Si je veux calculer la distance totale d'un trajet avec plein de petits changements de vitesse, est-ce que cette méthode avec des rectangles qui touchent juste le milieu va marcher bien ? Et comment je peux savoir si ça va donner des résultats vraiment précis si la route a plein de petites bosses et de virages ?
Quadrature rules based on step functions

A "brute force" kind of numerical integration can be done, if the integrand is reasonably well-behaved (i.e. piecewise continuous and of bounded variation), by evaluating the integrand with very small increments.

This simplest method approximates the function by a step function (a piecewise constant function, or a segmented polynomial of degree zero) that passes through the point (a + b 2, f (a + b 2)) {\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}. This is called the midpoint rule or rectangle rule
Vitesse moyenne

Dans de nombreuses situations impliquant des taux et des ratios, la moyenne harmonique fournit la moyenne correcte. Par exemple, si un véhicule parcourt une certaine distance d en allant (à une vitesse x, par exemple 60 km/h) et retourne la même distance (à une vitesse y, par exemple 20 km/h), alors sa vitesse moyenne est la moyenne harmonique de x et y (30 km/h), et non la moyenne arithmétique (40 km/h). Le temps de trajet total est le même que si le véhicule avait parcouru toute la distance à cette vitesse moyenne. Cela peut être prouvé comme suit :

Vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet = Distance totale parcourue / Somme des temps pour chaque segment = 2 d / (d / x) + (d / y) = 2 / (1 / x) + (1 / y)

Cependant, si le véhicule roule pendant une certaine durée à une vitesse x puis la même durée à une vitesse y, alors sa vitesse moyenne est la moyenne arithmétique de x et y, ce qui, dans l'exemple ci-dessus, est de 40 km/h.

Vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet = Distance totale parcourue / Somme des temps pour chaque segment = xt + yt / 2t = (x + y) / 2

Le même principe s'applique à plus de deux segments : étant donné une série de trajets intermédiaires à des vitesses différentes, si chaque trajet intermédiaire couvre la même distance, alors la vitesse moyenne est la moyenne harmonique de toutes les vitesses des trajets intermédiaires ; et si chaque trajet intermédiaire prend la même durée, alors la vitesse moyenne est la moyenne arithmétique de toutes les vitesses des trajets intermédiaires. (Si ce n'est pas le cas, une moyenne harmonique pondérée ou une moyenne arithmétique pondérée est nécessaire. Pour la moyenne arithmétique, la vitesse de chaque portion du trajet est pondérée par la durée de cette portion, tandis que pour la moyenne harmonique, le poids correspondant est la distance. Dans les deux cas, la formule résultante se réduit à la division de la distance totale par le temps total.)

Cependant, on peut éviter l'utilisation de la moyenne harmonique pour le cas du "pondération par distance". Posez le problème comme la recherche de la "lenteur" du trajet, où la "lenteur" (en heures par kilomètre) est l'inverse de la vitesse. Une fois la lenteur du trajet déterminée, inversez-la pour trouver la "vraie" vitesse moyenne du trajet. Pour chaque segment de trajet i, la lenteur s = 1/vitesse. Ensuite, prenez la moyenne arithmétique pondérée des s, pondérée par leurs distances respectives (facultativement avec les poids normalisés de sorte qu'ils totalisent 1 en les divisant par la longueur du trajet). Cela donne la vraie lenteur moyenne (en temps par kilomètre). Il s'avère que cette procédure, qui peut être effectuée sans connaissance de la moyenne harmonique, équivaut aux mêmes opérations mathématiques que celles utilisées pour résoudre ce problème en utilisant la moyenne harmonique. Cela illustre pourquoi la moyenne harmonique fonctionne dans ce cas.
### Query ###
Si je veux calculer la distance totale d'un trajet avec plein de petits changements de vitesse, est-ce que cette méthode avec des rectangles qui touchent juste le milieu va marcher bien ? Et comment je peux savoir si ça va donner des résultats vraiment précis si la route a plein de petites bosses et de virages ?

### Main Text ###
Quadrature rules based on step functions

A "brute force" kind of numerical integration can be done, if the integrand is reasonably well-behaved (i.e. piecewise continuous and of bounded variation), by evaluating the integrand with very small increments.

This simplest method approximates the function by a step function (a piecewise constant function, or a segmented polynomial of degree zero) that passes through the point (a + b 2, f (a + b 2)) {\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}. This is called the midpoint rule or rectangle rule

### Supplementary Text ###
Vitesse moyenne

Dans de nombreuses situations impliquant des taux et des ratios, la moyenne harmonique fournit la moyenne correcte. Par exemple, si un véhicule parcourt une certaine distance d en allant (à une vitesse x, par exemple 60 km/h) et retourne la même distance (à une vitesse y, par exemple 20 km/h), alors sa vitesse moyenne est la moyenne harmonique de x et y (30 km/h), et non la moyenne arithmétique (40 km/h). Le temps de trajet total est le même que si le véhicule avait parcouru toute la distance à cette vitesse moyenne. Cela peut être prouvé comme suit :

Vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet = Distance totale parcourue / Somme des temps pour chaque segment = 2 d / (d / x) + (d / y) = 2 / (1 / x) + (1 / y)

Cependant, si le véhicule roule pendant une certaine durée à une vitesse x puis la même durée à une vitesse y, alors sa vitesse moyenne est la moyenne arithmétique de x et y, ce qui, dans l'exemple ci-dessus, est de 40 km/h.

Vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet = Distance totale parcourue / Somme des temps pour chaque segment = xt + yt / 2t = (x + y) / 2

Le même principe s'applique à plus de deux segments : étant donné une série de trajets intermédiaires à des vitesses différentes, si chaque trajet intermédiaire couvre la même distance, alors la vitesse moyenne est la moyenne harmonique de toutes les vitesses des trajets intermédiaires ; et si chaque trajet intermédiaire prend la même durée, alors la vitesse moyenne est la moyenne arithmétique de toutes les vitesses des trajets intermédiaires. (Si ce n'est pas le cas, une moyenne harmonique pondérée ou une moyenne arithmétique pondérée est nécessaire. Pour la moyenne arithmétique, la vitesse de chaque portion du trajet est pondérée par la durée de cette portion, tandis que pour la moyenne harmonique, le poids correspondant est la distance. Dans les deux cas, la formule résultante se réduit à la division de la distance totale par le temps total.)

Cependant, on peut éviter l'utilisation de la moyenne harmonique pour le cas du "pondération par distance". Posez le problème comme la recherche de la "lenteur" du trajet, où la "lenteur" (en heures par kilomètre) est l'inverse de la vitesse. Une fois la lenteur du trajet déterminée, inversez-la pour trouver la "vraie" vitesse moyenne du trajet. Pour chaque segment de trajet i, la lenteur s = 1/vitesse. Ensuite, prenez la moyenne arithmétique pondérée des s, pondérée par leurs distances respectives (facultativement avec les poids normalisés de sorte qu'ils totalisent 1 en les divisant par la longueur du trajet). Cela donne la vraie lenteur moyenne (en temps par kilomètre). Il s'avère que cette procédure, qui peut être effectuée sans connaissance de la moyenne harmonique, équivaut aux mêmes opérations mathématiques que celles utilisées pour résoudre ce problème en utilisant la moyenne harmonique. Cela illustre pourquoi la moyenne harmonique fonctionne dans ce cas.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

French query. User asks: "calculer distance totale" + "petits changements de vitesse" + "méthode avec des rectangles" + "route avec petites bosses et virages"

Key semantic: "touchant juste le milieu" → midpoint rectangles. "vraiment précis" → accuracy concerns.

Translation issues: "bosses et virages" = bumps/curves. Could mean:
- Road roughness
- Sharp turns  
- Elevation changes
- ~~Topological irregularities~~ → focus on continuous speed variations

### 2. Method Assessment

Midpoint rule: f(a + b/2) * (b-a) for each interval.

● Simple implementation
◐ Accuracy depends on:
  - Interval width h = (b-a)/n
  - Smoothness of v(t) function
  - Integration bounds

For distance s = ∫v(t)dt:
- Exact if v constant intervals
- Approximate if v varies within intervals

### 3. Error Analysis

⟨H≈0.8⟩ Classical numerical integration theory... midpoint rule error term involves second derivative of velocity function. Since v(t) represents speed profile, second derivative = acceleration jerk. Sharp acceleration changes → larger error. Bumps/curves typically create rapid acceleration transitions → error accumulation.

Small intervals → reduced error. But computational cost increases.

∴ Method works best when:
- Speed changes are gradual
- Few sharp transitions
- Long distance allows coarse intervals

### 4. Practical Considerations

Road "bosses et virages" create:
- Rapid acceleration/deceleration
- Cornering forces
- Gradient changes

These → non-constant velocity intervals → method approximation error increases.

? How small should intervals be?
? What if velocity function discontinuous?

### 5. Convergence Behavior

Error ≈ K · h² where h = interval width.
Smaller h → better accuracy.

But: v(t) may be discontinuous at "bosses"
→ Standard error bounds may not apply
→ Local approximation quality varies

### 6. Alternative Approaches

For rough velocity profiles:
- Adaptive interval sizing
- Cubic spline interpolation  
- Piecewise constant approximation
- Gaussian quadrature

Each has trade-offs between accuracy and complexity.

### 7. Conclusion

Midpoint rectangles: ● simple, ◐ limited accuracy for "bossed" routes.

Method quality depends on:
- Interval selection
- Smoothness of velocity function
- Integration bounds

"Petites bosses" create velocity discontinuities → reduced accuracy.

For precise distance calculations on complex terrain: consider adaptive methods or higher-order numerical schemes.

NB: Classical numerical analysis theory applies, but practical implementation needs careful interval selection and error monitoring.

### Answer###
Votre méthode avec les rectangles centrés (où vous évaluez la vitesse au milieu de chaque intervalle) fonctionne effectivement pour l'intégration numérique, mais son efficacité dépend fortement de la régularité de votre profil de vitesse et de la résolution que vous utilisez.

Cette approche, aussi appelée règle des rectangles ou règle du point médian, consiste à approximer votre fonction de vitesse par une fonction en escalier qui passe par les points (a + b/2, f(a + b/2)) pour chaque intervalle. Elle est particulièrement adaptée lorsque l'intégrand (votre fonction de vitesse) est raisonnablement bien comporté - c'est-à-dire de variation bornée et à variation continue par morceaux.

Concernant l'efficacité sur une route avec de nombreuses petites bosses et virages, le facteur déterminant est la taille des intervalles que vous choisissez. Si les changements de vitesse sont effectivement petits et nombreux, vous devrez utiliser des intervalles très fins pour que cette méthode soit précise. Dans ce cas, l'approximation fonctionne bien car chaque petit intervalle capture avec précision les variations locales de vitesse.

Cependant, si votre route contient des transitions brusques ou des discontinuités importantes, cette méthode simple peut donner des résultats moins précis. Pour des applications nécessitant une grande précision, il peut être nécessaire d'explorer des règles d'intégration plus sophistiquées ou des méthodes adaptatives qui ajustent automatiquement la taille des intervalles en fonction des variations de la fonction.