Pourquoi on a besoin d'écrire le reste de la formule avec des trucs compliqués comme Rβ(x) quand les dérivées sont continues
Taylor's theorem for multivariate functions

Using notations of the preceding section, one has the following theorem.

Multivariate version of Taylor's theorem — Let f : R → R be a k -times continuously differentiable function at the point a ∈ R. Then there exist functions h : R → R, where | α | = k, {\displaystyle |\alpha |=k,} such that

f (x) = ∑ | α | ≤ k D α f (a) α ! (x − a) α + ∑ | α | = k h α (x) (x − a) α, and lim x → a h α (x) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}}

If the function f : R → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball B = { y ∈ R n: ‖ a − y ‖ ≤ r } {\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}} for some r > 0 {\displaystyle r>0}, then one can derive an exact formula for the remainder in terms of (k +1)-th order partial derivatives of f in this neighborhood. Namely,

f (x) = ∑ | α | ≤ k D α f (a) α ! (x − a) α + ∑ | β | = k + 1 R β (x) (x − a) β, R β (x) = | β | β ! ∫ 0 1 (1 − t) | β | − 1 D β f (a + t (x − a)) d t. {\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big)}\,dt.\end{aligned}}}

In this case, due to the continuity of (k +1)-th order partial derivatives in the compact set B, one immediately obtains the uniform estimates

| R β (x) | ≤ 1 β ! max | α | = | β | max y ∈ B | D α f (y) |, x ∈ B. {\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}
Dérivées d'intégrales

Supposons qu'il soit nécessaire de différencier par rapport à x la fonction

où les fonctions f (x, t) et ∂/∂x f (x, t) sont toutes deux continues en t et en x dans une certaine région du plan (t, x), incluant a(x) ≤ t ≤ b(x), x₀ ≤ x ≤ x₁, et les fonctions a(x) et b(x) sont toutes deux continues et possèdent toutes deux des dérivées continues pour x₀ ≤ x ≤ x₁. Alors, pour x₀ ≤ x ≤ x₁ :

Cette formule est la forme générale de la règle de Leibniz pour l'intégration et peut être dérivée en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral.
### Query ###
Pourquoi on a besoin d'écrire le reste de la formule avec des trucs compliqués comme Rβ(x) quand les dérivées sont continues

### Main Text ###
Taylor's theorem for multivariate functions

Using notations of the preceding section, one has the following theorem.

Multivariate version of Taylor's theorem — Let f : R → R be a k -times continuously differentiable function at the point a ∈ R. Then there exist functions h : R → R, where | α | = k, {\displaystyle |\alpha |=k,} such that

f (x) = ∑ | α | ≤ k D α f (a) α ! (x − a) α + ∑ | α | = k h α (x) (x − a) α, and lim x → a h α (x) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}}

If the function f : R → R is k + 1 times continuously differentiable in a closed ball B = { y ∈ R n: ‖ a − y ‖ ≤ r } {\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}} for some r > 0 {\displaystyle r>0}, then one can derive an exact formula for the remainder in terms of (k +1)-th order partial derivatives of f in this neighborhood. Namely,

f (x) = ∑ | α | ≤ k D α f (a) α ! (x − a) α + ∑ | β | = k + 1 R β (x) (x − a) β, R β (x) = | β | β ! ∫ 0 1 (1 − t) | β | − 1 D β f (a + t (x − a)) d t. {\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big)}\,dt.\end{aligned}}}

In this case, due to the continuity of (k +1)-th order partial derivatives in the compact set B, one immediately obtains the uniform estimates

| R β (x) | ≤ 1 β ! max | α | = | β | max y ∈ B | D α f (y) |, x ∈ B. {\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}

### Supplementary Text ###
Dérivées d'intégrales

Supposons qu'il soit nécessaire de différencier par rapport à x la fonction

où les fonctions f (x, t) et ∂/∂x f (x, t) sont toutes deux continues en t et en x dans une certaine région du plan (t, x), incluant a(x) ≤ t ≤ b(x), x₀ ≤ x ≤ x₁, et les fonctions a(x) et b(x) sont toutes deux continues et possèdent toutes deux des dérivées continues pour x₀ ≤ x ≤ x₁. Alors, pour x₀ ≤ x ≤ x₁ :

Cette formule est la forme générale de la règle de Leibniz pour l'intégration et peut être dérivée en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi... Rβ(x)... quand les dérivées sont continues"

Key issue: remainder terms Rβ(x) seem unnecessarily complex. User questioning: why can't we just write explicit formulas?

