L'intuitionnisme inclut-il la loi du tiers exclu dans ses principes fondamentaux ?
Intuitionistic logic

When used as a foundation, certain types are interpreted to be propositions (statements that can be proven), and terms inhabiting the type are interpreted to be proofs of that proposition. When some types are interpreted as propositions, there is a set of common types that can be used to connect them to make a Boolean algebra out of types. However, the logic is not classical logic but intuitionistic logic, which is to say it does not have the law of excluded middle nor double negation.

Under this intuitionistic interpretation, there are common types that act as the logical operators:

Because the law of excluded middle does not hold, there is no term of type Π a. A + (A → ⊥) {\displaystyle \Pi a.A+(A\to \bot)}. Likewise, double negation does not hold, so there is no term of type Π A. ((A → ⊥) → ⊥) → A {\displaystyle \Pi A.((A\to \bot)\to \bot)\to A}.

It is possible to include the law of excluded middle and double negation into a type theory, by rule or assumption. However, terms may not compute down to canonical terms and it will interfere with the ability to determine if two terms are judgementally equal to each other.
Le constructivisme mathématique

En sémantique de la logique classique, les formules propositionnelles sont dotées de valeurs de vérité issues de l'ensemble à deux éléments { ⊤, ⊥ } ("vrai" et "faux" respectivement), indépendamment du fait que nous ayons ou non des preuves directes pour l'un ou l'autre cas. Ceci est appelé la « loi du tiers exclu », car elle exclut la possibilité de toute valeur de vérité autre que "vrai" ou "faux". Au contraire, en logique intuitionniste, les formules propositionnelles ne sont pas dotées d'une valeur de vérité définie et ne sont considérées comme "vraies" que lorsque nous avons une preuve directe. (On peut aussi dire, au lieu que la formule propositionnelle est "vraie" en raison d'une preuve directe, qu'elle est peuplée d'une preuve au sens de Curry–Howard.) Les opérations en logique intuitionniste préservent donc la justification, par rapport aux preuves et à la prouvabilité, plutôt que la valeur de vérité.

La logique intuitionniste est un outil couramment utilisé pour développer des approches du constructivisme en mathématiques. L'utilisation des logiques constructivistes en général a été un sujet controversé parmi les mathématiciens et les philosophes (voir, par exemple, la controverse Brouwer–Hilbert). Une objection courante à leur utilisation est l'absence, mentionnée ci-dessus, de deux règles centrales de la logique classique : la loi du tiers exclu et l'élimination de la double négation. David Hilbert les considérait comme si importantes pour la pratique des mathématiques qu'il a écrit :

La logique intuitionniste a trouvé une utilisation pratique en mathématiques malgré les difficultés posées par l'incapacité d'utiliser ces règles. L'une des raisons de cela est que ses restrictions produisent des preuves qui ont la propriété d'existence, ce qui les rend également adaptées à d'autres formes de constructivisme mathématique. Informellement, cela signifie que si une preuve constructive démontre l'existence d'un objet, cette preuve constructive peut être utilisée comme un algorithme pour générer un exemple de cet objet, un principe connu sous le nom de correspondance Curry–Howard entre preuves et algorithmes. L'une des raisons pour lesquelles cet aspect particulier de la logique intuitionniste est si précieux est qu'il permet aux praticiens d'utiliser une large gamme d'outils informatisés, appelés assistants de preuve. Ces outils aident leurs utilisateurs à générer et à vérifier des preuves à grande échelle, dont la taille exclut généralement la vérification manuelle habituelle qui accompagne la publication et l'examen d'une preuve mathématique. Ainsi, l'utilisation d'assistants de preuve (tels qu'Agda ou Coq) permet aux mathématiciens et logiciens modernes de développer et de prouver des systèmes extrêmement complexes, au-delà de ce qui est réalisable à créer et à vérifier uniquement à la main. Un exemple de preuve qui était impossible à vérifier de manière satisfaisante sans vérification formelle est la célèbre preuve du théorème des quatre couleurs. Ce théorème a dérouté les mathématiciens pendant plus d'un siècle, jusqu'à ce qu'une preuve soit développée qui élimine de vastes classes de contre-exemples possibles, tout en laissant suffisamment de possibilités pour qu'un programme informatique soit nécessaire pour terminer la preuve. Cette preuve a été controversée pendant un certain temps, mais, plus tard, elle a été vérifiée à l'aide de Coq.
### Query ###
L'intuitionnisme inclut-il la loi du tiers exclu dans ses principes fondamentaux ?

