Pourquoi ils ont besoin de cette formule avec les fractions pour le gamma ?
Properties

The Bohr–Mollerup theorem states that among all functions extending the factorial functions to the positive real numbers, only the gamma function is log-convex, that is, its natural logarithm is convex on the positive real axis. Another characterisation is given by the Wielandt theorem.

The gamma function is the unique function that simultaneously satisfies

In a certain sense, the log-gamma function is the more natural form; it makes some intrinsic attributes of the function clearer. A striking example is the Taylor series of logΓ around 1: l o g Γ (z + 1) = − γ z + ∑ k = 2 ∞ ζ (k) k (− z) k ∀ | z | < 1 {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1} with ζ (k) denoting the Riemann zeta function at k.

So, using the following property: ζ (s) Γ (s) = ∫ 0 ∞ t s e t − 1 d t t {\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}} we can find an integral representation for the log-gamma function: l o g Γ (z + 1) = − γ z + ∫ 0 ∞ e − z t − 1 + z t t (e t − 1) d t {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt} or, setting z = 1 to obtain an integral for γ, we can replace the γ term with its integral and incorporate that into the above formula, to get: l o g Γ (z + 1) = ∫ 0 ∞ e − z t − z e − t − 1 + z t (e t − 1) d t. {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}

There also exist special formulas for the logarithm of the gamma function for rational z. For instance, if k {\displaystyle k} and n {\displaystyle n} are integers with k < n {\displaystyle k<n} and k ≠ n / 2, {\displaystyle k\neq n/2\,,} then l o g Γ (k n) = (n − 2 k) log 2 π 2 n + 1 2 { log π − log sin π k n } + 1 π ∑ r = 1 n − 1 γ + log r r ⋅ sin 2 π r k n − 1 2 π sin 2 π k n ⋅ ∫ 0 ∞ e − n x ⋅ log x cosh x − cos (2 π k / n) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}} This formula is sometimes used for numerical computation, since the integrand decreases very quickly.
En mathématiques, la fonction gamma (représentée par Γ, la lettre grecque majuscule gamma) est une extension couramment utilisée de la fonction factorielle aux nombres complexes. La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers non positifs. Pour tout entier positif n, Γ(n) = (n − 1) !.

Dérivée par Daniel Bernoulli, pour les nombres complexes ayant une partie réelle positive, la fonction gamma est définie par une intégrale impropre convergente :

Γ(z) = ∫₀<sup>∞</sup> t<sup>z−1</sup> e<sup>−t</sup> dt, ℜ(z) > 0.

La fonction gamma est alors définie comme le prolongement analytique de cette fonction intégrale en une fonction méromorphe qui est holomorphe dans tout le plan complexe, à l'exception de zéro et des entiers négatifs, où la fonction possède des pôles simples.

La fonction gamma n'a pas de zéros, donc la fonction réciproque gamma 1 / Γ(z) est une fonction entière. En fait, la fonction gamma correspond à la transformée de Mellin de la fonction exponentielle négative :

Γ(z) = M { e<sup>−x</sup> } (z).

D'autres extensions de la fonction factorielle existent, mais la fonction gamma est la plus populaire et la plus utile. Elle est un composant de diverses fonctions de distribution de probabilité, et est donc applicable dans les domaines de la probabilité et des statistiques, ainsi que de la combinatoire.
### Query ###
Pourquoi ils ont besoin de cette formule avec les fractions pour le gamma ?

### Main Text ###
Properties

The Bohr–Mollerup theorem states that among all functions extending the factorial functions to the positive real numbers, only the gamma function is log-convex, that is, its natural logarithm is convex on the positive real axis. Another characterisation is given by the Wielandt theorem.

The gamma function is the unique function that simultaneously satisfies

In a certain sense, the log-gamma function is the more natural form; it makes some intrinsic attributes of the function clearer. A striking example is the Taylor series of logΓ around 1: l o g Γ (z + 1) = − γ z + ∑ k = 2 ∞ ζ (k) k (− z) k ∀ | z | < 1 {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1} with ζ (k) denoting the Riemann zeta function at k.

So, using the following property: ζ (s) Γ (s) = ∫ 0 ∞ t s e t − 1 d t t {\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}} we can find an integral representation for the log-gamma function: l o g Γ (z + 1) = − γ z + ∫ 0 ∞ e − z t − 1 + z t t (e t − 1) d t {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt} or, setting z = 1 to obtain an integral for γ, we can replace the γ term with its integral and incorporate that into the above formula, to get: l o g Γ (z + 1) = ∫ 0 ∞ e − z t − z e − t − 1 + z t (e t − 1) d t. {\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}

There also exist special formulas for the logarithm of the gamma function for rational z. For instance, if k {\displaystyle k} and n {\displaystyle n} are integers with k < n {\displaystyle k<n} and k ≠ n / 2, {\displaystyle k\neq n/2\,,} then l o g Γ (k n) = (n − 2 k) log 2 π 2 n + 1 2 { log π − log sin π k n } + 1 π ∑ r = 1 n − 1 γ + log r r ⋅ sin 2 π r k n − 1 2 π sin 2 π k n ⋅ ∫ 0 ∞ e − n x ⋅ log x cosh x − cos (2 π k / n) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}} This formula is sometimes used for numerical computation, since the integrand decreases very quickly.

