Pourquoi les graphes orientés simples ne peuvent pas avoir de boucles ?
Directed graph

A directed graph or digraph is a graph in which edges have orientations.

In one restricted but very common sense of the term, a directed graph is an ordered pair G = (V, E) {\displaystyle G=(V,E)} comprising:

To avoid ambiguity, this type of object may be called precisely a directed simple graph. In set theory and graph theory, V n {\displaystyle V^{n}} denotes the set of n - tuples of elements of V, {\displaystyle V,} that is, ordered sequences of n {\displaystyle n} elements that are not necessarily distinct.

In the edge (x, y) {\displaystyle (x,y)} directed from x {\displaystyle x} to y {\displaystyle y}, the vertices x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are called the endpoints of the edge, x {\displaystyle x} the tail of the edge and y {\displaystyle y} the head of the edge. The edge is said to join x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} and to be incident on x {\displaystyle x} and on y {\displaystyle y}. A vertex may exist in a graph and not belong to an edge. The edge (y, x) {\displaystyle (y,x)} is called the inverted edge of (x, y) {\displaystyle (x,y)}. Multiple edges, not allowed under the definition above, are two or more edges with both the same tail and the same head.

In one more general sense of the term allowing multiple edges, a directed graph is an ordered triple G = (V, E, ϕ) {\displaystyle G=(V,E,\phi)} comprising:

To avoid ambiguity, this type of object may be called precisely a directed multigraph.

A loop is an edge that joins a vertex to itself. Directed graphs as defined in the two definitions above cannot have loops, because a loop joining a vertex x {\displaystyle x} to itself is the edge (for a directed simple graph) or is incident on (for a directed multigraph) (x, x) {\displaystyle (x,x)} which is not in { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 and x ≠ y } {\displaystyle \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}}. So to allow loops the definitions must be expanded. For directed simple graphs, the definition of E {\displaystyle E} should be modified to E ⊆ { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle E\subseteq \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. For directed multigraphs, the definition of ϕ {\displaystyle \phi } should be modified to ϕ: E → { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle \phi:E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. To avoid ambiguity, these types of objects may be called precisely a directed simple graph permitting loops and a directed multigraph permitting loops (or a quiver) respectively.

The edges of a directed simple graph permitting loops G {\displaystyle G} is a homogeneous relation ~ on the vertices of G {\displaystyle G} that is called the adjacency relation of G {\displaystyle G}. Specifically, for each edge (x, y) {\displaystyle (x,y)}, its endpoints x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are said to be adjacent to one another, which is denoted x {\displaystyle x} ~ y {\displaystyle y}.
Graphe orienté

Un graphe orienté, ou digraph, est un graphe dans lequel les arêtes ont des orientations.

Dans un sens restreint mais très courant du terme, un graphe orienté est un couple ordonné G = (V, E) {\displaystyle G=(V,E)} comprenant :

Afin d'éviter toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un graphe simple orienté. En théorie des ensembles et en théorie des graphes, V n {\displaystyle V^{n}} désigne l'ensemble des n - tuples d'éléments de V, {\displaystyle V,} c'est-à-dire des séquences ordonnées de n {\displaystyle n} éléments qui ne sont pas nécessairement distincts.

Dans l'arête (x, y) {\displaystyle (x,y)} orientée de x {\displaystyle x} vers y {\displaystyle y}, les sommets x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} sont appelés les extrémités de l'arête, x {\displaystyle x} la queue de l'arête et y {\displaystyle y} la tête de l'arête. On dit que l'arête relie x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} et est incidente à x {\displaystyle x} et à y {\displaystyle y}. Un sommet peut exister dans un graphe sans appartenir à une arête. L'arête (y, x) {\displaystyle (y,x)} est appelée l'arête inversée de (x, y) {\displaystyle (x,y)}. Des arêtes multiples, non autorisées par la définition ci-dessus, sont deux ou plusieurs arêtes ayant à la fois la même queue et la même tête.

Dans un sens plus général du terme autorisant les arêtes multiples, un graphe orienté est un triplet ordonné G = (V, E, ϕ) {\displaystyle G=(V,E,\phi)} comprenant :

Afin d'éviter toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un multigraphe orienté.

Une boucle est une arête qui relie un sommet à lui-même. Les graphes orientés tels que définis dans les deux définitions ci-dessus ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle reliant un sommet x {\displaystyle x} à lui-même est l'arête (pour un graphe simple orienté) ou est incidente à (pour un multigraphe orienté) (x, x) {\displaystyle (x,x)} qui n'est pas dans { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 et x ≠ y } {\displaystyle \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}}. Pour autoriser les boucles, les définitions doivent donc être étendues. Pour les graphes simples orientés, la définition de E {\displaystyle E} doit être modifiée pour E ⊆ { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle E\subseteq \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. Pour les multigraphes orientés, la définition de ϕ {\displaystyle \phi } doit être modifiée pour ϕ: E → { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle \phi:E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. Afin d'éviter toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un graphe simple orienté autorisant les boucles et un multigraphe orienté autorisant les boucles (ou un quiver) respectivement.

