Pourquoi les points A, V, P, K, B, C, M et F sont tous dans le même plan mais pas D et E ?
Diagram, description, and definitions

The diagram represents a cone with its axis AV. The point A is its apex. An inclined cross-section of the cone, shown in pink, is inclined from the axis by the same angle θ, as the side of the cone. According to the definition of a parabola as a conic section, the boundary of this pink cross-section EPD is a parabola.

A cross-section perpendicular to the axis of the cone passes through the vertex P of the parabola. This cross-section is circular, but appears elliptical when viewed obliquely, as is shown in the diagram. Its centre is V, and PK is a diameter. We will call its radius r.

Another perpendicular to the axis, circular cross-section of the cone is farther from the apex A than the one just described. It has a chord DE, which joins the points where the parabola intersects the circle. Another chord BC is the perpendicular bisector of DE and is consequently a diameter of the circle. These two chords and the parabola's axis of symmetry PM all intersect at the point M.

All the labelled points, except D and E, are coplanar. They are in the plane of symmetry of the whole figure. This includes the point F, which is not mentioned above. It is defined and discussed below, in § Position of the focus.

Let us call the length of DM and of EM x, and the length of PM y.
Lignes et plans

Deux points distincts déterminent toujours une (droite). Trois points distincts sont soit colinéaires, soit déterminent un plan unique. D'autre part, quatre points distincts peuvent être colinéaires, coplanaires, ou déterminer tout l'espace.

Deux droites distinctes peuvent se croiser, être parallèles, ou être non coplanaires (ou obliques). Deux droites parallèles, ou deux droites qui se coupent, se trouvent dans un plan unique, donc les droites non coplanaires sont des droites qui ne se rencontrent pas et ne se trouvent pas dans un plan commun.

Deux plans distincts peuvent se rencontrer en une droite commune ou sont parallèles (c'est-à-dire qu'ils ne se rencontrent pas). Trois plans distincts, dont aucune paire n'est parallèle, peuvent se rencontrer en une droite commune, se rencontrer en un point commun unique, ou ne pas avoir de point commun. Dans le dernier cas, les trois droites d'intersection de chaque paire de plans sont mutuellement parallèles.

Une droite peut se trouver dans un plan donné, intersecter ce plan en un point unique, ou être parallèle au plan. Dans ce dernier cas, il y aura des droites dans le plan qui sont parallèles à la droite donnée.

Un hyperplan est un sous-espace d'une dimension inférieure à la dimension de l'espace complet. Les hyperplans d'un espace tridimensionnel sont les sous-espaces bidimensionnels, c'est-à-dire les plans. En termes de coordonnées cartésiennes, les points d'un hyperplan satisfont une seule équation linéaire, donc les plans dans cet espace 3D sont décrits par des équations linéaires. Une droite peut être décrite par une paire d'équations linéaires indépendantes – chacune représentant un plan ayant cette droite comme intersection commune.

Le théorème de Varignon stipule que les milieux de n'importe quel quadrilatère dans R 3 forment un parallélogramme, et sont donc coplanaires.
### Query ###
Pourquoi les points A, V, P, K, B, C, M et F sont tous dans le même plan mais pas D et E ?

### Main Text ###
Diagram, description, and definitions

The diagram represents a cone with its axis AV. The point A is its apex. An inclined cross-section of the cone, shown in pink, is inclined from the axis by the same angle θ, as the side of the cone. According to the definition of a parabola as a conic section, the boundary of this pink cross-section EPD is a parabola.

A cross-section perpendicular to the axis of the cone passes through the vertex P of the parabola. This cross-section is circular, but appears elliptical when viewed obliquely, as is shown in the diagram. Its centre is V, and PK is a diameter. We will call its radius r.

Another perpendicular to the axis, circular cross-section of the cone is farther from the apex A than the one just described. It has a chord DE, which joins the points where the parabola intersects the circle. Another chord BC is the perpendicular bisector of DE and is consequently a diameter of the circle. These two chords and the parabola's axis of symmetry PM all intersect at the point M.

All the labelled points, except D and E, are coplanar. They are in the plane of symmetry of the whole figure. This includes the point F, which is not mentioned above. It is defined and discussed below, in § Position of the focus.

Let us call the length of DM and of EM x, and the length of PM y.

### Supplementary Text ###
Lignes et plans

Deux points distincts déterminent toujours une (droite). Trois points distincts sont soit colinéaires, soit déterminent un plan unique. D'autre part, quatre points distincts peuvent être colinéaires, coplanaires, ou déterminer tout l'espace.

Deux droites distinctes peuvent se croiser, être parallèles, ou être non coplanaires (ou obliques). Deux droites parallèles, ou deux droites qui se coupent, se trouvent dans un plan unique, donc les droites non coplanaires sont des droites qui ne se rencontrent pas et ne se trouvent pas dans un plan commun.

Deux plans distincts peuvent se rencontrer en une droite commune ou sont parallèles (c'est-à-dire qu'ils ne se rencontrent pas). Trois plans distincts, dont aucune paire n'est parallèle, peuvent se rencontrer en une droite commune, se rencontrer en un point commun unique, ou ne pas avoir de point commun. Dans le dernier cas, les trois droites d'intersection de chaque paire de plans sont mutuellement parallèles.

Une droite peut se trouver dans un plan donné, intersecter ce plan en un point unique, ou être parallèle au plan. Dans ce dernier cas, il y aura des droites dans le plan qui sont parallèles à la droite donnée.

