C'est bien ça, la réduction bêta, c'est juste une substitution ?
β-reduction

β-reduction (beta reduction) captures the idea of function application. β-reduction is defined in terms of substitution: the β-reduction of (λ x. M) N is M.

For example, assuming some encoding of 2, 7, ×, we have the following β-reduction: (λ n. n × 2) 7 → 7 × 2.

β-reduction can be seen to be the same as the concept of local reducibility in natural deduction, via the Curry–Howard isomorphism.
Réduction β

La réduction β (ou réduction bêta) capture l'idée d'application de fonction. La réduction β est définie en termes de substitution : la réduction β de (λ x. M) N est M.

Par exemple, en supposant une certaine encodage de 2, 7, ×, nous avons la réduction β suivante : (λ n. n × 2) 7 → 7 × 2.

La réduction β peut être considérée comme équivalente au concept de réductibilité locale dans la déduction naturelle, par l'intermédiaire de l'isomorphisme de Curry-Howard.
### Query ###
C'est bien ça, la réduction bêta, c'est juste une substitution ?

### Main Text ###
β-reduction

β-reduction (beta reduction) captures the idea of function application. β-reduction is defined in terms of substitution: the β-reduction of (λ x. M) N is M.

For example, assuming some encoding of 2, 7, ×, we have the following β-reduction: (λ n. n × 2) 7 → 7 × 2.

β-reduction can be seen to be the same as the concept of local reducibility in natural deduction, via the Curry–Howard isomorphism.

### Supplementary Text ###
Réduction β

La réduction β (ou réduction bêta) capture l'idée d'application de fonction. La réduction β est définie en termes de substitution : la réduction β de (λ x. M) N est M.

Par exemple, en supposant une certaine encodage de 2, 7, ×, nous avons la réduction β suivante : (λ n. n × 2) 7 → 7 × 2.

La réduction β peut être considérée comme équivalente au concept de réductibilité locale dans la déduction naturelle, par l'intermédiaire de l'isomorphisme de Curry-Howard.

### Draft ###

Query: "C'est bien ça, la réduction bêta, c'est juste une substitution ?"

French → "Is beta reduction just substitution?"

Direct translation: ● Yes, beta reduction IS substitution.

But nuance missing. User asking if it's ONLY substitution.

### 1. Core Answer

β-reduction = substitution. Period.

(λx.M) N → M[x := N]

Where M[x := N] = substitute N for all free x in M.

∴ Simple answer: Oui.

### 2. But Wait - Is It Just Substitution?

No. ◐ Oversimplified.

Actually:
- Substitution is the **MECHANISM**
- Beta reduction is the **RULE**
- Substitution enables the reduction

### 3. The Distinction

β-reduction formal definition:
```
(λx.M) N → M[x := N]
```

But this **requires**:
- De Bruijn indices (or similar)
- Fresh variables for captured variables  
- Scope preservation via α-conversion
- Reduction contexts

→ Much more complex than naive substitution.

### 4. Why It Matters

Classical (naive) substitution fails:
- (λx.(λy.y)) (λx.x) → ?
- If we substitute blindly: (λy.y)[y := (λx.x)] = (λy.(λx.x)) ?

※ This breaks abstraction boundaries.

Proper β-reduction uses **decomposing substitution**:
- First: α-convert to fresh variables
- Then: structural substitution  
- Finally: β-reduce

### 5. Conclusion

So:
☑ Yes, β-reduction uses substitution
☐ No, it's not just substitution

The relationship is: β-reduction **employs** substitution as its core mechanism.

But β-reduction is the **rule**, substitution is the **tool**.

User's intuition correct that substitution is central. But missing the formal complexity that makes it more than just substitution.

≈ Think: reduction is the recipe, substitution is the ingredient.

### Answer###
Oui, la réduction bêta est effectivement une substitution. Plus précisément, la réduction bêta capture l'idée d'application de fonction en définissant que la réduction bêta de (λx.M) N est M[x := N], où M[x := N] représente la substitution de N à la place de x dans M.

Cependant, il faut préciser que la réduction bêta n'est pas simplement une substitution naïve. Elle emploie la substitution comme mécanisme fondamental, mais dans un cadre formel qui respecte les règles de capture et les conditions de bien-formé des termes lambda. La substitution utilisée dans la réduction bêta est donc une notion plus sophistiquée que la substitution classique, car elle doit préserver le sens et la portée des variables liées.

Pour illustrer cela, considérons l'exemple (λn. n × 2) 7, où 7 est substitué à n dans l'expression n × 2. La réduction bêta transforme cette expression en 7 × 2.

La réduction bêta peut également être vue comme équivalente au concept de réductibilité locale dans la déduction naturelle, ce qui montre sa profondeur formelle et sa relation avec d'autres concepts en logique mathématique.