pourquoi sa marche pas quand on a deux chevaux mais sa marche avec plus de deux
Example of error in the induction step

The induction step must be proved for all values of n. To illustrate this, Joel E. Cohen proposed the following argument, which purports to prove by mathematical induction that all horses are of the same color:

Base case: in a set of only one horse, there is only one color.

Induction step: assume as induction hypothesis that within any set of n {\displaystyle n} horses, there is only one color. Now look at any set of n + 1 {\displaystyle n+1} horses. Number them: 1, 2, 3, …, n, n + 1 {\displaystyle 1,2,3,\dotsc,n,n+1}. Consider the sets { 1, 2, 3, …, n } {\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc,n\right\}} and { 2, 3, 4, …, n + 1 } {\textstyle \left\{2,3,4,\dotsc,n+1\right\}}. Each is a set of only n {\displaystyle n} horses, therefore within each there is only one color. But the two sets overlap, so there must be only one color among all n + 1 {\displaystyle n+1} horses.

The base case n = 1 {\displaystyle n=1} is trivial, and the induction step is correct in all cases n > 1 {\displaystyle n>1}. However, the argument used in the induction step is incorrect for n + 1 = 2 {\displaystyle n+1=2}, because the statement that "the two sets overlap" is false for { 1 } {\textstyle \left\{1\right\}} and { 2 } {\textstyle \left\{2\right\}}.
Les chevaux

La marche est un pas à quatre temps qui s'élève en moyenne à environ 6,4 kilomètres par heure (4 miles par heure). En marchant, les pattes d'un cheval suivent cette séquence : jambe arrière gauche, jambe avant gauche, jambe arrière droite, jambe avant droite, dans un rythme régulier 1-2-3-4. À la marche, le cheval aura toujours un pied levé et les trois autres au sol, à l'exception d'un bref instant pendant lequel le poids est transféré d'un pied à l'autre. Le cheval bouge sa tête et son cou avec un léger mouvement de haut en bas, ce qui l'aide à maintenir son équilibre.

Idéalement, le sabot arrière en avance dépasse légèrement l'endroit où le sabot avant précédemment en avance a touché le sol. Plus le sabot arrière dépasse, plus la marche devient douce et confortable. Les chevaux individuels et les différentes races varient quant à la douceur de leur marche. Cependant, un cavalier ressentira presque toujours un certain degré de mouvement latéral dans les hanches du cheval lorsque chaque jambe arrière s'étend vers l'avant.

Les « marches » les plus rapides avec un schéma de foulée à quatre temps sont en réalité les formes latérales des allures d'amble, telles que la marche de course, le singlefoot et des allures intermédiaires rapides et fluides similaires. Si un cheval commence à accélérer et perd un rythme régulier à quatre temps dans son allure, il ne marche plus mais commence soit à trotter, soit à au galoper.
### Query ###
pourquoi sa marche pas quand on a deux chevaux mais sa marche avec plus de deux

### Main Text ###
Example of error in the induction step

The induction step must be proved for all values of n. To illustrate this, Joel E. Cohen proposed the following argument, which purports to prove by mathematical induction that all horses are of the same color:

Base case: in a set of only one horse, there is only one color.

Induction step: assume as induction hypothesis that within any set of n {\displaystyle n} horses, there is only one color. Now look at any set of n + 1 {\displaystyle n+1} horses. Number them: 1, 2, 3, …, n, n + 1 {\displaystyle 1,2,3,\dotsc,n,n+1}. Consider the sets { 1, 2, 3, …, n } {\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc,n\right\}} and { 2, 3, 4, …, n + 1 } {\textstyle \left\{2,3,4,\dotsc,n+1\right\}}. Each is a set of only n {\displaystyle n} horses, therefore within each there is only one color. But the two sets overlap, so there must be only one color among all n + 1 {\displaystyle n+1} horses.

The base case n = 1 {\displaystyle n=1} is trivial, and the induction step is correct in all cases n > 1 {\displaystyle n>1}. However, the argument used in the induction step is incorrect for n + 1 = 2 {\displaystyle n+1=2}, because the statement that "the two sets overlap" is false for { 1 } {\textstyle \left\{1\right\}} and { 2 } {\textstyle \left\{2\right\}}.

