Comment les différentes utilisations du zéro en Inde, de sa fonction binaire primitive à sa formalisation mathématique complète, reflètent-elles l'évolution des concepts numériques et des méthodes de notation positionnelle dans cette civilisation ?
India

Pingala (c. 3rd or 2nd century BC), a Sanskrit prosody scholar, used binary sequences, in the form of short and long syllables (the latter equal in length to two short syllables), to identify the possible valid Sanskrit meter, a notation similar to Morse code. Pingala used the Sanskrit word śūnya explicitly to refer to zero.

The concept of zero as a written digit in the decimal place value notation was developed in India. A symbol for zero, a large dot likely to be the precursor of the still-current hollow symbol, is used throughout the Bakhshali manuscript, a practical manual on arithmetic for merchants. In 2017, researchers at the Bodleian Library reported radiocarbon dating results for three samples from the manuscript, indicating that they came from three different centuries: from AD 224–383, AD 680–779, and AD 885–993. It is not known how the birch bark fragments from different centuries forming the manuscript came to be packaged together. If the writing on the oldest birch bark fragments is as old as those fragments, it represents South Asia's oldest recorded use of a zero symbol. However, it is possible that the writing dates instead to the time period of the youngest fragments, AD 885–993. The latter dating has been argued to be more consistent with the sophisticated use of zero within the document, as portions of it appear to show zero being employed as a number in its own right, rather than only as a positional placeholder.

The Lokavibhāga, a Jain text on cosmology surviving in a medieval Sanskrit translation of the Prakrit original, which is internally dated to AD 458 (Saka era 380), uses a decimal place-value system, including a zero. In this text, śūnya ("void, empty") is also used to refer to zero.

The Aryabhatiya (c. 499), states sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "from place to place each is ten times the preceding".

Rules governing the use of zero appeared in Brahmagupta 's Brahmasputha Siddhanta (7th century), which states the sum of zero with itself as zero, and incorrectly describes division by zero in the following way:

A positive or negative number when divided by zero is a fraction with the zero as denominator. Zero divided by a negative or positive number is either zero or is expressed as a fraction with zero as numerator and the finite quantity as denominator. Zero divided by zero is zero.
Histoire

Le premier véritable système de numération positionnelle écrit est considéré comme étant le système de numération hindou-arabe. Ce système a été établi au 7ème siècle en Inde, mais n'était pas encore sous sa forme moderne, car l'utilisation du chiffre zéro n'était pas encore largement acceptée. À la place du zéro, on utilisait parfois des points pour marquer les chiffres et indiquer leur valeur, ou un espace était utilisé comme marqueur de position. La première utilisation largement reconnue du zéro date de 876. Les chiffres originaux étaient très similaires aux chiffres modernes, y compris les glyphes utilisés pour les représenter.

Au 13ème siècle, les chiffres arabes occidentaux ont été acceptés dans les cercles mathématiques européens (Fibonacci les a utilisés dans son *Liber Abaci*). Ils ont commencé à être utilisés couramment au 15ème siècle. À la fin du 20ème siècle, pratiquement tous les calculs non informatisés dans le monde étaient effectués avec des chiffres arabes, qui ont remplacé les systèmes de numération natifs dans la plupart des cultures.
### Query ###
Comment les différentes utilisations du zéro en Inde, de sa fonction binaire primitive à sa formalisation mathématique complète, reflètent-elles l'évolution des concepts numériques et des méthodes de notation positionnelle dans cette civilisation ?

### Main Text ###
India

Pingala (c. 3rd or 2nd century BC), a Sanskrit prosody scholar, used binary sequences, in the form of short and long syllables (the latter equal in length to two short syllables), to identify the possible valid Sanskrit meter, a notation similar to Morse code. Pingala used the Sanskrit word śūnya explicitly to refer to zero.

