Dis-moi, pourquoi est-ce qu'on dit qu'un état détermine l'action à exécuter dans une machine à états finis, et comment ça se fait qu'on puisse faire la même chose avec plusieurs états différents ?
Concepts and terminology

A state is a description of the status of a system that is waiting to execute a transition. A transition is a set of actions to be executed when a condition is fulfilled or when an event is received.For example, when using an audio system to listen to the radio (the system is in the "radio" state), receiving a "next" stimulus results in moving to the next station. When the system is in the "CD" state, the "next" stimulus results in moving to the next track. Identical stimuli trigger different actions depending on the current state.

In some finite-state machine representations, it is also possible to associate actions with a state:
Une machine à états finis (MEF), ou automate fini, automate fini, ou simplement machine d'états, est un modèle mathématique de calcul. C'est une machine abstraite qui peut se trouver exactement dans l'un d'un nombre fini d'états à un instant donné. La MEF peut changer d'un état à un autre en réponse à des entrées ; ce changement d'état est appelé transition. Une MEF est définie par une liste de ses états, son état initial et les entrées qui déclenchent chaque transition. Les machines à états finis sont de deux types : les automates finis déterministes et les automates finis non déterministes. Pour tout automate fini non déterministe, un automate fini déterministe équivalent peut être construit. Le comportement des machines d'états peut être observé dans de nombreux dispositifs de la société moderne qui effectuent une séquence prédéterminée d'actions en fonction d'une séquence d'événements qui leur sont présentés. Des exemples simples sont : les distributeurs automatiques, qui distribuent des produits lorsque la combinaison correcte de pièces est déposée ; les ascenseurs, dont la séquence d'arrêts est déterminée par les étages demandés par les passagers ; les feux de circulation, qui changent de séquence lorsqu'il y a des voitures en attente ; les serrures à combinaison, qui nécessitent la saisie d'une séquence de chiffres dans le bon ordre. La machine à états finis a moins de puissance de calcul que certains autres modèles de calcul tels que la machine de Turing. Cette distinction en termes de puissance de calcul signifie qu'il existe des tâches de calcul qu’une machine de Turing peut effectuer mais qu’une MEF ne peut pas. Cela est dû au fait que la mémoire d’une MEF est limitée par le nombre d’états qu’elle possède. Une machine à états finis a la même puissance de calcul qu’une machine de Turing qui est restreinte de sorte que sa tête ne puisse effectuer que des opérations de "lecture" et qu’elle doive toujours se déplacer de gauche à droite. Les MEF sont étudiées dans le domaine plus général de la théorie des automates.
### Query ###
Dis-moi, pourquoi est-ce qu'on dit qu'un état détermine l'action à exécuter dans une machine à états finis, et comment ça se fait qu'on puisse faire la même chose avec plusieurs états différents ?

### Main Text ###
Concepts and terminology

A state is a description of the status of a system that is waiting to execute a transition. A transition is a set of actions to be executed when a condition is fulfilled or when an event is received.For example, when using an audio system to listen to the radio (the system is in the "radio" state), receiving a "next" stimulus results in moving to the next station. When the system is in the "CD" state, the "next" stimulus results in moving to the next track. Identical stimuli trigger different actions depending on the current state.

In some finite-state machine representations, it is also possible to associate actions with a state:

### Supplementary Text ###
Une machine à états finis (MEF), ou automate fini, automate fini, ou simplement machine d'états, est un modèle mathématique de calcul. C'est une machine abstraite qui peut se trouver exactement dans l'un d'un nombre fini d'états à un instant donné. La MEF peut changer d'un état à un autre en réponse à des entrées ; ce changement d'état est appelé transition. Une MEF est définie par une liste de ses états, son état initial et les entrées qui déclenchent chaque transition. Les machines à états finis sont de deux types : les automates finis déterministes et les automates finis non déterministes. Pour tout automate fini non déterministe, un automate fini déterministe équivalent peut être construit. Le comportement des machines d'états peut être observé dans de nombreux dispositifs de la société moderne qui effectuent une séquence prédéterminée d'actions en fonction d'une séquence d'événements qui leur sont présentés. Des exemples simples sont : les distributeurs automatiques, qui distribuent des produits lorsque la combinaison correcte de pièces est déposée ; les ascenseurs, dont la séquence d'arrêts est déterminée par les étages demandés par les passagers ; les feux de circulation, qui changent de séquence lorsqu'il y a des voitures en attente ; les serrures à combinaison, qui nécessitent la saisie d'une séquence de chiffres dans le bon ordre. La machine à états finis a moins de puissance de calcul que certains autres modèles de calcul tels que la machine de Turing. Cette distinction en termes de puissance de calcul signifie qu'il existe des tâches de calcul qu’une machine de Turing peut effectuer mais qu’une MEF ne peut pas. Cela est dû au fait que la mémoire d’une MEF est limitée par le nombre d’états qu’elle possède. Une machine à états finis a la même puissance de calcul qu’une machine de Turing qui est restreinte de sorte que sa tête ne puisse effectuer que des opérations de "lecture" et qu’elle doive toujours se déplacer de gauche à droite. Les MEF sont étudiées dans le domaine plus général de la théorie des automates.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Dis-moi, pourquoi est-ce qu'on dit qu'un état détermine l'action à exécuter"

