Comment l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann établit-elle le lien entre la répartition des nombres premiers et l'extension analytique de cette fonction sur tout le plan complexe ?
Riemann's functional equation

This zeta function satisfies the functional equation ζ (s) = 2 s π s − 1 sin (π s 2) Γ (1 − s) ζ (1 − s), {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),} where Γ(s) is the gamma function. This is an equality of meromorphic functions valid on the whole complex plane. The equation relates values of the Riemann zeta function at the points s and 1 − s, in particular relating even positive integers with odd negative integers. Owing to the zeros of the sine function, the functional equation implies that ζ (s) has a simple zero at each even negative integer s = −2 n, known as the trivial zeros of ζ (s). When s is an even positive integer, the product sin(πs / 2)Γ(1 − s) on the right is non-zero because Γ(1 − s) has a simple pole, which cancels the simple zero of the sine factor.

A proof of the functional equation proceeds as follows:We observe that if σ > 0 {\displaystyle \sigma >0}, then ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 e − n 2 π x d x = Γ (s 2) n s π s 2. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}

As a result, if σ > 1 {\displaystyle \sigma >1} then Γ (s 2) ζ (s) π s / 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s 2 − 1 e − n 2 π x d x = ∫ 0 ∞ x s 2 − 1 ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x d x, {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,} with the inversion of the limiting processes justified by absolute convergence (hence the stricter requirement on σ {\displaystyle \sigma }).

For convenience, let ψ (x):= ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}

which is a special case of the theta function. Then ζ (s) = π s 2 Γ (s 2) ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.}

By the Poisson summation formula we have ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x = 1 x ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x, {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}},}

so that 2 ψ (x) + 1 = 1 x { 2 ψ (1 x) + 1 }. {\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.}

Hence π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = ∫ 0 1 x s 2 − 1 ψ (x) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}

This is equivalent to ∫ 0 1 x s 2 − 1 { 1 x ψ (1 x) + 1 2 x − 1 2 } d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx} or 1 s − 1 − 1 s + ∫ 0 1 x s 2 − 3 2 ψ (1 x) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}

So π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = 1 s (s − 1) + ∫ 1 ∞ (x − s 2 − 1 2 + x s 2 − 1) ψ (x) d x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx}

which is convergent for all s, so holds by analytic continuation. Furthermore, the RHS is unchanged if s is changed to 1 − s. Hence π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = π − 1 2 + s 2 Γ (1 2 − s 2) ζ (1 − s) {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)} which is the functional equation. Attributed to Bernhard Riemann.

The functional equation was established by Riemann in his 1859 paper " On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude " and used to construct the analytic continuation in the first place.
Théorie des nombres

Riemann a apporté d'importantes contributions à la théorie analytique des nombres moderne. Dans un seul et court article, le seul qu'il ait publié sur le sujet de la théorie des nombres, il a étudié la fonction zêta qui porte aujourd'hui son nom, établissant son importance pour comprendre la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann était l'une d'une série de conjectures qu'il a formulées concernant les propriétés de cette fonction.

Dans le travail de Riemann, on trouve de nombreux autres développements intéressants. Il a prouvé l'équation fonctionnelle de la fonction zêta (déjà connue de Leonhard Euler), derrière laquelle se cache une fonction thêta. Grâce à la sommation de cette fonction d'approximation sur les zéros non triviaux sur la droite de partie réelle 1/2, il a donné une formule exacte, dite "formule explicite", pour π(x).

Riemann connaissait le travail de Pafnuty Tchebychev sur le théorème des nombres premiers. Il avait rendu visite à Dirichlet en 1852.
### Query ###
Comment l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann établit-elle le lien entre la répartition des nombres premiers et l'extension analytique de cette fonction sur tout le plan complexe ?

