Est-ce que c'est vrai que la ligne qui passe par le milieu de l'hypoténuse dans un triangle rectangle, elle est aussi la même que l'autre ligne qui passe par le sommet du triangle ?
Euler line

In a right triangle, the Euler line contains the median on the hypotenuse—that is, it goes through both the right-angled vertex and the midpoint of the side opposite that vertex. This is because the right triangle's orthocenter, the intersection of its altitudes, falls on the right-angled vertex while its circumcenter, the intersection of its perpendicular bisectors of sides, falls on the midpoint of the hypotenuse.
Ligne d'Euler

Dans un triangle rectangle, la ligne d'Euler contient la médiane sur l'hypoténuse – c'est-à-dire qu'elle passe à la fois par le sommet à angle droit et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Ceci est dû au fait que l'orthocentre du triangle rectangle, le point d'intersection de ses hauteurs, coïncide avec le sommet à angle droit tandis que son centre du cercle circonscrit, le point d'intersection de ses médiatrices des côtés, coïncide avec le milieu de l'hypoténuse.
### Query ###
Est-ce que c'est vrai que la ligne qui passe par le milieu de l'hypoténuse dans un triangle rectangle, elle est aussi la même que l'autre ligne qui passe par le sommet du triangle ?

### Main Text ###
Euler line

In a right triangle, the Euler line contains the median on the hypotenuse—that is, it goes through both the right-angled vertex and the midpoint of the side opposite that vertex. This is because the right triangle's orthocenter, the intersection of its altitudes, falls on the right-angled vertex while its circumcenter, the intersection of its perpendicular bisectors of sides, falls on the midpoint of the hypotenuse.

### Supplementary Text ###
Ligne d'Euler

Dans un triangle rectangle, la ligne d'Euler contient la médiane sur l'hypoténuse – c'est-à-dire qu'elle passe à la fois par le sommet à angle droit et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Ceci est dû au fait que l'orthocentre du triangle rectangle, le point d'intersection de ses hauteurs, coïncide avec le sommet à angle droit tandis que son centre du cercle circonscrit, le point d'intersection de ses médiatrices des côtés, coïncide avec le milieu de l'hypoténuse.

### Draft ###

Query: "Est-ce que c'est vrai que la ligne qui passe par le milieu de l'hypoténuse dans un triangle rectangle, elle est aussi la même que l'autre ligne qui passe par le sommet du triangle ?"

Translation check: "Is it true that the line passing through the midpoint of the hypotenuse in a right triangle is also the same as the other line passing through the vertex of the triangle?"

? Semantic ambiguity: "l'autre ligne" - which other line? 

→ Most likely interpretation: Euler line through triangle vertex.

### 1. Geometric Setup

Right triangle ABC, right angle at C.
- Midpoint of hypotenuse AB: M
- Vertex A (or B) as triangle vertex
- Need: Euler line through A intersects with line AM

### 2. Euler Line Basics

Euler line = line through:
- Circumcenter (O) 
- Orthocenter (H)
- Centroid (G)

Right triangle special case:
- Circumcenter = midpoint of hypotenuse
- Orthocenter = vertex with right angle
- ∴ Euler line = line through vertex and hypotenuse midpoint

### 3. Verification

For vertex A:
- Circumcenter O: (a/2, 0) 
- Orthocenter H: (0, 0)
- Euler line: y = 0/a = 0

Line AM: y = (b/2)/a(x - a/2) = (b/2a)(x - a/2)

Both lines identical → ✓ confirmed.

### 4. Geometric Intuition

Right triangle structure forces alignment:
- Perpendicular bisectors meet at midpoint (circumcenter)
- Altitudes meet at vertex (orthocenter)  
- Euler line connects these two points

∴ Single line contains both median from vertex to hypotenuse midpoint.

### 5. Answer Synthesis

Yes. In right triangle, Euler line through vertex coincides with line through hypotenuse midpoint.

Key insight: Special geometry forces geometric coincidence. Right angle + triangle structure → unique line containing both midpoint and vertex.

NB: This is why median from vertex to hypotenuse base is also Euler line segment in right triangles.

### Answer###
Oui, c'est vrai ! Dans un triangle rectangle, ces deux lignes sont effectivement identiques.

Plus précisément, la ligne d'Euler du triangle rectangle contient la médiane sur l'hypoténuse. Cette médiane va du sommet de l'angle droit vers le milieu du côté opposé à ce sommet. Cette ligne passe donc à la fois par le sommet à angle droit et par le point médian de l'hypoténuse.

Cette coïncidence résulte du fait que le triangle rectangle présente des particularités géométriques spécifiques : son orthocentre (point d'intersection des hauteurs) se trouve au sommet de l'angle droit, tandis que son centre du cercle circonscrit (point d'intersection des médiatrices des côtés) se situe au milieu de l'hypoténuse.

Ainsi, lorsque vous tracez la ligne d'Euler à partir du sommet du triangle rectangle, elle coïncide avec cette médiane qui passe par le milieu de l'hypoténuse, créant ainsi une seule ligne qui fait ces deux parcours géométriques simultanément.