Comment se différencient les intégrales de Riemann propres des intégrales impropres en ce qui concerne les bornes d'intégration ?
Improper integrals

A "proper" Riemann integral assumes the integrand is defined and finite on a closed and bounded interval, bracketed by the limits of integration. An improper integral occurs when one or more of these conditions is not satisfied. In some cases such integrals may be defined by considering the limit of a sequence of proper Riemann integrals on progressively larger intervals.

If the interval is unbounded, for instance at its upper end, then the improper integral is the limit as that endpoint goes to infinity:

If the integrand is only defined or finite on a half-open interval, for instance (a, b ], then again a limit may provide a finite result:

That is, the improper integral is the limit of proper integrals as one endpoint of the interval of integration approaches either a specified real number, or ∞, or −∞. In more complicated cases, limits are required at both endpoints, or at interior points.
Intégrales impropres

Une intégrale de Riemann "propre" suppose que l'intégrande est défini et fini sur un intervalle fermé et borné, encadré par les bornes d'intégration. Une intégrale impropre survient lorsque l'une ou plusieurs de ces conditions n'est pas satisfaite. Dans certains cas, de telles intégrales peuvent être définies en considérant la limite d'une suite d'intégrales de Riemann propres sur des intervalles de plus en plus grands.

Si l'intervalle est non borné, par exemple à son extrémité supérieure, alors l'intégrale impropre est la limite lorsque cette extrémité tend vers l'infini :

Si l'intégrande n'est défini ou fini que sur un intervalle semi-ouvert, par exemple (a, b ], alors à nouveau une limite peut fournir un résultat fini :

C'est-à-dire que l'intégrale impropre est la limite des intégrales propres lorsque l'une des bornes de l'intervalle d'intégration tend vers un nombre réel spécifié, ou vers ∞, ou vers −∞. Dans des cas plus complexes, des limites sont requises aux deux bornes, ou en des points intérieurs.
### Query ###
Comment se différencient les intégrales de Riemann propres des intégrales impropres en ce qui concerne les bornes d'intégration ?

### Main Text ###
Improper integrals

A "proper" Riemann integral assumes the integrand is defined and finite on a closed and bounded interval, bracketed by the limits of integration. An improper integral occurs when one or more of these conditions is not satisfied. In some cases such integrals may be defined by considering the limit of a sequence of proper Riemann integrals on progressively larger intervals.

If the interval is unbounded, for instance at its upper end, then the improper integral is the limit as that endpoint goes to infinity:

If the integrand is only defined or finite on a half-open interval, for instance (a, b ], then again a limit may provide a finite result:

That is, the improper integral is the limit of proper integrals as one endpoint of the interval of integration approaches either a specified real number, or ∞, or −∞. In more complicated cases, limits are required at both endpoints, or at interior points.

### Supplementary Text ###
Intégrales impropres

Une intégrale de Riemann "propre" suppose que l'intégrande est défini et fini sur un intervalle fermé et borné, encadré par les bornes d'intégration. Une intégrale impropre survient lorsque l'une ou plusieurs de ces conditions n'est pas satisfaite. Dans certains cas, de telles intégrales peuvent être définies en considérant la limite d'une suite d'intégrales de Riemann propres sur des intervalles de plus en plus grands.

Si l'intervalle est non borné, par exemple à son extrémité supérieure, alors l'intégrale impropre est la limite lorsque cette extrémité tend vers l'infini :

Si l'intégrande n'est défini ou fini que sur un intervalle semi-ouvert, par exemple (a, b ], alors à nouveau une limite peut fournir un résultat fini :

C'est-à-dire que l'intégrale impropre est la limite des intégrales propres lorsque l'une des bornes de l'intervalle d'intégration tend vers un nombre réel spécifié, ou vers ∞, ou vers −∞. Dans des cas plus complexes, des limites sont requises aux deux bornes, ou en des points intérieurs.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment se différencient les intégrales de Riemann propres des intégrales impropres en ce qui concerne les bornes d'intégration ?"

Key terms: *intégrales propres* vs *impropres* → fundamental distinction in Riemann integration theory.

Focus: integration bounds/limits. French mathematical terminology standard.

### 2. Core Distinction Mapping

**Riemann Proper Integrals:**
- Defined on [a,b] ⊂ ℝ (closed, bounded interval)
- Finite integrand f(x) ∈ ℝ for all x ∈ [a,b]  
- Standard form: ∫ab f(x)dx

**Riemann Improper Integrals:**
- One or more violations of proper conditions
- Two main scenarios:

### 3. Unbounded Interval Case

**Type I:** Infinite upper/lower bounds

Example: ∫∞0 f(x)dx or ∫1-∞ f(x)dx

→ Proper definition requires limit:
∫∞0 f(x)dx = lim(b→∞) ∫b0 f(x)dx

**Key difference:** Proper = finite bounds. Improper = infinite bounds.

### 4. Discontinuous Integrand Case  

**Type II:** Integrand undefined/infinite at endpoint

Example: ∫10 1/x dx

→ Proper definition requires endpoint limit:
∫10 1/x dx = lim(ε→0+) [∫1ε 1/x dx]

**Key difference:** Proper = continuous/bounded integrand. Improper = discontinuity at boundary.

### 5. Mixed Cases

More complex scenarios:
- Limits at both endpoints
- Interior singularity points  
- Oscillatory behavior

**All require:** Limit-based redefinition of convergence.

### 6. Convergence Analysis

Proper integrals: Always finite if conditions satisfied
Improper integrals: May converge/diverge based on limit behavior

**Convergence test:** Evaluate lim(appropriate variable → boundary)

∴ **Fundamental difference:** Proper integrals avoid limit processes by construction. Improper integrals require limit processes for definition.

**Boundary behavior determines classification.**

### Answer###
Les intégrales de Riemann se distinguent fondamentalement en ce qui concerne les bornes d'intégration selon qu'elles sont "propres" ou "impropres".

Dans le cas des intégrales de Riemann propres, l'intégrande est défini et fini sur un intervalle fermé et borné, avec des limites d'intégration bien définies. Ces intégrales ne nécessitent pas de processus limite pour être définies.

Les intégrales impropres, en revanche, se caractérisent par l'une des situations suivantes :

**Bornes d'intégration non bornées** : Lorsque l'intervalle d'intégration est non borné, comme dans le cas d'une borne infinie, l'intégrale impropre est définie comme la limite lorsque cette borne approche l'infini. Par exemple, ∫∞0 f(x)dx = lim(b→∞) ∫b0 f(x)dx.

**Bornes d'intégration semi-ouvertes** : Si l'intégrande n'est défini ou fini que sur un intervalle semi-ouvert, une limite est nécessaire lorsque l'une des bornes approche une valeur réelle spécifiée, ∞, ou -∞. Dans ce cas, l'intégrale impropre correspond à la limite des intégrales propres lorsque la borne d'intégration approche la valeur critique.

**Points singuliers** : Dans les cas plus complexes, des limites peuvent être nécessaires aux deux extrémités de l'intervalle ou en points intérieurs lorsque l'intégrande présente des discontinuités ou des singularités.

La différence essentielle réside donc dans le fait que les intégrales propres évitent ces limites en se contentant d'intervalles bornés et continus, tandis que les intégrales impropres les nécessitent pour être définies rigoureusement.