Est-ce que la contradiction dans la preuve par l'absurde du théorème d'Euclide vient du fait que 1 ne peut pas être divisible par un nombre premier ?
Infinitude of primes

Euclid's theorem states that there are infinitely many primes. In Euclid's Elements the theorem is stated in Book IX, Proposition 20:

Depending on how we formally write the above statement, the usual proof takes either the form of a proof by contradiction or a refutation by contradiction. We present here the former, see below how the proof is done as refutation by contradiction.

If we formally express Euclid's theorem as saying that for every natural number n {\displaystyle n} there is a prime bigger than it, then we employ proof by contradiction, as follows.

Given any number n {\displaystyle n}, we seek to prove that there is a prime larger than n {\displaystyle n}. Suppose to the contrary that no such p exists (an application of proof by contradiction). Then all primes are smaller than or equal to n {\displaystyle n}, and we may form the list p 1, …, p k {\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k}} of them all. Let P = p 1 ⋅ … ⋅ p k {\displaystyle P=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}} be the product of all primes and Q = P + 1 {\displaystyle Q=P+1}. Because Q {\displaystyle Q} is larger than all prime numbers it is not prime, hence it must be divisible by one of them, say p i {\displaystyle p_{i}}. Now both P {\displaystyle P} and Q {\displaystyle Q} are divisible by p i {\displaystyle p_{i}}, hence so is their difference Q − P = 1 {\displaystyle Q-P=1}, but this cannot be because 1 is not divisible by any primes. Hence we have a contradiction and so there is a prime number bigger than n {\displaystyle n}
L'infinité des nombres premiers

Le théorème d'Euclide énonce qu'il existe une infinité de nombres premiers. Dans les Éléments d'Euclide, le théorème est énoncé dans le Livre IX, Proposition 20 :

Selon la manière dont nous formulons formellement l'énoncé ci-dessus, la preuve habituelle prend soit la forme d'une preuve par l'absurde, soit d'une réfutation par l'absurde. Nous présentons ici la première, voir ci-dessous comment la preuve est faite par réfutation par l'absurde.

Si nous exprimons formellement le théorème d'Euclide en disant que pour tout nombre naturel n, il existe un nombre premier plus grand que n, alors nous employons une preuve par l'absurde, comme suit.

Étant donné un nombre n, nous cherchons à prouver qu'il existe un nombre premier plus grand que n. Supposons au contraire qu'un tel p n'existe pas (une application de la preuve par l'absurde). Alors tous les nombres premiers sont inférieurs ou égaux à n, et nous pouvons former la liste p₁, …, pₖ de tous ces nombres premiers. Soit P = p₁ ⋅ … ⋅ pₖ le produit de tous les nombres premiers et Q = P + 1. Puisque Q est plus grand que tous les nombres premiers, il n'est pas premier, et doit donc être divisible par l'un d'eux, disons pᵢ. Maintenant, tant P que Q sont divisibles par pᵢ, donc leur différence Q − P = 1 l'est aussi, mais cela ne peut être car 1 n'est divisible par aucun nombre premier. Nous avons donc une contradiction et il existe un nombre premier plus grand que n.
### Query ###
Est-ce que la contradiction dans la preuve par l'absurde du théorème d'Euclide vient du fait que 1 ne peut pas être divisible par un nombre premier ?

### Main Text ###
Infinitude of primes

Euclid's theorem states that there are infinitely many primes. In Euclid's Elements the theorem is stated in Book IX, Proposition 20:

Depending on how we formally write the above statement, the usual proof takes either the form of a proof by contradiction or a refutation by contradiction. We present here the former, see below how the proof is done as refutation by contradiction.

If we formally express Euclid's theorem as saying that for every natural number n {\displaystyle n} there is a prime bigger than it, then we employ proof by contradiction, as follows.

Given any number n {\displaystyle n}, we seek to prove that there is a prime larger than n {\displaystyle n}. Suppose to the contrary that no such p exists (an application of proof by contradiction). Then all primes are smaller than or equal to n {\displaystyle n}, and we may form the list p 1, …, p k {\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k}} of them all. Let P = p 1 ⋅ … ⋅ p k {\displaystyle P=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}} be the product of all primes and Q = P + 1 {\displaystyle Q=P+1}. Because Q {\displaystyle Q} is larger than all prime numbers it is not prime, hence it must be divisible by one of them, say p i {\displaystyle p_{i}}. Now both P {\displaystyle P} and Q {\displaystyle Q} are divisible by p i {\displaystyle p_{i}}, hence so is their difference Q − P = 1 {\displaystyle Q-P=1}, but this cannot be because 1 is not divisible by any primes. Hence we have a contradiction and so there is a prime number bigger than n {\displaystyle n}

### Supplementary Text ###
L'infinité des nombres premiers

Le théorème d'Euclide énonce qu'il existe une infinité de nombres premiers. Dans les Éléments d'Euclide, le théorème est énoncé dans le Livre IX, Proposition 20 :

Selon la manière dont nous formulons formellement l'énoncé ci-dessus, la preuve habituelle prend soit la forme d'une preuve par l'absurde, soit d'une réfutation par l'absurde. Nous présentons ici la première, voir ci-dessous comment la preuve est faite par réfutation par l'absurde.

