C'est quoi la différence entre les équations de Newton et le hamiltonien pour le problème des trois corps ?
Mathematical description

The mathematical statement of the three-body problem can be given in terms of the Newtonian equations of motion for vector positions r i = (x i, y i, z i) {\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})} of three gravitationally interacting bodies with masses m i {\displaystyle m_{i}}:

r ¨ 1 = − G m 2 r 1 − r 2 | r 1 − r 2 | 3 − G m 3 r 1 − r 3 | r 1 − r 3 | 3, r ¨ 2 = − G m 3 r 2 − r 3 | r 2 − r 3 | 3 − G m 1 r 2 − r 1 | r 2 − r 1 | 3, r ¨ 3 = − G m 1 r 3 − r 1 | r 3 − r 1 | 3 − G m 2 r 3 − r 2 | r 3 − r 2 | 3. {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}} where G {\displaystyle G} is the gravitational constant. This is a set of nine second-order differential equations. The problem can also be stated equivalently in the Hamiltonian formalism, in which case it is described by a set of 18 first-order differential equations, one for each component of the positions r i {\displaystyle \mathbf {r_{i}} } and momenta p i {\displaystyle \mathbf {p_{i}} }:

d r i d t = ∂ H ∂ p i, d p i d t = − ∂ H ∂ r i, {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}

where H {\displaystyle {\mathcal {H}}} is the Hamiltonian:

H = − G m 1 m 2 | r 1 − r 2 | − G m 2 m 3 | r 3 − r 2 | − G m 3 m 1 | r 3 − r 1 | + p 1 2 2 m 1 + p 2 2 2 m 2 + p 3 2 2 m 3. {\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}

In this case, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} is simply the total energy of the system, gravitational plus kinetic.
Description mathématique

L'expression mathématique du problème des trois corps peut être donnée en termes des équations de mouvement newtoniennes pour les positions vectorielles rᵢ = (xᵢ, yᵢ, zᵢ) des trois corps interagissant gravitationnellement de masses mᵢ :

r ¨₁ = − G m₂ (r₁ − r₂) / |r₁ − r₂|³ − G m₃ (r₁ − r₃) / |r₁ − r₃|³, r ¨₂ = − G m₃ (r₂ − r₃) / |r₂ − r₃|³ − G m₁ (r₂ − r₁) / |r₂ − r₁|³, r ¨₃ = − G m₁ (r₃ − r₁) / |r₃ − r₁|³ − G m₂ (r₃ − r₂) / |r₃ − r₂|³.

où G est la constante gravitationnelle. Il s'agit d'un ensemble de neuf équations différentielles du second ordre. Le problème peut également être formulé de manière équivalente dans le formalisme hamiltonien, auquel cas il est décrit par un ensemble de 18 équations différentielles du premier ordre, une pour chaque composante des positions rᵢ et des impulsions pᵢ :

drᵢ/dt = ∂H/∂pᵢ, dpᵢ/dt = − ∂H/∂rᵢ,

où H est l'hamiltonien :

H = − G m₁ m₂ / |r₁ − r₂| − G m₂ m₃ / |r₃ − r₂| − G m₃ m₁ / |r₃ − r₁| + p₁²/2m₁ + p₂²/2m₂ + p₃²/2m₃.

Dans ce cas, H est simplement l'énergie totale du système, gravitationnelle plus cinétique.
### Query ###
C'est quoi la différence entre les équations de Newton et le hamiltonien pour le problème des trois corps ?

### Main Text ###
Mathematical description

The mathematical statement of the three-body problem can be given in terms of the Newtonian equations of motion for vector positions r i = (x i, y i, z i) {\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})} of three gravitationally interacting bodies with masses m i {\displaystyle m_{i}}:

r ¨ 1 = − G m 2 r 1 − r 2 | r 1 − r 2 | 3 − G m 3 r 1 − r 3 | r 1 − r 3 | 3, r ¨ 2 = − G m 3 r 2 − r 3 | r 2 − r 3 | 3 − G m 1 r 2 − r 1 | r 2 − r 1 | 3, r ¨ 3 = − G m 1 r 3 − r 1 | r 3 − r 1 | 3 − G m 2 r 3 − r 2 | r 3 − r 2 | 3. {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}} where G {\displaystyle G} is the gravitational constant. This is a set of nine second-order differential equations. The problem can also be stated equivalently in the Hamiltonian formalism, in which case it is described by a set of 18 first-order differential equations, one for each component of the positions r i {\displaystyle \mathbf {r_{i}} } and momenta p i {\displaystyle \mathbf {p_{i}} }:

d r i d t = ∂ H ∂ p i, d p i d t = − ∂ H ∂ r i, {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}

where H {\displaystyle {\mathcal {H}}} is the Hamiltonian:

H = − G m 1 m 2 | r 1 − r 2 | − G m 2 m 3 | r 3 − r 2 | − G m 3 m 1 | r 3 − r 1 | + p 1 2 2 m 1 + p 2 2 2 m 2 + p 3 2 2 m 3. {\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}

In this case, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} is simply the total energy of the system, gravitational plus kinetic.

