Est-ce que les trucs qui font tourner les points et qui bougent aussi les points ensemble, ça fait partie de la même chose ou pas ?
Euclidean group

An isometry from a Euclidean space onto itself is called Euclidean isometry, Euclidean transformation or rigid transformation. The rigid transformations of a Euclidean space form a group (under composition), called the Euclidean group and often denoted E(n) of ISO(n).

The simplest Euclidean transformations are translations

P → P + v. {\displaystyle P\to P+v.}

They are in bijective correspondence with vectors. This is a reason for calling space of translations the vector space associated to a Euclidean space. The translations form a normal subgroup of the Euclidean group.

A Euclidean isometry f of a Euclidean space E defines a linear isometry f → {\displaystyle {\overrightarrow {f}}} of the associated vector space (by linear isometry, it is meant an isometry that is also a linear map) in the following way: denoting by Q – P the vector P Q →, ({\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}} if O is an arbitrary point of E, one has

f → (O P →) = f (P) − f (O). ({\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr)}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}

It is straightforward to prove that this is a linear map that does not depend from the choice of O.

The map f → f → {\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}} is a group homomorphism from the Euclidean group onto the group of linear isometries, called the orthogonal group. The kernel of this homomorphism is the translation group, showing that it is a normal subgroup of the Euclidean group.

The isometries that fix a given point P form the stabilizer subgroup of the Euclidean group with respect to P. The restriction to this stabilizer of above group homomorphism is an isomorphism. So the isometries that fix a given point form a group isomorphic to the orthogonal group.

Let P be a point, f an isometry, and t the translation that maps P to f (P). The isometry g = t − 1 ∘ f {\displaystyle g=t^{-1}\circ f} fixes P. So f = t ∘ g, {\displaystyle f=t\circ g,} and the Euclidean group is the semidirect product of the translation group and the orthogonal group.

The special orthogonal group is the normal subgroup of the orthogonal group that preserves handedness. It is a subgroup of index two of the orthogonal group. Its inverse image by the group homomorphism f → f → {\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}} is a normal subgroup of index two of the Euclidean group, which is called the special Euclidean group or the displacement group. Its elements are called rigid motions or displacements.

Rigid motions include the identity, translations, rotations (the rigid motions that fix at least a point), and also screw motions.

Typical examples of rigid transformations that are not rigid motions are reflections, which are rigid transformations that fix a hyperplane and are not the identity. They are also the transformations consisting in changing the sign of one coordinate over some Euclidean frame.

As the special Euclidean group is a subgroup of index two of the Euclidean group, given a reflection r, every rigid transformation that is not a rigid motion is the product of r and a rigid motion. A glide reflection is an example of a rigid transformation that is not a rigid motion or a reflection.

All groups that have been considered in this section are Lie groups and algebraic groups.
Sports

La rotation d'un ballon ou d'un autre objet, généralement appelée effet, joue un rôle dans de nombreux sports, notamment l'effet coupé et l'effet rétrograde au tennis, l'effet anglais, le suivi et la déviation au billard et au pool, les balles courbes au baseball, le bowling au cricket, les sports de disque volant, etc. Les raquettes de tennis de table sont fabriquées avec différentes caractéristiques de surface pour permettre au joueur d'imprimer un effet plus ou moins important à la balle.

La rotation d'un joueur d'une ou plusieurs fois autour d'un axe vertical peut être appelée effet au patinage artistique, pirouette (du bâton ou du performeur) au twirling de bâton, ou 360, 540, 720, etc. au snowboard, etc. La rotation d'un joueur ou d'un performeur d'une ou plusieurs fois autour d'un axe horizontal peut être appelée un flip, un rouleau, un somersault, un hélico, etc. à la gymnastique, au ski nautique, ou dans de nombreux autres sports, ou un un et demi, un deux et demi, un gainé (en commençant face à l'eau), etc. à la plongeon, etc. Une combinaison de rotation verticale et horizontale (un flip arrière avec 360°) est appelée un möbius au ski nautique freestyle jumping.

