Si on bouge très vite, où va être la position d'un objet par rapport à nous ?
Deriving the Lorentz transformations

There have been many dozens of derivations of the Lorentz transformations since Einstein's original work in 1905, each with its particular focus. Although Einstein's derivation was based on the invariance of the speed of light, there are other physical principles that may serve as starting points. Ultimately, these alternative starting points can be considered different expressions of the underlying principle of locality, which states that the influence that one particle exerts on another can not be transmitted instantaneously.

The derivation given here and illustrated in Fig. 3-5 is based on one presented by Bais and makes use of previous results from the Relativistic Composition of Velocities, Time Dilation, and Length Contraction sections. Event P has coordinates (w, x) in the black "rest system" and coordinates (w ′, x ′) in the red frame that is moving with velocity parameter β = v / c. To determine w ′ and x ′ in terms of w and x (or the other way around) it is easier at first to derive the inverse Lorentz transformation.

The above equations are alternate expressions for the t and x equations of the inverse Lorentz transformation, as can be seen by substituting ct for w, ct ′ for w ′, and v / c for β. From the inverse transformation, the equations of the forwards transformation can be derived by solving for t ′ and x ′.
Mouvement uniformément accéléré

Si un corps tombe au repos près de la surface de la Terre, en l'absence de résistance de l'air, il accélère à un rythme constant. C'est ce qu'on appelle la chute libre. La vitesse atteinte pendant la chute libre est proportionnelle au temps écoulé, et la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps écoulé. Il est important de noter que l'accélération est la même pour tous les corps, indépendamment de leur masse. Cela découle de la combinaison de la deuxième loi de Newton du mouvement avec sa loi de la gravitation universelle. Cette dernière stipule que l'amplitude de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le corps est F = G M m r 2, {\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},} où m {\displaystyle m} est la masse du corps en chute, M {\displaystyle M} est la masse de la Terre, G {\displaystyle G} est la constante de Newton, et r {\displaystyle r} est la distance du centre de la Terre à l'emplacement du corps, ce qui est très proche du rayon de la Terre. En égalant cette expression à m a {\displaystyle ma}, la masse du corps m {\displaystyle m} s'annule des deux côtés de l'équation, laissant une accélération qui dépend de G {\displaystyle G}, M {\displaystyle M}, et r {\displaystyle r}, et r {\displaystyle r} peut être considéré comme constant. Cette valeur particulière de l'accélération est généralement désignée par g {\displaystyle g} : g = G M r 2 ≈ 9,8 m / s 2. {\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}}.}

Si le corps n'est pas relâché au repos, mais plutôt lancé vers le haut et/ou horizontalement avec une vitesse non nulle, la chute libre devient un mouvement projectile. Lorsque la résistance de l'air peut être négligée, les projectiles suivent des trajectoires en forme de parabole, car la gravité affecte le mouvement vertical du corps et non son mouvement horizontal. Au point culminant de la trajectoire du projectile, sa vitesse verticale est nulle, mais son accélération est g {\displaystyle g} vers le bas, comme elle l'est à tout moment. L'attribution incorrecte de vecteurs à zéro est une confusion courante chez les étudiants en physique.
### Query ###
Si on bouge très vite, où va être la position d'un objet par rapport à nous ?

### Main Text ###
Deriving the Lorentz transformations

There have been many dozens of derivations of the Lorentz transformations since Einstein's original work in 1905, each with its particular focus. Although Einstein's derivation was based on the invariance of the speed of light, there are other physical principles that may serve as starting points. Ultimately, these alternative starting points can be considered different expressions of the underlying principle of locality, which states that the influence that one particle exerts on another can not be transmitted instantaneously.

The derivation given here and illustrated in Fig. 3-5 is based on one presented by Bais and makes use of previous results from the Relativistic Composition of Velocities, Time Dilation, and Length Contraction sections. Event P has coordinates (w, x) in the black "rest system" and coordinates (w ′, x ′) in the red frame that is moving with velocity parameter β = v / c. To determine w ′ and x ′ in terms of w and x (or the other way around) it is easier at first to derive the inverse Lorentz transformation.

The above equations are alternate expressions for the t and x equations of the inverse Lorentz transformation, as can be seen by substituting ct for w, ct ′ for w ′, and v / c for β. From the inverse transformation, the equations of the forwards transformation can be derived by solving for t ′ and x ′.

