Je travaille sur l'enseignement de la géométrie et je m'interroge sur la définition des lignes parallèles. Je sais qu'Euclide les définissait comme des droites qui ne se rencontrent jamais, mais je vois que plusieurs réformateurs ont essayé de trouver des alternatives plus rigoureuses. Quels sont les défis fondamentaux rencontrés lorsqu'on essaie de définir les lignes parallèles sans recourir à des concepts primitifs ou à des axiomes supplémentaires ?
History

The definition of parallel lines as a pair of straight lines in a plane which do not meet appears as Definition 23 in Book I of Euclid's Elements. Alternative definitions were discussed by other Greeks, often as part of an attempt to prove the parallel postulate. Proclus attributes a definition of parallel lines as equidistant lines to Posidonius and quotes Geminus in a similar vein. Simplicius also mentions Posidonius' definition as well as its modification by the philosopher Aganis.

At the end of the nineteenth century, in England, Euclid's Elements was still the standard textbook in secondary schools. The traditional treatment of geometry was being pressured to change by the new developments in projective geometry and non-Euclidean geometry, so several new textbooks for the teaching of geometry were written at this time. A major difference between these reform texts, both between themselves and between them and Euclid, is the treatment of parallel lines. These reform texts were not without their critics and one of them, Charles Dodgson (a.k.a. Lewis Carroll), wrote a play, Euclid and His Modern Rivals, in which these texts are lambasted.

One of the early reform textbooks was James Maurice Wilson's Elementary Geometry of 1868. Wilson based his definition of parallel lines on the primitive notion of direction. According to Wilhelm Killing the idea may be traced back to Leibniz. Wilson, without defining direction since it is a primitive, uses the term in other definitions such as his sixth definition, "Two straight lines that meet one another have different directions, and the difference of their directions is the angle between them." Wilson (1868, p. 2) In definition 15 he introduces parallel lines in this way; "Straight lines which have the same direction, but are not parts of the same straight line, are called parallel lines." Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan reviewed this text and declared it a failure, primarily on the basis of this definition and the way Wilson used it to prove things about parallel lines. Dodgson also devotes a large section of his play (Act II, Scene VI § 1) to denouncing Wilson's treatment of parallels. Wilson edited this concept out of the third and higher editions of his text.

Other properties, proposed by other reformers, used as replacements for the definition of parallel lines, did not fare much better. The main difficulty, as pointed out by Dodgson, was that to use them in this way required additional axioms to be added to the system. The equidistant line definition of Posidonius, expounded by Francis Cuthbertson in his 1874 text Euclidean Geometry suffers from the problem that the points that are found at a fixed given distance on one side of a straight line must be shown to form a straight line. This can not be proved and must be assumed to be true. The corresponding angles formed by a transversal property, used by W. D. Cooley in his 1860 text, The Elements of Geometry, simplified and explained requires a proof of the fact that if one transversal meets a pair of lines in congruent corresponding angles then all transversals must do so. Again, a new axiom is needed to justify this statement.
Histoire

La définition des lignes parallèles en tant que paires de lignes droites dans un plan qui ne se rencontrent apparaît comme la Définition 23 du Livre I des Éléments d'Euclide. D'autres définitions ont été discutées par d'autres Grecs, souvent dans le cadre d'une tentative de prouver le postulat des parallèles. Proclus attribue une définition des lignes parallèles comme lignes équidistantes à Posidonius et cite Géminos dans le même sens. Simplicius mentionne également la définition de Posidonius ainsi que sa modification par le philosophe Aganis.

À la fin du XIXe siècle, en Angleterre, les Éléments d'Euclide étaient encore le manuel scolaire standard dans les lycées. Le traitement traditionnel de la géométrie était sous pression pour changer en raison des nouvelles avancées en géométrie projective et en géométrie non euclidienne, de sorte que plusieurs nouveaux manuels scolaires de géométrie ont été rédigés à cette époque. Une différence majeure entre ces textes réformés, tant entre eux qu'avec Euclide, est le traitement des lignes parallèles. Ces textes réformés n'étaient pas sans critiques et l'un d'eux, Charles Dodgson (alias Lewis Carroll), a écrit une pièce de théâtre, Euclide et ses rivaux modernes, dans laquelle ces textes sont critiqués.

