Pourriez-vous expliquer comment le théorème fondamental de l'algèbre justifie que le nombre de racines complexes d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré ?
In mathematics, a zero of a real-, complex-, or generally vector-valued function f , is a member x of the domain of f such that f vanishes at x ; that is, the function f attains the value of 0 at x , or equivalently, x is a solution to the equation f = 0 . A "zero" of a function is thus an input value that produces an output of 0. A root of a polynomial is a zero of the corresponding polynomial function. The fundamental theorem of algebra shows that any non-zero polynomial has a number of roots at most equal to its degree, and that the number of roots and the degree are equal when one considers the complex roots counted with their multiplicities. For example, the polynomial f of degree two, defined by f = x 2 − 5 x + 6 = has the two roots that are 2 and 3. If the function maps real numbers to real numbers, then its zeros are the x -coordinates of the points where its graph meets the x-axis. An alternative name for such a point in this context is an x -intercept.
Le théorème fondamental de l'algèbre, également appelé théorème de d'Alembert ou théorème de d'Alembert-Gauss, énonce que tout polynôme à une variable non constant avec des coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Cela inclut les polynômes avec des coefficients réels, puisque tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Équivalemment (par définition), le théorème énonce que le corps des nombres complexes est algébriquement clos.

Le théorème est également énoncé comme suit : tout polynôme non nul à une variable de degré n avec des coefficients complexes possède, en comptant les multiplicités, exactement n racines complexes. L'équivalence des deux énoncés peut être prouvée en utilisant des divisions polynomiales successives.

Malgré son nom, il n'est pas fondamental pour l'algèbre moderne ; il a reçu ce nom à une époque où l'algèbre était synonyme de la théorie des équations.
### Query ###
Pourriez-vous expliquer comment le théorème fondamental de l'algèbre justifie que le nombre de racines complexes d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré ?

### Main Text ###
In mathematics, a zero of a real-, complex-, or generally vector-valued function f , is a member x of the domain of f such that f vanishes at x ; that is, the function f attains the value of 0 at x , or equivalently, x is a solution to the equation f = 0 . A "zero" of a function is thus an input value that produces an output of 0. A root of a polynomial is a zero of the corresponding polynomial function. The fundamental theorem of algebra shows that any non-zero polynomial has a number of roots at most equal to its degree, and that the number of roots and the degree are equal when one considers the complex roots counted with their multiplicities. For example, the polynomial f of degree two, defined by f = x 2 − 5 x + 6 = has the two roots that are 2 and 3. If the function maps real numbers to real numbers, then its zeros are the x -coordinates of the points where its graph meets the x-axis. An alternative name for such a point in this context is an x -intercept.

### Supplementary Text ###
Le théorème fondamental de l'algèbre, également appelé théorème de d'Alembert ou théorème de d'Alembert-Gauss, énonce que tout polynôme à une variable non constant avec des coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Cela inclut les polynômes avec des coefficients réels, puisque tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Équivalemment (par définition), le théorème énonce que le corps des nombres complexes est algébriquement clos.

Le théorème est également énoncé comme suit : tout polynôme non nul à une variable de degré n avec des coefficients complexes possède, en comptant les multiplicités, exactement n racines complexes. L'équivalence des deux énoncés peut être prouvée en utilisant des divisions polynomiales successives.

Malgré son nom, il n'est pas fondamental pour l'algèbre moderne ; il a reçu ce nom à une époque où l'algèbre était synonyme de la théorie des équations.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"théorème fondamental de l'algèbre" + "justifie que le nombre de racines complexes d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré"

Key semantic issue: "justifie" → not asking for proof, asking for explanation of WHY the theorem implies this bound.

User wants the logical bridge. Why does fundamental theorem → degree bound?

### 2. Core Theorem Context

Fundamental theorem of algebra: Every non-constant polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

Degree-bound version: Every polynomial of degree n has exactly n complex roots (counting multiplicity).

? Which version does the user mean? Context suggests degree-bound version.

### 3. The Logical Gap

Fundamental theorem alone: P(z) ≠ 0 → ∃c ∈ ℂ : P(c) = 0

This only gives lower bound (≥1 root). How does it imply upper bound (≤degree)?

