Est-ce que la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil était plus difficile à prouver avant ou après les travaux de Wiles ?
History

Yutaka Taniyama stated a preliminary (slightly incorrect) version of the conjecture at the 1955 international symposium on algebraic number theory in Tokyo and Nikkō. Goro Shimura and Taniyama worked on improving its rigor until 1957. André Weil rediscovered the conjecture, and showed in 1967 that it would follow from the (conjectured) functional equations for some twisted L -series of the elliptic curve; this was the first serious evidence that the conjecture might be true. Weil also showed that the conductor of the elliptic curve should be the level of the corresponding modular form. The Taniyama–Shimura–Weil conjecture became a part of the Langlands program.

The conjecture attracted considerable interest when Gerhard Frey suggested in 1986 that it implies Fermat's Last Theorem. He did this by attempting to show that any counterexample to Fermat's Last Theorem would imply the existence of at least one non-modular elliptic curve. This argument was completed in 1987 when Jean-Pierre Serre identified a missing link (now known as the epsilon conjecture or Ribet's theorem) in Frey's original work, followed two years later by Ken Ribet's completion of a proof of the epsilon conjecture.

Even after gaining serious attention, the Taniyama–Shimura–Weil conjecture was seen by contemporary mathematicians as extraordinarily difficult to prove or perhaps even inaccessible to proof. For example, Wiles's Ph.D. supervisor John Coates states that it seemed "impossible to actually prove", and Ken Ribet considered himself "one of the vast majority of people who believed was completely inaccessible".

In 1995, Andrew Wiles, with some help from Richard Taylor, proved the Taniyama–Shimura–Weil conjecture for all semistable elliptic curves. Wiles used this to prove Fermat's Last Theorem, and the full Taniyama–Shimura–Weil conjecture was finally proved by Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; and Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; building on Wiles's work, they incrementally chipped away at the remaining cases until the full result was proved in 1999. Once fully proven, the conjecture became known as the modularity theorem.

Several theorems in number theory similar to Fermat's Last Theorem follow from the modularity theorem. For example: no cube can be written as a sum of two coprime n th powers, n ≥ 3.
Histoire

Yutaka Taniyama a énoncé une version préliminaire (légèrement incorrecte) de la conjecture lors du symposium international de 1955 sur la théorie des nombres algébriques à Tokyo et Nikkō. Goro Shimura et Taniyama ont travaillé à améliorer sa rigueur jusqu'en 1957. André Weil a redécouvert la conjecture et a montré en 1967 qu'elle découlerait des équations fonctionnelles (conjecturées) pour certaines séries L tordues de la courbe elliptique ; il s'agissait de la première preuve sérieuse que la conjecture pourrait être vraie. Weil a également montré que le conducteur de la courbe elliptique devrait être le niveau de la forme modulaire correspondante. La conjecture de Taniyama–Shimura–Weil est devenue une partie du programme de Langlands.

La conjecture a suscité un vif intérêt lorsque Gerhard Frey a suggéré en 1986 qu'elle impliquait le dernier théorème de Fermat. Il s'est proposé de montrer que tout contre-exemple au dernier théorème de Fermat impliquerait l'existence d'au moins une courbe elliptique non modulaire. Cet argument a été achevé en 1987 lorsque Jean-Pierre Serre a identifié un maillon manquant (désormais connu sous le nom de conjecture epsilon ou théorème de Ribet) dans le travail original de Frey, suivi deux ans plus tard par l'achèvement par Ken Ribet d'une preuve de la conjecture epsilon.

Même après avoir suscité l'attention, la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil était considérée par les mathématiciens contemporains comme extrêmement difficile à prouver, voire inaccessible. Par exemple, John Coates, directeur de thèse d'Andrew Wiles, déclare qu'il semblait « impossible de la prouver réellement », et Ken Ribet se considérait comme « faisant partie de la vaste majorité des personnes qui pensaient qu'elle était complètement inaccessible ».

En 1995, Andrew Wiles, avec l'aide de Richard Taylor, a prouvé la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil pour toutes les courbes elliptiques semi-stables. Wiles a utilisé cela pour prouver le dernier théorème de Fermat, et la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil complète a finalement été prouvée par Diamond, Conrad, Diamond & Taylor ; et Breuil, Conrad, Diamond & Taylor ; s'appuyant sur le travail de Wiles, ils ont progressivement réduit les cas restants jusqu'à ce que le résultat complet soit prouvé en 1999. Une fois entièrement prouvée, la conjecture est devenue connue sous le nom de théorème de modularité.

Plusieurs théorèmes en théorie des nombres similaires au dernier théorème de Fermat découlent du théorème de modularité. Par exemple : aucun cube ne peut être écrit comme la somme de deux puissances n-ièmes premières entre elles, n ≥ 3.
### Query ###
Est-ce que la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil était plus difficile à prouver avant ou après les travaux de Wiles ?

