Si on s'approche de zéro avec cette fonction, la série va-t-elle continuer à grandir ou arrêter de diverger ?
Divergence

Since Fourier series have such good convergence properties, many are often surprised by some of the negative results. For example, the Fourier series of a continuous T -periodic function need not converge pointwise. The uniform boundedness principle yields a simple non-constructive proof of this fact.

In 1922, Andrey Kolmogorov published an article titled Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout in which he gave an example of a Lebesgue-integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. He later constructed an example of an integrable function whose Fourier series diverges everywhere.

It is possible to give explicit examples of a continuous function whose Fourier series diverges at 0: for instance, the even and 2π-periodic function f defined for all x in by

Because the function is even the Fourier series contains only cosines:

The coefficients are:

As m increases, the coefficients will be positive and increasing until they reach a value of about C m ≈ 2 / (n 2 π) {\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi)} at m = 2 n 3 / 2 {\displaystyle m=2^{n^{3}}/2} for some n and then become negative (starting with a value around − 2 / (n 2 π) {\displaystyle -2/(n^{2}\pi)}) and getting smaller, before starting a new such wave. At x = 0 {\displaystyle x=0} the Fourier series is simply the running sum of C m, {\displaystyle C_{m},} and this builds up to around

in the n th wave before returning to around zero, showing that the series does not converge at zero but reaches higher and higher peaks. Note that though the function is continuous, it is not differentiable.
Analyse

Puisque les points finaux initiaux a et b sont choisis de sorte que f(a) et f(b) ont des signes opposés, à chaque étape, l'un des points finaux se rapprochera d'une racine de f. Si la seconde dérivée de f est de signe constant (donc qu'il n'y a pas de point d'inflexion) dans l'intervalle, alors un point final (celui où f a également le même signe) restera fixe pour toutes les itérations suivantes tandis que le point final convergeant sera mis à jour. En conséquence, contrairement à la méthode de la bissection, la largeur du crochet ne tend pas vers zéro (sauf si le zéro se trouve à un point d'inflexion autour duquel sign(f) = −sign(f ")). Par conséquent, l'approximation linéaire de f(x), qui est utilisée pour choisir la fausse position, ne s'améliore pas aussi rapidement que possible.

Un exemple de ce phénomène est la fonction

sur le crochet initial. L'extrémité gauche, -1, n'est jamais remplacée (elle ne change pas au début et après les trois premières itérations, f" est négative sur l'intervalle) et la largeur du crochet ne tombe donc jamais en dessous de 1. Par conséquent, l'extrémité droite s'approche de 0 à un rythme linéaire (le nombre de chiffres exacts augmente linéairement, avec un taux de convergence de 2/3).

Pour les fonctions discontinues, on ne peut espérer que cette méthode trouve un point où la fonction change de signe (par exemple, à x = 0 pour 1/x ou la fonction signe). En plus des changements de signe, il est également possible que la méthode converge vers un point où la limite de la fonction est nulle, même si la fonction est indéfinie (ou a une autre valeur) à ce point (par exemple, à x = 0 pour la fonction définie par f(x) = abs(x) − x lorsque x ≠ 0 et par f(0) = 5, en commençant par l'intervalle). Il est mathématiquement possible que, avec des fonctions discontinues, la méthode ne converge pas vers une limite nulle ou un changement de signe, mais ce n'est pas un problème en pratique, car cela nécessiterait une séquence infinie de coïncidences pour que les deux points finaux se retrouvent bloqués en convergence vers des discontinuités où le signe ne change pas, par exemple à x = ±1 dans

La méthode de la bissection évite ce problème de convergence hypothétique.
### Query ###
Si on s'approche de zéro avec cette fonction, la série va-t-elle continuer à grandir ou arrêter de diverger ?

### Main Text ###
Divergence

Since Fourier series have such good convergence properties, many are often surprised by some of the negative results. For example, the Fourier series of a continuous T -periodic function need not converge pointwise. The uniform boundedness principle yields a simple non-constructive proof of this fact.

In 1922, Andrey Kolmogorov published an article titled Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout in which he gave an example of a Lebesgue-integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. He later constructed an example of an integrable function whose Fourier series diverges everywhere.

It is possible to give explicit examples of a continuous function whose Fourier series diverges at 0: for instance, the even and 2π-periodic function f defined for all x in by

Because the function is even the Fourier series contains only cosines:

The coefficients are:

As m increases, the coefficients will be positive and increasing until they reach a value of about C m ≈ 2 / (n 2 π) {\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi)} at m = 2 n 3 / 2 {\displaystyle m=2^{n^{3}}/2} for some n and then become negative (starting with a value around − 2 / (n 2 π) {\displaystyle -2/(n^{2}\pi)}) and getting smaller, before starting a new such wave. At x = 0 {\displaystyle x=0} the Fourier series is simply the running sum of C m, {\displaystyle C_{m},} and this builds up to around

in the n th wave before returning to around zero, showing that the series does not converge at zero but reaches higher and higher peaks. Note that though the function is continuous, it is not differentiable.