⟨H≈0.8⟩ The magic happens through repeated application. Find one root → polynomial factors → degree drops by one → repeat until linear → linear has one root. Fundamental theorem guarantees each step succeeds. Like climbing ladder rung by rung. Each use of theorem eliminates one root possibility. ⟨/H⟩

### 4. Proof Structure

**Theorem**: Polynomial P(z) of degree n has at most n complex roots

**Proof sketch**: 
- Fundamental theorem: P(z) has some root c₁ ∈ ℂ
- Polynomial identity: P(z) = (z - c₁)Q₁(z) where Q₁ has degree n-1
- Apply fundamental theorem to Q₁(z): ∃c₂ ∈ ℂ : Q₁(c₂) = 0  
- Identity: Q₁(z) = (z - c₂)Q₂(z) where Q₂ has degree n-2
- Repeat: Q₂(z) = (z - c₃)Q₃(z) where Q₃ has degree n-3
- Continue until: Qₙ₋₁(z) = (z - cₙ)Qₙ(z) = (z - cₙ)

∴ P(z) = (z - c₁)(z - c₂)...(z - cₙ)Qₙ(z)

If P(z) has root a with multiplicity m, then (z - a)ᵐ divides P(z).

But (z - a)ᵐ can only appear if a = cᵢ for some i.

So roots are exactly {c₁, c₂, ..., cₙ}, each counted with multiplicity.

### 5. Why This Structure Works

Fundamental theorem as "generator" + degree-lowering process = complete enumeration.

Each application of fundamental theorem:
- Eliminates one specific root possibility
- Creates new polynomial one degree lower  
- Sets up next application

The theorem "justifies" the bound because:
1. Fundamental theorem guarantees each step can be performed
2. Process terminates after exactly n steps (degree drops from n to 0)
3. Final form shows exactly n factors, each accounting for one root

### 6. Alternative Perspective

Degree-bound theorem can be proven independently. But fundamental theorem provides the "engine" that drives the proof via repeated application.

Fundamental theorem: ∃root
Degree-bound theorem: ∃exactly n roots

The fundamental theorem is the foundational assumption that allows the systematic root-counting process to succeed. Without it, we'd have no guarantee of finding even one root to start the process.

### 7. Answer Synthesis

The degree bound follows from repeated application of the fundamental theorem in a structured factorization process.

**Core mechanism**: Fundamental theorem + systematic polynomial division + degree reduction

**Proof strategy**: 
- Use fundamental theorem to find first root c₁
- Factor out (z - c₁) 
- Apply fundamental theorem to reduced polynomial
- Repeat until linear factor remains
- Count factors = count roots

Each step uses fundamental theorem to guarantee existence of next root, while simultaneously reducing degree until exact count emerges.

**Why it works**: Fundamental theorem provides the "stepping stones" through the proof by guaranteeing that each polynomial of degree ≥1 has a complex root. The degree-bound emerges naturally from this repeated application process.

### Answer###
Le théorème fondamental de l'algèbre établit que tout polynôme non constant à une variable de degré n avec des coefficients complexes possède exactement n racines complexes, en comptant les multiplicités. Cette formulation directe explique pourquoi le nombre de racines ne peut dépasser le degré du polynôme.

Le mécanisme est le suivant : le théorème garantit qu'un polynôme de degré n a au moins une racine complexe. Une fois cette première racine identifiée, le polynôme peut être factorisé par (z - cette racine). Le polynôme résultant a un degré inférieur de n - 1.

Le processus se répète : le polynôme de degré n - 1 possède à son tour au moins une racine selon le théorème fondamental. Factoriser par cette racine donne un polynôme de degré n - 2. Ce processus continue jusqu'à obtenir un polynôme de degré 1, qui a une racine évidente.

Cette série de factorisations successives montre que chaque étape du processus élimine exactement une racine et réduit le degré de 1. Finalement, on obtient une factorisation complète du polynôme initial en n facteurs linéaires, chacun correspondant à une racine complexe.

Ainsi, le théorème fondamental de l'algèbre, en garantissant l'existence d'au moins une racine pour chaque polynôme non constant, permet de démontrer par induction que le nombre total de racines (avec multiplicités) est exactement égal au degré du polynôme.