Je voudrais savoir pourquoi les Romains utilisaient la racine carrée de 2 pour construire leurs atriums, au lieu d'une proportion plus simple comme 2:1
Ancient Roman architecture

In ancient Roman architecture, Vitruvius describes the use of the square root of 2 progression or ad quadratum technique. It consists basically in a geometric, rather than arithmetic, method to double a square, in which the diagonal of the original square is equal to the side of the resulting square. Vitruvius attributes the idea to Plato. The system was employed to build pavements by creating a square tangent to the corners of the original square at 45 degrees of it. The proportion was also used to design atria by giving them a length equal to a diagonal taken from a square, whose sides are equivalent to the intended atrium's width.
L'architecture romaine antique

Dans l'architecture romaine antique, Vitruve décrit l'utilisation de la progression de la racine carrée de 2, ou technique « ad quadratum ». Elle consiste essentiellement en une méthode géométrique, plutôt qu'arithmétique, pour doubler un carré, dans laquelle la diagonale du carré original est égale au côté du carré résultant. Vitruve attribue cette idée à Platon. Le système était employé pour construire des dallages en créant un carré tangent aux coins du carré original à un angle de 45 degrés. La proportion était également utilisée pour concevoir des atriums en leur donnant une longueur égale à une diagonale extraite d'un carré dont les côtés sont équivalents à la largeur prévue de l'atrium.
### Query ###
Je voudrais savoir pourquoi les Romains utilisaient la racine carrée de 2 pour construire leurs atriums, au lieu d'une proportion plus simple comme 2:1

### Main Text ###
Ancient Roman architecture

In ancient Roman architecture, Vitruvius describes the use of the square root of 2 progression or ad quadratum technique. It consists basically in a geometric, rather than arithmetic, method to double a square, in which the diagonal of the original square is equal to the side of the resulting square. Vitruvius attributes the idea to Plato. The system was employed to build pavements by creating a square tangent to the corners of the original square at 45 degrees of it. The proportion was also used to design atria by giving them a length equal to a diagonal taken from a square, whose sides are equivalent to the intended atrium's width.

### Supplementary Text ###
L'architecture romaine antique

Dans l'architecture romaine antique, Vitruve décrit l'utilisation de la progression de la racine carrée de 2, ou technique « ad quadratum ». Elle consiste essentiellement en une méthode géométrique, plutôt qu'arithmétique, pour doubler un carré, dans laquelle la diagonale du carré original est égale au côté du carré résultant. Vitruve attribue cette idée à Platon. Le système était employé pour construire des dallages en créant un carré tangent aux coins du carré original à un angle de 45 degrés. La proportion était également utilisée pour concevoir des atriums en leur donnant une longueur égale à une diagonale extraite d'un carré dont les côtés sont équivalents à la largeur prévue de l'atrium.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"pourquoi les Romains utilisaient la racine carrée de 2" → Why Romans used √2

"construire leurs atriums" → build their atriums

"au lieu d'une proportion plus simple comme 2:1" → instead of simpler proportion like 2:1

User assumes √2 was "chosen" vs "natural" geometric derivation. Key question: intentional complexity or geometric necessity?

### 2. Domain Contextualization  

Roman architecture, 1st century BCE - 1st century CE ●
Vitruvius' "De Architectura" - primary source ◐
Atrium = central open courtyard, domestic architecture ●
"Ad quadratum" technique = geometric doubling method ●

⟨H≈0.3⟩ Atriums: heart of Roman house, rainwater collection, social space. Size matters for climate control, light, acoustics. √2 appears in multiple geometric problems - doubling squares, right triangles, Pythagorean foundations...

### 3. Geometric Analysis

Simple 2:1 ratio: width:length = 1:2
→ rectangle, not square-based

√2 ratio: width:diagonal = 1:√2  
→ forces square→rectangle transformation
→ maintains proportional relationships

? Why not just build square atriums?
→ Corners create water accumulation
→ Diagonal path more practical for drainage
→ Geometric coherence with other architectural elements

### 4. Technical Constraints

Roman building materials: concrete, stone, timber ●
Foundation requirements: load-bearing walls ●
Drainage systems: sloping toward center ●

√2 = 1.414... → ≈ 1.4:1 or 7:5 ratio
More constructible than pure √2 ◐

⟨H≈0.8⟩ Stonecutters measuring with feet, cords, Pythagorean triangles sketched in dirt. √2 emerges from practical geometry, not abstract mathematics. The Romans didn't "choose" √2 - they discovered it as inevitable solution to multiple constraint intersections...

### 5. Source Verification

Vitruvius attributes to Plato ◐
But technique predates Greek philosophy? ○
Possible earlier Mesopotamian/Egyptian origins ◐
Roman adaptation for practical architecture ●

⟨H≈1.2⟩ Imagine Roman builders on Forum contracts, measuring insulae foundations, water channels flowing precise 45-degree angles from atrium corners... √2 isn't esoteric philosophy - it's field mathematics, survival geometry. Rain in Campagna, concrete curing, social hierarchy encoded in courtyard dimensions...

### 6. Resolution

∴ √2 wasn't "chosen" - it emerged from geometric constraints:

1. Square→rectangle transformation for drainage
2. Pythagorean foundation geometry  
3. Water management at 45° angles
4. Proportional relationships with other elements

Simple 2:1 would create rectangular atriums with awkward proportions
√2 maintains square-based geometry while enabling doubling

NB: "Simpler" ratio would require separate geometric system
√2 leverages universal Pythagorean relationships

### 7. Answer Structure

Lead with geometric inevitability rather than "choice"
Explain drainage/practical constraints
Emphasize √2 as emergent solution, not prescribed system
Connect to broader Roman geometric thinking

● High confidence: technical explanation correct
◐ Moderate confidence: historical attribution specific
○ Lower confidence: exact measurement practices

### Answer###
Les Romains utilisaient la racine carrée de 2 pour construire leurs atriums dans le cadre d'une technique géométrique appelée "ad quadratum", décrite par Vitruve. Cette méthode consistait à doubler géométriquement un carré en utilisant une proportion spécifique : la diagonale du carré original était égale au côté du carré résultant.

Cette technique était particulièrement adaptée à la construction d'atriums car elle permettait de créer des espaces proportionnellement harmonieux. Concrètement, les architectes romains donnaient à leurs atriums une longueur égale à la diagonale d'un carré dont les côtés correspondaient à la largeur prévue de l'atrium.

L'utilisation de cette proportion basée sur la racine carrée de 2 plutôt qu'un simple rapport 2:1 s'explique par le fait que la technique "ad quadratum" constituait une méthode purement géométrique plutôt qu'arithmétique pour doubler les espaces. Elle s'inscrivait dans une approche architecturale rationalisée qui privilégiait les relations proportionnelles harmonieuses dérivées de principes géométriques plutôt que des rapports plus simples et potentiellement moins esthétiques.

Cette approche s'inscrivait dans la pensée architecturale romaine qui recherchait l'harmonie proportionnelle et l'équilibre géométrique dans la conception des espaces intérieurs domestiques.