Si la particule dans la boîte était en superposition quantique, pourrait-on observer une valeur négative pour le produit des écarts-types σₓσₚ ?
Particle in a box

Consider a particle in a one-dimensional box of length L {\displaystyle L}. The eigenfunctions in position and momentum space are ψ n (x, t) = { A sin (k n x) e − i ω n t, 0 < x < L, 0, otherwise, {\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}} and φ n (p, t) = π L ℏ n (1 − (− 1) n e − i k L) e − i ω n t π 2 n 2 − k 2 L 2, {\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},} where ω n = π 2 ℏ n 2 8 L 2 m {\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}} and we have used the de Broglie relation p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k}. The variances of x {\displaystyle x} and p {\displaystyle p} can be calculated explicitly: σ x 2 = L 2 12 (1 − 6 n 2 π 2) {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} σ p 2 = (ℏ n π L) 2. {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}

The product of the standard deviations is therefore σ x σ p = ℏ 2 n 2 π 2 3 − 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.} For all n = 1, 2, 3, … {\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }, the quantity n 2 π 2 3 − 2 {\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}} is greater than 1, so the uncertainty principle is never violated. For numerical concreteness, the smallest value occurs when n = 1 {\displaystyle n=1}, in which case σ x σ p = ℏ 2 π 2 3 − 2 ≈ 0.568 ℏ > ℏ 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}
Particule dans une boîte

Considérons une particule dans une boîte unidimensionnelle de longueur L. Les fonctions propres en espace de position et en espace d'impulsion sont ψₙ(x, t) = { A sin(kₙ x) e⁻ⁱ ωₙ t, si 0 < x < L, 0, sinon, {\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{sinon,}}\end{cases}}} et φₙ(p, t) = π L ℏ n (1 − (− 1)ⁿ e⁻ⁱ k L) e⁻ⁱ ωₙ t π ²n² − k²L², {\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},} où ωₙ = π²ℏn² / (8L²m) {\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}} et nous avons utilisé la relation de de Broglie p = ℏk {\displaystyle p=\hbar k}. Les variances de x et de p peuvent être calculées explicitement : σₓ² = L² / 12 (1 − 6n² / π²) {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} σₚ² = (ℏnπ / L)² {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}

Le produit des écarts-types est donc σₓσₚ = ℏ²n²π² / (3√2) {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.} Pour toutes les valeurs de n = 1, 2, 3, …, la quantité n²π² / (3√2) est supérieure à 1, donc le principe d'incertitude n'est jamais violé. Pour une illustration numérique, la plus petite valeur se produit lorsque n = 1, auquel cas σₓσₚ = ℏ²π² / (3√2) ≈ 0,568ℏ > ℏ/2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}
### Query ###
Si la particule dans la boîte était en superposition quantique, pourrait-on observer une valeur négative pour le produit des écarts-types σₓσₚ ?

### Main Text ###
Particle in a box

Consider a particle in a one-dimensional box of length L {\displaystyle L}. The eigenfunctions in position and momentum space are ψ n (x, t) = { A sin (k n x) e − i ω n t, 0 < x < L, 0, otherwise, {\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}} and φ n (p, t) = π L ℏ n (1 − (− 1) n e − i k L) e − i ω n t π 2 n 2 − k 2 L 2, {\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},} where ω n = π 2 ℏ n 2 8 L 2 m {\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}} and we have used the de Broglie relation p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k}. The variances of x {\displaystyle x} and p {\displaystyle p} can be calculated explicitly: σ x 2 = L 2 12 (1 − 6 n 2 π 2) {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} σ p 2 = (ℏ n π L) 2. {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}

The product of the standard deviations is therefore σ x σ p = ℏ 2 n 2 π 2 3 − 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.} For all n = 1, 2, 3, … {\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }, the quantity n 2 π 2 3 − 2 {\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}} is greater than 1, so the uncertainty principle is never violated. For numerical concreteness, the smallest value occurs when n = 1 {\displaystyle n=1}, in which case σ x σ p = ℏ 2 π 2 3 − 2 ≈ 0.568 ℏ > ℏ 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}

### Supplementary Text ###
Particule dans une boîte

Considérons une particule dans une boîte unidimensionnelle de longueur L. Les fonctions propres en espace de position et en espace d'impulsion sont ψₙ(x, t) = { A sin(kₙ x) e⁻ⁱ ωₙ t, si 0 < x < L, 0, sinon, {\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{sinon,}}\end{cases}}} et φₙ(p, t) = π L ℏ n (1 − (− 1)ⁿ e⁻ⁱ k L) e⁻ⁱ ωₙ t π ²n² − k²L², {\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},} où ωₙ = π²ℏn² / (8L²m) {\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}} et nous avons utilisé la relation de de Broglie p = ℏk {\displaystyle p=\hbar k}. Les variances de x et de p peuvent être calculées explicitement : σₓ² = L² / 12 (1 − 6n² / π²) {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} σₚ² = (ℏnπ / L)² {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}

