Est-ce que tu peux m'expliquer comment l'énergie cinétique se répartit concrètement entre les différents degrés de liberté quand on a un système à plusieurs dimensions, et comment ça influence la température globale ?
Temperature and kinetic energy

Because the equipartition theorem requires that kinetic energy is partitioned equally, the total kinetic energy is K = D K t = D 2 N m v 2. {\displaystyle K=DK_{\text{t}}={\frac {D}{2}}Nmv^{2}.}
Température et énergie cinétique

Le théorème d'équipartition exige que l'énergie cinétique soit répartie également entre tous les degrés de liberté cinétiques, D. Un gaz monoatomique est axialement symétrique autour de chaque axe spatial, donc D = 3, comprenant le mouvement de translation le long de chaque axe. Un gaz diatomique est axialement symétrique autour d'un seul axe, donc D = 5, comprenant le mouvement de translation le long de trois axes et le mouvement de rotation le long de deux axes. Un gaz polyatomique, comme l'eau, n'est pas radialement symétrique autour de l'un quelconque des axes, ce qui donne D = 6, comprenant 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de liberté de rotation.
### Query ###
Est-ce que tu peux m'expliquer comment l'énergie cinétique se répartit concrètement entre les différents degrés de liberté quand on a un système à plusieurs dimensions, et comment ça influence la température globale ?

### Main Text ###
Temperature and kinetic energy

Because the equipartition theorem requires that kinetic energy is partitioned equally, the total kinetic energy is K = D K t = D 2 N m v 2. {\displaystyle K=DK_{\text{t}}={\frac {D}{2}}Nmv^{2}.}

### Supplementary Text ###
Température et énergie cinétique

Le théorème d'équipartition exige que l'énergie cinétique soit répartie également entre tous les degrés de liberté cinétiques, D. Un gaz monoatomique est axialement symétrique autour de chaque axe spatial, donc D = 3, comprenant le mouvement de translation le long de chaque axe. Un gaz diatomique est axialement symétrique autour d'un seul axe, donc D = 5, comprenant le mouvement de translation le long de trois axes et le mouvement de rotation le long de deux axes. Un gaz polyatomique, comme l'eau, n'est pas radialement symétrique autour de l'un quelconque des axes, ce qui donne D = 6, comprenant 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de liberté de rotation.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"énergie cinétique se répartit concrètement" → concrete distribution mechanisms
"système à plusieurs dimensions" → multi-dimensional systems  
"influence la température globale" → temperature implications

User wants: kinetic energy partitioning + temperature effects. Clear physics question.

### 2. Core Principle

Equipartition theorem foundation:
- Each degree of freedom contributes kT/2 per dimension
- Translational: 3 degrees (x,y,z)  
- Rotational: 2 degrees (for linear molecules)
- Vibrational: 1 degree (at high T)

Total kinetic energy: K = ½mv² = (3/2)kT for monoatomic gases.

### 3. Multi-Dimensional Concrete Mechanics

For N particles: K = ½Nmv² = (3/2)NkT

But wait - "concrètement" suggests microscopic level.

At molecular scale: kinetic energy partitions based on:
- Individual particle velocities (not average)
- Velocity components along each spatial direction
- Rotational/vibrational contributions (molecule-dependent)

→ Temperature emerges from velocity distribution, not from energy "sharing" between particles.

### 4. Temperature Global Influence

Temperature T = (2K)/(3Nk) for ideal gas

Key insight: temperature is intensive property.
- Doesn't matter if system has 1 particle or 10^23
- Same T for same average kinetic energy
- Energy density, not total energy

### 5. Complex Systems

Polyatomic molecules:
- More rotational degrees → higher heat capacity
- Non-spherical molecules → hindered rotation
- Vibrationally excited states → additional contributions

⟨H≈0.8⟩ The dance of molecules in space, each degree of freedom a tiny spring pulling, pushing, rotating... the energy flows like water finding equilibrium, temperature the emergent order from molecular chaos...⟨/H⟩

### 6. Synthesis

Concrete distribution: kinetic energy partitions based on:
1. Translational (3D space)
2. Rotational (molecular geometry)  
3. Vibrational (bond stretching)

Each contributes kT/2 per degree of freedom.

Temperature influence:
- Extensive property (total energy)
- Intensive property (T, P)
- Emergent from kinetic energy distribution
- Independent of system size

∴ Temperature reflects average kinetic energy per degree of freedom, not total energy sharing between particles.

### Answer###
La répartition de l'énergie cinétique dans un système à plusieurs dimensions suit le théorème d'équipartition, selon lequel l'énergie cinétique totale se divise de manière égale entre tous les degrés de liberté cinétiques disponibles.

Pour un système à trois dimensions, chaque particule possède trois degrés de liberté de translation - un mouvement de translation le long de chaque axe spatial. Les molécules diatomiques, étant axialement symétriques autour d'un seul axe, présentent cinq degrés de liberté : les trois mouvements de translation et deux mouvements de rotation autour des deux axes perpendiculaires au mouvement de translation. Les molécules polyatomiques, qui ne sont pas radialement symétriques autour de n'importe quel axe, peuvent posséder jusqu'à six degrés de liberté, incluant trois degrés de liberté de translation et trois degrés de liberté de rotation.

Cette répartition uniforme de l'énergie cinétique entre les différents degrés de liberté contribue directement à la détermination de la température du système. L'énergie cinétique totale s'exprime comme K = (D/2)Nmv², où D représente le nombre total de degrés de liberté.

Cependant, les mécanismes précis de cette distribution énergétique et les effets spécifiques sur la température globale constituent des aspects complexes qui nécessiteraient une analyse plus approfondie des propriétés statistiques des systèmes à plusieurs dimensions pour être pleinement expliqués.