Si on prend une fonction bijective f et qu'on limite son domaine à un sous-ensemble, est-ce qu'on peut prédire comment son inverse va se comporter, et est-ce que ça va changer quelque chose à sa stabilité ?
In mathematics, the inverse function of a function f (also called the inverse of f) is a function that undoes the operation of f. The inverse of f exists if and only if f is bijective, and if it exists, is denoted by f − 1. {\displaystyle f^{-1}.}

For a function f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}, its inverse f − 1: Y → X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} admits an explicit description: it sends each element y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} to the unique element x ∈ X {\displaystyle x\in X} such that f (x) = y.

As an example, consider the real-valued function of a real variable given by f (x) = 5 x − 7. One can think of f as the function which multiplies its input by 5 then subtracts 7 from the result. To undo this, one adds 7 to the input, then divides the result by 5. Therefore, the inverse of f is the function f − 1: R → R {\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } defined by f − 1 (y) = y + 7 5. {\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}
Les inverses

Une bijection f avec domaine X (indiquée par f : X → Y en notation fonctionnelle) définit également une relation inverse partant de Y et allant vers X (en inversant les flèches). Le processus de « retournement des flèches » pour une fonction arbitraire ne donne généralement pas une fonction, mais les propriétés (3) et (4) d'une bijection indiquent que cette relation inverse est une fonction avec domaine Y. De plus, les propriétés (1) et (2) affirment alors que cette fonction inverse est une surjection et une injection, c'est-à-dire que la fonction inverse existe et est également une bijection. Les fonctions qui ont des fonctions inverses sont dites inversibles. Une fonction est inversible si et seulement si elle est une bijection.

Exprimé de manière concise en notation mathématique, une fonction f : X → Y est bijective si et seulement si elle satisfait la condition

En reprenant l'exemple de l'alignement des frappeurs, la fonction qui est définie prend comme entrée le nom d'un des joueurs et renvoie la position de ce joueur dans l'ordre de frappe. Puisque cette fonction est une bijection, elle a une fonction inverse qui prend comme entrée une position dans l'ordre de frappe et renvoie le joueur qui frappera à cette position.
### Query ###
Si on prend une fonction bijective f et qu'on limite son domaine à un sous-ensemble, est-ce qu'on peut prédire comment son inverse va se comporter, et est-ce que ça va changer quelque chose à sa stabilité ?

### Main Text ###
In mathematics, the inverse function of a function f (also called the inverse of f) is a function that undoes the operation of f. The inverse of f exists if and only if f is bijective, and if it exists, is denoted by f − 1. {\displaystyle f^{-1}.}

For a function f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}, its inverse f − 1: Y → X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} admits an explicit description: it sends each element y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} to the unique element x ∈ X {\displaystyle x\in X} such that f (x) = y.

As an example, consider the real-valued function of a real variable given by f (x) = 5 x − 7. One can think of f as the function which multiplies its input by 5 then subtracts 7 from the result. To undo this, one adds 7 to the input, then divides the result by 5. Therefore, the inverse of f is the function f − 1: R → R {\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } defined by f − 1 (y) = y + 7 5. {\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}

### Supplementary Text ###
Les inverses

Une bijection f avec domaine X (indiquée par f : X → Y en notation fonctionnelle) définit également une relation inverse partant de Y et allant vers X (en inversant les flèches). Le processus de « retournement des flèches » pour une fonction arbitraire ne donne généralement pas une fonction, mais les propriétés (3) et (4) d'une bijection indiquent que cette relation inverse est une fonction avec domaine Y. De plus, les propriétés (1) et (2) affirment alors que cette fonction inverse est une surjection et une injection, c'est-à-dire que la fonction inverse existe et est également une bijection. Les fonctions qui ont des fonctions inverses sont dites inversibles. Une fonction est inversible si et seulement si elle est une bijection.

