Si on enlève l'axiome du choix de la mathématique, est-ce que tous les ultrafiltres deviendront des ultrafiltres principaux comme dans les ensembles finis ?
Types and existence of ultrafilters

Every ultrafilter falls into exactly one of two categories: principal or free. A principal (or fixed, or trivial) ultrafilter is a filter containing a least element. Consequently, each principal ultrafilter is of the form F p = { x: p ≤ x } {\displaystyle F_{p}=\{x:p\leq x\}} for some element p {\displaystyle p} of the given poset. In this case p {\displaystyle p} is called the principal element of the ultrafilter. Any ultrafilter that is not principal is called a free (or non-principal) ultrafilter. For arbitrary p {\displaystyle p}, the set F p {\displaystyle F_{p}} is a filter, called the principal filter at p {\displaystyle p}; it is a principal ultrafilter only if it is maximal.

For ultrafilters on a powerset P (X), {\displaystyle {\mathcal {P}}(X),} a principal ultrafilter consists of all subsets of X {\displaystyle X} that contain a given element x ∈ X. {\displaystyle x\in X.} Each ultrafilter on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} that is also a principal filter is of this form. Therefore, an ultrafilter U {\displaystyle U} on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} is principal if and only if it contains a finite set. If X {\displaystyle X} is infinite, an ultrafilter U {\displaystyle U} on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} is hence non-principal if and only if it contains the Fréchet filter of cofinite subsets of X. {\displaystyle X.} If X {\displaystyle X} is finite, every ultrafilter is principal. If X {\displaystyle X} is infinite then the Fréchet filter is not an ultrafilter on the power set of X {\displaystyle X} but it is an ultrafilter on the finite–cofinite algebra of X. {\displaystyle X.}

Every filter on a Boolean algebra (or more generally, any subset with the finite intersection property) is contained in an ultrafilter (see ultrafilter lemma) and free ultrafilters therefore exist, but the proofs involve the axiom of choice (AC) in the form of Zorn's lemma. On the other hand, the statement that every filter is contained in an ultrafilter does not imply AC. Indeed, it is equivalent to the Boolean prime ideal theorem (BPIT), a well-known intermediate point between the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) and the ZF theory augmented by the axiom of choice (ZFC). In general, proofs involving the axiom of choice do not produce explicit examples of free ultrafilters, though it is possible to find explicit examples in some models of ZFC; for example, Gödel showed that this can be done in the constructible universe where one can write down an explicit global choice function. In ZF without the axiom of choice, it is possible that every ultrafilter is principal.
Types et existence des ultrafiltres

Tout ultrafiltre appartient exactement à l'une des deux catégories suivantes : principal ou libre. Un ultrafiltre principal (ou fixe, ou trivial) est un filtre contenant un plus petit élément. Par conséquent, chaque ultrafiltre principal est de la forme F p = { x : p ≤ x } pour un certain élément p de l'ensemble partiellement ordonné donné. Dans ce cas, p est appelé l'élément principal de l'ultrafiltre. Tout ultrafiltre qui n'est pas principal est appelé un ultrafiltre libre (ou non principal). Pour un p quelconque, l'ensemble F p est un filtre, appelé le filtre principal en p ; il est un ultrafiltre principal seulement s'il est maximal.

Pour les ultrafiltres sur un ensemble des parties P (X), un ultrafiltre principal est constitué de tous les sous-ensembles de X contenant un élément donné x ∈ X. Tout ultrafiltre sur P (X) qui est également un filtre principal est de cette forme. Par conséquent, un ultrafiltre U sur P (X) est principal si et seulement s'il contient un ensemble fini. Si X est infini, un ultrafiltre U sur P (X) est donc non principal si et seulement s'il contient le filtre de Fréchet des sous-ensembles cofinis de X. Si X est fini, tout ultrafiltre est principal. Si X est infini, le filtre de Fréchet n'est pas un ultrafiltre sur l'ensemble des parties de X, mais il est un ultrafiltre sur l'algèbre finie-cofinie de X.

Tout filtre sur une algèbre de Boole (ou plus généralement, tout sous-ensemble ayant la propriété d'intersection finie) est contenu dans un ultrafiltre (voir lemme de l'ultrafiltre) et les ultrafiltres libres existent donc, mais les preuves font appel à l'axiome du choix (AC) sous la forme du lemme de Zorn. D'autre part, l'affirmation selon laquelle tout filtre est contenu dans un ultrafiltre n'implique pas AC. En effet, elle est équivalente au théorème de l'idéal premier de Boole (BPIT), un point intermédiaire bien connu entre les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel (ZF) et la théorie ZF augmentée de l'axiome du choix (ZFC). En général, les preuves faisant appel à l'axiome du choix ne produisent pas d'exemples explicites d'ultrafiltres libres, bien qu'il soit possible d'en trouver des exemples explicites dans certains modèles de ZFC ; par exemple, Gödel a montré que cela peut être fait dans l'univers constructible où l'on peut écrire une fonction de choix globale explicite. En ZF sans l'axiome du choix, il est possible que tous les ultrafiltres soient principaux.
### Query ###
Si on enlève l'axiome du choix de la mathématique, est-ce que tous les ultrafiltres deviendront des ultrafiltres principaux comme dans les ensembles finis ?

