pourquoi les ellipsoïdes confocaux ont le même produit ae
Ellipsoidal-harmonic coordinates

The parametric latitude can also be extended to a three-dimensional coordinate system. For a point P not on the reference ellipsoid (semi-axes OA and OB) construct an auxiliary ellipsoid which is confocal (same foci F, F′) with the reference ellipsoid: the necessary condition is that the product ae of semi-major axis and eccentricity is the same for both ellipsoids. Let u be the semi-minor axis (OD) of the auxiliary ellipsoid. Further let β be the parametric latitude of P on the auxiliary ellipsoid. The set (u, β, λ) define the ellipsoidal-harmonic coordinates or simply ellipsoidal coordinates (although that term is also used to refer to geodetic coordinate). These coordinates are the natural choice in models of the gravity field for a rotating ellipsoidal body.The above applies to a biaxial ellipsoid (a spheroid, as in oblate spheroidal coordinates); for a generalization, see triaxial ellipsoidal coordinates.
Ellipsoïdes

En 1687, Isaac Newton a publié les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, dans lequel il a prouvé qu'un corps fluide en équilibre et soumis à son propre champ gravitationnel en rotation prend la forme d'un ellipsoïde oblate. (Cet article utilise le terme « ellipsoïde » plutôt que le terme plus ancien « sphéroïde ».) Le résultat de Newton a été confirmé par des mesures géodésiques au XVIIIe siècle. (Voir Arc de méridien.) Un ellipsoïde oblate est la surface tridimensionnelle générée par la rotation d'une ellipse autour de son axe le plus court (axe mineur). L'expression « ellipsoïde de révolution oblata » est abrégée en « ellipsoïde » dans le reste de cet article. (Les ellipsoïdes qui n'ont pas d'axe de symétrie sont appelés triaxiaux.)

De nombreux ellipsoïdes de référence différents ont été utilisés dans l'histoire du géodésie. À l'époque précédant les satellites, ils étaient conçus pour s'adapter au mieux au geoïde sur la zone limitée d'un relevé, mais avec l'avènement du GPS, il est devenu naturel d'utiliser des ellipsoïdes de référence (comme WGS84) dont le centre coïncide avec le centre de masse de la Terre et dont l'axe mineur est aligné sur l'axe de rotation de la Terre. Ces ellipsoïdes géocentriques se situent généralement à moins de 100 m (330 pieds) du geoïde. La latitude étant définie par rapport à un ellipsoïde, la position d'un point donné est différente sur chaque ellipsoïde : on ne peut pas spécifier exactement la latitude et la longitude d'une caractéristique géographique sans préciser l'ellipsoïde utilisé. De nombreuses cartes maintenues par les agences nationales sont basées sur des ellipsoïdes plus anciens, il faut donc savoir comment les valeurs de latitude et de longitude sont transformées d'un ellipsoïde à l'autre. Les appareils GPS incluent des logiciels pour effectuer des transformations de datum qui relient WGS84 à l'ellipsoïde de référence local et à sa grille associée.
### Query ###
pourquoi les ellipsoïdes confocaux ont le même produit ae

### Main Text ###
Ellipsoidal-harmonic coordinates

The parametric latitude can also be extended to a three-dimensional coordinate system. For a point P not on the reference ellipsoid (semi-axes OA and OB) construct an auxiliary ellipsoid which is confocal (same foci F, F′) with the reference ellipsoid: the necessary condition is that the product ae of semi-major axis and eccentricity is the same for both ellipsoids. Let u be the semi-minor axis (OD) of the auxiliary ellipsoid. Further let β be the parametric latitude of P on the auxiliary ellipsoid. The set (u, β, λ) define the ellipsoidal-harmonic coordinates or simply ellipsoidal coordinates (although that term is also used to refer to geodetic coordinate). These coordinates are the natural choice in models of the gravity field for a rotating ellipsoidal body.The above applies to a biaxial ellipsoid (a spheroid, as in oblate spheroidal coordinates); for a generalization, see triaxial ellipsoidal coordinates.

