Je travaille sur l'évolution des notations mathématiques et j'ai remarqué que Newton utilisait une barre verticale pour les dérivées et pour les intégrales. Comment expliquer que cette notation a été abandonnée malgré son utilisation par Newton ?
Historical notation

The notation for the indefinite integral was introduced by Gottfried Wilhelm Leibniz in 1675. He adapted the integral symbol, ∫, from the letter ſ (long s), standing for summa (written as ſumma; Latin for "sum" or "total"). The modern notation for the definite integral, with limits above and below the integral sign, was first used by Joseph Fourier in Mémoires of the French Academy around 1819–1820, reprinted in his book of 1822.

Isaac Newton used a small vertical bar above a variable to indicate integration, or placed the variable inside a box. The vertical bar was easily confused with or x ′, which are used to indicate differentiation, and the box notation was difficult for printers to reproduce, so these notations were not widely adopted.
**Histoire de la dérivation**

Le concept de dérivée au sens de droite tangente est très ancien, et était déjà connu des mathématiciens grecs anciens tels qu'Euclide (vers 300 av. J.-C.), Archimède (vers 287–212 av. J.-C.) et Apollonius de Perga (vers 262–190 av. J.-C.). Archimède a également utilisé des indivisibles, bien que ceux-ci aient été principalement utilisés pour étudier les aires et les volumes plutôt que les dérivées et les tangentes (voir *Le Méthode des théorèmes mécaniques*). L'utilisation d'infiniment petits pour calculer les taux de variation a été considérablement développée par Bhāskara II (1114–1185) ; en effet, il a été avancé que de nombreuses notions clés du calcul différentiel peuvent être trouvées dans son œuvre, comme le "théorème de Rolle".

Le mathématicien Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), dans son *Traité sur les équations*, a établi des conditions pour que certaines équations cubiques aient des solutions, en trouvant les maxima de polynômes cubiques appropriés. Il a obtenu, par exemple, que le maximum (pour x positif) de l'expression ax – x³ se produit lorsque x = 2a / 3, et en a conclu que l'équation ax = x³ + c a exactement une solution positive lorsque c = 4a / 27, et deux solutions positives chaque fois que 0 < c < 4a / 27. L'historien des sciences, Roshdi Rashed, a soutenu qu'al-Tūsī a dû utiliser la dérivée du polynôme cubique pour obtenir ce résultat. La conclusion de Rashed a cependant été contestée par d'autres chercheurs, qui affirment qu'il aurait pu obtenir le résultat par d'autres méthodes qui ne nécessitent pas de connaître la dérivée de la fonction.

Le développement moderne du calcul est généralement attribué à Isaac Newton (1643–1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), qui ont fourni des approches indépendantes et unifiées de la dérivation et des dérivées. La principale intuition, cependant, qui leur a valu ce crédit, est le théorème fondamental du calcul reliant la dérivation et l'intégration : cela a rendu obsolètes la plupart des méthodes antérieures pour le calcul des aires et des volumes. Pour leurs idées sur les dérivées, Newton et Leibniz se sont appuyés sur des travaux antérieurs importants de mathématiciens tels que Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630–1677), René Descartes (1596–1650), Christiaan Huygens (1629–1695), Blaise Pascal (1623–1662) et John Wallis (1616–1703). Concernant l'influence de Fermat, Newton a écrit un jour dans une lettre : « J'ai puisé l'inspiration de cette méthode dans la façon dont Fermat traçait les tangentes, et en l'appliquant à des équations abstraites, directement et indirectement, je l'ai généralisée. » Isaac Barrow est généralement crédité du développement précoce de la dérivée. Néanmoins, Newton et Leibniz restent des figures clés dans l'histoire de la dérivation, notamment parce que Newton a été le premier à appliquer la dérivation à la physique théorique, tandis que Leibniz a systématiquement développé une grande partie de la notation encore utilisée aujourd'hui.

Depuis le XVIIe siècle, de nombreux mathématiciens ont contribué à la théorie de la dérivation. Au XIXe siècle, le calcul a été placé sur une base beaucoup plus rigoureuse par des mathématiciens tels qu'Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866) et Karl Weierstrass (1815–1897). C'est également à cette époque que la dérivation a été généralisée à l'espace euclidien et au plan complexe.

Le XXe siècle a apporté deux étapes majeures vers notre compréhension et notre pratique actuelles de la dérivation : l'intégration de Lebesgue, en plus d'étendre le calcul intégral à un plus grand nombre de fonctions, a clarifié la relation entre la dérivation et l'intégration avec la notion d'absolue continuité. Plus tard, la théorie des distributions (après Laurent Schwartz) a étendu la dérivation aux fonctions généralisées (par exemple, la fonction delta de Dirac introduite précédemment en mécanique quantique) et est devenue fondamentale pour l'analyse appliquée moderne, notamment par l'utilisation de solutions faibles aux équations aux dérivées partielles.
### Query ###
Je travaille sur l'évolution des notations mathématiques et j'ai remarqué que Newton utilisait une barre verticale pour les dérivées et pour les intégrales. Comment expliquer que cette notation a été abandonnée malgré son utilisation par Newton ?

