Je travaille sur une étude de fonctions périodiques et j'ai besoin de savoir si les fonctions hyperboliques ont la même période fondamentale que les fonctions trigonométriques ordinaires. Est-ce que la fonction sinus hyperbolique par exemple a une période de 2π comme le sinus ordinaire ?
Hyperbolic functions for complex numbers

Since the exponential function can be defined for any complex argument, we can also extend the definitions of the hyperbolic functions to complex arguments. The functions sinh z and cosh z are then holomorphic.

Relationships to ordinary trigonometric functions are given by Euler's formula for complex numbers: e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}} so: cosh (i x) = 1 2 (e i x + e − i x) = cos x sinh (i x) = 1 2 (e i x − e − i x) = i sin x cosh (x + i y) = cosh (x) cos (y) + i sinh (x) sin (y) sinh (x + i y) = sinh (x) cos (y) + i cosh (x) sin (y) tanh (i x) = i tan x cosh x = cos (i x) sinh x = − i sin (i x) tanh x = − i tan (i x) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}

Thus, hyperbolic functions are periodic with respect to the imaginary component, with period 2 π i {\displaystyle 2\pi i} (π i {\displaystyle \pi i} for hyperbolic tangent and cotangent).
Exemples de nombres réels

La fonction sinus est périodique de période 2π, car

pour toutes les valeurs de x. Cette fonction se répète sur des intervalles de longueur 2π (voir le graphique à droite).

Des exemples courants se présentent lorsque la variable est le temps ; par exemple, les aiguilles d'une horloge ou les phases de la lune montrent un comportement périodique. Un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la (ou les) position(s) du système peuvent être exprimées sous forme de fonctions périodiques, toutes avec la même période.

Pour une fonction définie sur les nombres réels ou sur les entiers, cela signifie que l'ensemble du graphe peut être formé à partir de copies d'une portion particulière, répétée à intervalles réguliers.

Un exemple simple de fonction périodique est la fonction f qui donne la « partie fractionnaire » de son argument. Sa période est 1. En particulier,

le graphe de la fonction f est l'onde en dents de scie.

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont des fonctions périodiques courantes, de période 2π (voir la figure à droite). Le sujet des séries de Fourier étudie l'idée qu'une fonction périodique « arbitraire » peut être exprimée comme une somme de fonctions trigonométriques de périodes correspondantes.

Selon la définition ci-dessus, certaines fonctions exotiques, par exemple la fonction de Dirichlet, sont également périodiques ; dans le cas de la fonction de Dirichlet, tout nombre rationnel non nul est une période.
### Query ###
Je travaille sur une étude de fonctions périodiques et j'ai besoin de savoir si les fonctions hyperboliques ont la même période fondamentale que les fonctions trigonométriques ordinaires. Est-ce que la fonction sinus hyperbolique par exemple a une période de 2π comme le sinus ordinaire ?

### Main Text ###
Hyperbolic functions for complex numbers

Since the exponential function can be defined for any complex argument, we can also extend the definitions of the hyperbolic functions to complex arguments. The functions sinh z and cosh z are then holomorphic.

Relationships to ordinary trigonometric functions are given by Euler's formula for complex numbers: e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}} so: cosh (i x) = 1 2 (e i x + e − i x) = cos x sinh (i x) = 1 2 (e i x − e − i x) = i sin x cosh (x + i y) = cosh (x) cos (y) + i sinh (x) sin (y) sinh (x + i y) = sinh (x) cos (y) + i cosh (x) sin (y) tanh (i x) = i tan x cosh x = cos (i x) sinh x = − i sin (i x) tanh x = − i tan (i x) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}

Thus, hyperbolic functions are periodic with respect to the imaginary component, with period 2 π i {\displaystyle 2\pi i} (π i {\displaystyle \pi i} for hyperbolic tangent and cotangent).

### Supplementary Text ###
Exemples de nombres réels

La fonction sinus est périodique de période 2π, car

pour toutes les valeurs de x. Cette fonction se répète sur des intervalles de longueur 2π (voir le graphique à droite).

Des exemples courants se présentent lorsque la variable est le temps ; par exemple, les aiguilles d'une horloge ou les phases de la lune montrent un comportement périodique. Un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la (ou les) position(s) du système peuvent être exprimées sous forme de fonctions périodiques, toutes avec la même période.

Pour une fonction définie sur les nombres réels ou sur les entiers, cela signifie que l'ensemble du graphe peut être formé à partir de copies d'une portion particulière, répétée à intervalles réguliers.

Un exemple simple de fonction périodique est la fonction f qui donne la « partie fractionnaire » de son argument. Sa période est 1. En particulier,

le graphe de la fonction f est l'onde en dents de scie.