Translation note: "trucs compliqués" = "complicated stuff" - colloquial French, slightly frustrated tone.

Core confusion: remainder representation vs. explicit formula trade-off.

### 2. Mathematical Context Retrieval

● Taylor's theorem for multivariate functions
● Remainder term representation options
◐ Exact vs. approximate formulations

Standard result: f(x) ≈ f(a) + ∇f(a)(x-a) + (1/2)∇²f(a)(x-a)² + R(x)

Where R(x) is remainder. Two approaches:

Exact remainder: Rβ(x) = (1/β!)∫₀¹ (1-t)^|β|-1 Dβf(a+t(x-a)) dt
Approximate: R(x) ≈ (higher-order terms omitted)

### 3. Complexity Analysis

Exact approach advantages:
- Precise error bounds
- Utilizes full derivative information
- Handles general domains

Exact approach disadvantages:
- Integration required per term
- Formula becomes unwieldy
- Computationally intensive

### 4. Necessity Investigation

Why exact formulation necessary?

Several scenarios where approximation insufficient:

**Error Bounds** → Exact remainder gives |Rβ(x)| ≤ M/β! directly from integral bounds. Without exact form, error estimation becomes approximate.

**General Coordinates** → When x-a directions vary, integral representation handles arbitrary directions naturally. Point evaluation approximation fails here.

**Higher Dimensions** → As dimension n increases, number of terms explodes. Integral representation scales better.

**Smoothness Requirements** → If f has k+1 continuous derivatives, exact remainder uses full k+1-order information. Approximation loses precision.

### 5. Practical Considerations

⟨H≈0.8⟩ 
Imagine you're implementing this for numerical optimization... need tight error bounds for convergence analysis... approximate remainder won't cut it... integral form gives you the exact propagation of derivative information through the remainder term... each coefficient carries the full smoothness character of the function...

Back to analysis:

∴ Complexity justified by:
- Precise error quantification
- General coordinate flexibility  
- Optimal computational scaling
- Utilization of full derivative information

### 6. Resolution

Rβ(x) appears "complicated" because it captures complete mathematical structure. 

Alternative: approximate remainder truncates this structure → loses precision.

User's instinct to seek "simpler" formula reflects practical optimization mindset, but mathematical completeness requires exact representation.

NB: Integration complexity is price paid for mathematical rigor. Exact remainder essential for applications requiring precise error analysis.

**Conclusion**: Rβ(x) complexity reflects fundamental trade-off between computational convenience and mathematical precision. Exact formulation necessary for applications requiring error bounds and general coordinate handling.

### Answer###
Votre question touche à l'essence même de la représentation des restes dans le théorème de Taylor. En effet, quand une fonction possède des dérivées continues jusqu'à l'ordre k+1, on peut effectivement écrire une formule exacte pour le reste en termes de dérivées partielles d'ordre (k+1).

Cependant, cette forme exacte présente des avantages considérables. Les fonctions Rβ(x) permettent d'obtenir des estimations uniformes précises sur les bornes du reste : |Rβ(x)| ≤ 1/β! × max|α|=β maxy∈B |Dαf(y)|, où B est une boule fermée centrée en a. Cette représentation intégrale capture toute l'information sur les dérivées supérieures de la fonction et permet des applications pratiques comme l'estimation d'erreur.

La raison pour laquelle on ne peut pas simplement écrire des formules explicites plus simples réside dans le fait que les dérivées partielles d'ordre supérieur peuvent interagir de manière complexe. La représentation intégrale du reste utilise le fait que l'on peut intégrer ces contributions le long du chemin reliant a à x, ce qui capture l'influence de toutes les dérivées partielles dans la formule finale.

Écrire directement des formules explicites pour chaque terme Rβ(x) nécessiterait une analyse beaucoup plus complexe et ne donnerait pas les mêmes garanties de bornes uniformes que la forme intégrale.