Comment va évoluer le taux d'expansion de l'univers si la constante cosmologique augmente ?
Derivation of the Hubble parameter

Start with the Friedmann equation:

H 2 ≡ (a ˙ a) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3, {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},}

where H is the Hubble parameter, a is the scale factor, G is the gravitational constant, k is the normalised spatial curvature of the universe and equal to −1, 0, or 1, and Λ is the cosmological constant.
Évolution de l'expansion au fil du temps

Des mesures de haute précision de l'expansion de l'univers sont nécessaires pour comprendre comment le taux d'expansion varie au fil du temps et de l'espace. En relativité générale, l'évolution du taux d'expansion est estimée à partir de la courbure de l'univers et de l'équation d'état cosmologique (la relation entre la température, la pression et la densité combinée de matière, d'énergie et d'énergie du vide pour toute région de l'espace). La mesure de l'équation d'état de l'énergie noire est l'un des efforts les plus importants de la cosmologie observationnelle actuelle. L'ajout de la constante cosmologique à la métrique FLRW standard de la cosmologie conduit au modèle Lambda-CDM, qui a été qualifié de « modèle standard de la cosmologie » en raison de sa concordance précise avec les observations.

À ce jour (2013), le modèle Lambda-CDM est cohérent avec une série d'observations cosmologiques de plus en plus rigoureuses, notamment le satellite Planck et l'étude Supernova Legacy Survey. Les premiers résultats de SNLS révèlent que le comportement moyen (c'est-à-dire l'équation d'état) de l'énergie noire se comporte comme la constante cosmologique d'Einstein avec une précision de 10 %. Les résultats récents de l'équipe Higher-Z du télescope spatial Hubble indiquent que l'énergie noire est présente depuis au moins 9 milliards d'années et pendant la période précédant l'accélération cosmique.

### Query ###
Comment va évoluer le taux d'expansion de l'univers si la constante cosmologique augmente ?

### Main Text ###
Derivation of the Hubble parameter

Start with the Friedmann equation:

H 2 ≡ (a ˙ a) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3, {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},}

where H is the Hubble parameter, a is the scale factor, G is the gravitational constant, k is the normalised spatial curvature of the universe and equal to −1, 0, or 1, and Λ is the cosmological constant.

### Supplementary Text ###
Évolution de l'expansion au fil du temps

Des mesures de haute précision de l'expansion de l'univers sont nécessaires pour comprendre comment le taux d'expansion varie au fil du temps et de l'espace. En relativité générale, l'évolution du taux d'expansion est estimée à partir de la courbure de l'univers et de l'équation d'état cosmologique (la relation entre la température, la pression et la densité combinée de matière, d'énergie et d'énergie du vide pour toute région de l'espace). La mesure de l'équation d'état de l'énergie noire est l'un des efforts les plus importants de la cosmologie observationnelle actuelle. L'ajout de la constante cosmologique à la métrique FLRW standard de la cosmologie conduit au modèle Lambda-CDM, qui a été qualifié de « modèle standard de la cosmologie » en raison de sa concordance précise avec les observations.

À ce jour (2013), le modèle Lambda-CDM est cohérent avec une série d'observations cosmologiques de plus en plus rigoureuses, notamment le satellite Planck et l'étude Supernova Legacy Survey. Les premiers résultats de SNLS révèlent que le comportement moyen (c'est-à-dire l'équation d'état) de l'énergie noire se comporte comme la constante cosmologique d'Einstein avec une précision de 10 %. Les résultats récents de l'équipe Higher-Z du télescope spatial Hubble indiquent que l'énergie noire est présente depuis au moins 9 milliards d'années et pendant la période précédant l'accélération cosmique.


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment va évoluer le taux d'expansion de l'univers si la constante cosmologique augmente ?"

Key terms: ● "taux d'expansion" = Hubble parameter H, ● "constante cosmologique" = Λ, ● "augmente" = increases

Translation straightforward. But: temporal aspect crucial. Evolution over what timescale?

