Comment c'est que l'équation de conservation de la masse s'intègre avec tous ces termes de viscosité dans les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques ?
Spherical coordinates

In spherical coordinates, the r {\textstyle r}, ϕ {\textstyle \phi }, and θ {\textstyle \theta } momentum equations are (note the convention used: θ {\textstyle \theta } is polar angle, or colatitude, 0 ≤ θ ≤ π {\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }): r: ρ (∂ t u r + u r ∂ r u r + u φ r sin θ ∂ φ u r + u θ r ∂ θ u r − u φ 2 + u θ 2 r) = − ∂ r p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u r) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u r + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u r) − 2 u r + ∂ θ u θ + u θ cot θ r 2 − 2 r 2 sin θ ∂ φ u φ) + 1 3 μ ∂ r (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g r {\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\\end{aligned}}} φ: ρ (∂ t u φ + u r ∂ r u φ + u φ r sin θ ∂ φ u φ + u θ r ∂ θ u φ + u r u φ + u φ u θ cot θ r) = − 1 r sin θ ∂ φ p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u φ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u φ + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u φ) + 2 sin θ ∂ φ u r + 2 cos θ ∂ φ u θ − u φ r 2 sin 2 θ) + 1 3 μ 1 r sin θ ∂ φ (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g φ {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\\end{aligned}}} θ: ρ (∂ t u θ + u r ∂ r u θ + u φ r sin θ ∂ φ u θ + u θ r ∂ θ u θ + u r u θ − u φ 2 cot θ r) = − 1 r ∂ θ p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u θ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u θ + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u θ) + 2 r 2 ∂ θ u r − u θ + 2 cos θ ∂ φ u φ r 2 sin 2 θ) + 1 3 μ 1 r ∂ θ (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g θ. {\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}

Mass continuity will read: ∂ t ρ + 1 r 2 ∂ r (ρ r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ φ (ρ u φ) + 1 r sin θ ∂ θ (sin θ ρ u θ) = 0. {\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}

These equations could be (slightly) compacted by, for example, factoring 1 r 2 {\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}} from the viscous terms. However, doing so would undesirably alter the structure of the Laplacian and other quantities.
Équations de Navier–Stokes (NS)

Ces équations représentent la conservation de la masse, la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement), la conservation de l'énergie, la loi newtonienne de l'action de la viscosité, la loi de conduction thermique de Fourier, une équation d'état reliant la densité, la température et la pression, ainsi que des formules pour la viscosité et la conductivité thermique du fluide.

En principe, les équations de NS, combinées à des conditions aux limites d'absence de flux traversant et d'absence de glissement à la surface du profil aérodynamique, pourraient être utilisées pour prédire la portance dans n'importe quelle situation de vol atmosphérique ordinaire avec une grande précision. Cependant, les écoulements d'air dans les situations pratiques impliquent toujours des turbulences dans la couche limite à proximité de la surface du profil aérodynamique, au moins sur la portion arrière du profil. Prédire la portance en résolvant les équations de NS dans leur forme brute nécessiterait des calculs capables de résoudre les détails de la turbulence, jusqu'au plus petit tourbillon. Ce n'est pas encore possible, même sur les ordinateurs les plus puissants. Ainsi, en principe, les équations de NS fournissent une théorie complète et très précise de la portance, mais la prédiction pratique de la portance nécessite que les effets de la turbulence soient modélisés dans les équations RANS plutôt que calculés directement.
### Query ###
Comment c'est que l'équation de conservation de la masse s'intègre avec tous ces termes de viscosité dans les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques ?

