Est-ce qu'on peut trouver un état qui vérifie à la fois la relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger de manière non triviale et les nouvelles relations de Maccone-Pati sans être auto-étatique de A et B ?
The Maccone–Pati uncertainty relations

The Robertson–Schrödinger uncertainty relation can be trivial if the state of the system is chosen to be eigenstate of one of the observable. The stronger uncertainty relations proved by Lorenzo Maccone and Arun K. Pati give non-trivial bounds on the sum of the variances for two incompatible observables. (Earlier works on uncertainty relations formulated as the sum of variances include, e.g., Ref. due to Yichen Huang.) For two non-commuting observables A {\displaystyle A} and B {\displaystyle B} the first stronger uncertainty relation is given by σ A 2 + σ B 2 ≥ ± i ⟨ Ψ ∣ | Ψ ⟩ + ∣ ⟨ Ψ ∣ (A ± i B) ∣ Ψ ¯ ⟩ | 2, {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid |\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},} where σ A 2 = ⟨ Ψ | A 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ A ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}, σ B 2 = ⟨ Ψ | B 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ B ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}, | Ψ ¯ ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle } is a normalized vector that is orthogonal to the state of the system | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } and one should choose the sign of ± i ⟨ Ψ ∣ ∣ Ψ ⟩ {\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid \mid \Psi \rangle } to make this real quantity a positive number.

The second stronger uncertainty relation is given by σ A 2 + σ B 2 ≥ 1 2 | ⟨ Ψ ¯ A + B ∣ (A + B) ∣ Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}} where | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } is a state orthogonal to | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle }.The form of | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } implies that the right-hand side of the new uncertainty relation is nonzero unless | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of (A + B) {\displaystyle (A+B)}. One may note that | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } can be an eigenstate of (A + B) {\displaystyle (A+B)} without being an eigenstate of either A {\displaystyle A} or B {\displaystyle B}. However, when | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of one of the two observables the Heisenberg–Schrödinger uncertainty relation becomes trivial. But the lower bound in the new relation is nonzero unless | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of both.
Les relations d'incertitude de Maccone–Pati

La relation d'incertitude de Robertson–Schrödinger peut être triviale si l'état du système est choisi pour être une auto-étatique de l'un des observables. Les relations d'incertitude plus fortes prouvées par Lorenzo Maccone et Arun K. Pati donnent des bornes non triviales sur la somme des variances pour deux observables incompatibles. (Les travaux antérieurs sur les relations d'incertitude formulées comme la somme de variances incluent, par exemple, la réf. de Yichen Huang.) Pour deux observables non commutant A et B, la première relation d'incertitude plus forte est donnée par σ A 2 + σ B 2 ≥ ± i ⟨ Ψ ∣ | Ψ ⟩ + ∣ ⟨ Ψ ∣ (A ± i B) ∣ Ψ ¯ ⟩ | 2, {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid |\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},} où σ A 2 = ⟨ Ψ | A 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ A ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}, σ B 2 = ⟨ Ψ | B 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ B ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}, | Ψ ¯ ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle } est un vecteur normalisé qui est orthogonal à l'état du système | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } et il faut choisir le signe de ± i ⟨ Ψ ∣ ∣ Ψ ⟩ {\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid \mid \Psi \rangle } pour que cette quantité réelle soit un nombre positif.

La deuxième relation d'incertitude plus forte est donnée par σ A 2 + σ B 2 ≥ 1 2 | ⟨ Ψ ¯ A + B ∣ (A + B) ∣ Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}} où | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } est un état orthogonal à | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle }. La forme de | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } implique que le côté droit de la nouvelle relation d'incertitude est non nul à moins que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ne soit une auto-étatique de (A + B). On peut noter que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } peut être une auto-étatique de (A + B) sans être une auto-étatique de A ou de B. Cependant, lorsque | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } est une auto-étatique de l'un des deux observables, la relation d'incertitude de Heisenberg–Schrödinger devient triviale. Mais la borne inférieure dans la nouvelle relation est non nulle à moins que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ne soit une auto-étatique des deux.
### Query ###
Est-ce qu'on peut trouver un état qui vérifie à la fois la relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger de manière non triviale et les nouvelles relations de Maccone-Pati sans être auto-étatique de A et B ?

