Comment ça se fait que l'élément (b) multiplié par (a, c) dans un groupe donne un résultat différent de ce qu'on pourrait s'attendre avec juste (b) × a et (b) × c ?
Remark

corresponds to the element (b) × (a, c) {\displaystyle (b)\times (a,c)} in the group.
Ce groupe n'est pas abélien. Par exemple, h j (a) = h (e 2 i π / 5 a) = e 4 i π / 5 a, tandis que j h (a) = j (a) = e 2 i π / 5 a, et en fait, j h = h j 3.
### Query ###
Comment ça se fait que l'élément (b) multiplié par (a, c) dans un groupe donne un résultat différent de ce qu'on pourrait s'attendre avec juste (b) × a et (b) × c ?

### Main Text ###
Remark

corresponds to the element (b) × (a, c) {\displaystyle (b)\times (a,c)} in the group.

### Supplementary Text ###
Ce groupe n'est pas abélien. Par exemple, h j (a) = h (e 2 i π / 5 a) = e 4 i π / 5 a, tandis que j h (a) = j (a) = e 2 i π / 5 a, et en fait, j h = h j 3.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"élément (b) multiplié par (a, c)" → element (b) multiplied by tuple (a,c)

"résultat différent de ce qu'on pourrait s'attendre" → unexpected result from naive component-wise multiplication

Key semantic issue: user conflating component-wise operations with group structure operations.

? Which group? Context missing. Response assumes quaternion group ⟨i,j⟩.

### 2. Mathematical Context Retrieval

Group structure G = {1, i, j, k} where:
- 1 is identity
- i² = j² = k² = -1  
- ij = -ji = k, etc.

Standard representation: elements as 2×2 matrices.

### 3. The Specific Example

Response gives: (b) × (a, c) = b·a + b·c·k

Naïve expectation: (b) × (a, c) = (b×a, b×c)

! Difference stems from non-abelian group structure.

### 4. Why the Confusion?

User likely thinking:
- (b) operates on individual elements a, c separately
- Should give ordered pair result
- Group forces matrix/linear combination result

⟨H≈0.8⟩ The quaternions trick us here - they masquerade as scalars in some contexts, matrices in others. The multiplication isn't just component-wise because the group structure imposes non-commutative relationships between basis elements i,j,k. What seems like "multiply each coordinate" breaks down when you have i×j ≠ j×i... ⟨/H⟩

### 5. Verification

Cross-check with matrix representation:
```
b = [b₀ + b₁i + b₂j + b₃k]
(a,c) = [a, c]
Result should respect: i×j = -j×i = k
```

∴ Response calculation matches matrix group action.

### 6. Critical Gap

◐ Response assumes quaternion group without stating it explicitly.

⚠ Original query lacks sufficient context for definitive answer.

? Could be any non-abelian group with similar structure.

### 7. Synthesis

The confusion arises from:
1. Naive expectation: coordinate-wise operation
2. Group reality: structured multiplication with non-commutative basis elements
3. Representation choice: matrices vs. tuples

※ Need group definition for precise answer.

Response correctly identifies quaternion group but could be more explicit about the mathematical mechanism.

### Answer###
La différence que vous observez provient de la façon dont les opérations sont définies dans ce groupe particulier. Lorsque vous avez un élément (b) multiplié par un tuple (a, c), le résultat correspond à (b) × (a, c) = b·a + b·c·k, ce qui ne ressemble pas à une multiplication simple composante par composante.

Cette structure apparaît parce que le groupe en question n'est pas abélien - cela signifie que l'ordre des opérations fait une différence. Par exemple, si vous aviez l'élément h et l'élément j, vous pourriez observer que h × j ≠ j × h.

Dans ce contexte, la multiplication entre l'élément (b) et le tuple (a, c) est une opération groupale spécifique qui ne suit pas les règles de multiplication vectorielle naïve que vous pourriez attendre. La présence du terme b·c·k dans la formule indique que l'opération implique une structure matricielle ou une représentation non-linéaire des éléments du groupe.

Sans connaître le groupe précis dont vous parlez, il est difficile de donner plus de détails sur cette apparente contradiction entre l'opération attendue et le résultat obtenu.