Comment la comparaison entre deux entités dans un rapport diffère-t-elle de celle impliquant plus de deux entités, et pourquoi ne peut-on pas utiliser une seule fraction pour exprimer complètement un rapport à trois termes ?
Number of terms and use of fractions

In general, a comparison of the quantities of a two-entity ratio can be expressed as a fraction derived from the ratio. For example, in a ratio of 2:3, the amount, size, volume, or quantity of the first entity is 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} that of the second entity.

If there are 2 oranges and 3 apples, the ratio of oranges to apples is 2:3, and the ratio of oranges to the total number of pieces of fruit is 2:5. These ratios can also be expressed in fraction form: there are 2/3 as many oranges as apples, and 2/5 of the pieces of fruit are oranges. If orange juice concentrate is to be diluted with water in the ratio 1:4, then one part of concentrate is mixed with four parts of water, giving five parts total; the amount of orange juice concentrate is 1/4 the amount of water, while the amount of orange juice concentrate is 1/5 of the total liquid. In both ratios and fractions, it is important to be clear what is being compared to what, and beginners often make mistakes for this reason.

Fractions can also be inferred from ratios with more than two entities; however, a ratio with more than two entities cannot be completely converted into a single fraction, because a fraction can only compare two quantities. A separate fraction can be used to compare the quantities of any two of the entities covered by the ratio: for example, from a ratio of 2:3:7 we can infer that the quantity of the second entity is 3 7 {\displaystyle {\tfrac {3}{7}}} that of the third entity.
Nombre de termes et utilisation des fractions

En général, une comparaison des quantités d'un rapport à deux entités peut être exprimée sous forme de fraction dérivée du rapport. Par exemple, dans un rapport de 2:3, la quantité, la taille, le volume ou la quantité de la première entité est 2/3 de celle de la deuxième entité.

S'il y a 2 oranges et 3 pommes, le rapport des oranges aux pommes est de 2:3, et le rapport des oranges au nombre total de fruits est de 2:5. Ces rapports peuvent également être exprimés sous forme de fraction : il y a 2/3 autant d'oranges que de pommes, et 2/5 des fruits sont des oranges. Si un concentré de jus d'orange doit être dilué avec de l'eau dans un rapport de 1:4, une partie de concentré est mélangée à quatre parties d'eau, ce qui donne cinq parties au total ; la quantité de concentré de jus d'orange est 1/4 de la quantité d'eau, tandis que la quantité de concentré de jus d'orange est 1/5 du liquide total. Dans les deux cas, que ce soient des rapports ou des fractions, il est important d'être clair sur ce qui est comparé à quoi, et les débutants font souvent des erreurs pour cette raison.

Des fractions peuvent également être déduites de rapports impliquant plus de deux entités ; cependant, un rapport impliquant plus de deux entités ne peut pas être entièrement converti en une seule fraction, car une fraction ne peut comparer que deux quantités. Une fraction distincte peut être utilisée pour comparer les quantités de deux entités quelconques couvertes par le rapport : par exemple, à partir d'un rapport de 2:3:7, on peut déduire que la quantité de la deuxième entité est 3/7 de celle de la troisième entité.
### Query ###
Comment la comparaison entre deux entités dans un rapport diffère-t-elle de celle impliquant plus de deux entités, et pourquoi ne peut-on pas utiliser une seule fraction pour exprimer complètement un rapport à trois termes ?

### Main Text ###
Number of terms and use of fractions

In general, a comparison of the quantities of a two-entity ratio can be expressed as a fraction derived from the ratio. For example, in a ratio of 2:3, the amount, size, volume, or quantity of the first entity is 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} that of the second entity.

If there are 2 oranges and 3 apples, the ratio of oranges to apples is 2:3, and the ratio of oranges to the total number of pieces of fruit is 2:5. These ratios can also be expressed in fraction form: there are 2/3 as many oranges as apples, and 2/5 of the pieces of fruit are oranges. If orange juice concentrate is to be diluted with water in the ratio 1:4, then one part of concentrate is mixed with four parts of water, giving five parts total; the amount of orange juice concentrate is 1/4 the amount of water, while the amount of orange juice concentrate is 1/5 of the total liquid. In both ratios and fractions, it is important to be clear what is being compared to what, and beginners often make mistakes for this reason.

Fractions can also be inferred from ratios with more than two entities; however, a ratio with more than two entities cannot be completely converted into a single fraction, because a fraction can only compare two quantities. A separate fraction can be used to compare the quantities of any two of the entities covered by the ratio: for example, from a ratio of 2:3:7 we can infer that the quantity of the second entity is 3 7 {\displaystyle {\tfrac {3}{7}}} that of the third entity.

### Supplementary Text ###
Nombre de termes et utilisation des fractions

En général, une comparaison des quantités d'un rapport à deux entités peut être exprimée sous forme de fraction dérivée du rapport. Par exemple, dans un rapport de 2:3, la quantité, la taille, le volume ou la quantité de la première entité est 2/3 de celle de la deuxième entité.