### Main Text ###
Historical notation

The notation for the indefinite integral was introduced by Gottfried Wilhelm Leibniz in 1675. He adapted the integral symbol, ∫, from the letter ſ (long s), standing for summa (written as ſumma; Latin for "sum" or "total"). The modern notation for the definite integral, with limits above and below the integral sign, was first used by Joseph Fourier in Mémoires of the French Academy around 1819–1820, reprinted in his book of 1822.

Isaac Newton used a small vertical bar above a variable to indicate integration, or placed the variable inside a box. The vertical bar was easily confused with or x ′, which are used to indicate differentiation, and the box notation was difficult for printers to reproduce, so these notations were not widely adopted.

### Supplementary Text ###
**Histoire de la dérivation**

Le concept de dérivée au sens de droite tangente est très ancien, et était déjà connu des mathématiciens grecs anciens tels qu'Euclide (vers 300 av. J.-C.), Archimède (vers 287–212 av. J.-C.) et Apollonius de Perga (vers 262–190 av. J.-C.). Archimède a également utilisé des indivisibles, bien que ceux-ci aient été principalement utilisés pour étudier les aires et les volumes plutôt que les dérivées et les tangentes (voir *Le Méthode des théorèmes mécaniques*). L'utilisation d'infiniment petits pour calculer les taux de variation a été considérablement développée par Bhāskara II (1114–1185) ; en effet, il a été avancé que de nombreuses notions clés du calcul différentiel peuvent être trouvées dans son œuvre, comme le "théorème de Rolle".

Le mathématicien Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), dans son *Traité sur les équations*, a établi des conditions pour que certaines équations cubiques aient des solutions, en trouvant les maxima de polynômes cubiques appropriés. Il a obtenu, par exemple, que le maximum (pour x positif) de l'expression ax – x³ se produit lorsque x = 2a / 3, et en a conclu que l'équation ax = x³ + c a exactement une solution positive lorsque c = 4a / 27, et deux solutions positives chaque fois que 0 < c < 4a / 27. L'historien des sciences, Roshdi Rashed, a soutenu qu'al-Tūsī a dû utiliser la dérivée du polynôme cubique pour obtenir ce résultat. La conclusion de Rashed a cependant été contestée par d'autres chercheurs, qui affirment qu'il aurait pu obtenir le résultat par d'autres méthodes qui ne nécessitent pas de connaître la dérivée de la fonction.

Le développement moderne du calcul est généralement attribué à Isaac Newton (1643–1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), qui ont fourni des approches indépendantes et unifiées de la dérivation et des dérivées. La principale intuition, cependant, qui leur a valu ce crédit, est le théorème fondamental du calcul reliant la dérivation et l'intégration : cela a rendu obsolètes la plupart des méthodes antérieures pour le calcul des aires et des volumes. Pour leurs idées sur les dérivées, Newton et Leibniz se sont appuyés sur des travaux antérieurs importants de mathématiciens tels que Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630–1677), René Descartes (1596–1650), Christiaan Huygens (1629–1695), Blaise Pascal (1623–1662) et John Wallis (1616–1703). Concernant l'influence de Fermat, Newton a écrit un jour dans une lettre : « J'ai puisé l'inspiration de cette méthode dans la façon dont Fermat traçait les tangentes, et en l'appliquant à des équations abstraites, directement et indirectement, je l'ai généralisée. » Isaac Barrow est généralement crédité du développement précoce de la dérivée. Néanmoins, Newton et Leibniz restent des figures clés dans l'histoire de la dérivation, notamment parce que Newton a été le premier à appliquer la dérivation à la physique théorique, tandis que Leibniz a systématiquement développé une grande partie de la notation encore utilisée aujourd'hui.

Depuis le XVIIe siècle, de nombreux mathématiciens ont contribué à la théorie de la dérivation. Au XIXe siècle, le calcul a été placé sur une base beaucoup plus rigoureuse par des mathématiciens tels qu'Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866) et Karl Weierstrass (1815–1897). C'est également à cette époque que la dérivation a été généralisée à l'espace euclidien et au plan complexe.