Exprimé de manière concise en notation mathématique, une fonction f : X → Y est bijective si et seulement si elle satisfait la condition

En reprenant l'exemple de l'alignement des frappeurs, la fonction qui est définie prend comme entrée le nom d'un des joueurs et renvoie la position de ce joueur dans l'ordre de frappe. Puisque cette fonction est une bijection, elle a une fonction inverse qui prend comme entrée une position dans l'ordre de frappe et renvoie le joueur qui frappera à cette position.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Si on prend une fonction bijective f et qu'on limite son domaine à un sous-ensemble"

Key components: bijective function f, domain restriction to subset.

Core question: domain restriction → inverse behavior prediction? Stability changes?

Translation nuance: "prédire" = predict/foresee. "stabilité" = stability/robustness.

### 2. Mathematical Context Assessment

This is pure bijections theory. No cross-domain knowledge needed.

● Core theorem: f bijective ⟺ f has unique inverse f⁻¹
● Restriction creates new function f|S with domain S ⊆ dom(f)

But inverse behavior? Need careful analysis.

### 3. Restriction Analysis

Let f: X → Y be bijective.
Restricted: g = f|S for some S ⊆ X.

Question: What happens to g⁻¹?

⟨H≈0.2⟩ Simple cases first. If S = X, g = f, nothing changes. If S ⊂ X, more complex. Restriction "loses" information, but bijection property preserved on S.

### 4. Inverse Behavior Prediction

**Existence:** Always guaranteed if f bijective.
**Form:** g⁻¹ = f⁻¹|S (restricted to range(g))
**Stability:** Inverse remains unique, bijective.

Key insight: ! Restriction preserves injectivity/surjectivity when domain properly contained.

∴ Inverse behavior predictable: restricted inverse exists, unique, bijective.

### 5. Stability Assessment

"Stabilité" interpretation:
- Numerical stability? ≈ unchanged
- Computational complexity? May increase (more operations)
- Qualitative properties? Preserved (injective, surjective)

**Domain restriction effects:**
- Computational: ○ may vary
- Theoretical properties: ● guaranteed preservation
- Range: ⚠ may need adjustment

### 6. Counter-Intuitive Cases

Consider f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x
Restricted to S = [0,∞)
→ g(x) = 2x|S
→ g⁻¹(y) = y/2 (but only for y ≥ 0)

! Inverse restriction can have different domain than original!

### 7. Final Synthesis

**Prediction:** Domain restriction → predictable inverse behavior
**Stability:** ● High - inverse properties preserved
**Caveat:** Range/domain may need adjustment

The bijection property is **invariant** under domain restriction when the restriction is proper subset.

∴ Inverse behavior completely predictable, theoretically stable.

### Answer###
Lorsqu'on applique une restriction de domaine à une fonction bijective f, le comportement de l'inverse ainsi que sa stabilité présentent des caractéristiques mathématiques bien définies.

Une fonction bijective f possède toujours une fonction inverse unique f⁻¹, qui existe uniquement parce que f est bijective. Cette propriété est fondamentale : une fonction possède une inverse si et seulement si elle est bijective.

Lorsque vous restreignez le domaine de f à un sous-ensemble, vous créez une nouvelle fonction qui est également bijective sur son domaine restreint. Cette restriction conserve les propriétés essentielles de bijection et garantit l'existence d'une inverse.

Concernant la stabilité, la restriction du domaine n'affecte pas l'existence d'une inverse : la fonction restreinte reste bijective et conserve sa propriété d'avoir une inverse unique. L'inverse de la fonction restreinte peut simplement être décrite comme la restriction de l'inverse de la fonction originale.

Cependant, il convient de noter que cette restriction peut modifier le comportement de l'inverse en termes de domaine et de plage. Par exemple, si vous restreignez une fonction continue à un intervalle fermé, l'inverse restreint héritera des propriétés de continuité de l'original sur cet intervalle.

En résumé, la restriction du domaine d'une fonction bijective préserve la possibilité d'avoir une inverse et cette inverse reste stable en termes de propriétés fondamentales.