Key phrase: "état détermine l'action" → state determines action. User questioning this causality.

"comment ça se fait qu'on puisse faire la même chose avec plusieurs états différents"

Semantic ambiguity here. Could mean:
- Multiple states → same action? 
- Multiple actions from same state?
- Or bidirectional relationship confusion?

### 2. Concept Retrieval

Finite state machines (FSMs). Core principle: ● state determines behavior, not vice versa.

Current state + input → next state + action
- State: internal memory of machine
- Input: external stimulus triggering transition  
- Action: output behavior or side effect

Classical example: traffic light.
- Red state: allow no movement, stay red on timeout
- Green state: allow forward, change to yellow after 30s
- Yellow state: warn, change to red after 2s

### 3. The Determination Principle

Why "determines"? Because FSMs are deterministic.

For given (state, input) pair → exactly one transition.
Multiple paths impossible → pure determinism.

This is what makes them predictable, mathematically tractable.

But user's confusion valid: same input can trigger different actions depending on state.

### 4. Multiple State Question Resolution

User likely confused about bidirectional causality.

Not "multiple states determine same action" but rather:
- Single state + input → action
- Multiple states + same input → different actions

Example: elevator system
- Ground floor: door opens, lights on
- 2nd floor: door opens, lights on  
- Same "open door" action, different states trigger it

### 5. Mathematical Foundation

FSM formally defined as 5-tuple:
M = (Q, Σ, δ, q₀, F)
- Q: set of states
- Σ: input alphabet  
- δ: transition function (Q × Σ → Q)
- q₀: initial state
- F: final states

Transition function is deterministic → exactly one next state per (state, input) pair.

∴ State determines action through transition function application.

### 6. Synthesis

User's intuition backwards. State doesn't "adapt to determine action" but rather:

State + Input = Transition Rule = Next State + Action

Multiple states can trigger same action (as response noted). But same state + same input always yields same action (determinism requirement).

FSMs mathematically pure because this determination relationship is unambiguous.

⟨H≈0.8⟩ Perhaps user thinking of nondeterministic systems where choices matter? Or biological feedback loops where state adapts to input? FSMs sacrifice adaptability for predictability...

### Answer###
Dans une machine à états finis, l'état détermine effectivement l'action à exécuter car le comportement du système dépend entièrement de son état actuel et de l'entrée qu'il reçoit. Chaque état représente une description du statut du système qui attend d'exécuter une transition.

Le principe fonctionne ainsi : lorsque le système reçoit une entrée (un événement ou stimulus), il consulte son état actuel pour déterminer quelle action effectuer. Par exemple, dans un système audio, si vous êtes en mode "radio" et que vous appuyez sur le bouton "suivant", le système passera automatiquement à la station suivante. Si vous étiez en mode "CD" au lieu de "radio", la même action "suivant" déclencherait une transition vers le morceau suivant plutôt que vers une autre station.

Cette relation entre état et action est ce qui fait la puissance des machines à états finis : un même stimulus peut déclencher des actions complètement différentes selon l'état dans lequel se trouve le système. Les états déterministes garantissent que pour un état donné et une entrée donnée, il n'y a qu'une seule transition possible, ce qui rend le comportement du système prévisible et reproductible.

Les machines à états finis peuvent également être associées à des actions qui se déclenchent lors du changement d'état, indépendamment de l'entrée reçue. Cette flexibilité permet une gamme variée de comportements selon la séquence des événements rencontrés par le système.