Est-ce qu'on peut expliquer pourquoi les morphismes universels initiaux donnent des foncteurs adjoints à gauche tandis que les morphismes terminaux donnent des foncteurs adjoints à droite ?
Relation to adjoint functors

Suppose (A 1, u 1) {\displaystyle (A_{1},u_{1})} is a universal morphism from X 1 {\displaystyle X_{1}} to F {\displaystyle F} and (A 2, u 2) {\displaystyle (A_{2},u_{2})} is a universal morphism from X 2 {\displaystyle X_{2}} to F {\displaystyle F}. By the universal property of universal morphisms, given any morphism h: X 1 → X 2 {\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}} there exists a unique morphism g: A 1 → A 2 {\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}} such that the following diagram commutes:

If every object X i {\displaystyle X_{i}} of D {\displaystyle {\mathcal {D}}} admits a universal morphism to F {\displaystyle F}, then the assignment X i ↦ A i {\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}} and h ↦ g {\displaystyle h\mapsto g} defines a functor G: D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}. The maps u i {\displaystyle u_{i}} then define a natural transformation from 1 D {\displaystyle 1_{\mathcal {D}}} (the identity functor on D {\displaystyle {\mathcal {D}}}) to F ∘ G {\displaystyle F\circ G}. The functors (F, G) {\displaystyle (F,G)} are then a pair of adjoint functors, with G {\displaystyle G} left-adjoint to F {\displaystyle F} and F {\displaystyle F} right-adjoint to G {\displaystyle G}.

Similar statements apply to the dual situation of terminal morphisms from F {\displaystyle F}. If such morphisms exist for every X {\displaystyle X} in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} one obtains a functor G: C → D {\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} which is right-adjoint to F {\displaystyle F} (so F {\displaystyle F} is left-adjoint to G {\displaystyle G}).

Indeed, all pairs of adjoint functors arise from universal constructions in this manner. Let F {\displaystyle F} and G {\displaystyle G} be a pair of adjoint functors with unit η {\displaystyle \eta } and co-unit ϵ {\displaystyle \epsilon } (see the article on adjoint functors for the definitions). Then we have a universal morphism for each object in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} and D {\displaystyle {\mathcal {D}}}:

Universal constructions are more general than adjoint functor pairs: a universal construction is like an optimization problem; it gives rise to an adjoint pair if and only if this problem has a solution for every object of C {\displaystyle {\mathcal {C}}} (equivalently, every object of D {\displaystyle {\mathcal {D}}}).
Les morphismes universels induisent une adjonction d'ensembles de morphismes.

Étant donné un foncteur adjoint à la droite G : C → D ; au sens des morphismes initiaux, on peut construire l'adjonction d'ensembles de morphismes induite en suivant les étapes suivantes.

Un argument similaire permet de construire une adjonction d'ensembles de morphismes à partir des morphismes terminaux vers un foncteur adjoint à la gauche. (La construction qui part d'un adjoint à la droite est légèrement plus courante, car l'adjoint à la droite dans de nombreux couples adjoints est une inclusion ou un foncteur oubli trivialement défini.)
### Query ###
Est-ce qu'on peut expliquer pourquoi les morphismes universels initiaux donnent des foncteurs adjoints à gauche tandis que les morphismes terminaux donnent des foncteurs adjoints à droite ?

### Main Text ###
Relation to adjoint functors

Suppose (A 1, u 1) {\displaystyle (A_{1},u_{1})} is a universal morphism from X 1 {\displaystyle X_{1}} to F {\displaystyle F} and (A 2, u 2) {\displaystyle (A_{2},u_{2})} is a universal morphism from X 2 {\displaystyle X_{2}} to F {\displaystyle F}. By the universal property of universal morphisms, given any morphism h: X 1 → X 2 {\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}} there exists a unique morphism g: A 1 → A 2 {\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}} such that the following diagram commutes:

If every object X i {\displaystyle X_{i}} of D {\displaystyle {\mathcal {D}}} admits a universal morphism to F {\displaystyle F}, then the assignment X i ↦ A i {\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}} and h ↦ g {\displaystyle h\mapsto g} defines a functor G: D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}. The maps u i {\displaystyle u_{i}} then define a natural transformation from 1 D {\displaystyle 1_{\mathcal {D}}} (the identity functor on D {\displaystyle {\mathcal {D}}}) to F ∘ G {\displaystyle F\circ G}. The functors (F, G) {\displaystyle (F,G)} are then a pair of adjoint functors, with G {\displaystyle G} left-adjoint to F {\displaystyle F} and F {\displaystyle F} right-adjoint to G {\displaystyle G}.

Similar statements apply to the dual situation of terminal morphisms from F {\displaystyle F}. If such morphisms exist for every X {\displaystyle X} in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} one obtains a functor G: C → D {\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} which is right-adjoint to F {\displaystyle F} (so F {\displaystyle F} is left-adjoint to G {\displaystyle G}).

