Si c'est vrai que la droite d'Euler d'un tétraèdre passe par son centre et son point de Monge
Properties analogous to those of a triangle

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices. If the tetrahedron's altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face's orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex.

A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the centroid of the opposite face is called a median and a line segment joining the midpoints of two opposite edges is called a bimedian of the tetrahedron. Hence there are four medians and three bimedians in a tetrahedron. These seven line segments are all concurrent at a point called the centroid of the tetrahedron. In addition the four medians are divided in a 3:1 ratio by the centroid (see Commandino's theorem). The centroid of a tetrahedron is the midpoint between its Monge point and circumcenter. These points define the Euler line of the tetrahedron that is analogous to the Euler line of a triangle.

The nine-point circle of the general triangle has an analogue in the circumsphere of a tetrahedron's medial tetrahedron. It is the twelve-point sphere and besides the centroids of the four faces of the reference tetrahedron, it passes through four substitute Euler points, one third of the way from the Monge point toward each of the four vertices. Finally it passes through the four base points of orthogonal lines dropped from each Euler point to the face not containing the vertex that generated the Euler point.

The center T of the twelve-point sphere also lies on the Euler line. Unlike its triangular counterpart, this center lies one third of the way from the Monge point M towards the circumcenter. Also, an orthogonal line through T to a chosen face is coplanar with two other orthogonal lines to the same face. The first is an orthogonal line passing through the corresponding Euler point to the chosen face. The second is an orthogonal line passing through the centroid of the chosen face. This orthogonal line through the twelve-point center lies midway between the Euler point orthogonal line and the centroidal orthogonal line. Furthermore, for any face, the twelve-point center lies at the midpoint of the corresponding Euler point and the orthocenter for that face.

The radius of the twelve-point sphere is one third of the circumradius of the reference tetrahedron.

There is a relation among the angles made by the faces of a general tetrahedron given by

where α is the angle between the faces i and j.

The geometric median of the vertex position coordinates of a tetrahedron and its isogonic center are associated, under circumstances analogous to those observed for a triangle. Lorenz Lindelöf found that, corresponding to any given tetrahedron is a point now known as an isogonic center, O, at which the solid angles subtended by the faces are equal, having a common value of π sr, and at which the angles subtended by opposite edges are equal. A solid angle of π sr is one quarter of that subtended by all of space. When all the solid angles at the vertices of a tetrahedron are smaller than π sr, O lies inside the tetrahedron, and because the sum of distances from O to the vertices is a minimum, O coincides with the geometric median, M, of the vertices. In the event that the solid angle at one of the vertices, v, measures exactly π sr, then O and M coincide with v. If however, a tetrahedron has a vertex, v, with solid angle greater than π sr, M still corresponds to v, but O lies outside the tetrahedron.
Propriétés analogues à celles d'un triangle

Le tétraèdre possède de nombreuses propriétés analogues à celles d'un triangle, notamment une sphère inscrite, une sphère circonscrite, un tétraèdre médian, et des sphères exsphériques. Il possède des centres respectifs tels que l'incentre, le centre du cercle circonscrit, les excentres, le centre de Spieker et des points tels qu'un centroïde. Cependant, il n'y a généralement pas d'orthocentre au sens de hauteurs se croisant.

Gaspard Monge a trouvé un centre qui existe dans tout tétraèdre, maintenant connu sous le nom de point de Monge : le point où les six plans médiateurs d'un tétraèdre se coupent. Un plan médiateur est défini comme un plan orthogonal à un arête reliant deux sommets, contenant également le centroïde de l'arête opposée formée en reliant les deux autres sommets. Si les hauteurs du tétraèdre se coupent, alors le point de Monge et l'orthocentre coïncident, donnant la classe de tétraèdre orthocentre.

Une ligne orthogonale menée du point de Monge à une face quelconque rencontre cette face au milieu du segment de ligne entre le centre du cercle circonscrit de cette face et le pied de la hauteur menée depuis le sommet opposé.

Un segment de ligne reliant un sommet d'un tétraèdre au centroïde de la face opposée est appelé une médiane, et un segment de ligne reliant les milieux de deux arêtes opposées est appelé une bimédiane du tétraèdre. Il y a donc quatre médianes et trois bimédianes dans un tétraèdre. Ces sept segments de ligne sont tous concurrents en un point appelé le centroïde du tétraèdre. De plus, les quatre médianes sont divisées dans un rapport de 3:1 par le centroïde (voir le théorème de Commandino). Le centroïde d'un tétraèdre est le milieu entre son point de Monge et son centre du cercle circonscrit. Ces points définissent la droite d'Euler du tétraèdre, qui est analogue à la droite d'Euler d'un triangle.

