Comment la transformée en ondelettes parvient-elle à améliorer la résolution temps-fréquence par rapport à la transformée de Fourier, et quelles sont les implications mathématiques sous-jacentes de cette approche multirésolutionnelle ?
Comparisons with Fourier transform (continuous-time)

The wavelet transform is often compared with the Fourier transform, in which signals are represented as a sum of sinusoids. In fact, the Fourier transform can be viewed as a special case of the continuous wavelet transform with the choice of the mother wavelet ψ (t) = e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}.The main difference in general is that wavelets are localized in both time and frequency whereas the standard Fourier transform is only localized in frequency. The short-time Fourier transform (STFT) is similar to the wavelet transform, in that it is also time and frequency localized, but there are issues with the frequency/time resolution trade-off.

In particular, assuming a rectangular window region, one may think of the STFT as a transform with a slightly different kernel ψ (t) = g (t − u) e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}} where g (t − u) {\displaystyle g(t-u)} can often be written as rect (t − u Δ t) {\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}, where Δ t {\displaystyle \Delta _{t}} and u respectively denote the length and temporal offset of the windowing function. Using Parseval's theorem, one may define the wavelet's energy as E = ∫ − ∞ ∞ | ψ (t) | 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega } From this, the square of the temporal support of the window offset by time u is given by σ u 2 = 1 E ∫ | t − u | 2 | ψ (t) | 2 d t {\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}

and the square of the spectral support of the window acting on a frequency ξ {\displaystyle \xi } σ ^ ξ 2 = 1 2 π E ∫ | ω − ξ | 2 | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega }

Multiplication with a rectangular window in the time domain corresponds to convolution with a sinc (Δ t ω) {\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega)} function in the frequency domain, resulting in spurious ringing artifacts for short/localized temporal windows. With the continuous-time Fourier transform, Δ t → ∞ {\displaystyle \Delta _{t}\to \infty } and this convolution is with a delta function in Fourier space, resulting in the true Fourier transform of the signal x (t) {\displaystyle x(t)}. The window function may be some other apodizing filter, such as a Gaussian. The choice of windowing function will affect the approximation error relative to the true Fourier transform.

A given resolution cell's time-bandwidth product may not be exceeded with the STFT. All STFT basis elements maintain a uniform spectral and temporal support for all temporal shifts or offsets, thereby attaining an equal resolution in time for lower and higher frequencies. The resolution is purely determined by the sampling width.

In contrast, the wavelet transform's multiresolutional properties enables large temporal supports for lower frequencies while maintaining short temporal widths for higher frequencies by the scaling properties of the wavelet transform. This property extends conventional time-frequency analysis into time-scale analysis.

The discrete wavelet transform is less computationally complex, taking O(N) time as compared to O(N log N) for the fast Fourier transform (FFT). This computational advantage is not inherent to the transform, but reflects the choice of a logarithmic division of frequency, in contrast to the equally spaced frequency divisions of the FFT which uses the same basis functions as the discrete Fourier transform (DFT). This complexity only applies when the filter size has no relation to the signal size. A wavelet without compact support such as the Shannon wavelet would require O(N). (For instance, a logarithmic Fourier Transform also exists with O(N) complexity, but the original signal must be sampled logarithmically in time, which is only useful for certain types of signals.)
Comparaisons avec la transformée de Fourier (temps continu)

La transformée en ondelettes est souvent comparée à la transformée de Fourier, dans laquelle les signaux sont représentés comme une somme de sinusoïdes. En fait, la transformée de Fourier peut être considérée comme un cas particulier de la transformée en ondelettes continue avec le choix de l'ondelette mère ψ (t) = e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}. La principale différence générale est que les ondelettes sont localisées à la fois dans le temps et en fréquence, tandis que la transformée de Fourier standard n'est localisée qu'en fréquence. La transformée de Fourier à court terme (STFT) est similaire à la transformée en ondelettes, car elle est également localisée dans le temps et en fréquence, mais il existe des problèmes liés au compromis entre la résolution en fréquence/temps.

En particulier, en supposant une région de fenêtre rectangulaire, on peut considérer la STFT comme une transformée avec un noyau légèrement différent ψ (t) = g (t − u) e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}} où g (t − u) {\displaystyle g(t-u)} peut souvent être écrit sous la forme rect (t − u Δ t) {\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}, où Δ t {\displaystyle \Delta _{t}} et u désignent respectivement la longueur et le décalage temporel de la fonction de fenêtrage. En utilisant le théorème de Parseval, on peut définir l'énergie de l'ondelette comme E = ∫ − ∞ ∞ | ψ (t) | 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega } À partir de là, le carré du support temporel de la fenêtre décalée par le temps u est donné par σ u 2 = 1 E ∫ | t − u | 2 | ψ (t) | 2 d t {\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}

et le carré du support spectral de la fenêtre agissant sur une fréquence ξ {\displaystyle \xi } σ ^ ξ 2 = 1 2 π E ∫ | ω − ξ | 2 | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega }

