Est-ce que Lucas-Lehmer est vraiment plus efficace que Miller-Rabin pour tester les nombres premiers, ou est-ce qu'on utilise surtout les nombres de Mersenne parce qu'on connaît juste mieux leur structure ?
Special-purpose algorithms and the largest known prime

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly.For example, the Lucas–Lehmer primality test can determine whether a Mersenne number (one less than a power of two) is prime, deterministically,in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test. This is why since 1992 (as of December 2018) the largest known prime has always been a Mersenne prime. It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using distributed computing. In 2009, the Great Internet Mersenne Prime Search project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits. The Electronic Frontier Foundation also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.
Des algorithmes spécialisés et le plus grand nombre premier connu

Outre les tests mentionnés précédemment qui s'appliquent à tout nombre naturel, certains nombres d'une forme particulière peuvent être testés pour leur primalité plus rapidement. Par exemple, le test de primalité de Lucas-Lehmer peut déterminer si un nombre de Mersenne (un de moins qu'une puissance de deux) est premier, de manière déterministe, en même temps qu'une seule itération du test de Miller-Rabin. C'est pourquoi, depuis 1992 (au mois de décembre 2018), le plus grand nombre premier connu a toujours été un nombre premier de Mersenne. On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne.

Le tableau suivant donne les plus grands nombres premiers connus de différents types. Certains de ces nombres premiers ont été découverts grâce au calcul distribué. En 2009, le projet Great Internet Mersenne Prime Search a reçu un prix de 100 000 $ pour avoir été le premier à découvrir un nombre premier avec au moins 10 millions de chiffres. La Electronic Frontier Foundation offre également 150 000 $ et 250 000 $ pour les nombres premiers avec au moins 100 millions de chiffres et 1 milliard de chiffres, respectivement.
### Query ###
Est-ce que Lucas-Lehmer est vraiment plus efficace que Miller-Rabin pour tester les nombres premiers, ou est-ce qu'on utilise surtout les nombres de Mersenne parce qu'on connaît juste mieux leur structure ?

### Main Text ###
Special-purpose algorithms and the largest known prime

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly.For example, the Lucas–Lehmer primality test can determine whether a Mersenne number (one less than a power of two) is prime, deterministically,in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test. This is why since 1992 (as of December 2018) the largest known prime has always been a Mersenne prime. It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using distributed computing. In 2009, the Great Internet Mersenne Prime Search project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits. The Electronic Frontier Foundation also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.

### Supplementary Text ###
Des algorithmes spécialisés et le plus grand nombre premier connu

Outre les tests mentionnés précédemment qui s'appliquent à tout nombre naturel, certains nombres d'une forme particulière peuvent être testés pour leur primalité plus rapidement. Par exemple, le test de primalité de Lucas-Lehmer peut déterminer si un nombre de Mersenne (un de moins qu'une puissance de deux) est premier, de manière déterministe, en même temps qu'une seule itération du test de Miller-Rabin. C'est pourquoi, depuis 1992 (au mois de décembre 2018), le plus grand nombre premier connu a toujours été un nombre premier de Mersenne. On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne.

Le tableau suivant donne les plus grands nombres premiers connus de différents types. Certains de ces nombres premiers ont été découverts grâce au calcul distribué. En 2009, le projet Great Internet Mersenne Prime Search a reçu un prix de 100 000 $ pour avoir été le premier à découvrir un nombre premier avec au moins 10 millions de chiffres. La Electronic Frontier Foundation offre également 150 000 $ et 250 000 $ pour les nombres premiers avec au moins 100 millions de chiffres et 1 milliard de chiffres, respectivement.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Lucas-Lehmer vraiment plus efficace" → "really more efficient"
"nombres de Mersenne parce qu'on connaît juste mieux leur structure" → "Mersenne numbers because we just know their structure better"

User suspects bias. Good instinct. ※

### 2. Core Technical Claims Verification

Lucas-Lehmer test complexity: O(1) for Mersenne forms
Miller-Rabin iterations: typically 20-30 rounds needed
→ So LL faster for Mersenne specifically ●

But broader claim? "Lucas-Lehmer vraiment plus efficace" 
? Depends on what you mean by "efficace"

### 3. Historical Evidence Analysis

Since 1992: all largest known primes = Mersenne
∴ Either:
a) Mersenne numbers contain unusually many large primes
b) LL test exploits Mersenne-specific properties so well it finds them faster
c) Selection bias (we test what we can test efficiently)

⟨H≈0.8⟩ The irony cuts deep here - computational mathematics becomes archaeological, digging through specific forms like ancient ruins. Mersenne numbers as mathematical Atlantis, always one step ahead of general purpose tests. Each new discovery a reminder of what we've sacrificed in generality for efficiency... ⟨/H⟩

### 4. Efficiency Metrics Consideration

What counts as "efficace"?
- Time complexity? LL wins for Mersenne
- Memory? Both similar
- Practical runtime? LL specialized, Miller-Rabin more versatile
- Discovering record-breakers? LL dominates this niche

### 5. Bias Analysis

"nombres de Mersenne parce qu'on connaît juste mieux leur structure"

Counter-argument: LL test itself exploits known Mersenne structure
∴ Not "we know Mersenne structure better" 
→ "we engineered a test specifically for Mersenne structure"

Better framing: LL is Mersenne-optimized, not generally efficient

### 6. Synthesis

◐ Partial truth in both claims
● LL more efficient for Mersenne primality testing
◐ But driven by algorithm specialization, not just structural knowledge
○ "Really more efficient" depends on context

Key insight: User's intuition about bias correct. We've optimized a specific corner of number theory so thoroughly it creates artificial abundance in that niche.

_____
**Final assessment**: LL efficiency real but contextual. Historical dominance reflects algorithmic specialization exploiting Mersenne-specific properties rather than inherent Mersenne primality abundance.

### Answer###
La question que vous posez touche effectivement à une réalité importante de la recherche en arithmétique computationnelle. Le test de primalité de Lucas-Lehmer n'est pas intrinsèquement plus rapide que le test de Miller-Rabin pour tous les nombres, mais il présente une efficacité remarquable lorsqu'appliqué aux nombres de Mersenne.

Le test de Lucas-Lehmer peut déterminer si un nombre de Mersenne (qui est un moins qu'une puissance de deux) est premier en un temps équivalent à une seule itération du test de Miller-Rabin. Cette optimisation temporelle spécifique explique largement pourquoi, depuis 1992, le plus grand nombre premier connu a toujours été un nombre premier de Mersenne.

Cependant, votre observation sur la structure des nombres de Mersenne n'est pas tout à fait exacte. Les nombres de Mersenne ne sont pas nécessairement "mieux connus" que d'autres types de nombres en général, mais leur forme particulière les rend compatibles avec l'algorithme de Lucas-Lehmer, qui exploite leurs propriétés spécifiques.

La domination des nombres de Mersenne dans les records de primalité reflète donc moins une connaissance supérieure de leur structure, mais plutôt l'efficacité exceptionnelle du test spécialisé qui peut les traiter rapidement. Il s'agit d'un exemple d'algorithme optimisé pour une classe spécifique de nombres, plutôt qu'une supériorité générale de la structure des nombres de Mersenne.