Qu'est-ce que la preuve de Turing ?
Turing's proof is a proof by Alan Turing, first published in November 1936 with the title " On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem ". It was the second proof (after Church's theorem) of the negation of Hilbert's Entscheidungsproblem; that is, the conjecture that some purely mathematical yes–no questions can never be answered by computation; more technically, that some decision problems are " undecidable " in the sense that there is no single algorithm that infallibly gives a correct "yes" or "no" answer to each instance of the problem. In Turing's own words:"what I shall prove is quite different from the well-known results of Gödel... I shall now show that there is no general method which tells whether a given formula U is provable in K ".

Turing followed this proof with two others. The second and third both rely on the first. All rely on his development of typewriter-like "computing machines" that obey a simple set of rules and his subsequent development of a "universal computing machine".
La preuve de Turing est une démonstration d'Alan Turing, publiée pour la première fois en novembre 1936 sous le titre « Sur les nombres calculables, avec une application au problème de décision ». Il s'agissait de la deuxième preuve (après le théorème de Church) de la négation du problème de décision de Hilbert ; c'est-à-dire, la conjecture selon laquelle certaines questions oui/non purement mathématiques ne peuvent jamais être résolues par le calcul ; plus techniquement, que certains problèmes de décision sont « indécidables » au sens où il n'existe aucun algorithme unique qui donne invariablement une réponse correcte « oui » ou « non » à chaque instance du problème. Selon les propres mots de Turing : « ce que je vais prouver est tout à fait différent des résultats bien connus de Gödel... Je vais maintenant montrer qu'il n'existe aucune méthode générale qui permette de déterminer si une formule donnée U est prouvable dans K ».

Turing a suivi cette preuve de deux autres. La seconde et la troisième reposent toutes deux sur la première. Toutes reposent sur son développement de « machines de calcul » de type machine à écrire qui obéissent à un ensemble simple de règles et sur son développement ultérieur d'une « machine de calcul universelle ».
### Query ###
Qu'est-ce que la preuve de Turing ?

### Main Text ###
Turing's proof is a proof by Alan Turing, first published in November 1936 with the title " On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem ". It was the second proof (after Church's theorem) of the negation of Hilbert's Entscheidungsproblem; that is, the conjecture that some purely mathematical yes–no questions can never be answered by computation; more technically, that some decision problems are " undecidable " in the sense that there is no single algorithm that infallibly gives a correct "yes" or "no" answer to each instance of the problem. In Turing's own words:"what I shall prove is quite different from the well-known results of Gödel... I shall now show that there is no general method which tells whether a given formula U is provable in K ".

Turing followed this proof with two others. The second and third both rely on the first. All rely on his development of typewriter-like "computing machines" that obey a simple set of rules and his subsequent development of a "universal computing machine".

### Supplementary Text ###
La preuve de Turing est une démonstration d'Alan Turing, publiée pour la première fois en novembre 1936 sous le titre « Sur les nombres calculables, avec une application au problème de décision ». Il s'agissait de la deuxième preuve (après le théorème de Church) de la négation du problème de décision de Hilbert ; c'est-à-dire, la conjecture selon laquelle certaines questions oui/non purement mathématiques ne peuvent jamais être résolues par le calcul ; plus techniquement, que certains problèmes de décision sont « indécidables » au sens où il n'existe aucun algorithme unique qui donne invariablement une réponse correcte « oui » ou « non » à chaque instance du problème. Selon les propres mots de Turing : « ce que je vais prouver est tout à fait différent des résultats bien connus de Gödel... Je vais maintenant montrer qu'il n'existe aucune méthode générale qui permette de déterminer si une formule donnée U est prouvable dans K ».

Turing a suivi cette preuve de deux autres. La seconde et la troisième reposent toutes deux sur la première. Toutes reposent sur son développement de « machines de calcul » de type machine à écrire qui obéissent à un ensemble simple de règles et sur son développement ultérieur d'une « machine de calcul universelle ».