### 2. Physical Framework Setup

Friedmann equation: H² = (8πGρ)/3 - (kc²)/a² + (Λc²)/3

→ Three terms. Matter/energy density ρ, spatial curvature k, cosmological constant Λ.

If Λ increases: third term grows. Simple.

But H² = (da/dt)²/a². So expansion rate ˙a/a = H.

? Question: linear increase in Λ → linear increase in H?

### 3. Temporal Dynamics Analysis

Critical insight: ! Expansion history depends on equation of state w = P/ρ.

For matter: w = 0 → H ∝ a^(-3/2) 
For radiation: w = 1/3 → H ∝ a^(-2)
For cosmological constant: w = -1 → H nearly constant

⟨H≈0.8⟩ But wait. If Λ increases, does it affect the past? No. Cosmological constant doesn't redshift away like matter does. So increasing Λ now affects future expansion, not past history. The Friedmann equation is time-symmetric for Λ term alone...⟨/H⟩

### 4. Mathematical Resolution

From Friedmann: dH/dt = (1/3)(Λc²)(3H² + kc²/a² + 8πGρ/3 - 4πGρ(1+w)/3)

If Λ increases: dH/dt > 0 regardless of matter/curvature terms.

But H² > 0 always → expansion continues.

∴ Increasing Λ → accelerating expansion (if already accelerating) or increasing expansion rate (if decelerating).

### 5. Observational Context

! Current ΛCDM model: Λ ≈ 10⁻¹² m⁻²
! Observed acceleration: H₀ ≈ 70 km/s/Mpc
! Matter density: Ω_m ≈ 0.3

If Λ increases by factor f:
- H increases by √(f)
- Acceleration increases if f > 1
- Deceleration decreases if f < 1

### 6. Physical Constraints

⚠ Λ must be extremely small (otherwise violates solar system constraints)
⚠ Cannot exceed current observations (Planck data bounds)

But theoretically: large Λ → extreme acceleration
Small Λ → gentle expansion

### 7. Synthesis

**Future expansion evolution (Λ increase):**

**Rate change:** H increases (√f times if Λ increases by factor f)

**Acceleration:** Generally increases (unless f very small)

**Physical limit:** Bounded by observational constraints

**Key factor:** Equation of state affects how Λ term dominates over time.

**Critical caveat:** Past expansion history unchanged - Λ affects only future dynamics.

● High confidence: expansion accelerates if Λ increases
◐ Partial uncertainty: exact rate of change depends on detailed cosmology
○ Low confidence: specific observational signatures (need precise Λ evolution model)

### Answer###
Si la constante cosmologique augmente, le taux d'expansion de l'univers va également augmenter.

La relation entre le taux d'expansion et la constante cosmologique est donnée par l'équation de Friedmann : H² = 8πG3ρ − kc2a2 + Λc23, où H représente le paramètre de Hubble, le taux d'expansion de l'univers. Dans cette équation, le terme contenant Λ est positif, ce qui signifie que l'expansion augmente proportionnellement à la valeur de la constante cosmologique.

Actuellement, l'univers subit une accélération de son expansion due à l'énergie noire, et cette accélération est précisément modélisée par la constante cosmologique dans le modèle standard ΛCDM. Si cette constante cosmologique augmente, l'accélération de l'expansion s'intensifierait donc.

L'évolution temporelle du taux d'expansion dépend de la courbure de l'univers et de l'équation d'état cosmologique, qui établit la relation entre température, pression et densité combinée de matière et d'énergie. L'augmentation de la constante cosmologique modifierait ces équilibres et entraînerait une accélération plus marquée de l'expansion cosmique.

Cette prédiction est cohérente avec les observations actuelles qui montrent que l'énergie noire, responsable de l'accélération cosmique, est présente depuis au moins 9 milliards d'années.