Comment cette méthode de résolution par transformation de variables et séparation se compare-t-elle aux approches par séries de puissance pour la détermination de solutions particulières des équations différentielles ordinaires ?
Solution method

In the quotient M (t x, t y) N (t x, t y) = M (x, y) N (x, y) {\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}, we can let t = 1 / x to simplify this quotient to a function f of the single variable y / x:

That is

Introduce the change of variables y = ux; differentiate using the product rule:

This transforms the original differential equation into the separable form

or

which can now be integrated directly: ln x equals the antiderivative of the right-hand side (see ordinary differential equation).
Séparation des variables

Les EDP linéaires peuvent être réduites à des systèmes d'équations différentielles ordinaires grâce à la technique importante de séparation des variables. Cette technique repose sur une caractéristique des solutions d'équations différentielles : si l'on peut trouver une solution qui satisfait l'équation et les conditions aux limites, alors c'est la solution (cela s'applique également aux EDO). Nous supposons, comme ansatz, que la dépendance d'une solution par rapport aux paramètres espace et temps peut être écrite comme un produit de termes qui dépendent chacun d'un seul paramètre, puis nous vérifions si cela peut résoudre le problème.

Dans la méthode de séparation des variables, on réduit une EDP à une EDP en moins de variables, qui est une équation différentielle ordinaire si elle est en une variable – ces dernières sont à leur tour plus faciles à résoudre.

Ceci est possible pour les EDP simples, qui sont appelées équations aux dérivées partielles séparables, et le domaine est généralement un rectangle (un produit d'intervalles). Les EDP séparables correspondent à des matrices diagonales – en considérant "la valeur pour un x fixe" comme une coordonnée, chaque coordonnée peut être comprise séparément.

Ceci se généralise à la méthode des caractéristiques, et est également utilisé dans les transformations intégrales.
### Query ###
Comment cette méthode de résolution par transformation de variables et séparation se compare-t-elle aux approches par séries de puissance pour la détermination de solutions particulières des équations différentielles ordinaires ?

### Main Text ###
Solution method

In the quotient M (t x, t y) N (t x, t y) = M (x, y) N (x, y) {\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}, we can let t = 1 / x to simplify this quotient to a function f of the single variable y / x:

That is

Introduce the change of variables y = ux; differentiate using the product rule:

This transforms the original differential equation into the separable form

or

which can now be integrated directly: ln x equals the antiderivative of the right-hand side (see ordinary differential equation).

### Supplementary Text ###
Séparation des variables

Les EDP linéaires peuvent être réduites à des systèmes d'équations différentielles ordinaires grâce à la technique importante de séparation des variables. Cette technique repose sur une caractéristique des solutions d'équations différentielles : si l'on peut trouver une solution qui satisfait l'équation et les conditions aux limites, alors c'est la solution (cela s'applique également aux EDO). Nous supposons, comme ansatz, que la dépendance d'une solution par rapport aux paramètres espace et temps peut être écrite comme un produit de termes qui dépendent chacun d'un seul paramètre, puis nous vérifions si cela peut résoudre le problème.

Dans la méthode de séparation des variables, on réduit une EDP à une EDP en moins de variables, qui est une équation différentielle ordinaire si elle est en une variable – ces dernières sont à leur tour plus faciles à résoudre.

Ceci est possible pour les EDP simples, qui sont appelées équations aux dérivées partielles séparables, et le domaine est généralement un rectangle (un produit d'intervalles). Les EDP séparables correspondent à des matrices diagonales – en considérant "la valeur pour un x fixe" comme une coordonnée, chaque coordonnée peut être comprise séparément.

Ceci se généralise à la méthode des caractéristiques, et est également utilisé dans les transformations intégrales.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment cette méthode de résolution par transformation de variables et séparation..."

? Which specific method exactly? Context suggests: variable separation technique for ODEs.

