Est-ce que l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions zêta arithmétiques est prouvée en caractéristique zéro ?
Arithmetic zeta functions of arithmetic schemes and their L-factors

Arithmetic zeta functions generalise the Riemann and Dedekind zeta functions as well as the zeta functions of varieties over finite fields to every arithmetic scheme or a scheme of finite type over integers. The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension n can be factorized into the product of appropriately defined L-factors and an auxiliary factor Jean-Pierre Serre (1969–1970). Assuming a functional equation and meromorphic continuation, the generalized Riemann hypothesis for the L-factor states that its zeros inside the critical strip ℜ (s) ∈ (0, n) {\displaystyle \Re (s)\in (0,n)} lie on the central line. Correspondingly, the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme states that its zeros inside the critical strip lie on vertical lines ℜ (s) = 1 / 2, 3 / 2, …, n − 1 / 2 {\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots,n-1/2} and its poles inside the critical strip lie on vertical lines ℜ (s) = 1, 2, …, n − 1 {\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots,n-1}. This is known for schemes in positive characteristic and follows from Pierre Deligne (1974, 1980), but remains entirely unknown in characteristic zero.
En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est l'affirmation selon laquelle la fonction zêta de Riemann a ses zéros uniquement aux entiers négatifs pairs et aux nombres complexes dont la partie réelle est 1/2. Elle est considérée par beaucoup comme le problème non résolu le plus important des mathématiques pures. Elle suscite un grand intérêt en théorie des nombres car elle implique des résultats concernant la distribution des nombres premiers. Elle a été proposée par Bernhard Riemann en 1859, en son honneur.

L'hypothèse de Riemann et certaines de ses généralisations, ainsi que la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux, constituent le huitième problème de Hilbert dans la liste des vingt-trois problèmes non résolus de David Hilbert ; elle est également l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut de mathématiques Clay, qui offre 1 million de dollars américains pour une solution à l'un d'entre eux. Le nom est également utilisé pour certains analogues étroitement liés, tels que l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis.

La fonction zêta de Riemann ζ(s) est une fonction dont l'argument s peut être n'importe quel nombre complexe autre que 1, et dont les valeurs sont également complexes. Elle a des zéros aux entiers négatifs pairs ; c'est-à-dire que ζ(s) = 0 lorsque s est l'un des nombres −2, −4, −6,.... Ceux-ci sont appelés ses zéros triviaux. La fonction zêta est également nulle pour d'autres valeurs de s, qui sont appelées zéros non triviaux. L'hypothèse de Riemann porte sur les emplacements de ces zéros non triviaux, et énonce que :

La partie réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est 1/2.

Ainsi, si l'hypothèse est correcte, tous les zéros non triviaux se situent sur la droite critique, constituée des nombres complexes 1/2 + i t, où t est un nombre réel et i est l'unité imaginaire.
### Query ###
Est-ce que l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions zêta arithmétiques est prouvée en caractéristique zéro ?

### Main Text ###
Arithmetic zeta functions of arithmetic schemes and their L-factors

Arithmetic zeta functions generalise the Riemann and Dedekind zeta functions as well as the zeta functions of varieties over finite fields to every arithmetic scheme or a scheme of finite type over integers. The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension n can be factorized into the product of appropriately defined L-factors and an auxiliary factor Jean-Pierre Serre (1969–1970). Assuming a functional equation and meromorphic continuation, the generalized Riemann hypothesis for the L-factor states that its zeros inside the critical strip ℜ (s) ∈ (0, n) {\displaystyle \Re (s)\in (0,n)} lie on the central line. Correspondingly, the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme states that its zeros inside the critical strip lie on vertical lines ℜ (s) = 1 / 2, 3 / 2, …, n − 1 / 2 {\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots,n-1/2} and its poles inside the critical strip lie on vertical lines ℜ (s) = 1, 2, …, n − 1 {\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots,n-1}. This is known for schemes in positive characteristic and follows from Pierre Deligne (1974, 1980), but remains entirely unknown in characteristic zero.

### Supplementary Text ###
En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est l'affirmation selon laquelle la fonction zêta de Riemann a ses zéros uniquement aux entiers négatifs pairs et aux nombres complexes dont la partie réelle est 1/2. Elle est considérée par beaucoup comme le problème non résolu le plus important des mathématiques pures. Elle suscite un grand intérêt en théorie des nombres car elle implique des résultats concernant la distribution des nombres premiers. Elle a été proposée par Bernhard Riemann en 1859, en son honneur.

L'hypothèse de Riemann et certaines de ses généralisations, ainsi que la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux, constituent le huitième problème de Hilbert dans la liste des vingt-trois problèmes non résolus de David Hilbert ; elle est également l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut de mathématiques Clay, qui offre 1 million de dollars américains pour une solution à l'un d'entre eux. Le nom est également utilisé pour certains analogues étroitement liés, tels que l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis.

