Pourquoi on peut pas utiliser la règle de Cramer pour les gros systèmes d'équations alors qu'elle marche bien avec les petits ?
Cramer's rule

Cramer's rule is an explicit formula for the solution of a system of linear equations, with each variable given by a quotient of two determinants. For example, the solution to the system

is given by

For each variable, the denominator is the determinant of the matrix of coefficients, while the numerator is the determinant of a matrix in which one column has been replaced by the vector of constant terms.

Though Cramer's rule is important theoretically, it has little practical value for large matrices, since the computation of large determinants is somewhat cumbersome. (Indeed, large determinants are most easily computed using row reduction.)Further, Cramer's rule has very poor numerical properties, making it unsuitable for solving even small systems reliably, unless the operations are performed in rational arithmetic with unbounded precision.
La règle de Cramer

La règle de Cramer est une formule explicite pour la résolution d'un système d'équations linéaires, chaque variable étant donnée par un quotient de deux déterminants. Par exemple, la solution du système

est donnée par

Pour chaque variable, le dénominateur est le déterminant de la matrice des coefficients, tandis que le numérateur est le déterminant d'une matrice dans laquelle une colonne a été remplacée par le vecteur des termes constants.

Bien que la règle de Cramer soit importante théoriquement, elle a peu d'intérêt pratique pour les grandes matrices, car le calcul de grands déterminants est assez fastidieux. (En effet, les grands déterminants sont le plus facilement calculés en utilisant la réduction de lignes.) De plus, la règle de Cramer présente de très mauvaises propriétés numériques, ce qui la rend impropre à la résolution même de petits systèmes de manière fiable, à moins que les opérations ne soient effectuées en arithmétique rationnelle avec une précision illimitée.
### Query ###
Pourquoi on peut pas utiliser la règle de Cramer pour les gros systèmes d'équations alors qu'elle marche bien avec les petits ?

### Main Text ###
Cramer's rule

Cramer's rule is an explicit formula for the solution of a system of linear equations, with each variable given by a quotient of two determinants. For example, the solution to the system

is given by

For each variable, the denominator is the determinant of the matrix of coefficients, while the numerator is the determinant of a matrix in which one column has been replaced by the vector of constant terms.

Though Cramer's rule is important theoretically, it has little practical value for large matrices, since the computation of large determinants is somewhat cumbersome. (Indeed, large determinants are most easily computed using row reduction.)Further, Cramer's rule has very poor numerical properties, making it unsuitable for solving even small systems reliably, unless the operations are performed in rational arithmetic with unbounded precision.

### Supplementary Text ###
La règle de Cramer

La règle de Cramer est une formule explicite pour la résolution d'un système d'équations linéaires, chaque variable étant donnée par un quotient de deux déterminants. Par exemple, la solution du système

est donnée par

Pour chaque variable, le dénominateur est le déterminant de la matrice des coefficients, tandis que le numérateur est le déterminant d'une matrice dans laquelle une colonne a été remplacée par le vecteur des termes constants.

Bien que la règle de Cramer soit importante théoriquement, elle a peu d'intérêt pratique pour les grandes matrices, car le calcul de grands déterminants est assez fastidieux. (En effet, les grands déterminants sont le plus facilement calculés en utilisant la réduction de lignes.) De plus, la règle de Cramer présente de très mauvaises propriétés numériques, ce qui la rend impropre à la résolution même de petits systèmes de manière fiable, à moins que les opérations ne soient effectuées en arithmétique rationnelle avec une précision illimitée.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Pourquoi on peut pas utiliser la règle de Cramer pour les gros systèmes" → Why can't we use Cramer's rule for large systems

User notices apparent inconsistency: "elle marche bien avec les petits" → it works well with small ones

Core question: Computational scaling limitations vs theoretical applicability

### 2. Rule Retrieval

Cramer's rule: For n×n linear system Ax=b, solution x_i = det(A_i)/det(A)
- A_i = matrix where ith column replaced by b
- Requires computing n+1 determinants

Small systems: Hand computation feasible
Large systems: Determinant computation becomes prohibitive

### 3. Computational Complexity Analysis

Determinant of n×n matrix: O(n!) operations (Laplace expansion)
→ Factorial growth = computational explosion

Contrast: Gaussian elimination: O(n³) operations
For n=100: 100! >> 10⁶

### 4. Practical Limitations

**Numerical instability:** ● High confidence
- Small changes in A → large changes in det(A)
- Round-off error amplification
- Poor conditioning

**Implementation reality:** ● High confidence  
Even symbolic computation struggles:
- Maple/Mathematica performance degrades rapidly
- Memory requirements explode

### 5. Historical Context

Why taught in linear algebra courses despite limitations?

Theoretical foundation importance:
- Determinant-based characterization of invertibility
- Explicit formula for inverse
- Pedagogical bridge to advanced topics

⟨H≈0.8⟩ *Curious historical note: Cramer himself probably never intended it for large systems... matrices were small, computation manual in his era. Now we have this beautiful theoretical tool that's practically useless for its intended domain of application. Like having a sports car engine in a bicycle frame - theoretically superior, practically...*

### 6. Synthesis

∴ Cramer's rule exhibits **paradox of theoretical elegance vs practical utility**

Applicable in principle for all n×n systems
Not feasible computationally beyond very small scale
Numerical properties degrade rapidly with system size

**Key insight:** !
Rule's theoretical value (understanding invertibility, determinants) ≠ computational value

Modern linear algebra courses maintain balance:
- Teach the rule for foundational understanding
- Emphasize computational limitations
- Focus on practical alternatives (LU decomposition, iterative methods)

**Physical constraints dictate practical boundaries.**

NB: Unlike Gaussian elimination, which becomes more efficient with parallelization, Cramer's approach fundamentally limited by determinant computation complexity.

### Answer###
La règle de Cramer présente effectivement des limitations pratiques importantes pour les systèmes d'équations linéaires de grande taille, bien qu'elle soit théoriquement applicable à tous les systèmes.

Le problème principal réside dans la complexité computationnelle du calcul des déterminants pour des matrices grandes. Même pour des systèmes relativement petits, le calcul de grands déterminants devient fastidieux et peu pratique. Pour les matrices de taille supérieure, cette approche devient tout simplement impraticable.

Il convient de noter que les déterminants de grande taille se calculent le plus efficacement par réduction de lignes, ce qui explique pourquoi cette méthode est préférée dans la pratique.

De plus, la règle de Cramer présente des propriétés numériques très médiocres, ce qui la rend impropre à la résolution fiable de systèmes même de petite taille. Cette instabilité numérique amplifie les erreurs d'arrondi et peut conduire à des résultats inexacts, sauf si les opérations sont effectuées en arithmétique rationnelle avec une précision illimitée.

Pour ces raisons, bien que la règle de Cramer soit théoriquement importante et puisse être utile pour les petits systèmes, elle perd toute pertinence pratique lorsqu'il s'agit de résoudre des systèmes d'équations linéaires de grande taille de manière fiable.