Comment ça se fait que le mouvement circulaire crée une accélération alors que la vitesse reste constante, alors que dans le mouvement rectiligne, pas d'accélération quand la vitesse est stable ?
Example: circular motion

For example, consider a particle moving in a circular path. Its position is given by the displacement vector r = x ı ^ + y ȷ ^ {\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}, related to the angle, θ, and radial distance, r, as defined in the figure:

For this example, we assume that θ = t. Hence, the displacement (position) at any time t is given by

This form shows the motion described by r (t) is in a circle of radius r because the magnitude of r (t) is given by

using the trigonometric identity sin (t) + cos (t) = 1 and where ⋅ {\displaystyle \cdot } is the usual Euclidean dot product.

With this form for the displacement, the velocity now is found. The time derivative of the displacement vector is the velocity vector. In general, the derivative of a vector is a vector made up of components each of which is the derivative of the corresponding component of the original vector. Thus, in this case, the velocity vector is:

Thus the velocity of the particle is nonzero even though the magnitude of the position (that is, the radius of the path) is constant. The velocity is directed perpendicular to the displacement, as can be established using the dot product:

Acceleration is then the time-derivative of velocity:

The acceleration is directed inward, toward the axis of rotation. It points opposite to the position vector and perpendicular to the velocity vector. This inward-directed acceleration is called centripetal acceleration.
Mouvement circulaire

Dans un mouvement circulaire uniforme, c'est-à-dire un mouvement à vitesse constante le long d'une trajectoire circulaire, une particule subit une accélération résultant du changement de direction du vecteur vitesse, tandis que sa magnitude reste constante. La dérivée de la position d'un point sur une courbe par rapport au temps, c'est-à-dire sa vitesse, s'avère toujours exactement tangente à la courbe, et orthogonal au rayon en ce point. Puisque, dans un mouvement uniforme, la vitesse dans la direction tangentielle ne change pas, l'accélération doit être dans la direction radiale, pointant vers le centre du cercle. Cette accélération modifie constamment la direction de la vitesse pour qu'elle soit tangente au point voisin, faisant ainsi tourner le vecteur vitesse le long du cercle.

L'expression du vecteur accélération centripète en coordonnées polaires, où r est un vecteur allant du centre du cercle à la particule avec une magnitude égale à cette distance, et en considérant l'orientation de l'accélération vers le centre, donne a<sub>c</sub> = - v<sup>2</sup> / |r| ⋅ (r / |r|).

Comme d'habitude dans les rotations, la vitesse v d'une particule peut être exprimée comme une vitesse angulaire par rapport à un point à la distance r, telle que ω = v / r.

Ainsi, a<sub>c</sub> = - ω<sup>2</sup> r.

Cette accélération et la masse de la particule déterminent la force centripète nécessaire, dirigée vers le centre du cercle, comme force nette agissant sur cette particule pour la maintenir dans ce mouvement circulaire uniforme. La fameuse « force centrifuge », qui semble agir vers l'extérieur sur le corps, est une pseudo-force ressentie dans le référentiel du corps en mouvement circulaire, due à son moment linéaire, un vecteur tangent au cercle de mouvement.

Dans un mouvement circulaire non uniforme, c'est-à-dire lorsque la vitesse le long de la courbe change, l'accélération a une composante tangentielle non nulle et n'est pas confinée à la normale principale, qui pointe vers le centre du cercle osculateur, qui détermine le rayon r pour l'accélération centripète. La composante tangentielle est donnée par l'accélération angulaire α, c'est-à-dire le taux de variation α = ω̇ de la vitesse angulaire ω multiplié par le rayon r. C'est-à-dire, a<sub>t</sub> = r α.

Le signe de la composante tangentielle de l'accélération est déterminé par le signe de l'accélération angulaire (α), et la tangente est toujours dirigée à angle droit par rapport au vecteur rayon.
### Query ###
Comment ça se fait que le mouvement circulaire crée une accélération alors que la vitesse reste constante, alors que dans le mouvement rectiligne, pas d'accélération quand la vitesse est stable ?

### Main Text ###
Example: circular motion

For example, consider a particle moving in a circular path. Its position is given by the displacement vector r = x ı ^ + y ȷ ^ {\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}, related to the angle, θ, and radial distance, r, as defined in the figure:

For this example, we assume that θ = t. Hence, the displacement (position) at any time t is given by

This form shows the motion described by r (t) is in a circle of radius r because the magnitude of r (t) is given by

using the trigonometric identity sin (t) + cos (t) = 1 and where ⋅ {\displaystyle \cdot } is the usual Euclidean dot product.

With this form for the displacement, the velocity now is found. The time derivative of the displacement vector is the velocity vector. In general, the derivative of a vector is a vector made up of components each of which is the derivative of the corresponding component of the original vector. Thus, in this case, the velocity vector is:

Thus the velocity of the particle is nonzero even though the magnitude of the position (that is, the radius of the path) is constant. The velocity is directed perpendicular to the displacement, as can be established using the dot product:

Acceleration is then the time-derivative of velocity:

The acceleration is directed inward, toward the axis of rotation. It points opposite to the position vector and perpendicular to the velocity vector. This inward-directed acceleration is called centripetal acceleration.

### Supplementary Text ###
Mouvement circulaire

Dans un mouvement circulaire uniforme, c'est-à-dire un mouvement à vitesse constante le long d'une trajectoire circulaire, une particule subit une accélération résultant du changement de direction du vecteur vitesse, tandis que sa magnitude reste constante. La dérivée de la position d'un point sur une courbe par rapport au temps, c'est-à-dire sa vitesse, s'avère toujours exactement tangente à la courbe, et orthogonal au rayon en ce point. Puisque, dans un mouvement uniforme, la vitesse dans la direction tangentielle ne change pas, l'accélération doit être dans la direction radiale, pointant vers le centre du cercle. Cette accélération modifie constamment la direction de la vitesse pour qu'elle soit tangente au point voisin, faisant ainsi tourner le vecteur vitesse le long du cercle.

