C'est quoi la différence entre ces orbitales réelles ψ n,3,+1 et les orbitales atomiques p ordinaires ?
Real orbitals

ψ n, 3, + 1 real = R n, 3 1 4 21 2 π ⋅ x ⋅ (5 z 2 − r 2) r 3 {\displaystyle \psi _{n,3,+1}^{\text{real}}=R_{n,3}{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}}
**Orbitales réelles**

Au lieu des orbitales complexes décrites ci-dessus, il est courant, notamment dans la littérature chimique, d'utiliser des orbitales atomiques réelles. Ces orbitales réelles découlent de combinaisons linéaires simples d'orbitales complexes. En utilisant la convention de phase de Condon–Shortley, les orbitales réelles sont liées aux orbitales complexes de la même manière que les harmoniques sphériques réelles sont liées aux harmoniques sphériques complexes. Soit ψₙ, ℓ, m désignant une orbitale complexe avec les nombres quantiques n, l et m, les orbitales réelles ψₙ, ℓ, m réelle peuvent être définies par :

ψₙ, ℓ, m réelle = { 2 (− 1)ᵐ Im { ψₙ, ℓ, | m | } pour m < 0
ψₙ, ℓ, | m | pour m = 0
2 (− 1)ᵐ Re { ψₙ, ℓ, | m | } pour m > 0
= { i 2 (ψₙ, ℓ, − | m | − (− 1)ᵐ ψₙ, ℓ, | m |) pour m < 0
ψₙ, ℓ, | m | pour m = 0
1 2 (ψₙ, ℓ, − | m | + (− 1)ᵐ ψₙ, ℓ, | m |) pour m > 0
{\displaystyle \psi _{n,\ell,m}^{\text{real}}={\begin{cases}{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Im}}\left\{\psi _{n,\ell,|m|}\right\}&{\text{ for }}m<0\\\psi _{n,\ell,|m|}&{\text{ for }}m=0\\{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Re}}\left\{\psi _{n,\ell,|m|}\right\}&{\text{ for }}m>0\end{cases}}={\begin{cases}{\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell,-|m|}-(-1)^{m}\psi _{n,\ell,|m|}\right)&{\text{ for }}m<0\\\psi _{n,\ell,|m|}&{\text{ for }}m=0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell,-|m|}+(-1)^{m}\psi _{n,\ell,|m|}\right)&{\text{ for }}m>0\\\end{cases}}}

Si ψₙ, ℓ, m (r, θ, ϕ) = Rₙl (r) Y ℓ m (θ, ϕ), avec Rₙl (r) étant la partie radiale de l'orbitale, cette définition est équivalente à ψₙ, ℓ, m réelle (r, θ, ϕ) = Rₙl (r) Y ℓ m (θ, ϕ) où Y ℓ m est l'harmonique sphérique réelle liée soit à la partie réelle soit à la partie imaginaire de l'harmonique sphérique complexe Y ℓ m.

Les harmoniques sphériques réelles sont physiquement pertinentes lorsque l'atome est intégré dans un solide cristallin, auquel cas il existe plusieurs axes de symétrie privilégiés mais aucune direction privilégiée unique. Les orbitales atomiques réelles sont également plus fréquemment rencontrées dans les manuels de chimie introductifs et sont présentées dans les visualisations d'orbitales courantes. Dans les orbitales réelles d'atomes analogues à l'hydrogène, les nombres quantiques n et l ont la même interprétation et la même signification que leurs homologues complexes, mais m n'est plus un nombre quantique valable (mais sa valeur absolue l'est).

Certaines orbitales réelles reçoivent des noms spécifiques en plus de la désignation simple ψₙ, ℓ, m. Les orbitales avec le nombre quantique ℓ égal à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … sont appelées orbitales s, p, d, f, g, h, i … . Avec cela, on peut déjà attribuer des noms aux orbitales complexes telles que 2 p ± 1 = ψ 2, 1, ± 1 ; le premier symbole est le nombre quantique n, le deuxième caractère est le symbole pour ce nombre quantique ℓ particulier et le sous-indice est le nombre quantique m.

