Pourquoi quand on prend la fermeture de l'union de deux ensembles, ça donne le même résultat que la fermeture de l'intersection, alors que normalement quand on fait une union, ça devrait être plus grand ?
Part 2

To prove the reverse direction, let x ∈ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}, and for contradiction assume x ∉ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}.

Under that assumption, it must be the case that x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B},

so it follows that x ∈ A {\displaystyle x\in A} and x ∈ B {\displaystyle x\in B}, and thus x ∉ A ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A}}} and x ∉ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {B}}}.

However, that means x ∉ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}, in contradiction to the hypothesis that x ∈ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}},

therefore, the assumption x ∉ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}} must not be the case, meaning that x ∈ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}.

Hence, ∀ x (x ∈ A ¯ ∪ B ¯ ⟹ x ∈ A ∩ B ¯) {\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big)}},

that is, A ¯ ∪ B ¯ ⊆ A ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}.
Intersections, unions et sous-ensembles

Soit A =, B =, et C =, démontrant A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), et

Soit A =, B =, C =, D =, démontrant

Le produit cartésien satisfait la propriété suivante par rapport aux intersections (voir l'image centrale).

Dans la plupart des cas, l'énoncé ci-dessus n'est pas vrai si l'on remplace l'intersection par l'union (voir l'image la plus à droite).

En fait, nous avons que :

Pour la différence d'ensembles, nous avons également l'identité suivante :

Voici quelques règles illustrant la distributivité avec d'autres opérateurs (voir l'image la plus à gauche) :

où A ∁ {\displaystyle A^{\complement }} désigne le complément absolu de A.

Autres propriétés liées aux sous-ensembles :
### Query ###
Pourquoi quand on prend la fermeture de l'union de deux ensembles, ça donne le même résultat que la fermeture de l'intersection, alors que normalement quand on fait une union, ça devrait être plus grand ?

### Main Text ###
Part 2

To prove the reverse direction, let x ∈ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}, and for contradiction assume x ∉ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}.

Under that assumption, it must be the case that x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B},

so it follows that x ∈ A {\displaystyle x\in A} and x ∈ B {\displaystyle x\in B}, and thus x ∉ A ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A}}} and x ∉ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {B}}}.

However, that means x ∉ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}, in contradiction to the hypothesis that x ∈ A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}},

therefore, the assumption x ∉ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}} must not be the case, meaning that x ∈ A ∩ B ¯ {\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}.

Hence, ∀ x (x ∈ A ¯ ∪ B ¯ ⟹ x ∈ A ∩ B ¯) {\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big)}},

that is, A ¯ ∪ B ¯ ⊆ A ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}.

### Supplementary Text ###
Intersections, unions et sous-ensembles

Soit A =, B =, et C =, démontrant A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), et

Soit A =, B =, C =, D =, démontrant

Le produit cartésien satisfait la propriété suivante par rapport aux intersections (voir l'image centrale).

Dans la plupart des cas, l'énoncé ci-dessus n'est pas vrai si l'on remplace l'intersection par l'union (voir l'image la plus à droite).

En fait, nous avons que :

Pour la différence d'ensembles, nous avons également l'identité suivante :

Voici quelques règles illustrant la distributivité avec d'autres opérateurs (voir l'image la plus à gauche) :

où A ∁ {\displaystyle A^{\complement }} désigne le complément absolu de A.

Autres propriétés liées aux sous-ensembles :

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi quand on prend la fermeture de l'union de deux ensembles, ça donne le même résultat que la fermeture de l'intersection"

Key confusion: User expects closure(A ∪ B) ≠ closure(A ∩ B) based on set size intuition.

"normalement quand on fait une union, ça devrait être plus grand"

→ Classic misconception about topological closure operations.

### 2. Core Issue Identification

Standard set theory: |A ∪ B| ≥ |A ∩ B| always.
Topological closure: ¯A ∪ ¯B ≠ ¯(A ∪ B) in general.

! The closure operator inverts the size relationship.

Why? Context-dependent definition. In topological spaces:
- ¯A = all points x such that every neighborhood of x intersects A
- Size irrelevant to closure computation

### 3. Counter-Intuitive Behavior

Consider X = ℝ, A = (0,1), B = (1,2).

Then:
- A ∪ B = (0,1) ∪ (1,2) = ℝ (maximum possible)
- A ∩ B = (0,1) ∩ (1,2) = ∅ (minimum possible)

But closures:
- ¯A = ¯B = [0,1] (boundary points included)
- ¯A ∪ ¯B = ¯B ∪ ¯A = [0,1]
- ¯A ∩ ¯B = ¯A ∩ ¯B = [0,1]

∴ closure(A ∪ B) = closure(A ∩ B) = [0,1]

### 4. Mathematical Resolution

Why equality occurs:

In topological spaces, closure operations satisfy:
1. ¯∅ = ∅, ¯X = X
2. ¯(A ∪ B) = ¯A ∪ ¯B
3. ¯(A ∩ B) ⊆ ¯A ∩ ¯B

For finite unions/intersections: ¯(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ) = ¯A₁ ∪ ¯A₂ ∪ ... ∪ ¯Aₙ
And ¯(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ Aₙ) = ¯A₁ ∩ ¯A₂ ∩ ... ∩ ¯Aₙ

! Size comparison irrelevant for closure containment.

When A ∩ B = ∅ or A ∪ B = X, then closure equality holds trivially.

### 5. General Framework

For arbitrary topological spaces (X,τ):
- If A ∩ B = ∅, then ¯A ∪ ¯B = ¯A ∩ ¯B = (¯A ∪ ¯B) ∪ (¯A ∩ ¯B)
- If A ∪ B = X, then ¯A ∩ ¯B = ¯A ∪ ¯B = ¯A ∩ ¯B

The closure operator "corrects" the size relationship by:
- Expanding each set to its maximal closed neighborhood
- Intersection: take smallest common closed neighborhood  
- Union: take largest common closed neighborhood

### 6. Conclusion

∴ Equality stems from topological closure definitions prioritizing boundary behavior over set size.

The counter-intuitive result emerges because closure operations optimize for topological properties (continuity, closedness) rather than cardinal relationships.

NB: This phenomenon occurs in all topological spaces, not just ℝ.

### Answer###
Votre intuition concernant les unions et intersections est correcte dans le contexte usuel des ensembles, mais la situation change lorsqu'on introduit l'opération de fermeture topologique.

En théorie des ensembles classique, vous avez raison de constater que |A ∪ B| ≥ |A ∩ B| pour tous ensembles A et B. Cependant, quand on applique l'opération de fermeture (notée ¯A pour la fermeture de A), cette relation s'inverse : on a en général ¯A ∪ ¯B ≠ ¯(A ∪ B) et ¯A ∩ ¯B ≠ ¯(A ∩ B).

Cette apparente contradiction s'explique par le fait que l'opération de fermeture topologique ne suit pas les mêmes règles que les opérations classiques sur les ensembles. La fermeture d'un ensemble A contient non seulement A, mais aussi tous ses points limites - ceux qui appartiennent à tout voisinage de A.

Dans le cas particulier que vous mentionnez, lorsque l'on prend la fermeture de l'union et de l'intersection de deux ensembles, on peut démontrer que ¯A ∪ ¯B = ¯A ∩ ¯B pour tous ensembles A et B. Cette égalité remarquable reflète le comportement spécifique des opérateurs de fermeture en topologie.

Le résultat final s'explique par les propriétés fondamentales des fermetures topologiques, qui peuvent effectivement inverser certaines relations de taille entre ensembles, même si cela semble paradoxal au premier abord.