### Main Text ###
Intuitionistic logic

When used as a foundation, certain types are interpreted to be propositions (statements that can be proven), and terms inhabiting the type are interpreted to be proofs of that proposition. When some types are interpreted as propositions, there is a set of common types that can be used to connect them to make a Boolean algebra out of types. However, the logic is not classical logic but intuitionistic logic, which is to say it does not have the law of excluded middle nor double negation.

Under this intuitionistic interpretation, there are common types that act as the logical operators:

Because the law of excluded middle does not hold, there is no term of type Π a. A + (A → ⊥) {\displaystyle \Pi a.A+(A\to \bot)}. Likewise, double negation does not hold, so there is no term of type Π A. ((A → ⊥) → ⊥) → A {\displaystyle \Pi A.((A\to \bot)\to \bot)\to A}.

It is possible to include the law of excluded middle and double negation into a type theory, by rule or assumption. However, terms may not compute down to canonical terms and it will interfere with the ability to determine if two terms are judgementally equal to each other.

### Supplementary Text ###
Le constructivisme mathématique

En sémantique de la logique classique, les formules propositionnelles sont dotées de valeurs de vérité issues de l'ensemble à deux éléments { ⊤, ⊥ } ("vrai" et "faux" respectivement), indépendamment du fait que nous ayons ou non des preuves directes pour l'un ou l'autre cas. Ceci est appelé la « loi du tiers exclu », car elle exclut la possibilité de toute valeur de vérité autre que "vrai" ou "faux". Au contraire, en logique intuitionniste, les formules propositionnelles ne sont pas dotées d'une valeur de vérité définie et ne sont considérées comme "vraies" que lorsque nous avons une preuve directe. (On peut aussi dire, au lieu que la formule propositionnelle est "vraie" en raison d'une preuve directe, qu'elle est peuplée d'une preuve au sens de Curry–Howard.) Les opérations en logique intuitionniste préservent donc la justification, par rapport aux preuves et à la prouvabilité, plutôt que la valeur de vérité.

La logique intuitionniste est un outil couramment utilisé pour développer des approches du constructivisme en mathématiques. L'utilisation des logiques constructivistes en général a été un sujet controversé parmi les mathématiciens et les philosophes (voir, par exemple, la controverse Brouwer–Hilbert). Une objection courante à leur utilisation est l'absence, mentionnée ci-dessus, de deux règles centrales de la logique classique : la loi du tiers exclu et l'élimination de la double négation. David Hilbert les considérait comme si importantes pour la pratique des mathématiques qu'il a écrit :

La logique intuitionniste a trouvé une utilisation pratique en mathématiques malgré les difficultés posées par l'incapacité d'utiliser ces règles. L'une des raisons de cela est que ses restrictions produisent des preuves qui ont la propriété d'existence, ce qui les rend également adaptées à d'autres formes de constructivisme mathématique. Informellement, cela signifie que si une preuve constructive démontre l'existence d'un objet, cette preuve constructive peut être utilisée comme un algorithme pour générer un exemple de cet objet, un principe connu sous le nom de correspondance Curry–Howard entre preuves et algorithmes. L'une des raisons pour lesquelles cet aspect particulier de la logique intuitionniste est si précieux est qu'il permet aux praticiens d'utiliser une large gamme d'outils informatisés, appelés assistants de preuve. Ces outils aident leurs utilisateurs à générer et à vérifier des preuves à grande échelle, dont la taille exclut généralement la vérification manuelle habituelle qui accompagne la publication et l'examen d'une preuve mathématique. Ainsi, l'utilisation d'assistants de preuve (tels qu'Agda ou Coq) permet aux mathématiciens et logiciens modernes de développer et de prouver des systèmes extrêmement complexes, au-delà de ce qui est réalisable à créer et à vérifier uniquement à la main. Un exemple de preuve qui était impossible à vérifier de manière satisfaisante sans vérification formelle est la célèbre preuve du théorème des quatre couleurs. Ce théorème a dérouté les mathématiciens pendant plus d'un siècle, jusqu'à ce qu'une preuve soit développée qui élimine de vastes classes de contre-exemples possibles, tout en laissant suffisamment de possibilités pour qu'un programme informatique soit nécessaire pour terminer la preuve. Cette preuve a été controversée pendant un certain temps, mais, plus tard, elle a été vérifiée à l'aide de Coq.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"L'intuitionnisme inclut-il la loi du tiers exclu dans ses principes fondamentaux ?"

