Comment l'échantillonnage biaisé affecte-t-il la moyenne statistique d'un groupe ?
Size biased sampling

Assume a random variate has a distribution f (x). Assume also that the likelihood of a variate being chosen is proportional to its value. This is known as length based or size biased sampling.

Let μ be the mean of the population. Then the probability density function f *(x) of the size biased population is

The expectation of this length biased distribution E (x) is

where σ is the variance.

The expectation of the harmonic mean is the same as the non-length biased version E(x)

The problem of length biased sampling arises in a number of areas including textile manufacture pedigree analysis and survival analysis

Akman et al. have developed a test for the detection of length based bias in samples.
Échantillonnage biaisé par la taille

Supposons qu'une variable aléatoire suit une distribution f(x). Supposons également que la probabilité de choisir une variable est proportionnelle à sa valeur. Ceci est connu sous le nom d'échantillonnage basé sur la longueur ou biaisé par la taille.

Soit μ la moyenne de la population. Alors la fonction de densité de probabilité f*(x) de la population biaisée par la taille est :

L'espérance de cette distribution biaisée par la longueur E(x) est :

où σ est la variance.

L'espérance de la moyenne harmonique est la même que la version non biaisée par la taille E(x).

Le problème de l'échantillonnage biaisé par la taille se pose dans un certain nombre de domaines, notamment la fabrication textile, l'analyse de l'ascendance et l'analyse de la survie.

Akman et al. ont développé un test pour la détection du biais basé sur la longueur dans les échantillons.
### Query ###
Comment l'échantillonnage biaisé affecte-t-il la moyenne statistique d'un groupe ?

### Main Text ###
Size biased sampling

Assume a random variate has a distribution f (x). Assume also that the likelihood of a variate being chosen is proportional to its value. This is known as length based or size biased sampling.

Let μ be the mean of the population. Then the probability density function f *(x) of the size biased population is

The expectation of this length biased distribution E (x) is

where σ is the variance.

The expectation of the harmonic mean is the same as the non-length biased version E(x)

The problem of length biased sampling arises in a number of areas including textile manufacture pedigree analysis and survival analysis

Akman et al. have developed a test for the detection of length based bias in samples.

### Supplementary Text ###
Échantillonnage biaisé par la taille

Supposons qu'une variable aléatoire suit une distribution f(x). Supposons également que la probabilité de choisir une variable est proportionnelle à sa valeur. Ceci est connu sous le nom d'échantillonnage basé sur la longueur ou biaisé par la taille.

Soit μ la moyenne de la population. Alors la fonction de densité de probabilité f*(x) de la population biaisée par la taille est :

L'espérance de cette distribution biaisée par la longueur E(x) est :

où σ est la variance.

L'espérance de la moyenne harmonique est la même que la version non biaisée par la taille E(x).

Le problème de l'échantillonnage biaisé par la taille se pose dans un certain nombre de domaines, notamment la fabrication textile, l'analyse de l'ascendance et l'analyse de la survie.

Akman et al. ont développé un test pour la détection du biais basé sur la longueur dans les échantillons.

### Draft ###

Query: "Comment l'échantillonnage biaisé affecte-t-il la moyenne statistique d'un groupe ?"

Translation check: "biased sampling" = échantillonnage biaisé. "Average" = moyenne (both arithmetic mean and expectation). Clear statistical query.

Task type: Theoretical explanation + mathematical proof. Not simple retrieval.

### 1. Core mechanism

Biased sampling → systematic deviation from random selection.

Key insight: Selection probability ≠ uniform. If P(select|x) ∝ x (size-biased), then:
- Larger values more likely to appear
- Sample distribution ≠ population distribution
- → Expectation shifts

### 2. Mathematical proof

Population mean: μ = E[X] (true expectation)
Sample selection: P(X) ∝ x
Sample mean: E[X|biased] = ?

Need to show: E[X|biased] ≠ μ under size bias.

Proof sketch:
- Expected value of biased sample: E[X|biased] = Σ(x·P(x|biased))
- P(x|biased) = x/∫x·f(x)dx where f(x) is population density
- Normalization: ∫x·f(x)dx = total population size

Calculation:
E[X|biased] = ∫₀^∞ x²f(x)/∫x·f(x)dx dx / ∫x·f(x)dx

Let σ² = ∫x²f(x)dx (population variance)
Then E[X|biased] = σ²/∫x·f(x)dx

Key result: E[X|biased] = μ + σ²/∫x·f(x)dx

∴ E[X|biased] > μ when variance σ² > 0
→ Bias magnitude depends on σ²/∫x·f(x)dx

### 3. Interpretation

Positive bias when variance > 0.
Larger values systematically overrepresented.
Sample mean "inflated" relative to population mean.

⟨H≈0.8⟩ Think of it like a skewed mirror - the bright spots (high values) reflect more strongly, distorting the overall brightness impression. The mathematical σ²/∫x term captures this distortion coefficient.

### 4. Special cases

Uniform population: f(x) = 1/width → E[X|biased] = ∞ (impossible bias!)
Exponential population: f(x) = λe^(-λx) → E[X|biased] = μ/(1-1/λ)

※ Result varies by population distribution

### 5. Harmonic mean preservation

Counter-intuitive: E[1/X|biased] = E[1/X] (unbiased)

Reason: Harmonic mean weights all observations equally in calculation.
Selection bias cancels out during inversion process.

∴ Some biased statistics can be unbiased (and vice versa).

### 6. Practical implications

Real-world examples:
- Income surveys: High earners underrepresented → biased downward
- Textile sampling: Longer fibers overrepresented → strength measures biased
- Survival studies: Healthier people more likely to report → biased estimates

Detection methods exist (Akman-type tests).

**Conclusion**: Size-biased sampling systematically inflates population mean by σ²/∫x factor. Magnitude depends on variance and population distribution. Harmonic mean preserves unbiasedness. Understanding bias mechanisms crucial for accurate inference.

⚠ Always verify sampling methodology before interpreting statistical results.

### Answer###
L'échantillonnage biaisé affecte la moyenne statistique d'un groupe de manière significative, particulièrement dans le cas de l'échantillonnage biaisé par la taille.

Lors de l'échantillonnage biaisé par la taille, où la probabilité de sélectionner une valeur est proportionnelle à sa valeur, la moyenne du groupe obtenu sera systématiquement supérieure à la moyenne de la population réelle. Mathématiquement, si μ représente la moyenne de la population et σ² la variance, alors l'espérance de la distribution biaisée s'écrit E(x) = μ + σ²/∫x·f(x)dx, où f(x) est la fonction de densité de probabilité de la population.

Cette formule révèle que la moyenne biaisée est égale à la moyenne réelle plus un terme de correction proportionnel à la variance. Ainsi, les valeurs plus grandes ont une probabilité plus élevée d'être sélectionnées, ce qui fait apparaître une moyenne supérieure dans l'échantillon biaisé.

Il est important de noter que cet effet s'applique spécifiquement à la moyenne arithmétique. L'espérance de la moyenne harmonique, en revanche, reste identique à la version non biaisée.

Ce type de biais peut survenir dans diverses applications pratiques, notamment dans l'industrie textile, l'analyse généalogique et l'analyse de survie. Il est donc crucial de vérifier la méthodologie d'échantillonnage avant d'interpréter les résultats statistiques. Des tests spécifiques, comme ceux développés par Akman et al., peuvent être utilisés pour détecter ce type de biais dans les échantillons.