Pourriez-vous expliquer pourquoi la fonction rect(t) présente un comportement différent selon la valeur absolue de t dans cette démonstration, et comment cette propriété affecte son interprétation mathématique ?
Demonstration of validity

First, we consider the case where | t | < 1 2. {\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.} Notice that the term (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} is always positive for integer n. {\displaystyle n.} However, 2 t < 1 {\displaystyle 2t<1} and hence (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} approaches zero for large n. {\displaystyle n.}

It follows that: lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = 1 0 + 1 = 1, | t | < 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}

Second, we consider the case where | t | > 1 2. {\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.} Notice that the term (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} is always positive for integer n. {\displaystyle n.} However, 2 t > 1 {\displaystyle 2t>1} and hence (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} grows very large for large n. {\displaystyle n.}

It follows that: lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = 1 + ∞ + 1 = 0, | t | > 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}

Third, we consider the case where | t | = 1 2. {\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.} We may simply substitute in our equation:

lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 1 2 n + 1 = 1 1 + 1 = 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}

We see that it satisfies the definition of the pulse function. Therefore,

rect (t) = Π (t) = lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = { 0 if | t | > 1 2 1 2 if | t | = 1 2 1 if | t | < 1 2. {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}
La fonction rectangulaire (également connue sous le nom de fonction rectangle, fonction rect, fonction Pi, fonction Pi de Heaviside, fonction porte, impulsion unitaire ou fonction boxcar normalisée) est définie comme suit :

rect (t a) = Π (t a) = { 0, si | t | > a/2 1/2, si | t | = a/2 1, si | t | < a/2 }.

${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{si }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{si }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$

Des définitions alternatives de la fonction définissent rect (± 1/2) comme étant 0, 1 ou indéfinie.

Sa version périodique est appelée onde rectangulaire.
### Query ###
Pourriez-vous expliquer pourquoi la fonction rect(t) présente un comportement différent selon la valeur absolue de t dans cette démonstration, et comment cette propriété affecte son interprétation mathématique ?

### Main Text ###
Demonstration of validity

First, we consider the case where | t | < 1 2. {\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.} Notice that the term (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} is always positive for integer n. {\displaystyle n.} However, 2 t < 1 {\displaystyle 2t<1} and hence (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} approaches zero for large n. {\displaystyle n.}

It follows that: lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = 1 0 + 1 = 1, | t | < 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}

Second, we consider the case where | t | > 1 2. {\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.} Notice that the term (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} is always positive for integer n. {\displaystyle n.} However, 2 t > 1 {\displaystyle 2t>1} and hence (2 t) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} grows very large for large n. {\displaystyle n.}

It follows that: lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = 1 + ∞ + 1 = 0, | t | > 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}

Third, we consider the case where | t | = 1 2. {\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.} We may simply substitute in our equation:

lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 1 2 n + 1 = 1 1 + 1 = 1 2. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}

We see that it satisfies the definition of the pulse function. Therefore,

rect (t) = Π (t) = lim n → ∞, n ∈ (Z) 1 (2 t) 2 n + 1 = { 0 if | t | > 1 2 1 2 if | t | = 1 2 1 if | t | < 1 2. {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}

### Supplementary Text ###
La fonction rectangulaire (également connue sous le nom de fonction rectangle, fonction rect, fonction Pi, fonction Pi de Heaviside, fonction porte, impulsion unitaire ou fonction boxcar normalisée) est définie comme suit :

rect (t a) = Π (t a) = { 0, si | t | > a/2 1/2, si | t | = a/2 1, si | t | < a/2 }.

${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{si }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{si }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$

Des définitions alternatives de la fonction définissent rect (± 1/2) comme étant 0, 1 ou indéfinie.

Sa version périodique est appelée onde rectangulaire.

### Draft ###

Query breakdown: "fonction rect(t) présente un comportement différent selon la valeur absolue de t" → asking why rect(t) behaves differently for |t| < 1/2 vs |t| > 1/2. "interprétation mathématique" → seeking deeper meaning of this behavior.

Translation check: "comportement différent" = different behavior, "valeur absolue" = absolute value, "interprétation mathématique" = mathematical interpretation. Clean translation.

Task type: Mathematical explanation requiring synthesis of concepts. Not mere retrieval.