Le cercle neuf points du triangle général a un analogue dans la sphère circonscrite du tétraèdre médian. C'est la sphère des douze points et, en plus des centroïdes des quatre faces du tétraèdre de référence, elle passe par quatre points d'Euler substitués, situés à un tiers du chemin du point de Monge vers chacun des quatre sommets. Enfin, elle passe par les quatre points de base des lignes orthogonales menées de chaque point d'Euler à la face qui ne contient pas le sommet qui a généré le point d'Euler.

Le centre T de la sphère des douze points se trouve également sur la droite d'Euler. Contrairement à son homologue triangulaire, ce centre se trouve à un tiers du chemin du point de Monge M vers le centre du cercle circonscrit. De plus, une ligne orthogonale passant par T à une face choisie est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales à la même face. La première est une ligne orthogonale passant par le point d'Euler correspondant à la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale passant par le centroïde de la face choisie. Cette ligne orthogonale passant par le centre de la sphère des douze points se situe à mi-chemin entre la ligne orthogonale du point d'Euler et la ligne orthogonale du centroïde. De plus, pour toute face, le centre de la sphère des douze points se situe au milieu du point d'Euler correspondant et de l'orthocentre pour cette face.

Le rayon de la sphère des douze points est un tiers du rayon du cercle circonscrit du tétraèdre de référence.

Il existe une relation entre les angles formés par les faces d'un tétraèdre général donnée par

où α est l'angle entre les faces i et j.

La médiane géométrique des coordonnées de position des sommets d'un tétraèdre et son centre isogonique sont associés, dans des circonstances analogues à celles observées pour un triangle. Lorenz Lindelöf a découvert que, pour tout tétraèdre donné, il existe un point maintenant connu sous le nom de centre isogonique, O, auquel les angles solides sous-tendus par les faces sont égaux, ayant une valeur commune de π sr, et auquel les angles sous-tendus par les arêtes opposées sont égaux. Un angle solide de π sr est un quart de celui sous-tendu par tout l'espace. Lorsque tous les angles solides aux sommets d'un tétraèdre sont inférieurs à π sr, O se trouve à l'intérieur du tétraèdre, et parce que la somme des distances de O aux sommets est minimale, O coïncide avec la médiane géométrique, M, des sommets. Dans le cas où l'angle solide à l'un des sommets, v, mesure exactement π sr, alors O et M coïncident avec v. Si, cependant, un tétraèdre a un sommet, v, avec un angle solide supérieur à π sr, M correspond toujours à v, mais O se trouve à l'extérieur du tétraèdre.
### Query ###
Si c'est vrai que la droite d'Euler d'un tétraèdre passe par son centre et son point de Monge

### Main Text ###
Properties analogous to those of a triangle

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices. If the tetrahedron's altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face's orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex.

A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the centroid of the opposite face is called a median and a line segment joining the midpoints of two opposite edges is called a bimedian of the tetrahedron. Hence there are four medians and three bimedians in a tetrahedron. These seven line segments are all concurrent at a point called the centroid of the tetrahedron. In addition the four medians are divided in a 3:1 ratio by the centroid (see Commandino's theorem). The centroid of a tetrahedron is the midpoint between its Monge point and circumcenter. These points define the Euler line of the tetrahedron that is analogous to the Euler line of a triangle.

The nine-point circle of the general triangle has an analogue in the circumsphere of a tetrahedron's medial tetrahedron. It is the twelve-point sphere and besides the centroids of the four faces of the reference tetrahedron, it passes through four substitute Euler points, one third of the way from the Monge point toward each of the four vertices. Finally it passes through the four base points of orthogonal lines dropped from each Euler point to the face not containing the vertex that generated the Euler point.

The center T of the twelve-point sphere also lies on the Euler line. Unlike its triangular counterpart, this center lies one third of the way from the Monge point M towards the circumcenter. Also, an orthogonal line through T to a chosen face is coplanar with two other orthogonal lines to the same face. The first is an orthogonal line passing through the corresponding Euler point to the chosen face. The second is an orthogonal line passing through the centroid of the chosen face. This orthogonal line through the twelve-point center lies midway between the Euler point orthogonal line and the centroidal orthogonal line. Furthermore, for any face, the twelve-point center lies at the midpoint of the corresponding Euler point and the orthocenter for that face.

