Comment les relations d'ordre partiel ≤ et < sont-elles liées à leur dual ≥ et à leur complément > dans un ensemble partiellement ordonné, et quelles conditions doivent être satisfaites pour que ces relations soient équivalentes ?
Notation

Given a set P {\displaystyle P} and a partial order relation, typically the non-strict partial order ≤ {\displaystyle \leq }, we may uniquely extend our notation to define four partial order relations ≤, {\displaystyle \leq,} <, {\displaystyle <,} ≥, {\displaystyle \geq,} and > {\displaystyle >}, where ≤ {\displaystyle \leq } is a non-strict partial order relation on P {\displaystyle P}, < {\displaystyle <} is the associated strict partial order relation on P {\displaystyle P} (the irreflexive kernel of ≤ {\displaystyle \leq }), ≥ {\displaystyle \geq } is the dual of ≤ {\displaystyle \leq }, and > {\displaystyle >} is the dual of < {\displaystyle <}. Strictly speaking, the term partially ordered set refers to a set with all of these relations defined appropriately. But practically, one need only consider a single relation, (P, ≤) {\displaystyle (P,\leq)} or (P, <) {\displaystyle (P,<)}, or, in rare instances, the non-strict and strict relations together, (P, ≤, <) {\displaystyle (P,\leq,<)}.

The term ordered set is sometimes used as a shorthand for partially ordered set, as long as it is clear from the context that no other kind of order is meant. In particular, totally ordered sets can also be referred to as "ordered sets", especially in areas where these structures are more common than posets. Some authors use different symbols than ≤ {\displaystyle \leq } such as ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } or ⪯ {\displaystyle \preceq } to distinguish partial orders from total orders.

When referring to partial orders, ≤ {\displaystyle \leq } should not be taken as the complement of > {\displaystyle >}. The relation > {\displaystyle >} is the converse of the irreflexive kernel of ≤ {\displaystyle \leq }, which is always a subset of the complement of ≤ {\displaystyle \leq }, but > {\displaystyle >} is equal to the complement of ≤ {\displaystyle \leq } if, and only if, ≤ {\displaystyle \leq } is a total order.
Notation

Étant donné un ensemble P et une relation d'ordre partiel, typiquement l'ordre partiel non strict ≤, nous pouvons étendre de manière unique notre notation pour définir quatre relations d'ordre partiel : ≤, <, ≥ et >, où ≤ est une relation d'ordre partiel non strict sur P, < est la relation d'ordre strict associée sur P (le noyau irréfléchi de ≤), ≥ est le dual de ≤, et > est le dual de <. Strictement parlant, le terme d'ensemble partiellement ordonné fait référence à un ensemble muni de toutes ces relations définies de manière appropriée. Mais en pratique, il suffit de considérer une seule relation, (P, ≤) ou (P, <), ou, dans de rares cas, les relations non strictes et strictes ensemble, (P, ≤, <).

Le terme d'ensemble ordonné est parfois utilisé comme abréviation pour ensemble partiellement ordonné, à condition qu'il soit clair dans le contexte qu’aucun autre type d’ordre n’est visé. En particulier, les ensembles totalement ordonnés peuvent également être appelés « ensembles ordonnés », surtout dans les domaines où ces structures sont plus courantes que les posets. Certains auteurs utilisent des symboles différents de ≤, tels que ⊑ ou ⪯, pour distinguer les ordres partiels des ordres totaux.

En référence aux ordres partiels, ≤ ne doit pas être considéré comme le complément de >. La relation > est la converse du noyau irréfléchi de ≤, qui est toujours un sous-ensemble du complément de ≤, mais > est égal au complément de ≤ si, et seulement si, ≤ est un ordre total.
### Query ###
Comment les relations d'ordre partiel ≤ et < sont-elles liées à leur dual ≥ et à leur complément > dans un ensemble partiellement ordonné, et quelles conditions doivent être satisfaites pour que ces relations soient équivalentes ?

### Main Text ###
Notation

Given a set P {\displaystyle P} and a partial order relation, typically the non-strict partial order ≤ {\displaystyle \leq }, we may uniquely extend our notation to define four partial order relations ≤, {\displaystyle \leq,} <, {\displaystyle <,} ≥, {\displaystyle \geq,} and > {\displaystyle >}, where ≤ {\displaystyle \leq } is a non-strict partial order relation on P {\displaystyle P}, < {\displaystyle <} is the associated strict partial order relation on P {\displaystyle P} (the irreflexive kernel of ≤ {\displaystyle \leq }), ≥ {\displaystyle \geq } is the dual of ≤ {\displaystyle \leq }, and > {\displaystyle >} is the dual of < {\displaystyle <}. Strictly speaking, the term partially ordered set refers to a set with all of these relations defined appropriately. But practically, one need only consider a single relation, (P, ≤) {\displaystyle (P,\leq)} or (P, <) {\displaystyle (P,<)}, or, in rare instances, the non-strict and strict relations together, (P, ≤, <) {\displaystyle (P,\leq,<)}.

The term ordered set is sometimes used as a shorthand for partially ordered set, as long as it is clear from the context that no other kind of order is meant. In particular, totally ordered sets can also be referred to as "ordered sets", especially in areas where these structures are more common than posets. Some authors use different symbols than ≤ {\displaystyle \leq } such as ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } or ⪯ {\displaystyle \preceq } to distinguish partial orders from total orders.

When referring to partial orders, ≤ {\displaystyle \leq } should not be taken as the complement of > {\displaystyle >}. The relation > {\displaystyle >} is the converse of the irreflexive kernel of ≤ {\displaystyle \leq }, which is always a subset of the complement of ≤ {\displaystyle \leq }, but > {\displaystyle >} is equal to the complement of ≤ {\displaystyle \leq } if, and only if, ≤ {\displaystyle \leq } is a total order.

