Comment c'est que des fonctions compliquées comme ça peuvent être écrites avec juste des sinus qui sont des ondes qui montent et descendent ?
History

In 1822, Fourier claimed (see Joseph Fourier § The Analytic Theory of Heat) that any function, whether continuous or discontinuous, can be expanded into a series of sines. That important work was corrected and expanded upon by others to provide the foundation for the various forms of the Fourier transform used since.
Définitions des fonctions exponentielles complexes

Les fonctions sinus et cosinus peuvent être étendues davantage à l'aide des nombres complexes, un ensemble de nombres composés de nombres réels et imaginaires. Pour un nombre réel θ, la définition des fonctions sinus et cosinus peut être étendue dans le plan complexe en termes d'une fonction exponentielle comme suit : sin (θ) = e i θ − e − i θ 2 i, cos (θ) = e i θ + e − i θ 2,  {\begin{aligned}\sin(\theta)&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta)&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}

Alternativement, les deux fonctions peuvent être définies en termes de la formule d'Euler : e i θ = cos (θ) + i sin (θ), e − i θ = cos (θ) − i sin (θ).  {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta)+i\sin(\theta),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta)-i\sin(\theta).\end{aligned}}}

Lorsque l'on les représente dans le plan complexe, la fonction e i x  trace le cercle unité dans le plan complexe pour les valeurs réelles de x. Les fonctions sinus et cosinus peuvent être simplifiées en les parties imaginaire et réelle de e i θ  : sin θ = Im (e i θ), cos θ = Re (e i θ).  {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}

Lorsque z = x + i y  pour des valeurs réelles de x et y, où i = − 1, les fonctions sinus et cosinus peuvent être exprimées en termes de sinus réels, de cosinus et de fonctions hyperboliques comme suit : sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y.  {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}
### Query ###
Comment c'est que des fonctions compliquées comme ça peuvent être écrites avec juste des sinus qui sont des ondes qui montent et descendent ?

### Main Text ###
History

In 1822, Fourier claimed (see Joseph Fourier § The Analytic Theory of Heat) that any function, whether continuous or discontinuous, can be expanded into a series of sines. That important work was corrected and expanded upon by others to provide the foundation for the various forms of the Fourier transform used since.

### Supplementary Text ###
Définitions des fonctions exponentielles complexes

Les fonctions sinus et cosinus peuvent être étendues davantage à l'aide des nombres complexes, un ensemble de nombres composés de nombres réels et imaginaires. Pour un nombre réel θ, la définition des fonctions sinus et cosinus peut être étendue dans le plan complexe en termes d'une fonction exponentielle comme suit : sin (θ) = e i θ − e − i θ 2 i, cos (θ) = e i θ + e − i θ 2,  {\begin{aligned}\sin(\theta)&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta)&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}

Alternativement, les deux fonctions peuvent être définies en termes de la formule d'Euler : e i θ = cos (θ) + i sin (θ), e − i θ = cos (θ) − i sin (θ).  {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta)+i\sin(\theta),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta)-i\sin(\theta).\end{aligned}}}

Lorsque l'on les représente dans le plan complexe, la fonction e i x  trace le cercle unité dans le plan complexe pour les valeurs réelles de x. Les fonctions sinus et cosinus peuvent être simplifiées en les parties imaginaire et réelle de e i θ  : sin θ = Im (e i θ), cos θ = Re (e i θ).  {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}

Lorsque z = x + i y  pour des valeurs réelles de x et y, où i = − 1, les fonctions sinus et cosinus peuvent être exprimées en termes de sinus réels, de cosinus et de fonctions hyperboliques comme suit : sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y.  {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment c'est que des fonctions compliquées comme ça peuvent être écrites avec juste des sinus"

Key misconception here. User thinks sinusoids are "just waves that rise and fall." → Need fundamental correction.

"Fonctions compliquées" - vague. Could be:
- Arbitrary continuous functions  
- Piecewise continuous
- Discontinuous with finite jumps
- Periodic phenomena

### 2. Historical Context Check

● Fourier 1822: Claimed arbitrary functions → sinus series.
! Major caveat: Original statement too broad.
◐ Continuity requirement later refined by Dirichlet, etc.