La multiplication par une fenêtre rectangulaire dans le domaine temporel correspond à une convolution avec une fonction sinc (Δ t ω) {\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega)} dans le domaine fréquentiel, ce qui entraîne des artefacts de résonance parasites pour les fenêtres temporelles courtes/localisées. Avec la transformée de Fourier en temps continu, Δ t → ∞ {\displaystyle \Delta _{t}\to \infty } et cette convolution est avec une fonction delta dans l'espace de Fourier, ce qui donne la véritable transformée de Fourier du signal x (t) {\displaystyle x(t)}. La fonction de fenêtrage peut être un autre filtre d'apodisation, tel qu'une gaussienne. Le choix de la fonction de fenêtrage affectera l'erreur d'approximation par rapport à la véritable transformée de Fourier.

Le produit de résolution d'une cellule de résolution donnée ne peut pas être dépassé avec la STFT. Tous les éléments de base de la STFT maintiennent un support spectral et temporel uniforme pour tous les décalages ou offsets temporels, atteignant ainsi une résolution égale dans le temps pour les basses et les hautes fréquences. La résolution est purement déterminée par la largeur d'échantillonnage.

En revanche, les propriétés multirésolutionnelles de la transformée en ondelettes permettent de larges supports temporels pour les basses fréquences tout en maintenant des largeurs temporelles courtes pour les hautes fréquences grâce aux propriétés d'échelonnement de la transformée en ondelettes. Cette propriété étend l'analyse temps-fréquence conventionnelle à une analyse temps-échelle.

La transformée en ondelettes discrète est moins coûteuse en termes de calcul, nécessitant un temps O(N) par rapport à O(N log N) pour la transformée de Fourier rapide (FFT). Cet avantage en termes de calcul n'est pas inhérent à la transformée, mais reflète le choix d'une division logarithmique de la fréquence, contrairement aux divisions de fréquence également espacées de la FFT qui utilise les mêmes fonctions de base que la transformée de Fourier discrète (DFT). Cette complexité ne s'applique que lorsque la taille du filtre n'a pas de relation avec la taille du signal. Une ondelette sans support compact, telle que l'ondelette de Shannon, nécessiterait O(N). (Par exemple, une transformée de Fourier logarithmique existe également avec une complexité O(N), mais le signal d'origine doit être échantillonné logarithmiquement dans le temps, ce qui n'est utile que pour certains types de signaux.)
### Query ###
Comment la transformée en ondelettes parvient-elle à améliorer la résolution temps-fréquence par rapport à la transformée de Fourier, et quelles sont les implications mathématiques sous-jacentes de cette approche multirésolutionnelle ?

### Main Text ###
Comparisons with Fourier transform (continuous-time)

The wavelet transform is often compared with the Fourier transform, in which signals are represented as a sum of sinusoids. In fact, the Fourier transform can be viewed as a special case of the continuous wavelet transform with the choice of the mother wavelet ψ (t) = e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}.The main difference in general is that wavelets are localized in both time and frequency whereas the standard Fourier transform is only localized in frequency. The short-time Fourier transform (STFT) is similar to the wavelet transform, in that it is also time and frequency localized, but there are issues with the frequency/time resolution trade-off.

In particular, assuming a rectangular window region, one may think of the STFT as a transform with a slightly different kernel ψ (t) = g (t − u) e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}} where g (t − u) {\displaystyle g(t-u)} can often be written as rect (t − u Δ t) {\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}, where Δ t {\displaystyle \Delta _{t}} and u respectively denote the length and temporal offset of the windowing function. Using Parseval's theorem, one may define the wavelet's energy as E = ∫ − ∞ ∞ | ψ (t) | 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega } From this, the square of the temporal support of the window offset by time u is given by σ u 2 = 1 E ∫ | t − u | 2 | ψ (t) | 2 d t {\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}

and the square of the spectral support of the window acting on a frequency ξ {\displaystyle \xi } σ ^ ξ 2 = 1 2 π E ∫ | ω − ξ | 2 | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega }

Multiplication with a rectangular window in the time domain corresponds to convolution with a sinc (Δ t ω) {\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega)} function in the frequency domain, resulting in spurious ringing artifacts for short/localized temporal windows. With the continuous-time Fourier transform, Δ t → ∞ {\displaystyle \Delta _{t}\to \infty } and this convolution is with a delta function in Fourier space, resulting in the true Fourier transform of the signal x (t) {\displaystyle x(t)}. The window function may be some other apodizing filter, such as a Gaussian. The choice of windowing function will affect the approximation error relative to the true Fourier transform.

