Qu'est-ce qui fait que les équations paraboliques diffèrent des équations elliptiques ?
Definition

To define the simplest kind of parabolic PDE, consider a real-valued function u (x, y) {\displaystyle u(x,y)} of two independent real variables, x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. A second-order, linear, constant-coefficient PDE for u {\displaystyle u} takes the form

where the subscripts denote the first- and second-order partial derivatives with respect to x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. The PDE is classified as parabolic if the coefficients of the principal part (i.e. the terms containing the second derivatives of u {\displaystyle u}) satisfy the condition

Usually x {\displaystyle x} represents one-dimensional position and y {\displaystyle y} represents time, and the PDE is solved subject to prescribed initial and boundary conditions. Equations with B 2 − A C < 0 {\displaystyle B^{2}-AC<0} are termed elliptic while those with B 2 − A C > 0 {\displaystyle B^{2}-AC>0} are hyperbolic. The name "parabolic" is used because the assumption on the coefficients is the same as the condition for the analytic geometry equation A x 2 + 2 B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} to define a planar parabola.

The basic example of a parabolic PDE is the one-dimensional heat equation

where u (x, t) {\displaystyle u(x,t)} is the temperature at position x {\displaystyle x} along a thin rod at time t {\displaystyle t} and α {\displaystyle \alpha } is a positive constant called the thermal diffusivity.

The heat equation says, roughly, that temperature at a given time and point rises or falls at a rate proportional to the difference between the temperature at that point and the average temperature near that point. The quantity u x x {\displaystyle u_{xx}} measures how far off the temperature is from satisfying the mean value property of harmonic functions.

The concept of a parabolic PDE can be generalized in several ways.For instance, the flow of heat through a material body is governed by the three-dimensional heat equation

where

denotes the Laplace operator acting on u {\displaystyle u}. This equation is the prototype of a multi-dimensional parabolic PDE.

Noting that − Δ {\displaystyle -\Delta } is an elliptic operator suggests a broader definition of a parabolic PDE:

where L {\displaystyle L} is a second-order elliptic operator (implying that L {\displaystyle L} must be positive;a case where u t = + L u {\displaystyle u_{t}=+Lu} is considered below).

A system of partial differential equations for a vector u {\displaystyle u} can also be parabolic.For example, such a system is hidden in an equation of the form

if the matrix-valued function a (x) {\displaystyle a(x)} has a kernel of dimension 1.
Les équations aux dérivées partielles linéaires d'ordre deux (EDP) sont classées en trois catégories : elliptiques, hyperboliques ou paraboliques. Toute EDP linéaire d'ordre deux en deux variables peut s'écrire sous la forme où A, B, C, D, E, F et G sont des fonctions de x et y, et où u x = ∂ u ∂ x , u x y = ∂² u ∂ x ∂ y et de même pour u x x , u y , u y y . Une EDP écrite sous cette forme est dite elliptique si, avec cette nomenclature inspirée de l'équation d'une ellipse plane. Les équations pour lesquelles B² − A C = 0 sont appelées paraboliques, tandis que celles pour lesquelles B² − A C > 0 sont hyperboliques. Les exemples les plus simples d'EDP elliptiques sont l'équation de Laplace, Δ u = u x x + u y y = 0 , et l'équation de Poisson, Δ u = u x x + u y y = f . En un sens, toute autre EDP elliptique en deux variables peut être considérée comme une généralisation de l'une de ces équations, car elle peut toujours être ramenée à une forme canonique par un changement de variables.
### Query ###
Qu'est-ce qui fait que les équations paraboliques diffèrent des équations elliptiques ?

### Main Text ###
Definition

To define the simplest kind of parabolic PDE, consider a real-valued function u (x, y) {\displaystyle u(x,y)} of two independent real variables, x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. A second-order, linear, constant-coefficient PDE for u {\displaystyle u} takes the form

where the subscripts denote the first- and second-order partial derivatives with respect to x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. The PDE is classified as parabolic if the coefficients of the principal part (i.e. the terms containing the second derivatives of u {\displaystyle u}) satisfy the condition

Usually x {\displaystyle x} represents one-dimensional position and y {\displaystyle y} represents time, and the PDE is solved subject to prescribed initial and boundary conditions. Equations with B 2 − A C < 0 {\displaystyle B^{2}-AC<0} are termed elliptic while those with B 2 − A C > 0 {\displaystyle B^{2}-AC>0} are hyperbolic. The name "parabolic" is used because the assumption on the coefficients is the same as the condition for the analytic geometry equation A x 2 + 2 B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} to define a planar parabola.

The basic example of a parabolic PDE is the one-dimensional heat equation

where u (x, t) {\displaystyle u(x,t)} is the temperature at position x {\displaystyle x} along a thin rod at time t {\displaystyle t} and α {\displaystyle \alpha } is a positive constant called the thermal diffusivity.

The heat equation says, roughly, that temperature at a given time and point rises or falls at a rate proportional to the difference between the temperature at that point and the average temperature near that point. The quantity u x x {\displaystyle u_{xx}} measures how far off the temperature is from satisfying the mean value property of harmonic functions.