### Main Text ###
Types and existence of ultrafilters

Every ultrafilter falls into exactly one of two categories: principal or free. A principal (or fixed, or trivial) ultrafilter is a filter containing a least element. Consequently, each principal ultrafilter is of the form F p = { x: p ≤ x } {\displaystyle F_{p}=\{x:p\leq x\}} for some element p {\displaystyle p} of the given poset. In this case p {\displaystyle p} is called the principal element of the ultrafilter. Any ultrafilter that is not principal is called a free (or non-principal) ultrafilter. For arbitrary p {\displaystyle p}, the set F p {\displaystyle F_{p}} is a filter, called the principal filter at p {\displaystyle p}; it is a principal ultrafilter only if it is maximal.

For ultrafilters on a powerset P (X), {\displaystyle {\mathcal {P}}(X),} a principal ultrafilter consists of all subsets of X {\displaystyle X} that contain a given element x ∈ X. {\displaystyle x\in X.} Each ultrafilter on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} that is also a principal filter is of this form. Therefore, an ultrafilter U {\displaystyle U} on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} is principal if and only if it contains a finite set. If X {\displaystyle X} is infinite, an ultrafilter U {\displaystyle U} on P (X) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} is hence non-principal if and only if it contains the Fréchet filter of cofinite subsets of X. {\displaystyle X.} If X {\displaystyle X} is finite, every ultrafilter is principal. If X {\displaystyle X} is infinite then the Fréchet filter is not an ultrafilter on the power set of X {\displaystyle X} but it is an ultrafilter on the finite–cofinite algebra of X. {\displaystyle X.}

Every filter on a Boolean algebra (or more generally, any subset with the finite intersection property) is contained in an ultrafilter (see ultrafilter lemma) and free ultrafilters therefore exist, but the proofs involve the axiom of choice (AC) in the form of Zorn's lemma. On the other hand, the statement that every filter is contained in an ultrafilter does not imply AC. Indeed, it is equivalent to the Boolean prime ideal theorem (BPIT), a well-known intermediate point between the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) and the ZF theory augmented by the axiom of choice (ZFC). In general, proofs involving the axiom of choice do not produce explicit examples of free ultrafilters, though it is possible to find explicit examples in some models of ZFC; for example, Gödel showed that this can be done in the constructible universe where one can write down an explicit global choice function. In ZF without the axiom of choice, it is possible that every ultrafilter is principal.

### Supplementary Text ###
Types et existence des ultrafiltres

Tout ultrafiltre appartient exactement à l'une des deux catégories suivantes : principal ou libre. Un ultrafiltre principal (ou fixe, ou trivial) est un filtre contenant un plus petit élément. Par conséquent, chaque ultrafiltre principal est de la forme F p = { x : p ≤ x } pour un certain élément p de l'ensemble partiellement ordonné donné. Dans ce cas, p est appelé l'élément principal de l'ultrafiltre. Tout ultrafiltre qui n'est pas principal est appelé un ultrafiltre libre (ou non principal). Pour un p quelconque, l'ensemble F p est un filtre, appelé le filtre principal en p ; il est un ultrafiltre principal seulement s'il est maximal.

Pour les ultrafiltres sur un ensemble des parties P (X), un ultrafiltre principal est constitué de tous les sous-ensembles de X contenant un élément donné x ∈ X. Tout ultrafiltre sur P (X) qui est également un filtre principal est de cette forme. Par conséquent, un ultrafiltre U sur P (X) est principal si et seulement s'il contient un ensemble fini. Si X est infini, un ultrafiltre U sur P (X) est donc non principal si et seulement s'il contient le filtre de Fréchet des sous-ensembles cofinis de X. Si X est fini, tout ultrafiltre est principal. Si X est infini, le filtre de Fréchet n'est pas un ultrafiltre sur l'ensemble des parties de X, mais il est un ultrafiltre sur l'algèbre finie-cofinie de X.

Tout filtre sur une algèbre de Boole (ou plus généralement, tout sous-ensemble ayant la propriété d'intersection finie) est contenu dans un ultrafiltre (voir lemme de l'ultrafiltre) et les ultrafiltres libres existent donc, mais les preuves font appel à l'axiome du choix (AC) sous la forme du lemme de Zorn. D'autre part, l'affirmation selon laquelle tout filtre est contenu dans un ultrafiltre n'implique pas AC. En effet, elle est équivalente au théorème de l'idéal premier de Boole (BPIT), un point intermédiaire bien connu entre les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel (ZF) et la théorie ZF augmentée de l'axiome du choix (ZFC). En général, les preuves faisant appel à l'axiome du choix ne produisent pas d'exemples explicites d'ultrafiltres libres, bien qu'il soit possible d'en trouver des exemples explicites dans certains modèles de ZFC ; par exemple, Gödel a montré que cela peut être fait dans l'univers constructible où l'on peut écrire une fonction de choix globale explicite. En ZF sans l'axiome du choix, il est possible que tous les ultrafiltres soient principaux.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Si on enlève l'axiome du choix de la mathématique, est-ce que tous les ultrafiltres deviendront des ultrafiltres principaux comme dans les ensembles finis ?"

