Qu'est-ce que le ratio croisé de quatre points colinéaires ?
Cross-ratio

The cross-ratio of four collinear points is an invariant under the homography that is fundamental for the study of the homographies of the lines.

Three distinct points a, b and c on a projective line over a field F form a projective frame of this line. There is therefore a unique homography h of this line onto F ∪ {∞} that maps a to ∞, b to 0, and c to 1. Given a fourth point on the same line, the cross-ratio of the four points a, b, c and d, denoted, is the element h (d) of F ∪ {∞}. In other words, if d has homogeneous coordinates over the projective frame (a, b, c), then = k.
Ratio croisé

Le ratio croisé de quatre points colinéaires est une quantité invariante par homographie, fondamentale pour l'étude des homographies des lignes.

Trois points distincts a, b et c sur une droite projective sur un corps F forment un cadre projectif de cette droite. Il existe donc une homographie unique h de cette droite sur F ∪ {∞} qui envoie a en ∞, b en 0, et c en 1. Étant donné un quatrième point sur la même droite, le ratio croisé des quatre points a, b, c et d, noté, est l'élément h(d) de F ∪ {∞}. En d'autres termes, si d a des coordonnées homogènes par rapport au cadre projectif (a, b, c), alors = k.
### Query ###
Qu'est-ce que le ratio croisé de quatre points colinéaires ?

### Main Text ###
Cross-ratio

The cross-ratio of four collinear points is an invariant under the homography that is fundamental for the study of the homographies of the lines.

Three distinct points a, b and c on a projective line over a field F form a projective frame of this line. There is therefore a unique homography h of this line onto F ∪ {∞} that maps a to ∞, b to 0, and c to 1. Given a fourth point on the same line, the cross-ratio of the four points a, b, c and d, denoted, is the element h (d) of F ∪ {∞}. In other words, if d has homogeneous coordinates over the projective frame (a, b, c), then = k.

### Supplementary Text ###
Ratio croisé

Le ratio croisé de quatre points colinéaires est une quantité invariante par homographie, fondamentale pour l'étude des homographies des lignes.

Trois points distincts a, b et c sur une droite projective sur un corps F forment un cadre projectif de cette droite. Il existe donc une homographie unique h de cette droite sur F ∪ {∞} qui envoie a en ∞, b en 0, et c en 1. Étant donné un quatrième point sur la même droite, le ratio croisé des quatre points a, b, c et d, noté, est l'élément h(d) de F ∪ {∞}. En d'autres termes, si d a des coordonnées homogènes par rapport au cadre projectif (a, b, c), alors = k.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"ratio croisé de quatre points colinéaires" → cross-ratio of four collinear points.

French mathematical terminology. Standard projective geometry concept. ● High confidence domain.

User wants: definition + geometric interpretation + invariance property.

### 2. Mathematical Core

Four collinear points A, B, C, D on projective line L.

Cross-ratio (ABCD) = (AB/CD) / (AC/BD)

Or equivalently: [A,B;C,D] = (A-C)/(B-C) / (A-D)/(B-D)

Geometric meaning: how points partition line. Invariant under projective transformations.

### 3. Invariance Property

Key insight: cross-ratio preserved under homographies.

Proof sketch: If h: L → projective line, then h(ABCD) = h(A)h(B)h(C)h(D) = (h(AB)/h(CD)) / (h(AC)/h(BD)) = (AB/CD) / (AC/BD) = (ABCD).

∴ Cross-ratio = invariant quantity.

This makes it fundamental for studying line homographies.

### 4. Historical Context

Cross-ratio concept originated in projective geometry, 19th century.

Closely related to: anharmonic ratio, harmonic conjugates, perspectivity.

Fundamental for: Poncelet's theorem, Pascal's theorem, Desargues' theorem.

### 5. Applications

Cross-ratio enables classification of conics, determination of projectivity types, geometric problem solving.

Example: Given three points A,B,C and their images A',B',C' under a projectivity, find fourth point D such that (ABCD) = (A'B'C'D).

### 6. Verification

Response accuracy check:
- ☑ Definition correct
- ☑ Geometric interpretation clear  
- ☑ Invariance property stated
- ☑ Fundamental role confirmed
- ☑ French terminology handled appropriately

Potential missing: harmonic cross-ratio, applications to complex geometry.

But core mathematical facts verified ✓

The response provides solid foundation on cross-ratio concept. No major issues detected.

### Answer###
Le ratio croisé de quatre points colinéaires est une notion fondamentale en géométrie projective qui permet de caractériser l'arrangement de ces points sur une droite.

Plus précisément, lorsque vous avez quatre points distincts A, B, C et D situés sur une même droite projective, le ratio croisé représente un invariant géométrique qui ne change pas lorsque vous appliquez une transformation projective à ces points. Mathématiquement, ce ratio peut être exprimé en utilisant les coordonnées homogènes des points par rapport à un cadre projectif donné.

Cette quantité est particulièrement importante car elle permet d'étudier les homographies des droites de manière structurée. Le concept de ratio croisé offre ainsi un outil puissant pour analyser comment les transformations projectives agissent sur les configurations de points colinéaires et constitue un invariant fondamental pour comprendre la géométrie projective des lignes.