Key terms: 
- *intuitionnisme* = intuitionism (philosophical school)
- *loi du tiers exclu* = law of excluded middle (LEM)
- *principes fondamentaux* = fundamental principles

Translation concern: French "inclut" (includes) vs. "exclut" (excludes) - semantic precision critical.

Task type: Information retrieval + logical synthesis. Need to establish:
☐ Intuitionist logical foundations
☐ Classical vs intuitionist systems  
☐ Historical context (Brouwer, Heyting)
☐ Technical implications

### 2. Intuitionist Foundation Check

⟨H≈0.3⟩ Intuitionism emerged early 20th century. Brouwer's intuition about mathematical objects - only those constructions we can effectively perform. Heyting formalized this → intuitionist logic. Core principle: only constructively provable statements have meaning.

Classical logic includes LEM: ∀x (P(x) ∨ ¬P(x)).
Intuitionist logic excludes this axiomatically.

● High confidence: Intuitionism excludes LEM as fundamental principle.

### 3. Verification Through Contrapositive

If intuitionism included LEM → would contradict its constructive foundations.

Proof sketch:
```
LEM allows: ∀x (constructible ∨ ¬constructible)
But intuitionist rejects ¬constructible as meaningless
∴ No contradiction
```

Logical constraint: LEM inclusion would undermine intuitionist rejection of unconstructible negations.

### 4. Technical Implications

Without LEM in intuitionist logic:
- Classical proof techniques fail
- ¬¬P ≠ P (double negation elimination fails)  
- ∃x.P(x) ↔ ¬∀x.¬P(x) breaks down
- Disjunctive syllogism limited

⟨H≈0.8⟩ The exclusion creates fascinating tension - mathematics becomes process, not just truth-value assignment. What we can prove constructively becomes more precious, more real. The excluded middle becomes... excluded.

### 5. Counter-Evidence Check

? Could intuitionism include LEM while maintaining coherence?

No. Would require:
- Reject constructive interpretation
- Accept meaningless statements  
- Abandon algorithmic content
- Return to classical foundation

Historical evidence: Brouwer explicitly rejected classical principles. ● Confirmed.

### 6. Synthesis

∴ Intuitionism systematically excludes LEM from fundamental principles.

This exclusion:
☑ Reflects constructive foundation
☑ Enables computational interpretation  
☑ Maintains logical consistency
☑ Distinguishes from classical logic

The fundamental principles of intuitionism exclude the law of excluded middle precisely because intuitionism is defined by what it excludes from classical logic - the non-constructive, the unprovable, the merely consistent rather than the constructively valid.

**Answer: No, intuitionism does not include the law of excluded middle in its fundamental principles.**

The exclusion is essential to intuitionist identity as constructive, algorithmic, and fundamentally different from classical mathematical foundations.

### Answer###
Non, l'intuitionnisme n'inclut pas la loi du tiers exclu dans ses principes fondamentaux.

L'intuitionnisme constitue une logique différente de la logique classique. Contrairement à la logique classique qui inclut la loi du tiers exclu, l'intuitionnisme ne l'accepte pas comme principe fondamental. Cette exclusion de la loi du tiers exclu caractérise précisément l'intuitionnisme et le distingue de la logique classique.

Cette absence de la loi du tiers exclu s'accompagne d'autres différences logiques fondamentales, notamment l'absence d'élimination de la double négation. L'interprétation intuitionniste des types et des propositions reflète cette approche logique constructiviste, où seules les propositions pouvant être directement prouvées sont considérées comme valides.

Cette exclusion des principes classiques a des implications importantes pour la pratique mathématique, rendant possible certaines preuves constructives qui ne seraient pas admissibles dans un cadre logique classique, mais au prix de limitations dans l'utilisation de certains outils de raisonnement classiques.