Indeed, all pairs of adjoint functors arise from universal constructions in this manner. Let F {\displaystyle F} and G {\displaystyle G} be a pair of adjoint functors with unit η {\displaystyle \eta } and co-unit ϵ {\displaystyle \epsilon } (see the article on adjoint functors for the definitions). Then we have a universal morphism for each object in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} and D {\displaystyle {\mathcal {D}}}:

Universal constructions are more general than adjoint functor pairs: a universal construction is like an optimization problem; it gives rise to an adjoint pair if and only if this problem has a solution for every object of C {\displaystyle {\mathcal {C}}} (equivalently, every object of D {\displaystyle {\mathcal {D}}}).

### Supplementary Text ###
Les morphismes universels induisent une adjonction d'ensembles de morphismes.

Étant donné un foncteur adjoint à la droite G : C → D ; au sens des morphismes initiaux, on peut construire l'adjonction d'ensembles de morphismes induite en suivant les étapes suivantes.

Un argument similaire permet de construire une adjonction d'ensembles de morphismes à partir des morphismes terminaux vers un foncteur adjoint à la gauche. (La construction qui part d'un adjoint à la droite est légèrement plus courante, car l'adjoint à la droite dans de nombreux couples adjoints est une inclusion ou un foncteur oubli trivialement défini.)

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"morphismes universels initiaux" → initial universal morphisms
"morphismes terminaux" → terminal morphisms  
"donnent des foncteurs adjoints" → give adjoint functors

Key semantic: *why* the directionality? Why left adjoint from initials, right adjoint from terminals?

### 2. Core Mechanism Identification

Universal morphisms = optimization problems in category theory.

Initial universal morphism: "most general" from X to F.
Terminal universal morphism: "most specific" from F to X.

Direction determined by: which category "gives" the universal object.

### 3. The Construction

**Initial universal morphisms:**
- Start with X in D
- Want F(X) in C  
- Universal property: for all morphisms h: X → Y, unique g: A → Y making triangle commute
- This *forces* construction: A₀ ← X ← F(X)
- ∴ Functor G: D → C defined by G(X) = A₀, G(h) = g

**Terminal morphisms:**  
- Start with X in C
- Want morphisms X → F(X)
- Universal property: for all morphisms h: Y → X, unique g: Y → A making triangle commute  
- This *forces* construction: X → A₀ → F(X)
- ∴ Functor G: C → D defined by G(X) = A₀, G(h) = g

### 4. Directionality Logic

Key insight: Which category "optimizes" determines direction.

Initial case: D "gives" X, wants C-object F(X).
→ Need functor D → C.
→ G(X) = universal initial object.
→ Left adjoint G: D → C.

Terminal case: C "gives" X, wants D-morphism X → F(X).  
→ Need functor C → D.
→ G(X) = universal terminal object.
→ Right adjoint G: C → D.

### 5. Verification

⟨H≈0.8⟩ Think of it geometrically... initial morphisms are like "sourcing" from the smaller category D into the larger category C through the functor F. The universal property forces this direction because there's exactly one way to complete the triangle when you fix X and F(X). The terminal case reverses this - now C "gives" the starting point X, wants to target into D through F(X), so the morphisms flow in the opposite direction...

### 6. General Pattern

Universal constructions = optimization problems.
Adjoint functors = solutions to optimization problems.

Direction determined by:
- Which category provides the "input" object
- Which category contains the "output" object  
- Universal property forces unique solution in target category

∴ Initial morphisms → left adjoint (D → C)
∴ Terminal morphisms → right adjoint (C → D)

**Physical constraint check:** ✓ Makes sense - universal properties are inherently directional due to uniqueness requirements.

**Mathematical verification:** ✓ Every adjoint pair arises from universal construction.

**Final synthesis:** The directionality emerges from how universal morphisms *must* be constructed to satisfy their defining property. Initial morphisms force left-to-right construction (D → C), terminal morphisms force right-to-left (C → D).

### Answer###
Les morphismes universels initiaux induisent effectivement des foncteurs adjoints à gauche, tandis que les morphismes terminaux induisent des foncteurs adjoints à droite, en raison de la manière dont ces constructions génèrent les paires d'adjoints.

Lorsqu'on dispose d'un morphisme universel initial de chaque objet X dans la catégorie D vers un foncteur F, la construction de l'adjoint à gauche G procède en définissant G(X) = A₀ où (A₀, u₀) est le morphisme universel initial. Le morphisme universel garantit qu'il existe un morphisme unique g: A₀ → A pour tout morphisme h: X → Y. Cette propriété universelle force la construction du foncteur G: D → C par l'assignment X ↦ A₀ et h ↦ g.

Dans ce contexte, le foncteur G est nécessairement à gauche car il transforme les objets de D en objets de C, et la direction de l'adjonction reflète cette transformation.

Inversement, lorsque l'on part de morphismes terminaux vers un foncteur F, la construction génère un foncteur G: C → D qui transforme les objets de C en morphismes vers F(X). Le morphisme universel terminal garantit qu'il existe un morphisme unique g: Y → A pour tout morphisme h: X → Y. Cette construction force la direction opposée, faisant de G un foncteur à droite et rendant F adjoint à gauche de G.

La directionnalité de l'adjonction découle donc directement de la manière dont les constructions universelles orientent les morphismes et définissent les transformations naturelles.