L'un des premiers manuels réformés était la Géométrie élémentaire de James Maurice Wilson, datant de 1868. Wilson base sa définition des lignes parallèles sur la notion primitive de direction. Selon Wilhelm Killing, l'idée peut être retracée jusqu'à Leibniz. Wilson, sans définir la direction puisqu'il s'agit d'une notion primitive, utilise le terme dans d'autres définitions, comme sa sixième définition : « Deux lignes droites qui se rencontrent ont des directions différentes, et la différence de leurs directions est l'angle entre elles. » Wilson (1868, p. 2). Dans la définition 15, il introduit les lignes parallèles de cette manière : « Les lignes droites qui ont la même direction, mais ne font pas partie de la même ligne droite, sont appelées lignes parallèles. » Wilson (1868, p. 12). Augustus De Morgan a examiné ce texte et l'a déclaré un échec, principalement sur la base de cette définition et de la manière dont Wilson l'a utilisée pour prouver des choses sur les lignes parallèles. Dodgson consacre également une grande partie de sa pièce (Acte II, Scène VI § 1) à dénoncer le traitement des parallèles par Wilson. Wilson a supprimé ce concept des troisième et éditions ultérieures de son texte.

D'autres propriétés, proposées par d'autres réformateurs et utilisées comme remplaçants de la définition des lignes parallèles, n'ont pas mieux réussi. La principale difficulté, comme l'a souligné Dodgson, était que les utiliser de cette manière nécessitait d'ajouter des axiomes supplémentaires au système. La définition des lignes équidistantes de Posidonius, exposée par Francis Cuthbertson dans son texte de 1874, Géométrie euclidienne, souffre du problème que les points qui se trouvent à une distance fixe d'un côté d'une ligne droite doivent être montrés comme formant une ligne droite. Cela ne peut être prouvé et doit être considéré comme vrai. La propriété des angles correspondants formés par une sécante, utilisée par W. D. Cooley dans son texte de 1860, Les éléments de la géométrie, simplifiée et expliquée, nécessite une preuve du fait que si une sécante rencontre une paire de lignes dans des angles correspondants congruents, alors toutes les sécantes doivent le faire. De nouveau, un nouvel axiome est nécessaire pour justifier cette affirmation.
### Query ###
Je travaille sur l'enseignement de la géométrie et je m'interroge sur la définition des lignes parallèles. Je sais qu'Euclide les définissait comme des droites qui ne se rencontrent jamais, mais je vois que plusieurs réformateurs ont essayé de trouver des alternatives plus rigoureuses. Quels sont les défis fondamentaux rencontrés lorsqu'on essaie de définir les lignes parallèles sans recourir à des concepts primitifs ou à des axiomes supplémentaires ?

### Main Text ###
History

The definition of parallel lines as a pair of straight lines in a plane which do not meet appears as Definition 23 in Book I of Euclid's Elements. Alternative definitions were discussed by other Greeks, often as part of an attempt to prove the parallel postulate. Proclus attributes a definition of parallel lines as equidistant lines to Posidonius and quotes Geminus in a similar vein. Simplicius also mentions Posidonius' definition as well as its modification by the philosopher Aganis.

At the end of the nineteenth century, in England, Euclid's Elements was still the standard textbook in secondary schools. The traditional treatment of geometry was being pressured to change by the new developments in projective geometry and non-Euclidean geometry, so several new textbooks for the teaching of geometry were written at this time. A major difference between these reform texts, both between themselves and between them and Euclid, is the treatment of parallel lines. These reform texts were not without their critics and one of them, Charles Dodgson (a.k.a. Lewis Carroll), wrote a play, Euclid and His Modern Rivals, in which these texts are lambasted.

One of the early reform textbooks was James Maurice Wilson's Elementary Geometry of 1868. Wilson based his definition of parallel lines on the primitive notion of direction. According to Wilhelm Killing the idea may be traced back to Leibniz. Wilson, without defining direction since it is a primitive, uses the term in other definitions such as his sixth definition, "Two straight lines that meet one another have different directions, and the difference of their directions is the angle between them." Wilson (1868, p. 2) In definition 15 he introduces parallel lines in this way; "Straight lines which have the same direction, but are not parts of the same straight line, are called parallel lines." Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan reviewed this text and declared it a failure, primarily on the basis of this definition and the way Wilson used it to prove things about parallel lines. Dodgson also devotes a large section of his play (Act II, Scene VI § 1) to denouncing Wilson's treatment of parallels. Wilson edited this concept out of the third and higher editions of his text.