### Supplementary Text ###
En mathématiques, la fonction gamma (représentée par Γ, la lettre grecque majuscule gamma) est une extension couramment utilisée de la fonction factorielle aux nombres complexes. La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers non positifs. Pour tout entier positif n, Γ(n) = (n − 1) !.

Dérivée par Daniel Bernoulli, pour les nombres complexes ayant une partie réelle positive, la fonction gamma est définie par une intégrale impropre convergente :

Γ(z) = ∫₀<sup>∞</sup> t<sup>z−1</sup> e<sup>−t</sup> dt, ℜ(z) > 0.

La fonction gamma est alors définie comme le prolongement analytique de cette fonction intégrale en une fonction méromorphe qui est holomorphe dans tout le plan complexe, à l'exception de zéro et des entiers négatifs, où la fonction possède des pôles simples.

La fonction gamma n'a pas de zéros, donc la fonction réciproque gamma 1 / Γ(z) est une fonction entière. En fait, la fonction gamma correspond à la transformée de Mellin de la fonction exponentielle négative :

Γ(z) = M { e<sup>−x</sup> } (z).

D'autres extensions de la fonction factorielle existent, mais la fonction gamma est la plus populaire et la plus utile. Elle est un composant de diverses fonctions de distribution de probabilité, et est donc applicable dans les domaines de la probabilité et des statistiques, ainsi que de la combinatoire.

### Draft ###

Query: "Pourquoi ils ont besoin de cette formule avec les fractions pour le gamma?"

**Parsing issue first.** Missing context. "Cette formule" → which formula? ○

Response assumes specific formula with fractions. But which one?

### 1. Gamma Function Context

Gamma function Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt, ℜ(z) > 0.

Extensions beyond integer arguments needed. Factorial n! = Γ(n+1) only works for integers.

**Key insight:** Rational arguments crucial for applications.

### 2. Formula Candidates

Response mentions "formule avec les fractions" for Γ(k/n).

Possible candidates:
- Euler's reflection formula?
- Stirling approximation?
- Integral representations?
- Asymptotic expansions?

**Problem:** No specific formula cited makes this very abstract. ⚠

### 3. Why Fractions Matter

**Practical necessity:**
- Probability distributions (Beta, Gamma, etc.)
- Statistical modeling
- Physical problems requiring fractional parameters
- Numerical computation stability

**Mathematical depth:**
- Euler's work (1740s-1750s)
- Complex analysis extensions
- Special function theory
- Computational mathematics

### 4. Response Evaluation

**Strengths:**
- Mentions practical applications ✓
- Notes mathematical depth ✓
- Acknowledges complexity ✓

**Weaknesses:**
- No specific formula reference ○
- Vague about "this formula" ○
- Over-generalized about fractions ⚠

### 5. Missing Context Analysis

Original query likely refers to:
- Computational techniques for Γ(k/n)
- Specific integral representations
- Numerical approximation methods
- Historical development

**Translation barrier:** French mathematical terminology → English concepts.

**Information retrieval failure:** Response deflects rather than addresses specific query.

### 6. Critical Assessment

The response pattern suggests:
1. Query ambiguity not handled properly
2. Mathematical knowledge displayed but not applied
3. Avoidance of giving concrete examples

**Better approach would:**
- Ask clarifying questions about "this formula"
- Provide specific examples
- Address concrete mathematical content
- Give practical computational insights

**∴ Conclusion:** Response demonstrates mathematical sophistication but fails retrieval task due to missing context specificity. Deflects rather than engages with user's actual mathematical question.

**Recommendation:** Flag as incomplete and request clarification on intended formula before attempting comprehensive mathematical analysis.

### Answer###
La fonction gamma est effectivement une extension de la fonction factorielle aux nombres complexes, définie par l'intégrale ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt pour ℜ(z) > 0. Cette représentation intégrale permet de calculer la fonction gamma pour des arguments qui ne sont pas des entiers naturels.

Les formules avec des fractions pour calculer gamma(k/n) sont particulièrement importantes car elles offrent des représentations analytiques spécifiques pour les arguments rationnels. Ces formules permettent de calculer la valeur de gamma(k/n) sans avoir à recourir directement à l'intégrale définissant la fonction gamma, ce qui peut être plus pratique numériquement.

Ces formules spéciales pour les arguments rationnels incluent souvent des intégrales qui convergent plus rapidement que l'intégrale originale, rendant les calculs numériques plus efficaces. Par exemple, une formule mentionnée calcule gamma(k/n) en termes d'une intégrale qui diminue très rapidement, ce qui améliore la stabilité numérique des calculs.

Le développement de ces formules s'inscrit dans une tradition mathématique plus large qui cherche à caractériser et à calculer la fonction gamma pour des classes particulières d'arguments, notamment grâce à des séries de Taylor et des représentations intégrales spécifiques.