Est-ce que si on prend une fonction qui est toujours la même valeur comme 5 ou 10, ça veut dire que sa dérivée va être zéro ou peut-être que ça va être autre chose parfois ?
Proof

Let c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } and f (x) = c {\displaystyle f(x)=c}. By the definition of the derivative,

This shows that the derivative of any constant function is 0.
Fonction constante

Une constante peut être utilisée pour définir une fonction constante qui ignore ses arguments et renvoie toujours la même valeur. Une fonction constante d'une seule variable, telle que f (x) = 5, a un graphique qui est une ligne horizontale parallèle à l'axe des x. Une telle fonction prend toujours la même valeur (dans ce cas, 5), car la variable n'apparaît pas dans l'expression définissant la fonction.
### Query ###
Est-ce que si on prend une fonction qui est toujours la même valeur comme 5 ou 10, ça veut dire que sa dérivée va être zéro ou peut-être que ça va être autre chose parfois ?

### Main Text ###
Proof

Let c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } and f (x) = c {\displaystyle f(x)=c}. By the definition of the derivative,

This shows that the derivative of any constant function is 0.

### Supplementary Text ###
Fonction constante

Une constante peut être utilisée pour définir une fonction constante qui ignore ses arguments et renvoie toujours la même valeur. Une fonction constante d'une seule variable, telle que f (x) = 5, a un graphique qui est une ligne horizontale parallèle à l'axe des x. Une telle fonction prend toujours la même valeur (dans ce cas, 5), car la variable n'apparaît pas dans l'expression définissant la fonction.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"fonction qui est toujours la même valeur comme 5 ou 10" → constant function (value 5 or 10)
"sa dérivée va être zéro ou peut-être que ça va être autre chose parfois" → seeking confirmation + edge cases

Key uncertainty: "parfois" suggests user thinks derivatives might vary. Need to address this misconception directly.

### 2. Core Mathematical Context

● Constant functions: f(x) = c where c ∈ ℝ
● Derivative definition: f'(x) = lim[h→0] [f(x+h) - f(x)]/h
● For constants: f'(x) = lim[h→0] [c - c]/h = lim[h→0] [0]/h = 0

∴ f'(x) = 0 always. No exceptions.

### 3. Verification Through Limits

Let's verify f(x) = 5:
f'(x) = lim[h→0] [5 - 5]/h = lim[h→0] [0]/h = lim[h→0] 0 = 0

Same for f(x) = 10 or any constant c.

The numerator is always zero → derivative zero regardless of input x or constant value c.

### 4. Intuitive Explanation

Constant functions produce flat lines on graphs.
Zero slope everywhere → zero derivative everywhere.
No matter how you zoom, no matter the constant value - derivative remains zero.

### 5. Addressing User's Concern

"ça va être autre chose parfois" → misconception.

Actually, the derivative IS always zero for constants.
User might be thinking of:
- Other function types (linear, quadratic, etc.)
- Intermediate value theorem applications  
- Numerical approximation errors

But for pure constants: f'(x) = 0, period.

### 6. Counter-Examples & Clarification

If function varies: f(x) = x, f(x) = x², f(x) = sin(x)
→ Derivatives: f'(x) = 1, f'(x) = 2x, f'(x) = cos(x)
→ Values change with x

But if constant: f(x) = 5, f(x) = π, f(x) = e
→ Derivatives: f'(x) = 0, f'(x) = 0, f'(x) = 0
→ Always zero, regardless of c or x

### 7. Conclusion

✓ Constant functions have zero derivative
✓ This applies to all constants (5, 10, π, e, etc.)  
✓ No exceptions or edge cases
✓ User's "parfois" concern is incorrect for pure constants

The mathematical certainty here is absolute. No ambiguity.

### Answer###
Oui, si une fonction garde toujours la même valeur (comme f(x) = 5 ou f(x) = 10), sa dérivée sera effectivement zéro.

Plus précisément, lorsqu'une fonction constante ne dépend pas de sa variable d'entrée et produit toujours la même sortie, sa dérivée est toujours nulle. Cela s'explique par le fait que la pente de la ligne horizontale représentant une telle fonction est constamment égale à zéro en tout point.

La dérivée d'une fonction constante peut être calculée formellement en utilisant la définition de la dérivée : si f(x) = c (où c est une constante), alors f'(x) = 0. Cette relation reste vraie quel que soit la valeur constante spécifique utilisée.

Les fonctions constantes produisent des graphiques qui sont des lignes horizontales parallèles à l'axe des x, et cette propriété géométrique correspond directement à leur dérivée nulle en tout point.