### Main Text ###
Spherical coordinates

In spherical coordinates, the r {\textstyle r}, ϕ {\textstyle \phi }, and θ {\textstyle \theta } momentum equations are (note the convention used: θ {\textstyle \theta } is polar angle, or colatitude, 0 ≤ θ ≤ π {\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }): r: ρ (∂ t u r + u r ∂ r u r + u φ r sin θ ∂ φ u r + u θ r ∂ θ u r − u φ 2 + u θ 2 r) = − ∂ r p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u r) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u r + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u r) − 2 u r + ∂ θ u θ + u θ cot θ r 2 − 2 r 2 sin θ ∂ φ u φ) + 1 3 μ ∂ r (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g r {\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\\end{aligned}}} φ: ρ (∂ t u φ + u r ∂ r u φ + u φ r sin θ ∂ φ u φ + u θ r ∂ θ u φ + u r u φ + u φ u θ cot θ r) = − 1 r sin θ ∂ φ p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u φ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u φ + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u φ) + 2 sin θ ∂ φ u r + 2 cos θ ∂ φ u θ − u φ r 2 sin 2 θ) + 1 3 μ 1 r sin θ ∂ φ (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g φ {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\\end{aligned}}} θ: ρ (∂ t u θ + u r ∂ r u θ + u φ r sin θ ∂ φ u θ + u θ r ∂ θ u θ + u r u θ − u φ 2 cot θ r) = − 1 r ∂ θ p + μ (1 r 2 ∂ r (r 2 ∂ r u θ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 u θ + 1 r 2 sin θ ∂ θ (sin θ ∂ θ u θ) + 2 r 2 ∂ θ u r − u θ + 2 cos θ ∂ φ u φ r 2 sin 2 θ) + 1 3 μ 1 r ∂ θ (1 r 2 ∂ r (r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ θ (u θ sin θ) + 1 r sin θ ∂ φ u φ) + ρ g θ. {\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}

Mass continuity will read: ∂ t ρ + 1 r 2 ∂ r (ρ r 2 u r) + 1 r sin θ ∂ φ (ρ u φ) + 1 r sin θ ∂ θ (sin θ ρ u θ) = 0. {\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}

These equations could be (slightly) compacted by, for example, factoring 1 r 2 {\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}} from the viscous terms. However, doing so would undesirably alter the structure of the Laplacian and other quantities.

### Supplementary Text ###
Équations de Navier–Stokes (NS)

Ces équations représentent la conservation de la masse, la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement), la conservation de l'énergie, la loi newtonienne de l'action de la viscosité, la loi de conduction thermique de Fourier, une équation d'état reliant la densité, la température et la pression, ainsi que des formules pour la viscosité et la conductivité thermique du fluide.

En principe, les équations de NS, combinées à des conditions aux limites d'absence de flux traversant et d'absence de glissement à la surface du profil aérodynamique, pourraient être utilisées pour prédire la portance dans n'importe quelle situation de vol atmosphérique ordinaire avec une grande précision. Cependant, les écoulements d'air dans les situations pratiques impliquent toujours des turbulences dans la couche limite à proximité de la surface du profil aérodynamique, au moins sur la portion arrière du profil. Prédire la portance en résolvant les équations de NS dans leur forme brute nécessiterait des calculs capables de résoudre les détails de la turbulence, jusqu'au plus petit tourbillon. Ce n'est pas encore possible, même sur les ordinateurs les plus puissants. Ainsi, en principe, les équations de NS fournissent une théorie complète et très précise de la portance, mais la prédiction pratique de la portance nécessite que les effets de la turbulence soient modélisés dans les équations RANS plutôt que calculés directement.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment c'est que l'équation de conservation de la masse..." → How mass conservation integrates with viscosity terms in spherical coordinates.

Key semantic issue: "s'intègre" could mean "integrates" or "combines/interacts with". Context suggests latter.

Core question: How do viscosity-pressure-velocity coupling terms affect mass balance in spherical coordinates?

### 2. Domain Contextualization

Navier-Stokes equations in spherical coordinates. Advanced fluid dynamics.

● Fundamental principle: mass conservation must hold irrespective of coordinate system
◐ Viscosity terms introduce momentum diffusion → pressure-velocity coupling
○ Specific integration challenges in spherical geometry

### 3. Mathematical Structure Analysis

Mass conservation in spherical coordinates:
∂ρ/∂t + 1/r² ∂/∂r (r²ρur) + 1/(r sin θ) ∂/∂φ (ρuφ) + 1/(r sin θ) ∂/∂θ (sin θ ρuθ) = 0

Viscosity terms in momentum equations:
- Radial momentum: μ/r² ∂/∂r (r²∂ur/∂r) + μ/(r²sin²θ) ∂²uφ/∂φ² + μ/(r²sinθ) ∂/∂θ (sin θ ∂uθ/∂θ)...

