Comment une fonction mathématique qui est partout continue mais nulle part dérivable a pu être rejetée au départ par les mathématiciens comme une aberration, alors qu'elle est maintenant utilisée dans les modèles de mouvement brownien.
In mathematics, the Weierstrass function is an example of a real-valued function that is continuous everywhere but differentiable nowhere. It is an example of a fractal curve. It is named after its discoverer Karl Weierstrass.

The Weierstrass function has historically served the role of a pathological function, being the first published example (1872) specifically concocted to challenge the notion that every continuous function is differentiable except on a set of isolated points. Weierstrass's demonstration that continuity did not imply almost-everywhere differentiability upended mathematics, overturning several proofs that relied on geometric intuition and vague definitions of smoothness. These types of functions were denounced by contemporaries: Henri Poincaré famously described them as "monsters" and called Weierstrass' work "an outrage against common sense", while Charles Hermite wrote that they were a "lamentable scourge". The functions were difficult to visualize until the arrival of computers in the next century, and the results did not gain wide acceptance until practical applications such as models of Brownian motion necessitated infinitely jagged functions (nowadays known as fractal curves).
Différentiation et continuité

Si f est différentiable en un point x, alors f doit également être continue en x. En particulier, toute fonction différentiable doit être continue en tout point de son domaine. La réciproque n'est pas vraie : une fonction continue n'est pas nécessairement différentiable. Par exemple, une fonction présentant un coude, un point anguleux ou une tangente verticale peut être continue, mais ne l'est pas différentiable à l'endroit de l'anomalie.

La plupart des fonctions rencontrées en pratique ont des dérivées en tous les points ou presque tous les points. Cependant, un résultat de Stefan Banach indique que l'ensemble des fonctions qui ont une dérivée en un certain point est un ensemble maigre dans l'espace de toutes les fonctions continues. Informellement, cela signifie que les fonctions différentiables sont très atypiques parmi les fonctions continues. Le premier exemple connu d'une fonction qui est continue partout mais non différentiable nulle part est la fonction de Weierstrass.
### Query ###
Comment une fonction mathématique qui est partout continue mais nulle part dérivable a pu être rejetée au départ par les mathématiciens comme une aberration, alors qu'elle est maintenant utilisée dans les modèles de mouvement brownien.

### Main Text ###
In mathematics, the Weierstrass function is an example of a real-valued function that is continuous everywhere but differentiable nowhere. It is an example of a fractal curve. It is named after its discoverer Karl Weierstrass.

The Weierstrass function has historically served the role of a pathological function, being the first published example (1872) specifically concocted to challenge the notion that every continuous function is differentiable except on a set of isolated points. Weierstrass's demonstration that continuity did not imply almost-everywhere differentiability upended mathematics, overturning several proofs that relied on geometric intuition and vague definitions of smoothness. These types of functions were denounced by contemporaries: Henri Poincaré famously described them as "monsters" and called Weierstrass' work "an outrage against common sense", while Charles Hermite wrote that they were a "lamentable scourge". The functions were difficult to visualize until the arrival of computers in the next century, and the results did not gain wide acceptance until practical applications such as models of Brownian motion necessitated infinitely jagged functions (nowadays known as fractal curves).

### Supplementary Text ###
Différentiation et continuité

Si f est différentiable en un point x, alors f doit également être continue en x. En particulier, toute fonction différentiable doit être continue en tout point de son domaine. La réciproque n'est pas vraie : une fonction continue n'est pas nécessairement différentiable. Par exemple, une fonction présentant un coude, un point anguleux ou une tangente verticale peut être continue, mais ne l'est pas différentiable à l'endroit de l'anomalie.

La plupart des fonctions rencontrées en pratique ont des dérivées en tous les points ou presque tous les points. Cependant, un résultat de Stefan Banach indique que l'ensemble des fonctions qui ont une dérivée en un certain point est un ensemble maigre dans l'espace de toutes les fonctions continues. Informellement, cela signifie que les fonctions différentiables sont très atypiques parmi les fonctions continues. Le premier exemple connu d'une fonction qui est continue partout mais non différentiable nulle part est la fonction de Weierstrass.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Comment une fonction... rejetée... aberration, alors qu'elle est maintenant utilisée"

Key elements to address:
- Which function? → Weierstrass function (1872)
- Historical rejection mechanism → "pathological" status
- Current applications → Brownian motion models
- Contradiction resolution → paradigm shift in mathematical rigor

Translation issues: "partout continue nulle part dérivable" = continuous everywhere, differentiable nowhere. Clean translation, no semantic ambiguity.