### Supplementary Text ###
Description mathématique

L'expression mathématique du problème des trois corps peut être donnée en termes des équations de mouvement newtoniennes pour les positions vectorielles rᵢ = (xᵢ, yᵢ, zᵢ) des trois corps interagissant gravitationnellement de masses mᵢ :

r ¨₁ = − G m₂ (r₁ − r₂) / |r₁ − r₂|³ − G m₃ (r₁ − r₃) / |r₁ − r₃|³, r ¨₂ = − G m₃ (r₂ − r₃) / |r₂ − r₃|³ − G m₁ (r₂ − r₁) / |r₂ − r₁|³, r ¨₃ = − G m₁ (r₃ − r₁) / |r₃ − r₁|³ − G m₂ (r₃ − r₂) / |r₃ − r₂|³.

où G est la constante gravitationnelle. Il s'agit d'un ensemble de neuf équations différentielles du second ordre. Le problème peut également être formulé de manière équivalente dans le formalisme hamiltonien, auquel cas il est décrit par un ensemble de 18 équations différentielles du premier ordre, une pour chaque composante des positions rᵢ et des impulsions pᵢ :

drᵢ/dt = ∂H/∂pᵢ, dpᵢ/dt = − ∂H/∂rᵢ,

où H est l'hamiltonien :

H = − G m₁ m₂ / |r₁ − r₂| − G m₂ m₃ / |r₃ − r₂| − G m₃ m₁ / |r₃ − r₁| + p₁²/2m₁ + p₂²/2m₂ + p₃²/2m₃.

Dans ce cas, H est simplement l'énergie totale du système, gravitationnelle plus cinétique.

### Draft ###

**Query parsing:** "différence entre les équations de Newton et le hamiltonien pour le problème des trois corps"

→ User wants comparative analysis. Not just descriptions. Differences.
→ Focus: N-body problem specifically, not general dynamics.

**Domain triangulation:**
● Classical mechanics: Newton's laws, differential equations
● Hamiltonian mechanics: Phase space formalism, conserved quantities  
● N-body problem: Exact solvability vs chaos

**Core mathematical objects:**

**Newtonian approach:**
- Equations of motion: 9 second-order ODEs
- Form: F = ma (gravitational forces)
- Variables: 9 position components, 9 velocity components
- Energy: Explicit force terms

**Hamiltonian approach:**
- 18 first-order ODEs (6 phase space dimensions)
- Canonical variables: q,p pairs
- Energy: H(q,p) as Hamiltonian function
- Poisson bracket evolution: dq/dt = ∂H/∂p, dp/dt = -∂H/∂q

**Key differences emerging:**

? **Order reduction paradox:** Why 9→18 then back to 9?
→ Hamiltonian preserves total energy explicitly
→ Each position/momentum pair evolves independently

! **Conservation laws:** Hamiltonian H contains total energy. No explicit force terms needed.

**Mathematical elegance factor:**
- Newton: Explicit differentiation, force calculations
- Hamiltonian: Implicit energy conservation, Poisson bracket structure

**Physical interpretation:**
- Newtonian: Acceleration-based, local forces
- Hamiltonian: Global energy, phase space trajectories

**Computational considerations:**
- Numerical stability: Hamiltonian often better-behaved
- Symplectic integrators vs explicit methods
- Long-term evolution: Hamiltonian preserves geometric structure

**Synthesis challenge:** 
∴ Newton gives explicit motion equations
∴ Hamiltonian gives implicit energy evolution  
∴ Same physics, different mathematical language

⟨H≈0.8⟩ *The strange attractor of the three-body problem haunts both formulations... chaos emerging from elegant equations... Poincaré's razor cutting through mathematical complexity...*

**Final comparative structure:**
1. Order reduction mechanism
2. Conservation law embedding  
3. Mathematical elegance tradeoff
4. Computational implications
5. Physical insight accessibility

NB: User likely wants pedagogical comparison. Emphasize conceptual differences over technical details.

### Answer###
Les équations de Newton et le formalisme hamiltonien constituent deux approches mathématiques différentes pour décrire le problème des trois corps.

Les équations de Newton se présentent sous la forme d'un système de neuf équations différentielles du second ordre :

r ¨₁ = − G m₂ (r₁ − r₂) / |r₁ − r₂|³ − G m₃ (r₁ − r₃) / |r₁ − r₃|³ r ¨₂ = − G m₃ (r₂ − r₃) / |r₂ − r₃|³ − G m₁ (r₂ − r₁) / |r₂ − r₁|³ r ¨₃ = − G m₁ (r₃ − r₁) / |r₃ − r₁|³ − G m₂ (r₃ − r₂) / |r₃ − r₂|³

Ces équations décrivent directement l'évolution temporelle des positions vectorielles des trois corps en termes d'accélérations.

Le formalisme hamiltonien, en revanche, utilise un système de 18 équations différentielles du premier ordre :

drᵢ/dt = ∂H/∂pᵢ, dpᵢ/dt = − ∂H/∂rᵢ

Cette formulation exprime l'évolution des positions et des impulsions à travers les dérivées partielles de l'hamiltonien H. L'hamiltonien H correspond dans ce cas à l'énergie totale du système :

H = − G m₁ m₂ / |r₁ − r₂| − G m₂ m₃ / |r₃ − r₂| − G m₃ m₁ / |r₃ − r₁| + p₁²/2m₁ + p₂²/2m₂ + p₃²/2m₃

Cette expression inclut l'énergie gravitationnelle et l'énergie cinétique totale.

La différence fondamentale réside dans le fait que les équations de Newton sont des équations de mouvement explicites du second ordre, tandis que le formalisme hamiltonien reformule le problème sous forme d'un système de premier ordre avec une structure canonique qui permet d'exploiter les propriétés de conservation de l'énergie totale du système.