"transformation de variables et séparation" → two distinct mathematical approaches:
- Variable transformation: u(x,y) = v(x)/w(y) or similar substitutions
- Variable separation: ansatz φ(x,y) = X(x)·Y(y)

※ Potential confusion: these often work together, not separate techniques.

### 2. Core Comparison Framework

Power series vs separation methods for obtaining particular solutions.

Power series approach:
- Assume solution form: y(x) = Σ(n=0 to ∞) aₙxⁿ  
- Determine coefficients via recurrence relations
- Works for analytic solutions around ordinary points

Variable separation approach:
- Assume separable form: y(x) = f(x)/g(x) or φ(x,y) = X(x)Y(y)
- Transform to separable ODE: dy/dx = h(x,y) → dy/dx = k₁(x)k₂(y)
- Integrate separately: ∫dy/k₂(y) = ∫k₁(x)dx + C

### 3. Advantages Analysis

Power series method:
● Captures analytic behavior near ordinary points
● Can handle irregular singular points (when careful)  
● Systematic coefficient determination
⚠ Convergence radius limitations
⚠ Computationally intensive for general cases

Variable separation method:
● Direct integration after separation
● Often reveals closed-form solutions
● Natural for certain geometric problems (heat, wave equations)
● Extends easily to PDEs via method of separation of variables
⚠ Requires initial assumption of separability
⚠ May not converge for non-analytic solutions

### 4. Problem Classes

Power series excels for:
- Analytic functions near regular points
- Taylor series expansions
- Differential equations with regular singular points

Variable separation excels for:
- Separable first-order ODEs
- Constant coefficient equations
- Geometric problems with separation of variables
- Systems where variables naturally decouple

### 5. Computational Considerations

Power series:
- Coefficient determination via recurrence
- Symbolic manipulation intensive
- Storage: O(n) coefficients for order n
- Convergence analysis required

Variable separation:
- Direct integration after separation
- Algebraic manipulation dominant
- Storage: minimal (functions X,Y)
- No convergence issues (provided separable)

### 6. Extension Capabilities

Power series → Fourier series, Laplace transforms, asymptotic expansions
Variable separation → Method of characteristics, separation of variables for PDEs

∴ Power series: local analysis, precise but limited range
∴ Variable separation: global solutions, computational efficiency, extends to higher dimensions

NB: Both techniques are complementary - variable separation often precedes or motivates power series expansions. Choice depends on problem structure and desired solution form.

### Answer###
La méthode de séparation des variables représente une approche puissante pour résoudre les équations différentielles ordinaires, particulièrement lorsqu'elles peuvent être écrites sous forme séparable après une transformation de variables appropriée.

Cette technique fonctionne en deux étapes principales : d'abord, on effectue une transformation de variables qui permet de séparer les termes dépendant de x et y dans l'équation différentielle. Par exemple, l'introduction d'une relation comme y = ux transforme une équation non séparable en une forme où les variables peuvent être isolées. Ensuite, on applique la méthode de séparation pure en supposant que la solution peut s'écrire comme un produit de fonctions dépendant chacune d'une seule variable.

Cette approche présente plusieurs avantages significatifs par rapport aux méthodes de séries de puissance. Elle permet une résolution directe et explicite une fois la séparation effectuée, évitant ainsi les calculs itératifs complexes des séries. De plus, elle peut révéler des solutions analytiques closes qui seraient difficiles à obtenir par développement en série.

La méthode de séparation s'étend naturellement aux équations aux dérivées partielles, où elle constitue une technique fondamentale pour réduire des problèmes multidimensionnels à des problèmes unidimensionnels plus simples. Elle correspond mathématiquement à la diagonalisation des problèmes, où chaque variable peut être traitée séparément.

Cependant, cette approche présente des limitations : elle nécessite que l'équation puisse effectivement être séparée, ce qui n'est pas toujours possible pour les équations non linéaires ou présentant des singularités particulières.