### Supplementary Text ###
Ellipsoïdes

En 1687, Isaac Newton a publié les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, dans lequel il a prouvé qu'un corps fluide en équilibre et soumis à son propre champ gravitationnel en rotation prend la forme d'un ellipsoïde oblate. (Cet article utilise le terme « ellipsoïde » plutôt que le terme plus ancien « sphéroïde ».) Le résultat de Newton a été confirmé par des mesures géodésiques au XVIIIe siècle. (Voir Arc de méridien.) Un ellipsoïde oblate est la surface tridimensionnelle générée par la rotation d'une ellipse autour de son axe le plus court (axe mineur). L'expression « ellipsoïde de révolution oblata » est abrégée en « ellipsoïde » dans le reste de cet article. (Les ellipsoïdes qui n'ont pas d'axe de symétrie sont appelés triaxiaux.)

De nombreux ellipsoïdes de référence différents ont été utilisés dans l'histoire du géodésie. À l'époque précédant les satellites, ils étaient conçus pour s'adapter au mieux au geoïde sur la zone limitée d'un relevé, mais avec l'avènement du GPS, il est devenu naturel d'utiliser des ellipsoïdes de référence (comme WGS84) dont le centre coïncide avec le centre de masse de la Terre et dont l'axe mineur est aligné sur l'axe de rotation de la Terre. Ces ellipsoïdes géocentriques se situent généralement à moins de 100 m (330 pieds) du geoïde. La latitude étant définie par rapport à un ellipsoïde, la position d'un point donné est différente sur chaque ellipsoïde : on ne peut pas spécifier exactement la latitude et la longitude d'une caractéristique géographique sans préciser l'ellipsoïde utilisé. De nombreuses cartes maintenues par les agences nationales sont basées sur des ellipsoïdes plus anciens, il faut donc savoir comment les valeurs de latitude et de longitude sont transformées d'un ellipsoïde à l'autre. Les appareils GPS incluent des logiciels pour effectuer des transformations de datum qui relient WGS84 à l'ellipsoïde de référence local et à sa grille associée.

### Draft ###

Query: "pourquoi les ellipsoïdes confocaux ont le même produit ae"

Parsing: ae = eccentricity × semi-major axis product. Standard confocal property question.

**Context check:** Ellipsoid geometry. Not Earth applications. Pure mathematics domain.

**Information retrieval vs synthesis:** Simple retrieval. Standard result from elliptic coordinate systems.

### Core answer:

Confocals share identical focal parameters. → Same foci F, F'.

For confocal ellipsoids: ae constant across all members.

**Proof sketch:**
- Two points P, Q on confocal family
- |PF| + |PF'| = 2a (constant)  
- |PF| + |PF'| = 2a (constant)
- ∴ Same ellipse → same ae

**Geometric interpretation:** 
ae = b²/e where b = semi-minor axis, e = eccentricity
Confocals maintain b²/e ratio → fixed ae

**Physical constraint:** ae determines focal separation. Shared foci → identical ae.

**Conclusion:** ae equality fundamental to confocal family definition. Not coincidence.

NB: This connects to elliptic coordinate systems, integral equations, potential theory applications.

Standard result. No ambiguity. French mathematical terminology clear.

### Answer###
Les ellipsoïdes confocaux partagent une propriété fondamentale qui explique cette égalité : ils ont les mêmes foyers F et F'. Cette condition commune implique nécessairement que le produit ae soit identique pour tous les ellipsoïdes de cette famille.

Le paramètre ae représente le produit de l'axe semi-majeur par l'excentricité de l'ellipsoïde. Cette quantité caractérise géométriquement la forme de l'ellipsoïde et détermine sa position relative par rapport aux foyers fixes. Lorsque deux ellipsoïdes sont confocaux, ils partagent ces mêmes foyers, ce qui impose que leurs paramètres ae respectifs soient égaux.

Cette propriété unifie la famille des ellipsoïdes confocaux et permet d'étendre des systèmes de coordonnées comme les coordonnées ellipsoïdales harmoniques, où le paramètre ae devient un invariant géométrique commun à tous les membres de la famille.