Pourquoi la plupart des manuels mettent l'accent sur la perspective des fonctions simples plutôt que sur celle des pavés pour définir l'intégrale de Lebesgue ?
Relation between the viewpoints

One can think of the Lebesgue integral either in terms of slabs or simple functions. Intuitively, the area under a simple function can be partitioned into slabs based on the (finite) collection of values in the range of a simple function (a real interval). Conversely, the (finite) collection of slabs in the undergraph of the function can be rearranged after a finite repartitioning to be the undergraph of a simple function.

The slabs viewpoint makes it easy to define the Lebesgue integral, in terms of basic calculus. Suppose that f {\displaystyle f} is a (Lebesgue measurable) function, taking non-negative values (possibly including + ∞ {\displaystyle +\infty }). Define the distribution function of f {\displaystyle f} as the "width of a slab", i.e., F (y) = μ { x | f (x) > y }. {\displaystyle F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.} Then F (y) {\displaystyle F(y)} is monotone decreasing and non-negative, and therefore has an (improper) Riemann integral over (0, ∞) {\displaystyle (0,\infty)}. The Lebesgue integral can then be defined by ∫ f d μ = ∫ 0 ∞ F (y) d y {\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy} where the integral on the right is an ordinary improper Riemann integral, of a non-negative function (interpreted appropriately as + ∞ {\displaystyle +\infty } if F (y) = + ∞ {\displaystyle F(y)=+\infty } on a neighborhood of 0).

Most textbooks, however, emphasize the simple functions viewpoint, because it is then more straightforward to prove the basic theorems about the Lebesgue integral.
Relation entre les points de vue

On peut concevoir l'intégrale de Lebesgue en termes de pavés ou de fonctions simples. Intuitivement, l'aire sous une fonction simple peut être partitionnée en pavés en fonction de l'ensemble fini de valeurs dans l'image de la fonction simple (un intervalle réel). Inversement, l'ensemble fini de pavés dans le sous-graphe de la fonction peut être réorganisé après une répartition finie pour former le sous-graphe d'une fonction simple.

La perspective des pavés facilite la définition de l'intégrale de Lebesgue, en termes de calcul élémentaire. Supposons que f est une fonction (mesurable au sens de Lebesgue) prenant des valeurs non négatives (éventuellement incluant +∞). Définissons la fonction de distribution de f comme la "largeur d'un pavé", c'est-à-dire, F(y) = μ { x | f(x) > y }. F(y) est alors monotone décroissante et non négative, et possède donc une intégrale de Riemann (impropre) sur (0, ∞). L'intégrale de Lebesgue peut alors être définie par ∫ f d μ = ∫ 0 ∞ F (y) d y où l'intégrale à droite est une intégrale de Riemann impropre ordinaire, d'une fonction non négative (interprétée de manière appropriée comme +∞ si F(y) = +∞ dans un voisinage de 0).

Cependant, la plupart des manuels mettent l'accent sur la perspective des fonctions simples, car il est alors plus simple de prouver les théorèmes fondamentaux concernant l'intégrale de Lebesgue.
### Query ###
Pourquoi la plupart des manuels mettent l'accent sur la perspective des fonctions simples plutôt que sur celle des pavés pour définir l'intégrale de Lebesgue ?

### Main Text ###
Relation between the viewpoints

One can think of the Lebesgue integral either in terms of slabs or simple functions. Intuitively, the area under a simple function can be partitioned into slabs based on the (finite) collection of values in the range of a simple function (a real interval). Conversely, the (finite) collection of slabs in the undergraph of the function can be rearranged after a finite repartitioning to be the undergraph of a simple function.

The slabs viewpoint makes it easy to define the Lebesgue integral, in terms of basic calculus. Suppose that f {\displaystyle f} is a (Lebesgue measurable) function, taking non-negative values (possibly including + ∞ {\displaystyle +\infty }). Define the distribution function of f {\displaystyle f} as the "width of a slab", i.e., F (y) = μ { x | f (x) > y }. {\displaystyle F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.} Then F (y) {\displaystyle F(y)} is monotone decreasing and non-negative, and therefore has an (improper) Riemann integral over (0, ∞) {\displaystyle (0,\infty)}. The Lebesgue integral can then be defined by ∫ f d μ = ∫ 0 ∞ F (y) d y {\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy} where the integral on the right is an ordinary improper Riemann integral, of a non-negative function (interpreted appropriately as + ∞ {\displaystyle +\infty } if F (y) = + ∞ {\displaystyle F(y)=+\infty } on a neighborhood of 0).

Most textbooks, however, emphasize the simple functions viewpoint, because it is then more straightforward to prove the basic theorems about the Lebesgue integral.

### Supplementary Text ###
Relation entre les points de vue

On peut concevoir l'intégrale de Lebesgue en termes de pavés ou de fonctions simples. Intuitivement, l'aire sous une fonction simple peut être partitionnée en pavés en fonction de l'ensemble fini de valeurs dans l'image de la fonction simple (un intervalle réel). Inversement, l'ensemble fini de pavés dans le sous-graphe de la fonction peut être réorganisé après une répartition finie pour former le sous-graphe d'une fonction simple.