S'il y a 2 oranges et 3 pommes, le rapport des oranges aux pommes est de 2:3, et le rapport des oranges au nombre total de fruits est de 2:5. Ces rapports peuvent également être exprimés sous forme de fraction : il y a 2/3 autant d'oranges que de pommes, et 2/5 des fruits sont des oranges. Si un concentré de jus d'orange doit être dilué avec de l'eau dans un rapport de 1:4, une partie de concentré est mélangée à quatre parties d'eau, ce qui donne cinq parties au total ; la quantité de concentré de jus d'orange est 1/4 de la quantité d'eau, tandis que la quantité de concentré de jus d'orange est 1/5 du liquide total. Dans les deux cas, que ce soient des rapports ou des fractions, il est important d'être clair sur ce qui est comparé à quoi, et les débutants font souvent des erreurs pour cette raison.

Des fractions peuvent également être déduites de rapports impliquant plus de deux entités ; cependant, un rapport impliquant plus de deux entités ne peut pas être entièrement converti en une seule fraction, car une fraction ne peut comparer que deux quantités. Une fraction distincte peut être utilisée pour comparer les quantités de deux entités quelconques couvertes par le rapport : par exemple, à partir d'un rapport de 2:3:7, on peut déduire que la quantité de la deuxième entité est 3/7 de celle de la troisième entité.

### Draft ###

**Query analysis**: "Comment la comparaison...diffère...rapport à trois termes"

User wants mathematical distinction. Two key claims to verify:
1. Why single fractions insufficient for 3-term ratios
2. How 2-term vs 3+ term comparisons differ

**Core issue**: Mathematical representation limits vs intuitive understanding.

### 1. Fraction Limitations

Ratio 2:3 → fraction 2/3 clear. Compares first to second entity directly.

Ratio 2:3:7 more complex. Need multiple comparisons:
- 2:3 → 2/3 (apples vs oranges)  
- 2:7 → 2/7 (oranges vs total)
- 3:7 → 3/7 (apples vs total)

? Why can't 2:3:7 = single fraction?

**Answer**: Fractions inherently binary. Compare A:B or A:(B+C). No direct notation for A:B:C simultaneously.

### 2. Representation Gap

**Ratios**: 2:3:7
- Natural language: "2 parts orange, 3 parts apple, 7 parts total"
- Direct comparison: "Apples are 3/7 of total"

**Single fraction approach**: Impossible. Would need notation like:
- 2/(3+7) = 2/10 = 1/5 (but this only compares to total, not relative parts)

**Multiple fractions needed**:
- 2/3 (oranges to apples) 
- 2/7 (oranges to total)
- 3/7 (apples to total)

### 3. Why Not 2:3:7 = 2/7?

Common confusion. 2:3:7 ≠ 2/7 because:

2:3:7 represents **relative quantities** in three distinct categories
2/7 represents **part-to-whole** relationship (2nd entity to total)

Example: 14 fruits
- 2 apples, 3 oranges, 9 total
- 2/9 of fruits are apples

The ratio 2:3:9 captures the **proportional distribution**. The fraction 2/9 captures the **part-whole composition**.

Different mathematical objects entirely.

**Key insight**: Ratios encode **relational structure**. Fractions encode **compositional structure**.

∴ Single fraction cannot fully capture multi-term ratio relationships. Need fraction per pairwise comparison.

### Answer###
La différence principale entre les rapports à deux termes et ceux impliquant plus de deux entités réside dans leur représentation mathématique et leur capacité à être exprimés complètement.

Dans un rapport à deux entités comme 2:3, la comparaison peut être entièrement représentée par une fraction dérivée du rapport : la première entité représente 2/3 de la seconde entité. Cette fraction permet une comparaison directe et complète entre les deux quantités.

Pour les rapports à trois termes ou plus, cette simplification directe n'est pas possible. Une seule fraction ne peut comparer que deux quantités, mais un rapport à trois entités (comme 2:3:7) implique des relations entre trois entités distinctes. Dans ce cas, plusieurs fractions partielles peuvent être déduites : par exemple, la seconde entité représente 3/7 de la troisième entité.

Cette limitation s'explique par le fait qu'une fraction ne peut établir que des relations binaires. Lorsqu'il y a trois entités ou plus, il existe plusieurs relations de comparaison possibles : la quantité de la première par rapport à la seconde, la première par rapport à la troisième, et ainsi de suite. Ces relations ne peuvent pas être entièrement résumées dans une seule représentation fractionnaire.

Les rapports à deux termes peuvent donc être complètement convertis en fractions, mais les rapports à trois termes ou plus nécessitent l'utilisation de fractions multiples pour exprimer pleinement toutes les relations de comparaison entre les différentes entités.