A given resolution cell's time-bandwidth product may not be exceeded with the STFT. All STFT basis elements maintain a uniform spectral and temporal support for all temporal shifts or offsets, thereby attaining an equal resolution in time for lower and higher frequencies. The resolution is purely determined by the sampling width.

In contrast, the wavelet transform's multiresolutional properties enables large temporal supports for lower frequencies while maintaining short temporal widths for higher frequencies by the scaling properties of the wavelet transform. This property extends conventional time-frequency analysis into time-scale analysis.

The discrete wavelet transform is less computationally complex, taking O(N) time as compared to O(N log N) for the fast Fourier transform (FFT). This computational advantage is not inherent to the transform, but reflects the choice of a logarithmic division of frequency, in contrast to the equally spaced frequency divisions of the FFT which uses the same basis functions as the discrete Fourier transform (DFT). This complexity only applies when the filter size has no relation to the signal size. A wavelet without compact support such as the Shannon wavelet would require O(N). (For instance, a logarithmic Fourier Transform also exists with O(N) complexity, but the original signal must be sampled logarithmically in time, which is only useful for certain types of signals.)

### Supplementary Text ###
Comparaisons avec la transformée de Fourier (temps continu)

La transformée en ondelettes est souvent comparée à la transformée de Fourier, dans laquelle les signaux sont représentés comme une somme de sinusoïdes. En fait, la transformée de Fourier peut être considérée comme un cas particulier de la transformée en ondelettes continue avec le choix de l'ondelette mère ψ (t) = e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}. La principale différence générale est que les ondelettes sont localisées à la fois dans le temps et en fréquence, tandis que la transformée de Fourier standard n'est localisée qu'en fréquence. La transformée de Fourier à court terme (STFT) est similaire à la transformée en ondelettes, car elle est également localisée dans le temps et en fréquence, mais il existe des problèmes liés au compromis entre la résolution en fréquence/temps.

En particulier, en supposant une région de fenêtre rectangulaire, on peut considérer la STFT comme une transformée avec un noyau légèrement différent ψ (t) = g (t − u) e − 2 π i t {\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}} où g (t − u) {\displaystyle g(t-u)} peut souvent être écrit sous la forme rect (t − u Δ t) {\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}, où Δ t {\displaystyle \Delta _{t}} et u désignent respectivement la longueur et le décalage temporel de la fonction de fenêtrage. En utilisant le théorème de Parseval, on peut définir l'énergie de l'ondelette comme E = ∫ − ∞ ∞ | ψ (t) | 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega } À partir de là, le carré du support temporel de la fenêtre décalée par le temps u est donné par σ u 2 = 1 E ∫ | t − u | 2 | ψ (t) | 2 d t {\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}

et le carré du support spectral de la fenêtre agissant sur une fréquence ξ {\displaystyle \xi } σ ^ ξ 2 = 1 2 π E ∫ | ω − ξ | 2 | ψ ^ (ω) | 2 d ω {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega)|^{2}\,d\omega }

La multiplication par une fenêtre rectangulaire dans le domaine temporel correspond à une convolution avec une fonction sinc (Δ t ω) {\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega)} dans le domaine fréquentiel, ce qui entraîne des artefacts de résonance parasites pour les fenêtres temporelles courtes/localisées. Avec la transformée de Fourier en temps continu, Δ t → ∞ {\displaystyle \Delta _{t}\to \infty } et cette convolution est avec une fonction delta dans l'espace de Fourier, ce qui donne la véritable transformée de Fourier du signal x (t) {\displaystyle x(t)}. La fonction de fenêtrage peut être un autre filtre d'apodisation, tel qu'une gaussienne. Le choix de la fonction de fenêtrage affectera l'erreur d'approximation par rapport à la véritable transformée de Fourier.

Le produit de résolution d'une cellule de résolution donnée ne peut pas être dépassé avec la STFT. Tous les éléments de base de la STFT maintiennent un support spectral et temporel uniforme pour tous les décalages ou offsets temporels, atteignant ainsi une résolution égale dans le temps pour les basses et les hautes fréquences. La résolution est purement déterminée par la largeur d'échantillonnage.

En revanche, les propriétés multirésolutionnelles de la transformée en ondelettes permettent de larges supports temporels pour les basses fréquences tout en maintenant des largeurs temporelles courtes pour les hautes fréquences grâce aux propriétés d'échelonnement de la transformée en ondelettes. Cette propriété étend l'analyse temps-fréquence conventionnelle à une analyse temps-échelle.

