Si je fais l'algorithme de soustraction avec 10 et 5, ça va donner quoi à la fin ?
Implementations

Implementations of the algorithm may be expressed in pseudocode. For example, the division-based version may be programmed as

At the beginning of the k th iteration, the variable b holds the latest remainder r, whereas the variable a holds its predecessor, r. The step b := a mod b is equivalent to the above recursion formula r ≡ r mod r. The temporary variable t holds the value of r while the next remainder r is being calculated. At the end of the loop iteration, the variable b holds the remainder r, whereas the variable a holds its predecessor, r.

(If negative inputs are allowed, or if the mod function may return negative values, the last line must be changed into return abs (a).)

In the subtraction-based version, which was Euclid's original version, the remainder calculation (b := a mod b) is replaced by repeated subtraction. Contrary to the division-based version, which works with arbitrary integers as input, the subtraction-based version supposes that the input consists of positive integers and stops when a = b:

The variables a and b alternate holding the previous remainders r and r. Assume that a is larger than b at the beginning of an iteration; then a equals r, since r > r. During the loop iteration, a is reduced by multiples of the previous remainder b until a is smaller than b. Then a is the next remainder r. Then b is reduced by multiples of a until it is again smaller than a, giving the next remainder r, and so on.

The recursive version is based on the equality of the GCDs of successive remainders and the stopping condition gcd(r, 0) = r.

(As above, if negative inputs are allowed, or if the mod function may return negative values, the instruction " return a" must be changed into " return max (a, −a)".)

For illustration, the gcd(1071, 462) is calculated from the equivalent gcd(462, 1071 mod 462) = gcd(462, 147). The latter GCD is calculated from the gcd(147, 462 mod 147) = gcd(147, 21), which in turn is calculated from the gcd(21, 147 mod 21) = gcd(21, 0) = 21.
La soustraction (qui est symbolisée par le signe moins −) est l'une des quatre opérations arithmétiques, aux côtés de l'addition, de la multiplication et de la division. La soustraction est une opération qui représente le retrait d'objets d'un ensemble. Par exemple, sur l'image ci-jointe, il y a 5 − 2 pêches—ce qui signifie 5 pêches avec 2 retirées, donnant un total de 3 pêches. Par conséquent, la différence entre 5 et 2 est 3 ; c'est-à-dire, 5 − 2 = 3. Bien qu'elle soit principalement associée aux nombres naturels en arithmétique, la soustraction peut également représenter le retrait ou la diminution de quantités physiques et abstraites en utilisant différents types d'objets, notamment des nombres négatifs, des fractions, des nombres irrationnels, des vecteurs, des décimaux, des fonctions et des matrices.

En un sens, la soustraction est l'inverse de l'addition. C'est-à-dire que c = a − b si et seulement si c + b = a. En d'autres termes : la différence de deux nombres est le nombre qui, lorsqu'il est ajouté au second, donne le premier.

La soustraction suit plusieurs schémas importants. Elle est anticommutative, ce qui signifie que le changement d'ordre inverse le signe de la réponse. Elle n'est pas non plus associative, ce qui signifie que lorsque l'on soustrait plus de deux nombres, l'ordre dans lequel la soustraction est effectuée est important. Parce que 0 est l'élément neutre additif, la soustraction de 0 ne modifie pas un nombre. La soustraction obéit également à des règles prévisibles concernant les opérations connexes, telles que l'addition et la multiplication. Toutes ces règles peuvent être prouvées, en commençant par la soustraction des entiers et en généralisant jusqu'aux nombres réels et au-delà. Les opérations binaires générales qui suivent ces schémas sont étudiées en algèbre abstraite.

En théorie de la calculabilité, la considération de la soustraction n'est pas bien définie sur les nombres naturels ; les opérations entre les nombres sont en fait définies à l'aide de la "soustraction tronquée" ou du monus.
### Query ###
Si je fais l'algorithme de soustraction avec 10 et 5, ça va donner quoi à la fin ?

### Main Text ###
Implementations

Implementations of the algorithm may be expressed in pseudocode. For example, the division-based version may be programmed as

At the beginning of the k th iteration, the variable b holds the latest remainder r, whereas the variable a holds its predecessor, r. The step b := a mod b is equivalent to the above recursion formula r ≡ r mod r. The temporary variable t holds the value of r while the next remainder r is being calculated. At the end of the loop iteration, the variable b holds the remainder r, whereas the variable a holds its predecessor, r.

(If negative inputs are allowed, or if the mod function may return negative values, the last line must be changed into return abs (a).)

In the subtraction-based version, which was Euclid's original version, the remainder calculation (b := a mod b) is replaced by repeated subtraction. Contrary to the division-based version, which works with arbitrary integers as input, the subtraction-based version supposes that the input consists of positive integers and stops when a = b:

The variables a and b alternate holding the previous remainders r and r. Assume that a is larger than b at the beginning of an iteration; then a equals r, since r > r. During the loop iteration, a is reduced by multiples of the previous remainder b until a is smaller than b. Then a is the next remainder r. Then b is reduced by multiples of a until it is again smaller than a, giving the next remainder r, and so on.

The recursive version is based on the equality of the GCDs of successive remainders and the stopping condition gcd(r, 0) = r.

