Est-ce que je peux utiliser la transformée de Fourier pour calculer la position exacte d'un électron dans une molécule, même si la fonction d'onde n'est pas intégrable ?
Uniform continuity and the Riemann–Lebesgue lemma

The Fourier transform may be defined in some cases for non-integrable functions, but the Fourier transforms of integrable functions have several strong properties.

The Fourier transform f̂ of any integrable function f is uniformly continuous and ‖ f ^ ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}

By the Riemann–Lebesgue lemma, f ^ (ξ) → 0 as | ξ | → ∞. {\displaystyle {\hat {f}}(\xi)\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty.}

However, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} need not be integrable. For example, the Fourier transform of the rectangular function, which is integrable, is the sinc function, which is not Lebesgue integrable, because its improper integrals behave analogously to the alternating harmonic series, in converging to a sum without being absolutely convergent.

It is not generally possible to write the inverse transform as a Lebesgue integral. However, when both f and f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} are integrable, the inverse equality f (x) = ∫ − ∞ ∞ f ^ (ξ) e i 2 π x ξ d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi)e^{i2\pi x\xi }\,d\xi } holds holds for almost every x. As a result, the Fourier transform is injective on L (R).
Visualisation

On peut visualiser le principe d'incertitude en utilisant les fonctions d'onde dans l'espace des positions et l'espace des impulsions pour une particule sans spin et de masse en une dimension.

Plus la fonction d'onde dans l'espace des positions est localisée, plus il est probable de trouver la particule avec des coordonnées de position dans cette région, et par conséquent, la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est moins localisée, de sorte que les composantes d'impulsion possibles de la particule sont plus dispersées. Inversement, plus la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est localisée, plus il est probable de trouver la particule avec ces valeurs de composantes d'impulsion dans cette région, et par conséquent, la fonction d'onde dans l'espace des positions est moins localisée, de sorte que les coordonnées de position que la particule peut occuper sont plus dispersées. Ces fonctions d'onde sont des transformées de Fourier l'une de l'autre : mathématiquement, le principe d'incertitude exprime la relation entre les variables conjuguées dans la transformation.
### Query ###
Est-ce que je peux utiliser la transformée de Fourier pour calculer la position exacte d'un électron dans une molécule, même si la fonction d'onde n'est pas intégrable ?

### Main Text ###
Uniform continuity and the Riemann–Lebesgue lemma

The Fourier transform may be defined in some cases for non-integrable functions, but the Fourier transforms of integrable functions have several strong properties.

The Fourier transform f̂ of any integrable function f is uniformly continuous and ‖ f ^ ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}

By the Riemann–Lebesgue lemma, f ^ (ξ) → 0 as | ξ | → ∞. {\displaystyle {\hat {f}}(\xi)\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty.}

However, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} need not be integrable. For example, the Fourier transform of the rectangular function, which is integrable, is the sinc function, which is not Lebesgue integrable, because its improper integrals behave analogously to the alternating harmonic series, in converging to a sum without being absolutely convergent.

It is not generally possible to write the inverse transform as a Lebesgue integral. However, when both f and f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} are integrable, the inverse equality f (x) = ∫ − ∞ ∞ f ^ (ξ) e i 2 π x ξ d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi)e^{i2\pi x\xi }\,d\xi } holds holds for almost every x. As a result, the Fourier transform is injective on L (R).

### Supplementary Text ###
Visualisation

On peut visualiser le principe d'incertitude en utilisant les fonctions d'onde dans l'espace des positions et l'espace des impulsions pour une particule sans spin et de masse en une dimension.

Plus la fonction d'onde dans l'espace des positions est localisée, plus il est probable de trouver la particule avec des coordonnées de position dans cette région, et par conséquent, la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est moins localisée, de sorte que les composantes d'impulsion possibles de la particule sont plus dispersées. Inversement, plus la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est localisée, plus il est probable de trouver la particule avec ces valeurs de composantes d'impulsion dans cette région, et par conséquent, la fonction d'onde dans l'espace des positions est moins localisée, de sorte que les coordonnées de position que la particule peut occuper sont plus dispersées. Ces fonctions d'onde sont des transformées de Fourier l'une de l'autre : mathématiquement, le principe d'incertitude exprime la relation entre les variables conjuguées dans la transformation.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"calculer la position exacte d'un électron dans une molécule"
→ Exact position calculation for electron in molecule
→ "même si la fonction d'onde n'est pas intégrable"
→ Even if wavefunction non-integrable

Core question: Fourier transform for exact positioning when wavefunctions non-integrable?

