Comment la représentation matricielle du produit tensoriel d'applications linéaires se comporte-t-elle par rapport aux propriétés injectivité et surjectivité, et quels sont les implications pour la trace et le rang du produit tensoriel ?
Tensor product of linear maps

Given a linear map f: U → V {\displaystyle f:U\to V}, and a vector space W, the tensor product:

is the unique linear map such that:

The tensor product W ⊗ f {\displaystyle W\otimes f} is defined similarly.

Given two linear maps f: U → V {\displaystyle f:U\to V} and g: W → Z {\displaystyle g:W\to Z}, their tensor product:

is the unique linear map that satisfies:

One has:

In terms of category theory, this means that the tensor product is a bifunctor from the category of vector spaces to itself.

If f and g are both injective or surjective, then the same is true for all above defined linear maps. In particular, the tensor product with a vector space is an exact functor; this means that every exact sequence is mapped to an exact sequence (tensor products of modules do not transform injections into injections, but they are right exact functors).

By choosing bases of all vector spaces involved, the linear maps f and g can be represented by matrices. Then, depending on how the tensor v ⊗ w {\displaystyle v\otimes w} is vectorized, the matrix describing the tensor product f ⊗ g {\displaystyle f\otimes g} is the Kronecker product of the two matrices. For example, if V, X, W, and Y above are all two-dimensional and bases have been fixed for all of them, and f and g are given by the matrices: A =, B =, {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},} respectively, then the tensor product of these two matrices is: ⊗ = a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 ] =. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}

The resultant rank is at most 4, and thus the resultant dimension is 4. rank here denotes the tensor rank i.e. the number of requisite indices (while the matrix rank counts the number of degrees of freedom in the resulting array). Tr A ⊗ B = Tr A × Tr B {\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}.

A dyadic product is the special case of the tensor product between two vectors of the same dimension.
Produit tensoriel d'applications linéaires

Soit une application linéaire f : U → V, et un espace vectoriel W, le produit tensoriel :

est l'application linéaire unique qui satisfait :

Le produit tensoriel W ⊗ f est défini de manière similaire.

Soient deux applications linéaires f : U → V et g : W → Z, leur produit tensoriel :

est l'application linéaire unique qui satisfait :

On a :

En termes de théorie des catégories, cela signifie que le produit tensoriel est un bifoncteur de la catégorie des espaces vectoriels dans elle-même.

Si f et g sont toutes deux injectives ou surjectives, il en va de même pour toutes les applications linéaires définies ci-dessus. En particulier, le produit tensoriel avec un espace vectoriel est un foncteur exact ; cela signifie que toute suite exacte est ramenée à une suite exacte (les produits tensoriels de modules ne transforment pas les injections en injections, mais ils sont des foncteurs à droite exacts).

En choisissant des bases pour tous les espaces vectoriels impliqués, les applications linéaires f et g peuvent être représentées par des matrices. Ensuite, selon la manière dont le tenseur v ⊗ w est vectorisé, la matrice décrivant le produit tensoriel f ⊗ g est le produit de Kronecker des deux matrices. Par exemple, si V, X, W et Y sont tous de dimension deux et que des bases ont été fixées pour chacun d'eux, et si f et g sont données par les matrices : A = , B = , respectivement, alors le produit tensoriel de ces deux matrices est : ⊗ = a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 ] =.

Le rang résultant est au plus 4, et donc la dimension résultante est 4. Le rang ici désigne le rang tensoriel, c'est-à-dire le nombre d'indices requis (tandis que le rang de la matrice compte le nombre de degrés de liberté dans le tableau résultant). Tr(A ⊗ B) = Tr(A) × Tr(B).

Le produit dyadique est le cas particulier du produit tensoriel entre deux vecteurs de la même dimension.
### Query ###
Comment la représentation matricielle du produit tensoriel d'applications linéaires se comporte-t-elle par rapport aux propriétés injectivité et surjectivité, et quels sont les implications pour la trace et le rang du produit tensoriel ?