Par exemple, pour montrer comment les noms complets des orbitales sont générés pour les orbitales réelles, on peut calculer ψₙ, 1, ± 1 réelle. D'après le tableau des harmoniques sphériques, ψₙ, 1, ± 1 = Rₙ, 1 Y 1 ± 1 = ∓ Rₙ, 1 3 / 8 π ⋅ (x ± i y) / r avec r = x² + y² + z². Ensuite :

De même ψₙ, 1, 0 = Rₙ, 1 3 / 4 π ⋅ z / r. En tant qu'exemple plus complexe :

Dans tous ces cas, nous générons une étiquette cartésienne pour l'orbitale en examinant et en abrégeant le polynôme en x, y et z apparaissant au numérateur. Nous ignorons tous les termes du polynôme en z et r, sauf le terme ayant le plus grand exposant en z. Nous utilisons ensuite le polynôme abrégé comme étiquette de sous-indice pour l'état atomique, en utilisant la même nomenclature que ci-dessus pour indiquer les nombres quantiques n et ℓ.

L'expression ci-dessus utilise la convention de phase de Condon–Shortley, qui est favorisée par les physiciens quantiques. D'autres conventions existent pour la phase des harmoniques sphériques. Dans ces conventions différentes, les orbitales pₓ et pᵧ peuvent apparaître, par exemple, comme la somme et la différence des orbitales p₊₁ et p₋₁, contrairement à ce qui est indiqué ci-dessus.

Ci-dessous, une liste des noms de polynômes cartésiens pour les orbitales atomiques. Il ne semble pas y avoir de référence dans la littérature sur la façon d'abréger les longs polynômes harmoniques sphériques pour ℓ > 3, il n'y a donc pas de consensus sur la dénomination des orbitales g et supérieures selon cette nomenclature.
### Query ###
C'est quoi la différence entre ces orbitales réelles ψ n,3,+1 et les orbitales atomiques p ordinaires ?

### Main Text ###
Real orbitals

ψ n, 3, + 1 real = R n, 3 1 4 21 2 π ⋅ x ⋅ (5 z 2 − r 2) r 3 {\displaystyle \psi _{n,3,+1}^{\text{real}}=R_{n,3}{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}}

### Supplementary Text ###
**Orbitales réelles**

Au lieu des orbitales complexes décrites ci-dessus, il est courant, notamment dans la littérature chimique, d'utiliser des orbitales atomiques réelles. Ces orbitales réelles découlent de combinaisons linéaires simples d'orbitales complexes. En utilisant la convention de phase de Condon–Shortley, les orbitales réelles sont liées aux orbitales complexes de la même manière que les harmoniques sphériques réelles sont liées aux harmoniques sphériques complexes. Soit ψₙ, ℓ, m désignant une orbitale complexe avec les nombres quantiques n, l et m, les orbitales réelles ψₙ, ℓ, m réelle peuvent être définies par :

ψₙ, ℓ, m réelle = { 2 (− 1)ᵐ Im { ψₙ, ℓ, | m | } pour m < 0
ψₙ, ℓ, | m | pour m = 0
2 (− 1)ᵐ Re { ψₙ, ℓ, | m | } pour m > 0
= { i 2 (ψₙ, ℓ, − | m | − (− 1)ᵐ ψₙ, ℓ, | m |) pour m < 0
ψₙ, ℓ, | m | pour m = 0
1 2 (ψₙ, ℓ, − | m | + (− 1)ᵐ ψₙ, ℓ, | m |) pour m > 0
{\displaystyle \psi _{n,\ell,m}^{\text{real}}={\begin{cases}{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Im}}\left\{\psi _{n,\ell,|m|}\right\}&{\text{ for }}m<0\\\psi _{n,\ell,|m|}&{\text{ for }}m=0\\{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Re}}\left\{\psi _{n,\ell,|m|}\right\}&{\text{ for }}m>0\end{cases}}={\begin{cases}{\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell,-|m|}-(-1)^{m}\psi _{n,\ell,|m|}\right)&{\text{ for }}m<0\\\psi _{n,\ell,|m|}&{\text{ for }}m=0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell,-|m|}+(-1)^{m}\psi _{n,\ell,|m|}\right)&{\text{ for }}m>0\\\end{cases}}}

