Qu'est-ce qui se passerait si les joueurs savaient exactement combien de tours ils avaient à jouer dans un dilemme du prisonnier itéré ? Est-ce que ça changerait la manière dont ils coopèrent ?
General strategy

If the iterated prisoner's dilemma is played a finite number of times and both players know this, then the dominant strategy and Nash equilibrium is to defect in all rounds. The proof is inductive: one might as well defect on the last turn, since the opponent will not have a chance to later retaliate. Therefore, both will defect on the last turn. Thus, the player might as well defect on the second-to-last turn, since the opponent will defect on the last no matter what is done, and so on. The same applies if the game length is unknown but has a known upper limit.

For cooperation to emerge between rational players, the number of rounds must be unknown or infinite. In that case, "always defect" may no longer be a dominant strategy. As shown by Robert Aumann in a 1959 paper, rational players repeatedly interacting for indefinitely long games can sustain cooperation. Specifically, a player may be less willing to cooperate if their counterpart did not cooperate many times, which causes disappointment. Conversely, as time elapses, the likelihood of cooperation tends to rise, owing to the establishment of a "tacit agreement" among participating players. In experimental situations, cooperation can occur even when both participants know how many iterations will be played.

According to a 2019 experimental study in the American Economic Review that tested what strategies real-life subjects used in iterated prisoner's dilemma situations with perfect monitoring, the majority of chosen strategies were always to defect, tit-for-tat, and grim trigger. Which strategy the subjects chose depended on the parameters of the game.
Le dilemme du prisonnier itéré

Si deux joueurs jouent au dilemme du prisonnier plusieurs fois de suite, se souviennent des actions précédentes de leur adversaire et sont autorisés à modifier leur stratégie en conséquence, le jeu est appelé dilemme du prisonnier itéré.

En plus de la forme générale ci-dessus, la version itérative requiert également que 2R > T + S, afin d'empêcher une alternance entre coopération et défection qui donnerait une récompense supérieure à la coopération mutuelle.

Le dilemme du prisonnier itéré est fondamental pour certaines théories sur la coopération et la confiance humaines. En supposant que le jeu modélise efficacement les transactions entre deux personnes qui nécessitent de la confiance, le comportement coopératif au sein des populations peut être modélisé par une version multi-joueurs itérée du jeu. En 1975, Grofman et Pool ont estimé le nombre d'articles scientifiques qui lui sont consacrés à plus de 2 000. Le dilemme du prisonnier itéré est également appelé le « jeu paix-guerre ».
### Query ###
Qu'est-ce qui se passerait si les joueurs savaient exactement combien de tours ils avaient à jouer dans un dilemme du prisonnier itéré ? Est-ce que ça changerait la manière dont ils coopèrent ?

### Main Text ###
General strategy

If the iterated prisoner's dilemma is played a finite number of times and both players know this, then the dominant strategy and Nash equilibrium is to defect in all rounds. The proof is inductive: one might as well defect on the last turn, since the opponent will not have a chance to later retaliate. Therefore, both will defect on the last turn. Thus, the player might as well defect on the second-to-last turn, since the opponent will defect on the last no matter what is done, and so on. The same applies if the game length is unknown but has a known upper limit.

For cooperation to emerge between rational players, the number of rounds must be unknown or infinite. In that case, "always defect" may no longer be a dominant strategy. As shown by Robert Aumann in a 1959 paper, rational players repeatedly interacting for indefinitely long games can sustain cooperation. Specifically, a player may be less willing to cooperate if their counterpart did not cooperate many times, which causes disappointment. Conversely, as time elapses, the likelihood of cooperation tends to rise, owing to the establishment of a "tacit agreement" among participating players. In experimental situations, cooperation can occur even when both participants know how many iterations will be played.

According to a 2019 experimental study in the American Economic Review that tested what strategies real-life subjects used in iterated prisoner's dilemma situations with perfect monitoring, the majority of chosen strategies were always to defect, tit-for-tat, and grim trigger. Which strategy the subjects chose depended on the parameters of the game.

### Supplementary Text ###
Le dilemme du prisonnier itéré

Si deux joueurs jouent au dilemme du prisonnier plusieurs fois de suite, se souviennent des actions précédentes de leur adversaire et sont autorisés à modifier leur stratégie en conséquence, le jeu est appelé dilemme du prisonnier itéré.

En plus de la forme générale ci-dessus, la version itérative requiert également que 2R > T + S, afin d'empêcher une alternance entre coopération et défection qui donnerait une récompense supérieure à la coopération mutuelle.

