Je comprend pas comment faire la règle du produit pour dériver des fonctions. Par exemple quand j'ai u(x)=x² et v(x)=3x, je sais que je dois faire u'v + uv' mais après je sais pas si je dois faire ça pour tout les fonctions ou juste quand y'a deux fonctions ensemble. Et aussi comment je fais pour savoir quand j'ai besoin de cette règle ?
In calculus, the product rule (or Leibniz rule or Leibniz product rule) is a formula used to find the derivatives of products of two or more functions. For two functions, it may be stated in Lagrange's notation as

or in Leibniz's notation as

The rule may be extended or generalized to products of three or more functions, to a rule for higher-order derivatives of a product, and to other contexts.
En calcul différentiel, la règle du produit est une formule utilisée pour trouver les dérivées de produits de deux fonctions ou plus. Pour deux fonctions, elle peut être énoncée en notation de Lagrange comme ou en notation de Leibniz comme. La règle peut être étendue ou généralisée aux produits de trois fonctions ou plus, à une règle pour les dérivées d'ordre supérieur d'un produit, et à d'autres contextes.
### Query ###
Je comprend pas comment faire la règle du produit pour dériver des fonctions. Par exemple quand j'ai u(x)=x² et v(x)=3x, je sais que je dois faire u'v + uv' mais après je sais pas si je dois faire ça pour tout les fonctions ou juste quand y'a deux fonctions ensemble. Et aussi comment je fais pour savoir quand j'ai besoin de cette règle ?

### Main Text ###
In calculus, the product rule (or Leibniz rule or Leibniz product rule) is a formula used to find the derivatives of products of two or more functions. For two functions, it may be stated in Lagrange's notation as

or in Leibniz's notation as

The rule may be extended or generalized to products of three or more functions, to a rule for higher-order derivatives of a product, and to other contexts.

### Supplementary Text ###
En calcul différentiel, la règle du produit est une formule utilisée pour trouver les dérivées de produits de deux fonctions ou plus. Pour deux fonctions, elle peut être énoncée en notation de Lagrange comme ou en notation de Leibniz comme. La règle peut être étendue ou généralisée aux produits de trois fonctions ou plus, à une règle pour les dérivées d'ordre supérieur d'un produit, et à d'autres contextes.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"règle du produit pour dériver des fonctions" → product rule for deriving functions.

User confused about:
- When to apply u'v + uv' 
- Scope: all functions vs. composite situations
- Recognition: when this rule actually needed

Translation note: "dériver" = derive/differentiate. "fonction ensemble" = functions together.

### 2. Core Rule Clarification

Product rule: (uv)' = u'v + uv'

● Always applies when you have:
- Two functions multiplied
- Want derivative of product

Not just x²×3x. Any functions f(x)·g(x).

### 3. Recognition Patterns

Need product rule when:
- Functions multiplied term-by-term ✓
- No composition (f(g(x)) would need chain rule)
- Direct multiplication of expressions

Examples needing product rule:
- (x² + 2)(3x - 1) → f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
- sin(2x)·e^x → (2cos(2x))·e^x + sin(2x)·e^x
- (x³-4x)(7x²+3) → (3x²-4)(7x²) + (x³-4x)(14x)

### 4. Scope Limitations

⚠ Common confusion: when NOT to use product rule.

Don't use when:
- Addition (use linearity)
- Composition (use chain rule) 
- Single functions (trivial)

Examples:
- (x² + 3x) → linearity, not product rule
- e^(2x) → composition, chain rule needed
- 5x → trivial, just 5

### 5. Step-by-Step Process

For your example x²·3x:

1. Identify u = x², v = 3x
2. Find u' = 2x, v' = 3  
3. Apply formula: (2x)(3x) + (x²)(3) = 6x² + 3x² = 9x²

∴ Result: (x²·3x)' = 9x²

### 6. Why This Rule Exists

Mathematical necessity: 
- Differentiation is linear (additivity)
- Product rule captures non-linear behavior of multiplication under differentiation
- Without this rule: no systematic way to differentiate products

Historical context: Leibniz developed 1670s. Essential for calculus foundations.

### 7. When Absolutely Needed

Product rule mandatory when:
- Have explicit multiplication of functions
- Want derivative of product
- No other rule applies directly

NB: Always check for alternative approaches first. Often can simplify before differentiating.

Example: x²·3x can be simplified to 3x³ before differentiating → just 6x². 

But if given f(x)·g(x) where f,g are complex functions → product rule essential.

### 8. Final Clarification

☑ Rule applies to all function products
☑ Recognition: look for explicit multiplication
☑ Process: u'v + uv' always correct for products

The rule is your systematic approach for differentiating products. No guesswork needed - just apply the formula.

### Answer###
La règle du produit s'applique effectivement lorsque vous avez deux fonctions multipliées ensemble. Elle peut être exprimée comme (uv)' = u'v + uv', ce qui signifie que vous devez toujours calculer la dérivée de la première fonction multipliée par la seconde, plus la première fonction multipliée par la dérivée de la seconde.

Pour votre exemple avec u(x) = x² et v(x) = 3x, vous appliquez correctement la formule : vous calculez d'abord u' = 2x et v' = 3, puis vous les remplacez dans la formule : (2x)(3x) + (x²)(3) = 6x² + 3x² = 9x².

Cette règle fonctionne pour tous les produits de fonctions, pas seulement pour des cas particuliers. Elle capture l'essence de la façon dont les dérivées se comportent lorsqu'elles sont multipliées.

Vous pouvez reconnaître quand utiliser cette règle en observant si vous avez une multiplication directe de fonctions. Si vous avez une somme, une différence, ou une composition de fonctions, vous ne devez pas appliquer cette règle. La règle du produit est spécifiquement conçue pour les produits de fonctions.

La formule peut sembler compliquée au début, mais elle devient intuitive une fois que vous comprenez que la dérivée d'un produit n'est pas simplement le produit des dérivées individuelles.