→ Pressure terms: -∂p/∂r, -1/(r sin θ) ∂p/∂φ, -1/r ∂p/∂θ

### 4. Integration Challenge Assessment

! Key insight: Viscosity creates velocity-dependent pressure terms through momentum diffusion

Process:
1. Viscous terms modify local velocity fields
2. Pressure responds via Poisson equation  
3. Mass conservation must account for velocity divergence from viscous forces
4. Geometric factors (1/r², 1/sin θ) complicate integration

⚠ Potential issues:
- Singular behavior at r=0 (origin)
- Angular momentum conservation
- Coupling between radial/angular momentum

### 5. Physical Constraints

Conservation laws are frame-independent → mass cannot "disappear" due to coordinate choice.

Viscosity only affects velocity fields → density changes must still satisfy mass conservation.

∴ Integration challenge is computational/mathematical, not physical.

### 6. Resolution Strategy

⟨H≈0.8⟩ The spherical dance of conservation... viscosity threads through momentum like gravity bends space-time... pressure emerges from velocity chaos... mass finds equilibrium in the geometric scaffold of coordinates...

Back to technical:

Viscosity terms introduce additional velocity-dependent source terms in mass equation. These must integrate to zero when momentum equations are satisfied.

NB: The "integration" is actually about self-consistency - viscosity-modified velocities must still satisfy mass balance.

### 7. Technical Answer Structure

- Start with mass conservation form
- Show viscosity contributions to velocity fields  
- Explain pressure coupling via momentum equations
- Conclude: integration = self-consistency requirement

◐ Uncertainties remain about:
- Exact mathematical details of the integration process
- Computational implementation challenges
- Boundary condition implications

● Core principle: mass conservation inviolate despite coordinate complexity.

---

**Final synthesis**: Mass conservation integrates with viscosity terms through momentum coupling in spherical coordinates. Viscosity modifies velocity fields via diffusion terms, which must be accounted for in mass balance. Pressure emerges as the coupling mechanism between momentum and mass conservation. The "integration" is fundamentally about mathematical consistency, not mathematical addition.

### Answer###
L'équation de conservation de masse en coordonnées sphériques présente effectivement une structure intéressante lorsqu'elle est combinée avec les termes de viscosité des équations de Navier-Stokes.

Dans ce cadre, l'équation de conservation de masse s'écrit sous la forme :
∂ρ/∂t + 1/r² ∂/∂r (r²ρur) + 1/(r sin θ) ∂/∂φ (ρuφ) + 1/(r sin θ) ∂/∂θ (sin θ ρuθ) = 0

Cette forme révèle que la dérivée temporelle de la densité est équilibrée par les divergences des flux radiaux, azimuthaux et polaires, chacun pondéré par les facteurs géométriques caractéristiques des coordonnées sphériques.

Les équations de quantité de mouvement (pour les composantes radiale, azimuthale et polaire) incluent des termes de viscosité qui modifient localement les champs de vitesse. Ces termes visqueux introduisent des gradients de pression et des effets diffusifs qui, en principe, doivent être cohérents avec la conservation de masse.

Le défi majeur réside dans l'intégration de ces différents aspects : les termes de viscosité créent des couplages entre vitesse, pression et diffusion qui doivent satisfaire la conservation de masse de manière globale. Les facteurs 1/r² et 1/(r sin θ) dans les expressions montrent comment la géométrie sphérique influence cette intégration.

Cette question touche à des aspects complexes des équations de Navier-Stokes et je ne peux détailler davantage les mécanismes d'intégration spécifiques entre conservation de masse et termes visqueux sans risque de simplifier excessivement la physique impliquée.