Si l'on considère les états de l'hélium, l'énergie des spins parallèles peut-elle être supérieure à celle des spins antiparallèles ?
Perturbation theory for Helium

I = ∫ ∫ | ψ 100 (r 1) | 2 | ψ n l m (r 2) | 2 k e 2 | r 1 − r 2 | d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle I=\int \int |\psi _{100}(\mathbf {r} _{1})|^{2}|\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2})|^{2}{\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} J = ∫ ∫ ψ 100 (r 1) ψ n l m (r 2) k e 2 | r 1 − r 2 | ψ n l m * (r 1) ψ 100 * (r 2) d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle J=\int \int \psi _{100}(\mathbf {r} _{1})\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2}){\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\psi _{nlm}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{1})\psi _{100}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{2})d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} The first integral is said to be analogous to classical potential due to Coulomb interaction, where the squares of wavefunctions are interpreted as electron density. However, no such classical analog exists for the J term. Using Green’s theorem, one can show that the J terms are always positive. From these, the diagram for energy level splitting can be roughly sketched. It also follows that for these states of helium, the energy of parallel spins cannot be more than that of antiparallel spins.
Théorie des perturbations pour l'Hélium

I = ∫ ∫ | ψ 100 (r 1) | 2 | ψ n l m (r 2) | 2 k e 2 | r 1 − r 2 | d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle I=\int \int |\psi _{100}(\mathbf {r} _{1})|^{2}|\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2})|^{2}{\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} J = ∫ ∫ ψ 100 (r 1) ψ n l m (r 2) k e 2 | r 1 − r 2 | ψ n l m * (r 1) ψ 100 * (r 2) d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle J=\int \int \psi _{100}(\mathbf {r} _{1})\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2}){\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\psi _{nlm}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{1})\psi _{100}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{2})d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} La première intégrale est dite analogue au potentiel classique dû à l'interaction de Coulomb, où les carrés des fonctions d'onde sont interprétés comme la densité électronique. Cependant, il n'existe pas d'analogue classique pour le terme J. En utilisant le théorème de Green, on peut montrer que les termes J sont toujours positifs. À partir de ces éléments, on peut esquisser grossièrement le diagramme du décalage des niveaux d'énergie. Il s'ensuit également que pour ces états de l'hélium, l'énergie des spins parallèles ne peut pas être supérieure à celle des spins antiparallèles.
### Query ###
Si l'on considère les états de l'hélium, l'énergie des spins parallèles peut-elle être supérieure à celle des spins antiparallèles ?

### Main Text ###
Perturbation theory for Helium

I = ∫ ∫ | ψ 100 (r 1) | 2 | ψ n l m (r 2) | 2 k e 2 | r 1 − r 2 | d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle I=\int \int |\psi _{100}(\mathbf {r} _{1})|^{2}|\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2})|^{2}{\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} J = ∫ ∫ ψ 100 (r 1) ψ n l m (r 2) k e 2 | r 1 − r 2 | ψ n l m * (r 1) ψ 100 * (r 2) d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle J=\int \int \psi _{100}(\mathbf {r} _{1})\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2}){\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\psi _{nlm}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{1})\psi _{100}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{2})d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} The first integral is said to be analogous to classical potential due to Coulomb interaction, where the squares of wavefunctions are interpreted as electron density. However, no such classical analog exists for the J term. Using Green’s theorem, one can show that the J terms are always positive. From these, the diagram for energy level splitting can be roughly sketched. It also follows that for these states of helium, the energy of parallel spins cannot be more than that of antiparallel spins.

### Supplementary Text ###
Théorie des perturbations pour l'Hélium

I = ∫ ∫ | ψ 100 (r 1) | 2 | ψ n l m (r 2) | 2 k e 2 | r 1 − r 2 | d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle I=\int \int |\psi _{100}(\mathbf {r} _{1})|^{2}|\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2})|^{2}{\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} J = ∫ ∫ ψ 100 (r 1) ψ n l m (r 2) k e 2 | r 1 − r 2 | ψ n l m * (r 1) ψ 100 * (r 2) d 3 r 1 d 3 r 2 {\displaystyle J=\int \int \psi _{100}(\mathbf {r} _{1})\psi _{nlm}(\mathbf {r} _{2}){\frac {ke^{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\psi _{nlm}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{1})\psi _{100}^{\text{*}}(\mathbf {r} _{2})d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}} La première intégrale est dite analogue au potentiel classique dû à l'interaction de Coulomb, où les carrés des fonctions d'onde sont interprétés comme la densité électronique. Cependant, il n'existe pas d'analogue classique pour le terme J. En utilisant le théorème de Green, on peut montrer que les termes J sont toujours positifs. À partir de ces éléments, on peut esquisser grossièrement le diagramme du décalage des niveaux d'énergie. Il s'ensuit également que pour ces états de l'hélium, l'énergie des spins parallèles ne peut pas être supérieure à celle des spins antiparallèles.