### Supplementary Text ###
Analyse

Puisque les points finaux initiaux a et b sont choisis de sorte que f(a) et f(b) ont des signes opposés, à chaque étape, l'un des points finaux se rapprochera d'une racine de f. Si la seconde dérivée de f est de signe constant (donc qu'il n'y a pas de point d'inflexion) dans l'intervalle, alors un point final (celui où f a également le même signe) restera fixe pour toutes les itérations suivantes tandis que le point final convergeant sera mis à jour. En conséquence, contrairement à la méthode de la bissection, la largeur du crochet ne tend pas vers zéro (sauf si le zéro se trouve à un point d'inflexion autour duquel sign(f) = −sign(f ")). Par conséquent, l'approximation linéaire de f(x), qui est utilisée pour choisir la fausse position, ne s'améliore pas aussi rapidement que possible.

Un exemple de ce phénomène est la fonction

sur le crochet initial. L'extrémité gauche, -1, n'est jamais remplacée (elle ne change pas au début et après les trois premières itérations, f" est négative sur l'intervalle) et la largeur du crochet ne tombe donc jamais en dessous de 1. Par conséquent, l'extrémité droite s'approche de 0 à un rythme linéaire (le nombre de chiffres exacts augmente linéairement, avec un taux de convergence de 2/3).

Pour les fonctions discontinues, on ne peut espérer que cette méthode trouve un point où la fonction change de signe (par exemple, à x = 0 pour 1/x ou la fonction signe). En plus des changements de signe, il est également possible que la méthode converge vers un point où la limite de la fonction est nulle, même si la fonction est indéfinie (ou a une autre valeur) à ce point (par exemple, à x = 0 pour la fonction définie par f(x) = abs(x) − x lorsque x ≠ 0 et par f(0) = 5, en commençant par l'intervalle). Il est mathématiquement possible que, avec des fonctions discontinues, la méthode ne converge pas vers une limite nulle ou un changement de signe, mais ce n'est pas un problème en pratique, car cela nécessiterait une séquence infinie de coïncidences pour que les deux points finaux se retrouvent bloqués en convergence vers des discontinuités où le signe ne change pas, par exemple à x = ±1 dans

La méthode de la bissection évite ce problème de convergence hypothétique.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on s'approche de zéro..." → "If we approach zero..."

Key phrase: "...cette fonction..." → "this function"

? Which function? Context missing. Assuming standard example from Fourier analysis.

⟨H≈0.8⟩ Zero... the singularity at origin... continuous but nowhere differentiable... fractal-like behavior emerging from smooth approximation... H(x) = 1/2 + 1/π∑(sin(nx)/n) oscillating waves building toward infinity at origin...

● High confidence: User references classic Fourier series divergence example.

### 2. Function Identification

Most likely candidate: H(x) = 1/2 + 1/π∑(sin(nx)/n)

Why this function?
- Continuous at x=0
- Nowhere differentiable  
- Fourier series diverges at origin
- Exhibits oscillatory behavior

∴ The "oscillating waves" description matches exactly.

### 3. Divergence Analysis

At x=0, Fourier series behaves as:

S(0) = 1/2 + 1/π∑(1/n) = ∞ (harmonic series diverges)

But wait. More precisely:

S(0) oscillates between:
- Upper bounds: ≈1/2 + 2/(πn²) at peaks
- Lower bounds: ≈1/2 - 2/(πn²) at valleys

→ Divergence is **oscillatory**, not monotonic growth.

Critical insight: Series grows in waves, each wave ≈ 4/(πn²) higher than previous.

### 4. Convergence vs Divergence

Response claims "la série... ne converge pas à zéro mais atteint des pics de plus en plus élevés"

✓ Correct interpretation: Oscillatory divergence
✓ Peaks grow asymptotically as n increases
✓ No convergence to finite value

⟨H≈0.2⟩ The function captures essence of Fourier paradox - continuous functions with discontinuous derivatives can have divergent Fourier series. Mathematical tension between pointwise convergence and integral properties.

### 5. Verification

Response accuracy: ● High confidence

Matches known properties of:
- Sawtooth wave Fourier series
- Gibbs phenomenon
- Oscillation amplitude increases without bound at origin

∴ Response correctly interprets the mathematical phenomenon.

NB: Original response uses French mathematical terminology appropriately. "Continuer à grandir" = "continue to grow" captures oscillatory behavior correctly.

**Final assessment**: Response provides accurate analysis of classic Fourier series divergence example. The function exhibits oscillatory growth rather than simple divergence - an important distinction for understanding Fourier analysis limitations.

### Answer###
Cette fonction présente effectivement un comportement oscillant et divergent très particulier lorsque l'on s'approche de zéro. Contrairement à ce que l'on pourrait intuitivement penser, la série ne converge pas vers zéro mais atteint des pics de plus en plus élevés.

Le comportement se caractérise par une oscillation continue : la série s'approche de zéro entre chaque pic, mais les pics successifs deviennent de plus en plus hauts. Ce phénomène s'explique par le fait que les coefficients de la série s'organisent en vagues successives, chacune atteignant approximativement une amplitude maximale de 2/(n²π) avant de revenir vers zéro.

Plus précisément, à mesure que m augmente, les coefficients forment des vagues qui se succèdent avec une amplitude croissante jusqu'à environ 2/(n²π) à chaque pic, puis diminuent avant de former une nouvelle vague. Ce processus crée une oscillation qui, en s'approchant de zéro, génère des pics de plus en plus élevés sans jamais converger vers une valeur finie.

Cette situation illustre l'un des paradoxes fondamentaux de l'analyse de Fourier : malgré les très bonnes propriétés de convergence de ces séries, il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en certains points, même en des points où la fonction elle-même est continue.