### Supplementary Text ###
Notation

Étant donné un ensemble P et une relation d'ordre partiel, typiquement l'ordre partiel non strict ≤, nous pouvons étendre de manière unique notre notation pour définir quatre relations d'ordre partiel : ≤, <, ≥ et >, où ≤ est une relation d'ordre partiel non strict sur P, < est la relation d'ordre strict associée sur P (le noyau irréfléchi de ≤), ≥ est le dual de ≤, et > est le dual de <. Strictement parlant, le terme d'ensemble partiellement ordonné fait référence à un ensemble muni de toutes ces relations définies de manière appropriée. Mais en pratique, il suffit de considérer une seule relation, (P, ≤) ou (P, <), ou, dans de rares cas, les relations non strictes et strictes ensemble, (P, ≤, <).

Le terme d'ensemble ordonné est parfois utilisé comme abréviation pour ensemble partiellement ordonné, à condition qu'il soit clair dans le contexte qu’aucun autre type d’ordre n’est visé. En particulier, les ensembles totalement ordonnés peuvent également être appelés « ensembles ordonnés », surtout dans les domaines où ces structures sont plus courantes que les posets. Certains auteurs utilisent des symboles différents de ≤, tels que ⊑ ou ⪯, pour distinguer les ordres partiels des ordres totaux.

En référence aux ordres partiels, ≤ ne doit pas être considéré comme le complément de >. La relation > est la converse du noyau irréfléchi de ≤, qui est toujours un sous-ensemble du complément de ≤, mais > est égal au complément de ≤ si, et seulement si, ≤ est un ordre total.

### Draft ###

Query: "Comment les relations d'ordre partiel ≤ et < sont-elles liées à leur dual ≥ et à leur complément > dans un ensemble partiellement ordonné, et quelles conditions doivent être satisfaites pour que ces relations soient équivalentes ?"

Translation check: "How are partial order relations ≤ and < related to their dual ≥ and complement > in a partially ordered set, and what conditions must be satisfied for these relations to be equivalent?"

Key semantic issue: "équivalentes" - does user mean isomorphic as relations, or something else?

### 1. Core Definitions

Partial order (P,≤) → four derived relations:
- ≤ (non-strict): reflexive, antisymmetric, transitive  
- < (strict): irreflexive, transitive (not necessarily antisymmetric here)
- ≥ (dual): reflexive, antisymmetric, converse of ≤
- > (strict dual): irreflexive, converse of <

### 2. Relationship Analysis

? User asks about "lien" between ≤/≥ and </>

Observation 1: < ⊆ >ᶜ always
Proof: x>y ⟺ ¬(x≤y) ⟺ y≤x ⟺ y≥x

But equality? Critical distinction.

### 3. Equivalence Conditions

⟨H≈0.2⟩ When are ≤ and > equivalent? When do they determine same ordering?

Answer: When ≤ is total order.

Proof sketch:
- If ≤ total → every pair comparable → < = ∅ → > = P×P
- If > = P×P → every pair comparable → ≤ total

∴ Equivalence ⟺ totality of ≤

### 4. Dual Relationships

≥ vs ≤: Dual in sense of order-reversal
- x≤y ⟺ y≥x
- Dual preserves: reflexivity, antisymmetry, transitivity
- Dual does NOT preserve strictness ⚠

< vs >: Strict dual relationship  
- x<y ⟺ y>x
- Strict dual preserves: irreflexivity, transitivity
- But <≠> generally

### 5. Key Insight

Critical difference: ≤ and > equivalent ⟺ total order
But ≤ and > can differ even in partial orders (when > contains strict pairs ≤ misses).

Example where > ≠ >ᶜ:
- P = {a,b,c}  
- ≤ = {(a,a), (b,b), (c,c)} (partial order)
- > = {(a,b), (a,c), (b,c)}
- >ᶜ = {(a,a), (b,b), (c,c)} ≠ >

### 6. Verification

User's query asks for conditions for equivalence.
Answer: Equivalence ⟺ totality of ≤
Reasoning: Only in total orders do strict and non-strict relations coincide completely.

NB: This connects to broader poset theory - total orders are special case of partial orders where every comparison possible.

∴ The relations are fundamentally different objects except when the partial order becomes total, at which point they become identical.

### Answer###
Dans un ensemble partiellement ordonné, les relations d'ordre partiel ≤ et < sont intimement liées à leurs duales ≥ et > par les propriétés fondamentales des relations inverses et complémentaires.

La relation ≥ est le dual de ≤, ce qui signifie que pour tous éléments x et y dans l'ensemble, x ≥ y si et seulement si y ≤ x. De même, > est le dual de <, et > = <⁻¹.

Il est important de noter que < ⊆ >, car > représente le complément de l'intersection de < avec l'identité (le noyau irréfléchi de ≤). Cependant, > n'est égal au complément de ≤ que si ≤ est un ordre total. Cette distinction souligne que dans les ordres partiels généraux, ≤ et > ne coïncident pas nécessairement.

Pour ce qui concerne l'équivalence entre ces relations, une condition nécessaire et suffisante pour que ≤ et > soient équivalentes est que ≤ soit un ordre total. En d'autres termes, les relations ≤ et > sont équivalentes si et seulement si toute paire d'éléments de l'ensemble est comparable selon ≤.

Cette équivalence n'existe pas généralement entre ≤ et >, car > est défini comme la relation converse du noyau irréfléchi de ≤, ce qui peut inclure des paires que ≤ ne capture pas. Seule l'exhaustivité de l'ordre total garantit que ≤ et > déterminent exactement le même ordre sur l'ensemble.