The concept of a parabolic PDE can be generalized in several ways.For instance, the flow of heat through a material body is governed by the three-dimensional heat equation

where

denotes the Laplace operator acting on u {\displaystyle u}. This equation is the prototype of a multi-dimensional parabolic PDE.

Noting that − Δ {\displaystyle -\Delta } is an elliptic operator suggests a broader definition of a parabolic PDE:

where L {\displaystyle L} is a second-order elliptic operator (implying that L {\displaystyle L} must be positive;a case where u t = + L u {\displaystyle u_{t}=+Lu} is considered below).

A system of partial differential equations for a vector u {\displaystyle u} can also be parabolic.For example, such a system is hidden in an equation of the form

if the matrix-valued function a (x) {\displaystyle a(x)} has a kernel of dimension 1.

### Supplementary Text ###
Les équations aux dérivées partielles linéaires d'ordre deux (EDP) sont classées en trois catégories : elliptiques, hyperboliques ou paraboliques. Toute EDP linéaire d'ordre deux en deux variables peut s'écrire sous la forme où A, B, C, D, E, F et G sont des fonctions de x et y, et où u x = ∂ u ∂ x , u x y = ∂² u ∂ x ∂ y et de même pour u x x , u y , u y y . Une EDP écrite sous cette forme est dite elliptique si, avec cette nomenclature inspirée de l'équation d'une ellipse plane. Les équations pour lesquelles B² − A C = 0 sont appelées paraboliques, tandis que celles pour lesquelles B² − A C > 0 sont hyperboliques. Les exemples les plus simples d'EDP elliptiques sont l'équation de Laplace, Δ u = u x x + u y y = 0 , et l'équation de Poisson, Δ u = u x x + u y y = f . En un sens, toute autre EDP elliptique en deux variables peut être considérée comme une généralisation de l'une de ces équations, car elle peut toujours être ramenée à une forme canonique par un changement de variables.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"équations paraboliques diffèrent des équations elliptiques" → parabolic vs elliptic PDEs. Core mathematical distinction.

Key terms: "diffèrent" = distinguishing characteristics, not just definitions. User wants *why* and *how*.

? Translation note: "paraboliques" = parabolic, but also "parabolas" - geometric connection crucial.

### 2. Mathematical Foundation

PDE classification via discriminant: B² - 4AC.

Parabolic: B² - 4AC = 0
Elliptic: B² - 4AC < 0  
Hyperbolic: B² - 4AC > 0

● Core criterion well-established in literature
◐ Geometric interpretation needs verification

### 3. Geometric Connection

⟨H≈0.2⟩ Why parabola? Discriminant zero → single axis, degenerate ellipse → parabola. Not coincidence - fundamental.

Second-order linear PDEs in two variables:
```
Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0
```

Parabolic case: B² = 4AC. Characteristic curves become coincident.

→ Geometric intuition: parabolic cross-sections when slicing constant-coefficient surface.

! Key insight: parabolic PDEs have exactly one characteristic direction.

### 4. Physical Interpretation

Heat equation archetypal parabolic: ∂u/∂t = α²∂²u/∂x².

Why parabolic? Temperature diffuses - information propagates along single preferred direction (space/time).

Elliptic case: steady-state diffusion, no temporal evolution.

⟨H≈1⟩ Think heat flow through metal bar. Temperature evens out, smooths out. Parabolic character allows this smoothing process - information loses directional preference, becomes isotropic in space-time.

### 5. Mathematical Implications

Parabolic: Initial-value problems, well-posedness via maximum principle.

Elliptic: Boundary-value problems, harmonic function generalizations.

→ Different mathematical structures emerge naturally from geometric constraint.

### 6. Classification Synthesis

Three types arise from:
1. Discriminant calculation (purely algebraic)
2. Geometric interpretation (parabola = special ellipse)  
3. Physical phenomena (diffusion vs equilibrium)

∴ Classification reflects deeper mathematical unity - parabolic PDEs form coherent subclass with distinct mathematical properties.

※ Remark: B² - 4AC = 0 is invariant under coordinate transformations, confirming intrinsic nature of classification.

Final answer structure: Discriminant → Geometric insight → Physical interpretation → Mathematical consequences.

### Answer###
Les équations aux dérivées partielles linéaires d'ordre deux se distinguent principalement par leur discriminant B² - AC. Les équations paraboliques correspondent au cas où B² - AC = 0, tandis que les équations elliptiques ont B² - AC < 0.

Cette classification découle d'une forme quadratique fondamentale. En géométrie analytique, l'équation A x² + 2Bxy + C y² + D x + E y + F = 0 définit une parabole lorsque B² - AC = 0. Cette correspondance géométrique explique pourquoi ces équations sont qualifiées de "paraboliques" - le nom reflète le fait que la condition sur les coefficients est identique à celle définissant une parabole plane.

Plus précisément, pour une équation aux dérivées partielles linéaires d'ordre deux en deux variables, les termes contenant les dérivées secondes déterminent la classification : si les coefficients satisfont la condition B² - AC = 0, l'équation est parabolique. Cette condition unifie les propriétés analytiques et géométriques de ces équations.

L'exemple le plus fondamental d'équation parabolique est l'équation de la chaleur unidimensionnelle, qui gouverne la propagation de la chaleur dans une barre métallique et illustre cette classification mathématique.