### Main Text ###
The Maccone–Pati uncertainty relations

The Robertson–Schrödinger uncertainty relation can be trivial if the state of the system is chosen to be eigenstate of one of the observable. The stronger uncertainty relations proved by Lorenzo Maccone and Arun K. Pati give non-trivial bounds on the sum of the variances for two incompatible observables. (Earlier works on uncertainty relations formulated as the sum of variances include, e.g., Ref. due to Yichen Huang.) For two non-commuting observables A {\displaystyle A} and B {\displaystyle B} the first stronger uncertainty relation is given by σ A 2 + σ B 2 ≥ ± i ⟨ Ψ ∣ | Ψ ⟩ + ∣ ⟨ Ψ ∣ (A ± i B) ∣ Ψ ¯ ⟩ | 2, {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid |\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},} where σ A 2 = ⟨ Ψ | A 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ A ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}, σ B 2 = ⟨ Ψ | B 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ B ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}, | Ψ ¯ ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle } is a normalized vector that is orthogonal to the state of the system | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } and one should choose the sign of ± i ⟨ Ψ ∣ ∣ Ψ ⟩ {\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid \mid \Psi \rangle } to make this real quantity a positive number.

The second stronger uncertainty relation is given by σ A 2 + σ B 2 ≥ 1 2 | ⟨ Ψ ¯ A + B ∣ (A + B) ∣ Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}} where | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } is a state orthogonal to | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle }.The form of | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } implies that the right-hand side of the new uncertainty relation is nonzero unless | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of (A + B) {\displaystyle (A+B)}. One may note that | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } can be an eigenstate of (A + B) {\displaystyle (A+B)} without being an eigenstate of either A {\displaystyle A} or B {\displaystyle B}. However, when | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of one of the two observables the Heisenberg–Schrödinger uncertainty relation becomes trivial. But the lower bound in the new relation is nonzero unless | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } is an eigenstate of both.

### Supplementary Text ###
Les relations d'incertitude de Maccone–Pati

La relation d'incertitude de Robertson–Schrödinger peut être triviale si l'état du système est choisi pour être une auto-étatique de l'un des observables. Les relations d'incertitude plus fortes prouvées par Lorenzo Maccone et Arun K. Pati donnent des bornes non triviales sur la somme des variances pour deux observables incompatibles. (Les travaux antérieurs sur les relations d'incertitude formulées comme la somme de variances incluent, par exemple, la réf. de Yichen Huang.) Pour deux observables non commutant A et B, la première relation d'incertitude plus forte est donnée par σ A 2 + σ B 2 ≥ ± i ⟨ Ψ ∣ | Ψ ⟩ + ∣ ⟨ Ψ ∣ (A ± i B) ∣ Ψ ¯ ⟩ | 2, {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid |\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},} où σ A 2 = ⟨ Ψ | A 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ A ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}, σ B 2 = ⟨ Ψ | B 2 | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ ∣ B ∣ Ψ ⟩ 2 {\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}, | Ψ ¯ ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle } est un vecteur normalisé qui est orthogonal à l'état du système | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } et il faut choisir le signe de ± i ⟨ Ψ ∣ ∣ Ψ ⟩ {\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid \mid \Psi \rangle } pour que cette quantité réelle soit un nombre positif.

La deuxième relation d'incertitude plus forte est donnée par σ A 2 + σ B 2 ≥ 1 2 | ⟨ Ψ ¯ A + B ∣ (A + B) ∣ Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}} où | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } est un état orthogonal à | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle }. La forme de | Ψ ¯ A + B ⟩ {\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle } implique que le côté droit de la nouvelle relation d'incertitude est non nul à moins que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ne soit une auto-étatique de (A + B). On peut noter que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } peut être une auto-étatique de (A + B) sans être une auto-étatique de A ou de B. Cependant, lorsque | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } est une auto-étatique de l'un des deux observables, la relation d'incertitude de Heisenberg–Schrödinger devient triviale. Mais la borne inférieure dans la nouvelle relation est non nulle à moins que | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ne soit une auto-étatique des deux.

### Draft ###

Query: "Est-ce qu'on peut trouver un état qui vérifie à la fois la relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger de manière non triviale et les nouvelles relations de Maccone-Pati sans être auto-étatique de A et B ?"

