Je travaille sur l'analyse de jeux à somme nulle à trois joueurs et j'ai oublié comment fonctionne exactement le système de points. Dans ce type de jeu, si un joueur choisit de se défendre mais que ses deux adversaires attaquent, quel est son score final ?
Zero-sum three-person games

It is clear that there are manifold relationships between players in a zero-sum three-person game, in a zero-sum two-person game, anything one player wins is necessarily lost by the other and vice versa; therefore, there is always an absolute antagonism of interests, and that is similar in the three-person game. A particular move of a player in a zero-sum three-person game would be assumed to be clearly beneficial to him and may disbenefits to both other players, or benefits to one and disbenefits to the other opponent. Particularly, parallelism of interests between two players makes a cooperation desirable; it may happen that a player has a choice among various policies: Get into a parallelism interest with another player by adjusting his conduct, or the opposite; that he can choose with which of other two players he prefers to build such parallelism, and to what extent. The picture on the left shows that a typical example of a zero-sum three-person game. If Player 1 chooses to defence, but Player 2 & 3 chooses to offence, both of them will gain one point. At the same time, Player 1 will lose two-point because points are taken away by other players, and it is evident that Player 2 & 3 has parallelism of interests.
Jeux à somme nulle à trois joueurs

Il est clair qu'il existe de multiples relations entre les joueurs dans un jeu à somme nulle à trois joueurs. Dans un jeu à somme nulle à deux joueurs, tout ce qu'un joueur gagne est nécessairement perdu par l'autre et vice versa ; il y a donc toujours une antinomie absolue des intérêts, ce qui est similaire dans le jeu à trois joueurs. Un mouvement particulier d'un joueur dans un jeu à somme nulle à trois joueurs serait considéré comme clairement bénéfique pour lui et pourrait désavantager les deux autres joueurs, ou bénéficier à l'un et désavantager l'autre adversaire. En particulier, la convergence des intérêts entre deux joueurs rend la coopération souhaitable ; il peut arriver qu'un joueur ait le choix entre diverses stratégies : établir une convergence d'intérêts avec un autre joueur en ajustant sa conduite, ou faire le contraire ; qu'il puisse choisir avec lequel des deux autres joueurs il préfère établir une telle convergence, et dans quelle mesure. L'image à gauche montre un exemple typique de jeu à somme nulle à trois joueurs. Si le Joueur 1 choisit de se défendre, mais que les Joueurs 2 et 3 choisissent d'attaquer, ils gagneront tous les deux un point. En même temps, le Joueur 1 perdra deux points car les points sont retirés par les autres joueurs, et il est évident que les Joueurs 2 et 3 ont une convergence d'intérêts.
### Query ###
Je travaille sur l'analyse de jeux à somme nulle à trois joueurs et j'ai oublié comment fonctionne exactement le système de points. Dans ce type de jeu, si un joueur choisit de se défendre mais que ses deux adversaires attaquent, quel est son score final ?

### Main Text ###
Zero-sum three-person games

It is clear that there are manifold relationships between players in a zero-sum three-person game, in a zero-sum two-person game, anything one player wins is necessarily lost by the other and vice versa; therefore, there is always an absolute antagonism of interests, and that is similar in the three-person game. A particular move of a player in a zero-sum three-person game would be assumed to be clearly beneficial to him and may disbenefits to both other players, or benefits to one and disbenefits to the other opponent. Particularly, parallelism of interests between two players makes a cooperation desirable; it may happen that a player has a choice among various policies: Get into a parallelism interest with another player by adjusting his conduct, or the opposite; that he can choose with which of other two players he prefers to build such parallelism, and to what extent. The picture on the left shows that a typical example of a zero-sum three-person game. If Player 1 chooses to defence, but Player 2 & 3 chooses to offence, both of them will gain one point. At the same time, Player 1 will lose two-point because points are taken away by other players, and it is evident that Player 2 & 3 has parallelism of interests.