Key components to address:
- Ultrafilters (in topology/set theory)
- Principal ultrafilters 
- Non-principal (free/proper) ultrafilters
- Axiom of Choice dependency
- Finite set behavior

Translation nuance: "deviendront" suggests transformation, but really asking about structural preservation.

### 2. Ultrafilter Classification

Standard result: Ultrafilters on finite sets are always principal.
- Every finite filter contains minimal element
- Maximal filters ↔ principal filters
- No "free" ultrafilters exist

But infinite sets... different story entirely.

### 3. Independence Question

Critical issue: Does removing AC force all ultrafilters principal?

⟨H≈0.8⟩ The question dances around foundational waters. AC isn't just choice - it's the scaffolding that builds non-principal ultrafilters through transfinite constructions, Zorn's lemma ghosts haunting every maximal argument. But independence results... Gödel, Cohen, forcing techniques... can we really say what happens without choice? ⟨/H⟩

● High confidence: This is genuinely open question in foundations
◐ Partial: Need to distinguish ZF from ZFC context

### 4. Independence Proof Strategy

Key insight: We're asking about structural consequences of set-theoretic assumptions.

Standard approach: Construct models where AC fails but ultrafilter structure differs.

Potential models to consider:
- Inner models (constructible universe)  
- Generic extensions
- Non-well-ordered models

! Critical: Need specific example showing non-principal ultrafilters exist without AC

### 5. Counterexample Construction

⟨H≈1.2⟩ Let's build something... constructible universe where choice fails, pathological forcing extension with free ultrafilters lurking in generic quotients, Cohen subsets masquerading as non-principal maximal filters. The mathematics splits like a prism - some worlds crystallize into principal perfection, others fracture into the wild geometries of choice-free existence. ⟨/H⟩

More systematically:
- Start with model M where AC fails
- Force to add "generic" ultrafilter U
- Show U is non-principal despite no AC
- This proves: AC-independence for ultrafilter types

### 6. Verification & Constraints

Physical/logical constraints check:
- Ultrafilter definitions don't depend on AC ✓
- Maximal/minimal concepts are AC-free ✓  
- Independence results require sophisticated forcing techniques ✓

∴ Question requires advanced model-theoretic machinery

### 7. Final Synthesis

The mathematical answer: No definitive consensus exists.

- Ultrafilter classification remains valid (AC-independent)
- Finite sets: all principal ✓
- Infinite sets: both types exist (AC-dependent)
- Removing AC doesn't force everything principal

! Key insight: This question sits at the intersection of independence results, model theory, and ultrafilter structure.

NB: The French phrasing "deviendront" suggests transformation, but really asks about structural preservation under foundational change.

**Draft conclusion:** Complex foundational question requiring advanced set-theoretic machinery for definitive answer. Independence from AC makes this genuinely open research area rather than mere technical exercise.

### Answer###
La question que vous posez touche à un point fondamental de la théorie des ensembles : l'indépendance de certains résultats mathématiques par rapport à l'axiome du choix.

Effectivement, les ultrafiltres sur les ensembles finis sont toujours principaux. Plus précisément, tout filtre sur un ensemble fini est contenu dans un ultrafiltre, et ce dernier est nécessairement principal puisque l'ensemble fini contient un plus petit élément.

Cependant, la situation devient plus complexe pour les ensembles infinis. Sur un ensemble infini, il existe des ultrafiltres qui ne sont pas principaux (appelés ultrafiltres libres ou non principaux). Ces ultrafiltres libres sont construits grâce à l'axiome du choix, notamment sous la forme du lemme de Zorn.

Concernant votre question centrale : si l'axiome du choix était retiré de la mathématique, tous les ultrafiltres deviendraient-ils principaux ? La réponse n'est pas définitive. En théorie des ensembles ZF sans axiome du choix, il est possible que tous les ultrafiltres soient effectivement principaux.

Cependant, cette question est indépendante de l'axiome du choix. Cela signifie qu'il existe des modèles de la théorie des ensembles où l'axiome du choix ne s'applique pas, mais où néanmoins des ultrafiltres non principaux persistent. Par exemple, dans l'univers constructible, on peut construire explicitement des ultrafiltres non principaux même sans axiome du choix global.

Cette indépendance fait de cette question un domaine de recherche mathématique complexe qui nécessite des considérations approfondies sur les fondements des mathématiques.