### Supplementary Text ###
Mouvement uniformément accéléré

Si un corps tombe au repos près de la surface de la Terre, en l'absence de résistance de l'air, il accélère à un rythme constant. C'est ce qu'on appelle la chute libre. La vitesse atteinte pendant la chute libre est proportionnelle au temps écoulé, et la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps écoulé. Il est important de noter que l'accélération est la même pour tous les corps, indépendamment de leur masse. Cela découle de la combinaison de la deuxième loi de Newton du mouvement avec sa loi de la gravitation universelle. Cette dernière stipule que l'amplitude de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le corps est F = G M m r 2, {\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},} où m {\displaystyle m} est la masse du corps en chute, M {\displaystyle M} est la masse de la Terre, G {\displaystyle G} est la constante de Newton, et r {\displaystyle r} est la distance du centre de la Terre à l'emplacement du corps, ce qui est très proche du rayon de la Terre. En égalant cette expression à m a {\displaystyle ma}, la masse du corps m {\displaystyle m} s'annule des deux côtés de l'équation, laissant une accélération qui dépend de G {\displaystyle G}, M {\displaystyle M}, et r {\displaystyle r}, et r {\displaystyle r} peut être considéré comme constant. Cette valeur particulière de l'accélération est généralement désignée par g {\displaystyle g} : g = G M r 2 ≈ 9,8 m / s 2. {\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}}.}

Si le corps n'est pas relâché au repos, mais plutôt lancé vers le haut et/ou horizontalement avec une vitesse non nulle, la chute libre devient un mouvement projectile. Lorsque la résistance de l'air peut être négligée, les projectiles suivent des trajectoires en forme de parabole, car la gravité affecte le mouvement vertical du corps et non son mouvement horizontal. Au point culminant de la trajectoire du projectile, sa vitesse verticale est nulle, mais son accélération est g {\displaystyle g} vers le bas, comme elle l'est à tout moment. L'attribution incorrecte de vecteurs à zéro est une confusion courante chez les étudiants en physique.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on bouge très vite" → "If moving very fast"
"position d'un objet" → "object's position"  
"par rapport à nous" → "relative to us"

Key issue: **relativity of simultaneity**. Not just speed - *whose* speed matters?

### 2. Galilean vs Relativistic Framework

Classical intuition: position = absolute, frame-independent.
Reality check: "Very fast" → approaching c? Galilean fails here.

Einstein's insight (1905): Simultaneity frame-dependent.
→ What appears "here-now" depends on observer velocity.

### 3. The Paradox Resolution

⟨H≈0.8⟩ Imagine spaceship A, B moving apart at v≈c. Observer O on Earth.
Event E happens at position x₀ when clock reads t₀ (in O's frame).
From A's perspective: event happened at x'₀ ≠ x₀, earlier time t'₀ ≠ t₀.
From B's perspective: event happened at x''₀ ≠ x₀, earlier time t''₀ ≠ t₀.

All three disagree! Which "position" is correct?

### 4. Mathematical Structure

Lorentz transformations: x' = γ(x - vt), t' = γ(t - vx/c²)

Where γ = 1/√1-v²/c² is the Lorentz factor.

Key insight: No absolute position or time. Only **relative simultaneity**.

### 5. Physical Resolution

Observer measures position by sending light pulse, observing reflection.
Light travels at c in all inertial frames.
But round-trip time differs by v²/c² factor.

∴ "Position at t=0" means different things to different observers.

### 6. The Relativistic Answer

Position depends on:
- Observer's velocity relative to object
- Event's location  
- Definition of "simultaneous events"

No single "correct" position. Only **relative position**.

⟨H≈1.2⟩ Like asking "which color is correct?" - depends on wavelength, observer's velocity through space, their motion relative to light source. Red-shifted, blue-shifted, everything shifting, everything relative, no absolute color any more than absolute position...

### 7. Practical Implications

GPS satellites need relativity corrections.
Particle accelerators: collision "locations" frame-dependent.
Cosmic ray detection: timing discrepancies require relativistic analysis.

### 8. The Essential Point

"Position" meaningless without specifying observer frame.
Relativistic effects become significant v > 0.1c.
"Very fast" → relativity dominates.

NB: Not that positions are uncertain - positions are **frame-dependent**.

Final answer: Position depends entirely on observer's velocity. No absolute answer. Only relative position.

### Answer###
Lorsque vous vous déplacez très rapidement, la position d'un objet sera déterminée par votre propre mouvement relatif à cet objet. Cette question touche au principe fondamental de la relativité restreinte.

Si vous observez un objet en mouvement par rapport à vous, sa position que vous mesurerez dépendra directement de votre vitesse relative à cet objet. La théorie de la relativité prédit que les mesures de position et de temps varient selon le référentiel de l'observateur.

Plus précisément, les transformations de Lorentz décrivent mathématiquement comment les coordonnées spatiales et temporelles d'un événement se transforment lorsqu'on passe d'un référentiel inertiel à un autre. Ces transformations montrent que ce que vous percevez comme la position actuelle d'un objet dépend de votre propre vitesse par rapport à lui.

Il est important de comprendre qu'il n'existe pas de position absolue ou fixe d'un objet - cette notion dépend entièrement du référentiel dans lequel vous vous trouvez. Ainsi, si vous vous déplacez très rapidement, la position que vous observerez pour un objet donné sera différente de celle qu'observerait une personne immobile par rapport à vous.

Cette relativité des positions et des mesures temporelles explique pourquoi les effets relativistes deviennent significatifs lorsque les vitesses approchent celle de la lumière.