La rotation d'un joueur autour d'un axe vertical, généralement entre 180 et 360 degrés, peut être appelée un mouvement de rotation et est utilisée comme manœuvre de tromperie ou d'évitement, ou dans une tentative de jouer, de passer ou de recevoir une balle ou un palet, etc., ou pour offrir à un joueur une vue du but ou des autres joueurs. On la retrouve souvent au hockey, au basketball, au football de différents codes, au tennis, etc.
### Query ###
Est-ce que les trucs qui font tourner les points et qui bougent aussi les points ensemble, ça fait partie de la même chose ou pas ?

### Main Text ###
Euclidean group

An isometry from a Euclidean space onto itself is called Euclidean isometry, Euclidean transformation or rigid transformation. The rigid transformations of a Euclidean space form a group (under composition), called the Euclidean group and often denoted E(n) of ISO(n).

The simplest Euclidean transformations are translations

P → P + v. {\displaystyle P\to P+v.}

They are in bijective correspondence with vectors. This is a reason for calling space of translations the vector space associated to a Euclidean space. The translations form a normal subgroup of the Euclidean group.

A Euclidean isometry f of a Euclidean space E defines a linear isometry f → {\displaystyle {\overrightarrow {f}}} of the associated vector space (by linear isometry, it is meant an isometry that is also a linear map) in the following way: denoting by Q – P the vector P Q →, ({\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}} if O is an arbitrary point of E, one has

f → (O P →) = f (P) − f (O). ({\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr)}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}

It is straightforward to prove that this is a linear map that does not depend from the choice of O.

The map f → f → {\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}} is a group homomorphism from the Euclidean group onto the group of linear isometries, called the orthogonal group. The kernel of this homomorphism is the translation group, showing that it is a normal subgroup of the Euclidean group.

The isometries that fix a given point P form the stabilizer subgroup of the Euclidean group with respect to P. The restriction to this stabilizer of above group homomorphism is an isomorphism. So the isometries that fix a given point form a group isomorphic to the orthogonal group.

Let P be a point, f an isometry, and t the translation that maps P to f (P). The isometry g = t − 1 ∘ f {\displaystyle g=t^{-1}\circ f} fixes P. So f = t ∘ g, {\displaystyle f=t\circ g,} and the Euclidean group is the semidirect product of the translation group and the orthogonal group.

The special orthogonal group is the normal subgroup of the orthogonal group that preserves handedness. It is a subgroup of index two of the orthogonal group. Its inverse image by the group homomorphism f → f → {\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}} is a normal subgroup of index two of the Euclidean group, which is called the special Euclidean group or the displacement group. Its elements are called rigid motions or displacements.

Rigid motions include the identity, translations, rotations (the rigid motions that fix at least a point), and also screw motions.

Typical examples of rigid transformations that are not rigid motions are reflections, which are rigid transformations that fix a hyperplane and are not the identity. They are also the transformations consisting in changing the sign of one coordinate over some Euclidean frame.

As the special Euclidean group is a subgroup of index two of the Euclidean group, given a reflection r, every rigid transformation that is not a rigid motion is the product of r and a rigid motion. A glide reflection is an example of a rigid transformation that is not a rigid motion or a reflection.

All groups that have been considered in this section are Lie groups and algebraic groups.

### Supplementary Text ###
Sports

La rotation d'un ballon ou d'un autre objet, généralement appelée effet, joue un rôle dans de nombreux sports, notamment l'effet coupé et l'effet rétrograde au tennis, l'effet anglais, le suivi et la déviation au billard et au pool, les balles courbes au baseball, le bowling au cricket, les sports de disque volant, etc. Les raquettes de tennis de table sont fabriquées avec différentes caractéristiques de surface pour permettre au joueur d'imprimer un effet plus ou moins important à la balle.

