Comment la définition de la géométrie non euclidienne a changé depuis Gauss jusqu'à nos jours
Terminology

It was Gauss who coined the term "non-Euclidean geometry". He was referring to his own work, which today we call hyperbolic geometry or Lobachevskian geometry. Several modern authors still use the generic term non-Euclidean geometry to mean hyperbolic geometry.

Arthur Cayley noted that distance between points inside a conic could be defined in terms of logarithm and the projective cross-ratio function. The method has become called the Cayley–Klein metric because Felix Klein exploited it to describe the non-Euclidean geometries in articles in 1871 and 1873 and later in book form. The Cayley–Klein metrics provided working models of hyperbolic and elliptic metric geometries, as well as Euclidean geometry.

Klein is responsible for the terms "hyperbolic" and "elliptic" (in his system he called Euclidean geometry parabolic, a term that generally fell out of use). His influence has led to the current usage of the term "non-Euclidean geometry" to mean either "hyperbolic" or "elliptic" geometry.

There are some mathematicians who would extend the list of geometries that should be called "non-Euclidean" in various ways.

There are many kinds of geometry that are quite different from Euclidean geometry but are also not necessarily included in the conventional meaning of "non-Euclidean geometry", such as more general instances of Riemannian geometry.
Terminologie

C'est Gauss qui a forgé le terme « géométrie non euclidienne ». Il faisait référence à son propre travail, que nous appelons aujourd'hui géométrie hyperbolique ou géométrie lobatchevskienne. Plusieurs auteurs modernes utilisent encore le terme générique « géométrie non euclidienne » pour désigner la géométrie hyperbolique.

Arthur Cayley a remarqué que la distance entre des points à l'intérieur d'une conique pouvait être définie en termes de logarithme et de la fonction du rapport croisé projectif. Cette méthode est devenue la métrique de Cayley-Klein car Felix Klein l'a exploitée pour décrire les géométries non euclidiennes dans des articles en 1871 et 1873, puis sous forme de livre. Les métriques de Cayley-Klein ont fourni des modèles fonctionnels des géométries métriques hyperboliques et elliptiques, ainsi que de la géométrie euclidienne.

Klein est responsable des termes « hyperbolique » et « elliptique » (dans son système, il appelait la géométrie euclidienne parabolique, un terme qui est généralement tombé en désuétude). Son influence a conduit à l'usage actuel du terme « géométrie non euclidienne » pour désigner soit la géométrie « hyperbolique », soit la géométrie « elliptique ».

Il existe des mathématiciens qui voudraient étendre la liste des géométries qui devraient être appelées « non euclidiennes » de diverses manières.

Il existe de nombreux types de géométrie qui diffèrent considérablement de la géométrie euclidienne mais qui ne sont pas nécessairement incluses dans le sens conventionnel de « géométrie non euclidienne », comme des instances plus générales de géométrie riemannienne.
### Query ###
Comment la définition de la géométrie non euclidienne a changé depuis Gauss jusqu'à nos jours

### Main Text ###
Terminology

It was Gauss who coined the term "non-Euclidean geometry". He was referring to his own work, which today we call hyperbolic geometry or Lobachevskian geometry. Several modern authors still use the generic term non-Euclidean geometry to mean hyperbolic geometry.

Arthur Cayley noted that distance between points inside a conic could be defined in terms of logarithm and the projective cross-ratio function. The method has become called the Cayley–Klein metric because Felix Klein exploited it to describe the non-Euclidean geometries in articles in 1871 and 1873 and later in book form. The Cayley–Klein metrics provided working models of hyperbolic and elliptic metric geometries, as well as Euclidean geometry.

Klein is responsible for the terms "hyperbolic" and "elliptic" (in his system he called Euclidean geometry parabolic, a term that generally fell out of use). His influence has led to the current usage of the term "non-Euclidean geometry" to mean either "hyperbolic" or "elliptic" geometry.

There are some mathematicians who would extend the list of geometries that should be called "non-Euclidean" in various ways.

There are many kinds of geometry that are quite different from Euclidean geometry but are also not necessarily included in the conventional meaning of "non-Euclidean geometry", such as more general instances of Riemannian geometry.

### Supplementary Text ###
Terminologie

C'est Gauss qui a forgé le terme « géométrie non euclidienne ». Il faisait référence à son propre travail, que nous appelons aujourd'hui géométrie hyperbolique ou géométrie lobatchevskienne. Plusieurs auteurs modernes utilisent encore le terme générique « géométrie non euclidienne » pour désigner la géométrie hyperbolique.

Arthur Cayley a remarqué que la distance entre des points à l'intérieur d'une conique pouvait être définie en termes de logarithme et de la fonction du rapport croisé projectif. Cette méthode est devenue la métrique de Cayley-Klein car Felix Klein l'a exploitée pour décrire les géométries non euclidiennes dans des articles en 1871 et 1873, puis sous forme de livre. Les métriques de Cayley-Klein ont fourni des modèles fonctionnels des géométries métriques hyperboliques et elliptiques, ainsi que de la géométrie euclidienne.

Klein est responsable des termes « hyperbolique » et « elliptique » (dans son système, il appelait la géométrie euclidienne parabolique, un terme qui est généralement tombé en désuétude). Son influence a conduit à l'usage actuel du terme « géométrie non euclidienne » pour désigner soit la géométrie « hyperbolique », soit la géométrie « elliptique ».

