Les termes "application" et "fonction" sont-ils toujours distingués de manière universelle par tous les mathématiciens selon des critères précis ?
Other terms

A function may also be called a map or a mapping, but some authors make a distinction between the term "map" and "function". For example, the term "map" is often reserved for a "function" with some sort of special structure (e.g. maps of manifolds). In particular map may be used in place of homomorphism for the sake of succinctness (e.g., linear map or map from G to H instead of group homomorphism from G to H). Some authors reserve the word mapping for the case where the structure of the codomain belongs explicitly to the definition of the function.

Some authors, such as Serge Lang, use "function" only to refer to maps for which the codomain is a subset of the real or complex numbers, and use the term mapping for more general functions.

In the theory of dynamical systems, a map denotes an evolution function used to create discrete dynamical systems. See also Poincaré map.

Whichever definition of map is used, related terms like domain, codomain, injective, continuous have the same meaning as for a function.
Les applications, en tant que fonctions

Dans de nombreux domaines des mathématiques, le terme « application » est utilisé pour désigner une fonction, parfois avec une propriété particulière d'une importance cruciale dans ce domaine. Par exemple, une « application » est une « fonction continue » en topologie, une « transformation linéaire » en algèbre linéaire, etc.

Certains auteurs, comme Serge Lang, utilisent le terme « fonction » uniquement pour désigner les applications dont le codomaine est un ensemble de nombres (c'est-à-dire un sous-ensemble de R ou C), et réservent le terme « application » pour des fonctions plus générales.

Des applications de certains types ont reçu des noms spécifiques. Parmi celles-ci figurent les homomorphismes en algèbre, les isométries en géométrie, les opérateurs en analyse et les représentations en théorie des groupes.

En théorie des systèmes dynamiques, une application désigne une fonction d'évolution utilisée pour créer des systèmes dynamiques discrets.

Une application partielle est une fonction partielle. Une terminologie connexe, telle que domaine, codomaine, injective et continue, peut être appliquée aussi bien aux applications qu'aux fonctions, avec la même signification. Toutes ces utilisations peuvent être appliquées aux « applications » considérées comme des fonctions générales ou comme des fonctions ayant des propriétés spéciales.
### Query ###
Les termes "application" et "fonction" sont-ils toujours distingués de manière universelle par tous les mathématiciens selon des critères précis ?

### Main Text ###
Other terms

A function may also be called a map or a mapping, but some authors make a distinction between the term "map" and "function". For example, the term "map" is often reserved for a "function" with some sort of special structure (e.g. maps of manifolds). In particular map may be used in place of homomorphism for the sake of succinctness (e.g., linear map or map from G to H instead of group homomorphism from G to H). Some authors reserve the word mapping for the case where the structure of the codomain belongs explicitly to the definition of the function.

Some authors, such as Serge Lang, use "function" only to refer to maps for which the codomain is a subset of the real or complex numbers, and use the term mapping for more general functions.

In the theory of dynamical systems, a map denotes an evolution function used to create discrete dynamical systems. See also Poincaré map.

Whichever definition of map is used, related terms like domain, codomain, injective, continuous have the same meaning as for a function.

### Supplementary Text ###
Les applications, en tant que fonctions

Dans de nombreux domaines des mathématiques, le terme « application » est utilisé pour désigner une fonction, parfois avec une propriété particulière d'une importance cruciale dans ce domaine. Par exemple, une « application » est une « fonction continue » en topologie, une « transformation linéaire » en algèbre linéaire, etc.

Certains auteurs, comme Serge Lang, utilisent le terme « fonction » uniquement pour désigner les applications dont le codomaine est un ensemble de nombres (c'est-à-dire un sous-ensemble de R ou C), et réservent le terme « application » pour des fonctions plus générales.

Des applications de certains types ont reçu des noms spécifiques. Parmi celles-ci figurent les homomorphismes en algèbre, les isométries en géométrie, les opérateurs en analyse et les représentations en théorie des groupes.

En théorie des systèmes dynamiques, une application désigne une fonction d'évolution utilisée pour créer des systèmes dynamiques discrets.