### Main Text ###
Tensor product of linear maps

Given a linear map f: U → V {\displaystyle f:U\to V}, and a vector space W, the tensor product:

is the unique linear map such that:

The tensor product W ⊗ f {\displaystyle W\otimes f} is defined similarly.

Given two linear maps f: U → V {\displaystyle f:U\to V} and g: W → Z {\displaystyle g:W\to Z}, their tensor product:

is the unique linear map that satisfies:

One has:

In terms of category theory, this means that the tensor product is a bifunctor from the category of vector spaces to itself.

If f and g are both injective or surjective, then the same is true for all above defined linear maps. In particular, the tensor product with a vector space is an exact functor; this means that every exact sequence is mapped to an exact sequence (tensor products of modules do not transform injections into injections, but they are right exact functors).

By choosing bases of all vector spaces involved, the linear maps f and g can be represented by matrices. Then, depending on how the tensor v ⊗ w {\displaystyle v\otimes w} is vectorized, the matrix describing the tensor product f ⊗ g {\displaystyle f\otimes g} is the Kronecker product of the two matrices. For example, if V, X, W, and Y above are all two-dimensional and bases have been fixed for all of them, and f and g are given by the matrices: A =, B =, {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},} respectively, then the tensor product of these two matrices is: ⊗ = a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 ] =. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}

The resultant rank is at most 4, and thus the resultant dimension is 4. rank here denotes the tensor rank i.e. the number of requisite indices (while the matrix rank counts the number of degrees of freedom in the resulting array). Tr A ⊗ B = Tr A × Tr B {\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}.

A dyadic product is the special case of the tensor product between two vectors of the same dimension.

### Supplementary Text ###
Produit tensoriel d'applications linéaires

Soit une application linéaire f : U → V, et un espace vectoriel W, le produit tensoriel :

est l'application linéaire unique qui satisfait :

Le produit tensoriel W ⊗ f est défini de manière similaire.

Soient deux applications linéaires f : U → V et g : W → Z, leur produit tensoriel :

est l'application linéaire unique qui satisfait :

On a :

En termes de théorie des catégories, cela signifie que le produit tensoriel est un bifoncteur de la catégorie des espaces vectoriels dans elle-même.

Si f et g sont toutes deux injectives ou surjectives, il en va de même pour toutes les applications linéaires définies ci-dessus. En particulier, le produit tensoriel avec un espace vectoriel est un foncteur exact ; cela signifie que toute suite exacte est ramenée à une suite exacte (les produits tensoriels de modules ne transforment pas les injections en injections, mais ils sont des foncteurs à droite exacts).

En choisissant des bases pour tous les espaces vectoriels impliqués, les applications linéaires f et g peuvent être représentées par des matrices. Ensuite, selon la manière dont le tenseur v ⊗ w est vectorisé, la matrice décrivant le produit tensoriel f ⊗ g est le produit de Kronecker des deux matrices. Par exemple, si V, X, W et Y sont tous de dimension deux et que des bases ont été fixées pour chacun d'eux, et si f et g sont données par les matrices : A = , B = , respectivement, alors le produit tensoriel de ces deux matrices est : ⊗ = a 1, 2 a 2, 1 a 2, 2 ] =.

Le rang résultant est au plus 4, et donc la dimension résultante est 4. Le rang ici désigne le rang tensoriel, c'est-à-dire le nombre d'indices requis (tandis que le rang de la matrice compte le nombre de degrés de liberté dans le tableau résultant). Tr(A ⊗ B) = Tr(A) × Tr(B).

Le produit dyadique est le cas particulier du produit tensoriel entre deux vecteurs de la même dimension.

### Draft ###

Query: "Comment la représentation matricielle du produit tensoriel d'applications linéaires..."

Translation check: "How does matrix representation of tensor product of linear maps behave regarding injectivity/surjectivity properties, and what implications for trace and rank of tensor product?"

→ Two-part question: (1) behavioral properties under injectivity/surjectivity, (2) trace/rank implications.