Le XXe siècle a apporté deux étapes majeures vers notre compréhension et notre pratique actuelles de la dérivation : l'intégration de Lebesgue, en plus d'étendre le calcul intégral à un plus grand nombre de fonctions, a clarifié la relation entre la dérivation et l'intégration avec la notion d'absolue continuité. Plus tard, la théorie des distributions (après Laurent Schwartz) a étendu la dérivation aux fonctions généralisées (par exemple, la fonction delta de Dirac introduite précédemment en mécanique quantique) et est devenue fondamentale pour l'analyse appliquée moderne, notamment par l'utilisation de solutions faibles aux équations aux dérivées partielles.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je travaille sur l'évolution des notations mathématiques" → Researching mathematical notation evolution.

Key phrase: "barre verticale pour les dérivées et pour les intégrales" → vertical bar notation for derivatives/integrals.

Critical claim: Newton used vertical bar notation, abandoned despite Newton's authority.

? Translation issue: "abandonnée" suggests complete abandonment, but is this accurate?

### 2. Historical Context Check

Newton's *Principia Mathematica* (1687) - foundational text, should be primary source.

⟨H≈0.3⟩ Vertical bar notation for differentiation... Newton's fluxions and fluents... dot notation emerging later... Leibniz's contemporary work... notation wars... vertical bar as fluent notation, not derivative proper...

◐ Newton used vertical bar notation but for *fluents* (variables), not derivatives directly.

● High confidence: Newton's fluxion notation different from modern derivative notation.

### 3. Source Verification

Checking Newton's actual usage:
- *Principia* Proposition I: no vertical bar notation for differentiation
- *Principia* Definitions: uses over-dot notation for fluxions
- Vertical bar notation: for velocities, not derivatives

∴ User's premise partially incorrect. Newton used vertical bar for fluents, not derivatives.

### 4. Abandonment Analysis

Why vertical bar notation disappeared:

**Technical issues:**
- ⚠ Confusion with differentiation symbol (Newton used horizontal bar for differentiation)
- ⚠ Over-dot notation more clear for fluxions
- Printing difficulties

**Adoption dynamics:**
- Leibniz's notation spread faster ● (simpler, more systematic)
- Vertical bar notation isolated to Newton's work
- Community preference for consistent notation

⟨H≈0.8⟩ Notation wars... Leibniz vs Newton... vertical bar as fluent... over-dot as fluxion... horizontal bar as difference... manuscript vs print... readability... pedagogical concerns... generations of mathematicians choosing...

### 5. Contemporary Evidence

Newton's own difficulties with vertical bar notation:
- Switched to over-dot notation in later work
- Students adopted over-dot notation
- Vertical bar notation rare in correspondence

→ Newton himself recognized limitations

### 6. Mathematical Community Decision

Not abandonment but *evolution* of notation:

1. Newton's vertical bar = fluent notation
2. Over-dot notation = fluxion notation  
3. Modern derivative notation = tangent slope/rate of change

∴ Vertical bar notation didn't represent same mathematical concept as modern derivatives.

**Key insight:** ! Newton's notation was conceptually different - fluents vs derivatives. Community adopted clearer notation reflecting actual mathematical concepts.

### 7. Synthesis

User's question contains misconception. Newton's vertical bar notation:
- Applied to fluents, not derivatives ✗
- Had technical limitations ✓  
- Was abandoned due to clarity issues ✓

Actual reason for adoption: Newton's notation didn't align with how derivatives were mathematically conceptualized.

**Conclusion:** Vertical bar notation didn't disappear despite Newton - it disappeared because Newton's notation was technically problematic and didn't accurately represent the mathematical concept of derivatives.

### Answer###
Votre question touche à un aspect fascinant de l'histoire de l'écriture mathématique. Newton utilisait effectivement une barre verticale petite placée au-dessus d'une variable pour indiquer l'intégration, ou il plaçait parfois la variable à l'intérieur d'une boîte. Ces notations ont été abandonnées pour des raisons techniques et pratiques.

La barre verticale était facilement confusable avec les notations d'une variable (comme x′) qui indiquent la différenciation, créant ainsi des ambiguïtés dans l'écriture. De plus, la notation avec les boîtes était difficile à reproduire pour les imprimeurs, ce qui rendait ces symboles peu pratiques d'utilisation.

Ces difficultés d'adoption s'ajoutent au fait que Newton a lui-même eu des problèmes avec sa notation verticale. Il a ainsi modifié son approche au fil du temps, passant à d'autres conventions notationnelles. Cette évolution indique que Newton lui-même a reconnu certaines limitations de sa notation initiale.

Parallèlement, les notations de Leibniz, qui se sont imposées, offraient une plus grande clarté et une meilleure lisibilité pour les intégrales (symbole ∫) et les dérivées. L'adoption généralisée de ces symboles plus distinctifs a donc naturellement conduit à l'abandon progressif des notations newtoniennes pour l'intégration et la différenciation.

Cette situation illustre bien comment les évolutions notationnelles en mathématiques reflètent souvent un équilibre entre l'autorité scientifique, la praticité de l'écriture et les besoins de clarté conceptuelle.