Je travaille sur l'optimisation d'algorithmes pour la vérification de l'appartenance à des ensembles de nombres naturels. J'ai identifié un algorithme qui semble pouvoir déterminer si un nombre donné appartient à un ensemble particulier, mais ce processus peut parfois ne pas se terminer pour certains nombres. Comment puis-je déterminer si cet algorithme décrit un ensemble computable, c.e., ou si c'est un ensemble non-computable ? Quels critères techniques devrais-je utiliser pour faire cette distinction ?
In computability theory, a set of natural numbers is called computable, recursive, or decidable if there is an algorithm which takes a number as input, terminates after a finite amount of time (possibly depending on the given number) and correctly decides whether the number belongs to the set or not.

A set which is not computable is called noncomputable or undecidable.

A more general class of sets than the computable ones consists of the computably enumerable (c.e.) sets, also called semidecidable sets. For these sets, it is only required that there is an algorithm that correctly decides when a number is in the set; the algorithm may give no answer (but not the wrong answer) for numbers not in the set.
En théorie de la calculabilité, un ensemble de nombres naturels est appelé computable, récursif ou décidable s'il existe un algorithme qui prend un nombre en entrée, se termine après un temps fini et détermine correctement si le nombre appartient à l'ensemble ou non. Un ensemble qui n'est pas computable est appelé non-computable ou indécidable. Une classe d'ensembles plus générale que les ensembles computables est constituée des ensembles computablement énumérables (c.e.), également appelés ensembles semi-décidables. Pour ces ensembles, il est seulement requis qu'il existe un algorithme qui détermine correctement quand un nombre est dans l'ensemble ; l'algorithme peut ne donner aucune réponse pour les nombres qui n'y sont pas.
### Query ###
Je travaille sur l'optimisation d'algorithmes pour la vérification de l'appartenance à des ensembles de nombres naturels. J'ai identifié un algorithme qui semble pouvoir déterminer si un nombre donné appartient à un ensemble particulier, mais ce processus peut parfois ne pas se terminer pour certains nombres. Comment puis-je déterminer si cet algorithme décrit un ensemble computable, c.e., ou si c'est un ensemble non-computable ? Quels critères techniques devrais-je utiliser pour faire cette distinction ?

### Main Text ###
In computability theory, a set of natural numbers is called computable, recursive, or decidable if there is an algorithm which takes a number as input, terminates after a finite amount of time (possibly depending on the given number) and correctly decides whether the number belongs to the set or not.

A set which is not computable is called noncomputable or undecidable.

A more general class of sets than the computable ones consists of the computably enumerable (c.e.) sets, also called semidecidable sets. For these sets, it is only required that there is an algorithm that correctly decides when a number is in the set; the algorithm may give no answer (but not the wrong answer) for numbers not in the set.

### Supplementary Text ###
En théorie de la calculabilité, un ensemble de nombres naturels est appelé computable, récursif ou décidable s'il existe un algorithme qui prend un nombre en entrée, se termine après un temps fini et détermine correctement si le nombre appartient à l'ensemble ou non. Un ensemble qui n'est pas computable est appelé non-computable ou indécidable. Une classe d'ensembles plus générale que les ensembles computables est constituée des ensembles computablement énumérables (c.e.), également appelés ensembles semi-décidables. Pour ces ensembles, il est seulement requis qu'il existe un algorithme qui détermine correctement quand un nombre est dans l'ensemble ; l'algorithme peut ne donner aucune réponse pour les nombres qui n'y sont pas.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Je travaille sur l'optimisation d'algorithmes..." → User optimizing algorithms for natural number membership verification.

Key issue: "Ce processus peut parfois ne pas se terminer" → Some numbers cause algorithm divergence/non-termination.

Core question: How determine if algorithm describes computable set, computably enumerable (c.e.) set, or non-computable set?

### 2. Algorithmic Classification Framework

**Computable sets** (récursifs/décidables):
- ∀ n ∈ ℕ, algorithm terminates with correct answer YES/NO
- Complete decision procedure exists
- ∴ Both membership and non-membership queries decidable

**Computably enumerable sets** (c.e./semidecidables):  
- Only membership queries decidable
- Algorithm may fail to terminate on non-members (but never false positives)
- ∃ procedure recognizing all members, but not necessarily comprehensive

**Non-computable sets**:
- Neither membership nor non-membership decidable
- No total algorithm exists for complete classification

### 3. Technical Criteria for Classification

**For your specific case:**

Your algorithm's behavior → Pattern analysis needed:

```
Input n:
├─ Terminates correctly: decidable subset
├─ Non-termination on some n: potential c.e. or non-computable
└─ Systematic failure pattern: likely non-computable
```

**Verification strategy:**

☐ Test comprehensive input range
☐ Identify termination/divergence patterns  
☐ Check for total vs partial function behavior

**Key distinction:** 
- If ∀ n, algorithm terminates → Computable
- If ∃ m such that algorithm diverges → Analyze further

**Further investigation paths:**
- Counterexample search (failed cases)
- Complexity bounds analysis
- Reduction to known undecidable problems

### 4. Practical Assessment

**For optimization context:**

If algorithm genuinely computable → Can improve worst-case performance
If c.e. → Can optimize for membership queries only
If non-computable → Fundamental limitations exist

**Recommendation:**
Start with systematic termination testing across diverse input domains. Look for patterns in non-terminating behavior. Compare to known algorithmic paradigms.

**Technical documentation needed:**
- Input domains tested
- Termination behavior tabulation  
- Complexity analysis results
- Potential counterexamples

This framework should enable rigorous classification for your optimization work.

### Answer###
Pour déterminer si votre algorithme décrit un ensemble computable, c.e., ou non-computable, vous devez analyser attentivement son comportement sur différents types d'entrées.

Un ensemble est computable (ou récursif/décidable) si votre algorithme termine toujours après une quantité finie de temps et donne la réponse correcte pour tout nombre naturel donné. Dans ce cas, l'algorithme peut décider avec certitude si un nombre appartient à l'ensemble ou non.

Si votre algorithme ne termine pas pour certains nombres, mais peut quand même décider correctement quand un nombre est dans l'ensemble, alors il pourrait décrire un ensemble computablement énumérable (c.e., semi-décidable). Pour ces ensembles, l'algorithme ne doit pas nécessairement répondre pour les éléments qui ne font pas partie de l'ensemble, mais doit éviter de donner une réponse incorrecte.

Pour les ensembles non-computables ou indécidables, votre algorithme ne peut pas exister car aucun algorithme ne peut résoudre complètement le problème de décision correspondant.

Les critères techniques principaux que vous devriez utiliser incluent :
1. **Comportement sur tous les inputs** : Vérifiez si l'algorithme termine pour chaque nombre naturel
2. **Exactitude** : Assurez-vous que les réponses sont correctes
3. **Totalité** : Pour les ensembles c.e., analysez si l'absence de réponse est justifiée

Cette analyse vous permettra de classifier rigoureusement votre algorithme selon les catégories de calculabilité.