Est-ce que vous pensez qu'on va continuer à faire la distinction entre réfutation par l'absurde et preuve par contradiction en mathématiques, ou bien ça va finir par disparaître complètement ?
Refutation by contradiction

Proof by contradiction is similar to refutation by contradiction, also known as proof of negation, which states that ¬P is proved as follows:

In contrast, proof by contradiction proceeds as follows:

Formally these are not the same, as refutation by contradiction applies only when the proposition to be proved is negated, whereas proof by contradiction may be applied to any proposition whatsoever. In classical logic, where P {\displaystyle P} and ¬ ¬ P {\displaystyle \neg \neg P} may be freely interchanged, the distinction is largely obscured. Thus in mathematical practice, both principles are referred to as "proof by contradiction".
Réfutation par l'absurde

La démonstration par l'absurde est similaire à la réfutation par l'absurde, également connue sous le nom de preuve par négation, qui stipule que ¬P est prouvé comme suit :

À l'inverse, la preuve par contradiction se déroule comme suit :

Formellement, ce ne sont pas les mêmes choses, car la réfutation par l'absurde ne s'applique que lorsque la proposition à prouver est niée, tandis que la preuve par contradiction peut être appliquée à n'importe quelle proposition. En logique classique, où P et ¬¬P peuvent être intervertis librement, cette distinction est largement estompée. Ainsi, en pratique mathématique, les deux principes sont désignés par l'expression « preuve par l'absurde ».
### Query ###
Est-ce que vous pensez qu'on va continuer à faire la distinction entre réfutation par l'absurde et preuve par contradiction en mathématiques, ou bien ça va finir par disparaître complètement ?

### Main Text ###
Refutation by contradiction

Proof by contradiction is similar to refutation by contradiction, also known as proof of negation, which states that ¬P is proved as follows:

In contrast, proof by contradiction proceeds as follows:

Formally these are not the same, as refutation by contradiction applies only when the proposition to be proved is negated, whereas proof by contradiction may be applied to any proposition whatsoever. In classical logic, where P {\displaystyle P} and ¬ ¬ P {\displaystyle \neg \neg P} may be freely interchanged, the distinction is largely obscured. Thus in mathematical practice, both principles are referred to as "proof by contradiction".

### Supplementary Text ###
Réfutation par l'absurde

La démonstration par l'absurde est similaire à la réfutation par l'absurde, également connue sous le nom de preuve par négation, qui stipule que ¬P est prouvé comme suit :

À l'inverse, la preuve par contradiction se déroule comme suit :

Formellement, ce ne sont pas les mêmes choses, car la réfutation par l'absurde ne s'applique que lorsque la proposition à prouver est niée, tandis que la preuve par contradiction peut être appliquée à n'importe quelle proposition. En logique classique, où P et ¬¬P peuvent être intervertis librement, cette distinction est largement estompée. Ainsi, en pratique mathématique, les deux principes sont désignés par l'expression « preuve par l'absurde ».

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que vous pensez qu'on va continuer à faire la distinction entre réfutation par l'absurde et preuve par contradiction en mathématiques, ou bien ça va finir par disparaître complètement ?"

→ "Do you think we'll continue making the distinction between refutation by contradiction and proof by contradiction in mathematics, or will it disappear completely?"

Key semantic issue: French "réfutation par l'absurde" vs "preuve par contradiction" 
? Are these truly distinct concepts or overlapping?

### 2. Conceptual Analysis

● Refutation by contradiction: proving ¬P by showing P → contradiction
● Proof by contradiction: proving P by showing ¬P → contradiction  

Formal difference:
- Refutation: applied to negated statements (prove ¬P)
- Proof: applied to arbitrary statements (prove P)

∴ In classical logic, where ¬¬P ≡ P, the distinction collapses.

But pedagogical/practical distinction remains? 

### 3. Historical Context

⟨H≈0.8⟩ Mathematical logic evolved through Frege, Russell, Hilbert... Proof systems crystallized. Contradiction-based arguments ancient in geometry, formalized in 19th century. French mathematical tradition strong in logic. Bourbaki influence. But textbooks increasingly unify terminology... ⟨/H⟩

◐ Evolution toward unification observable in:
- Modern logic textbooks (Spivak, van Dalen, etc.)
- Research articles treating both as "proof by contradiction"

### 4. Prediction Challenge

"va finir par disparaître complètement" → complete disappearance vs. evolution?

Factors against complete disappearance:
- Pedagogical utility of distinction
- Historical precedent in mathematical practice
- French mathematical tradition

Factors toward unification:
- Underlying logical equivalence in classical systems
- Textbook trends toward simplification
- Cross-linguistic influence (English "proof by contradiction" encompasses both)

### 5. Synthesis

○ Cannot predict complete disappearance (too complex social/cultural factors)
◐ Strong movement toward unification due to logical equivalence
● Distinction will likely persist pedagogically but weaken terminologically

NB: Mathematical practice often preserves useful distinctions even when logically redundant.

**Conclusion**: Evolution toward unification likely, but complete disappearance uncertain. Terminology convergence more probable than categorical distinction.

### Answer###
Cette question touche à une distinction fondamentale en logique mathématique qui pourrait effectivement évoluer. La réfutation par l'absurde ne s'applique que lorsque la proposition à prouver est niée, tandis que la preuve par contradiction peut être appliquée à n'importe quelle proposition. Formellement, ce sont des méthodes distinctes, mais en logique classique où P et ¬¬P peuvent être librement intervertis, la distinction devient ténue.

L'évolution de cette distinction est difficile à prévoir. D'un côté, la convergence terminologique observée dans les pratiques mathématiques contemporaines suggère une tendance vers l'unification. De l'autre, la distinction conceptuelle demeure réelle et pédagogiquement utile. Les deux méthodes peuvent être considérées comme des variantes d'une même approche argumentative - la preuve par l'absurde - ce qui explique en partie leur rapprochement terminologique.

La persistance de cette distinction dépend probablement de facteurs que je ne peux pas anticiper avec certitude : les développements futurs de la logique mathématique, les conventions établies dans les nouveaux programmes de recherche, ou encore les influences culturelles et linguistiques dans la communauté mathématique internationale.