Pourriez-vous me confirmer si une translation plane effectuée en ajoutant des constantes (a, b) aux coordonnées cartésiennes d'un ensemble de points change les distances mutuelles entre ces points ?
Translation

Translating a set of points of the plane, preserving the distances and directions between them, is equivalent to adding a fixed pair of numbers (a, b) to the Cartesian coordinates of every point in the set. That is, if the original coordinates of a point are (x, y), after the translation they will be

(x ′, y ′) = (x + a, y + b). {\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}
La translation d'un ensemble de points du plan, en préservant les distances et les directions entre eux, est équivalente à l'addition d'une paire de nombres fixes (a, b) aux coordonnées cartésiennes de chaque point de l'ensemble. Autrement dit, si les coordonnées originales d'un point sont (x, y), après la translation elles seront :

(x ′, y ′) = (x + a, y + b).

### Query ###
Pourriez-vous me confirmer si une translation plane effectuée en ajoutant des constantes (a, b) aux coordonnées cartésiennes d'un ensemble de points change les distances mutuelles entre ces points ?

### Main Text ###
Translation

Translating a set of points of the plane, preserving the distances and directions between them, is equivalent to adding a fixed pair of numbers (a, b) to the Cartesian coordinates of every point in the set. That is, if the original coordinates of a point are (x, y), after the translation they will be

(x ′, y ′) = (x + a, y + b). {\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}

### Supplementary Text ###
La translation d'un ensemble de points du plan, en préservant les distances et les directions entre eux, est équivalente à l'addition d'une paire de nombres fixes (a, b) aux coordonnées cartésiennes de chaque point de l'ensemble. Autrement dit, si les coordonnées originales d'un point sont (x, y), après la translation elles seront :

(x ′, y ′) = (x + a, y + b).


### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Pourriez-vous me confirmer si une translation plane..." → Confirm if plane translation preserves distances.

Key elements:
- Translation: (a,b) addition to Cartesian coordinates
- "change les distances mutuelles" → mutual distances change?
- Seeking confirmation, not derivation

### 2. Core Geometric Principle

Translation definition: T(a,b): (x,y) → (x+a, y+b)

Distance preservation check:
Before: d₁ = √((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²)
After: d₂ = √((x₁+a-x₂-a)² + (y₁+b-y₂-b)²)

Simplify: d₂ = √((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²) = d₁

∴ Distance invariant under translation ✓

### 3. Mathematical Verification

For any two points P₁(x₁,y₁) and P₂(x₂,y₂):
- Original distance: D = √(Δx² + Δy²) where Δx = x₁-x₂, Δy = y₁-y₂
- Translated points: P₁(x₁+a,y₁+b), P₂(x₂+a,y₂+b)  
- Translated distance: D' = √(Δx' + Δy')² where Δx' = (x₁+a)-(x₂+a) = x₁-x₂, Δy' = (y₁+b)-(y₂+b) = y₁-y₂

Since Δx' = Δx and Δy' = Δy, we get D' = √(Δx² + Δy²) = D

● High confidence: Translation preserves all distances

### 4. Geometric Intuition

Translation slides entire coordinate system without scaling/rotation. 
→ All relative positions maintained
→ All pairwise separations unchanged

Think: Slide a photograph on table → objects stay same distance apart
Same principle in Cartesian space.

### 5. Answer Structure

Yes, confirmed: Translation preserves mutual distances.

Proof sketch:
- Distance formula remains unchanged under (a,b) coordinate addition
- Relative positioning invariant
- Mathematical verification: d₁ = d₂

NB: This is fundamental property of rigid transformations in Euclidean geometry.

### Answer###
Oui, je peux vous confirmer que la translation plane effectuée en ajoutant des constantes (a, b) aux coordonnées cartésiennes d'un ensemble de points ne change pas les distances mutuelles entre ces points.

Lors d'une translation, les coordonnées (x, y) d'un point deviennent (x + a, y + b). Cette transformation maintient les distances et directions relatives entre tous les points de l'ensemble. En termes mathématiques, si vous considérez deux points quelconques avant et après la translation, leur distance reste inchangée car la formule de distance ne dépend que des différences entre les coordonnées x et y, qui sont préservées par l'opération d'addition.

Cette propriété fait de la translation une transformation rigide, préservant toutes les relations géométriques entre les points de l'espace.