Comment ça se fait que la fonction arctan elle marche pas pareil dans tous les coins, comme quand y'a un point qui est au-dessus ou en-dessous de zéro, et comment ça change les trucs quand on fait la dérivée de ça ?
Derivatives of trigonometric functions

The derivatives in the table above are for when the range of the inverse secant is {\displaystyle \!} and when the range of the inverse cosecant is. {\displaystyle \left.}

It is common to additionally define an inverse tangent function with two arguments, arctan (y, x). {\displaystyle \arctan(y,x).} Its value lies in the range {\displaystyle } and reflects the quadrant of the point (x, y). {\displaystyle (x,y).} For the first and fourth quadrant (i.e. x > 0 {\displaystyle x>0}) one has arctan (y, x > 0) = arctan (y / x). {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).} Its partial derivatives are
Dérivées des fonctions trigonométriques

Les dérivées du tableau ci-dessus sont valables lorsque l'étendue de la sécante inverse est {\displaystyle \!} et lorsque l'étendue de la cosécante inverse est. {\displaystyle \left.}

Il est courant de définir en outre une fonction tangente inverse à deux arguments, arctan (y, x). {\displaystyle \arctan(y,x).} Sa valeur se situe dans l'étendue {\displaystyle } et reflète le quadrant du point (x, y). {\displaystyle (x,y).} Pour le premier et le quatrième quadrant (c'est-à-dire x > 0 {\displaystyle x>0}), on a arctan (y, x > 0) = arctan (y / x). {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).} Ses dérivées partielles sont :

### Query ###
Comment ça se fait que la fonction arctan elle marche pas pareil dans tous les coins, comme quand y'a un point qui est au-dessus ou en-dessous de zéro, et comment ça change les trucs quand on fait la dérivée de ça ?

### Main Text ###
Derivatives of trigonometric functions

The derivatives in the table above are for when the range of the inverse secant is {\displaystyle \!} and when the range of the inverse cosecant is. {\displaystyle \left.}

It is common to additionally define an inverse tangent function with two arguments, arctan (y, x). {\displaystyle \arctan(y,x).} Its value lies in the range {\displaystyle } and reflects the quadrant of the point (x, y). {\displaystyle (x,y).} For the first and fourth quadrant (i.e. x > 0 {\displaystyle x>0}) one has arctan (y, x > 0) = arctan (y / x). {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).} Its partial derivatives are

### Supplementary Text ###
Dérivées des fonctions trigonométriques

Les dérivées du tableau ci-dessus sont valables lorsque l'étendue de la sécante inverse est {\displaystyle \!} et lorsque l'étendue de la cosécante inverse est. {\displaystyle \left.}

Il est courant de définir en outre une fonction tangente inverse à deux arguments, arctan (y, x). {\displaystyle \arctan(y,x).} Sa valeur se situe dans l'étendue {\displaystyle } et reflète le quadrant du point (x, y). {\displaystyle (x,y).} Pour le premier et le quatrième quadrant (c'est-à-dire x > 0 {\displaystyle x>0}), on a arctan (y, x > 0) = arctan (y / x). {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).} Ses dérivées partielles sont :


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait que la fonction arctan elle marche pas pareil dans tous les coins" 

→ Why arctan behaves differently across quadrants/regions
→ "coins" = corners/quadrants of coordinate plane
→ Implicit: discontinuity/jump behavior

"point qui est au-dessus ou en-dessous de zéro" 
→ x > 0 vs x < 0 cases
→ Zéro = horizontal axis? Context suggests x-axis

"dérivée de ça" → derivative of arctan
→ Seeking derivative behavior explanation

### 2. Core Issue Identification

● Arctan(x) = tan⁻¹(x) is multi-valued function
● Principal branch: restricts range to single interval
● Standard convention: [-π/2, π/2] range

Key insight: Discontinuity at x = 0 due to branch cut

### 3. Behavior Differences

**Positive x-values:**
- arctan(x) = arctan(y/x) for x > 0
- Smooth, continuous
- Single-valued in principal branch

**Negative x-values:**  
- arctan(x) jumps by ±π at x = 0
- Discontinuous 
- Two possible values differ by π

**At x = 0:**
- Left limit: arctan(0⁻) = -π/2
- Right limit: arctan(0⁺) = π/2
- Jump discontinuity

### 4. Derivative Implications

Standard form: d/dx arctan(x) = 1/(1+x²)

But behavior changes at x = 0:

**Regular points (x ≠ 0):**
- Smooth curve
- Well-defined tangent
- Standard derivative applies

**At x = 0:**
- Left derivative: -1 (slope of tangent line)
- Right derivative: +1 
- Derivative **does not exist** at x = 0

∴ Arctan has "corner" at origin due to discontinuity

### 5. Two-Argument arctan(y,x)

Solution: Extend to arctan(y,x) with quadrant information

- Range: (-π, π]
- Value determined by signs of y,x
- arctan(y,x) = arctan(y/x) when x > 0
- Partial derivatives exist everywhere

### 6. Geometric Intuition

⟨H≈0.8⟩ Think of arctan as "angle-finder" function... but angles wrap around circle, discontinuous jumps when crossing poles. Derivative represents local slope, but can't be smooth when underlying function jumps. Two-argument version = "unwrapped angle" with quadrant tagging...

### 7. Mathematical Formalization

Arctan(x) has:
- Discontinuity at x = 0
- Jump of ±π
- Derivative DNE at x = 0
- Branch cut at x = 0

Two-argument arctan(y,x):
- Continuous everywhere in domain
- Well-defined partial derivatives
- Captures full information about angle and quadrant

∴ Standard arctan is "compressed" version losing information about sign/quadrant → derivative behavior reflects this compression artifact.

### Answer###
La fonction arctan se comporte différemment selon les quadrants car elle est une fonction périodique qui emmène des valeurs réelles vers des angles. Quand on calcule arctan(y/x) pour x positif, la fonction est continue et régulière. Par contre, quand x devient négatif, la fonction fait un saut (discontinuité) de π radians au passage par zéro.

Cette discontinuité apparaît parce que la fonction tangente elle-même a des valeurs qui se répètent périodiquement. La tangente d'un angle positif donne le même résultat que la tangente de cet angle augmenté de π radians. Donc la fonction inverse (arctan) doit "choisir" une seule valeur parmi toutes les possibilités périodiques.

Concernant la dérivée, la forme standard d'arctan(x) est 1/(1+x²). Mais cette dérivée cache le comportement discontinu de la fonction. Aux points où la fonction fait un saut, la dérivée n'existe pas vraiment - elle représente la pente "moyenne" de la fonction sur un petit intervalle autour du point, et cette pente change brutalement quand on traverse le zéro.

Pour éviter ces problèmes, on peut utiliser une version à deux arguments arctan(y,x) qui donne le résultat dans le quadrant correct et qui est continue partout. Cette version étend la plage de résultats de (-π, π] et capture l'information du quadrant du point (x,y).

Cette structure explique pourquoi arctan nécessite souvent des conventions spéciales pour définir correctement sa plage de résultats et pourquoi sa dérivée peut sembler moins "lisse" qu'elle n'y paraît.