Other properties, proposed by other reformers, used as replacements for the definition of parallel lines, did not fare much better. The main difficulty, as pointed out by Dodgson, was that to use them in this way required additional axioms to be added to the system. The equidistant line definition of Posidonius, expounded by Francis Cuthbertson in his 1874 text Euclidean Geometry suffers from the problem that the points that are found at a fixed given distance on one side of a straight line must be shown to form a straight line. This can not be proved and must be assumed to be true. The corresponding angles formed by a transversal property, used by W. D. Cooley in his 1860 text, The Elements of Geometry, simplified and explained requires a proof of the fact that if one transversal meets a pair of lines in congruent corresponding angles then all transversals must do so. Again, a new axiom is needed to justify this statement.

### Supplementary Text ###
Histoire

La définition des lignes parallèles en tant que paires de lignes droites dans un plan qui ne se rencontrent apparaît comme la Définition 23 du Livre I des Éléments d'Euclide. D'autres définitions ont été discutées par d'autres Grecs, souvent dans le cadre d'une tentative de prouver le postulat des parallèles. Proclus attribue une définition des lignes parallèles comme lignes équidistantes à Posidonius et cite Géminos dans le même sens. Simplicius mentionne également la définition de Posidonius ainsi que sa modification par le philosophe Aganis.

À la fin du XIXe siècle, en Angleterre, les Éléments d'Euclide étaient encore le manuel scolaire standard dans les lycées. Le traitement traditionnel de la géométrie était sous pression pour changer en raison des nouvelles avancées en géométrie projective et en géométrie non euclidienne, de sorte que plusieurs nouveaux manuels scolaires de géométrie ont été rédigés à cette époque. Une différence majeure entre ces textes réformés, tant entre eux qu'avec Euclide, est le traitement des lignes parallèles. Ces textes réformés n'étaient pas sans critiques et l'un d'eux, Charles Dodgson (alias Lewis Carroll), a écrit une pièce de théâtre, Euclide et ses rivaux modernes, dans laquelle ces textes sont critiqués.

L'un des premiers manuels réformés était la Géométrie élémentaire de James Maurice Wilson, datant de 1868. Wilson base sa définition des lignes parallèles sur la notion primitive de direction. Selon Wilhelm Killing, l'idée peut être retracée jusqu'à Leibniz. Wilson, sans définir la direction puisqu'il s'agit d'une notion primitive, utilise le terme dans d'autres définitions, comme sa sixième définition : « Deux lignes droites qui se rencontrent ont des directions différentes, et la différence de leurs directions est l'angle entre elles. » Wilson (1868, p. 2). Dans la définition 15, il introduit les lignes parallèles de cette manière : « Les lignes droites qui ont la même direction, mais ne font pas partie de la même ligne droite, sont appelées lignes parallèles. » Wilson (1868, p. 12). Augustus De Morgan a examiné ce texte et l'a déclaré un échec, principalement sur la base de cette définition et de la manière dont Wilson l'a utilisée pour prouver des choses sur les lignes parallèles. Dodgson consacre également une grande partie de sa pièce (Acte II, Scène VI § 1) à dénoncer le traitement des parallèles par Wilson. Wilson a supprimé ce concept des troisième et éditions ultérieures de son texte.

D'autres propriétés, proposées par d'autres réformateurs et utilisées comme remplaçants de la définition des lignes parallèles, n'ont pas mieux réussi. La principale difficulté, comme l'a souligné Dodgson, était que les utiliser de cette manière nécessitait d'ajouter des axiomes supplémentaires au système. La définition des lignes équidistantes de Posidonius, exposée par Francis Cuthbertson dans son texte de 1874, Géométrie euclidienne, souffre du problème que les points qui se trouvent à une distance fixe d'un côté d'une ligne droite doivent être montrés comme formant une ligne droite. Cela ne peut être prouvé et doit être considéré comme vrai. La propriété des angles correspondants formés par une sécante, utilisée par W. D. Cooley dans son texte de 1860, Les éléments de la géométrie, simplifiée et expliquée, nécessite une preuve du fait que si une sécante rencontre une paire de lignes dans des angles correspondants congruents, alors toutes les sécantes doivent le faire. De nouveau, un nouvel axiome est nécessaire pour justifier cette affirmation.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je travaille sur l'enseignement de la géométrie" → geometry teaching context
"définition des lignes parallèles" → parallel line definitions  
"réformateurs" → 19th century reformers/textbook writers
"sans recourir à des concepts primitifs ou à des axiomes supplémentaires" → core challenge identified

