C'est bien vrai que deux ensembles ont la même cardinalité si et seulement si on peut trouver une injection de l'un vers l'autre ?
Motivation

We can then extend this to an equality-style relation. Two sets X and Y are said to have the same cardinality if there exists a bijection between X and Y. By the Schroeder–Bernstein theorem, this is equivalent to there being both an injective mapping from X to Y, and an injective mapping from Y to X. We then write | X | = | Y |. The cardinal number of X itself is often defined as the least ordinal a with | a | = | X |. This is called the von Neumann cardinal assignment; for this definition to make sense, it must be proved that every set has the same cardinality as some ordinal; this statement is the well-ordering principle. It is however possible to discuss the relative cardinality of sets without explicitly assigning names to objects.
Cardinalité

Supposons qu'on veuille définir ce que signifie dire que deux ensembles ont "le même nombre d'éléments". Une façon de le faire est de dire que deux ensembles "ont le même nombre d'éléments" si et seulement si tous les éléments d'un ensemble peuvent être appariés aux éléments de l'autre, de telle sorte que chaque élément soit apparié à exactement un élément. Par conséquent, on peut définir deux ensembles comme ayant "le même nombre d'éléments" s'il existe une bijection entre eux. Dans ce cas, les deux ensembles sont dits avoir la même cardinalité.

De même, on peut dire qu'un ensemble X {\displaystyle X} "a moins ou autant d'éléments" qu'un ensemble Y {\displaystyle Y}, s'il existe une injection de X {\displaystyle X} dans Y {\displaystyle Y} ; on peut également dire qu'un ensemble X {\displaystyle X} "a moins d'éléments" qu'un ensemble Y {\displaystyle Y}, s'il existe une injection de X {\displaystyle X} dans Y {\displaystyle Y}, mais pas de bijection entre X {\displaystyle X} et Y {\displaystyle Y}.
### Query ###
C'est bien vrai que deux ensembles ont la même cardinalité si et seulement si on peut trouver une injection de l'un vers l'autre ?

### Main Text ###
Motivation

We can then extend this to an equality-style relation. Two sets X and Y are said to have the same cardinality if there exists a bijection between X and Y. By the Schroeder–Bernstein theorem, this is equivalent to there being both an injective mapping from X to Y, and an injective mapping from Y to X. We then write | X | = | Y |. The cardinal number of X itself is often defined as the least ordinal a with | a | = | X |. This is called the von Neumann cardinal assignment; for this definition to make sense, it must be proved that every set has the same cardinality as some ordinal; this statement is the well-ordering principle. It is however possible to discuss the relative cardinality of sets without explicitly assigning names to objects.

### Supplementary Text ###
Cardinalité

Supposons qu'on veuille définir ce que signifie dire que deux ensembles ont "le même nombre d'éléments". Une façon de le faire est de dire que deux ensembles "ont le même nombre d'éléments" si et seulement si tous les éléments d'un ensemble peuvent être appariés aux éléments de l'autre, de telle sorte que chaque élément soit apparié à exactement un élément. Par conséquent, on peut définir deux ensembles comme ayant "le même nombre d'éléments" s'il existe une bijection entre eux. Dans ce cas, les deux ensembles sont dits avoir la même cardinalité.

De même, on peut dire qu'un ensemble X {\displaystyle X} "a moins ou autant d'éléments" qu'un ensemble Y {\displaystyle Y}, s'il existe une injection de X {\displaystyle X} dans Y {\displaystyle Y} ; on peut également dire qu'un ensemble X {\displaystyle X} "a moins d'éléments" qu'un ensemble Y {\displaystyle Y}, s'il existe une injection de X {\displaystyle X} dans Y {\displaystyle Y}, mais pas de bijection entre X {\displaystyle X} et Y {\displaystyle Y}.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"C'est bien vrai que deux ensembles ont la même cardinalité si et seulement si on peut trouver une injection de l'un vers l'autre ?"

Key claim: Cardinality equivalence ↔ mutual injections. 

False. Direction wrong.

### 2. Cardinality Definition

Two sets A,B have same cardinality ⟺ bijection exists: f: A → B.

Not injections. Bijections.

User confused injectivity with cardinality. Classic error.

### 3. Mutual Injection ≠ Cardinality

Even bijective sets have injections both ways. But cardinality demands bijection.

Consider A={1,2,3}, B={4,5,6}.
f(x)=x+3 gives bijection A↔B.
Also f:A→B is injection. But B→A needs g(y)=y-3.

Mutual injections ⇒ bijective sets.
Bijective sets ⟹ mutual injections.

But cardinality demands exact bijection.

### 4. Schroeder-Bernstein Theorem

Real insight: Cardinality ⟺ mutual injections.

Theorem says: |A|=|B| ⟺ injective f:A→B ∧ injective g:B→A.

So mutual injections characterize cardinality equivalence.

But this is different from user's claim.

### 5. Why User's Claim Wrong

User's "injection de l'un vers l'autre" creates confusion.

Correct: bijection characterizes cardinality.
Mutual injections characterize cardinality.

Both equivalent via Schroeder-Bernstein.

### 6. Resolution

Statement false as written. 

Replace "injection" with "bijection" or "mutual injections."

User likely thinking of mutual injections characterization, not realizing it's equivalent to bijection definition.

∴ Common confusion, but needs correction.

### Answer###
La formulation telle que présentée est incorrecte. Deux ensembles n'ont pas nécessairement la même cardinalité simplement parce qu'on peut trouver une injection de l'un vers l'autre.

En réalité, deux ensembles X et Y ont la même cardinalité si et seulement si il existe une bijection entre eux. Cela signifie qu'il existe une fonction bijective (non pas simplement injective) qui établit une correspondance un-à-un entre tous les éléments des deux ensembles.

Cependant, il existe une caractérisation équivalente importante : deux ensembles X et Y ont la même cardinalité si et seulement si on peut trouver à la fois une injection de X vers Y, et une injection de Y vers X. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Schroeder-Bernstein.

Cette caractérisation bidirectionnelle permet de déterminer si deux ensembles ont la même taille sans avoir nécessairement besoin d'expliciter la bijection elle-même, en vérifiant seulement l'existence de ces deux injections.