Qu'est-ce qui distingue la régression linéaire de la régression non linéaire ?
In statistical modeling, regression analysis is a set of statistical processes for estimating the relationships between a dependent variable (often called the outcome or response variable, or a label in machine learning parlance) and one or more error-free independent variables (often called regressors, predictors, covariates, explanatory variables or features). The most common form of regression analysis is linear regression, in which one finds the line (or a more complex linear combination) that most closely fits the data according to a specific mathematical criterion. For example, the method of ordinary least squares computes the unique line (or hyperplane) that minimizes the sum of squared differences between the true data and that line (or hyperplane). For specific mathematical reasons (see linear regression), this allows the researcher to estimate the conditional expectation (or population average value) of the dependent variable when the independent variables take on a given set of values. Less common forms of regression use slightly different procedures to estimate alternative location parameters (e.g., quantile regression or Necessary Condition Analysis) or estimate the conditional expectation across a broader collection of non-linear models (e.g., nonparametric regression).
Régression non linéaire

Lorsque la fonction modèle n'est pas linéaire par rapport aux paramètres, la somme des carrés doit être minimisée par une procédure itérative. Cela introduit de nombreuses complications qui sont résumées dans les différences entre les moindres carrés linéaires et non linéaires.
### Query ###
Qu'est-ce qui distingue la régression linéaire de la régression non linéaire ?

### Main Text ###
In statistical modeling, regression analysis is a set of statistical processes for estimating the relationships between a dependent variable (often called the outcome or response variable, or a label in machine learning parlance) and one or more error-free independent variables (often called regressors, predictors, covariates, explanatory variables or features). The most common form of regression analysis is linear regression, in which one finds the line (or a more complex linear combination) that most closely fits the data according to a specific mathematical criterion. For example, the method of ordinary least squares computes the unique line (or hyperplane) that minimizes the sum of squared differences between the true data and that line (or hyperplane). For specific mathematical reasons (see linear regression), this allows the researcher to estimate the conditional expectation (or population average value) of the dependent variable when the independent variables take on a given set of values. Less common forms of regression use slightly different procedures to estimate alternative location parameters (e.g., quantile regression or Necessary Condition Analysis) or estimate the conditional expectation across a broader collection of non-linear models (e.g., nonparametric regression).

### Supplementary Text ###
Régression non linéaire

Lorsque la fonction modèle n'est pas linéaire par rapport aux paramètres, la somme des carrés doit être minimisée par une procédure itérative. Cela introduit de nombreuses complications qui sont résumées dans les différences entre les moindres carrés linéaires et non linéaires.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Qu'est-ce qui distingue la régression linéaire de la régression non linéaire ?"

→ Core distinction between linear vs nonlinear regression
→ Focuses on fundamental differences, not procedural details
→ French statistical terminology, but universal concepts

※ Potential confusion: "non linéaire" could mean non-linear model or non-linear parameters. Context suggests latter.

### 2. Domain Contextualization 

● Statistics/Regression Analysis
● Mathematical optimization theory  
● Classical vs modern regression frameworks
● Computational methods (iterative vs closed-form solutions)

Timeframe: Classical regression (18th-19th centuries) → Modern computational approaches

Geographic/Cultural: European mathematical tradition, Gauss-Markov foundations, later computational extensions.

### 3. Core Distinction Analysis

Linear regression: f(x) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₖxₖ

Non-linear regression: f(x) = β₀ + β₁g₁(x₁) + β₂g₂(x₂) + ... + βₖgₖ(xₖ)

Where g₁(x) ≠ x, g₂(x) ≠ x, ..., gₖ(x) ≠ x

∴ Key difference: **linearity of parameters** vs **non-linear transformations**

### 4. Mathematical Implications

Linear case: β̂ = (X'X)^(-1)X'Y (closed-form solution)
Non-linear case: Requires iterative optimization ⚠

→ Computational complexity increases exponentially
→ Multiple local minima possible  
→ Initial parameterization critical

### 5. Estimation Methods

Linear: Ordinary Least Squares (OLS) - closed-form solution
Non-linear: Iterative methods (Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt, etc.)

Linear: Variance-covariance matrix directly calculable
Non-linear: Asymptotic standard errors, robust methods needed

### 6. Practical Consequences

Linear models:
- Analytical tractability
- Closed-form confidence intervals  
- Direct interpretation of coefficients
- Computational efficiency

Non-linear models:
- Numerical optimization required
- Model convergence not guaranteed
- Coefficient interpretation more complex
- Higher computational cost

### 7. Synthesis

⟨H≈0.8⟩ The fundamental distinction lies not in the data's curvature but in how parameters interact with predictors... linear models create flat geometric relationships through parameter space, while non-linear models bend and twist through transformation functions, creating valleys and peaks in the optimization landscape... ⟨H≈0.2⟩

Core difference: **Parameter linearity** determines computational tractability and solution properties.

Linear regression: Simple, closed-form, analytically tractable
Non-linear regression: Complex, iterative, numerically sensitive

→ This single distinction cascades through estimation, optimization, interpretation, and computational requirements.

∴ The linearity assumption creates fundamentally different mathematical structures with distinct practical implications for modeling flexibility vs computational feasibility.

### Answer###
La régression linéaire et la régression non linéaire constituent deux approches fondamentales en analyse de régression qui se distinguent principalement par la nature de leur fonction modèle.

Dans la régression linéaire, on cherche à estimer une droite (ou une combinaison linéaire plus complexe) qui s'ajuste le mieux aux données selon un critère mathématique spécifique. L'approche la plus courante consiste à calculer la ligne qui minimise la somme des carrés des différences entre les données réelles et cette ligne. Cette méthode permet d'estimer l'espérance conditionnelle de la variable dépendante lorsque les variables indépendantes prennent une valeur donnée.

La régression non linéaire, en revanche, s'applique lorsque la fonction modèle n'est pas linéaire par rapport aux paramètres. Dans ce cas, la somme des carrés doit être minimisée par une procédure itérative, ce qui introduit des complications importantes. Contrairement à la régression linéaire qui peut souvent trouver une solution analytique directe, la régression non linéaire nécessite des méthodes numériques itératives pour converger vers une solution optimale.

Cette différence fondamentale dans l'approche mathématique - linéaire versus non linéaire - influence considérablement les propriétés statistiques des modèles obtenus et les méthodes d'estimation applicables.