Comment l'unité imaginaire j est-elle liée à la phase de 90° dans l'impédance réactive d'un condensateur ?
Inductor and capacitor

Ideal inductors and capacitors have a purely imaginary reactive impedance:

the impedance of inductors increases as frequency increases;

the impedance of capacitors decreases as frequency increases;

In both cases, for an applied sinusoidal voltage, the resulting current is also sinusoidal, but in quadrature, 90 degrees out of phase with the voltage. However, the phases have opposite signs: in an inductor, the current is lagging; in a capacitor the current is leading.

Note the following identities for the imaginary unit and its reciprocal:

Thus the inductor and capacitor impedance equations can be rewritten in polar form:

The magnitude gives the change in voltage amplitude for a given current amplitude through the impedance, while the exponential factors give the phase relationship.
Inductance et capacité

Les inductances et les condensateurs idéaux présentent une impédance réactive purement imaginaire :

l'impédance des inductances augmente avec l'augmentation de la fréquence ;

l'impédance des condensateurs diminue avec l'augmentation de la fréquence ;

Dans les deux cas, pour une tension sinusoïdale appliquée, le courant résultant est également sinusoïdal, mais en quadrature, déphasé de 90 degrés par rapport à la tension. Cependant, les phases ont des signes opposés : dans une inductance, le courant est en retard ; dans un condensateur, le courant est en avance.

Notez les identités suivantes pour l'unité imaginaire et son inverse :

Ainsi, les équations d'impédance de l'inductance et du condensateur peuvent être réécrites sous forme polaire :

La magnitude donne la variation de l'amplitude de la tension pour une amplitude de courant donnée à travers l'impédance, tandis que les facteurs exponentiels indiquent la relation de phase.
### Query ###
Comment l'unité imaginaire j est-elle liée à la phase de 90° dans l'impédance réactive d'un condensateur ?

### Main Text ###
Inductor and capacitor

Ideal inductors and capacitors have a purely imaginary reactive impedance:

the impedance of inductors increases as frequency increases;

the impedance of capacitors decreases as frequency increases;

In both cases, for an applied sinusoidal voltage, the resulting current is also sinusoidal, but in quadrature, 90 degrees out of phase with the voltage. However, the phases have opposite signs: in an inductor, the current is lagging; in a capacitor the current is leading.

Note the following identities for the imaginary unit and its reciprocal:

Thus the inductor and capacitor impedance equations can be rewritten in polar form:

The magnitude gives the change in voltage amplitude for a given current amplitude through the impedance, while the exponential factors give the phase relationship.

### Supplementary Text ###
Inductance et capacité

Les inductances et les condensateurs idéaux présentent une impédance réactive purement imaginaire :

l'impédance des inductances augmente avec l'augmentation de la fréquence ;

l'impédance des condensateurs diminue avec l'augmentation de la fréquence ;

Dans les deux cas, pour une tension sinusoïdale appliquée, le courant résultant est également sinusoïdal, mais en quadrature, déphasé de 90 degrés par rapport à la tension. Cependant, les phases ont des signes opposés : dans une inductance, le courant est en retard ; dans un condensateur, le courant est en avance.

Notez les identités suivantes pour l'unité imaginaire et son inverse :

Ainsi, les équations d'impédance de l'inductance et du condensateur peuvent être réécrites sous forme polaire :

La magnitude donne la variation de l'amplitude de la tension pour une amplitude de courant donnée à travers l'impédance, tandis que les facteurs exponentiels indiquent la relation de phase.

### Draft ###

**Query parsing:** "unité imaginaire j" = imaginary unit i. "phase de 90°" = 90° phase shift. "impédance réactive d'un condensateur" = reactive impedance of capacitor.

Key translation issue: French uses "j" for √-1, English "i". But mathematical content identical.

**Domain identification:** ● Basic electrical engineering. AC circuits. Phasors. Impedance theory.

**Core relationship sought:** Why does capacitor Z = -1/ωC yield 90° phase?

**Mathematical foundation:**
Z_C = -1/(ωC) = j(-1/ωC)

Why imaginary? → Integration/differentiation relationship.
Current through capacitor: i(t) = C dV/dt
Voltage across: V(t) = Q/C = (1/C)∫idt

∴ Z = V/I = dV/dI = (1/C)d[∫idt]/dI = 1/C imaginary

**Physical reasoning:**
Energy storage mechanism → phase relationship.
- Capacitor stores charge (energy)
- Current drives charge accumulation  
- Voltage responds with 90° delay
- Current leads voltage by 90°

**Verification:**
At ω = 0: Z = ∞ (open circuit) ✓
At high ω: Z = 0 (short circuit) ✓  
Phase relationship maintained ✓

**Synthesis:**
j appears because capacitor's behavior = derivative operation.
90° phase = fundamental energy storage physics.
j = mathematical tool capturing temporal relationship.

**Key insight:** Not coincidence. Mathematical imaginary unit i reflects physical reality of energy storage in electric field.

**Answer structure:**
1. Z = j(-1/ωC) relationship
2. Why imaginary component exists
3. Phase derivation from energy storage
4. Physical interpretation of j

※ Complex impedance formalism bridges mathematical rigor with circuit behavior intuition.

### Answer###
L'unité imaginaire j apparaît dans l'impédance réactive d'un condensateur à cause de la relation fondamentale entre le comportement physique du condensateur et la représentation mathématique des grandeurs complexes.

L'impédance d'un condensateur idéal est donnée par Z = -1/(ωC), où ω est la pulsation angulaire et C la capacité. Cette expression peut s'écrire sous forme complexe comme Z = j(-1/ωC), où j = √-1 est l'unité imaginaire. Cette forme révèle que l'impédance du condensateur est purement imaginaire, ce qui signifie qu'elle ne présente pas de composante résistive réelle.

Cette relation imaginaire reflète le comportement réactif du condensateur : lorsque une tension sinusoïdale est appliquée, le courant qui le traverse est également sinusoïdal, mais déphasé de 90° par rapport à la tension, avec un courant menant la tension. Le signe négatif dans l'expression de l'impédance explique pourquoi le courant est en avance de phase : le condensateur stocke l'énergie sous forme de champ électrique, retardant ainsi le courant par rapport à la tension.

L'unité imaginaire j capture donc mathématiquement cette relation de phase et permet d'exprimer de manière unifiée les propriétés temporelles et spectrales du comportement réactif du condensateur.