Comment ça se fait que le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle qui marchent pour prouver l'existence d'un maximum global en une dimension ne fonctionnent pas en deux dimensions ?
Functions of more than one variable

For functions of more than one variable, similar conditions apply. For example, in the (enlargeable) figure on the right, the necessary conditions for a local maximum are similar to those of a function with only one variable. The first partial derivatives as to z (the variable to be maximized) are zero at the maximum (the glowing dot on top in the figure). The second partial derivatives are negative. These are only necessary, not sufficient, conditions for a local maximum, because of the possibility of a saddle point. For use of these conditions to solve for a maximum, the function z must also be differentiable throughout. The second partial derivative test can help classify the point as a relative maximum or relative minimum.In contrast, there are substantial differences between functions of one variable and functions of more than one variable in the identification of global extrema. For example, if a bounded differentiable function f defined on a closed interval in the real line has a single critical point, which is a local minimum, then it is also a global minimum (use the intermediate value theorem and Rolle's theorem to prove this by contradiction). In two and more dimensions, this argument fails. This is illustrated by the function

whose only critical point is at (0,0), which is a local minimum with f (0,0) = 0. However, it cannot be a global one, because f (2,3) = −5.
En calcul différentiel, le théorème des valeurs extrêmes énonce que si une fonction réelle f est continue sur un intervalle fermé et borné, alors f atteint un maximum et un minimum, chacun au moins une fois. Autrement dit, il existe des nombres c et d dans l'intervalle tels que : f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) ∀ x ∈ de l'intervalle.

Le théorème des valeurs extrêmes est plus précis que le théorème de la borne supérieure connexe, qui affirme simplement qu'une fonction continue f sur un intervalle fermé est bornée sur cet intervalle ; c'est-à-dire, il existe des nombres réels m et M tels que : m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ de l'intervalle.

Cela ne dit pas que M et m sont nécessairement les valeurs maximales et minimales de f sur l'intervalle, ce que le théorème des valeurs extrêmes stipule également devoir être le cas.

Le théorème des valeurs extrêmes est utilisé pour prouver le théorème de Rolle. Dans une formulation due à Karl Weierstrass, ce théorème énonce qu'une fonction continue d'un espace compact non vide vers un sous-ensemble des nombres réels atteint un maximum et un minimum.
### Query ###
Comment ça se fait que le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle qui marchent pour prouver l'existence d'un maximum global en une dimension ne fonctionnent pas en deux dimensions ?

### Main Text ###
Functions of more than one variable

For functions of more than one variable, similar conditions apply. For example, in the (enlargeable) figure on the right, the necessary conditions for a local maximum are similar to those of a function with only one variable. The first partial derivatives as to z (the variable to be maximized) are zero at the maximum (the glowing dot on top in the figure). The second partial derivatives are negative. These are only necessary, not sufficient, conditions for a local maximum, because of the possibility of a saddle point. For use of these conditions to solve for a maximum, the function z must also be differentiable throughout. The second partial derivative test can help classify the point as a relative maximum or relative minimum.In contrast, there are substantial differences between functions of one variable and functions of more than one variable in the identification of global extrema. For example, if a bounded differentiable function f defined on a closed interval in the real line has a single critical point, which is a local minimum, then it is also a global minimum (use the intermediate value theorem and Rolle's theorem to prove this by contradiction). In two and more dimensions, this argument fails. This is illustrated by the function

whose only critical point is at (0,0), which is a local minimum with f (0,0) = 0. However, it cannot be a global one, because f (2,3) = −5.

### Supplementary Text ###
En calcul différentiel, le théorème des valeurs extrêmes énonce que si une fonction réelle f est continue sur un intervalle fermé et borné, alors f atteint un maximum et un minimum, chacun au moins une fois. Autrement dit, il existe des nombres c et d dans l'intervalle tels que : f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) ∀ x ∈ de l'intervalle.

Le théorème des valeurs extrêmes est plus précis que le théorème de la borne supérieure connexe, qui affirme simplement qu'une fonction continue f sur un intervalle fermé est bornée sur cet intervalle ; c'est-à-dire, il existe des nombres réels m et M tels que : m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ de l'intervalle.

Cela ne dit pas que M et m sont nécessairement les valeurs maximales et minimales de f sur l'intervalle, ce que le théorème des valeurs extrêmes stipule également devoir être le cas.

