Pourquoi l'image et le noyau d'une projection ça fait toujours la même chose que l'espace de départ ?
Complementarity of image and kernel

Let W {\displaystyle W} be a finite-dimensional vector space and P {\displaystyle P} be a projection on W {\displaystyle W}. Suppose the subspaces U {\displaystyle U} and V {\displaystyle V} are the image and kernel of P {\displaystyle P} respectively. Then P {\displaystyle P} has the following properties:

The image and kernel of a projection are complementary, as are P {\displaystyle P} and Q = I − P {\displaystyle Q=I-P}. The operator Q {\displaystyle Q} is also a projection as the image and kernel of P {\displaystyle P} become the kernel and image of Q {\displaystyle Q} and vice versa. We say P {\displaystyle P} is a projection along V {\displaystyle V} onto U {\displaystyle U} (kernel/image) and Q {\displaystyle Q} is a projection along U {\displaystyle U} onto V {\displaystyle V}.
Complémentarité de l'image et du noyau

Soit W un espace vectoriel de dimension finie et P une projection sur W. Supposons que les sous-espaces U et V soient respectivement l'image et le noyau de P. Alors P possède les propriétés suivantes :

L'image et le noyau d'une projection sont complémentaires, de même que P et Q = I − P. L'opérateur Q est également une projection car l'image et le noyau de P deviennent respectivement le noyau et l'image de Q, et vice versa. On dit que P est une projection le long de V sur U (noyau/image) et que Q est une projection le long de U sur V.
### Query ###
Pourquoi l'image et le noyau d'une projection ça fait toujours la même chose que l'espace de départ ?

### Main Text ###
Complementarity of image and kernel

Let W {\displaystyle W} be a finite-dimensional vector space and P {\displaystyle P} be a projection on W {\displaystyle W}. Suppose the subspaces U {\displaystyle U} and V {\displaystyle V} are the image and kernel of P {\displaystyle P} respectively. Then P {\displaystyle P} has the following properties:

The image and kernel of a projection are complementary, as are P {\displaystyle P} and Q = I − P {\displaystyle Q=I-P}. The operator Q {\displaystyle Q} is also a projection as the image and kernel of P {\displaystyle P} become the kernel and image of Q {\displaystyle Q} and vice versa. We say P {\displaystyle P} is a projection along V {\displaystyle V} onto U {\displaystyle U} (kernel/image) and Q {\displaystyle Q} is a projection along U {\displaystyle U} onto V {\displaystyle V}.

### Supplementary Text ###
Complémentarité de l'image et du noyau

Soit W un espace vectoriel de dimension finie et P une projection sur W. Supposons que les sous-espaces U et V soient respectivement l'image et le noyau de P. Alors P possède les propriétés suivantes :

L'image et le noyau d'une projection sont complémentaires, de même que P et Q = I − P. L'opérateur Q est également une projection car l'image et le noyau de P deviennent respectivement le noyau et l'image de Q, et vice versa. On dit que P est une projection le long de V sur U (noyau/image) et que Q est une projection le long de U sur V.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi l'image et le noyau d'une projection ça fait toujours la même chose que l'espace de départ ?"

Translation: Why does the image and kernel of a projection always make the entire starting space?

Key assumption to verify: Does im(P) ⊕ ker(P) = V always?

### 2. Direct Answer

No. False premise. ⚠

Standard result: For projection P: V = im(P) ⊕ ker(P). 
But this is *decomposition*, not identity with V.

### 3. Correct Relationship

Let V be vector space, W ⊆ V.
Projection P_W: V → V with:
- im(P_W) = W
- ker(P_W) = {v ∈ V : W ⊥}

Then: V = im(P_W) ⊕ ker(P_W)

### 4. Counter-Example

Consider projection P: ℝ³ → ℝ³
defined by P(x,y,z) = (x,0,0).

im(P) = {(x,0,0) : x ∈ ℝ} = span{(1,0,0)}
ker(P) = {(0,y,z) : y,z ∈ ℝ} = span{(0,1,0), (0,0,1)}

Clearly: ℝ³ ≠ span{(1,0,0)} ⊕ span{(0,1,0), (0,0,1)}

### 5. Why the Confusion?

Possibly thinking of:
- Dimension formulas
- Orthogonal decomposition  
- Rank-nullity theorem

But these don't make im(P) + ker(P) = V.

### 6. Final Clarification

Original question contains logical error.
Correct statement: im(P) ⊕ ker(P) = V (direct sum, not identity).

Projection creates orthogonal decomposition of V, not replacement by subspaces.

### Answer###
Votre question contient en réalité une petite erreur de formulation. L'image et le noyau d'une projection ne font pas toujours la même chose que l'espace de départ, mais ils forment une décomposition complémentaire de cet espace.

Pour une projection P sur un espace vectoriel W de dimension finie : l'image de P et le noyau de P sont toujours des sous-espaces vectoriels complémentaires de W. Autrement dit, tout vecteur de W peut s'écrire de manière unique comme la somme d'un vecteur de l'image de P et d'un vecteur du noyau de P.

Cette relation peut s'exprimer ainsi : W = im(P) ⊕ ker(P), où le symbole ⊕ désigne la somme directe vectorielle.

Il n'en résulte pas que l'image ou le noyau soit égal à l'espace de départ. Ce sont simplement deux objets mathématiques distincts qui, combinés, recouvrent complètement l'espace initial selon une structure précise donnée par la projection.

La projection P peut être vue comme une projection le long du noyau sur l'image, et sa complémentaire Q = I - P (l'opérateur identité moins P) forme une autre projection qui projette le long de l'image sur le noyau.