Les arêtes d'un graphe simple orienté autorisant les boucles G {\displaystyle G} forment une relation homogène ~ sur les sommets de G {\displaystyle G} qui est appelée la relation d'adjacence de G {\displaystyle G}. Plus précisément, pour chaque arête (x, y) {\displaystyle (x,y)}, ses extrémités x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} sont dites adjacentes l'une à l'autre, ce qui est noté x {\displaystyle x} ~ y {\displaystyle y}.
### Query ###
Pourquoi les graphes orientés simples ne peuvent pas avoir de boucles ?

### Main Text ###
Directed graph

A directed graph or digraph is a graph in which edges have orientations.

In one restricted but very common sense of the term, a directed graph is an ordered pair G = (V, E) {\displaystyle G=(V,E)} comprising:

To avoid ambiguity, this type of object may be called precisely a directed simple graph. In set theory and graph theory, V n {\displaystyle V^{n}} denotes the set of n - tuples of elements of V, {\displaystyle V,} that is, ordered sequences of n {\displaystyle n} elements that are not necessarily distinct.

In the edge (x, y) {\displaystyle (x,y)} directed from x {\displaystyle x} to y {\displaystyle y}, the vertices x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are called the endpoints of the edge, x {\displaystyle x} the tail of the edge and y {\displaystyle y} the head of the edge. The edge is said to join x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} and to be incident on x {\displaystyle x} and on y {\displaystyle y}. A vertex may exist in a graph and not belong to an edge. The edge (y, x) {\displaystyle (y,x)} is called the inverted edge of (x, y) {\displaystyle (x,y)}. Multiple edges, not allowed under the definition above, are two or more edges with both the same tail and the same head.

In one more general sense of the term allowing multiple edges, a directed graph is an ordered triple G = (V, E, ϕ) {\displaystyle G=(V,E,\phi)} comprising:

To avoid ambiguity, this type of object may be called precisely a directed multigraph.

A loop is an edge that joins a vertex to itself. Directed graphs as defined in the two definitions above cannot have loops, because a loop joining a vertex x {\displaystyle x} to itself is the edge (for a directed simple graph) or is incident on (for a directed multigraph) (x, x) {\displaystyle (x,x)} which is not in { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 and x ≠ y } {\displaystyle \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}}. So to allow loops the definitions must be expanded. For directed simple graphs, the definition of E {\displaystyle E} should be modified to E ⊆ { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle E\subseteq \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. For directed multigraphs, the definition of ϕ {\displaystyle \phi } should be modified to ϕ: E → { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle \phi:E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. To avoid ambiguity, these types of objects may be called precisely a directed simple graph permitting loops and a directed multigraph permitting loops (or a quiver) respectively.

The edges of a directed simple graph permitting loops G {\displaystyle G} is a homogeneous relation ~ on the vertices of G {\displaystyle G} that is called the adjacency relation of G {\displaystyle G}. Specifically, for each edge (x, y) {\displaystyle (x,y)}, its endpoints x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are said to be adjacent to one another, which is denoted x {\displaystyle x} ~ y {\displaystyle y}.

### Supplementary Text ###
Graphe orienté

Un graphe orienté, ou digraph, est un graphe dans lequel les arêtes ont des orientations.

Dans un sens restreint mais très courant du terme, un graphe orienté est un couple ordonné G = (V, E) {\displaystyle G=(V,E)} comprenant :

Afin d'éviter toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un graphe simple orienté. En théorie des ensembles et en théorie des graphes, V n {\displaystyle V^{n}} désigne l'ensemble des n - tuples d'éléments de V, {\displaystyle V,} c'est-à-dire des séquences ordonnées de n {\displaystyle n} éléments qui ne sont pas nécessairement distincts.

Dans l'arête (x, y) {\displaystyle (x,y)} orientée de x {\displaystyle x} vers y {\displaystyle y}, les sommets x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} sont appelés les extrémités de l'arête, x {\displaystyle x} la queue de l'arête et y {\displaystyle y} la tête de l'arête. On dit que l'arête relie x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} et est incidente à x {\displaystyle x} et à y {\displaystyle y}. Un sommet peut exister dans un graphe sans appartenir à une arête. L'arête (y, x) {\displaystyle (y,x)} est appelée l'arête inversée de (x, y) {\displaystyle (x,y)}. Des arêtes multiples, non autorisées par la définition ci-dessus, sont deux ou plusieurs arêtes ayant à la fois la même queue et la même tête.

