Comment peut-on déterminer mathématiquement si deux droites dans l'espace tridimensionnel sont parallèles ou obliques ?
Two lines in three-dimensional space

Two lines in the same three-dimensional space that do not intersect need not be parallel. Only if they are in a common plane are they called parallel; otherwise they are called skew lines.

Two distinct lines l and m in three-dimensional space are parallel if and only if the distance from a point P on line m to the nearest point on line l is independent of the location of P on line m. This never holds for skew lines.
Deux droites dans l'espace tridimensionnel

Deux droites dans le même espace tridimensionnel qui ne se coupent pas ne sont pas nécessairement parallèles. Elles ne sont appelées parallèles que si elles se trouvent dans un même plan ; sinon, elles sont appelées droites obliques.

Deux droites distinctes l et m dans l'espace tridimensionnel sont parallèles si et seulement si la distance d'un point P sur la droite m au point le plus proche sur la droite l est indépendante de la position de P sur la droite m. Ceci n'est jamais le cas pour les droites obliques.
### Query ###
Comment peut-on déterminer mathématiquement si deux droites dans l'espace tridimensionnel sont parallèles ou obliques ?

### Main Text ###
Two lines in three-dimensional space

Two lines in the same three-dimensional space that do not intersect need not be parallel. Only if they are in a common plane are they called parallel; otherwise they are called skew lines.

Two distinct lines l and m in three-dimensional space are parallel if and only if the distance from a point P on line m to the nearest point on line l is independent of the location of P on line m. This never holds for skew lines.

### Supplementary Text ###
Deux droites dans l'espace tridimensionnel

Deux droites dans le même espace tridimensionnel qui ne se coupent pas ne sont pas nécessairement parallèles. Elles ne sont appelées parallèles que si elles se trouvent dans un même plan ; sinon, elles sont appelées droites obliques.

Deux droites distinctes l et m dans l'espace tridimensionnel sont parallèles si et seulement si la distance d'un point P sur la droite m au point le plus proche sur la droite l est indépendante de la position de P sur la droite m. Ceci n'est jamais le cas pour les droites obliques.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment peut-on déterminer mathématiquement si deux droites dans l'espace tridimensionnel sont parallèles ou obliques ?"

→ Mathematical determination methods for parallel vs skew lines in 3D space.

Key terms: "déterminer mathématiquement" = rigorous mathematical criteria. "parallèles ou obliques" = parallel/skew (oblique = non-intersecting non-parallel).

### 2. Core Distinction Analysis

**Non-parallel case**: Lines l, m in ℝ³ - need classification.

Two branches:
- **Skew lines** (obliques): non-intersecting, non-coplanar
- **Parallel lines**: non-intersecting, coplanar

∴ Geometric constraint: coplanarity determines parallel vs skew.

### 3. Mathematical Criteria

**Coplanarity test**: 
Lines l: parametric form **r₁(t) = r₀ + tv₁**
Lines m: parametric form **r₂(s) = r₀ + sv₂**

Condition: lines coplanar ⟺ vectors **v₁**, **v₂**, **r₁ - r₀** are linearly dependent.

**Parallel test**:
Lines coplanar + direction vectors parallel ⟺ **v₁** = k**v₂** for some scalar k ≠ 0.

**Skew test**:
Non-coplanar lines ⟺ **v₁** × **v₂** ≠ **0** (directions non-parallel)

### 4. Distance-Based Characterization

! Key insight: Distance from point P on line m to nearest point on line l constant → parallel lines.

**Distance formula**:
Let **n** = **v₁** × **v₂** (normal to both directions).
Distance = |**n** · (**r₁ - r₀**)| / ||**n**||

**Parallel condition**: dist(P) = constant independent of point choice P on line m.

**Skew condition**: dist(P) varies with P location → no constant minimum.

### 5. Verification Methods

**Method A**: Parametric forms
- Compute **v₁** × **v₂** 
- Check linear dependence of direction vectors
- Verify coplanarity condition

**Method B**: Distance approach  
- Parameterize along each line
- Calculate distance at multiple points
- Check for constant value

**Method C**: Geometric interpretation
- Construct parallelepiped from direction vectors
- Volume = 0 ⟺ coplanar
- Volume ≠ 0 ⟺ skew

### 6. Implementation Notes

In computational geometry:
- **v₁** × **v₂** = **0** → parallel (if coplanar)
- **v₁** × **v₂** ≠ **0** → skew
- Distance constancy verification requires numerical tolerance

**Edge cases**: 
- Lines intersecting: trivial classification
- Collinear lines: special parallel case
- Degenerate cases: coincident, parallel coincident

### 7. Conclusion

Mathematical determination via:
1. **Coplanarity test**: vector linear dependence
2. **Directional relationship**: parallel vectors within plane  
3. **Distance invariance**: constant minimum distance
4. **Geometric constraints**: non-intersection + coplanarity = parallel

Choice of method depends on available representations and computational resources.

### Answer###
Pour déterminer mathématiquement si deux droites dans l'espace tridimensionnel sont parallèles ou obliques, il faut d'abord établir la distinction fondamentale : deux droites qui ne se coupent pas peuvent être soit parallèles, soit obliques (ou gauches).

Pour les droites parallèles, une condition mathématique clé est que la distance d'un point sur une droite au point le plus proche sur l'autre droite reste constante, quelle que soit la position du point sur la droite. Cette propriété ne s'applique jamais aux droites obliques.

Une approche plus générale consiste à vérifier si les deux droites appartiennent à un même plan. Les droites qui ne se coupent pas et qui sont dans un plan commun sont considérées comme parallèles, tandis que celles qui ne se coupent pas et qui ne sont pas dans le même plan sont des droites obliques.

Mathématiquement, pour deux droites distinctes l et m dans l'espace tridimensionnel, elles sont parallèles si et seulement si la distance d'un point P sur la droite m au point le plus proche sur la droite l est indépendante de l'emplacement de P sur la droite m. Cette condition ne tient jamais pour les droites obliques.

Cette distinction repose sur le fait que dans l'espace euclidien tridimensionnel, les droites parallèles sont exactement les droites qui, bien qu'étant non-coplanaires, maintiennent une distance constante mutuelle.