Comment on fait pour calculer les chances que les particules changent de direction dans l'image d'interaction avec les matrices S ?
Interaction picture

This theory can be straightforwardly quantized by treating bosonic and fermionic sectors as free. This permits us to build a set of asymptotic states that can be used to start computation of the probability amplitudes for different processes. In order to do so, we have to compute an evolution operator, which for a given initial state | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } will give a final state ⟨ f | {\displaystyle \langle f|} in such a way to have

M f i = ⟨ f | U | i ⟩. {\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle.}

This technique is also known as the S-matrix. The evolution operator is obtained in the interaction picture, where time evolution is given by the interaction Hamiltonian, which is the integral over space of the second term in the Lagrangian density given above:

V = e ∫ d 3 x ψ ¯ γ μ ψ A μ, {\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}

and so, one has

U = T exp, {\displaystyle U=T\exp \left,}

where T is the time-ordering operator. This evolution operator only has meaning as a series, and what we get here is a perturbation series with the fine-structure constant as the development parameter. This series is called the Dyson series.
Combinaisons linéaires d'états quantiques

Le premier modèle de la mécanique quantique (Heisenberg, 1925) représentait les opérateurs de la théorie par des matrices infiniment dimensionnelles agissant sur les états quantiques. Ceci est également appelé mécanique matricielle. Un exemple particulier est la matrice densité qui caractérise l'état "mixé" d'un système quantique comme une combinaison linéaire d'états propres élémentaires, "purs".

Une autre matrice sert d'outil clé pour décrire les expériences de diffusion qui constituent la pierre angulaire de la physique des particules expérimentale : les réactions de collision, telles que celles qui se produisent dans les accélérateurs de particules, où des particules non interagissantes se dirigent l'une vers l'autre et entrent en collision dans une petite zone d'interaction, donnant naissance à un nouvel ensemble de particules non interagissantes, peuvent être décrites comme le produit scalaire des états de particules sortantes et une combinaison linéaire d'états de particules entrantes. Cette combinaison linéaire est donnée par une matrice connue sous le nom de matrice S, qui encode toutes les informations sur les interactions possibles entre les particules.
### Query ###
Comment on fait pour calculer les chances que les particules changent de direction dans l'image d'interaction avec les matrices S ?

### Main Text ###
Interaction picture

This theory can be straightforwardly quantized by treating bosonic and fermionic sectors as free. This permits us to build a set of asymptotic states that can be used to start computation of the probability amplitudes for different processes. In order to do so, we have to compute an evolution operator, which for a given initial state | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } will give a final state ⟨ f | {\displaystyle \langle f|} in such a way to have

M f i = ⟨ f | U | i ⟩. {\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle.}

This technique is also known as the S-matrix. The evolution operator is obtained in the interaction picture, where time evolution is given by the interaction Hamiltonian, which is the integral over space of the second term in the Lagrangian density given above:

V = e ∫ d 3 x ψ ¯ γ μ ψ A μ, {\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}

and so, one has

U = T exp, {\displaystyle U=T\exp \left,}

where T is the time-ordering operator. This evolution operator only has meaning as a series, and what we get here is a perturbation series with the fine-structure constant as the development parameter. This series is called the Dyson series.

### Supplementary Text ###
Combinaisons linéaires d'états quantiques

Le premier modèle de la mécanique quantique (Heisenberg, 1925) représentait les opérateurs de la théorie par des matrices infiniment dimensionnelles agissant sur les états quantiques. Ceci est également appelé mécanique matricielle. Un exemple particulier est la matrice densité qui caractérise l'état "mixé" d'un système quantique comme une combinaison linéaire d'états propres élémentaires, "purs".

Une autre matrice sert d'outil clé pour décrire les expériences de diffusion qui constituent la pierre angulaire de la physique des particules expérimentale : les réactions de collision, telles que celles qui se produisent dans les accélérateurs de particules, où des particules non interagissantes se dirigent l'une vers l'autre et entrent en collision dans une petite zone d'interaction, donnant naissance à un nouvel ensemble de particules non interagissantes, peuvent être décrites comme le produit scalaire des états de particules sortantes et une combinaison linéaire d'états de particules entrantes. Cette combinaison linéaire est donnée par une matrice connue sous le nom de matrice S, qui encode toutes les informations sur les interactions possibles entre les particules.

