Pourquoi est-ce que le coefficient de détermination (R²) et la fraction de variance inexpliquée (FVI) ne peuvent pas être interprétés de manière complètement indépendante, et quelles sont les subtilités de cette relation qui peuvent influencer nos analyses statistiques ?
Relation to unexplained variance

In a general form, R can be seen to be related to the fraction of variance unexplained (FVU), since the second term compares the unexplained variance (variance of the model's errors) with the total variance (of the data): R 2 = 1 − FVU {\displaystyle R^{2}=1-{\text{FVU}}}
Relation avec la variance inexpliquée

De manière générale, R peut être considéré comme étant lié à la fraction de variance inexpliquée (FVI), puisque le second terme compare la variance inexpliquée (variance des erreurs du modèle) à la variance totale (des données) : R² = 1 − FVI.

### Query ###
Pourquoi est-ce que le coefficient de détermination (R²) et la fraction de variance inexpliquée (FVI) ne peuvent pas être interprétés de manière complètement indépendante, et quelles sont les subtilités de cette relation qui peuvent influencer nos analyses statistiques ?

### Main Text ###
Relation to unexplained variance

In a general form, R can be seen to be related to the fraction of variance unexplained (FVU), since the second term compares the unexplained variance (variance of the model's errors) with the total variance (of the data): R 2 = 1 − FVU {\displaystyle R^{2}=1-{\text{FVU}}}

### Supplementary Text ###
Relation avec la variance inexpliquée

De manière générale, R peut être considéré comme étant lié à la fraction de variance inexpliquée (FVI), puisque le second terme compare la variance inexpliquée (variance des erreurs du modèle) à la variance totale (des données) : R² = 1 − FVI.


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi est-ce que le R² et la FVI ne peuvent pas être interprétés de manière complètement indépendante"

Key semantic issue: "complètement indépendante" → user assumes some degree of independence exists first. False premise.

R² = 1 - FVI by definition. No independence possible.

### 2. Definitional Foundation

R² (coefficient of determination): proportion of variance in dependent variable explained by model.

FVI (fraction of variance inexpliquée): proportion of variance in dependent variable not explained by model.

∴ R² + FVI = 1 always. Perfect inverse relationship.

Not separate statistics. Single relationship split into two interpretations.

### 3. Interpretive Consequences

→ Complementary rather than independent perspectives on same phenomenon
→ R² emphasizes explained variance, FVI emphasizes unexplained variance  
→ Reporting both provides redundant information
→ Focus on practical difference: R² ranges [0,1], FVI ranges [0,1]

### 4. Statistical Analysis Implications

Subtleties include:

**Reporting bias**: Easy to misinterpret high R² as "good" without acknowledging substantial FVI.

**Sample size effects**: Both increase with sample size (pseudo-improvement).

**Model complexity**: Overfitting can increase R² while increasing FVI (unexplained variance shifts to residuals).

**Heteroscedasticity**: FVI interpretation assumes constant variance, but R² averages over variance differences.

### 5. Context-Specific Variations

⟨H≈0.8⟩ Different fields use different terminologies... economists might prefer R² decomposition by variance components... psychologists might weight by sample size... medical researchers might focus on practical significance rather than pure R² values... each field develops local interpretation conventions that seem independent but are mathematically identical...

### 6. Practical Recommendations

Report R² with confidence intervals.
Consider reporting both R² and adjusted R² when discussing model fit.
Focus on practical implications rather than pure numerical values.
Avoid reporting FVI alone - redundant with 1-R².

### 7. Mathematical Reality Check

R² = ∑(ŷᵢ - ȳ)² / ∑(yᵢ - ȳ)² = 1 - [∑(yᵢ - ŷᵢ)² / ∑(yᵢ - ȳ)²]

No independent variation possible. 

Definitional constraint makes them perfectly correlated (ρ=1).

∴ "Independent interpretation" mathematically impossible.

**Final insight**: R² and FVI represent same information from different angles. Independence would violate basic arithmetic. Statistical "independence" requires mathematical possibility - these lack it.

User's premise flawed. No independence exists to be compromised.

### Answer###
Le coefficient de détermination (R²) et la fraction de variance inexpliquée (FVI) ne peuvent pas être interprétés de manière complètement indépendante car ils représentent deux aspects complémentaires d'une même relation mathématique fondamentale.

Cette relation est définie par : R² = 1 - FVI

Cette équation montre que R² et FVI sont des concepts contraires qui s'additionnent à 1. En d'autres termes, R² mesure la proportion de variance expliquée par le modèle, tandis que FVI mesure la proportion de variance qui reste inexpliquée (variance des résidus). Ces deux mesures ne peuvent donc pas varier indépendamment l'une de l'autre sans violer cette relation fondamentale.

Les subtilités de cette relation peuvent influencer nos analyses statistiques de plusieurs façons. Premièrement, l'interprétation de R² ne peut être complète sans considérer FVI et vice versa. Une valeur élevée de R² peut masquer une importante fraction de variance inexpliquée, et inversement.

Cette relation implique également que les deux mesures fournissent des perspectives complémentaires sur la qualité de l'ajustement du modèle. L'interprétation de R² se concentre sur ce que le modèle explique bien, tandis que FVI met en évidence ce qui reste problématique dans l'ajustement.

Les implications pratiques incluent notamment la nécessité de considérer ces deux mesures conjointement lors de l'évaluation des modèles, d'éviter une interprétation trop simpliste de R² élevé, et de prendre en compte que l'amélioration de l'une ne peut se faire au détriment de l'autre sans modifier la relation mathématique sous-jacente.