Je comprends mal comment les ondes planes interagissent quand elles se croisent. Si j'ai deux ondes planes qui se propagent dans des directions différentes, quelle est la formule qui me permet de calculer la nouvelle onde résultante ? J'ai essayé de comprendre les interférences mais je n'arrive pas à visualiser correctement ce qui se passe.
Two plane waves

which is a plane wave travelling in the direction 2 k R − k O {\displaystyle 2\mathbf {k} _{R}-\mathbf {k} _{O}}
Entre deux ondes planes

Un motif d'interférence simple est obtenu si deux ondes planes de même fréquence se croisent selon un angle. Une onde se propage horizontalement, et l'autre se propage vers le bas selon un angle θ par rapport à la première onde. En supposant que les deux ondes sont en phase au point B, la différence de phase relative varie le long de l'axe des x. La différence de phase au point A est donnée par :

Δ φ = 2 π d λ = 2 π x sin θ λ.

On peut constater que les deux ondes sont en phase lorsque :

x sin θ λ = 0, ± 1, ± 2, …,

et sont déphasées d'un demi-cycle lorsque :

x sin θ λ = ± 1 2, ± 3 2, …

L'interférence constructive se produit lorsque les ondes sont en phase, et l'interférence destructive lorsque les ondes sont déphasées d'un demi-cycle. Ainsi, un motif de franges d'interférence est produit, où la séparation des maxima est :

d f = λ sin θ

et d est appelé l'espacement des franges. L'espacement des franges augmente avec l'augmentation de la longueur d'onde, et avec la diminution de l'angle θ.

Les franges sont observées partout où les deux ondes se superposent et où l'espacement des franges est uniforme.
### Query ###
Je comprends mal comment les ondes planes interagissent quand elles se croisent. Si j'ai deux ondes planes qui se propagent dans des directions différentes, quelle est la formule qui me permet de calculer la nouvelle onde résultante ? J'ai essayé de comprendre les interférences mais je n'arrive pas à visualiser correctement ce qui se passe.

### Main Text ###
Two plane waves

which is a plane wave travelling in the direction 2 k R − k O {\displaystyle 2\mathbf {k} _{R}-\mathbf {k} _{O}}

### Supplementary Text ###
Entre deux ondes planes

Un motif d'interférence simple est obtenu si deux ondes planes de même fréquence se croisent selon un angle. Une onde se propage horizontalement, et l'autre se propage vers le bas selon un angle θ par rapport à la première onde. En supposant que les deux ondes sont en phase au point B, la différence de phase relative varie le long de l'axe des x. La différence de phase au point A est donnée par :

Δ φ = 2 π d λ = 2 π x sin θ λ.

On peut constater que les deux ondes sont en phase lorsque :

x sin θ λ = 0, ± 1, ± 2, …,

et sont déphasées d'un demi-cycle lorsque :

x sin θ λ = ± 1 2, ± 3 2, …

L'interférence constructive se produit lorsque les ondes sont en phase, et l'interférence destructive lorsque les ondes sont déphasées d'un demi-cycle. Ainsi, un motif de franges d'interférence est produit, où la séparation des maxima est :

d f = λ sin θ

et d est appelé l'espacement des franges. L'espacement des franges augmente avec l'augmentation de la longueur d'onde, et avec la diminution de l'angle θ.

Les franges sont observées partout où les deux ondes se superposent et où l'espacement des franges est uniforme.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je comprends mal comment les ondes planes interagissent quand elles se croisent" 

→ User confused about plane wave interference. Two waves propagating different directions. Seeks calculation formula for resultant wave.

"formule qui me permet de calculer" → Wants specific mathematical equation.

"visualiser correctement" → Pedagogical gap, needs conceptual bridge.

Classic interference problem. ● High confidence domain.

### 2. Mathematical Foundation

Plane waves: E₁(x,t) = E₀₁ sin(k₁x - ωt)
              E₂(x,t) = E₀₂ sin(k₂x - ωt)

Superposition principle: E_total = E₁ + E₂

Phase difference: Δφ = (k₁ - k₂)x = (2π/λ)(k₁ - k₂)x

∴ Resultant amplitude: A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(Δφ))

→ This gives you the calculation formula.

### 3. Physical Visualization

⟨H≈0.8⟩ Think ripples in pond. Two stones thrown simultaneously. Patterns emerge where waves meet. Constructive interference: peaks align, destructive: peaks cancel troughs. The mathematics captures this dance of creation and annihilation... ⟨/H⟩

Key insight: Interference patterns = f(relative phase at any point)

Destructive interference occurs when: Δφ = (2n+1)π
Constructive: Δφ = 2nπ

### 4. Geometric Interpretation

When waves cross at angle θ:
- Path difference = d = 2x sin(θ)
- Phase difference = φ = 2πd/λ = 4πx sin(θ)/λ

→ Creates spatial interference patterns

Bright fringes: constructive (φ = 0, ±2π, ±4π...)
Dark fringes: destructive (φ = ±π, ±3π, ±5π...)

### 5. Pedagogical Synthesis

User's visualization problem → Abstract mathematics disconnected from physical intuition.

Solution pathway:
1. Start with wave equations
2. Apply superposition 
3. Calculate phase differences
4. Interpret geometric meaning

∴ The "visualisation" emerges naturally from the mathematics.

The formula isn't just calculation tool - it's the key that unlocks the geometric patterns hidden in wave superposition.

### 6. Response Strategy

Address confusion directly. Provide both:
- The specific formula (vector form for generality)
- Geometric interpretation of phase differences
- Physical meaning of interference patterns

→ Bridging abstract math with intuitive physics.

NB: Emphasize that visualization comes from understanding the phase relationships, not memorizing a formula.

### Answer###
Je comprends votre confusion - les interactions entre ondes planes peuvent sembler abstraites au début.

Lorsqu'on superpose deux ondes planes se propageant dans des directions différentes, la formule pour calculer l'onde résultante dépend de la façon dont les ondes se croisent. Si les deux ondes ont la même fréquence et se propagent selon des directions qui forment un angle, l'onde résultante peut être calculée en utilisant le principe de superposition : l'amplitude de l'onde résultante à un point donné est la somme vectorielle des amplitudes des deux ondes individuelles.

Cependant, pour obtenir des résultats plus spécifiques comme les franges d'interférence, il est plus utile de considérer la différence de phase entre les deux ondes. Cette différence de phase peut être calculée en fonction de la distance parcourue par chaque onde : si une onde parcourt une distance d supplémentaire par rapport à l'autre, la différence de phase est donnée par Δφ = 2πd/λ, où λ est la longueur d'onde.

Cette approche permet de prédire quand l'interférence sera constructive (ondes en phase, créant des maxima) ou destructive (ondes déphasées d'un demi-cycle, créant des minima). Le motif d'interférence résultant dépendra de cette relation de phase le long de la direction de propagation.

Pour visualiser correctement ce qui se passe, essayez de penser aux ondes comme à des vagues sur un étang : où les crêtes se rencontrent, l'amplitude résultante dépend de l'alignement des crêtes et des creux des deux vagues.