### Draft ###

### 1. Query Parsing & Translation Issues

"Comment on fait pour calculer les chances..." → How to calculate probabilities.

"particules changent de direction" → particle direction changes.

"matrices S" → S-matrices.

● Core question: S-matrix formalism for scattering probabilities.

Potential semantic gap: "chances" vs rigorous probability amplitudes. French casual tone might indicate student-level question, but S-matrices are graduate-level topic.

### 2. Domain Contextualization  

S-matrix theory. Developed by John Wheeler, Richard Feynman, others 1940s-50s. ● High confidence: Standard framework for relativistic quantum field theory.

Key insight: S-matrix connects asymptotic particle states before/after interaction.

Physical picture: Free particles → interaction region → scattered particles.

Mathematical formalism: |initial⟩ → S → |final⟩, where S is unitary matrix.

### 3. Calculation Framework

S-matrix elements give transition probabilities:
T_fi = |S_fi|^2 = |⟨f|S|i⟩|^2

But S itself? Calculated perturbatively via Dyson series:
S = T exp(-i∫ H_I dt)

Where H_I = interaction Hamiltonian.

For QED: H_I = e ∫ d³x ψ̄γμψAμ

→ Feynman diagrams for computational expansion.

### 4. Physical Constraints & Limitations

⚠ Major caveat: This is *how to calculate* not *how to compute*.

The mathematics is extremely complex. Requires:
- Quantum field theory background
- Feynman diagram techniques  
- Renormalization procedures
- Integration over momentum space

∴ Answer should emphasize theoretical framework while acknowledging computational intractability for realistic problems.

### 5. Response Strategy

Should cover:
☑ S-matrix definition & role
☑ Perturbative calculation method
☑ Dyson series for S
☑ Physical interpretation of matrix elements
☐ Explicit computational examples (too complex for scope)

☑ Acknowledge computational limitations
☑ Mention advanced techniques needed

◐ Balance mathematical rigor with accessibility for French-speaking physics students.

### 6. Verification & Cross-Check

Physical consistency: ✓ S-matrix unitarity preserved
Mathematical validity: ✓ Standard QFT formalism
Educational appropriateness: ? → Response should flag complexity honestly

⟨H≈0.8⟩ *The S-matrix lives in that strange liminal space between pure mathematics and experimental reality... calculable in principle, intractable in practice. Like trying to predict weather by solving Navier-Stokes equations - theoretically possible, practically hopeless beyond a few days.*

Final approach: Provide theoretical framework, emphasize computational complexity, suggest specialized resources for details.

### Answer###
Les matrices S permettent de calculer les probabilités de transition entre états quantiques lors d'interactions de particules. L'approche utilise l'opérateur d'évolution U qui établit une relation entre les états initiaux |i⟩ et les états finals ⟨f| selon la formule :

M_fi = ⟨f|U|i⟩

où M_fi représente l'amplitude de probabilité pour le processus de diffusion considéré.

L'opérateur d'évolution U est calculé à partir de l'opérateur de temps-ordonné T et de l'hamiltonien d'interaction H_I selon :

U = T exp(-i∫H_I dt)

Pour une interaction électromagnétique entre fermions, l'hamiltonien d'interaction s'écrit :

H_I = e∫d³x ψ̄γμψAμ

où e est la charge élémentaire, ψ̄γμψ représente le courant de fermion, et Aμ est le potentiel vecteur électromagnétique.

Cette approche permet de représenter les réactions de diffusion comme des produits scalaires d'états de particules sortantes avec une combinaison linéaire d'états de particules entrantes. Les éléments de la matrice S encodent ainsi toutes les informations sur les interactions possibles entre les particules.

Cependant, le calcul effectif de ces amplitudes de transition nécessite l'utilisation de séries de perturbation avec des paramètres comme la constante de structure fine, et les calculs deviennent rapidement complexes pour les interactions réelles.