### 1. Matrix Representation Analysis

Key insight: Tensor product f⊗g of matrices A,B represented by Kronecker product ⊗.

Dimension behavior: If A∈ℝ^(m×n), B∈ℝ^(p×q), then f⊗g acts ℝ^m⊗ℝ^p → ℝ^n⊗ℝ^q.
Output dimension: mn × pq.

Behavior under injectivity/surjectivity:
- f,g both injective → f⊗g injective ●
- f,g both surjective → f⊗g surjective ●  
- One injective, other surjective → f⊗g can be either ◐

∴ Bijections preserved under tensor product at matrix level.

### 2. Trace Properties

Critical result: Tr(f⊗g) = Tr(f)×Tr(g) ●

Proof sketch: Let f: V→W, g: U→V.
If f represented by matrix A, g by matrix B, then f⊗g represented by A⊗B.

Trace theorem: Tr(A⊗B) = ∑ᵢ∑ⱼ aᵢⱼbᵢⱼ = (∑ᵢaᵢⱼ)(∑ⱼbⱼᵢ) = Tr(A)×Tr(B).

Geometric interpretation: Tensor product "scales" trace linearly.

### 3. Rank Analysis

Matrix rank of tensor product:
- Individual matrices: rank(A)≤min(m,n), rank(B)≤min(p,q)
- Tensor product matrix: rank(A⊗B)≤rank(A)×rank(B) ◐

But: Exact rank calculation requires SVD decomposition.

⚠ Potential issue: Tensor rank ≠ matrix rank.
- Matrix rank: number of linearly independent rows/columns
- Tensor rank: number of independent tensor components

Example: A⊗B can have rank < rank(A)×rank(B) even when fully dense.

### 4. Implications for Linear Maps

Injective/surjective preservation:
- f⊗g injective ⟺ f,g both injective ●
- f⊗g surjective ⟺ f,g both surjective ●

Trace scaling: Tr(f⊗g) = Tr(f)×Tr(g) regardless of matrix dimensions ●

Rank behavior: Complex interaction between tensor/matrix rank ◐
- Matrix representation: rank(A⊗B)≤rank(A)×rank(B)
- Tensor structure: additional constraints possible

### 5. Verification Constraints

Missing elements in original response:
- No explicit rank formulas ⚠
- Trace result correct ●
- Behavioral properties under injectivity/surjectivity accurate ●

Key limitation: Tensor product rank calculation requires case-by-case analysis.
Not always rank(A)×rank(B) due to tensor structure constraints.

∴ Response captures essential behavioral properties but lacks precise rank characterization.

NB: Matrix representation via Kronecker product is standard, well-established theory.

### Answer###
La représentation matricielle du produit tensoriel d'applications linéaires suit des propriétés comportementales spécifiques par rapport aux notions d'injectivité et de surjectivité.

Lorsqu'on représente deux applications linéaires f et g par des matrices A et B respectivement, le produit tensoriel f ⊗ g est représenté par le produit de Kronecker A ⊗ B. Cette représentation matricielle révèle que le comportement de l'injectivité et de la surjectivité se conserve : si f et g sont toutes deux injectives ou surjectives, alors leur produit tensoriel l'est également. Cette propriété s'étend aux applications linéaires construites à partir de produits tensoriels, ce qui fait du produit tensoriel une structure préservant les bijections.

Du point de vue des dimensions, le produit tensoriel transforme un espace de dimension m×n vers un espace de dimension mn × pq. Le rang résultant de la matrice produit tensoriel est au plus égal au produit des rangs individuels des matrices.

Concernant la trace, une propriété remarquable s'observe : Tr(A ⊗ B) = Tr(A) × Tr(B). Cette relation indique que la trace du produit tensoriel est simplement le produit des traces des matrices individuelles, indépendamment des dimensions spécifiques.

Cependant, les implications précises pour le calcul effectif du rang d'une matrice produit tensoriel constituent une question complexe qui nécessiterait une analyse plus approfondie des structures tensorielles spécifiques.