Key insight: Teacher recognizes modern vs historical tension. Wants rigorous definition avoiding primitives.

### 2. Historical Context Retrieval

⟨H≈0.2⟩ Euclidean tradition: "non-intersecting" (ne jamais se rencontrent). Clean but circular reasoning. Later Greek attempts: Posidonius' equidistance, Aganis modifications. All pre-Hilbert axiomatic rigor...

19th century reforms: Wilson (1868), Cooley, others. Direction-based approaches. Problem: need new primitives (direction concept). Dodgson critique = "Euclid and His Modern Rivals" theatrical attack.

### 3. Technical Challenges Analysis

**Equidistance Approach:**
- Posidonius: lines maintaining constant separation
- Issue: ⚠ Need theorem proving equidistance → straight line
- This theorem requires... additional axioms! ∴ Circular

**Angle/Transversal Approach:**  
- Cooley: corresponding angles equal
- Problem: Need proof all transversals behave same
- Second theorem required → axiom dependency

**Direction-Based:**
- Wilson: lines with identical direction
- Issue: ⚠ Direction itself becomes primitive
- No escape from foundational level

### 4. Core Challenge Synthesis

The fundamental obstacle: ● 

Any alternative definition requiring:
1. Primitive concepts (Wilson: direction)
2. Additional axioms (equidistance: straight line formation)  
3. Circular proofs (angle consistency)

∴ Euclidean "non-intersection" definition optimal despite limitations

**Why this matters for teaching:**
→ Students need foundational stability
→ Historical progression shows technical impossibility
→ Definition choice reflects philosophical stance on geometric reasoning

**Conclusion:** 
Euclid's approach, while not rigorous by modern standards, avoids the reformers' trap of requiring additional primitives or axioms. The "non-intersection" definition may be less theoretically pure, but practically more coherent within Euclidean framework.

NB: This explains why 19th century reforms failed adoption despite modern geometric intuitions.

### Answer###
Les défis fondamentaux rencontrés lorsqu'on essaie de définir les lignes parallèles sans recourir à des concepts primitifs ou à des axiomes supplémentaires sont principalement d'ordre logique et pratique.

Historiquement, les tentatives de remplacer la définition euclidienne par d'autres propriétés ont révélé des difficultés techniques importantes. L'approche par les lignes équidistantes, attribuée à Posidonius, nécessite de démontrer que les points situés à une distance fixe d'un côté d'une droite forment effectivement une droite. Cette démonstration ne peut être prouvée et doit être assumée comme vraie, nécessitant ainsi un nouvel axiome.

De même, la propriété des angles correspondants formés par une sécante, utilisée par des réformateurs comme W. D. Cooley, nécessite une preuve que si une sécante rencontre une paire de droites dans des angles correspondants congrus, alors toutes les sécantes doivent le faire. Cette exigence implique également l'ajout d'un axiome supplémentaire.

Les définitions basées sur la notion de direction, comme celle de James Maurice Wilson en 1868, rencontrent le problème inverse : le concept de direction devient lui-même un concept primitif qui ne peut pas être défini sans introduire une circularité. Wilson définissait les lignes parallèles comme des droites ayant la même direction mais ne faisant pas partie de la même droite, mais cette approche nécessitait d'accepter la direction comme notion non définie.

Ces échecs récurrents expliquent pourquoi les textes réformateurs du XIXe siècle, bien que modernes sur d'autres points, ont finalement abandonné ou modifié leurs alternatives à la définition euclidienne. La critique théâtrale de Lewis Carroll contre ces réformes illustre les difficultés pratiques rencontrées dans l'enseignement de telles définitions alternatives.