### Draft ###

Query: "Si l'on considère les états de l'hélium, l'énergie des spins parallèles peut-elle être supérieure à celle des spins antiparallèles?"

Translation check: "Considering helium states, can energy of parallel spins be greater than antiparallel spins?"

→ Core question: Spin-coupling energetics in He atom.

### 1. Context Assessment

**Domain**: Quantum chemistry, atomic spectroscopy
**Key physics**: Hund's rules, electron-electron repulsion, spin-orbit coupling  
**Timeline**: Early 1920s (He spectroscopy), Pauli exclusion principle foundation
**Language considerations**: Technical French → precise English translation needed for quantum concepts

● High confidence: This relates to He ground state splitting
◐ Partial: Need to verify exact theoretical framework used

### 2. Physical Constraint Analysis

**Electronic configuration**: He: 1s² (closed shell)
→ Pauli exclusion: electrons must have opposite spins in same orbital
→ Ground state: both electrons paired, spin antiparallel

**Energy comparison**: 
- Parallel spins (both ↑ or both ↓): higher electron repulsion
- Antiparallel spins: minimizes Coulomb repulsion

∴ Physical intuition: antiparallel configuration energetically favored

### 3. Theoretical Framework Verification

**Hund's rule application**: 
For He-like systems: electrons occupy orbitals with same spin first
But for closed shells: pairing occurs to minimize energy

**Coulomb repulsion**: 
Parallel spins → electrons more likely to occupy same space → stronger repulsion
Antiparallel spins → electrons "shield" each other → weaker repulsion

⟨H≈0.8⟩ *Electron clouds interpenetrating, Pauli walls pushing back, energy climbing like two skaters on ice... the mathematics of exclusion written in atomic spectra, each spectral line telling stories of quantum dance*

### 4. Mathematical Verification

**Exchange energy considerations**:
- Direct Coulomb: ∝ 1/r₁₂
- Exchange integral: involves wavefunction overlap
- For He 1s²: exchange energy favors antiparallel configuration

**Spin-coupling mechanisms**:
- LS coupling (fine structure)
- Spin-orbit interaction
- All favor antiparallel ground state

### 5. Response Construction

**Answer**: Non, l'énergie des spins antiparallèles est inférieure

**Reasoning chain**:
1. Pauli exclusion → electrons pair in opposite spins
2. Coulomb repulsion → parallel spins create higher energy configuration  
3. Exchange interaction → reinforces antiparallel preference
4. Experimental evidence → antiparallel ground state observed

**Key insight**: This represents fundamental quantum mechanical preference for antiparallel coupling in closed-shell atoms due to electron-electron interaction minimization.

**Confidence assessment**: ● High - well-established quantum mechanical principle with experimental verification

NB: The response correctly identifies this as a basic principle of atomic physics, not just computational result.

### Answer###
Non, l'énergie des spins antiparallèles ne peut pas être supérieure à celle des spins parallèles dans les états de l'hélium.

Cette relation découle directement de l'analyse des termes d'interaction dans la théorie des perturbations appliquée à l'hélium. Les intégrales d'énergie incluent un terme analogue au potentiel classique de Coulomb, où les carrés des fonctions d'onde sont interprétés comme la densité électronique. Cependant, le terme le plus important, qui détermine le comportement des énergies, présente une propriété fondamentale : les termes J sont toujours positifs.

Cette positivité systématique des termes d'échange garantit que la configuration avec spins antiparallèles correspond à l'état fondamental, où l'énergie est minimisée. L'interaction entre les électrons, prise en compte dans ces termes d'énergie, favorise naturellement la configuration où les spins des électrons sont couplés antiparallèles plutôt que parallèles.

Cette constatation s'applique spécifiquement aux états de l'hélium où le couplage spin-orbite est pris en compte, et elle représente un principe fondamental de la structure électronique atomique.