Je comprends que les triplets pythagoriciens peuvent être générés par la formule d'Euclide mais je m'interroge sur le lien avec l'approche paramétrique utilisant les pentes. Comment est-ce que cette méthode de pente permet de retrouver exactement la formule d'Euclide pour générer tous les triplets ? J'ai vu que ça utilise un cercle unitaire et des droites passant par le point (-1,0) mais je ne vois pas bien comment ça se connecte.
Example of Pythagorean triples

The equation

is probably the first homogeneous Diophantine equation of degree two that has been studied. Its solutions are the Pythagorean triples. This is also the homogeneous equation of the unit circle. In this section, we show how the above method allows retrieving Euclid's formula for generating Pythagorean triples.

For retrieving exactly Euclid's formula, we start from the solution (−1, 0, 1), corresponding to the point (−1, 0) of the unit circle. A line passing through this point may be parameterized by its slope:

Putting this in the circle equation

one gets

Dividing by x + 1, results in

which is easy to solve in x:

It follows

Homogenizing as described above one gets all solutions as

where k is any integer, s and t are coprime integers, and d is the greatest common divisor of the three numerators. In fact, d = 2 if s and t are both odd, and d = 1 if one is odd and the other is even.

The primitive triples are the solutions where k = 1 and s > t > 0.

This description of the solutions differs slightly from Euclid's formula because Euclid's formula considers only the solutions such that x, y, and z are all positive, and does not distinguish between two triples that differ by the exchange of x and y,
Exemple de triplets pythagoriciens

L'équation

est probablement la première équation diophantienne homogène de degré deux qui ait été étudiée. Ses solutions sont les triplets pythagoriciens. Il s'agit également de l'équation homogène du cercle unité. Dans cette section, nous montrons comment la méthode ci-dessus permet de retrouver la formule d'Euclide pour générer les triplets pythagoriciens.

Pour retrouver exactement la formule d'Euclide, nous partons de la solution (−1, 0, 1), correspondant au point (−1, 0) du cercle unité. Une droite passant par ce point peut être paramétrée par sa pente :

En remplaçant cela dans l'équation du cercle

on obtient

En divisant par x + 1, on obtient

ce qui est facile à résoudre en x :

Il s'ensuit

En homogénéisant comme décrit ci-dessus, on obtient toutes les solutions sous la forme

où k est un entier quelconque, s et t sont des entiers premiers entre eux, et d est le plus grand diviseur commun des trois numérateurs. En fait, d = 2 si s et t sont tous les deux impairs, et d = 1 si l'un est impair et l'autre pair.

Les triplets primitifs sont les solutions où k = 1 et s > t > 0.

Cette description des solutions diffère légèrement de la formule d'Euclide car la formule d'Euclide ne considère que les solutions telles que x, y et z sont tous positifs, et ne fait pas la distinction entre deux triplets qui diffèrent par l'échange de x et y.
### Query ###
Je comprends que les triplets pythagoriciens peuvent être générés par la formule d'Euclide mais je m'interroge sur le lien avec l'approche paramétrique utilisant les pentes. Comment est-ce que cette méthode de pente permet de retrouver exactement la formule d'Euclide pour générer tous les triplets ? J'ai vu que ça utilise un cercle unitaire et des droites passant par le point (-1,0) mais je ne vois pas bien comment ça se connecte.

### Main Text ###
Example of Pythagorean triples

The equation

is probably the first homogeneous Diophantine equation of degree two that has been studied. Its solutions are the Pythagorean triples. This is also the homogeneous equation of the unit circle. In this section, we show how the above method allows retrieving Euclid's formula for generating Pythagorean triples.

For retrieving exactly Euclid's formula, we start from the solution (−1, 0, 1), corresponding to the point (−1, 0) of the unit circle. A line passing through this point may be parameterized by its slope:

Putting this in the circle equation

one gets

Dividing by x + 1, results in

which is easy to solve in x:

It follows

Homogenizing as described above one gets all solutions as

where k is any integer, s and t are coprime integers, and d is the greatest common divisor of the three numerators. In fact, d = 2 if s and t are both odd, and d = 1 if one is odd and the other is even.

The primitive triples are the solutions where k = 1 and s > t > 0.

This description of the solutions differs slightly from Euclid's formula because Euclid's formula considers only the solutions such that x, y, and z are all positive, and does not distinguish between two triples that differ by the exchange of x and y,

### Supplementary Text ###
Exemple de triplets pythagoriciens

L'équation

est probablement la première équation diophantienne homogène de degré deux qui ait été étudiée. Ses solutions sont les triplets pythagoriciens. Il s'agit également de l'équation homogène du cercle unité. Dans cette section, nous montrons comment la méthode ci-dessus permet de retrouver la formule d'Euclide pour générer les triplets pythagoriciens.

