Si je prends la fonction coth et que je calcule sa dérivée, ça va donner quoi comme résultat ?
Derivatives

d d x sinh x = cosh x d d x cosh x = sinh x d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 cosh 2 x d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x x ≠ 0 d d x sech x = − tanh x sech x d d x csch x = − coth x csch x x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 1 < x d d x artanh x = 1 1 − x 2 | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 1 < | x | d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 0 < x < 1 d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
Dérivées

Ces formules peuvent être dérivées en termes de dérivées des fonctions hyperboliques. Par exemple, si x = sinh θ, alors d x / d θ = cosh θ = 1 + x 2,  dx/dθ = cosh θ = √(1+x²).
### Query ###
Si je prends la fonction coth et que je calcule sa dérivée, ça va donner quoi comme résultat ?

### Main Text ###
Derivatives

d d x sinh x = cosh x d d x cosh x = sinh x d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 cosh 2 x d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x x ≠ 0 d d x sech x = − tanh x sech x d d x csch x = − coth x csch x x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 1 < x d d x artanh x = 1 1 − x 2 | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 1 < | x | d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 0 < x < 1 d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}

### Supplementary Text ###
Dérivées

Ces formules peuvent être dérivées en termes de dérivées des fonctions hyperboliques. Par exemple, si x = sinh θ, alors d x / d θ = cosh θ = 1 + x 2,  dx/dθ = cosh θ = √(1+x²).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si je prends la fonction coth et que je calcule sa dérivée"
→ Taking coth function, calculating derivative
? User knows coth = cosh(x)/sinh(x) or 1/tanh(x)

"ça va donner quoi comme résultat ?"
→ What result does it give?
! Seeking derivative formula, not computational value

### 2. Core Function Identification

coth(x) = cosh(x)/sinh(x) = 1/tanh(x)

● High confidence: standard hyperbolic cotangent
● Already expanded equivalent forms for context

### 3. Derivative Calculation

Applying quotient rule:
(f/g)' = (f'g' - fg')/g²

With f = cosh(x), g = sinh(x):
f' = sinh(x), g' = cosh(x)

∴ (coth(x))' = (cosh(x)·cosh(x) - sinh(x)·sinh(x))/sinh²(x)
= (cosh²(x) - sinh²(x))/sinh²(x)

Using cosh²(x) - sinh²(x) = 1:
= 1/sinh²(x) = -csch²(x)

### 4. Result Verification

? Wait. Standard form: coth'(x) = -csch²(x)

☑ Matches expectation
☑ Negative squared hyperbolic cosecant
☑ Consistent with other hyperbolic function derivatives

### 5. Alternative Approach

Directly from definition: coth(x) = 1/tanh(x)

(1/tanh(x))' = -1/tanh²(x) · sech²(x)
= -sech²(x)/sinh²(x)
= -1/sinh²(x)
= -csch²(x)

### 6. Final Answer Structure

```
coth(x) derivative:
- Standard form: -csch²(x)
- Equivalent: 1/sinh²(x)  
- Context: hyperbolic cotangent
```

● High confidence in result
◐ Could expand on why negative
● Alternative derivation path available

### Answer###
La dérivée de la fonction coth(x) est donnée par :

coth'(x) = -csch²(x) = -1/sinh²(x)

Cette formule peut s'exprimer de manière équivalente comme 1 - coth²(x). Il s'agit d'une forme négative du carré de la fonction cosécante hyperbolique, ce qui reflète la nature périodique et les propriétés particulières de cette fonction inverse hyperbolique.

La dérivée de coth(x) est donc une fonction quadratique négative qui s'annule uniquement aux pôles de la fonction coth.