Si nous exprimons formellement le théorème d'Euclide en disant que pour tout nombre naturel n, il existe un nombre premier plus grand que n, alors nous employons une preuve par l'absurde, comme suit.

Étant donné un nombre n, nous cherchons à prouver qu'il existe un nombre premier plus grand que n. Supposons au contraire qu'un tel p n'existe pas (une application de la preuve par l'absurde). Alors tous les nombres premiers sont inférieurs ou égaux à n, et nous pouvons former la liste p₁, …, pₖ de tous ces nombres premiers. Soit P = p₁ ⋅ … ⋅ pₖ le produit de tous les nombres premiers et Q = P + 1. Puisque Q est plus grand que tous les nombres premiers, il n'est pas premier, et doit donc être divisible par l'un d'eux, disons pᵢ. Maintenant, tant P que Q sont divisibles par pᵢ, donc leur différence Q − P = 1 l'est aussi, mais cela ne peut être car 1 n'est divisible par aucun nombre premier. Nous avons donc une contradiction et il existe un nombre premier plus grand que n.

### Draft ###

Query: "Est-ce que la contradiction dans la preuve par l'absurde du théorème d'Euclide vient du fait que 1 ne peut pas être divisible par un nombre premier?"

Translation check: "Is the contradiction in Euclid's proof by contradiction come from the fact that 1 cannot be divided by a prime number?"

→ User asking about fundamental gap in proof structure.

**Core issue identified:** Not about 1's indivisibility. About existence vs. finiteness assumption.

**The actual contradiction:**
- Assume all primes ≤ n
- Form P = p₁×p₂×...×pₖ (all primes ≤ n)  
- Consider Q = P + 1
- Contradiction emerges from: Q divisible by some prime pₖ, yet Q-P = 1, which cannot be divided by any prime

**Key insight:** 1 being indivisible is consequence, not cause of contradiction.

**Structural analysis:**
```
Contradiction chain:
├─ Assume finiteness of primes
├─ List all primes ≤ n  
├─ Form Q = P + 1
└─ Contradiction: Q divisible by pₖ yet Q-P = 1 (indivisible by primes)
```

**The indivisibility of 1 matters because:**
- If 1 were prime, contradiction would vanish
- Q-P = 1 would be divisible by prime 1
- No contradiction → proof fails

**But:** Indivisibility of 1 is *result*, not *source* of contradiction.

**Real source:** Assumption of finite primes leads to contradiction through arithmetic. The indivisibility of 1 emerges as arithmetic consequence, not logical premise.

**∴ Answer:** No. The contradiction stems from the impossibility of finite primes, not from 1's indivisibility. The indivisibility is consequence, not cause.

**Verification:** Swap assumption - if we assume 1 is prime, contradiction vanishes. Arithmetic still works, but logical structure collapses.

**NB:** Common pedagogical confusion. Students often identify 1's properties as the crux, but the proof's power lies in showing even with best possible finite assumption, contradiction persists.

### Answer###
Non, la contradiction dans la preuve par l'absurde du théorème d'Euclide ne provient pas directement du fait que 1 ne peut pas être divisible par un nombre premier. La contradiction émerge d'une manière plus fondamentale de l'hypothèse que tous les nombres premiers sont inférieurs ou égaux à un certain nombre n.

Dans cette preuve, on suppose au contraire qu'il existe un nombre n tel que tous les nombres premiers soient inférieurs ou égaux à n. On forme alors le produit P de tous ces nombres premiers et on considère le nombre Q = P + 1. Le cœur de la contradiction réside dans le fait que Q est plus grand que tous les nombres premiers et doit donc être divisible par au moins un nombre premier, disons pᵢ.

La véritable contradiction apparaît lorsque l'on examine la différence Q - P = 1. Comme Q et P sont tous deux divisibles par pᵢ, leur différence devrait également l'être. Cependant, 1 ne peut pas être divisé par aucun nombre premier, ce qui crée une impossibilité logique.

Le fait que 1 ne soit pas divisible par les nombres premiers est effectivement une conséquence de cette contradiction, mais il n'est pas la cause principale de celle-ci. La source de la contradiction réside dans l'hypothèse fausse que l'on puisse énumérer tous les nombres premiers et dans les propriétés arithmétiques qui en découlent nécessairement.