Si une propriété est définie comme constante sur les familles, peut-on déterminer a priori si elle sera invariante sous perturbation ?
Unchanged under perturbation

Thirdly, if one is studying an object which varies in a family, as is common in algebraic geometry and differential geometry, one may ask if the property is unchanged under perturbation (for example, if an object is constant on families or invariant under change of metric).
Bien définie sous une relation d'équivalence

Si ∼ est une relation d'équivalence sur X, et P(x) est une propriété des éléments de X telle que lorsque x ∼ y, P(x) est vraie si P(y) est vraie, alors la propriété P est dite bien définie ou invariante par classe sous la relation ∼.

Un cas particulier fréquent se produit lorsque f est une fonction de X vers un autre ensemble Y ; si x₁ ∼ x₂ implique f(x₁) = f(x₂), alors f est dite un morphisme pour ∼, une invariante par classe sous ∼, ou simplement invariante par ∼. Ceci se produit, par exemple, en théorie des caractères des groupes finis. Ce dernier cas avec la fonction f peut être exprimé par un triangle commutatif. Voir aussi invariant. Certains auteurs utilisent "compatible avec ∼" ou simplement "respecte ∼" à la place de "invariante par ∼".

Plus généralement, une fonction peut faire correspondre des arguments équivalents (sous une relation d'équivalence ∼ₐ) à des valeurs équivalentes (sous une relation d'équivalence ∼ᵦ). Une telle fonction est appelée morphisme de ∼ₐ vers ∼ᵦ.
### Query ###
Si une propriété est définie comme constante sur les familles, peut-on déterminer a priori si elle sera invariante sous perturbation ?

### Main Text ###
Unchanged under perturbation

Thirdly, if one is studying an object which varies in a family, as is common in algebraic geometry and differential geometry, one may ask if the property is unchanged under perturbation (for example, if an object is constant on families or invariant under change of metric).

### Supplementary Text ###
Bien définie sous une relation d'équivalence

Si ∼ est une relation d'équivalence sur X, et P(x) est une propriété des éléments de X telle que lorsque x ∼ y, P(x) est vraie si P(y) est vraie, alors la propriété P est dite bien définie ou invariante par classe sous la relation ∼.

Un cas particulier fréquent se produit lorsque f est une fonction de X vers un autre ensemble Y ; si x₁ ∼ x₂ implique f(x₁) = f(x₂), alors f est dite un morphisme pour ∼, une invariante par classe sous ∼, ou simplement invariante par ∼. Ceci se produit, par exemple, en théorie des caractères des groupes finis. Ce dernier cas avec la fonction f peut être exprimé par un triangle commutatif. Voir aussi invariant. Certains auteurs utilisent "compatible avec ∼" ou simplement "respecte ∼" à la place de "invariante par ∼".

Plus généralement, une fonction peut faire correspondre des arguments équivalents (sous une relation d'équivalence ∼ₐ) à des valeurs équivalentes (sous une relation d'équivalence ∼ᵦ). Une telle fonction est appelée morphisme de ∼ₐ vers ∼ᵦ.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Si une propriété est définie comme constante sur les familles" → Property defined as constant on families.

"peut-on déterminer a priori si elle sera invariante sous perturbation" → Can we a priori determine if it will be invariant under perturbation.

Key logical gap: Constant ≠ Invariant under perturbation. Different concepts.

### 2. Semantic Unpacking

**Constancy on families**: 
- Property P(x) holds uniformly across family F
- ∀ x ∈ F : P(x) = true
- No variation within F

**Invariance under perturbation**:
- Property P(x) unchanged when x slightly varies
- Local stability: P(x+ε) ≈ P(x) for small ε
- Robustness under deformation

### 3. A Priori Determination Problem

Critical issue: Cannot determine invariance from mere constancy.

Counter-examples needed:
- Consider family of circles: constant radius = 1
- Invariant under small perturbations? YES
- But: constant ≠ invariant in general

- Consider family of ellipses with fixed eccentricity
- Constant property: eccentricity = e
- Invariant under perturbation? NO
- Small perturbations change eccentricity

### 4. Logical Implications

If property is invariant → it must be constant on sufficiently small families.

But: 
- Constant property ≠ necessarily invariant
- Local behavior matters
- Perturbation analysis required

### 5. Necessary Conditions

For a priori determination:
- Need perturbation analysis tools
- Need local stability criteria  
- Need comparison with constant families

∴ **Cannot determine** invariance from constancy alone.

### 6. Resolution

Answer: **No**. Cannot determine a priori.

Reasoning:
1. Constant ≠ Invariant under perturbation
2. Requires perturbation analysis
3. Counter-examples exist
4. Local behavior crucial

The question conflates different geometric/topological concepts. True invariance demands robustness under deformation—a property that transcends mere uniform behavior across families.

**Conclusion**: A priori determination impossible. Requires explicit perturbation analysis.

### Answer###
La question de savoir si une propriété constante sur les familles est nécessairement invariante sous perturbation est subtile et ne peut être déterminée de manière générale à l'avance.

Effectivement, lorsqu'une propriété est définie comme constante sur une famille d'objets, cela signifie qu'elle présente un comportement uniforme et non variant au sein de cette famille. Cette constance suggère une certaine stabilité de la propriété face aux variations locales.

Cependant, l'invariance sous perturbation implique une notion plus large de robustesse face aux petits changements ou déformations. Une propriété invariante reste inchangée même lorsque l'objet subit des perturbations mineures.

La distinction entre ces deux concepts—constance sur les familles versus invariance sous perturbation—montre que la première ne garantit pas nécessairement la seconde. Il peut exister des propriétés qui sont constantes sur une famille donnée mais qui se modifient quand on perturbe légèrement les objets de cette famille.

Cette question complexe nécessite généralement une analyse plus approfondie du comportement local des propriétés en question et dépend fortement du contexte mathématique spécifique.