The radius of the twelve-point sphere is one third of the circumradius of the reference tetrahedron.

There is a relation among the angles made by the faces of a general tetrahedron given by

where α is the angle between the faces i and j.

The geometric median of the vertex position coordinates of a tetrahedron and its isogonic center are associated, under circumstances analogous to those observed for a triangle. Lorenz Lindelöf found that, corresponding to any given tetrahedron is a point now known as an isogonic center, O, at which the solid angles subtended by the faces are equal, having a common value of π sr, and at which the angles subtended by opposite edges are equal. A solid angle of π sr is one quarter of that subtended by all of space. When all the solid angles at the vertices of a tetrahedron are smaller than π sr, O lies inside the tetrahedron, and because the sum of distances from O to the vertices is a minimum, O coincides with the geometric median, M, of the vertices. In the event that the solid angle at one of the vertices, v, measures exactly π sr, then O and M coincide with v. If however, a tetrahedron has a vertex, v, with solid angle greater than π sr, M still corresponds to v, but O lies outside the tetrahedron.

### Supplementary Text ###
Propriétés analogues à celles d'un triangle

Le tétraèdre possède de nombreuses propriétés analogues à celles d'un triangle, notamment une sphère inscrite, une sphère circonscrite, un tétraèdre médian, et des sphères exsphériques. Il possède des centres respectifs tels que l'incentre, le centre du cercle circonscrit, les excentres, le centre de Spieker et des points tels qu'un centroïde. Cependant, il n'y a généralement pas d'orthocentre au sens de hauteurs se croisant.

Gaspard Monge a trouvé un centre qui existe dans tout tétraèdre, maintenant connu sous le nom de point de Monge : le point où les six plans médiateurs d'un tétraèdre se coupent. Un plan médiateur est défini comme un plan orthogonal à un arête reliant deux sommets, contenant également le centroïde de l'arête opposée formée en reliant les deux autres sommets. Si les hauteurs du tétraèdre se coupent, alors le point de Monge et l'orthocentre coïncident, donnant la classe de tétraèdre orthocentre.

Une ligne orthogonale menée du point de Monge à une face quelconque rencontre cette face au milieu du segment de ligne entre le centre du cercle circonscrit de cette face et le pied de la hauteur menée depuis le sommet opposé.

Un segment de ligne reliant un sommet d'un tétraèdre au centroïde de la face opposée est appelé une médiane, et un segment de ligne reliant les milieux de deux arêtes opposées est appelé une bimédiane du tétraèdre. Il y a donc quatre médianes et trois bimédianes dans un tétraèdre. Ces sept segments de ligne sont tous concurrents en un point appelé le centroïde du tétraèdre. De plus, les quatre médianes sont divisées dans un rapport de 3:1 par le centroïde (voir le théorème de Commandino). Le centroïde d'un tétraèdre est le milieu entre son point de Monge et son centre du cercle circonscrit. Ces points définissent la droite d'Euler du tétraèdre, qui est analogue à la droite d'Euler d'un triangle.

Le cercle neuf points du triangle général a un analogue dans la sphère circonscrite du tétraèdre médian. C'est la sphère des douze points et, en plus des centroïdes des quatre faces du tétraèdre de référence, elle passe par quatre points d'Euler substitués, situés à un tiers du chemin du point de Monge vers chacun des quatre sommets. Enfin, elle passe par les quatre points de base des lignes orthogonales menées de chaque point d'Euler à la face qui ne contient pas le sommet qui a généré le point d'Euler.

Le centre T de la sphère des douze points se trouve également sur la droite d'Euler. Contrairement à son homologue triangulaire, ce centre se trouve à un tiers du chemin du point de Monge M vers le centre du cercle circonscrit. De plus, une ligne orthogonale passant par T à une face choisie est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales à la même face. La première est une ligne orthogonale passant par le point d'Euler correspondant à la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale passant par le centroïde de la face choisie. Cette ligne orthogonale passant par le centre de la sphère des douze points se situe à mi-chemin entre la ligne orthogonale du point d'Euler et la ligne orthogonale du centroïde. De plus, pour toute face, le centre de la sphère des douze points se situe au milieu du point d'Euler correspondant et de l'orthocentre pour cette face.

Le rayon de la sphère des douze points est un tiers du rayon du cercle circonscrit du tétraèdre de référence.

