Comment peut-on résoudre le problème des bovins d'Archimède lorsque certaines solutions doivent être des nombres carrés ?
The cattle problem

Gotthold Ephraim Lessing discovered this work in a Greek manuscript consisting of a 44-line poem in the Herzog August Library in Wolfenbüttel, Germany in 1773. It is addressed to Eratosthenes and the mathematicians in Alexandria. Archimedes challenges them to count the numbers of cattle in the Herd of the Sun by solving a number of simultaneous Diophantine equations. There is a more difficult version of the problem in which some of the answers are required to be square numbers. A. Amthor first solved this version of the problem in 1880, and the answer is a very large number, approximately 7.760271 × 10.
Le problème des bovins

Gotthold Ephraim Lessing a découvert cet ouvrage dans un manuscrit grec consistant en un poème de 44 vers dans la bibliothèque Herzog August à Wolfenbüttel, en Allemagne, en 1773. Il est adressé à Ératosthène et aux mathématiciens d'Alexandrie. Archimède les met au défi de compter le nombre de bovins du Troupeau du Soleil en résolvant un certain nombre d'équations diophantiennes simultanées. Il existe une version plus difficile du problème dans laquelle certaines des solutions doivent être des nombres carrés. A. Amthor a résolu cette version du problème pour la première fois en 1880, et la réponse est un nombre très grand, d'environ 7,760271 × 10.
### Query ###
Comment peut-on résoudre le problème des bovins d'Archimède lorsque certaines solutions doivent être des nombres carrés ?

### Main Text ###
The cattle problem

Gotthold Ephraim Lessing discovered this work in a Greek manuscript consisting of a 44-line poem in the Herzog August Library in Wolfenbüttel, Germany in 1773. It is addressed to Eratosthenes and the mathematicians in Alexandria. Archimedes challenges them to count the numbers of cattle in the Herd of the Sun by solving a number of simultaneous Diophantine equations. There is a more difficult version of the problem in which some of the answers are required to be square numbers. A. Amthor first solved this version of the problem in 1880, and the answer is a very large number, approximately 7.760271 × 10.

### Supplementary Text ###
Le problème des bovins

Gotthold Ephraim Lessing a découvert cet ouvrage dans un manuscrit grec consistant en un poème de 44 vers dans la bibliothèque Herzog August à Wolfenbüttel, en Allemagne, en 1773. Il est adressé à Ératosthène et aux mathématiciens d'Alexandrie. Archimède les met au défi de compter le nombre de bovins du Troupeau du Soleil en résolvant un certain nombre d'équations diophantiennes simultanées. Il existe une version plus difficile du problème dans laquelle certaines des solutions doivent être des nombres carrés. A. Amthor a résolu cette version du problème pour la première fois en 1880, et la réponse est un nombre très grand, d'environ 7,760271 × 10.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment peut-on résoudre le problème des bovins d'Archimède lorsque certaines solutions doivent être des nombres carrés?"

→ Archimedes cattle problem. Specialized Diophantine equation system.
→ "quelques solutions doivent être des nombres carrés" = some solutions must be squares
→ Implies: standard version + additional constraint

Translation concerns: "bovins" = cattle/oxen, "nombres carrés" = square numbers. ● High confidence on mathematical content.

### 2. Problem Classification

Not simple information retrieval. Complex mathematical reasoning required.

Context triangulation:
├─ Ancient: Archimedes (~287-212 BCE), Alexandria
├─ Revival: 1773, Lessing discovery in Wolfenbüttel manuscript
└─ Modern: Amthor 1880, computational approach

⟨H≈0.8⟩ Cattle problem... herds of Helios... mathematical puzzles within mathematical puzzles... the Alexandrian mind seeking patterns in numbers, squares hidden among the rational...

### 3. Mathematical Core

Standard version: System of Diophantine equations. No squares required.

Extended version: Same equations + some solutions must be perfect squares.

Key constraint: Makes problem computationally intractable. ⚠ Very large solutions expected.

### 4. Historical Resolution

Amthor's approach (1880): ● Computational methods
- Extended Diophantine analysis
- Large solution space
- Approximate answer: 7.760271 × 10

! Critical insight: Square constraints create exponential complexity growth.

### 5. Methodological Framework

Solving approach:
1. Handle standard version first
2. Identify square constraints  
3. Use computational methods for large solutions
4. Verify square properties

Mathematical tools required:
- Advanced Diophantine theory
- Computational algebra
- Approximation techniques
- Modular arithmetic for squares

### 6. Constraints Analysis

Physical realism check: 7.760271 × 10 cattle = impossible herd size
∴ Problem exists in mathematical abstraction space

Square constraints eliminate most integer solutions → sparse solution set → computational exhaustion required.

### 7. Synthesis

The square-constrained Archimedes cattle problem requires:

**Core technique**: Computational Diophantine equation solving
**Key insight**: Square constraints make standard methods insufficient  
**Historical approach**: Amthor used systematic enumeration
**Result**: Extremely large solutions (≈10)
**Methodology**: Combination of algebraic manipulation + computational search

NB: Problem lies at intersection of ancient geometry/number theory and modern computational mathematics.

### Answer###
Le problème des bovins d'Archimède existe dans deux versions : une version standard et une version plus difficile où certaines solutions doivent être des nombres carrés. Cette dernière version a été résolue pour la première fois par A. Amthor en 1880, qui a trouvé une solution extrêmement large, approximativement égale à 7,760271 × 10.

La résolution de cette version complexe du problème implique l'utilisation de méthodes sophistiquées d'équations diophantiennes simultanées. Les contraintes imposées par les nombres carrés rendent le système particulièrement difficile à résoudre manuellement, nécessitant des approches algorithmiques avancées pour explorer l'espace de solutions potentiellement gigantesque.

Cependant, les détails spécifiques des méthodes utilisées par Amthor pour résoudre ce problème restent complexes et je ne peux pas fournir les techniques mathématiques précises qui ont permis d'atteindre cette solution remarquable sans risquer d'erreurs dans l'explication des méthodes algébriques avancées impliquées.