Translation check: "Can we find a state that satisfies both Heisenberg-Schrödinger uncertainty relation non-trivially and Maccone-Pati's new relations without being an eigenstate of A and B?"

→ Core question: Existence of state satisfying seemingly contradictory conditions.

**First, clarify the contradiction apparent in query:**

Standard uncertainty principle: ΔAΔB ≥ ℏ/2 for incompatible observables.
Maccone-Pati relations: σ²_A + σ²_B ≥ C where C > 0 (non-trivial bound).

These cannot coexist in general. Why?

**Key insight:** Maccone-Pati relations are *stronger* than standard uncertainty.
Their non-trivial lower bounds require special conditions on the state.

**The contradiction dissolves when examining conditions:**

● Standard Heisenberg: Always satisfied for any A,B pair
◐ Maccone-Pati: Only satisfied for specific states (not eigenstates of either observable)

Query seems to assume these are *competing* relations. Actually:
- Maccone-Pati subsumes Heisenberg when their conditions hold
- Heisenberg always holds, Maccone-Pati sometimes doesn't

**Answer structure:**
1. Explain why this isn't actually contradictory
2. Clarify the hierarchy of uncertainty relations  
3. Address the "eigenstates of A and B" part

**Technical resolution:**

Maccone-Pati bounds are non-trivial precisely when state is *not* an eigenstate of either observable. This is the *condition* that makes their bounds meaningful, not a restriction.

So such states *automatically* satisfy Heisenberg (trivially) and Maccone-Pati (non-trivially).

**Example construction:**
Take |ψ⟩ = (a|A_i⟩ + b|A_j⟩) / √|a|² + |b|² where a,b ≠ 0
- Not an eigenstate of A (mixed amplitudes)
- Not an eigenstate of B (same reason)  
- Satisfies both relations

**The "without being eigenstate" part:**
This condition is *required* for Maccone-Pati relations to be non-trivial.
∴ Any state satisfying both must necessarily not be an eigenstate of either observable.

**Final answer:** Yes, such states exist. They are precisely the non-eigenstates that satisfy the Maccone-Pati conditions. These states automatically satisfy Heisenberg trivially, and Maccone-Pati non-trivially.

**Mathematical formalism:**
Let |ψ⟩ be state, A,B observables with [A,B] ≠ 0.
Heisenberg: ΔAΔB ≥ 0 (always satisfied)
Maccone-Pati: σ²_A + σ²_B ≥ C_MP > 0 (when |ψ⟩ not eigenstate of either)

These coexist because Maccone-Pati subsumes Heisenberg in their domain of validity.

### Answer###
Oui, il existe effectivement des états qui satisfont simultanément la relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger de manière non triviale et les relations d'incertitude de Maccone-Pati sans être auto-étatiques d'A et B.

La relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger devient triviale lorsque l'état du système est choisi pour être une auto-étatique de l'un des observables. Les relations d'incertitude plus fortes de Maccone-Pati donnent des bornes non triviales sur la somme des variances pour deux observables incompatibles précisément parce qu'elles ne peuvent coexister avec les états qui rendent triviale la relation de Heisenberg.

Pour les observables non commutants A et B, la première relation d'incertitude plus forte de Maccone-Pati est donnée par σ²_A + σ²_B ≥ ± i⟨Ψ| |Ψ⟩ + |⟨Ψ| (A ± iB) |Ψ¯⟩|², où |Ψ¯⟩ est un vecteur normalisé orthogonal à l'état du système |Ψ⟩. La deuxième relation est σ²_A + σ²_B ≥ 1/2 |⟨Ψ¯_A+B| (A + B) |Ψ⟩|².

Ces relations sont renforcées par le fait que la borne inférieure est non nulle à moins que |Ψ⟩ ne soit une auto-étatique des deux observables. Cependant, une auto-étatique de l'un des observables rend la relation d'incertitude de Heisenberg-Schrödinger triviale.

Par conséquent, les états qui satisfont simultanément ces deux types de relations d'incertitude sans être des auto-étatiques doivent nécessairement être des états qui rendent non triviales les relations de Maccone-Pati - ce qui exclut précisément les conditions qui rendraient triviale la relation de Heisenberg.