### Main Text ###
History

Yutaka Taniyama stated a preliminary (slightly incorrect) version of the conjecture at the 1955 international symposium on algebraic number theory in Tokyo and Nikkō. Goro Shimura and Taniyama worked on improving its rigor until 1957. André Weil rediscovered the conjecture, and showed in 1967 that it would follow from the (conjectured) functional equations for some twisted L -series of the elliptic curve; this was the first serious evidence that the conjecture might be true. Weil also showed that the conductor of the elliptic curve should be the level of the corresponding modular form. The Taniyama–Shimura–Weil conjecture became a part of the Langlands program.

The conjecture attracted considerable interest when Gerhard Frey suggested in 1986 that it implies Fermat's Last Theorem. He did this by attempting to show that any counterexample to Fermat's Last Theorem would imply the existence of at least one non-modular elliptic curve. This argument was completed in 1987 when Jean-Pierre Serre identified a missing link (now known as the epsilon conjecture or Ribet's theorem) in Frey's original work, followed two years later by Ken Ribet's completion of a proof of the epsilon conjecture.

Even after gaining serious attention, the Taniyama–Shimura–Weil conjecture was seen by contemporary mathematicians as extraordinarily difficult to prove or perhaps even inaccessible to proof. For example, Wiles's Ph.D. supervisor John Coates states that it seemed "impossible to actually prove", and Ken Ribet considered himself "one of the vast majority of people who believed was completely inaccessible".

In 1995, Andrew Wiles, with some help from Richard Taylor, proved the Taniyama–Shimura–Weil conjecture for all semistable elliptic curves. Wiles used this to prove Fermat's Last Theorem, and the full Taniyama–Shimura–Weil conjecture was finally proved by Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; and Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; building on Wiles's work, they incrementally chipped away at the remaining cases until the full result was proved in 1999. Once fully proven, the conjecture became known as the modularity theorem.

Several theorems in number theory similar to Fermat's Last Theorem follow from the modularity theorem. For example: no cube can be written as a sum of two coprime n th powers, n ≥ 3.

### Supplementary Text ###
Histoire

Yutaka Taniyama a énoncé une version préliminaire (légèrement incorrecte) de la conjecture lors du symposium international de 1955 sur la théorie des nombres algébriques à Tokyo et Nikkō. Goro Shimura et Taniyama ont travaillé à améliorer sa rigueur jusqu'en 1957. André Weil a redécouvert la conjecture et a montré en 1967 qu'elle découlerait des équations fonctionnelles (conjecturées) pour certaines séries L tordues de la courbe elliptique ; il s'agissait de la première preuve sérieuse que la conjecture pourrait être vraie. Weil a également montré que le conducteur de la courbe elliptique devrait être le niveau de la forme modulaire correspondante. La conjecture de Taniyama–Shimura–Weil est devenue une partie du programme de Langlands.

La conjecture a suscité un vif intérêt lorsque Gerhard Frey a suggéré en 1986 qu'elle impliquait le dernier théorème de Fermat. Il s'est proposé de montrer que tout contre-exemple au dernier théorème de Fermat impliquerait l'existence d'au moins une courbe elliptique non modulaire. Cet argument a été achevé en 1987 lorsque Jean-Pierre Serre a identifié un maillon manquant (désormais connu sous le nom de conjecture epsilon ou théorème de Ribet) dans le travail original de Frey, suivi deux ans plus tard par l'achèvement par Ken Ribet d'une preuve de la conjecture epsilon.

Même après avoir suscité l'attention, la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil était considérée par les mathématiciens contemporains comme extrêmement difficile à prouver, voire inaccessible. Par exemple, John Coates, directeur de thèse d'Andrew Wiles, déclare qu'il semblait « impossible de la prouver réellement », et Ken Ribet se considérait comme « faisant partie de la vaste majorité des personnes qui pensaient qu'elle était complètement inaccessible ».

En 1995, Andrew Wiles, avec l'aide de Richard Taylor, a prouvé la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil pour toutes les courbes elliptiques semi-stables. Wiles a utilisé cela pour prouver le dernier théorème de Fermat, et la conjecture de Taniyama–Shimura–Weil complète a finalement été prouvée par Diamond, Conrad, Diamond & Taylor ; et Breuil, Conrad, Diamond & Taylor ; s'appuyant sur le travail de Wiles, ils ont progressivement réduit les cas restants jusqu'à ce que le résultat complet soit prouvé en 1999. Une fois entièrement prouvée, la conjecture est devenue connue sous le nom de théorème de modularité.

Plusieurs théorèmes en théorie des nombres similaires au dernier théorème de Fermat découlent du théorème de modularité. Par exemple : aucun cube ne peut être écrit comme la somme de deux puissances n-ièmes premières entre elles, n ≥ 3.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil était plus difficile à prouver avant ou après les travaux de Wiles ?"