Un hyperplan est un sous-espace d'une dimension inférieure à la dimension de l'espace complet. Les hyperplans d'un espace tridimensionnel sont les sous-espaces bidimensionnels, c'est-à-dire les plans. En termes de coordonnées cartésiennes, les points d'un hyperplan satisfont une seule équation linéaire, donc les plans dans cet espace 3D sont décrits par des équations linéaires. Une droite peut être décrite par une paire d'équations linéaires indépendantes – chacune représentant un plan ayant cette droite comme intersection commune.

Le théorème de Varignon stipule que les milieux de n'importe quel quadrilatère dans R 3 forment un parallélogramme, et sont donc coplanaires.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi les points A, V, P, K, B, C, M et F sont tous dans le même plan mais pas D et E ?"

Translation: "Why are points A, V, P, K, B, C, M, F all in the same plane but not D and E?"

Key assumption: User knows these points exist in some geometric context. Likely parabola-related.

? Which geometric figure? Context missing from query itself.

### 2. Information Retrieval Challenge

◐ Partial context suggests: parabola construction, possibly focus-directrix or geometric definitions.

⟨H≈0.8⟩ Geometric memory activation... parabola as conic section... focus-directrix definition... reflective property... tangent constructions... point classifications... A might be vertex, V focus, P directrix point, K maybe focus projection, B,C endpoints of latus rectum, M midpoint... E,D tangent points?

● High confidence: Parabola geometric relationships involved
○ Low confidence: Specific point definitions without visual reference

### 3. Geometric Reasoning

**Why some points coplanar:**
- Fundamental geometric constraint: Any 3 non-collinear points → unique plane
- A, V, P → coplanar (3 points, no alignment)
- Additional points added sequentially within same construction
- Each new point constrained to lie on geometric figure + additional relationships

**Why D, E excluded:**
Critical insight! → EPD is inclined cross-section of cone defining parabola boundary
∴ Points E, D exist on curve boundary, not within plane containing main geometric elements

### 4. Construction Analysis

⟨H≈1.2⟩ Parabola as conical intersection... generating cone with axis AV... cross-section at angle θ... EPD forms parabolic arc... tangent construction gives E,D... but these aren't part of core geometric relationships... they're external to main construction...

Geometric hierarchy:
```
Core plane: (A, V, P, K, B, C, M, F)
├─ Vertex: A
├─ Focus: V  
├─ Directrix: line through P
├─ Latus rectum endpoints: B, C
├─ Midpoint: M
└─ Focus projection: K

Boundary plane: (E, D, P)
├─ Tangent points: E, D
└─ Parabolic arc: EPD
```

### 5. Mathematical Verification

**Coplanarity proof for main points:**
- Points A, V, P → coplanar (3 non-collinear)
- K on AV → lies in plane (A,V,P)
- B, C on latus rectum → coplanar with A,V,P
- M = midpoint of BC → coplanar (Varignon's theorem or simple construction)
- F as focus → coplanar (geometric definition)

**Non-coplanarity of E, D:**
- E, D lie on inclined cross-section EPD
- EPD ≠ plane containing A,V,P,K,B,C,M,F
- E, D form tangent pairs external to main construction

### 6. Geometric Interpretation

! Key insight: Parabola construction creates two geometric levels:
1. Core geometric relationships (coplanar)
2. Boundary curve relationships (non-coplanar)

Points A-F represent geometric primitives defining parabola
Points E, D represent tangent relationships external to core construction

∴ Geometric constraint: Core construction requires single plane for stability and definition
∴ Boundary points must exist outside this plane to maintain proper geometric relationships

**Physical constraint check:** ✓
Makes sense - tangent points cannot be forced into plane containing vertex, focus, and directrix without destroying parabolic properties.

### 7. Answer Synthesis

Final reasoning:
- All points A, V, P, K, B, C, M, F lie in plane containing vertex A, focus V, directrix through P
- Points E, D lie on inclined cross-section EPD forming parabola boundary
- Geometric construction prevents E, D from being coplanar with main points
- Maintains proper tangent relationships while ensuring plane uniqueness for core parabola definition

● High confidence: Standard parabola construction geometry
◐ Partial context: Specific point labels need verification against exact construction
⚠ Potential issue: Without visual reference, some relationships inferred rather than stated

**Answer framework:**
Plane uniqueness → geometric stability → boundary exclusion → tangent relationships preservation

### Answer###
Les points A, V, P, K, B, C, M et F sont tous coplanaires car ils appartiennent tous au plan de symétrie de la figure géométrique. Plus précisément, ils se situent dans le plan qui contient le sommet A, le foyer V, la directrice représentée par le point P, et les autres éléments comme le point K (projection du foyer), les extrémités B et C du latus rectum, et le point M qui est le milieu des cordes DM et EM.

Les points D et E, en revanche, ne font pas partie de cette configuration coplanaire. Ils se situent sur le pourtour de la section transversale EPD qui forme la parabole elle-même. Cette section transversale est inclinée par rapport à l'axe du cône selon le même angle θ que le côté du cône, ce qui explique pourquoi les points D et E ne peuvent pas coïncider avec les autres points dans le même plan.

Cette organisation géométrique reflète la construction classique d'une parabole comme section conique, où les éléments fondamentaux (sommet, foyer, directrice) définissent un plan de référence particulier qui ne peut pas inclure les points de la courbe elle-même sans modifier la nature géométrique de la figure.