Dans un sens plus général du terme autorisant les arêtes multiples, un graphe orienté est un triplet ordonné G = (V, E, ϕ) {\displaystyle G=(V,E,\phi)} comprenant :

Afin d'éviter toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un multigraphe orienté.

Une boucle est une arête qui relie un sommet à lui-même. Les graphes orientés tels que définis dans les deux définitions ci-dessus ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle reliant un sommet x {\displaystyle x} à lui-même est l'arête (pour un graphe simple orienté) ou est incidente à (pour un multigraphe orienté) (x, x) {\displaystyle (x,x)} qui n'est pas dans { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 et x ≠ y } {\displaystyle \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}}. Pour autoriser les boucles, les définitions doivent donc être étendues. Pour les graphes simples orientés, la définition de E {\displaystyle E} doit être modifiée pour E ⊆ { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle E\subseteq \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. Pour les multigraphes orientés, la définition de ϕ {\displaystyle \phi } doit être modifiée pour ϕ: E → { (x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 } {\displaystyle \phi:E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}}. Afin d'éviter toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un graphe simple orienté autorisant les boucles et un multigraphe orienté autorisant les boucles (ou un quiver) respectivement.

Les arêtes d'un graphe simple orienté autorisant les boucles G {\displaystyle G} forment une relation homogène ~ sur les sommets de G {\displaystyle G} qui est appelée la relation d'adjacence de G {\displaystyle G}. Plus précisément, pour chaque arête (x, y) {\displaystyle (x,y)}, ses extrémités x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} sont dites adjacentes l'une à l'autre, ce qui est noté x {\displaystyle x} ~ y {\displaystyle y}.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi les graphes orientés simples ne peuvent pas avoir de boucles ?"
→ "Why can't simple oriented graphs have loops?"

Key terms: *orientés* = directed, *simples* = simple, *boucles* = loops.
Direct translation. Standard graph theory terminology.

No semantic ambiguity. Clear mathematical question.

### 2. Immediate Answer

Simple oriented graphs G = (V,E) by definition exclude loops.

Standard definition: E ⊆ V × V, (x,y) ∈ E means edge from x to y.
No (x,x) allowed. That's the loop prohibition.

※ This is definitional, not logical impossibility.

### 3. Technical Verification

Loop = edge from vertex to itself.
In set notation: (v,v) for some v ∈ V.

Simple graphs: E ⊆ V × V, no parallel edges, no loops.
Oriented version: E ⊆ V × V, no parallel edges, no loops.

∴ Definition excludes loops by construction.

### 4. Contrast Cases

*Simple oriented graphs*: E ⊆ V × V \{loops, parallel edges}
*Oriented multigraphs*: E ⊆ (V × V) ∪ {(v,v)}  ← allows loops

⟨H≈0.2⟩ Think of it: if you have edge (v,v), that's like saying "vertex v connects to itself." But in directed sense - which direction? From v to v? That's ambiguous. Loop breaks the orientation concept. No preferred direction exists. ⟨/H⟩

### 5. Why This Definition?

Historical convention. Standard in literature.
Makes sense: loops are degenerate cases.
Allows clean mathematical treatment.

? Alternative definitions exist? Yes, but standard one wins by convention.

### 6. Final Synthesis

Simple oriented graphs exclude loops because:

● Definitional: standard graph theory excludes loops from simple graphs
● Technical: no (v,v) in E by definition  
● Historical: established convention in literature
● Logical: makes mathematical treatment cleaner

NB: Not a fundamental impossibility - just definitional boundary.

∴ Answer: definitional exclusion, not technical constraint.

### Answer###
Les graphes orientés simples ne peuvent pas avoir de boucles par définition même. Un graphe orienté simple est formellement défini comme un couple ordonné G = (V, E) où E est un ensemble d'arêtes orientées. Par construction, cette définition exclut les boucles dès le départ.

Plus précisément, une boucle serait représentée par une arête de la forme (x, x) - c'est-à-dire une arête orientée d'un sommet vers lui-même. Or, par définition d'un graphe orienté simple, les arêtes ne peuvent pas être des paires (x, x) où x ≠ y. Cette restriction fait partie intégrante de la définition formelle des graphes orientés simples.

Pour permettre l'existence de boucles, il faut étendre la définition des graphes orientés. Dans ce cas, plutôt qu'un graphe orienté simple, on obtient un graphe orienté simple autorisant les boucles, où la définition de l'ensemble des arêtes E est modifiée pour autoriser les paires (x, x). Cette extension transforme le graphe initial en un objet mathématique différent, un graphe orienté autorisant les boucles, souvent appelé simplement "quiver" en anglais.