Une application partielle est une fonction partielle. Une terminologie connexe, telle que domaine, codomaine, injective et continue, peut être appliquée aussi bien aux applications qu'aux fonctions, avec la même signification. Toutes ces utilisations peuvent être appliquées aux « applications » considérées comme des fonctions générales ou comme des fonctions ayant des propriétés spéciales.

### Draft ###

Query: "application" vs "fonction" - universal distinction? "Critères précis"? 

Translation check: ● "universelle" = universal/ubiquitous, not absolute
◐ "précis" = precise/rigorous criteria (not just informal usage)

→ Information retrieval + logical synthesis task

### 1. Semantic Analysis

"Toujours distingués" → temporal stability of usage
"Critères précis" → formal, objective standards
"Tous les mathématiciens" → universal academic consensus

⚠ Potential bias: Query assumes distinction exists universally

### 2. Domain Mapping

Mathematical terminology varies by:
├─ Field (topology, algebra, analysis...)  
├─ Geographic tradition (French vs English vs German...)
├─ Institutional context (university departments, research groups)
└─ Generational shifts

∴ No universal standard likely exists

### 3. Usage Patterns 

⟨H≈0.2⟩ Standard mathematical practice: "fonction" typically refers to numerical mappings, "application" broader term encompassing transformations. But this isn't universal - some authors use "application" for any mapping regardless of codomain type.

? Key question: Is this codomain restriction precise criterion, or just convention?

Lang's usage mentioned in responses ● - but represents one scholar's convention, not universal standard.

### 4. Logical Constraints

For universal distinction to exist:
- Must have objective, field-independent criteria
- Must be consistently applied across mathematical communities  
- Must be enforced by formal standards (like ISO standards for technical terminology)

○ Low probability of such universal agreement

### 5. Contextual Factors

Academic usage depends on:
- Educational background
- Research area specialization  
- Linguistic tradition
- Institutional norms
- Publication standards

→ Terminology variation is natural, expected

### 6. Synthesis

NB: Query conflates descriptive usage patterns with prescriptive universal standards

Actual answer: 
- No universal distinction exists ●
- Varied usage patterns reflect legitimate scholarly diversity ◐
- Some conventions (like Lang's codomain restriction) provide frameworks, not universal rules ●
- Field-specific contexts drive terminology choices ●

∴ Mathematical terminology evolves contextually - no "precise criteria" for universal distinction likely exists.

---

*Final note: The very question reveals interesting tension between formal mathematical rigor and linguistic flexibility - worth exploring this meta-level observation in response*

### Answer###
La distinction entre "application" et "fonction" ne constitue pas une pratique universelle uniforme au sein de la communauté mathématique. Les usages varient considérablement selon les contextes disciplinaires et les conventions adoptées par les auteurs.

Certains auteurs, comme Serge Lang, font effectivement une distinction claire : ils réservent le terme "fonction" pour désigner les applications dont le codomaine est un ensemble de nombres réels ou complexes, tandis qu'ils emploient "application" pour des fonctions plus générales. Cette distinction reflète une approche où le type de codomaine structure la terminologie utilisée.

Dans d'autres domaines des mathématiques, le terme "application" est souvent utilisé pour désigner une fonction possédant une propriété particulière d'importance cruciale pour le contexte spécifique. Par exemple, une "application" peut être une "fonction continue" en topologie, une "transformation linéaire" en algèbre linéaire, ou encore une "fonction d'évolution" en théorie des systèmes dynamiques pour créer des systèmes dynamiques discrets.

Certains auteurs emploient "fonction" exclusivement pour les applications et réservent "mapping" ou "transformation" pour les applications ayant une structure particulière ou une codomaine explicitement mentionnée dans la définition.

Il n'existe donc pas de critères précis et universels permettant de distinguer systématiquement ces termes. Leur usage dépend largement du contexte disciplinaire, des conventions de l'auteur et des traditions académiques spécifiques. Cette diversité terminologique reflète la richesse et la variété des domaines mathématiques plutôt qu'une absence de consensus sur des standards universels.