### 2. Fundamental Constraint Check

Position measurement problem. ● High confidence.

Classical mechanics: position/momentum uncertainty principle
Quantum mechanics: Heisenberg uncertainty principle  
→ ΔxΔp ≥ ℏ/2

! Key insight: This is mathematical, not just experimental limitation.

Wavefunction integrability irrelevant to uncertainty bounds. These are fundamental.

### 3. Fourier Transform Properties

For integrable functions f:
- ‖f̂‖∞ ≤ ‖f‖₁ (Young's inequality)
- Riemann-Lebesgue lemma: f̂(ξ) → 0 as |ξ| → ∞
- Inversion formula holds almost everywhere

Non-integrable functions? ◐ Partial case analysis needed.

Example: rect function → sinc function
Sinc function non-integrable at infinity
→ Classical "Gibbs phenomenon"

### 4. The Integration Problem

⟨H≈0.8⟩ When wavefunctions aren't integrable... what happens to the Fourier inversion? The integral diverges at infinity, becomes improper. But electrons still have positions. The mathematics breaks down but physics persists. We're in this strange liminal space where the mathematical tools fail yet the physical reality demands explanation. The Fourier transform becomes this ghost operation, haunting the boundary between rigor and approximation... ⟨/H⟩

Mathematical reality check:
- Fourier inversion: f(x) = ∫ f̂(ξ)e^(i2πxξ) dξ
- If f̂ non-integrable → integral improper
- Almost everywhere convergence ≠ exact calculation

### 5. Heisenberg Limitation

Uncertainty principle: σₓ²σᵤᵣ² ≥ ℏ²/4m
This is **independent** of integrability.

∴ Cannot obtain exact position even with perfect wavefunction knowledge.

Fourier transform properties:
- Localized position space → spread momentum space  
- Localized momentum space → spread position space
- This is fundamental, not calculational limitation

### 6. Practical Reality

For real molecules, electronic wavefunctions typically:
- Slater-type orbitals: generally integrable
- Molecular orbitals: often non-integrable at nuclear regions
- But integration domains finite → manageable

! Breakthrough insight: Work in finite domains first.

Approximate eigenfunctions → integrable functions
Extract Fourier properties in finite regions
Apply uncertainty principles locally

### 7. Conclusion

**Cannot calculate exact electron position using Fourier transform** regardless of integrability for two reasons:

1. **Fundamental physics**: Heisenberg uncertainty principle
2. **Mathematical constraints**: Fourier inversion breaks down for non-integrable functions

Even integrable wavefunctions hit Heisenberg wall.
Non-integrable wavefunctions → no exact inversion formula.

However: Fourier analysis still provides **probabilistic position information**. Gives access to:
- Momentum distribution
- Uncertainty quantification  
- Localized region analysis

**Answer**: No, Fourier transform cannot calculate exact electron position. Integrability irrelevant to fundamental quantum limitations.

### Answer###
La transformée de Fourier peut effectivement être utilisée pour analyser la position des électrons dans les molécules, même si certaines complications mathématiques peuvent survenir.

Pour les fonctions d'onde intégrables, la transformée de Fourier présente des propriétés fortes : elle est uniformément continue et vérifie l'inégalité ‖f̂‖∞ ≤ ‖f‖₁. De plus, elle tend vers zéro quand |ξ| tend vers l'infini, ce qui est une propriété importante pour les applications en mécanique quantique.

Cependant, il existe des limitations fondamentales. Même quand à la fois f et f̂ sont intégrables, la formule d'inversion ne tient que pour presque tout x, ce qui ne permet pas un calcul de position exact. Par exemple, la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire, qui est intégrable, donne la fonction sinc, qui n'est pas intégrable de Lebesgue, bien que ses propriétés asymptotiques restent utiles.

Dans le contexte de l'analyse des fonctions d'onde électroniques, la transformée de Fourier lie intrinsèquement l'espace des positions à l'espace des impulsions. Plus une fonction d'onde est localisée dans l'espace des positions, plus sa transformée est dispersée dans l'espace des impulsions, et inversement. Cette relation reflète le principe d'incertitude de Heisenberg et limite la précision avec laquelle on peut déterminer simultanément position et impulsion de l'électron.

Pour les fonctions d'onde non-intégrables, la situation est plus complexe et il peut être difficile d'interpréter directement les résultats de la transformée de Fourier en termes de positions exactes.