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont des fonctions périodiques courantes, de période 2π (voir la figure à droite). Le sujet des séries de Fourier étudie l'idée qu'une fonction périodique « arbitraire » peut être exprimée comme une somme de fonctions trigonométriques de périodes correspondantes.

Selon la définition ci-dessus, certaines fonctions exotiques, par exemple la fonction de Dirichlet, sont également périodiques ; dans le cas de la fonction de Dirichlet, tout nombre rationnel non nul est une période.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je travaille sur une étude de fonctions périodiques" → periodic function study context.
"même période fondamentale" → fundamental period concept.
"sinus hyperbolique... période de 2π comme le sinus ordinaire" → direct comparison requested.

Key semantic: "période fondamentale" = principal period (not just any period).

### 2. Domain Context

● Hyperbolic functions: sinh(x), cosh(x), tanh(x)
● Trigonometric functions: sin(x), cos(x), tan(x)  
● Periodicity theory: f(x+T) = f(x) for all x

Standard mathematical education. Advanced high school/undergraduate level.

### 3. Core Analysis

**Trigonometric case:**
sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x)
→ 2π is fundamental period
→ Why? Euler's formula connects to unit circle geometry

**Hyperbolic case:**
? sinh(x + T) = sinh(x) for what T?
? cosh(x + T) = cosh(x) for what T?

⟨H≈0.8⟩ Definition recall: sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2, cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2. Exponential functions... periodic? No, they're entire functions. But composition with arithmetic operations... ⟨H≈0.2⟩ 

### 4. Mathematical Verification

**For sinh(x):**
Need T such that sinh(x + T) = sinh(x)

Using definition:
sinh(x + T) = (e^(x+T) - e^(-(x+T)))/2
= (e^x·e^T - e^(-x)·e^(-T))/2
= (e^T - e^(-T))/2 · e^x

→ This equals sinh(x) when e^T = e^(-T)
→ Solving: e^(2T) = 1
→ 2T = 0 + 2πi·n (where n ∈ ℤ)
→ T = πi·n

**∴ sinh(x) has period πi**

**For cosh(x):**
Similar calculation:
cosh(x + T) = (e^(x+T) + e^(-(x+T)))/2
= (e^x·e^T + e^(-x)·e^(-T))/2
= (e^T + e^(-T))/2 · e^x

→ This equals cosh(x) when e^T = e^(-T)
→ Same result: T = πi·n

**∴ cosh(x) has period πi**

### 5. Comparison & Clarification

! Key insight: Hyperbolic functions have **imaginary periods**

Trig functions: period 2π (real)
Hyperbolic functions: period πi (imaginary)

This explains the response confusion in original query. User likely thinking of real periods only.

**Verification:**
- sinh(x + πi) = sinh(x) ✓
- cosh(x + πi) = cosh(x) ✓
- sin(x + 2π) = sin(x) ✓  
- cos(x + 2π) = cos(x) ✓

### 6. Contextual Interpretation

◐ Response mentions "l'axe imaginaire du plan complexe"
● Hyperbolic functions are complex extensions of trig functions
● Euler's formula: e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
● Complex periodicity: f(z + w) = f(z) for all z

**Final answer structure:**
1. State periods: hyperbolic functions have πi period
2. Contrast with trig functions (2π real period)  
3. Explain complex vs real periodicity
4. Connect to Euler's formula

※ The "2πi" mentioned in response is correct for complex periodicity of hyperbolic functions, though somewhat advanced terminology for undergraduate context.

### Answer###
Non, les fonctions hyperboliques n'ont pas la même période fondamentale que les fonctions trigonométriques ordinaires. Plus précisément, les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique ont une période imaginaire de 2πi (ou πi pour la tangente hyperbolique et la cotangente hyperbolique), ce qui les distingue des fonctions trigonométriques ordinaires qui ont une période réelle de 2π.

Cette différence s'explique par le fait que les fonctions hyperboliques sont les extensions complexes des fonctions trigonométriques. La relation entre ces deux familles de fonctions est donnée par les formules d'Euler : e^(ix) = cos(x) + i sin(x) et e^(-ix) = cos(x) - i sin(x).

Pour les fonctions hyperboliques :
- cosh(ix) = cos(x)
- sinh(ix) = i sin(x)

Ces relations montrent que les fonctions hyperboliques sont périodiques par rapport à la composante imaginaire, avec une période de 2πi (πi pour la tangente hyperbolique). Par conséquent, si vous appliquez une translation imaginaire de 2πi (ou πi pour les tangentes) à une fonction hyperbolique, vous obtenez la même fonction.

Cette propriété contraste avec les fonctions trigonométriques ordinaires, où une translation réelle de 2π donne la même fonction.