Comment le terme gamma dans le produit infini de Hadamard pour la fonction zêta de Riemann explique-t-il à la fois les zéros triviaux et la convergence du développement ?
Hadamard product

On the basis of Weierstrass's factorization theorem, Hadamard gave the infinite product expansion

where the product is over the non-trivial zeros ρ of ζ and the letter γ again denotes the Euler–Mascheroni constant. A simpler infinite product expansion is

This form clearly displays the simple pole at s = 1, the trivial zeros at −2, −4,... due to the gamma function term in the denominator, and the non-trivial zeros at s = ρ. (To ensure convergence in the latter formula, the product should be taken over "matching pairs" of zeros, i.e. the factors for a pair of zeros of the form ρ and 1 − ρ should be combined.)
Produit de Hadamard

Sur la base du théorème de factorisation de Weierstrass, Hadamard a donné le développement infini en produit :

où le produit porte sur les zéros non triviaux ρ de ζ et la lettre γ désigne à nouveau la constante d'Euler-Mascheroni. Une forme plus simple de développement infini en produit est :

Cette forme met clairement en évidence le pôle simple en s = 1, les zéros triviaux en −2, −4, ... dus au terme de la fonction gamma au dénominateur, et les zéros non triviaux en s = ρ. (Pour assurer la convergence dans la dernière formule, le produit doit être pris sur des « paires correspondantes » de zéros, c'est-à-dire que les facteurs pour une paire de zéros de la forme ρ et 1 − ρ doivent être combinés.)
### Query ###
Comment le terme gamma dans le produit infini de Hadamard pour la fonction zêta de Riemann explique-t-il à la fois les zéros triviaux et la convergence du développement ?

### Main Text ###
Hadamard product

On the basis of Weierstrass's factorization theorem, Hadamard gave the infinite product expansion

where the product is over the non-trivial zeros ρ of ζ and the letter γ again denotes the Euler–Mascheroni constant. A simpler infinite product expansion is

This form clearly displays the simple pole at s = 1, the trivial zeros at −2, −4,... due to the gamma function term in the denominator, and the non-trivial zeros at s = ρ. (To ensure convergence in the latter formula, the product should be taken over "matching pairs" of zeros, i.e. the factors for a pair of zeros of the form ρ and 1 − ρ should be combined.)

### Supplementary Text ###
Produit de Hadamard

Sur la base du théorème de factorisation de Weierstrass, Hadamard a donné le développement infini en produit :

où le produit porte sur les zéros non triviaux ρ de ζ et la lettre γ désigne à nouveau la constante d'Euler-Mascheroni. Une forme plus simple de développement infini en produit est :

Cette forme met clairement en évidence le pôle simple en s = 1, les zéros triviaux en −2, −4, ... dus au terme de la fonction gamma au dénominateur, et les zéros non triviaux en s = ρ. (Pour assurer la convergence dans la dernière formule, le produit doit être pris sur des « paires correspondantes » de zéros, c'est-à-dire que les facteurs pour une paire de zéros de la forme ρ et 1 − ρ doivent être combinés.)

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment le terme gamma dans le produit infini de Hadamard..."

Key elements to address:
- Hadamard infinite product formula for ζ(s)
- Gamma function appearance 
- Dual explanation: trivial zeros + convergence

Translation straightforward. Mathematical French standard notation.

### 2. Hadamard Product Structure

Hadamard's formula: ζ(s) = Π(s-ρ)·exp(-sγ), where ρ = non-trivial zeros.

? Why gamma term?

Critical insight: pole at s=1 needs cancellation. 

Simple pole ⇔ residue = 1 at s=1
Gamma function: Γ(s+1) = s·Γ(s) 
→ Γ(s+1)/Γ(s) = s (has pole at s=0 with residue 1)

∴ Factor of 1/Γ(s) cancels pole → creates removable singularity at s=1

### 3. Trivial Zero Handling

⟨H≈0.3⟩ But wait... trivial zeros at negative even integers? Need to address those too.

Gamma function kills them! 
- Γ(-2k) = (-1)(-3)...(-2k+1) = (-1)^k·(2k)!/2^k·k! = ∞
- Factor of 1/Γ(s+1) → 1/Γ(-2k+1) = 0

✓ Trivial zeros eliminated from infinite product

### 4. Convergence Control

Critical observation: original infinite product diverges everywhere.

Hadamard trick: pair zeros ρ with 1-ρ (symmetry of ζ on critical line).
Product over pairs ρ, 1-ρ → convergence on Re(s) < 0.

Gamma factor crucial:
- |1/Γ(s)| < 1 for Re(s) < 0
- Exponential decay from exp(-γs)
- Combined effect: convergence control

### 5. Euler-Mascheroni Connection

γ appears naturally from:
∫⁰¹ (-∂/∂s) log ζ(s) ds = γ (functional equation derivative)

⟨H≈0.8⟩ Beautiful web... functional equation weaving through complex analysis, creating this infinite product tapestry where gamma emerges from the residue calculations, cancels poles, kills trivial zeros, controls convergence...

### 6. Synthesis

Gamma term in Hadamard product:

**For trivial zeros**: 1/Γ(s+1) kills negative even integers
**For convergence**: |1/Γ(s)| < 1 provides decay control  
**For pole structure**: cancels simple pole at s=1 via Γ(s+1)/Γ(s)

∴ Gamma function = elegant solution to multiple constraints

NB: Euler-Mascheroni constant γ appears as integration constant in this construction, connecting to functional equation of zeta.

### Answer###
Le terme gamma dans le produit infini de Hadamard pour la fonction zêta de Riemann joue un rôle fondamental dans l'explication des zéros triviaux et la convergence du développement.

**Zéros triviaux :** Le facteur 1/Γ(s+1) dans la formule de Hadamard élimine naturellement les zéros triviaux de la fonction zêta. Ces zéros se situent aux points s = -2, -4, ... et proviennent de la présence de la fonction gamma au dénominateur. Le terme 1/Γ(s+1) annule ces pôles simples, créant ainsi un comportement bien défini en ces points.

**Convergence du développement :** La présence du terme gamma permet de contrôler la convergence du produit infini. Le produit original sur tous les zéros non triviaux ρ de ζ(s) diverge partout. Cependant, en reformulant le produit sur des "paires correspondantes" de zéros (en combinant les facteurs pour une paire de zéros de la forme ρ et 1-ρ), et en incluant le facteur 1/Γ(s), la convergence est assurée pour Re(s) < 0.

**Structure des pôles :** Le produit infini reproduit la structure des pôles de ζ(s), notamment le pôle simple en s = 1, grâce à la combinaison du terme gamma avec le produit sur les zéros non triviaux.

Cette élégante formulation révèle comment la constante d'Euler-Mascheroni γ apparaît naturellement dans cette construction, illustrant l'interconnexion profonde entre les différents aspects de la fonction zêta de Riemann.