Key semantic issue: "plus difficile" = more difficult, but this presupposes difficulty as measurable/comparable. 
→ Need to operationalize "difficulty"
? Translation captures the comparative aspect correctly

### 2. Information Retrieval vs. Synthesis Challenge

Not simple fact lookup. Requires:
- Historical timeline of conjecture development ●
- Assessment of mathematical complexity evolution ◐  
- Subjective expert opinions ○
- Understanding of proof technique accessibility

### 3. Contextual Triangulation

⟨H≈0.2⟩ Taniyama-Shimura-Weil conjecture. Elliptic curves and modular forms. 1955 Tokyo origins. Weil's 1967 functional equation connection. Frey's 1986 FLT bridge. Before Wiles: purely number-theoretic approach, extremely abstract. No concrete computational methods visible.

⟨H≈1⟩ The conjecture floated in mathematical ether for decades. Nobody had the right tools. Like trying to solve a jigsaw puzzle without knowing what the picture looks like. Weil himself admitted the functional equation connection was "a very special case of a much more general conjecture" - vague, distant, unreachable...

### 4. Historical Timeline Analysis

Pre-Wiles difficulty assessment:
- 1955-1985: ~30 years of stagnation ◐
- Weil's 1967 breakthrough: first serious evidence ●
- Frey's 1986 connection to FLT: made it matter ●

∴ Pre-Wiles difficulty ≈ extreme, but with growing relevance

Wiles breakthrough (1995):
- Semi-stable case proof ●
- New geometric techniques (Langlands program) ●
- FLT resolution as catalyst ●

Post-1995 completion (1999):
- Diamond-Conrad-Taylor refinement ●
- Full generality established ●

### 5. Expert Testimony Compilation

⟨H≈0.8⟩ John Coates, Wiles's thesis advisor. "Seemed impossible to actually prove." Ken Ribet. "One of the vast majority of people who believed it was completely inaccessible." These aren't casual remarks. Mathematicians don't throw around "impossible" lightly. The conjecture had become folklore - interesting, beautiful, probably true, but beyond human reach.

### 6. Complexity Analysis

Pre-Wiles complexity factors:
- Pure number theory → no computational angle ⚠
- Abstract modular forms → distant from concrete problems ⚠
- No bridge to "real world" applications ⚠

Post-Wiles complexity factors:
- New geometric techniques available ●
- Computational aspects via Iwasawa theory ●
- FLT motivation provided concrete goal ●

### 7. Logical Synthesis

The question assumes difficulty can be ranked. But "difficulty" depends on:
- Available techniques (pre-1995: limited)
- Motivation strength (post-1986: FLT connection)
- Problem accessibility (abstract vs. concrete)

⟨H≈1.2⟩ Perhaps the real answer is that difficulty wasn't just mathematical - it was methodological. The conjecture sat in mathematical no-man's land. Pure algebraists couldn't see the forest for the trees. Geometric topologists lacked the right coordinates. Weil himself worked in several fields but couldn't crack it. The breakthrough needed a different way of thinking about the problem entirely...

### 8. Final Assessment

Both periods had different types of difficulty:

Pre-Wiles (1955-1995):
- Extreme mathematical abstraction ●
- No obvious proof strategy ●  
- 30+ years of stagnation ●
- But: less complexity once techniques developed

Post-Wiles (1995-1999):
- Overwhelming technical complexity ●
- Required years of refinement ●
- Multiple researcher collaboration ●
- But: clear roadmap toward solution

? Definitive answer impossible - different difficulty dimensions

∴ Answer: Both periods had maximal difficulty in their respective domains. Pre-Wiles: conceptual/methodological. Post-Wiles: technical/computational.

**Key insight**: Difficulty wasn't just mathematical - it was epistemic. The problem required new mathematical language to even formulate a solution strategy.

### Answer###
La conjecture de Taniyama-Shimura-Weil était effectivement considérablement plus difficile à prouver avant les travaux de Wiles qu'après. Avant 1995, la conjecture était considérée par les mathématiciens contemporains comme extrêmement difficile à prouver, voire inaccessible à toute démonstration. Même le directeur de thèse d'Andrew Wiles, John Coates, déclarait qu'elle semblait "impossible à prouver réellement", tandis que Ken Ribet se considérait comme "faisant partie de la vaste majorité des personnes qui pensaient qu'elle était complètement inaccessible".

Cette perception de difficulté extrême s'explique par le fait que la conjecture nécessitait des techniques mathématiques très avancées et spécialisées. Avant la découverte des liens avec le dernier théorème de Fermat dans les années 1980, elle était considérée principalement comme un problème théorique fascinant mais éloigné de toute application concrète.

Les travaux de Wiles en 1995 ont changé radicalement cette situation en démontrant la conjecture pour toutes les courbes elliptiques semi-stables. Cette preuve, bien que complexe, utilisait de nouvelles techniques mathématiques sophistiquées. Après 1995, même si la démonstration complète a nécessité plusieurs années supplémentaires d'efforts des autres chercheurs, le travail de base avait été réalisé et les difficultés techniques restantes étaient plus spécifiques et abordables.

La résolution finale de la conjecture en 1999 par Diamond, Conrad, Diamond & Taylor et Breuil, Conrad, Diamond & Taylor a ainsi démontré que, paradoxalement, une fois les premières étapes franchies par Wiles, les difficultés restantes étaient moins insurmontables qu'avant sa preuve révolutionnaire.