C'est quoi la différence entre les extensions de corps qui sont petites et celles qui sont grandes ?
Algebraic extensions

A pivotal notion in the study of field extensions F / E are algebraic elements. An element x ∈ F is algebraic over E if it is a root of a polynomial with coefficients in E, that is, if it satisfies a polynomial equation

with e,..., e in E, and e ≠ 0.For example, the imaginary unit i in C is algebraic over R, and even over Q, since it satisfies the equation

A field extension in which every element of F is algebraic over E is called an algebraic extension. Any finite extension is necessarily algebraic, as can be deduced from the above multiplicativity formula.

The subfield E (x) generated by an element x, as above, is an algebraic extension of E if and only if x is an algebraic element. That is to say, if x is algebraic, all other elements of E (x) are necessarily algebraic as well. Moreover, the degree of the extension E (x) / E, i.e., the dimension of E (x) as an E -vector space, equals the minimal degree n such that there is a polynomial equation involving x, as above. If this degree is n, then the elements of E (x) have the form

For example, the field Q (i) of Gaussian rationals is the subfield of C consisting of all numbers of the form a + bi where both a and b are rational numbers: summands of the form i (and similarly for higher exponents) do not have to be considered here, since a + bi + ci can be simplified to a − c + bi.
Champ d'extension

Si K est un sous-corps de L, alors L est un champ d'extension ou simplement une extension de K, et ce couple de corps est une extension de corps. Une telle extension de corps est notée L / K (se lisant « L sur K »).

Si L est une extension de F, qui est elle-même une extension de K, alors F est dit être un corps intermédiaire (ou extension intermédiaire ou sous-extension) de L / K.

Étant donné une extension de corps L / K, le corps plus grand L est un espace vectoriel sur K. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension et est notée par .

Le degré d'une extension est 1 si et seulement si les deux corps sont égaux. Dans ce cas, l'extension est une extension triviale. Les extensions de degré 2 et 3 sont appelées extensions quadratiques et extensions cubiques, respectivement. Une extension finie est une extension qui a un degré fini.

Étant donné deux extensions L / K et M / L, l'extension M / K est finie si et seulement si à la fois L / K et M / L sont finies. Dans ce cas, on a

Étant donné une extension de corps L / K et un sous-ensemble S de L, il existe un sous-corps le plus petit de L qui contient K et S. C'est l'intersection de tous les sous-corps de L qui contiennent K et S, et est noté K (S) (se lisant « K adjoin S »). On dit que K (S) est le corps engendré par S sur K, et que S est un ensemble générateur de K (S) sur K. Lorsque S = { x 1, …, x n } est fini, on écrit K (x 1, …, x n) à la place de K ({ x 1, …, x n }), et on dit que K (S) est engendré de manière finie sur K. Si S est constitué d'un seul élément s, l'extension K (s) / K est appelée extension simple et s est appelé élément primitif de l'extension.

Une extension de corps de la forme K (S) est souvent dite résulter de l'adjonction de S à K.

Dans le cas de caractéristique 0, toute extension finie est une extension simple. Il s'agit du théorème de l'élément primitif, qui n'est pas vrai pour les corps de caractéristique non nulle.

Si une extension simple K (s) / K n'est pas finie, le corps K (s) est isomorphe au corps des fractions rationnelles en s sur K.
### Query ###
C'est quoi la différence entre les extensions de corps qui sont petites et celles qui sont grandes ?

### Main Text ###
Algebraic extensions

A pivotal notion in the study of field extensions F / E are algebraic elements. An element x ∈ F is algebraic over E if it is a root of a polynomial with coefficients in E, that is, if it satisfies a polynomial equation

with e,..., e in E, and e ≠ 0.For example, the imaginary unit i in C is algebraic over R, and even over Q, since it satisfies the equation

A field extension in which every element of F is algebraic over E is called an algebraic extension. Any finite extension is necessarily algebraic, as can be deduced from the above multiplicativity formula.

The subfield E (x) generated by an element x, as above, is an algebraic extension of E if and only if x is an algebraic element. That is to say, if x is algebraic, all other elements of E (x) are necessarily algebraic as well. Moreover, the degree of the extension E (x) / E, i.e., the dimension of E (x) as an E -vector space, equals the minimal degree n such that there is a polynomial equation involving x, as above. If this degree is n, then the elements of E (x) have the form

For example, the field Q (i) of Gaussian rationals is the subfield of C consisting of all numbers of the form a + bi where both a and b are rational numbers: summands of the form i (and similarly for higher exponents) do not have to be considered here, since a + bi + ci can be simplified to a − c + bi.

### Supplementary Text ###
Champ d'extension

Si K est un sous-corps de L, alors L est un champ d'extension ou simplement une extension de K, et ce couple de corps est une extension de corps. Une telle extension de corps est notée L / K (se lisant « L sur K »).

Si L est une extension de F, qui est elle-même une extension de K, alors F est dit être un corps intermédiaire (ou extension intermédiaire ou sous-extension) de L / K.

Étant donné une extension de corps L / K, le corps plus grand L est un espace vectoriel sur K. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension et est notée par .

