Comment la mesure d'asymétrie q−p√pq influence-t-elle l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X−E√Var ?
Skewness

The skewness is q − p p q = 1 − 2 p p q {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}. When we take the standardized Bernoulli distributed random variable X − E Var {\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} }{\sqrt {\operatorname {Var} }}}} we find that this random variable attains q p q {\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}} with probability p {\displaystyle p} and attains − p p q {\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}} with probability q {\displaystyle q}. Thus we get
Asymétrie

L'asymétrie est définie par q − p √pq = 1 − 2p √pq {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}. Lorsque nous prenons la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X − E Var {\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} }{\sqrt {\operatorname {Var} }}}} , nous constatons que cette variable aléatoire atteint q √pq {\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}} avec une probabilité p {\displaystyle p} et atteint − p √pq {\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}} avec une probabilité q {\displaystyle q}. Ainsi, nous obtenons

### Query ###
Comment la mesure d'asymétrie q−p√pq influence-t-elle l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X−E√Var ?

### Main Text ###
Skewness

The skewness is q − p p q = 1 − 2 p p q {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}. When we take the standardized Bernoulli distributed random variable X − E Var {\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} }{\sqrt {\operatorname {Var} }}}} we find that this random variable attains q p q {\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}} with probability p {\displaystyle p} and attains − p p q {\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}} with probability q {\displaystyle q}. Thus we get

### Supplementary Text ###
Asymétrie

L'asymétrie est définie par q − p √pq = 1 − 2p √pq {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}. Lorsque nous prenons la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X − E Var {\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} }{\sqrt {\operatorname {Var} }}}} , nous constatons que cette variable aléatoire atteint q √pq {\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}} avec une probabilité p {\displaystyle p} et atteint − p √pq {\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}} avec une probabilité q {\displaystyle q}. Ainsi, nous obtenons


### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Comment la mesure d'asymétrie q−p√pq influence-t-elle..." 

→ How does asymmetry measure q-p√pq influence...

"l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X−E√Var"

→ mathematical expectation and standard deviation of standardized Bernoulli random variable X-E/√Var

! Key issue: User conflates expectation (espérance) with standard deviation. Likely means expectation AND variance.

### 2. Mathematical Setup

Standardized Bernoulli: X = {0,1} with P(X=1) = p, P(X=0) = q = 1-p.

Raw form: E[X] = p, Var[X] = pq = p(1-p)

Standardized: Z = (X-E[X])/√Var[X] = (X-p)/√(pq)

Asymmetry measure: α = (q-p)/√(pq) = (1-2p)/√(pq)

### 3. Expectation Analysis

Need expectation of standardized variable: E[Z] = E[(X-p)/√(pq)]

Since Z is centered (E[X-p] = 0), E[Z] = 0.

∴ The asymmetry measure directly influences the centering of the standardized distribution, not its expectation.

### 4. Variance/Standard Deviation

More subtle: How does α affect Var[Z]?

Var[Z] = Var[(X-p)/√(pq)] = Var[X]/pq = 1/pq

Wait. No direct α dependence. 

? Maybe confusion in original query. Variance is pq^(-1), not α-dependent.

### 5. Distribution Form

Standardized Bernoulli takes values:
- Z = +1/√pq with probability p
- Z = -1/√pq with probability q

→ Skewness emerges from probability mass distribution, not from α per se.

α = (q-p)/√(pq) = (1-2p)/√(pq) captures the probability difference.

### 6. Resolution

The asymmetry measure α = (1-2p)/√(pq) determines:
1. The direction and magnitude of skewness
2. The probability weights of the two outcomes in standardized form
3. The shape of the standardized distribution

But α does NOT directly influence:
- The expectation (E[Z] = 0)
- The variance (Var[Z] = 1/pq)

⚠ Potential confusion: α quantifies the skewness that emerges from the probability distribution, not the statistical properties of the standardized transform itself.

※ The standardized form always has unit variance, so the asymmetry measure primarily affects the probability mass allocation rather than the second moment.

### Answer###
La mesure d'asymétrie q−p√pq = 1−2p√pq influence directement la distribution de la variable aléatoire de Bernoulli standardisée X−EVar en déterminant sa forme et sa direction d'asymétrie.

Lorsque cette variable standardisée est considérée, elle atteint la valeur q√pq avec une probabilité p et la valeur −p√pq avec une probabilité q. Cette structure révèle que l'asymétrie influence la distribution probabilisée des deux valeurs possibles de la variable standardisée, créant une distribution asymétrique où la masse de probabilité est déplacée vers l'une des valeurs selon le rapport q−p.

L'influence sur l'espérance et l'écart type est moins directe que sur la forme de la distribution. La variable standardisée X−EVar a toujours une espérance nulle (puisque centrée) et une variance de 1/pq. L'asymétrie q−p√pq détermine essentiellement la façon dont cette variance est répartie entre les deux valeurs possibles, créant une distribution qui sera plus ou moins "étirée" vers l'une des valeurs en fonction du signe et de la magnitude de cette mesure.

La valeur de l'asymétrie 1−2p√pq capture donc l'essence de cette influence sur la forme de la distribution standardisée, bien que les propriétés statistiques de base (espérance et variance) demeurent déterminées par la nature binaire de la distribution de Bernoulli sous-jacente.