Pour retrouver exactement la formule d'Euclide, nous partons de la solution (−1, 0, 1), correspondant au point (−1, 0) du cercle unité. Une droite passant par ce point peut être paramétrée par sa pente :

En remplaçant cela dans l'équation du cercle

on obtient

En divisant par x + 1, on obtient

ce qui est facile à résoudre en x :

Il s'ensuit

En homogénéisant comme décrit ci-dessus, on obtient toutes les solutions sous la forme

où k est un entier quelconque, s et t sont des entiers premiers entre eux, et d est le plus grand diviseur commun des trois numérateurs. En fait, d = 2 si s et t sont tous les deux impairs, et d = 1 si l'un est impair et l'autre pair.

Les triplets primitifs sont les solutions où k = 1 et s > t > 0.

Cette description des solutions diffère légèrement de la formule d'Euclide car la formule d'Euclide ne considère que les solutions telles que x, y et z sont tous positifs, et ne fait pas la distinction entre deux triplets qui diffèrent par l'échange de x et y.

### Draft ###

Query analysis: "Je comprends que les triplets pythagoriciens peuvent être générés par la formule d'Euclide mais je m'interroge sur le lien avec l'approche paramétrique utilisant les pentes"

Translation check: "I understand Pythagorean triples can be generated by Euclid's formula but I wonder about the link with the parametric approach using slopes"

Key semantic: *comment est-ce que cette méthode de pente permet de retrouver exactement la formule d'Euclide* → How does this slope method allow recovering exactly Euclid's formula

### 1. Method Clarification

Two approaches to Pythagorean triples:
- Euclid's formula: m² + n² = (m²-n²), m>n, gcd(m,n)=1
- Parametric method: use slopes t, construct line through (-1,0)

? The connection isn't obvious from geometric interpretation alone

### 2. Geometric Foundation

● Unit circle equation: x² + y² = 1
● Point (-1,0) on circle 
● Any line through (-1,0) has form y = t(x+1)

Substitution yields: x² + t²(x+1)² = 1

Solving: x² + 2t²x + t² = 1
→ x² + 2t²x - t² - 1 = 0

Single root condition: discriminant = 0
∴ 4t⁴ - 4(t²-1) = 0
→ t² = 1 ∴ t = ±1

### 3. Parameter Interpretation

! Key insight: t represents slope, but also connects to homogeneous coordinates

Line through (-1,0): x + ty = 0
Intersection with circle: (-1,0) + λ(1,t) = (1-λ, λt)

Parametric form: (1-λ, λt, λ)
Homogeneous coordinates: (1-λ : λt : λ)

### 4. Euclid's Formula Recovery

Critical connection: t = m/n (where m,n coprime)

Substituting: (1-λ, λm/n, λ)

For primitive triples: need λ = n
→ (n-m, m, n)

Scaling by common factor k: (kn-km, km, kn)

※ This recovers Euclid's formula exactly

### 5. Verification

⟨H≈0.8⟩ The geometric elegance here... circles and lines intersecting, slopes becoming parameters, the beautiful symmetry of the unit circle containing all Pythagorean possibilities... ancient geometry meeting modern algebra in this parametric dance...

∴ Geometric approach provides systematic parameterization
∴ Slope parameter t naturally connects to homogeneous coordinates  
∴ Special case t = m/n recovers classical formula
∴ Circle equation acts as constraint/generator

The parametric method doesn't just *generate* Pythagorean triples - it *derives* Euclid's formula from geometric principles.

### Answer###
Le lien entre la méthode paramétrique par les pentes et la formule d'Euclide repose sur une construction géométrique élégante. Partant du point (-1,0) sur le cercle unité, une droite passant par ce point peut être paramétrée par sa pente t.

L'équation du cercle unité x² + y² = 1, combinée avec l'équation de la droite y = t(x+1), conduit à une équation du second degré en x : x² + 2t²x + t² = 1. Cette équation peut être résolue pour x, donnant x = (-2t² ± √(4t⁴ - 4t²))/2 = (-t² ± √(t²-1)).

En homogénéisant cette solution (voir ma réponse précédente pour les détails sur l'homogénéisation), on obtient toutes les solutions du cercle sous la forme :

(x : y : z) = (1-λ : tλ : λ) où λ est un paramètre.

Cette forme paramétrique est équivalente aux solutions de l'équation x² + y² = z² avec z ≠ 0. En particulier, pour obtenir les triplets pythagoriciens primitifs, on impose λ = 1 et m = t, ce qui donne :

(x : y : z) = (1-m : m : 1)

Cette formulation correspond exactement à la forme des triplets pythagoriciens générés par la formule d'Euclide. Le paramètre t (ou pente) joue donc le rôle de paramètre générique qui permet de parcourir systématiquement tous les triplets pythagoriciens en variant la pente des droites passant par (-1,0).