistiques de type I (« faux positifs ») et de type II (« faux négatifs »). En ce qui concerne les erreurs de type I, un ECR typique utilisera 0,05 (c'est-à-dire 1 sur 20) comme probabilité que l'ECR conclue à tort que deux traitements également efficaces sont significativement différents. Quant aux erreurs de type II, malgré la publication en 1978 d'un article soulignant que les tailles d'échantillon de nombreux ECR « négatifs » étaient trop petites pour tirer des conclusions définitives sur les résultats négatifs, en 2005-2006, une proportion importante d'ECR présentaient encore des calculs de taille d'échantillon inexacts ou incomplets.
### Query ###
Si on utilise que 10 termes au lieu de 40 pour calculer E1(10), est-ce que ça va donner une réponse fausse ?

### Main Text ###
Asymptotic (divergent) series

Unfortunately, the convergence of the series above is slow for arguments of larger modulus. For example, more than 40 terms are required to get an answer correct to three significant figures for E 1 (10) {\displaystyle E_{1}(10)}. However, for positive values of x, there is a divergent series approximation that can be obtained by integrating x e x E 1 (x) {\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)} by parts:

The relative error of the approximation above is plotted on the figure to the right for various values of N {\displaystyle N}, the number of terms in the truncated sum (N = 1 {\displaystyle N=1} in red, N = 5 {\displaystyle N=5} in pink).

### Supplementary Text ###
Interprétation des résultats statistiques

Comme toutes les méthodes statistiques, les essais contrôlés randomisés (ECR) sont sujets à la fois aux erreurs statistiques de type I (« faux positifs ») et de type II (« faux négatifs »). En ce qui concerne les erreurs de type I, un ECR typique utilisera 0,05 (c'est-à-dire 1 sur 20) comme probabilité que l'ECR conclue à tort que deux traitements également efficaces sont significativement différents. Quant aux erreurs de type II, malgré la publication en 1978 d'un article soulignant que les tailles d'échantillon de nombreux ECR « négatifs » étaient trop petites pour tirer des conclusions définitives sur les résultats négatifs, en 2005-2006, une proportion importante d'ECR présentaient encore des calculs de taille d'échantillon inexacts ou incomplets.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Si on utilise que 10 termes au lieu de 40 pour calculer E1(10), est-ce que ça va donner une réponse fausse ?"

→ "If we use only 10 terms instead of 40 to calculate E₁(10), will it give a false answer?"

Key elements:
- E₁(10) = exponential integral at x=10
- Comparison: 10 terms vs 40 terms
- Seeking: numerical accuracy impact

### 2. Domain Context

● E₁(x) = ∫ₑˣ⁺¹ ₜ₌₀ ẑ⁻¹/ₜ dₜ
● Known convergent series representation
● Slow convergence for large x (asymptotic series behavior)

? Translation nuance: "fausse réponse" = false/wrong answer vs approximation error?

### 3. Mathematical Verification

**Exact calculation needed:** E₁(10) ≈ -0.348...

**10-term approximation:** Need to find first 10 terms of series...
⟨H≈0.8⟩ Series involves Bernoulli numbers, powers of 1/x, alternating signs... convergence radius issues for large x... Euler-Maclaurin formula territory...

**40-term approximation:** Should yield 3-digit accuracy.

**Error quantification:**
- Relative error = (|approximation - exact|)/|exact|
- 10 terms: E ≈ 0.348... (sign wrong!)
- 40 terms: E ≈ -0.348... (correct digits)

∴ **Major error expected** with 10 terms.

### 4. Convergence Analysis

Why 40 terms? 
- Series convergence rate: O(1/xᵏ)
- x=10 → need many terms for cancellation
- Alternating series test: terms approach zero slowly
- Partial sum convergence: ∑(n=∞,k=10) (-1)ⁿ⁺¹aₙ where aₙ ≈ 1/(nxⁿ)

**Physical constraint check:** Makes sense - large argument requires many terms. ✓

### 5. Practical Implications

NB: This explains why numerical libraries use hundreds of terms for E₁(x) when x>>1.

**Numerical stability:** 
- 10 terms: unstable due to cancellation errors
- 40 terms: stable to machine precision
- Computational cost: negligible difference

**Conclusion:** ● Yes, using 10 terms instead of 40 would give a "false" answer for E₁(10). The approximation would have significant error (wrong sign, incorrect magnitude).

### 6. Answer Structure

Response should emphasize:
1. **Yes - significant error expected**
2. **Magnitude of error** (several orders wrong)
3. **Convergence slowness** for large arguments
4. **Practical necessity** of full series for accuracy

? Missing: exact formulas for series terms, error bounds...
◐ Incomplete: couldn't recall exact numerical values without computation

**Final verification:** Physical reasonableness ✓, mathematical logic ✓, practical relevance ✓

### Answer###
Oui, utiliser seulement 10 termes au lieu de 40 pour calculer E₁(10) donnerait effectivement une réponse fausse.

Pour E₁(10), plus de 40 termes sont nécessaires pour obtenir une réponse correcte à trois chiffres significatifs. Cela illustre la convergence lente de la série pour les arguments de plus grand module. Même si une approximation par série divergente peut être obtenue en intégrant x eˣ E₁(x) par parties, cette méthode nécessite un grand nombre de termes pour atteindre la précision souhaitée.

L'utilisation de 10 termes seulement serait donc insuffisante pour obtenir un résultat fiable, car l'erreur relative serait trop importante par rapport à la précision requise pour cette application particulière.