Comment déterminer les racines carrées d'un nombre négatif ?
Square roots

A square root of a number x is a number r which, when squared, becomes x:

r 2 = x. {\displaystyle r^{2}=x.}

Every positive real number has two square roots, one positive and one negative. For example, the two square roots of 25 are 5 and −5. The positive square root is also known as the principal square root, and is denoted with a radical sign:

25 = 5. {\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}

Since the square of every real number is nonnegative, negative numbers do not have real square roots. However, for every negative real number there are two imaginary square roots. For example, the square roots of −25 are 5 i and −5 i, where i represents a number whose square is −1.
Racines carrées des nombres négatifs et complexes

Le carré de tout nombre positif ou négatif est positif, et le carré de 0 est 0. Par conséquent, aucun nombre négatif n'a de racine carrée réelle. Cependant, il est possible de travailler avec un ensemble de nombres plus inclusif, appelé les nombres complexes, qui contient bien des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Cela se fait en introduisant un nouveau nombre, noté i (parfois j, surtout dans le contexte de l'électricité où i représente traditionnellement le courant électrique) et appelé l'unité imaginaire, qui est défini de telle sorte que i = −1. En utilisant cette notation, nous pouvons considérer i comme la racine carrée de −1, mais nous avons aussi (− i) 2 = i 2 = −1 et donc − i est également une racine carrée de −1. Par convention, la racine carrée principale de −1 est i, ou plus généralement, si x est un nombre non négatif, alors la racine carrée principale de − x est − x = i x. {\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}

Le côté droit (ainsi que son négatif) est bien une racine carrée de − x, puisque (i x) 2 = i 2 (x) 2 = (− 1) x = − x. {\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe précisément deux nombres w tels que w 2 = z : la racine carrée principale de z (définie ci-dessous) et son négatif.
### Query ###
Comment déterminer les racines carrées d'un nombre négatif ?

### Main Text ###
Square roots

A square root of a number x is a number r which, when squared, becomes x:

r 2 = x. {\displaystyle r^{2}=x.}

Every positive real number has two square roots, one positive and one negative. For example, the two square roots of 25 are 5 and −5. The positive square root is also known as the principal square root, and is denoted with a radical sign:

25 = 5. {\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}

Since the square of every real number is nonnegative, negative numbers do not have real square roots. However, for every negative real number there are two imaginary square roots. For example, the square roots of −25 are 5 i and −5 i, where i represents a number whose square is −1.

### Supplementary Text ###
Racines carrées des nombres négatifs et complexes

Le carré de tout nombre positif ou négatif est positif, et le carré de 0 est 0. Par conséquent, aucun nombre négatif n'a de racine carrée réelle. Cependant, il est possible de travailler avec un ensemble de nombres plus inclusif, appelé les nombres complexes, qui contient bien des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Cela se fait en introduisant un nouveau nombre, noté i (parfois j, surtout dans le contexte de l'électricité où i représente traditionnellement le courant électrique) et appelé l'unité imaginaire, qui est défini de telle sorte que i = −1. En utilisant cette notation, nous pouvons considérer i comme la racine carrée de −1, mais nous avons aussi (− i) 2 = i 2 = −1 et donc − i est également une racine carrée de −1. Par convention, la racine carrée principale de −1 est i, ou plus généralement, si x est un nombre non négatif, alors la racine carrée principale de − x est − x = i x. {\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}

Le côté droit (ainsi que son négatif) est bien une racine carrée de − x, puisque (i x) 2 = i 2 (x) 2 = (− 1) x = − x. {\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe précisément deux nombres w tels que w 2 = z : la racine carrée principale de z (définie ci-dessous) et son négatif.

### Draft ###

### 1. Query Parsing & Domain Identification

"Comment déterminer les racines carrées d'un nombre négatif ?"
→ French: "How to determine square roots of negative numbers?"

● Clear mathematical query. Complex analysis domain.

Key semantic: "déterminer" = determine/calculate. User seeks computational method.

### 2. Core Mathematical Constraints

Real numbers: No real square roots for negative inputs.
- x < 0 → No real solutions to r² = x

Physical constraint check ✓. ∴ Must extend number system.

### 3. Solution Path Analysis

Need system expansion → Complex numbers.

Definition: i = √(-1)
- i² = -1
- Introduces imaginary unit

Then: √(-x) = i√x for x > 0

### 4. Verification & Examples

Examples verify method:
- √(-4) = i√4 = 2i
- √(-9) = i√9 = 3i  
- √(-x) = i√x where x > 0

● Constraint satisfaction: (i√x)² = i²(√x)² = -x ✓

### 5. Mathematical Rigor

Two square roots per complex number:
- Principal square root: √z
- Opposite: -√z

Both satisfy (√z)² = z

### 6. Response Structure

Lead with constraint → Extension method → Examples → Formal definition

Dense mathematical content. Direct approach.

---

⟨H≈0.3⟩ The mathematical universe expands beyond real numbers... complex analysis opens doors to square roots of negatives... i as portal to imaginary realm... 

∴ Complete solution: Extend to complex numbers using i = √(-1) definition.

### Answer###
Les nombres négatifs ne possèdent pas de racines carrées réelles. En effet, le carré de tout nombre réel (positif ou négatif) est toujours positif ou nul - aucun nombre réel négatif ne peut donc être la racine carrée d'un nombre négatif.

Pour calculer les racines carrées des nombres négatifs, il faut étendre le système des nombres réels aux nombres complexes. Cette extension introduit l'unité imaginaire i, définie par i² = -1. 

Avec cette notation, toute racine carrée d'un nombre négatif peut être exprimée sous la forme i√x, où x est le nombre positif correspondant. Par exemple, √(-25) = 5i. Cette convention établit que la racine carrée principale de tout nombre négatif est égale à i multiplié par sa racine carrée positive.

Il est important de noter que chaque nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées : la racine carrée principale et son opposé. Ces deux racines sont les seules solutions à l'équation r² = z.