La rotation d'un joueur d'une ou plusieurs fois autour d'un axe vertical peut être appelée effet au patinage artistique, pirouette (du bâton ou du performeur) au twirling de bâton, ou 360, 540, 720, etc. au snowboard, etc. La rotation d'un joueur ou d'un performeur d'une ou plusieurs fois autour d'un axe horizontal peut être appelée un flip, un rouleau, un somersault, un hélico, etc. à la gymnastique, au ski nautique, ou dans de nombreux autres sports, ou un un et demi, un deux et demi, un gainé (en commençant face à l'eau), etc. à la plongeon, etc. Une combinaison de rotation verticale et horizontale (un flip arrière avec 360°) est appelée un möbius au ski nautique freestyle jumping.

La rotation d'un joueur autour d'un axe vertical, généralement entre 180 et 360 degrés, peut être appelée un mouvement de rotation et est utilisée comme manœuvre de tromperie ou d'évitement, ou dans une tentative de jouer, de passer ou de recevoir une balle ou un palet, etc., ou pour offrir à un joueur une vue du but ou des autres joueurs. On la retrouve souvent au hockey, au basketball, au football de différents codes, au tennis, etc.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que les trucs qui font tourner les points et qui bougent aussi les points ensemble, ça fait partie de la même chose ou pas ?"

→ "Do rotation things and translation things belong to the same group?"

Translation ambiguity: "trucs" = informal, could mean transformations/operators/whatever. User asking about relationship between rotational and translational components.

? Casual tone suggests elementary/high-school level math.

### 2. Mathematical Structure Check

Rotation operators: SO(n) transformations. Act locally - move axes, preserve orientations.

Translation operators: T(v) = x + v. Act globally - shift entire space.

Naive answer: No. Different mathematical objects.

But → composition structure matters more than individual actions.

### 3. Group Structure Analysis

Key insight: Euclidean group E(n) = SO(n) ⋉ ℝⁿ

Where ⋉ = semidirect product.

Translation ↺ rotation = rigid motion
Rotation ↺ translation = rigid motion

∴ Both present in same transformation group.

### 4. Deeper Structure

Even better: E(n) ≏ SE(n) ≅ SO(n) ⋉ ℝ² (special Euclidean)

Where SE(n) = special Euclidean group.

Translation + rotation + composition = complete rigid transformations.

### 5. Physical Interpretation

Rotating while translating ≠ just translation or just rotation.

Corkscrew motion. Screw displacement.

⟨H≈0.8⟩ Think of propeller: rotation around axis + linear motion along shaft. Same rigid body motion. Both components essential, neither sufficient alone.

### 6. Answer Synthesis

Yes, but structured:

- Individually: rotation ≠ translation (different operators)
- Compositionally: rotation + translation = rigid motion (semidirect product)
- Group-theoretically: both live in Euclidean group E(n)

※ Critical: semidirect product structure. Not just "adding" - specific composition rules.

! Key insight: transformation groups often have this layered structure. Individual actions < composition < full group.

∴ User's "trucs" are indeed related - part of same mathematical framework despite surface differences.

### Answer###
Oui, les rotations et les translations sont effectivement liées et font partie de la même structure mathématique appelée groupe euclidien.

Une transformation euclidienne est une isométrie qui transforme un espace euclidien lui-même. Ces transformations forment un groupe sous composition. Le groupe euclidien est précisément constitué de ces transformations isométriques qui préservent les distances et les angles.

Les translations, qui consistent à déplacer tous les points d'un vecteur fixe, forment un sous-groupe normal du groupe euclidien. Les rotations constituent un autre type de transformation euclidienne qui fait tourner les points autour d'un centre de rotation.

Ce qui est intéressant, c'est que toute transformation euclidienne peut être décomposée en une translation suivie d'une rotation (ou l'inverse). Mathématiquement, le groupe euclidien est le produit semi-direct des translations et du groupe orthogonal, qui contient les rotations.

Les mouvements rigides, qui incluent les translations, les rotations et les mouvements hélicoïdaux, représentent une sous-catégorie importante du groupe euclidien. Ces transformations préservent la forme et la taille des objets, ne les déforment pas seulement les translatent ou les font tourner.

Donc pour répondre directement à ta question : oui, les rotations et les translations font partie de la même famille de transformations euclidiennes, bien qu'elles soient structurées différemment au sein du groupe.