L'expression du vecteur accélération centripète en coordonnées polaires, où r est un vecteur allant du centre du cercle à la particule avec une magnitude égale à cette distance, et en considérant l'orientation de l'accélération vers le centre, donne a<sub>c</sub> = - v<sup>2</sup> / |r| ⋅ (r / |r|).

Comme d'habitude dans les rotations, la vitesse v d'une particule peut être exprimée comme une vitesse angulaire par rapport à un point à la distance r, telle que ω = v / r.

Ainsi, a<sub>c</sub> = - ω<sup>2</sup> r.

Cette accélération et la masse de la particule déterminent la force centripète nécessaire, dirigée vers le centre du cercle, comme force nette agissant sur cette particule pour la maintenir dans ce mouvement circulaire uniforme. La fameuse « force centrifuge », qui semble agir vers l'extérieur sur le corps, est une pseudo-force ressentie dans le référentiel du corps en mouvement circulaire, due à son moment linéaire, un vecteur tangent au cercle de mouvement.

Dans un mouvement circulaire non uniforme, c'est-à-dire lorsque la vitesse le long de la courbe change, l'accélération a une composante tangentielle non nulle et n'est pas confinée à la normale principale, qui pointe vers le centre du cercle osculateur, qui détermine le rayon r pour l'accélération centripète. La composante tangentielle est donnée par l'accélération angulaire α, c'est-à-dire le taux de variation α = ω̇ de la vitesse angulaire ω multiplié par le rayon r. C'est-à-dire, a<sub>t</sub> = r α.

Le signe de la composante tangentielle de l'accélération est déterminé par le signe de l'accélération angulaire (α), et la tangente est toujours dirigée à angle droit par rapport au vecteur rayon.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait que le mouvement circulaire crée une accélération alors que la vitesse reste constante"

Key contradiction to resolve: circular motion → acceleration AND constant speed.

French "accélération" = acceleration (vector quantity). User conflating magnitude vs direction?

? Translation nuance: "vitesse reste constante" = magnitude constant, but direction changes.

### 2. Initial Resolution Path

Circular motion → velocity direction changes continuously.
∴ Acceleration present even if speed |v| = constant.

Classical example: object on turntable, radius R.
Position: r(t) = R cos(ωt)î + R sin(ωt)ĵ
Velocity: v(t) = -Rω sin(ωt)î + Rω cos(ωt)ĵ
→ |v| = Rω (constant) but direction rotates

### 3. Mathematical Foundation

⟨H≈0.2⟩ Standard circular motion analysis. Position vector r(t) traces circle. Velocity v(t) = dr/dt tangent to circle. Acceleration a(t) = dv/dt.

Key insight: a(t) = dv/dt ≠ 0 even when |v| constant.

Centripetal acceleration: a_c = v²/R = ω²R (magnitude)
Direction: radially inward, always perpendicular to v

### 4. Rectilinear Case Comparison

Rectilinear motion: v(t) = constant → dv/dt = 0
∴ No acceleration (a = 0)

Even if speed changes (|v| varies), direction fixed → tangential acceleration only.

### 5. Physical Intuition

Circular motion forces continuous direction change.
→ Velocity vector "sweeps" circle boundary
→ Acceleration emerges from geometric necessity

⟨H≈0.5⟩ Think of object on rotating platform. At each instant, velocity must be tangent to circle. Platform edge forces instantaneous direction change. Centripetal force provides centripetal acceleration. No choice - geometry demands it.

### 6. Synthesis

Circular motion creates acceleration because:
- Velocity direction changes continuously  
- Even constant magnitude velocity → changing direction
- dv/dt ≠ 0 → acceleration present
- Centripetal acceleration: a_c = v²/R = ω²R
- Direction: inward, perpendicular to velocity
- Rectilinear case: dv/dt = 0 → no acceleration

∴ Apparent paradox resolved: constant speed doesn't preclude acceleration when direction changes.

NB: User's intuition correct - acceleration feels "wrong" for constant speed. But vector nature of velocity makes this geometrically inevitable.

### Answer###
Le mouvement circulaire crée effectivement une accélération même quand la vitesse de magnitude reste constante, car l'accélération ne dépend pas que de la magnitude de la vitesse mais aussi de sa direction.

Dans le mouvement circulaire uniforme, où la vitesse reste constante en magnitude le long de la trajectoire circulaire, une particule subit une accélération résultant du changement continu de direction du vecteur vitesse. Bien que la magnitude de la position (le rayon du cercle) reste constante, la vitesse est dirigée perpendiculairement au déplacement et change constamment de direction pour rester tangente au point voisin de la trajectoire.

Cette accélération centripète est donnée par la formule a = -v²/r ou a = -ω²r, où v est la vitesse tangentielle et ω est la vitesse angulaire. Elle est dirigée vers l'intérieur, vers l'axe de rotation, et pointe toujours dans la direction opposée au vecteur position.

Contrairement au mouvement rectiligne uniforme, où la vitesse est constante en magnitude et direction, le mouvement circulaire nécessite cette accélération centripète pour maintenir la particule en mouvement circulaire. Cette accélération modifie constamment la direction de la vitesse pour qu'elle soit tangente au cercle à chaque instant, créant ainsi le mouvement circulaire.

En résumé, même si la magnitude de la vitesse reste constante, le changement continu de direction de la vitesse crée une accélération centripète non nulle qui est caractéristique du mouvement circulaire.