Si on trouve un système qui marche comme celui-là, ça veut dire qu'on va jamais pouvoir être sûr de toutes les mathématiques ?
Syntactic form of the Gödel sentence

The Gödel sentence is designed to refer, indirectly, to itself. The sentence states that, when a particular sequence of steps is used to construct another sentence, that constructed sentence will not be provable in F. However, the sequence of steps is such that the constructed sentence turns out to be G itself. In this way, the Gödel sentence G indirectly states its own unprovability within F (Smith 2007, p. 135).

To prove the first incompleteness theorem, Gödel demonstrated that the notion of provability within a system could be expressed purely in terms of arithmetical functions that operate on Gödel numbers of sentences of the system. Therefore, the system, which can prove certain facts about numbers, can also indirectly prove facts about its own statements, provided that it is effectively generated. Questions about the provability of statements within the system are represented as questions about the arithmetical properties of numbers themselves, which would be decidable by the system if it were complete.

Thus, although the Gödel sentence refers indirectly to sentences of the system F, when read as an arithmetical statement the Gödel sentence directly refers only to natural numbers. It asserts that no natural number has a particular property, where that property is given by a primitive recursive relation (Smith 2007, p. 141). As such, the Gödel sentence can be written in the language of arithmetic with a simple syntactic form. In particular, it can be expressed as a formula in the language of arithmetic consisting of a number of leading universal quantifiers followed by a quantifier-free body (these formulas are at level Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} of the arithmetical hierarchy). Via the MRDP theorem, the Gödel sentence can be re-written as a statement that a particular polynomial in many variables with integer coefficients never takes the value zero when integers are substituted for its variables (Franzén 2005, p. 71).
Fonctions totales qui ne sont pas prouvables totales

Dans un système de preuve sémantiquement correct, chaque fonction prouvablement totale est bien totale, mais la réciproque n'est pas vraie : dans tout système de preuve du premier ordre suffisamment puissant et sémantiquement correct (y compris l'arithmétique de Peano), on peut prouver (dans un autre système de preuve) l'existence de fonctions totales qui ne peuvent pas être prouvées totales dans le système de preuve.

Si les fonctions calculables totales sont énumérées via les machines de Turing qui les produisent, alors l'énoncé ci-dessus peut être démontré, si le système de preuve est sémantiquement correct, par un argument de diagonalisation similaire à celui utilisé précédemment, en utilisant l'énumération des fonctions prouvables totales mentionnée précédemment. On utilise une machine de Turing qui énumère les preuves pertinentes, et pour chaque entrée n, elle appelle f(n) (où f est la n-ième fonction selon cette énumération) en invoquant la machine de Turing qui la calcule selon la n-ième preuve. Une telle machine de Turing est garantie de s'arrêter si le système de preuve est sémantiquement correct.
### Query ###
Si on trouve un système qui marche comme celui-là, ça veut dire qu'on va jamais pouvoir être sûr de toutes les mathématiques ?

### Main Text ###
Syntactic form of the Gödel sentence

The Gödel sentence is designed to refer, indirectly, to itself. The sentence states that, when a particular sequence of steps is used to construct another sentence, that constructed sentence will not be provable in F. However, the sequence of steps is such that the constructed sentence turns out to be G itself. In this way, the Gödel sentence G indirectly states its own unprovability within F (Smith 2007, p. 135).

To prove the first incompleteness theorem, Gödel demonstrated that the notion of provability within a system could be expressed purely in terms of arithmetical functions that operate on Gödel numbers of sentences of the system. Therefore, the system, which can prove certain facts about numbers, can also indirectly prove facts about its own statements, provided that it is effectively generated. Questions about the provability of statements within the system are represented as questions about the arithmetical properties of numbers themselves, which would be decidable by the system if it were complete.

Thus, although the Gödel sentence refers indirectly to sentences of the system F, when read as an arithmetical statement the Gödel sentence directly refers only to natural numbers. It asserts that no natural number has a particular property, where that property is given by a primitive recursive relation (Smith 2007, p. 141). As such, the Gödel sentence can be written in the language of arithmetic with a simple syntactic form. In particular, it can be expressed as a formula in the language of arithmetic consisting of a number of leading universal quantifiers followed by a quantifier-free body (these formulas are at level Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} of the arithmetical hierarchy). Via the MRDP theorem, the Gödel sentence can be re-written as a statement that a particular polynomial in many variables with integer coefficients never takes the value zero when integers are substituted for its variables (Franzén 2005, p. 71).

### Supplementary Text ###
Fonctions totales qui ne sont pas prouvables totales

Dans un système de preuve sémantiquement correct, chaque fonction prouvablement totale est bien totale, mais la réciproque n'est pas vraie : dans tout système de preuve du premier ordre suffisamment puissant et sémantiquement correct (y compris l'arithmétique de Peano), on peut prouver (dans un autre système de preuve) l'existence de fonctions totales qui ne peuvent pas être prouvées totales dans le système de preuve.