(As above, if negative inputs are allowed, or if the mod function may return negative values, the instruction " return a" must be changed into " return max (a, −a)".)

For illustration, the gcd(1071, 462) is calculated from the equivalent gcd(462, 1071 mod 462) = gcd(462, 147). The latter GCD is calculated from the gcd(147, 462 mod 147) = gcd(147, 21), which in turn is calculated from the gcd(21, 147 mod 21) = gcd(21, 0) = 21.

### Supplementary Text ###
La soustraction (qui est symbolisée par le signe moins −) est l'une des quatre opérations arithmétiques, aux côtés de l'addition, de la multiplication et de la division. La soustraction est une opération qui représente le retrait d'objets d'un ensemble. Par exemple, sur l'image ci-jointe, il y a 5 − 2 pêches—ce qui signifie 5 pêches avec 2 retirées, donnant un total de 3 pêches. Par conséquent, la différence entre 5 et 2 est 3 ; c'est-à-dire, 5 − 2 = 3. Bien qu'elle soit principalement associée aux nombres naturels en arithmétique, la soustraction peut également représenter le retrait ou la diminution de quantités physiques et abstraites en utilisant différents types d'objets, notamment des nombres négatifs, des fractions, des nombres irrationnels, des vecteurs, des décimaux, des fonctions et des matrices.

En un sens, la soustraction est l'inverse de l'addition. C'est-à-dire que c = a − b si et seulement si c + b = a. En d'autres termes : la différence de deux nombres est le nombre qui, lorsqu'il est ajouté au second, donne le premier.

La soustraction suit plusieurs schémas importants. Elle est anticommutative, ce qui signifie que le changement d'ordre inverse le signe de la réponse. Elle n'est pas non plus associative, ce qui signifie que lorsque l'on soustrait plus de deux nombres, l'ordre dans lequel la soustraction est effectuée est important. Parce que 0 est l'élément neutre additif, la soustraction de 0 ne modifie pas un nombre. La soustraction obéit également à des règles prévisibles concernant les opérations connexes, telles que l'addition et la multiplication. Toutes ces règles peuvent être prouvées, en commençant par la soustraction des entiers et en généralisant jusqu'aux nombres réels et au-delà. Les opérations binaires générales qui suivent ces schémas sont étudiées en algèbre abstraite.

En théorie de la calculabilité, la considération de la soustraction n'est pas bien définie sur les nombres naturels ; les opérations entre les nombres sont en fait définies à l'aide de la "soustraction tronquée" ou du monus.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si je fais l'algorithme de soustraction avec 10 et 5, ça va donner quoi à la fin ?"

Translation: "If I do the subtraction algorithm with 10 and 5, what will it give me at the end?"

Key assumption: User means Euclidean subtraction algorithm. Not asking about 10-5 = 5.

? Context: Why "algorithme" (algorithm) rather than "opération" (operation)?

→ Euclidean algorithm for GCD computation using subtraction
→ Not basic arithmetic

### 2. Algorithm Recall

Euclidean subtraction algorithm:
- Input: Two positive integers a, b
- While a ≠ b:
  - If a > b: a = a - b
  - Else: b = b - a
- Output: The last value before termination = GCD(a,b)

Why this works: gcd(a,b) = gcd(a-b, b) when a > b

### 3. Step-by-Step Execution

Start: a=10, b=5

Iteration 1:
- 10 > 5 ✓
- 10 - 5 = 5
- a = 5, b = 5

Iteration 2:
- 5 = 5 ✓  
- Stop condition met

### 4. Result Verification

∴ Final result = 5

Physical intuition: Repeated subtraction until equality. Each iteration reduces gap by one smaller value.

⟨H≈0.3⟩ The algorithm dances between numbers, closing the gap with each subtraction stroke, until both partners in the arithmetic embrace, locked in perfect mutual divisibility. The final 5 emerges not as a destination but as a discovery - the common measure, the hidden symmetry revealed through persistent reduction.

### 5. Mathematical Context

● High confidence: This is Euclidean algorithm's subtraction variant
● GCD property: gcd(10,5) = 5
● Algorithm correctness: Well-established mathematical fact

NB: User likely learning computational geometry or number theory concepts

**Answer structure:**
1. Direct result: 5
2. Brief algorithm explanation
3. Mathematical justification
4. Why the result makes sense

→ Response should be concise but pedagogically sound
→ Avoid over-complicating the simple subtraction pattern

### Answer###
Si vous appliquez l'algorithme de soustraction avec les nombres 10 et 5, vous obtiendrez 5 à la fin.

Cet algorithme fonctionne en soustrayant le plus petit nombre du plus grand nombre jusqu'à atteindre l'égalité. Vous pouvez le visualiser comme suit :

10 - 5 = 5
5 - 5 = 0

Le processus se termine lorsque les deux nombres deviennent égaux. Dans ce cas, le résultat final correspond au plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres initiaux.

L'algorithme de soustraction fonctionne de manière récursive en alternant les rôles des deux nombres : le plus grand nombre perd le plus petit nombre à chaque itération, et le plus petit nombre perd le nombre plus grand jusqu'à ce que les deux deviennent égaux.