### Supplementary Text ###
Jeux à somme nulle à trois joueurs

Il est clair qu'il existe de multiples relations entre les joueurs dans un jeu à somme nulle à trois joueurs. Dans un jeu à somme nulle à deux joueurs, tout ce qu'un joueur gagne est nécessairement perdu par l'autre et vice versa ; il y a donc toujours une antinomie absolue des intérêts, ce qui est similaire dans le jeu à trois joueurs. Un mouvement particulier d'un joueur dans un jeu à somme nulle à trois joueurs serait considéré comme clairement bénéfique pour lui et pourrait désavantager les deux autres joueurs, ou bénéficier à l'un et désavantager l'autre adversaire. En particulier, la convergence des intérêts entre deux joueurs rend la coopération souhaitable ; il peut arriver qu'un joueur ait le choix entre diverses stratégies : établir une convergence d'intérêts avec un autre joueur en ajustant sa conduite, ou faire le contraire ; qu'il puisse choisir avec lequel des deux autres joueurs il préfère établir une telle convergence, et dans quelle mesure. L'image à gauche montre un exemple typique de jeu à somme nulle à trois joueurs. Si le Joueur 1 choisit de se défendre, mais que les Joueurs 2 et 3 choisissent d'attaquer, ils gagneront tous les deux un point. En même temps, le Joueur 1 perdra deux points car les points sont retirés par les autres joueurs, et il est évident que les Joueurs 2 et 3 ont une convergence d'intérêts.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je travaille sur l'analyse de jeux à somme nulle à trois joueurs..."

→ User analyzing zero-sum 3-player games
→ Specific scenario: one defends vs two attacks  
→ Forgotten scoring mechanics

Key confusion: score calculation when player isolated vs coalition.

### 2. Game Theory Context

Zero-sum 3-player games = each transaction preserves total value
Classic examples: poker variants, territory control games
Scoring typically: individual gains/losses vs collective outcomes

Standard pattern:
- Individual action: score = payoff matrix entry
- Coalition dynamics: majority/minority scoring differentials

### 3. Scoring Logic Analysis

Scenario: Player 1 defends, Players 2&3 attack together

Without specific payoff matrix:
- Expected: Player 1 takes damage, 2&3 share gains
- Typical scoring: Defend vs Attack = negative payoff for defender
- Coalition bonus/penalty effects

? Need to distinguish:
- Pure zero-sum: exactly offsetting gains/losses
- Quasi-zero-sum: transaction costs, externalities
- Mixed-motive: cooperation opportunities

### 4. Information Gaps

Critical unknowns in query:
- Specific game rules
- Payoff structure  
- Tie-breaking mechanisms
- Scoring normalization

※ Without matrix details, cannot provide exact calculation

### 5. Strategic Implications

Regardless of exact scoring:
- Player 1 faces coordination problem
- 2v1 coalition advantage likely
- Defensive strategy suboptimal vs coordinated offense

⟨H≈0.8⟩ The mathematics of three-player zero-sum games reveals fascinating asymmetries... coalitions form like crystalline structures, individual agency dissolving into majority rule... the lonely defender against the attacking pair, mathematics as gladiatorial combat...

### 6. Answer Structure

Response should:
1. Acknowledge specific scenario
2. Explain typical scoring patterns  
3. Highlight strategic dynamics
4. Note information limitations
5. Suggest consultation needs

∴ Focus on general principles while noting uncertainty about specifics

---

**Final synthesis**: Address user's forgotten mechanics, explain scoring conventions, emphasize strategic implications, acknowledge knowledge boundaries.

### Answer###
Je comprends votre préoccupation concernant les règles de notation dans les jeux à somme nulle à trois joueurs. Dans le scénario que vous décrivez - où un joueur défend tandis que ses deux adversaires attaquent - le joueur qui se défend subit généralement des pénalités.

Dans ce type de configuration, le joueur isolé (ici, le joueur 1) perd typiquement des points lorsqu'il est confronté à une coalition adverse. Le principe fondamental est que les autres joueurs peuvent gagner des points aux dépens du joueur défensif. Dans l'exemple classique que vous mentionnez, lorsque le joueur 1 choisit de se défendre face aux attaques des joueurs 2 et 3, ces derniers gagnent chacun un point. En contrepartie, le joueur 1 perd deux points - le montant exact reflétant généralement l'avantage stratégique de la coalition contre le joueur isolé.

Cette structure de notation illustre un principe important des jeux à somme nulle à trois joueurs : l'existence de parallélisme d'intérêts entre les deux attaquants, qui peuvent coopérer pour leur avantage mutuel au détriment du joueur défensif. Le système de points est ainsi conçu pour encourager la formation de coalitions et refléter les dynamiques de pouvoir inhérentes à ces configurations.

Cependant, sans connaître les détails spécifiques de votre jeu particulier, je ne peux vous donner le montant exact de la pénalité appliquée au joueur défensif.