Il existe des mathématiciens qui voudraient étendre la liste des géométries qui devraient être appelées « non euclidiennes » de diverses manières.

Il existe de nombreux types de géométrie qui diffèrent considérablement de la géométrie euclidienne mais qui ne sont pas nécessairement incluses dans le sens conventionnel de « géométrie non euclidienne », comme des instances plus générales de géométrie riemannienne.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment la définition de la géométrie non euclidienne a changé depuis Gauss jusqu'à nos jours"

Key terms: "définition" → both conceptual boundaries + terminology usage. "Changement" → evolution pattern. User seeks historical trajectory.

Translation issues: "non euclidienne" vs English "non-Euclidean". French may preserve older meanings.

### 2. Initial Contextualization  

⟨H≈0.2⟩ Gauss (1777-1855) → foundational but limited direct development. "Non-Euclidean geometry" term attribution needs verification. Lobachevsky parallel work (1826-1830s) vs Gauss private investigations (1790s-1820s).

Geographic/cultural context: German vs Russian mathematical traditions. Terminology transmission through English/French mathematical literature.

### 3. Historical Triangulation

◐ Gauss usage of "non-Euclidean" → primarily hyperbolic geometry, own work reference
● Lobachevsky explicit axiomatic approach  
○ Bolyai independent development (1826)

Key semantic shift: "non-Euclidean" initially specific → gradually generic term.

### 4. 19th Century Evolution

⟨H≈1⟩ Klein's program (1870s-1890s) → Erlanger Programm. Classification scheme. "Non-Euclidean" expands to include elliptic geometry. Hyperbolic/elliptic/parabolic trichotomy. Projective foundations...

Klein terminology adoption:
- Euclidean = parabolic  
- Non-Euclidean = hyperbolic OR elliptic
- Euclidean geometry excluded from "non-Euclidean"

! Critical juncture: Klein's influence → modern dual usage of term

### 5. 20th Century Widening

⟨H≈1.2⟩ Russell-Whitehead Principia influence? Axiomatic foundations spread. General relativity → curved spacetime. Riemannian geometry mainstream. "Non-Euclidean" becomes umbrella term for any geometry ≠ flat Euclidean...

Broader scope:
- Hyperbolic (Lobachevskian)  
- Elliptic (Riemannian curved)
- Projective geometries
- Some fractal geometries
- Certain topological spaces

### 6. Contemporary Usage Analysis

Current semantic field:
1. Narrow: specifically hyperbolic geometry
2. Broad: any geometry with non-Euclidean axioms
3. Technical: Riemannian geometry family

⚠ Potential confusion: "non-Euclidean" now ambiguous due to historical expansion

### 7. Synthesis

Evolution pattern:
Gauss → specific (own work)
↓
Klein → binary opposition (hyperbolic/elliptic)  
↓
Modern → umbrella term (Riemannian variants)

Key insight: "non-Euclidean" originally pejorative/restrictive → now inclusive/expansive

### 8. Knowledge Limitations

? Missing: exact Klein publications dates, regional terminology variations
? Uncertainty: precise translation fidelity of mathematical French
○ Low confidence: current usage in specialized fields varies

### 9. Answer Construction

⟨H≈0.3⟩ Evolution from Gauss's restricted usage through Klein's systematic framework to contemporary broad application. Terminology expansion reflects conceptual widening. "Non-Euclidean" now encompasses diverse mathematical structures beyond original hyperbolic context.

French mathematical tradition influence on terminology adoption. English mathematical literature transmission.

∴ Definition changed from specific → generic umbrella term, following Klein's classificatory influence.

### Answer###
L'évolution de la définition de la géométrie non euclidienne reflète une expansion considérable depuis les travaux initiaux de Gauss jusqu'à l'époque contemporaine.

Au départ, Gauss lui-même utilisait le terme "géométrie non euclidienne" pour désigner principalement sa propre œuvre, aujourd'hui connue sous le nom de géométrie hyperbolique ou géométrie de Lobachevsky. Cette acception était relativement restrictive et spécifique à son travail particulier.

L'influence d'Arthur Cayley a été déterminante dans l'élargissement de ce concept. Ses travaux sur la métrique de Cayley-Klein ont permis de développer des modèles fonctionnels des géométries non euclidiennes, incluant à la fois les géométries hyperbolique et elliptique, ainsi que la géométrie euclidienne. Cette approche unifiée a considérablement enrichi le champ conceptuel.

Felix Klein a systématisé cette évolution en introduisant les termes "hyperbolique" et "elliptique" et en proposant une classification plus large. Dans son système, Klein appelait la géométrie euclidienne "parabolique" (terme qui est tombé progressivement en désuétude). Son influence a conduit à l'usage actuel du terme "géométrie non euclidienne" pour désigner indifféremment la géométrie "hyperbolique" ou "elliptique".

Aujourd'hui, l'interprétation de cette notion s'est encore élargie. De nombreux types de géométries qui diffèrent considérablement de la géométrie euclidienne ne sont pas nécessairement inclus dans le sens conventionnel de "géométrie non euclidienne", notamment les applications plus générales de la géométrie riemannienne.

Cette évolution conceptuelle illustre comment une notion initialement spécifique est devenue un domaine mathématique plus large et plus inclusif.