### Supplementary Text ###
Les chevaux

La marche est un pas à quatre temps qui s'élève en moyenne à environ 6,4 kilomètres par heure (4 miles par heure). En marchant, les pattes d'un cheval suivent cette séquence : jambe arrière gauche, jambe avant gauche, jambe arrière droite, jambe avant droite, dans un rythme régulier 1-2-3-4. À la marche, le cheval aura toujours un pied levé et les trois autres au sol, à l'exception d'un bref instant pendant lequel le poids est transféré d'un pied à l'autre. Le cheval bouge sa tête et son cou avec un léger mouvement de haut en bas, ce qui l'aide à maintenir son équilibre.

Idéalement, le sabot arrière en avance dépasse légèrement l'endroit où le sabot avant précédemment en avance a touché le sol. Plus le sabot arrière dépasse, plus la marche devient douce et confortable. Les chevaux individuels et les différentes races varient quant à la douceur de leur marche. Cependant, un cavalier ressentira presque toujours un certain degré de mouvement latéral dans les hanches du cheval lorsque chaque jambe arrière s'étend vers l'avant.

Les « marches » les plus rapides avec un schéma de foulée à quatre temps sont en réalité les formes latérales des allures d'amble, telles que la marche de course, le singlefoot et des allures intermédiaires rapides et fluides similaires. Si un cheval commence à accélérer et perd un rythme régulier à quatre temps dans son allure, il ne marche plus mais commence soit à trotter, soit à au galoper.

### Draft ###

Query: "pourquoi sa marche pas quand on a deux chevaux mais sa marche avec plus de deux"

Translation: "why does it work with more than two horses but not with exactly two horses"

→ Classic mathematical induction question. User spotted failure case.

### 1. The Paradox

Cohen's horse proof. Base case obvious. Induction step: n horses same color → n+1 horses same color.

Argument structure:
- Take sets {1,2,...,n} and {2,3,...,n+1}  
- Each set has n horses → by induction hypothesis, each set monochromatic
- Sets overlap → must share at least one color
- ∴ n+1 horses same color

Looks valid. Fails at n+1=2.

### 2. Why Two Horses Break It

When n=1: base case holds trivially.
When n=2: argument collapses.

Two sets become {1} and {2}. No overlap. 
Statement "they overlap" → false.
Proof breaks down completely.

※ Mathematical induction requires: base case + induction step both valid.

### 3. The Critical Insight

The flaw is constructive. We can fix it:
- Add explicit case for n=1
- OR handle n=2 separately  
- OR modify overlap argument

Key lesson: induction arguments must account for boundary cases.

Two horses = special case requiring special treatment.

∴ Proof fails exactly when we have two horses because the inductive step's overlap assumption fails for sets of size 2.

### Answer###
Votre question fait référence au paradoxe des chevaux de Joel E. Cohen, qui illustre une erreur classique dans les preuves par induction.

Le principe fonctionne effectivement avec plus de deux chevaux parce que l'argument inductif repose sur la capacité à comparer deux ensembles de chevaux qui se chevauchent. L'étape inductive suppose que si vous avez n chevaux, ils sont tous de la même couleur. L'argument utilise alors deux ensembles : celui contenant les n premiers chevaux et celui contenant les n derniers chevaux (en excluant le premier). Ces deux ensembles se chevauchent et, selon l'hypothèse inductive, chacun contient uniquement une couleur. L'argument conclut que comme les deux ensembles se chevauchent et qu'ils ne peuvent pas contenir deux couleurs différentes simultanément, tous les n+1 chevaux doivent être de la même couleur.

Cependant, ce raisonnement ne fonctionne pas avec exactement deux chevaux parce que l'étape inductive fait une hypothèse incorrecte. Lorsque vous avez seulement deux chevaux, les deux ensembles ne se chevauchent pas vraiment - l'un contient le premier cheval et l'autre le second. L'énoncé selon lequel "les deux ensembles se chevauchent" est faux pour un seul cheval.

Cette démonstration satirique révèle que les preuves par induction nécessitent que chaque étape soit valide pour tous les cas, y compris les cas limites. L'erreur apparaît précisément lorsque l'on passe de 1 cheval à 2 chevaux, où l'argument inductif se brise.