Qu'est-ce qui fait que les angles dans un rectangle sphérique sont plus grands que 90° alors que dans un rectangle hyperbolique c'est l'inverse, et comment ça se fait que les propriétés changent autant d'une géométrie à l'autre ?
Other rectangles

In spherical geometry, a spherical rectangle is a figure whose four edges are great circle arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length. The surface of a sphere in Euclidean solid geometry is a non-Euclidean surface in the sense of elliptic geometry. Spherical geometry is the simplest form of elliptic geometry.

In elliptic geometry, an elliptic rectangle is a figure in the elliptic plane whose four edges are elliptic arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length.

In hyperbolic geometry, a hyperbolic rectangle is a figure in the hyperbolic plane whose four edges are hyperbolic arcs which meet at equal angles less than 90°. Opposite arcs are equal in length.
Autres rectangles

En géométrie sphérique, un rectangle sphérique est une figure dont les quatre arêtes sont des arcs de grands cercles qui se rejoignent selon des angles égaux supérieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur. La surface d'une sphère en géométrie solide euclidienne est une surface non euclidienne au sens de la géométrie elliptique. La géométrie sphérique est la forme la plus simple de géométrie elliptique.

En géométrie elliptique, un rectangle elliptique est une figure dans le plan elliptique dont les quatre arêtes sont des arcs elliptiques qui se rejoignent selon des angles égaux supérieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur.

En géométrie hyperbolique, un rectangle hyperbolique est une figure dans le plan hyperbolique dont les quatre arêtes sont des arcs hyperboliques qui se rejoignent selon des angles égaux inférieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur.
### Query ###
Qu'est-ce qui fait que les angles dans un rectangle sphérique sont plus grands que 90° alors que dans un rectangle hyperbolique c'est l'inverse, et comment ça se fait que les propriétés changent autant d'une géométrie à l'autre ?

### Main Text ###
Other rectangles

In spherical geometry, a spherical rectangle is a figure whose four edges are great circle arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length. The surface of a sphere in Euclidean solid geometry is a non-Euclidean surface in the sense of elliptic geometry. Spherical geometry is the simplest form of elliptic geometry.

In elliptic geometry, an elliptic rectangle is a figure in the elliptic plane whose four edges are elliptic arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length.

In hyperbolic geometry, a hyperbolic rectangle is a figure in the hyperbolic plane whose four edges are hyperbolic arcs which meet at equal angles less than 90°. Opposite arcs are equal in length.

### Supplementary Text ###
Autres rectangles

En géométrie sphérique, un rectangle sphérique est une figure dont les quatre arêtes sont des arcs de grands cercles qui se rejoignent selon des angles égaux supérieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur. La surface d'une sphère en géométrie solide euclidienne est une surface non euclidienne au sens de la géométrie elliptique. La géométrie sphérique est la forme la plus simple de géométrie elliptique.

En géométrie elliptique, un rectangle elliptique est une figure dans le plan elliptique dont les quatre arêtes sont des arcs elliptiques qui se rejoignent selon des angles égaux supérieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur.

En géométrie hyperbolique, un rectangle hyperbolique est une figure dans le plan hyperbolique dont les quatre arêtes sont des arcs hyperboliques qui se rejoignent selon des angles égaux inférieurs à 90°. Les arcs opposés sont égaux en longueur.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"angles dans un rectangle sphérique sont plus grands que 90°" → 
"angles in spherical rectangle > 90°"

"rectangle hyperbolique c'est l'inverse" →
"hyperbolic rectangle is opposite"

Key confusion: why do properties flip between geometries?

### 2. Geometric Foundation Check

● Euclidean rectangle: all angles = 90°
● Spherical surface: positive curvature
● Hyperbolic surface: negative curvature

→ Curvature determines angle behavior

### 3. Spherical Case Analysis

Sphere has positive curvature k > 0.

Great circle arcs on sphere:
- Any two intersect at vertex angles > 90°
- Opposite sides equal (spherical law of reflection)
- Angles sum > 360°

∴ "Rectangles" on sphere have angles > 90°

### 4. Hyperbolic Case Analysis

Hyperbolic plane has negative curvature k < 0.

Lines on hyperbolic plane:
- Parallel lines exist
- Opposite sides parallel (not equal)
- Angles sum < 360°

→ "Rectangles" have angles < 90°

### 5. Curvature-Angle Relationship

**Positive curvature**: 
- Geometry "too round"
- Angles forced to increase
- Straight lines bend inward

**Negative curvature**:
- Geometry "too flat"  
- Angles forced to decrease
- Straight lines bend outward

### 6. Why Properties Flip

Fundamental theorem: curvature determines geometry.

Same "rectangle" definition → opposite properties due to:
- Different allowable angles
- Different parallel behavior  
- Different side relationships

⚠ Intuitive Euclidean concepts fail in non-Euclidean contexts

### 7. Mathematical Precision

Spherical "rectangles" aren't true rectangles:
- Angles > 90° (impossible in Euclidean)
- Opposite sides great circles (not straight)

Hyperbolic "rectangles" similar issue:
- Angles < 90° 
- Opposite sides parallel

### 8. Synthesis

Properties flip because:
1. Curvature forces angle behavior
2. Same geometric intuition → different results
3. Non-Euclidean geometries have fundamentally different rules

∴ Curvature = master switch controlling all geometric properties

### Answer###
La différence que vous observez entre les rectangles sphériques et hyperboliques découle directement des propriétés fondamentales de ces géométries non euclidiennes.

Dans la géométrie sphérique, les rectangles sphériques ont des angles supérieurs à 90° car ils sont formés par des arcs de grands cercles qui se rencontrent à des angles égaux. Cette propriété reflète le fait que la surface d'une sphère constitue une surface non euclidienne où les géométries elliptiques s'appliquent. La courbure positive de la sphère force les angles à être supérieurs à 90°.

Inversement, en géométrie hyperbolique, les rectangles hyperboliques ont des angles inférieurs à 90° car ils se situent dans le plan hyperbolique, où les géométries hyperboliques prévalent. Les arcs hyperboliques qui composent ces rectangles se rencontrent également à des angles égaux, mais la courbure négative du plan hyperbolique fait que ces angles sont nécessairement inférieurs à 90°.

Cette inversion s'explique par le fait que la courbure géométrique détermine l'ensemble des propriétés géométriques. La géométrie sphérique, avec sa courbure positive, favorise les angles supérieurs à 90°, tandis que la géométrie hyperbolique, avec sa courbure négative, favorise les angles inférieurs à 90°. Les mêmes concepts géométriques - comme la notion de "rectangle" - peuvent donc produire des résultats diamétralement opposés selon la courbure de l'espace considéré.