Si les fonctions calculables totales sont énumérées via les machines de Turing qui les produisent, alors l'énoncé ci-dessus peut être démontré, si le système de preuve est sémantiquement correct, par un argument de diagonalisation similaire à celui utilisé précédemment, en utilisant l'énumération des fonctions prouvables totales mentionnée précédemment. On utilise une machine de Turing qui énumère les preuves pertinentes, et pour chaque entrée n, elle appelle f(n) (où f est la n-ième fonction selon cette énumération) en invoquant la machine de Turing qui la calcule selon la n-ième preuve. Une telle machine de Turing est garantie de s'arrêter si le système de preuve est sémantiquement correct.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on trouve un système qui marche comme celui-là" → If we find a system that works like that one.

Which system? Context clues needed. ● Most likely: Gödel's incompleteness theorems (1931). 

"ça veut dire qu'on va jamais pouvoir être sûr" → means we'll never be able to be certain.

Key semantic: "sûr de toutes les mathématiques" = certain about all mathematics. Absolute certainty vs. practical confidence.

Translation challenge: "marcher comme celui-là" suggests user understands the mechanism but wants meta-level confirmation.

### 2. System Identification

⟨H≈0.3⟩ Formal systems... axiomatic foundations... Hilbert's program... consistency... decidability... Peano arithmetic... first-order logic... 

→ Gödel's system: PA (Peano Arithmetic) + some formalization sufficient for self-reference.

Self-reference achieved via arithmetization of syntax. Key insight: mathematical truth ↔ computational properties of natural numbers.

### 3. Incompleteness Core

Gödel's second theorem: ∃ sentence G such that neither G ∧ ¬G provable in system.

Self-referential construction: G encodes "this sentence is not provable" → contradiction if provable → ¬G provable.

∴ System incomplete (or inconsistent).

User's intuition ✓: system "works like that one" = understands self-reference mechanism.

### 4. Meta-Mathematical Implications

"Certainty problem" analysis:

**Within system level:** 
- G unprovable (by second incompleteness)  
- ∴ Cannot prove own consistency
- ⚠ Paradox: to prove consistency, need meta-level perspective

**Meta-level perspective:**
- Can prove incompleteness of formal systems
- Can prove existence of undecidable statements  
- But cannot prove consistency of PA itself

? Can we prove that PA is consistent? 

No. Exactly Gödel's point. ↺

### 5. Universal Implications

⟨H≈0.8⟩ Mathematics... Hilbert's dream... formal foundations... every mathematical truth decidable... consistency provable... 

→ Crashed by Gödel.

Not just PA. Any sufficiently strong formal system with:
- Natural number axioms
- Function/relation definitions  
- Self-reference possibility

Suffices. ⚠ Even arithmetic.

### 6. Practical vs. Absolute Certainty

User's question distinguishes:
- Practical certainty (what we have)
- Absolute certainty (what we cannot have)

Mathematics operates via:
● Proofs: rigorous arguments within formal systems
◐ Understanding: human comprehension of mathematical objects  
○ Absolute truth: complete formal certainty

Gap between ◐ and ○ = Gödel's incompleteness.

### 7. Broader Context

Turing's work → computational undecidability.

Mathematical Platonism vs. Formalism debate.

⟨H≈1.2⟩ What is mathematics really? Abstract realm of perfect objects... or just patterns we discover/invent? Gödel shows limits of formal approach... but does that undermine mathematical reality itself? Kant's antinomies... synthetic a priori... noumena vs. phenomena... 

Back to concrete: → Mathematics as practice, not just formal system.

### 8. Answer Structure

User's intuition correct ✓.

Key insight: Self-reference creates fundamental barrier.

Mathematical certainty ≠ absolute certainty.

Systems like Gödel's prove this limitation.

∴ Formal systems have inherent incompleteness boundaries.

Practical mathematics continues via:
- Heuristics
- Approximation  
- Partial truth
- Applied success

But absolute certainty about formal consistency? Impossible.

NB: Not a bug—fundamental feature of logical systems with sufficient expressive power.

### Answer###
Votre intuition est correcte. La découverte de systèmes comme celui de Gödel révèle effectivement qu'il y a des limites fondamentales à ce que nous pouvons savoir avec certitude absolue en mathématiques.

Le système de Gödel fonctionne grâce à une construction sophistiquée qui permet à une phrase d'exprimer son propre caractère non-prouvable. Cette phrase de Gödel, lorsqu'elle est lue comme une affirmation arithmétique, fait référence uniquement aux nombres naturels mais elle affirme indirectement qu'aucun nombre naturel particulier n'a une propriété donnée.

Ce système démontre que, dans tout système formel suffisamment puissant et sémantiquement correct, on peut prouver l'existence de propositions qui ne peuvent pas être prouvées comme vraies ou fausses dans le système lui-même. Ces propositions sont des fonctions totales qui ne peuvent pas être prouvées totales, ou des énoncés qui échappent à toute démonstration formelle.

Plus précisément, le théorème d'incomplétude de Gödel montre que ces systèmes ne peuvent pas prouver leur propre cohérence sans introduire une contradiction. Cela signifie que nous ne pouvons jamais être certains que ces systèmes sont complètement cohérents, car pour le prouver, nous aurions besoin de dépasser les limites du système lui-même.

Cette limitation n'est pas un défaut des systèmes formels, mais plutôt une caractéristique fondamentale de leur pouvoir expressif. Les mathématiques pratiques continuent bien sûr à fonctionner avec un haut degré de certitude pratique, mais cette découverte montre qu'il existe des limites infranchissables à la certitude absolue formelle.