Qu'est-ce qui se passerait si on essayait cette méthode de changement avec des soustractions où le soustracteur est plus grand que le minuend ?
Same change

The same change method uses the fact that adding or subtracting the same number from the minuend and subtrahend does not change the answer. One simply adds the amount needed to get zeros in the subtrahend.

Example:

"1234 − 567 =" can be solved as follows:
Comparaison des deux méthodes principales

Les deux méthodes décomposent la soustraction en une série de soustractions d'un seul chiffre par valeur de position. En commençant par le chiffre le moins significatif, une soustraction du soustracteur :

du minuende

où chaque s et m est un chiffre, se déroule en écrivant m − s, m − s, et ainsi de suite, tant que s n'excède pas m. Sinon, m est augmenté de 10 et un autre chiffre est modifié pour corriger cette augmentation. La méthode américaine corrige en essayant de diminuer le chiffre du minuende m d'un (ou en continuant à emprunter vers la gauche jusqu'à ce qu'il y ait un chiffre non nul à partir duquel emprunter). La méthode européenne corrige en augmentant le chiffre du soustracteur s d'un.

Exemple : 704 − 512.

− 1 C D U 7 0 4 5 1 2 1 9 2 ⟵ c a r r y ⟵ M i n u e n d ⟵ S u b t r a h e n d ⟵ R e s t o D i f f e r e n c e {\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}

Le minuende est 704, le soustracteur est 512. Les chiffres du minuende sont m = 7, m = 0 et m = 4. Les chiffres du soustracteur sont s = 5, s = 1 et s = 2. En commençant par la colonne des unités, 4 n'est pas inférieur à 2, donc la différence 2 est écrite dans la colonne des unités du résultat. Dans la colonne des dizaines, 0 est inférieur à 1, donc 0 est augmenté de 10, et la différence avec 1, qui est 9, est écrite dans la colonne des dizaines. La méthode américaine corrige l'augmentation de dix en réduisant le chiffre de la centaine du minuende d'un. C'est-à-dire que le 7 est barré et remplacé par un 6. La soustraction se poursuit ensuite dans la colonne des centaines, où 6 n'est pas inférieur à 5, donc la différence est écrite dans la colonne des centaines du résultat. Nous avons terminé, le résultat est 192.

La méthode autrichienne ne réduit pas le 7 à 6. Au lieu de cela, elle augmente le chiffre des centaines du soustracteur d'un. Un petit signe est placé à proximité ou en dessous de ce chiffre (selon l'école). La soustraction se poursuit ensuite en demandant quel nombre, augmenté de 1, et auquel 5 est ajouté, donne 7. La réponse est 1, et elle est écrite dans la colonne des centaines du résultat.

Il existe une subtilité supplémentaire : dans la méthode américaine, l'élève utilise toujours une table de soustraction mentale. La méthode autrichienne encourage souvent l'élève à utiliser mentalement la table d'addition à l'envers. Dans l'exemple ci-dessus, plutôt que d'ajouter 1 à 5, ce qui donne 6, puis de soustraire cela de 7, on demande à l'élève de considérer quel nombre, augmenté de 1, et auquel 5 est ajouté, donne 7.
### Query ###
Qu'est-ce qui se passerait si on essayait cette méthode de changement avec des soustractions où le soustracteur est plus grand que le minuend ?

### Main Text ###
Same change

The same change method uses the fact that adding or subtracting the same number from the minuend and subtrahend does not change the answer. One simply adds the amount needed to get zeros in the subtrahend.

Example:

"1234 − 567 =" can be solved as follows:

### Supplementary Text ###
Comparaison des deux méthodes principales

Les deux méthodes décomposent la soustraction en une série de soustractions d'un seul chiffre par valeur de position. En commençant par le chiffre le moins significatif, une soustraction du soustracteur :

du minuende

où chaque s et m est un chiffre, se déroule en écrivant m − s, m − s, et ainsi de suite, tant que s n'excède pas m. Sinon, m est augmenté de 10 et un autre chiffre est modifié pour corriger cette augmentation. La méthode américaine corrige en essayant de diminuer le chiffre du minuende m d'un (ou en continuant à emprunter vers la gauche jusqu'à ce qu'il y ait un chiffre non nul à partir duquel emprunter). La méthode européenne corrige en augmentant le chiffre du soustracteur s d'un.

Exemple : 704 − 512.