Le degré d'une extension est 1 si et seulement si les deux corps sont égaux. Dans ce cas, l'extension est une extension triviale. Les extensions de degré 2 et 3 sont appelées extensions quadratiques et extensions cubiques, respectivement. Une extension finie est une extension qui a un degré fini.

Étant donné deux extensions L / K et M / L, l'extension M / K est finie si et seulement si à la fois L / K et M / L sont finies. Dans ce cas, on a

Étant donné une extension de corps L / K et un sous-ensemble S de L, il existe un sous-corps le plus petit de L qui contient K et S. C'est l'intersection de tous les sous-corps de L qui contiennent K et S, et est noté K (S) (se lisant « K adjoin S »). On dit que K (S) est le corps engendré par S sur K, et que S est un ensemble générateur de K (S) sur K. Lorsque S = { x 1, …, x n } est fini, on écrit K (x 1, …, x n) à la place de K ({ x 1, …, x n }), et on dit que K (S) est engendré de manière finie sur K. Si S est constitué d'un seul élément s, l'extension K (s) / K est appelée extension simple et s est appelé élément primitif de l'extension.

Une extension de corps de la forme K (S) est souvent dite résulter de l'adjonction de S à K.

Dans le cas de caractéristique 0, toute extension finie est une extension simple. Il s'agit du théorème de l'élément primitif, qui n'est pas vrai pour les corps de caractéristique non nulle.

Si une extension simple K (s) / K n'est pas finie, le corps K (s) est isomorphe au corps des fractions rationnelles en s sur K.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Extensions de corps qui sont petites et celles qui sont grandes" - ambiguous phrasing.

Could mean:
- Finite vs infinite extensions ●
- Small vs large degrees ●  
- Constructible vs transcendental extensions ?maybe?
- Computational complexity considerations ?

User likely means finite vs infinite extensions given context about "adjonction d'éléments".

### 2. Core Distinction

**Finite extensions**: E ⊂ F where [F:E] < ∞
**Infinite extensions**: E ⊂ F where [F:E] = ∞

Example: ℂ/ℝ finite (degree 2), ℚ(√2)/ℚ finite (degree 2), ℚ(π)/ℚ infinite.

### 3. Key Properties

Finite extensions:
- Every element algebraic over base field
- Contain unique subfield with given intermediate field
- Simple extensions: finite generated by single element
- Degree bounds on composita

Infinite extensions:
- Can contain transcendental elements  
- No unique intermediate subfield
- Often isomorphic to field of rational functions

### 4. Construction Methods

Small extensions (finite):
- Adjoin single element: K(a)
- Adjoin finite set: K(a₁,a₂,...,aₙ)  
- Resulting field has bounded dimension

Large extensions (infinite):
- Transcendental element adjunction
- Direct limits of finite extensions
- Union operations

### 5. Intermediate Fields

Critical difference: finite extensions have unique minimal subfields containing specified elements. Infinite extensions lack this uniqueness.

For finite L/K, given {a₁,a₂,...,aₙ} ⊂ L, unique subfield M with K ⊂ M ⊂ L containing all aᵢ.

For infinite extensions, multiple intermediate fields possible.

### 6. Computational Aspects

Finite extensions → often solvable by radicals, explicit formulas
Infinite extensions → typically require approximation methods, numerical techniques

### 7. Examples

Concrete finite: ℚ(√2,√3) = ℚ(√2+√3) (degree 4)
Concrete infinite: ℚ(π) (transcendental over ℚ)

### 8. Closure Properties

Algebraic closure: every finite extension algebraic over base field
Transcendental extensions: preserve transcendental elements

### 9. Synthesis

"Small" = finite extensions (bounded degree, algebraic elements, unique minimal subfields)
"Large" = infinite extensions (unbounded degree, can contain transcendental elements, multiple intermediate fields)

∴ Extension "size" fundamentally determined by field dimension relationship with base field.

### Answer###
La différence principale entre les extensions de corps "petites" et "grandes" réside dans leur degré et leurs propriétés fondamentales.

Une extension finie est une extension qui a un degré fini - autrement dit, la dimension de l'espace vectoriel formé par le corps supérieur sur le corps inférieur est bornée. Ces extensions sont considérées comme "petites" car elles sont plus simples à décrire et à manipuler.

À l'opposé, les extensions infinies sont celles qui n'ont pas de degré fini. Ces extensions sont généralement beaucoup plus complexes et peuvent contenir des éléments qui ne sont pas algébriques sur le corps de base.

Les extensions finies présentent des propriétés remarquables : tout élément du corps supérieur est algébrique sur le corps inférieur, et toute extension finie peut être engendrée de manière finie par un seul élément (sauf en caractéristique non nulle). De plus, si une extension intermédiaire est finie, alors les extensions qui la contiennent sont nécessairement finies.

Les extensions de degré 1 sont considérées comme triviales, tandis que les extensions quadratiques et cubiques correspondent respectivement aux degrés 2 et 3.

Cette distinction entre extensions finies et infinies est fondamentale en algèbre et permet de classer les différents types d'extensions selon leur complexité structurelle.