Theorem core: L² integrable functions on [0,2π] have Fourier series representation.

### 3. The Misconception

Sinusoids aren't "just oscillating waves." 

Each sinusoid = solution to differential equation: d²y/dx² + y = 0

Sinusoid properties:
- Infinite differentiability  
- Global boundedness
- Oscillation determined by frequency ω
- Phase determined by initial conditions

∴ Sinusoids are highly structured mathematical objects, not "simple oscillations."

### 4. Why Sinusoids Work for Approximation

⟨H≈0.8⟩ 
Think orchestra tuning. Each instrument's timbre = complex frequency spectrum. But pure tones underlying. Clarinet vs violin vs oboe - different harmonic series dominating. Fourier says any instrument's sound ≈ weighted sum of pure tones.

Key insight: Complex function f(x) can be approximated arbitrarily closely by:
f(x) ≈ a₀ + Σ(n=1 to ∞) [aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)]

Coefficients determined by:
a₀ = (1/π) ∫₀²π f(x) dx
aₙ = (2/π) ∫₀²π f(x) cos(nx) dx  
bₙ = (2/π) ∫₀²π f(x) sin(nx) dx

### 5. Convergence Issues

! Major caveat: Fourier series convergence depends on function smoothness.

Sinc function examples:
- Square wave: Fourier series converges uniformly
- Sawtooth wave: Fourier series converges pointwise but not uniformly  
- Discontinuous functions: Series may diverge at discontinuities

Gibbs phenomenon: Overshoot at discontinuities in Fourier approximation.

### 6. Physical Intuition

⟨H≈1.2⟩
Why sinusoids? Think ocean waves hitting harbor wall. Complex wave patterns = superposition of simple harmonic oscillations. Standing waves in organ pipes. Vibration modes in strings. Pendulum motion. All governed by same differential equation.

Nature's preference for harmonic motion → makes sinusoids "natural" basis functions for function approximation.

### 7. Mathematical Rigor

Modern formulation via Hilbert spaces:
- L²([0,2π]) functions form inner product space
- Sinusoid set forms orthonormal basis
- Any f ∈ L² can be written as infinite linear combination of sinusoids

Convergence guaranteed in mean-square sense.

### 8. Practical Implications

Music synthesis: Complex timbres → harmonic series.
Image processing: Complex patterns → Fourier transform (discrete version).
Signal processing: Non-stationary signals → time-frequency analysis.

### 9. Limitations

⚠ Fourier analysis limitations:
- Oscillatory functions may have "spectral leakage"
- Time-frequency uncertainty principle
- Computational complexity for long sequences

Modern alternatives: Wavelets, splines, neural networks.

### 10. Final Synthesis

User's functions aren't "complicated" - they're compositions of simple harmonic components.

Key insight: Complex phenomena = weighted sums of pure harmonic oscillations.

Each sinusoid contributes specific frequency, amplitude, phase information to final function.

∴ "Complicated" functions become manageable through decomposition into orthogonal basis of sinusoids.

≈ Like breaking white light into spectrum of colors.

### Answer###
Votre question touche à l'une des découvertes les plus importantes en analyse mathématique. En 1822, Joseph Fourier a émis l'affirmation révolutionnaire selon laquelle n'importe quelle fonction, qu'elle soit continue ou discontinue, peut s'exprimer comme une série de sinus.

Ce principe fonctionne parce que les fonctions sinus et cosinus peuvent être définies à l'aide d'exponentielles complexes, qui forment une base particulièrement puissante pour représenter d'autres fonctions. La clé réside dans le fait que toute fonction périodique peut être décomposée en une somme infinie de sinus et de cosinus de différentes fréquences.

Cette représentation permet de transformer des fonctions complexes en une somme de composantes harmoniques simples, chacune caractérisée par une fréquence, une amplitude et une phase spécifiques. Les sinus et cosinus forment un système complet : ils peuvent approximer n'importe quelle fonction continue avec une précision arbitraire.

Cependant, il convient de noter que cette représentation n'est pas toujours possible pour toutes les fonctions, et les conditions exactes de convergence de ces séries nécessitent des précautions techniques importantes qui ont été raffinées par les mathématiciens après Fourier.