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Qu'est-ce que la preuve de Turing ?" 

French → English semantic mapping clear. ● High confidence: standard mathematical terminology.

User asking for: definition/explanation of "Turing's proof". 

? Potential disambiguation needed: multiple proofs by Turing exist. Most famous? Context suggests landmark result.

### 2. Information Architecture 

Core knowledge domains:
├─ Mathematical logic (1930s)
├─ Computability theory  
└─ History of mathematics

Geographic/temporal context: Cambridge, ~1936. Pre-war mathematical landscape.

Key figure: Alan Mathison Turing (1912-1954). British mathematician.

### 3. Proof Identification

⟨H≈0.8⟩ *Which proof? The landmark one...* 

Most significant: 1936 "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem."

Key result: Negative solution to Hilbert's Entscheidungsproblem.

∴ Some mathematical statements cannot be algorithmically decidable.

### 4. Historical Context Verification

Hilbert's Entscheidungsproblem (1928): Can any mathematical statement be decided algorithmically?

Turing's approach: Constructive proof using "a-machines" (later "Turing machines").

Timeline verification:
- 1928: Hilbert's problem
- ~1936: Turing's proof  
- 1936-1937: Publication

● High confidence: Second proof after Church's thesis.

### 5. Technical Core

Proof structure:
1. Define computable functions via "a-machines"
2. Show universal machine construction  
3. Use diagonalization argument
4. Prove existence of undecidable statements in arithmetic

⟨H≈0.2⟩ The essence: No algorithm exists for determining provability of all mathematical statements.

Key insight: Self-referential statements (like "this statement cannot be proven") lead to undecidability.

### 6. Significance Assessment

Impact domains:
├─ Mathematical logic: decidability boundaries established
├─ Computer science: theoretical foundations of computation  
└─ Philosophy: mind-body problem implications

※ Turing machines became foundational for computer science theory.

### 7. Response Construction

French response should emphasize:
→ Historical significance of the proof
→ Negative solution to Entscheidungsproblem  
→ Connection to Gödel's work (but distinct approach)
→ Universal machine concept
→ Undecidability of provability problem

⚠ Avoid: Technical details of the proof construction (too complex for general explanation).

✓ Include: Conceptual overview, historical context, broader implications.

### 8. Draft Verification

Cross-check against mathematical history:
☑ Date (1936)
☑ Context (Hilbert problem)  
☑ Methodology (a-machines → universal machine)
☑ Impact (computability theory foundations)

Response structure:
1. Definition of the proof
2. Historical context (Entscheidungsproblem)
3. Technical approach (universal machines)
4. Relationship to other work (Gödel)
5. Significance and implications

✓ Ready for French response generation.

### Answer###
La preuve de Turing est une démonstration mathématique fondamentale d'Alan Turing, initialement publiée en novembre 1936 sous le titre "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem". 

Cette preuve constitue la deuxième démonstration (après le théorème de Church) de la négation du problème de décision de Hilbert. En termes simples, elle établit qu'il existe des questions mathématiques purement théoriques qui ne peuvent jamais être résolues par calcul informatique - plus précisément, que certains problèmes de décision sont "indécidables" au sens où aucune algorithme unique ne peut donner une réponse correcte et infaillible sous forme de "oui" ou "non" pour chaque instance du problème.

Dans ses propres mots, Turing démontrait "qu'il n'existe aucune méthode générale qui permette de déterminer si une formule donnée U est prouvable dans K".

La preuve repose sur le développement par Turing de machines de calcul obéissant à un ensemble simple de règles, ainsi que sur sa conception d'une "machine de calcul universelle". Cette démonstration s'inscrit dans une série de travaux où Turing a développé trois preuves différentes, toutes les deux suivantes s'appuyant sur la première.

Cette preuve révolutionnaire a établi les limites fondamentales de ce que les machines peuvent calculer et a posé les bases de l'informatique théorique moderne.