### Main Text ###
Riemann's functional equation

This zeta function satisfies the functional equation ζ (s) = 2 s π s − 1 sin (π s 2) Γ (1 − s) ζ (1 − s), {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),} where Γ(s) is the gamma function. This is an equality of meromorphic functions valid on the whole complex plane. The equation relates values of the Riemann zeta function at the points s and 1 − s, in particular relating even positive integers with odd negative integers. Owing to the zeros of the sine function, the functional equation implies that ζ (s) has a simple zero at each even negative integer s = −2 n, known as the trivial zeros of ζ (s). When s is an even positive integer, the product sin(πs / 2)Γ(1 − s) on the right is non-zero because Γ(1 − s) has a simple pole, which cancels the simple zero of the sine factor.

A proof of the functional equation proceeds as follows:We observe that if σ > 0 {\displaystyle \sigma >0}, then ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 e − n 2 π x d x = Γ (s 2) n s π s 2. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}

As a result, if σ > 1 {\displaystyle \sigma >1} then Γ (s 2) ζ (s) π s / 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s 2 − 1 e − n 2 π x d x = ∫ 0 ∞ x s 2 − 1 ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x d x, {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,} with the inversion of the limiting processes justified by absolute convergence (hence the stricter requirement on σ {\displaystyle \sigma }).

For convenience, let ψ (x):= ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}

which is a special case of the theta function. Then ζ (s) = π s 2 Γ (s 2) ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.}

By the Poisson summation formula we have ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x = 1 x ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x, {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}},}

so that 2 ψ (x) + 1 = 1 x { 2 ψ (1 x) + 1 }. {\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.}

Hence π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = ∫ 0 1 x s 2 − 1 ψ (x) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}

This is equivalent to ∫ 0 1 x s 2 − 1 { 1 x ψ (1 x) + 1 2 x − 1 2 } d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx} or 1 s − 1 − 1 s + ∫ 0 1 x s 2 − 3 2 ψ (1 x) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ (x) d x. {\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}

So π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = 1 s (s − 1) + ∫ 1 ∞ (x − s 2 − 1 2 + x s 2 − 1) ψ (x) d x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx}

which is convergent for all s, so holds by analytic continuation. Furthermore, the RHS is unchanged if s is changed to 1 − s. Hence π − s 2 Γ (s 2) ζ (s) = π − 1 2 + s 2 Γ (1 2 − s 2) ζ (1 − s) {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)} which is the functional equation. Attributed to Bernhard Riemann.

The functional equation was established by Riemann in his 1859 paper " On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude " and used to construct the analytic continuation in the first place.

### Supplementary Text ###
Théorie des nombres

Riemann a apporté d'importantes contributions à la théorie analytique des nombres moderne. Dans un seul et court article, le seul qu'il ait publié sur le sujet de la théorie des nombres, il a étudié la fonction zêta qui porte aujourd'hui son nom, établissant son importance pour comprendre la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann était l'une d'une série de conjectures qu'il a formulées concernant les propriétés de cette fonction.

Dans le travail de Riemann, on trouve de nombreux autres développements intéressants. Il a prouvé l'équation fonctionnelle de la fonction zêta (déjà connue de Leonhard Euler), derrière laquelle se cache une fonction thêta. Grâce à la sommation de cette fonction d'approximation sur les zéros non triviaux sur la droite de partie réelle 1/2, il a donné une formule exacte, dite "formule explicite", pour π(x).

Riemann connaissait le travail de Pafnuty Tchebychev sur le théorème des nombres premiers. Il avait rendu visite à Dirichlet en 1852.

### Draft ###

### 1. Query Parsing & Translation Issues

"Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann" → Riemann zeta functional equation. ● High confidence.

"Répartition des nombres premiers" → prime distribution. Standard term.

"Extension analytique... sur tout le plan complexe" → analytic continuation to entire complex plane. ※ Slightly imprecise - ζ(s) has singularities at s=0,-2,-4,... but user likely means "meromorphic continuation everywhere else."

? Semantic gap: Does user want detailed proof or conceptual bridge? Response provides both.

### 2. Functional Equation Structure

ζ(s) = 2ˢπˢ⁻¹sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)

Symmetry: s ↔ 1-s interchange. Key insight!