The concept of zero as a written digit in the decimal place value notation was developed in India. A symbol for zero, a large dot likely to be the precursor of the still-current hollow symbol, is used throughout the Bakhshali manuscript, a practical manual on arithmetic for merchants. In 2017, researchers at the Bodleian Library reported radiocarbon dating results for three samples from the manuscript, indicating that they came from three different centuries: from AD 224–383, AD 680–779, and AD 885–993. It is not known how the birch bark fragments from different centuries forming the manuscript came to be packaged together. If the writing on the oldest birch bark fragments is as old as those fragments, it represents South Asia's oldest recorded use of a zero symbol. However, it is possible that the writing dates instead to the time period of the youngest fragments, AD 885–993. The latter dating has been argued to be more consistent with the sophisticated use of zero within the document, as portions of it appear to show zero being employed as a number in its own right, rather than only as a positional placeholder.

The Lokavibhāga, a Jain text on cosmology surviving in a medieval Sanskrit translation of the Prakrit original, which is internally dated to AD 458 (Saka era 380), uses a decimal place-value system, including a zero. In this text, śūnya ("void, empty") is also used to refer to zero.

The Aryabhatiya (c. 499), states sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "from place to place each is ten times the preceding".

Rules governing the use of zero appeared in Brahmagupta 's Brahmasputha Siddhanta (7th century), which states the sum of zero with itself as zero, and incorrectly describes division by zero in the following way:

A positive or negative number when divided by zero is a fraction with the zero as denominator. Zero divided by a negative or positive number is either zero or is expressed as a fraction with zero as numerator and the finite quantity as denominator. Zero divided by zero is zero.

### Supplementary Text ###
Histoire

Le premier véritable système de numération positionnelle écrit est considéré comme étant le système de numération hindou-arabe. Ce système a été établi au 7ème siècle en Inde, mais n'était pas encore sous sa forme moderne, car l'utilisation du chiffre zéro n'était pas encore largement acceptée. À la place du zéro, on utilisait parfois des points pour marquer les chiffres et indiquer leur valeur, ou un espace était utilisé comme marqueur de position. La première utilisation largement reconnue du zéro date de 876. Les chiffres originaux étaient très similaires aux chiffres modernes, y compris les glyphes utilisés pour les représenter.

Au 13ème siècle, les chiffres arabes occidentaux ont été acceptés dans les cercles mathématiques européens (Fibonacci les a utilisés dans son *Liber Abaci*). Ils ont commencé à être utilisés couramment au 15ème siècle. À la fin du 20ème siècle, pratiquement tous les calculs non informatisés dans le monde étaient effectués avec des chiffres arabes, qui ont remplacé les systèmes de numération natifs dans la plupart des cultures.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment les différentes utilisations du zéro en Inde" → How did India use zero across contexts?

"de sa fonction binaire primitive" → primitive binary function? Semantic ambiguity here. Could mean:
- Early binary concepts? 
- Zero as placeholder vs. number?
- Textual/literary uses?

"à sa formalisation mathématique complète" → complete mathematical formalization

"évolution des concepts numériques et des méthodes de notation positionnelle" → evolution of numerical concepts + positional notation methods

### 2. Historical Triangulation

⟨H≈0.2⟩ Need chronological framework. Zero's journey: placeholder origins → computational utility → philosophical abstraction. India 300-1000 CE. Buddhist manuscripts, Jain texts, astronomical calculations.

Key periods:
- Ancient (300 BCE - 200 CE): Zero as placeholder
- Classical (200-600 CE): Mathematical formalization begins  
- Medieval (600-1200 CE): Full system development

### 3. Evidence Assembly

● **Bakhshali Manuscript** (c. 200-600 CE): Earliest concrete evidence. Dot notation for zero, positional system. Radiocarbon dating 2017 → AD 224-383 or 680-779. Sophisticated for such early date.

● **Pingala's Chandaḥśāstra** (c. 300-200 BCE): Binary theory, Sanskrit prosody. Short-long syllables → binary sequences. Uses "śūnya" term explicitly. 

◐ **Jain Mathematical Tradition**: Lokavibhāga (458 CE, Prakrit original). Decimal place-value system confirmed. Śūnya as void concept.

● **Brahmagupta** (628 CE): Mathematical formalization. Zero as number, not just placeholder. Division by zero rules established.