La perspective des pavés facilite la définition de l'intégrale de Lebesgue, en termes de calcul élémentaire. Supposons que f est une fonction (mesurable au sens de Lebesgue) prenant des valeurs non négatives (éventuellement incluant +∞). Définissons la fonction de distribution de f comme la "largeur d'un pavé", c'est-à-dire, F(y) = μ { x | f(x) > y }. F(y) est alors monotone décroissante et non négative, et possède donc une intégrale de Riemann (impropre) sur (0, ∞). L'intégrale de Lebesgue peut alors être définie par ∫ f d μ = ∫ 0 ∞ F (y) d y où l'intégrale à droite est une intégrale de Riemann impropre ordinaire, d'une fonction non négative (interprétée de manière appropriée comme +∞ si F(y) = +∞ dans un voisinage de 0).

Cependant, la plupart des manuels mettent l'accent sur la perspective des fonctions simples, car il est alors plus simple de prouver les théorèmes fondamentaux concernant l'intégrale de Lebesgue.

### Draft ###

### 1. Query Analysis

"Pourquoi la plupart des manuels mettent l'accent sur la perspective des fonctions simples plutôt que sur celle des pavés pour définir l'intégrale de Lebesgue ?"

→ Translation: Why do most textbooks emphasize simple function perspective over slab/pavement perspective for defining Lebesgue integral?

※ Key semantic issue: "pavés" = geometric slabs/rectangles, not "pavement"

User assumes pedagogical hierarchy. Wants explanation of textbook convention favoring simple functions over geometric approach.

### 2. Mathematical Context Retrieval

⟨H≈0.3⟩ Lebesgue integral definition... two main approaches documented... geometric via translation (Daniell extension, content perspective) vs algebraic via simple functions... historical precedence suggests geometric approach came first (Fréchet, Lebesgue early 1900s) but textbooks overwhelmingly favor simple function approach...

● Lebesgue integral can be defined geometrically:
- Slabs under graph of f
- Measure total volume
- Translation invariant

● Can also be defined algebraically:
- Simple functions f₁χ₁ + f₂χ₂ + ...
- Integral = sum of individual integrals
- Computational approach

### 3. Pedagogical Analysis

Why textbooks choose simple functions:

**Technical advantages:**
- Simple functions dense in L¹
- Approximation arguments cleaner
- Monotone convergence theorem direct
- Dominated convergence theorem follows naturally

**Proof structure:**
Simple function integral → measurable function integral → general function integral

Geometric approach more foundational but computationally complex.

### 4. Historical/Logical Constraints

⟨H≈0.8⟩ Early development... Lebesgue working through measure theory... geometric intuition came first... but teaching mathematics... need computational handle... simple functions provide this... plus they're easier to approximate with... Riemann sums lurking in background but Lebesgue trying to escape them... 

**Constraint analysis:**
- Undergraduate level: simple functions accessible
- Advanced level: geometric approach powerful but specialized
- Practical computation: simple functions better

**Logical flow considerations:**
Riemann → Simple Lebesgue → General Lebesgue
Bridge-building pedagogy favors incremental approach.

### 5. Answer Construction

Most textbooks emphasize simple function perspective because:

**Pedagogical efficiency:** Simple functions provide computational handle for Lebesgue integration. Students can grasp finite linear combinations before infinite geometric constructions.

**Proof accessibility:** Simple function approach enables straightforward derivation of fundamental theorems:
- Monotone convergence
- Dominated convergence  
- Approximation arguments

**Technical advantages:** Simple functions are dense in L¹, making approximation arguments cleaner than geometric approach.

**Historical convention:** Most textbooks follow this pedagogical path despite geometric approach being more foundational.

∴ Simple function perspective = optimal balance of mathematical rigor + pedagogical accessibility + computational tractability.

### Answer###
La plupart des manuels privilégient effectivement la perspective des fonctions simples plutôt que celle des pavés pour définir l'intégrale de Lebesgue, malgré le fait que l'approche géométrique des pavés soit intuitive et facilite la compréhension conceptuelle.

L'approche par les pavés présente des avantages pédagogiques évidents. Intuitivement, l'aire sous une fonction simple peut être partitionnée en pavés basés sur la collection finie de valeurs dans l'image de la fonction. Cette perspective permet de définir l'intégrale de Lebesgue en termes de calcul élémentaire, en utilisant la fonction de distribution et l'intégrale de Riemann impropre.

Cependant, les manuels optent majoritairement pour la perspective des fonctions simples car elle facilite considérablement la démonstration des théorèmes fondamentaux concernant l'intégrale de Lebesgue. L'approche par les fonctions simples établit un pont naturel entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue, permettant une progression logique et pédagogiquement accessible.

Bien que l'approche géométrique soit plus fondamentale et puisse sembler plus intuitive, elle nécessite des concepts plus avancés et rend les preuves des propriétés principales de l'intégrale Lebesgue plus complexes à exposer. La simplicité relative des démonstrations obtenues avec la perspective des fonctions simples explique donc largement cette prédominance dans les textes universitaires.