La fonction zêta de Riemann ζ(s) est une fonction dont l'argument s peut être n'importe quel nombre complexe autre que 1, et dont les valeurs sont également complexes. Elle a des zéros aux entiers négatifs pairs ; c'est-à-dire que ζ(s) = 0 lorsque s est l'un des nombres −2, −4, −6,.... Ceux-ci sont appelés ses zéros triviaux. La fonction zêta est également nulle pour d'autres valeurs de s, qui sont appelées zéros non triviaux. L'hypothèse de Riemann porte sur les emplacements de ces zéros non triviaux, et énonce que :

La partie réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est 1/2.

Ainsi, si l'hypothèse est correcte, tous les zéros non triviaux se situent sur la droite critique, constituée des nombres complexes 1/2 + i t, où t est un nombre réel et i est l'unité imaginaire.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Est-ce que l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions zêta arithmétiques est prouvée en caractéristique zéro ?"

Breaking down:
- GRH = Generalized Riemann Hypothesis
- ζ-functions arithmétiques = arithmetic zeta functions  
- caractéristique zéro = characteristic zero (i.e., not positive characteristic)

? Translation nuance: "généralisée" → generalized. Which framework exactly?

### 2. Domain Contextualization

⟨H≈0.3⟩ Arithmetic zeta functions... extensions of Riemann ζ(s) to schemes. Work of Grothendieck, Deligne. Positive characteristic breakthroughs first. Tamagawa numbers, special values, L-factors. Weil conjectures → Deligne 1974-1980. Euler characteristic calculations via functional equations...

→ Key insight: Positive characteristic = computational leverage. Finite fields provide concrete approximations.

Characteristic zero = wild. Transcendental objects, no finite field reductions.

### 3. Historical Trajectory Mapping

● Positive characteristic: Complete breakthrough
- Weil conjectures (1949-1967)
- Deligne proof (1974-1980)
- Tamagawa number formula established

○ Characteristic zero: Blank slate
- No finite field approximations available
- Transcendental function behavior unknown
- Functional equations harder to control

! Critical realization: Techniques from positive characteristic don't transfer directly.

### 4. Technical Barriers Assessment

In characteristic p>0:
- Euler characteristic calculations via trace formulas
- Lefschetz fixed point theorem applications  
- Finite field averaging techniques

In characteristic 0:
- No finite averaging → no "canonical" trace formulas
- Transcendental functions require analytic machinery
- Functional equation behavior unpredictable

⚠ Red flag: If easy → would be already proven.

### 5. Current Status Verification

⟨H≈0.5⟩ Searching memory for recent developments... Langlands program connections? Geometric Langlands? p-adic L-functions? These might offer new approaches but... no breakthrough announcements detected. Still wide open.

∴ Status: Unproven in characteristic zero.

### 6. Logical Constraints

Physical/mathematical impossibility markers:
- Would contradict existing positive characteristic results if false
- Would require fundamentally new techniques
- No obvious elementary counterexamples

Bayesian assessment: P(proven in char 0) ≈ 0.05-0.15

Reasoning: Would be major breakthrough of century-scale importance. No obvious path forward. Positive characteristic results provide lower bounds on difficulty.

### 7. Synthesis

**Answer structure:**
- Direct negation: No, not proven
- Context: Positive characteristic complete, zero characteristic open  
- Historical progression: Weil→Deligne→zero characteristic frontier
- Technical barriers: No approximation schemes, transcendental complexity
- Speculation: Would require new mathematical framework

**Key message:** Zero characteristic case represents fundamental new challenge, not mere technical extension of positive characteristic methods.

✓ Query answered definitively
✓ Mathematical context provided  
✓ Future directions hinted at

### Answer###
Non, l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions zêta arithmétiques n'est pas prouvée en caractéristique zéro.

Cette hypothèse concerne les fonctions zêta arithmétiques des schémas arithmétiques réguliers, connectés et équidimensionnels. Lorsque ces fonctions peuvent être factorisées en facteurs L-facteurs et un facteur auxiliaire, l'hypothèse de Riemann généralisée énonce que les zéros de ces facteurs L-facteurs situés dans la bande critique (partie réelle entre 0 et la dimension de Kronecker n) se situent sur la ligne centrale.

En caractéristique positive, cette hypothèse est connue et découle des travaux de Pierre Deligne de 1974 et 1980. En caractéristique zéro, en revanche, elle demeure entièrement inconnue et constitue un problème majeur dans ce domaine de la géométrie algébrique arithmétique.

Cette situation contraste fortement avec le cas de la caractéristique positive, où les techniques disponibles permettent de démontrer cette conjecture pour les schémas correspondants.