Si ψₙ, ℓ, m (r, θ, ϕ) = Rₙl (r) Y ℓ m (θ, ϕ), avec Rₙl (r) étant la partie radiale de l'orbitale, cette définition est équivalente à ψₙ, ℓ, m réelle (r, θ, ϕ) = Rₙl (r) Y ℓ m (θ, ϕ) où Y ℓ m est l'harmonique sphérique réelle liée soit à la partie réelle soit à la partie imaginaire de l'harmonique sphérique complexe Y ℓ m.

Les harmoniques sphériques réelles sont physiquement pertinentes lorsque l'atome est intégré dans un solide cristallin, auquel cas il existe plusieurs axes de symétrie privilégiés mais aucune direction privilégiée unique. Les orbitales atomiques réelles sont également plus fréquemment rencontrées dans les manuels de chimie introductifs et sont présentées dans les visualisations d'orbitales courantes. Dans les orbitales réelles d'atomes analogues à l'hydrogène, les nombres quantiques n et l ont la même interprétation et la même signification que leurs homologues complexes, mais m n'est plus un nombre quantique valable (mais sa valeur absolue l'est).

Certaines orbitales réelles reçoivent des noms spécifiques en plus de la désignation simple ψₙ, ℓ, m. Les orbitales avec le nombre quantique ℓ égal à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … sont appelées orbitales s, p, d, f, g, h, i … . Avec cela, on peut déjà attribuer des noms aux orbitales complexes telles que 2 p ± 1 = ψ 2, 1, ± 1 ; le premier symbole est le nombre quantique n, le deuxième caractère est le symbole pour ce nombre quantique ℓ particulier et le sous-indice est le nombre quantique m.

Par exemple, pour montrer comment les noms complets des orbitales sont générés pour les orbitales réelles, on peut calculer ψₙ, 1, ± 1 réelle. D'après le tableau des harmoniques sphériques, ψₙ, 1, ± 1 = Rₙ, 1 Y 1 ± 1 = ∓ Rₙ, 1 3 / 8 π ⋅ (x ± i y) / r avec r = x² + y² + z². Ensuite :

De même ψₙ, 1, 0 = Rₙ, 1 3 / 4 π ⋅ z / r. En tant qu'exemple plus complexe :

Dans tous ces cas, nous générons une étiquette cartésienne pour l'orbitale en examinant et en abrégeant le polynôme en x, y et z apparaissant au numérateur. Nous ignorons tous les termes du polynôme en z et r, sauf le terme ayant le plus grand exposant en z. Nous utilisons ensuite le polynôme abrégé comme étiquette de sous-indice pour l'état atomique, en utilisant la même nomenclature que ci-dessus pour indiquer les nombres quantiques n et ℓ.

L'expression ci-dessus utilise la convention de phase de Condon–Shortley, qui est favorisée par les physiciens quantiques. D'autres conventions existent pour la phase des harmoniques sphériques. Dans ces conventions différentes, les orbitales pₓ et pᵧ peuvent apparaître, par exemple, comme la somme et la différence des orbitales p₊₁ et p₋₁, contrairement à ce qui est indiqué ci-dessus.