La transformée en ondelettes discrète est moins coûteuse en termes de calcul, nécessitant un temps O(N) par rapport à O(N log N) pour la transformée de Fourier rapide (FFT). Cet avantage en termes de calcul n'est pas inhérent à la transformée, mais reflète le choix d'une division logarithmique de la fréquence, contrairement aux divisions de fréquence également espacées de la FFT qui utilise les mêmes fonctions de base que la transformée de Fourier discrète (DFT). Cette complexité ne s'applique que lorsque la taille du filtre n'a pas de relation avec la taille du signal. Une ondelette sans support compact, telle que l'ondelette de Shannon, nécessiterait O(N). (Par exemple, une transformée de Fourier logarithmique existe également avec une complexité O(N), mais le signal d'origine doit être échantillonné logarithmiquement dans le temps, ce qui n'est utile que pour certains types de signaux.)

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Comment la transformée en ondelettes parvient-elle à améliorer la résolution temps-fréquence"

Key elements: wavelet transform, time-frequency resolution improvement, vs Fourier.

"multirésolutionnelle" → core mathematical concept. What exactly?

### 2. Fundamental Trade-off Analysis

Classical Fourier: ● uniform frequency resolution, ○ poor time localization
- Single resolution grid
- Fixed window size → frequency smearing
- Heisenberg uncertainty: Δt·Δf ≥ 1/4π

STFT tries improvement:
- Localized windows
- Short windows → better time resolution
- But: longer windows → broader frequency spread
- Still constrained by uncertainty principle

### 3. Wavelet Innovation

**Key insight**: variable-resolution basis functions

Fourier basis: {sin,cos} - fixed temporal extent
Wavelet basis: ψ_{jk} with varying scale j, translation k

Mathematical core:
- ψ_jk(t) = 1/√j · ψ((t-k)/j)
- Scale factor j → temporal compression/frequency stretching
- Translation k → sliding window

**Multi-resolution pyramid**:
```
Coarse (low freq)     ├─ long windows
                  ├─ fine resolution
                  └─ good localization
Fine (high freq)    ├─ short windows  
                  ├─ coarse resolution
                  └─ precise localization
```

### 4. Mathematical Formalization

Uncertainty relation in wavelet domain:
Δt·Δf ≈ C·2^j where j is wavelet scale

→ Small j (fine scale) → narrow temporal support → precise frequency
→ Large j (coarse scale) → extended temporal support → broad frequency

**Dynamic resolution**: basis functions adapt to signal characteristics

### 5. Implications

**Computational advantages**: 
- O(N) vs O(N log N) for perfect reconstruction
- Logarithmic frequency spacing → efficient compression
- Sparse representation in transform domain

**Applications**:
- Image compression (JPEG2000)
- Audio processing (lossy compression)  
- Biomedical signal analysis
- Geophysical data processing

### 6. Limitations

⚠ Wavelet packets can lead to over-complete bases
⚠ Perfect reconstruction requires oversampling
⚠ Computational overhead for non-standardized algorithms

**Conclusion**: Wavelet transform breaks traditional time-frequency trade-off through adaptive resolution basis functions, achieving superior representation efficiency for many real-world signals with sparse frequency content.

### Answer###
La transformée en ondelettes améliore la résolution temps-fréquence par rapport à la transformée de Fourier classique grâce à ses propriétés multirésolutionnelles fondamentales. Contrairement à la transformée de Fourier standard, qui n'est localisée qu'en fréquence, les ondelettes présentent une localisation temporelle et fréquentielle simultanée.

Cette amélioration repose sur le concept de résolution variable selon les échelles. Les ondelettes permettent de maintenir des supports temporels larges pour les basses fréquences tout en préservant des largeurs temporelles courtes pour les hautes fréquences. Cette propriété découle des caractéristiques d'échelonnement de la transformée en ondelettes et étend l'analyse temps-fréquence conventionnelle vers une analyse temps-échelle.

Plus précisément, la transformée de Fourier à court terme (STFT) présente un compromis fondamental entre résolution temporelle et fréquentielle. Avec une fenêtre rectangulaire, la STFT nécessite une largeur de fenêtre fixe pour tous les décalages temporels, ce qui limite la résolution dans chaque cellule de résolution temporelle-fréquentielle. Les éléments de base STFT maintiennent un support spectral et temporel uniforme, atteignant une résolution égale dans le temps pour les basses et les hautes fréquences.

En revanche, l'approche multirésolutionnelle des ondelettes permet une résolution adaptative : les fenêtres temporelles peuvent être plus longues pour les basses fréquences et plus courtes pour les hautes fréquences, sans compromettre la résolution dans chaque domaine séparément. Cela résulte en une représentation plus précise des signaux temporels complexes.

Sur le plan mathématique, cette flexibilité découle de la possibilité de convoluer avec des fonctions ayant des supports temporels variables selon la fréquence analysée. Les implications computationnelles incluent une complexité réduite (O(N) pour la transformée discrète en ondelettes contre O(N log N) pour la FFT) et une représentation plus efficace des signaux à contenu fréquentiel non uniforme.