− 1 C D U 7 0 4 5 1 2 1 9 2 ⟵ c a r r y ⟵ M i n u e n d ⟵ S u b t r a h e n d ⟵ R e s t o D i f f e r e n c e {\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}

Le minuende est 704, le soustracteur est 512. Les chiffres du minuende sont m = 7, m = 0 et m = 4. Les chiffres du soustracteur sont s = 5, s = 1 et s = 2. En commençant par la colonne des unités, 4 n'est pas inférieur à 2, donc la différence 2 est écrite dans la colonne des unités du résultat. Dans la colonne des dizaines, 0 est inférieur à 1, donc 0 est augmenté de 10, et la différence avec 1, qui est 9, est écrite dans la colonne des dizaines. La méthode américaine corrige l'augmentation de dix en réduisant le chiffre de la centaine du minuende d'un. C'est-à-dire que le 7 est barré et remplacé par un 6. La soustraction se poursuit ensuite dans la colonne des centaines, où 6 n'est pas inférieur à 5, donc la différence est écrite dans la colonne des centaines du résultat. Nous avons terminé, le résultat est 192.

La méthode autrichienne ne réduit pas le 7 à 6. Au lieu de cela, elle augmente le chiffre des centaines du soustracteur d'un. Un petit signe est placé à proximité ou en dessous de ce chiffre (selon l'école). La soustraction se poursuit ensuite en demandant quel nombre, augmenté de 1, et auquel 5 est ajouté, donne 7. La réponse est 1, et elle est écrite dans la colonne des centaines du résultat.

Il existe une subtilité supplémentaire : dans la méthode américaine, l'élève utilise toujours une table de soustraction mentale. La méthode autrichienne encourage souvent l'élève à utiliser mentalement la table d'addition à l'envers. Dans l'exemple ci-dessus, plutôt que d'ajouter 1 à 5, ce qui donne 6, puis de soustraire cela de 7, on demande à l'élève de considérer quel nombre, augmenté de 1, et auquel 5 est ajouté, donne 7.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"méthode de changement" → borrowing/compensation method for subtraction
"soustracteur est plus grand que le minuend" → when subtrahend > minuend

Key question: What happens when applying borrowing technique with reversed operands?

### 2. Method Context

Standard borrowing: Start from right, if minuend digit < subtrahend digit → borrow from next place value.

Example: 704 - 512
- Units: 4-2 = 2 ✓
- Tens: 0 + 10 - 1 = 9 
- Hundreds: 7 - 5 = 2

Compensation: Make subtrahend digits zero by adding same amount to minuend.

Example: 704 + (-512) = 704 - 512
→ Add 500 + 10 + 2 = 512 to 704
→ Result: 1204 - 512 = 692

### 3. Reversal Scenario Analysis

When subtrahend > minuend:
- Normal result: Negative difference
- Compensation method: Still works but...

! Key insight: Compensation creates artificial "carry"

Example: 400 - 703

Standard: 400 - 703 = -303 (borrowing required)

Compensation attempt: 400 + (-703) = 400 - 703
→ Need to add 703 to 400 to cancel
→ 400 + 700 + 3 = 1103

! The "borrowing" becomes addition with carry!

### 4. Mathematical Verification

Let minuend = M, subtrahend = S where S > M

Standard subtraction: M - S = result₁ (negative)

Compensation approach: M + (S - M) = M - S = result₂

∴ result₁ = -result₂

The negative sign inverts the result → effectively "borrowing" from place values to the left.

### 5. Practical Implications

When S > M:
- Compensation method still works
- Creates "phantom" borrowing through addition
- Result interpretation: borrow from invisible place values
- Same final result regardless of approach

**Conclusion**: Method remains valid, but "change" becomes addition rather than subtraction. Borrowing transforms into carry propagation.

### Answer###
Si vous essayez cette méthode de changement avec un soustracteur plus grand que le minuend, vous devrez ajouter le montant nécessaire pour faire zéro dans le soustracteur, mais le résultat sera négatif.

Dans ce scénario, au lieu de soustraire directement le soustracteur du minuend, vous devez ajouter une quantité qui, lorsqu'elle est soustraite du minuend, donne zéro dans chaque position du soustracteur. Vous faites ensuite la soustraction comme si les nombres étaient positifs, mais le résultat final sera négatif.

Par exemple, si vous aviez 400 - 703, vous pourriez l'écrire comme 400 + (-703) = 400 - 703. Vous ajouteriez alors 700 + 3 = 703 au minuend pour obtenir 1103, puis soustrairiez 703 de 1103 pour obtenir -303.

Cette approche fonctionne car elle transforme la soustraction en une addition avec un nombre négatif, et le processus de "changement" consiste à ajouter suffisamment de zéros au soustracteur pour pouvoir effectuer la soustraction finale. Le résultat négatif indique simplement que le minuend était plus petit que le soustracteur, ce qui correspond à une différence négative.