Comment évolue la densité d'un système de résidus réduits modulo m lorsque m augmente de manière exponentielle ?
Reduced residue systems

Given the Euler's totient function φ (m), any set of φ (m) integers that are relatively prime to m and mutually incongruent under modulus m is called a reduced residue system modulo m. The set {5, 15} from above, for example, is an instance of a reduced residue system modulo 4.
Systèmes de résidus réduits

Étant donné la fonction totient d'Euler φ(m), tout ensemble de φ(m) entiers premiers entre eux avec m et mutuellement non congrues modulo m est appelé un système de résidus réduits modulo m. L'ensemble {5, 15} mentionné ci-dessus, par exemple, est une instance d'un système de résidus réduits modulo 4.
### Query ###
Comment évolue la densité d'un système de résidus réduits modulo m lorsque m augmente de manière exponentielle ?

### Main Text ###
Reduced residue systems

Given the Euler's totient function φ (m), any set of φ (m) integers that are relatively prime to m and mutually incongruent under modulus m is called a reduced residue system modulo m. The set {5, 15} from above, for example, is an instance of a reduced residue system modulo 4.

### Supplementary Text ###
Systèmes de résidus réduits

Étant donné la fonction totient d'Euler φ(m), tout ensemble de φ(m) entiers premiers entre eux avec m et mutuellement non congrues modulo m est appelé un système de résidus réduits modulo m. L'ensemble {5, 15} mentionné ci-dessus, par exemple, est une instance d'un système de résidus réduits modulo 4.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment évolue la densité..." → How does density evolve. Key terms:
- *densité* = density (of what?)
- *système de résidus réduits* = reduced residue systems  
- *m augmente de manière exponentielle* = m increases exponentially

? Semantic ambiguity: "density of reduced residue systems" vs "density within reduced residue systems"

### 2. Mathematical Context Retrieval

● Reduced residue systems modulo m: complete sets of [a₁,...,aₖ] where:
- gcd(aᵢ,m)=1 for all i
- aᵢ ≢ aⱼ (mod m) for i≠j
- |{aᵢ}| = φ(m) (Euler's totient function)

● Density question → comparing φ(m)/m as m grows exponentially.

### 3. Density Analysis

Two interpretations:
1. **Relative density**: φ(m)/m vs 1/m
2. **Absolute density**: φ(m) vs φ(n) when m=e·n, e>1

For exponential growth m = eᵏ, k>0:

φ(m) ≈ m·(1-1/p₁-1/p₂-...)/ln(m) (prime factorization)

∴ φ(m)/m ≈ (1-1/p₁-1/p₂-...)·(1/ln(m))

→ As k increases: ln(m) → ∞, so φ(m)/m → 0

! **Key insight**: Relative density of reduced residues → 0

### 4. Verification & Counter-Examples

⚠ Original response claims "reste constante" (remains constant). 

**Error identification**: ◐ Partial understanding of exponential growth impact.

Counter-example verification:
- m=2ᵏ, k∈ℕ⁺
- φ(2ᵏ) = 2ᵏ⁻¹ (powers of 2 have φ=2ᵏ⁻¹)  
- φ(2ᵏ)/2ᵏ = 1/2 → 0 as k increases

**Correct behavior**: ● Density decreases to 0

### 5. Synthesis

The mathematical relationship is:
```
If m = eᵏ, k→∞ then φ(m)/m → 0
```

∴ **Density evolution**: Exponential decrease, not constant.

**Caveat**: ○ Complexity increases due to prime factorization patterns affecting φ(m) approximation.

---

**Final assessment**: Original response contains mathematical error. Density of reduced residue systems decreases exponentially, not remains constant. The provided explanation conflates asymptotic behavior with constant values.

### Answer###
La question de l'évolution de la densité des systèmes de résidus réduits modulo m lorsque m augmente de manière exponentielle est complexe et nécessite une analyse approfondie des propriétés arithmétiques.

Un système de résidus réduits modulo m est un ensemble de φ(m) entiers premiers entre eux avec m et mutuellement non congrues modulo m, où φ(m) représente la fonction indicatrice d'Euler. Cette définition implique que la taille de ces systèmes est toujours égale à φ(m), indépendamment de la valeur de m.

Si m augmente de manière exponentielle, la question se pose sur l'évolution de cette taille φ(m) par rapport à m lui-même. Cependant, je ne peux pas fournir une analyse détaillée de cette évolution sans plus de contexte sur la croissance exponentielle spécifique de m et sur les propriétés statistiques des systèmes de résidus réduits dans ce cadre.

La densité que vous mentionnez pourrait s'interpréter de différentes manières : densité relative par rapport à l'ensemble total des entiers, ou densité en termes de distribution des résidus premiers entre eux. Cette question mériterait une étude plus approfondie des propriétés asymptotiques de φ(m) et de la structure arithmétique des systèmes de résidus réduits.