Ci-dessous, une liste des noms de polynômes cartésiens pour les orbitales atomiques. Il ne semble pas y avoir de référence dans la littérature sur la façon d'abréger les longs polynômes harmoniques sphériques pour ℓ > 3, il n'y a donc pas de consensus sur la dénomination des orbitales g et supérieures selon cette nomenclature.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"ψₙ,3,+1 réelles" → real atomic orbitals. User asking difference from regular p orbitals.

Translation issue: "orbitales réelles" = real orbitals, not "true" orbitals. Standard quantum chemistry terminology.

? Context: Why focus on n=3 specifically?

### 2. Core Distinction

Regular p orbitals: complex spherical harmonics |ψₙ,ℓ,m⟩
Real orbitals: ψₙ,ℓ,m_real = (1/√2) (|ψₙ,ℓ,m⟩ + (-1)^m |ψₙ,ℓ,-m⟩)

→ Mathematical transformation. Same |n,ℓ⟩ quantum state, different phase convention.

! Key insight: All real orbitals derivable from complex basis via linear combination.

### 3. Physical Properties

Real orbitals → cartesian symmetry. Each lobe has definite sign.
Complex orbitals → rotational degeneracy. Phases arbitrary.

※ n=3 case: 3p real orbitals have x,y,z directional character explicitly visible.

### 4. Visualization & Interpretation

● Real orbitals: direct visualization of electron density lobes
● Complex orbitals: interference patterns, mathematical convenience only

∴ Real orbitals preferred for pedagogical reasons. Same physics, different mathematical representation.

### 5. Technical Details

For n=3, 3p orbitals:
- 3p_x: (x/r) real orbital
- 3p_y: (y/r) real orbital  
- 3p_z: (z/r) real orbital

Compare to complex 3p±1:
- 3p±1: (x ± iy)/(√2r) complex orbitals

→ Simple linear transformation connects both representations.

⟨H≈0.8⟩ The mathematics behind this transformation reveals deeper symmetries... real vs complex representations encode different aspects of the underlying Hilbert space structure. The Cartesian nature of real orbitals makes them naturally suited for crystalline environments where cubic symmetry dominates. Complex orbitals retain full rotational invariance but lose the intuitive directional character that makes chemistry teaching possible...

### 6. Conclusion

Real orbitals = complex orbitals in different phase convention.
Real orbitals → cartesian visualization, definite sign lobes
Complex orbitals → mathematical convenience, rotational symmetry preserved

⚠ User must understand: same physics, different mathematical tools.

! Final insight: Transformation is reversible. Real orbitals complete basis for any state describable by complex orbitals.

### Answer###
Les orbitales réelles ψₙ,3,+1 réelles diffèrent des orbitales atomiques p ordinaires par leur forme mathématique et leurs propriétés physiques.

Les orbitales réelles sont des combinaisons linéaires des orbitales complexes. Pour le cas spécifique ψₙ,3,+1 réelles, cette orbitale réelle peut être exprimée comme une transformation de l'orbitale complexe ψₙ,3,+1 :

ψₙ,3,+1 réelles = Rₙ,3 ⋅ (1/4) ⋅ (√21/(2π)) ⋅ (x ⋅ (5z² - r²)/r³)

Cette forme révèle que l'orbitale réelle a une dépendance directionnelle spécifique, avec une distribution de probabilité qui met en évidence les composantes le long de l'axe z et les lobes directionnels.

Contrairement aux orbitales complexes qui suivent les harmoniques sphériques, les orbitales réelles sont généralement mieux adaptées pour visualiser la distribution électronique dans l'espace cartésien. Elles peuvent être classées selon des noms spécifiques : les orbitales avec ℓ = 0 sont appelées s, celles avec ℓ = 1 sont appelées p, celles avec ℓ = 2 sont appelées d, etc.

L'avantage des orbitales réelles réside dans leur interprétation plus intuitive pour les applications pratiques, particulièrement lorsqu'on étudie les interactions entre atomes dans un environnement cristallin où la symétrie cartésienne est importante.