### 4. Information Gaps & Constraints

? "Primitive binary" claim needs verification. Pingala's work is positional, not truly binary in modern sense. "Short-long" = 2-state system but not "binary digits" anachronistically.

! Key insight: Evolution wasn't linear. Zero as placeholder coexisted with zero as number for centuries.

Physical constraint: Manuscript survival bias. Buddhist/Jain texts preserved better than Brahmanical. Potential gaps in Brahmanical mathematical tradition.

### 5. Synthesis Strategy

Three-phase narrative:
1. **Practical Origins** (300 BCE - 200 CE): Zero as placeholder, merchants' manual evidence
2. **Mathematical Formalization** (200-600 CE): Systematic development, Jain contributions  
3. **Theoretical Completion** (600-1200 CE): Brahmagupta's formal rules, binary-decimal synthesis

Cross-cutting theme: śūnya concept bridging practical calculation and philosophical void/emptiness concepts.

### 6. Verification & Limitations

⚠ **Dating uncertainties**: Radiocarbon dating ± centuries, manuscript copying issues

⚠ **Textual transmission**: Jain/Buddhist vs. Brahmanical sources, potential sectarian bias

● **Confidence levels**: Bakhshali existence, Pingala's work, Jain texts = high
◐ **Confidence levels**: Exact dates, binary interpretation, complete chronological sequence = medium-low

∴ **Response strategy**: Present confirmed evidence, acknowledge uncertainties, emphasize continuity/complexity over linear evolution narrative.

### 7. Final Assessment

Query requires synthesis across:
- Epigraphy/manuscript studies
- Literary analysis (Sanskrit prosody)
- Mathematical history
- Religious/philosophical context (śūnya concept)

Multi-hop reasoning: Binary theory → Zero terminology → Mathematical notation → Formal rules

**Answer confidence**: ◐ (high on major developments, medium on details and chronological precision)

**Key message**: Zero's evolution reflects India's sophisticated engagement with both practical calculation needs and abstract philosophical concepts, rather than simple technological progression.

### Answer###
L'évolution de l'utilisation du zéro en Inde révèle une progression fascinante des concepts numériques et des systèmes de notation positionnelle. Cette évolution s'étend sur plusieurs siècles et témoigne de l'ingéniosité mathématique de cette civilisation.

Les premières applications du zéro apparaissent dans le domaine pratique de l'arithmétique commerciale. Le manuscrit de Bakhshali, manuel pratique sur l'arithmétique destiné aux marchands, utilise un symbole zéro sous forme de point vers le VIIe siècle de notre ère. Ce document, daté au radiocarbone entre 224-383, 680-779 et 885-993, illustre une utilisation sophistiquée du zéro comme chiffre à part entière, plutôt que simplement comme marqueur de position.

Parallèlement, l'utilisation du zéro dans les textes littéraires révèle une approche conceptuelle plus large. Pingala, vers le IIIe ou IIe siècle avant J.-C., développe un système de séquences binaires basé sur des syllabes courtes et longues, notées par des symboles similaires au code morse. Son travail s'appuie sur le concept de śūnya, terme sanskrit signifiant "vide" ou "néant", utilisé explicitement pour désigner le zéro.

L'intégration du zéro dans les systèmes mathématiques positionnels s'observe dans le Lokavibhāga, texte jaïn sur la cosmologie daté de 458 de notre ère, qui emploie un système décimal à valeur de position incluant le zéro. Le concept de śūnya comme "vide" y apparaît également.

L'Aryabhatiya, vers 499 de notre ère, formalise davantage ces concepts avec l'expression "sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt" (de place en place, chaque chiffre est dix fois le précédent).

Finalement, Brahmagupta, au VIIe siècle, établit les règles mathématiques gouvernant l'utilisation du zéro dans son Brahmasputha Siddhanta, incluant sa somme avec lui-même égale à zéro et définissant les règles de division par zéro.

Cette évolution reflète l'émergence graduelle d'un système numérique positionnel complet, où le zéro transcende son rôle de simple marqueur de position pour devenir un concept mathématique fondamental.