Le dilemme du prisonnier itéré est fondamental pour certaines théories sur la coopération et la confiance humaines. En supposant que le jeu modélise efficacement les transactions entre deux personnes qui nécessitent de la confiance, le comportement coopératif au sein des populations peut être modélisé par une version multi-joueurs itérée du jeu. En 1975, Grofman et Pool ont estimé le nombre d'articles scientifiques qui lui sont consacrés à plus de 2 000. Le dilemme du prisonnier itéré est également appelé le « jeu paix-guerre ».

### Draft ###

Query: "Qu'est-ce qui se passerait si les joueurs savaient exactement combien de tours..."

→ French: "What if players knew exactly how many rounds they had to play in an iterated prisoner's dilemma? Would this change how they cooperate?"

**Core question**: Finite vs infinite horizon effects on cooperation.

### 1. Baseline Theory

Classic result: ● Known finite rounds → always defect optimal.

Proof by backward induction:
- Last round: no retaliation possible → defect
- Round n: expect opponent defects last round → defect  
- Round 1: expect opponent defects round 2 → defect

∴ Full defection is dominant strategy when T > S, R > P, and finite known rounds.

### 2. When Players *Don't* Know Rounds

Key insight: ! Uncertainty creates cooperation possibility.

Infinite/unknown horizon → cooperation can emerge as equilibrium.

Reasoning: 
- No final round guaranteed
- Reputation effects matter indefinitely  
- "Grim trigger" strategies sustainable
- Mutual cooperation payoff >> repeated defection

### 3. Paradox Resolution

But query asks specifically: what if finite rounds *known*?

Experimental evidence: ● Cooperation still occurs despite full information!

**Why?** Several explanations:

1. **Risk pooling**: Players may prefer guaranteed moderate gains (cooperation) vs potential higher but risky gains (defection).

2. **Reciprocity bias**: Humans hardwired for reciprocity - "I helped you, you help me back."

3. **Conditional cooperation**: Strategies like "Tit-for-Tat" adjust dynamically based on opponent's history.

### 4. Strategic Complexity

Finite known game → actually more complex than infinite case:

- Last few rounds: less incentive to cooperate (lower expected future interactions)
- Early rounds: more important for reputation building
- "Graduated" cooperation strategies possible

### 5. Empirical Evidence

Studies show:
- Most subjects don't follow pure defection
- Cooperation rates vary with game structure  
- Parameters like discount rate, communication ability affect outcomes
- Reputation concerns drive behavior

**Key finding**: ◐ Knowing finite rounds doesn't automatically eliminate cooperation - human psychology and strategic sophistication matter more.

### Conclusion

Full knowledge of finite rounds:
- Theoretically → should eliminate cooperation (backward induction)
- Practically → doesn't necessarily do so due to behavioral biases, strategic complexity, and alternative equilibrium concepts.

Cooperation in finite games possible through:
- Risk pooling preferences  
- Reciprocity norms
- Conditional strategy adaptation
- Incomplete information about opponent's true preferences

∴ Strategic interaction much richer than pure game theory predicts.

### Answer###
Si les joueurs connaissaient exactement le nombre de tours qu'ils allaient jouer dans un dilemme du prisonnier itéré, la stratégie dominante et l'équilibre de Nash serait de toujours défectionner à tous les tours. Cette stratégie résulte d'un raisonnement inductif : le joueur peut tout aussi bien défectionner lors du dernier tour, puisque l'adversaire n'aura pas l'opportunité de se venger plus tard. Par conséquent, les deux joueurs défectionneront probablement lors du dernier tour. De même, chacun aura intérêt à défectionner lors de l'avant-dernier tour, en anticipant la défection de l'adversaire au tour final, et ainsi de suite.

Cette situation s'applique également si la durée du jeu n'est pas connue mais a une limite supérieure connue. Dans ce contexte, la coopération ne peut émerger entre joueurs rationnels que si le nombre de tours est inconnu ou infini.

Cependant, paradoxalement, la coopération peut effectivement se produire même lorsque les deux participants connaissent le nombre exact d'itérations qu'ils vont jouer. En réalité, la plupart des stratégies choisies dans les situations expérimentales suivent des comportements variés, incluant la défection systématique, mais aussi des stratégies de type "œil pour œil" ou des déclencheurs sévères.

Les facteurs déterminants de ce comportement incluent le nombre de tours restant, l'histoire des interactions précédentes, et la possibilité de développer des "accords tacites" au fil du temps, ce qui explique pourquoi la coopération peut persister malgré la connaissance complète de la durée du jeu.