### 1. Core Mathematical Property

rect(t) = Π(t) = 1/(1 + (2t)²ⁿ) for n ∈ ℤ, n > 0

Key insight: (2t)²ⁿ term drives behavior.

When |t| < 1/2:
- |2t| < 1 → (2t)²ⁿ → 0 as n → ∞  
- Numerator constant, denominator → ∞
- lim[n→∞] 1/(2t)²ⁿ⁺¹ = 1/0 = 1

When |t| > 1/2:
- |2t| > 1 → (2t)²ⁿ → ∞ as n → ∞
- Numerator constant, denominator → ∞
- lim[n→∞] 1/(2t)²ⁿ⁺¹ = 1/∞ = 0

When |t| = 1/2:
- (2t)²ⁿ = 1 → denominator = 2
- lim[n→∞] 1/(1+1) = 1/2

∴ Jump discontinuity at |t| = 1/2.

### 2. Geometric Interpretation

Unit impulse function. Clean cutoff at t = ±1/2.

Physical interpretation:
- |t| < 1/2 → full "on" state
- |t| > 1/2 → complete "off" state  
- |t| = 1/2 → transition zone

Sharp boundary creates:
- Dirac delta function approximation
- Idealized switching behavior
- Perfect filtering characteristic

### 3. Mathematical Significance

This behavior makes rect(t) fundamental in:
- Signal processing (ideal bandlimiting)
- Probability theory (indicator functions)
- Fourier analysis (sinc function relationship)
- Control systems (unit step approximation)

The discontinuity at |t| = 1/2 enables:
- Perfect discrimination between inside/outside region
- Ideal rectangular pulse generation
- Clean frequency content (sinc(2πft) behavior)

⟨H≈0.8⟩ 
*Sharp edges cut through mathematical landscapes like Occam's razor through hypothesis space... the moment when infinite precision meets practical approximation, when the rectangle's perfect geometry translates to function behavior, when mathematics becomes geometry again...*

### 4. Deeper Implications

Rect(t) = Π(t) represents mathematical idealization: perfect rectangular pulse, no gradual transitions.

Real-world implications:
- No physical system achieves perfect cutoff
- Sinc function sidelobes determine practical implementation limits
- Approximation vs. ideal behavior trade-off

Mathematical purity vs. physical reality tension.

NB: This is why rect(t) serves as idealized template - captures essential rectangular behavior without requiring infinite precision in actual implementation.

The absolute value dependence creates clean, interpretable boundary. Without this sharp transition, mathematical analysis would be more complex, less intuitive.

∴ |t| threshold behavior = core to function's identity as unit impulse approximation. Not incidental.

### Answer###
Le comportement différent de la fonction rect(t) selon la valeur absolue de t s'explique par la forme analytique de cette fonction et ses propriétés asymptotiques.

La fonction rect(t), notée également Π(t), est définie par la limite d'une série lorsque n tend vers l'infini : rect(t) = lim(n→∞, n∈ℤ) 1/(2t)^(2n)+1. Cette expression révèle que le comportement de la fonction dépend directement de la valeur de 2t.

Plus précisément, lorsque |t| < 1/2, le terme (2t)^(2n) est toujours positif et tend vers zéro lorsque n augmente, car 2t < 1. Cela fait que le dénominateur s'approche de l'infini, et la fraction entière tend vers 1. Inversement, lorsque |t| > 1/2, le terme (2t)^(2n) est positif et croît indéfiniment, ce qui fait tendre le dénominateur vers l'infini et la fraction vers zéro.

Le cas particulier |t| = 1/2 conduit à un comportement spécifique où (2t)^(2n) = 1 pour toutes les valeurs de n, ce qui donne une valeur de 1/2 pour la limite.

Cette propriété crée une interprétation mathématique fondamentale : la fonction rect(t) représente une impulsion unitaire parfaite avec une coupure nette à t = ±1/2. Elle vaut 1 pour les valeurs de t comprises entre -1/2 et 1/2 (région "allumée"), 0 pour les valeurs en dehors de cet intervalle (région "éteinte"), et 1/2 précisément aux bornes de l'intervalle.

Cette discontinuité de saut crée une fonction qui peut représenter un signal idéalement rectangulaire, ce qui explique pourquoi elle est utilisée comme fonction porte ou impulsion unitaire normalisée en traitement du signal et en analyse mathématique.