Comment ça se fait que des bits ne représentent pas toujours autant d'informations en shannons ?
The shannon is a unit of information named after Claude Shannon, the founder of information theory. IEC 80000-13 defines the shannon as the information content associated with an event when the probability of the event occurring is 1/2. It is understood as such within the realm of information theory, and is conceptually distinct from the bit, a term used in data processing and storage to denote a single instance of a binary signal. A sequence of n binary symbols is properly described as consisting of n bits, but the information content of those n symbols may be more or less than n shannons depending on the a priori probability of the actual sequence of symbols. The shannon also serves as a unit of the information entropy of an event, which is defined as the expected value of the information content of the event. Given a number of possible outcomes, unlike information content, the entropy has an upper bound, which is reached when the possible outcomes are equiprobable. The maximum entropy of n bits is n Sh. A further quantity that it is used for is channel capacity, which is generally the maximum of the expected value of the information content encoded over a channel that can be transferred with negligible probability of error, typically in the form of an information rate. Nevertheless, the term bits of information or simply bits is more often heard, even in the fields of information and communication theory, rather than shannons; just saying bits can therefore be ambiguous. Using the unit shannon is an explicit reference to a quantity of information content, information entropy or channel capacity, and is not restricted to binary data, whereas "bits" can as well refer to the number of binary symbols involved, as is the term used in fields such as data processing.
Le shannon est une unité d'information nommée d'après Claude Shannon, le fondateur de la théorie de l'information. L'IEC 80000-13 définit le shannon comme le contenu d'information associé à un événement lorsque la probabilité que cet événement se produise est de 1/2. Il est compris comme tel dans le domaine de la théorie de l'information, et est conceptuellement distinct du bit, un terme utilisé dans le traitement et le stockage des données pour désigner une seule instance d'un signal binaire. Une séquence de n symboles binaires est correctement décrite comme étant constituée de n bits, mais le contenu d'information de ces n symboles peut être supérieur ou inférieur à n shannons, en fonction de la probabilité a priori de la séquence réelle de symboles. Le shannon sert également d'unité de l'entropie de l'information d'un événement, qui est définie comme la valeur attendue du contenu d'information de l'événement. Étant donné un nombre de résultats possibles, contrairement au contenu d'information, l'entropie a une limite supérieure, qui est atteinte lorsque les résultats possibles sont équiprobables. L'entropie maximale de n bits est de n Sh. Une autre quantité pour laquelle il est utilisé est la capacité du canal, qui est généralement le maximum de la valeur attendue du contenu d'information encodé sur un canal qui peut être transféré avec une probabilité d'erreur négligeable, généralement sous la forme d'un débit d'information. Néanmoins, le terme bits d'information ou simplement bits est plus souvent entendu, même dans les domaines de la théorie de l'information et des communications, que les shannons ; se contenter de dire bits peut donc être ambigu. L'utilisation de l'unité shannon est une référence explicite à une quantité de contenu d'information, d'entropie de l'information ou de capacité du canal, et ne se limite pas aux données binaires, tandis que "bits" peut également faire référence au nombre de symboles binaires impliqués, comme c'est le terme utilisé dans des domaines tels que le traitement des données.
### Query ###
Comment ça se fait que des bits ne représentent pas toujours autant d'informations en shannons ?

### Main Text ###
The shannon is a unit of information named after Claude Shannon, the founder of information theory. IEC 80000-13 defines the shannon as the information content associated with an event when the probability of the event occurring is 1/2. It is understood as such within the realm of information theory, and is conceptually distinct from the bit, a term used in data processing and storage to denote a single instance of a binary signal. A sequence of n binary symbols is properly described as consisting of n bits, but the information content of those n symbols may be more or less than n shannons depending on the a priori probability of the actual sequence of symbols. The shannon also serves as a unit of the information entropy of an event, which is defined as the expected value of the information content of the event. Given a number of possible outcomes, unlike information content, the entropy has an upper bound, which is reached when the possible outcomes are equiprobable. The maximum entropy of n bits is n Sh. A further quantity that it is used for is channel capacity, which is generally the maximum of the expected value of the information content encoded over a channel that can be transferred with negligible probability of error, typically in the form of an information rate. Nevertheless, the term bits of information or simply bits is more often heard, even in the fields of information and communication theory, rather than shannons; just saying bits can therefore be ambiguous. Using the unit shannon is an explicit reference to a quantity of information content, information entropy or channel capacity, and is not restricted to binary data, whereas "bits" can as well refer to the number of binary symbols involved, as is the term used in fields such as data processing.