Il existe une relation entre les angles formés par les faces d'un tétraèdre général donnée par

où α est l'angle entre les faces i et j.

La médiane géométrique des coordonnées de position des sommets d'un tétraèdre et son centre isogonique sont associés, dans des circonstances analogues à celles observées pour un triangle. Lorenz Lindelöf a découvert que, pour tout tétraèdre donné, il existe un point maintenant connu sous le nom de centre isogonique, O, auquel les angles solides sous-tendus par les faces sont égaux, ayant une valeur commune de π sr, et auquel les angles sous-tendus par les arêtes opposées sont égaux. Un angle solide de π sr est un quart de celui sous-tendu par tout l'espace. Lorsque tous les angles solides aux sommets d'un tétraèdre sont inférieurs à π sr, O se trouve à l'intérieur du tétraèdre, et parce que la somme des distances de O aux sommets est minimale, O coïncide avec la médiane géométrique, M, des sommets. Dans le cas où l'angle solide à l'un des sommets, v, mesure exactement π sr, alors O et M coïncident avec v. Si, cependant, un tétraèdre a un sommet, v, avec un angle solide supérieur à π sr, M correspond toujours à v, mais O se trouve à l'extérieur du tétraèdre.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si c'est vrai que la droite d'Euler d'un tétraèdre passe par son centre et son point de Monge"

→ "Is it true that the Euler line of a tetrahedron passes through its centroid and its Monge point"

Key terms:
- **droite d'Euler** = Euler line (not Euler circle, critical distinction)
- **centre** = centroid  
- **point de Monge** = Monge point

### 2. Geometric Foundation

Euler line concept: ● well-established for triangles
- Connects circumcenter to orthocenter
- Centroid lies on this line (Commandino's theorem)

Extension to tetrahedra? → ◐ partial analogy exists

### 3. Monge Point Definition

Monge point of tetrahedron:
- Intersection of six "median planes"
- Each median plane ⊥ to one edge, contains opposite edge midpoint
- ∴ All six planes intersect at single point

### 4. Critical Distinction Analysis

⚠ **Major geometric difference**: Tetrahedral Euler line ≠ triangular Euler line

In triangles: Euler line connects circumcenter ↔ orthocenter
In tetrahedra: Euler line connects **centroid** ↔ **Monge point**

! **Key insight**: Centroid and Monge point are **different** centers!

### 5. Verification

Checking the claim:
- Centroid: center of mass, where medians intersect  
- Monge point: intersection of median planes
- These points generally **don't** coincide in tetrahedra

∴ The Euler line of a tetrahedron **does not** pass through both centroid and Monge point simultaneously.

### 6. Proper Relationship

Actually:
- Centroid + Monge point determine **separate** line (Euler line proper)
- This line runs through circumcenter (as in triangles)
- Centroid divides CM segment in 1:2 ratio

### 7. Conclusion

**False statement**. 

Euler line of tetrahedron: connects centroid ↔ Monge point, **not** centroid ↔ centroid.

Analogy to triangular Euler line is misleading. Tetrahedral case requires different geometric interpretation.

NB: Common confusion in geometric extension problems.

### Answer###
La droite d'Euler d'un tétraèdre ne passe pas effectivement par son centroïde et son point de Monge simultanément. Cependant, ces trois points - le centroïde, le point de Monge et le centre du cercle circonscrit - sont tous alignés sur une même droite appelée droite d'Euler du tétraèdre.

Le point de Monge d'un tétraèdre est défini comme le point d'intersection des six plans médiateurs du tétraèdre. Une droite orthogonale menée depuis ce point de Monge vers une face du tétraèdre rencontre cette face au milieu du segment de ligne entre l'orthocentre de cette face et le pied de la hauteur abaissée depuis le sommet opposé.

Le centroïde d'un tétraèdre est le point de concours des médianes (les segments joignant chaque sommet au centroïde de la face opposée) et des bimédianes. Il est également le milieu du segment joignant le point de Monge au centre du cercle circonscrit.

Sur la droite d'Euler du tétraèdre, le centroïde se trouve à un tiers de la distance entre le point de Monge et le centre du cercle circonscrit. Ainsi, bien que ces trois points soient colinéaires, ils ne coïncident pas géométriquement. Cette configuration est analogue à celle observée dans les triangles, où la droite d'Euler connecte le centroïde au centre du cercle circonscrit, mais sans passer par le point de Monge.