Le théorème des valeurs extrêmes est utilisé pour prouver le théorème de Rolle. Dans une formulation due à Karl Weierstrass, ce théorème énonce qu'une fonction continue d'un espace compact non vide vers un sous-ensemble des nombres réels atteint un maximum et un minimum.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait que le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle qui marchent pour prouver l'existence d'un maximum global en une dimension ne fonctionnent pas en deux dimensions ?"

Breaking down: ● "ne fonctionnent pas" - key claim needs verification ● "maximum global" vs local ● "en une dimension" vs "deux dimensions" → dimensional analysis critical

? Simple confusion or deeper misconception about proof techniques?

### 2. Core Misconception Analysis

User assumes: IVT + Rolle's → global max existence in ℝ¹
Reality check: Actually prove local max → global max for continuous, bounded, single critical point functions

! Key insight: These theorems don't prove existence directly. They eliminate contradiction arguments.

**Proof sketch for ℝ¹ case:**
Assume f(c) = max(f(x)) where c is critical point.
If f has single critical point, no other x satisfies f(x) > f(c).
∴ f(c) = global max.

**Why this fails in ℝ²:**
Counterexample needed. Consider f(x,y) = x² + y² - 5.
Critical point at origin. f(0,0) = -5.
But f(2,3) = 4 + 9 - 5 = 8.
→ Local min ≠ global min.

### 3. Dimensional Analysis

**One dimension:**
- Compact intervals force boundedness
- IVT guarantees intermediate values
- Rolle's theorem: no critical points between extrema
- Continuous + bounded + single critical = global extremum

**Two dimensions:**
- Boundedness not automatic on unbounded domains
- Critical points can exist everywhere
- No guaranteed connection between local/global extrema
- Saddle points complicate analysis

### 4. Technical Gaps

User conflates:
- Existence of extrema (guaranteed by EVT)
- Characterization of global extrema (requires additional analysis)
- Proof techniques for single vs multiple critical points

⟨H≈0.8⟩ Perhaps thinking of optimization algorithms? Gradient descent finds local optima, not global. Higher dimensions have multiple basins of attraction. The landscape becomes treacherous, mountainous, deceptive. What seems like a summit might be merely a false peak...

### 5. Resolution

These theorems don't "work" for global max in higher dimensions because they address different mathematical objects.

**Correct perspective:**
- EVT guarantees existence of global extrema on compact domains
- Rolle's theorem characterizes local extrema via derivatives
- Global characterization requires topological/analytical conditions

The failure isn't in the theorems themselves, but in the user's expectation that basic one-dimensional proof techniques automatically extend to higher dimensions.

**Bottom line:** Mathematical proofs are context-dependent. What works in ℝ¹ fails in ℝⁿ due to fundamental differences in topological properties, continuity requirements, and the geometry of extremum sets.

### Answer###
Le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle ne "marchent pas" pour prouver l'existence de maximums globaux en deux dimensions parce qu'en dimension supérieure, ces techniques de démonstration par contraposition ne sont plus applicables pour caractériser les extrémums globaux.

En une dimension, pour une fonction continue f sur un intervalle fermé borné ayant un seul point critique qui est un minimum local, ce point critique constitue nécessairement un minimum global. Cette démonstration utilise typiquement le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle pour établir par contradiction que toute autre valeur ne peut pas dépasser la valeur du point critique.

En deux dimensions et plus, cette argumentation fondamentale échoue. Un contre-exemple illustratif est la fonction f(x,y) = x² + y² - 5, qui présente un seul point critique en (0,0), constituant un minimum local avec f(0,0) = -5. Cependant, cette valeur ne peut pas être un minimum global puisque f(2,3) = 8, démontrant qu'il existe des points où la fonction dépasse largement cette valeur.

La différence essentielle réside dans le fait qu'en dimension supérieure, la caractérisation des extrémums globaux nécessite des conditions supplémentaires qui ne peuvent pas être déduites simplement des propriétés locales comme en dimension un. Les extrémums locaux ne garantissent pas automatiquement les extrémums globaux, et les techniques de démonstration par contraposition que vous mentionnez ne suffisent pas pour établir l'existence et la caractérisation des extrémums globaux dans des espaces de dimension supérieure à un.