Si j'additionne deux trucs avec des exposants comme ça X+X², est-ce que ça va faire un truc bizarre comme X² + X³ ou quoi ? Et si je fais fois fois, ça va donner quoi avec les coefficients ?
Generalized exponents

A simple generalization only changes the set from which the exponents on the variable are drawn. The formulas for addition and multiplication make sense as long as one can add exponents: X ⋅ X = X. A set for which addition makes sense (is closed and associative) is called a monoid. The set of functions from a monoid N to a ring R which are nonzero at only finitely many places can be given the structure of a ring known as R, the monoid ring of N with coefficients in R. The addition is defined component-wise, so that if c = a + b, then c = a + b for every n in N. The multiplication is defined as the Cauchy product, so that if c = a ⋅ b, then for each n in N, c is the sum of all a b where i, j range over all pairs of elements of N which sum to n.

When N is commutative, it is convenient to denote the function a in R as the formal sum:

and then the formulas for addition and multiplication are the familiar:

and

where the latter sum is taken over all i, j in N that sum to n.

Some authors such as (Lang 2002, II,§3) go so far as to take this monoid definition as the starting point, and regular single variable polynomials are the special case where N is the monoid of non-negative integers. Polynomials in several variables simply take N to be the direct product of several copies of the monoid of non-negative integers.

Several interesting examples of rings and groups are formed by taking N to be the additive monoid of non-negative rational numbers, (Osbourne 2000, §4.4) harv error: no target: CITEREFOsbourne2000 (help). See also Puiseux series.
Les exposants

Par convention, les termes ayant la plus haute puissance (exposant) sont écrits à gauche, par exemple, x² est écrit à gauche de x. Lorsqu'un coefficient est égal à un, il est généralement omis (par exemple, 1x² est écrit x²). De même, lorsque l'exposant (puissance) est égal à un (par exemple, 3x¹ est écrit 3x), et lorsque l'exposant est zéro, le résultat est toujours 1 (par exemple, 3x⁰ est écrit 3, puisque x⁰ est toujours égal à 1).
### Query ###
Si j'additionne deux trucs avec des exposants comme ça X+X², est-ce que ça va faire un truc bizarre comme X² + X³ ou quoi ? Et si je fais fois fois, ça va donner quoi avec les coefficients ?

### Main Text ###
Generalized exponents

A simple generalization only changes the set from which the exponents on the variable are drawn. The formulas for addition and multiplication make sense as long as one can add exponents: X ⋅ X = X. A set for which addition makes sense (is closed and associative) is called a monoid. The set of functions from a monoid N to a ring R which are nonzero at only finitely many places can be given the structure of a ring known as R, the monoid ring of N with coefficients in R. The addition is defined component-wise, so that if c = a + b, then c = a + b for every n in N. The multiplication is defined as the Cauchy product, so that if c = a ⋅ b, then for each n in N, c is the sum of all a b where i, j range over all pairs of elements of N which sum to n.

When N is commutative, it is convenient to denote the function a in R as the formal sum:

and then the formulas for addition and multiplication are the familiar:

and

where the latter sum is taken over all i, j in N that sum to n.

Some authors such as (Lang 2002, II,§3) go so far as to take this monoid definition as the starting point, and regular single variable polynomials are the special case where N is the monoid of non-negative integers. Polynomials in several variables simply take N to be the direct product of several copies of the monoid of non-negative integers.

Several interesting examples of rings and groups are formed by taking N to be the additive monoid of non-negative rational numbers, (Osbourne 2000, §4.4) harv error: no target: CITEREFOsbourne2000 (help). See also Puiseux series.

### Supplementary Text ###
Les exposants

Par convention, les termes ayant la plus haute puissance (exposant) sont écrits à gauche, par exemple, x² est écrit à gauche de x. Lorsqu'un coefficient est égal à un, il est généralement omis (par exemple, 1x² est écrit x²). De même, lorsque l'exposant (puissance) est égal à un (par exemple, 3x¹ est écrit 3x), et lorsque l'exposant est zéro, le résultat est toujours 1 (par exemple, 3x⁰ est écrit 3, puisque x⁰ est toujours égal à 1).

### Draft ###

Query: "Si j'additionne deux trucs avec des exposants..." → User asking about X + X² and X × X².

Core question: Will addition/multiplication behave "bizarrely" or follow expected patterns?

### 1. Direct Answer

No. Addition: X + X² = X¹ + X² = X² (coefficients combine).
Multiplication: X × X² = X¹×X² = X³ (exponents add).

Why? → Polynomial arithmetic follows standard rules.

### 2. Pattern Recognition

Addition: Coefficients combine, exponents stay same or add.
X + X² = X²
2X + 3X = 5X  

Multiplication: Exponents add.
X × X² = X³
X³ × X⁴ = X⁷

### 3. Coefficient Rules

Always add like terms first.
X² + 2X² = 3X²
X + X² ≠ X³ (wrong - add coefficients, not multiply)

### 4. Special Cases

X⁰ = 1 (identity)
X¹ = X (implicit coefficient 1)
X² = X·X (expanded form)

### 5. Why Not "Bizarre"?

Polynomials behave predictably because:
- Commutative addition: X + Y = Y + X
- Associative addition: (X + Y) + Z = X + (Y + Z)  
- Distributive multiplication: X(Y + Z) = XY + XZ

∴ Standard algebra applies.

**Key insight**: Think of X as "X to the first power" explicitly.
Then rules become obvious: X¹ + X² = X² (1X + 1X²), X¹·X² = X³ (X¹⁺²).

No weirdness. Just systematic.

### Answer###
Non, additionner des termes avec des exposants ne produit pas de résultats étranges comme X² + X³ que vous craignez.

Lors de l'addition, les coefficients se combinent et les exposants restent généralement les mêmes : X + X² = X². L'important est de toujours additionner les coefficients des termes similaires.

Lors de la multiplication, les exposants s'additionnent : X × X² = X³. Par exemple, si vous avez X³ multiplié par X⁴, le résultat est X⁷.

Les conventions d'écriture suivent généralement le principe que les termes avec les plus hautes puissances sont écrits à gauche. Un coefficient de 1 est généralement omis, donc 1X² s'écrit simplement X². De même, l'exposant 1 est implicite : 3x¹ s'écrit 3x.

Les règles de base de l'algèbre s'appliquent donc naturellement aux expressions polynomiales, sans comportement étrange ou inattendu.