Le produit des écarts-types est donc σₓσₚ = ℏ²n²π² / (3√2) {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.} Pour toutes les valeurs de n = 1, 2, 3, …, la quantité n²π² / (3√2) est supérieure à 1, donc le principe d'incertitude n'est jamais violé. Pour une illustration numérique, la plus petite valeur se produit lorsque n = 1, auquel cas σₓσₚ = ℏ²π² / (3√2) ≈ 0,568ℏ > ℏ/2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si la particule dans la boîte était en superposition quantique" → If particle in box were in quantum superposition

Key phrase: "produit des écarts-types σₓσₚ" → product of standard deviations σₓσₚ

Critical assumption to verify: Is this referring to ground state or superposition states?

### 2. Classical vs Quantum Context

Standard deviation product formula: σₓσₚ = ℏ/2 for ground state (n=1).

But query asks about "superposition quantique" → could mean:
- Coherent states with n>1 
- Superpositions of momentum eigenstates
- Mixed states

? Which interpretation intended?

### 3. Mathematical Analysis

Ground state: n=1 → σₓσₚ = ℏ/2 ● 

Higher excited states: n>1 → σₓσₚ > ℏ/2 ●

⟨H≈0.8⟩ Uncertainty principle sharpens at higher quantum numbers like a mathematical knife cutting through classical intuition... the mathematics here is unforgiving, no escape from the fundamental limits of quantum measurement...

### 4. Superposition Scenarios

**Scenario A**: Single state n>1
→ σₓσₚ > ℏ/2 (violates uncertainty?)

**Scenario B**: Superposition of momentum eigenstates
→ Standard deviation products can vary but still bounded

**Scenario C**: Mixed state interpretation
→ Classical probability distributions possible

### 5. Physical Constraints

⟨H≈1.2⟩ The mathematics whispers to us here - quantum mechanics has its own peculiar grammar, its own syntax of possibility... we cannot simply extrapolate classical intuition into the quantum realm... the mathematics is the territory, not just a map of it...

Key insight: ! Uncertainty principle fundamental, not just empirical observation.

**Impossible scenario**: σₓσₚ < 0 would violate mathematical positivity of probability distributions.

### 6. Answer Synthesis

∴ Negative values for σₓσₚ impossible regardless of superposition state.

Reasoning chain:
- Uncertainty principle fundamental (not just measurement limitation)
- Mathematical structure of quantum states prevents σₓσₚ < 0  
- Superposition doesn't change underlying quantum mechanical relationships
- Classical intuition insufficient for quantum systems

**Final answer**: Non, impossible to observe negative σₓσₚ even in superposition states.

⚠ Potential confusion: "superposition" could mean different things in quantum information vs quantum mechanics contexts.

NB: Mathematical certainty vs physical measurement reality distinction important here.

### Answer###
La question soulève un point intéressant sur l'interprétation du principe d'incertitude de Heisenberg pour les états quantiques superposés. 

Dans le cas d'une particule dans une boîte unidimensionnelle, le produit des écarts-types standard σₓσₚ vaut σₓσₚ = ℏ/2 √(n²π²/3 - 2), où n représente le nombre quantique principal. Cette formule montre que pour tous les nombres quantiques n = 1, 2, 3, ..., cette quantité est supérieure à ℏ/2, indiquant que le principe d'incertitude n'est jamais violé.

Plus précisément, pour l'état fondamental (n = 1), on obtient σₓσₚ = ℏ/2 √(π²/3 - 2) ≈ 0,568ℏ, qui est supérieur à ℏ/2. Cette valeur minimale du produit des écarts-types se produit précisément dans l'état fondamental et correspond au cas où l'incertitude est la plus faible possible.

Il est théoriquement possible d'observer des valeurs du produit σₓσₚ supérieures à celles de l'état fondamental en considérant des états quantiques avec des nombres quantiques n plus élevés. Cependant, même dans ce cas, cette quantité reste positive et supérieure à ℏ/2.

Je ne comprends pas clairement comment la notion de "superposition quantique" s'applique ici, car les états propres de position et de momentum forment déjà une base complète de l'espace de Hilbert du système.