→ Even positive integers ↔ Odd negative integers in functional relation
→ Explains why studying ζ(-s) reveals prime counting information

### 3. Prime Distribution Connection

⟨H≈0.8⟩ The functional equation doesn't just relate values - it *symmetrizes* the entire analytic landscape. Prime distribution encoded in zeros, yes, but functional equation shows zeros at s and 1-s carry identical information through the complex plane's full topology...

Back to concrete: ● Functional equation proves ζ(s) zeros come in pairs (s,1-s). Trivial zeros at negative even integers from sine factor. Non-trivial zeros... where's the connection to primes?

### 4. Analytic Continuation Mechanism

Critical insight: Functional equation *defines* ζ(s) for s≠1 via meromorphic continuation.

Before functional equation: ζ(s) only defined for Re(s)>1 (original series).
After: Meromorphic function on ℂ\{s=1} with prescribed behavior.

! Key mechanism: Take Re(s)>1 definition, use functional equation, propagate to entire plane avoiding singularities.

### 5. Deeper Connection - Poisson Summation

Response mentions ψ(x) = Σe^(-n²πx) and Poisson summation formula.

⟨H≈1.2⟩ Why Poisson? Because it's the bridge between discrete (prime counting) and continuous (analytic function). The functional equation emerges from Fourier analysis's deep symmetries... discrete sums ↔ continuous integrals, additive ↔ multiplicative structures...

Response proof sketch:
- Start with integral representation using ψ(x)
- Use Poisson: Σe^(-n²πx) = Σe^(-n²π/x)/x
- This creates the sin(πs/2) factor through Fourier duality
- Gamma function comes from residue calculations at poles
- Symmetry appears naturally from complex analysis

### 6. Verification & Critical Assessment

● Response mathematically sound
◐ Proof details necessarily condensed - would need specialized number theory text for full rigor
⚠ "Équation établit le lien" - slightly misleading causality. The functional equation *is* the bridge, not just a consequence of one.

? Missing from response: Why the specific form of the functional equation? Why this particular meromorphic continuation?

∴ Response provides solid foundation but could better contextualize the equation's *necessity* as analytic continuation tool rather than just interesting symmetry.

**Final assessment**: ● Technically accurate, ◐ could better explain the logical inevitability of such a functional equation for analytic continuation purposes.

### Answer###
L'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann établit une relation fondamentale entre les valeurs de cette fonction aux points s et 1-s sur le plan complexe, créant ainsi un pont analytique entre les propriétés arithmétiques des nombres premiers et la structure globale de la fonction zêta.

Cette équation s'écrit : ζ(s) = 2ˢπˢ⁻¹sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)

Elle présente une symétrie remarquable qui intervertit les valeurs de la fonction zêta aux points s et 1-s. Cette relation fonctionnelle permet d'étendre analytiquement la fonction zêta au-delà de son domaine de convergence initial, en utilisant le fait que les propriétés des nombres premiers se reflètent dans les zéros et les pôles de cette fonction.

L'équation fonctionnelle révèle que la fonction zêta possède des zéros triviaux aux entiers négatifs pairs et des zéros non triviaux qui apparaissent par paires symétriques : si s est un zéro de ζ(s), alors 1-s est aussi un zéro. Cette structure de symétrie est cruciale pour comprendre la distribution des nombres premiers.

Le mécanisme analytique repose sur la représentation intégrale de ζ(s) et l'utilisation de la formule de sommation de Poisson pour exprimer la fonction ψ(x) = Σe^(-n²πx) en termes de sa transformée de Fourier. Cette approche permet de démontrer que l'équation fonctionnelle découle naturellement des propriétés d'analyse complexe et de la théorie des séries de Dirichlet.

Ainsi, l'équation fonctionnelle ne constitue pas seulement une curiosité mathématique, mais représente l'outil analytique fondamental qui lie directement la répartition des nombres premiers à l'extension méromorphe de la fonction zêta sur tout le plan complexe.