### 2. Historical Context Retrieval

⟨H≈0.3⟩ Weierstrass 1872. Function constructed via infinite series. Not "discovered" - specifically *invented* to demonstrate continuity ≠ differentiability. Previous belief: continuous functions must be smooth. Weierstrass shattered this assumption.

Initial rejection: ● High confidence this occurred
- Poincaré called it "monstrous" 
- Hermite: "lamentable scourge"
- Why? → Function contradicted geometric intuition of "smooth"

### 3. Mathematical Core

Weierstrass function: f(x) = Σ(n=0 to ∞) aⁿcos(bⁿπx) where 0 < a < 1, b = (aᵃ/(1-a)) > 1.

Properties:
- Continuous everywhere ✓
- Differentiable nowhere ✓  
- Self-similar fractal structure ✓
- Graph appears "jagged" at all scales

! Key insight: This was *purposefully* constructed as counterexample, not natural phenomenon.

### 4. Acceptance Timeline

Critical mass shift → practical applications demanded such functions.

⟨H≈0.8⟩ Brownian motion... random walk... stock prices... financial mathematics suddenly needed these "monsters." Physicists didn't care about aesthetic purity. Engineers needed models that captured real-world roughness. Weierstrass function became indispensable tool.

Applications requiring Weierstrass-like functions:
- Fractal geometry (Mandelbrot era, 1970s+)
- Financial modeling (Black-Scholes extensions)  
- Physics: diffusion processes
- Signal processing: rough functions

### 5. Resolution of Apparent Contradiction

Paradigm shift occurred:

Original view: ~~Natural functions~~ → Geometric intuition preferred
Modern view: Functions exist to *model reality* → Practical utility > aesthetic appeal

⟨H≈1.2⟩ Mathematics evolves... what was "abnormal" becomes "normal" when applications demand it. Weierstrass function didn't change - human perspective on it transformed. We learned to embrace the "ugly" when it accurately describes the world.

### 6. Synthesis

The apparent contradiction resolves through lens evolution:

Historical rejection: Mathematical "purity" standard
Modern acceptance: Modeling accuracy standard

Weierstrass function = perfect example of how mathematics adapts to describe complex reality rather than conforming to idealized geometric intuition.

∴ Function didn't change. Mathematical standards changed.

NB: This illustrates broader pattern in mathematics - rigor sometimes must yield to practical demands of description and prediction.

### Answer###
La fonction de Weierstrass représente effectivement cette transition fascinante dans l'histoire des mathématiques. Découverte en 1872, cette fonction continue partout mais nulle part dérivable était initialement rejetée comme une "aberration" par les mathématiciens de l'époque.

Son rejet initial s'explique par le fait qu'elle contredisait l'intuition géométrique de l'époque selon laquelle toute fonction continue devait être "lisse" et donc dérivable, sauf peut-être en quelques points isolés. Cette fonction, première démonstration publiée spécifiquement conçue pour contester cette notion, était considérée comme un monstre par Henri Poincaré, une "outrage contre le bon sens" selon lui, tandis que Charles Hermite la qualifiait de "fléau lamentable".

Cette hostilité s'explique également par le fait que sa construction - basée sur une série infinie - était difficile à visualiser avant l'arrivée des ordinateurs au siècle suivant. Les résultats de Weierstrass étaient considérés comme trop contraires à l'intuition géométrique pour être acceptés.

L'acceptation de cette fonction s'est faite progressivement, et surtout lorsque des applications pratiques sont apparues nécessitant des fonctions infiniment "déchiquetées" - les courbes fractales d'aujourd'hui. Les modèles de mouvement brownien ont particulièrement démontré l'utilité pratique de ces fonctions, démontrant ainsi leur valeur malgré leur apparence "pathologique".

Cette évolution illustre comment les mathématiques peuvent évoluer de la pure théorie vers l'application pratique, valorisant parfois ce qui était initialement rejeté comme trop abstrait ou contraignant l'intuition.