### Supplementary Text ###
Le shannon est une unité d'information nommée d'après Claude Shannon, le fondateur de la théorie de l'information. L'IEC 80000-13 définit le shannon comme le contenu d'information associé à un événement lorsque la probabilité que cet événement se produise est de 1/2. Il est compris comme tel dans le domaine de la théorie de l'information, et est conceptuellement distinct du bit, un terme utilisé dans le traitement et le stockage des données pour désigner une seule instance d'un signal binaire. Une séquence de n symboles binaires est correctement décrite comme étant constituée de n bits, mais le contenu d'information de ces n symboles peut être supérieur ou inférieur à n shannons, en fonction de la probabilité a priori de la séquence réelle de symboles. Le shannon sert également d'unité de l'entropie de l'information d'un événement, qui est définie comme la valeur attendue du contenu d'information de l'événement. Étant donné un nombre de résultats possibles, contrairement au contenu d'information, l'entropie a une limite supérieure, qui est atteinte lorsque les résultats possibles sont équiprobables. L'entropie maximale de n bits est de n Sh. Une autre quantité pour laquelle il est utilisé est la capacité du canal, qui est généralement le maximum de la valeur attendue du contenu d'information encodé sur un canal qui peut être transféré avec une probabilité d'erreur négligeable, généralement sous la forme d'un débit d'information. Néanmoins, le terme bits d'information ou simplement bits est plus souvent entendu, même dans les domaines de la théorie de l'information et des communications, que les shannons ; se contenter de dire bits peut donc être ambigu. L'utilisation de l'unité shannon est une référence explicite à une quantité de contenu d'information, d'entropie de l'information ou de capacité du canal, et ne se limite pas aux données binaires, tandis que "bits" peut également faire référence au nombre de symboles binaires impliqués, comme c'est le terme utilisé dans des domaines tels que le traitement des données.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"bits ne représentent pas toujours autant d'informations en shannons"

Key distinction needed: **quantity vs measure**. 

Bits = physical storage units. Count of binary digits.
Shannons = information content. Measure of uncertainty reduction.

Same data. Different metrics. ∴ Potential mismatch.

### 2. Mathematical Foundation

Shannon's information content: H(x) = -log₂(1/P(x)) bits

Where P(x) = probability of event x.

Binary case: If P(x) = 1/2 → H(x) = 1 bit
If P(x) = 1/4 → H(x) = 2 bits  
If P(x) = 3/4 → H(x) = -log₂(1/3) ≈ 0.48 bits

! Key insight: Same 1-bit binary decision can have different Shannon content based on prior probabilities.

### 3. Practical Examples

**Example 1**: 
- 1 bit to decide "heads/tails" → 1 Shannon
- 1 bit to decide "red/green" when P(red) = 0.7 → ≈ 0.43 Shannon

**Example 2**:
- 3 fair coin flips → 3 bits, 2.58 Shannons
- 3 biased coin flips (P = 0.3) → 3 bits, 1.73 Shannons

### 4. Channel Capacity Context

Channel capacity C = B log₂(1+SNR) where B = bandwidth, SNR = signal-to-noise ratio

Same channel width B. Higher SNR → higher capacity in bits/second
But Shannon capacity depends on optimal encoding, not just bit rate.

### 5. Resolution

Bits measure **physical constraints**. Shannons measure **information potential**.

Physical system might transfer 1000 bits/sec but have Shannon capacity of only 300 bits/sec due to suboptimal encoding or high noise.

⟨H≈0.8⟩ Think of it like measuring a river - you can count individual water molecules (bits) or measure total flow rate (shannons). Same water, different counting methods. The river might appear to have "more information" if you change what you're measuring. ⟨/H⟩

### 6. Conclusion

Bits ≠ Shannons because:
- Bits = count of physical states
- Shannons = measure of uncertainty reduction
- Context-dependent relationships
- Physical vs logical information

∴ Same data structure, different mathematical frameworks. Like comparing distance (meters) to travel time (seconds) - related but distinct concepts.

### Answer###
Cette apparente contradiction s'explique par la distinction fondamentale entre les bits et les shannons. Un bit représente une unité de stockage ou de transmission binaire - une seule instance d'un signal binaire. Un bit est une mesure de la quantité physique de données.

En revanche, un shannon mesure le contenu d'information associé à un événement particulier, en fonction de sa probabilité d'occurrence. Cette mesure dépend directement de la probabilité : elle est maximale lorsque la probabilité est de 1/2, atteignant alors 1 shannon par événement.

La différence apparaît lorsque l'on considère des séquences de bits. Même si une séquence contient n bits, son contenu d'information en shannons peut être supérieur ou inférieur à n shannons selon la probabilité a priori des symboles réels composant cette séquence. Par exemple, une séquence de 8 bits ne représente pas nécessairement 8 shannons d'information si les symboles sont conditionnés par des contraintes probabilistes particulières.

Cette distinction reflète le fait que les bits mesurent la contrainte physique ou la capacité de stockage, tandis que les shannons évaluent le potentiel d'information intrinsèque de ces données selon leur contexte probabiliste. La capacité d'un canal de communication, mesurée en shannons, peut donc être supérieure ou inférieure au simple produit du débit binaire par le temps de transmission, selon l'efficacité de l'encodage et les conditions du canal.