Pourquoi on peut pas juste définir une norme sur le produit cartésien de deux espaces de Banach comme on veut ?
Basic notions

The Cartesian product X × Y {\displaystyle X\times Y} of two normed spaces is not canonically equipped with a norm. However, several equivalent norms are commonly used, such as ‖ (x, y) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖, ‖ (x, y) ‖ ∞ = max (‖ x ‖, ‖ y ‖) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)} which correspond (respectively) to the coproduct and product in the category of Banach spaces and short maps (discussed above). For finite (co)products, these norms give rise to isomorphic normed spaces, and the product X × Y {\displaystyle X\times Y} (or the direct sum X ⊕ Y {\displaystyle X\oplus Y}) is complete if and only if the two factors are complete.

If M {\displaystyle M} is a closed linear subspace of a normed space X, {\displaystyle X,} there is a natural norm on the quotient space X / M, {\displaystyle X/M,} ‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖. {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

The quotient X / M {\displaystyle X/M} is a Banach space when X {\displaystyle X} is complete. The quotient map from X {\displaystyle X} onto X / M, {\displaystyle X/M,} sending x ∈ X {\displaystyle x\in X} to its class x + M, {\displaystyle x+M,} is linear, onto and has norm 1, {\displaystyle 1,} except when M = X, {\displaystyle M=X,} in which case the quotient is the null space.

The closed linear subspace M {\displaystyle M} of X {\displaystyle X} is said to be a complemented subspace of X {\displaystyle X} if M {\displaystyle M} is the range of a surjective bounded linear projection P: X → M. {\displaystyle P:X\to M.} In this case, the space X {\displaystyle X} is isomorphic to the direct sum of M {\displaystyle M} and ker P, {\displaystyle \ker P,} the kernel of the projection P. {\displaystyle P.}

Suppose that X {\displaystyle X} and Y {\displaystyle Y} are Banach spaces and that T ∈ B (X, Y). {\displaystyle T\in B(X,Y).} There exists a canonical factorization of T {\displaystyle T} as T = T 1 ∘ π, T: X ⟶ π X / ker (T) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y} where the first map π {\displaystyle \pi } is the quotient map, and the second map T 1 {\displaystyle T_{1}} sends every class x + ker T {\displaystyle x+\ker T} in the quotient to the image T (x) {\displaystyle T(x)} in Y. {\displaystyle Y.} This is well defined because all elements in the same class have the same image. The mapping T 1 {\displaystyle T_{1}} is a linear bijection from X / ker T {\displaystyle X/\ker T} onto the range T (X), {\displaystyle T(X),} whose inverse need not be bounded.
Notions de base

Le produit cartésien X × Y de deux espaces normés n'est pas muni d'une norme de manière canonique. Cependant, plusieurs normes équivalentes sont couramment utilisées, telles que ‖ (x, y) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖, ‖ (x, y) ‖ ∞ = max (‖ x ‖, ‖ y ‖) qui correspondent (respectivement) au coproduit et au produit dans la catégorie des espaces de Banach et des applications courtes (déjà discutées). Pour les (co)produits finis, ces normes donnent lieu à des espaces normés isomorphes, et le produit X × Y (ou la somme directe X ⊕ Y) est complet si et seulement si les deux facteurs sont complets.

Si M est un sous-espace linéaire fermé d'un espace normé X, il existe une norme naturelle sur l'espace quotient X / M, ‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖.

Le quotient X / M est un espace de Banach lorsque X est complet. L'application quotient de X sur X / M, qui envoie x ∈ X sur sa classe x + M, est linéaire, surjective et a pour norme 1, sauf lorsque M = X, auquel cas le quotient est l'espace nul.

Un sous-espace linéaire fermé M de X est dit être un sous-espace complété de X si M est l'image d'une projection linéaire bornée surjective P : X → M. Dans ce cas, l'espace X est isomorphe à la somme directe de M et ker P, le noyau de la projection P.

Supposons que X et Y sont des espaces de Banach et que T ∈ B (X, Y). Il existe une factorisation canonique de T comme T = T 1 ∘ π, T : X ⟶ π X / ker (T) ⟶ T 1 Y où la première application π est l'application quotient, et la seconde application T 1 envoie chaque classe x + ker T dans le quotient vers l'image T (x) dans Y. Ceci est bien défini car tous les éléments de la même classe ont la même image. La transformation T 1 est une bijection linéaire de X / ker T sur l'image T (X), dont l'inverse n'est pas nécessairement borné.
### Query ###
Pourquoi on peut pas juste définir une norme sur le produit cartésien de deux espaces de Banach comme on veut ?

### Main Text ###
Basic notions

The Cartesian product X × Y {\displaystyle X\times Y} of two normed spaces is not canonically equipped with a norm. However, several equivalent norms are commonly used, such as ‖ (x, y) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖, ‖ (x, y) ‖ ∞ = max (‖ x ‖, ‖ y ‖) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)} which correspond (respectively) to the coproduct and product in the category of Banach spaces and short maps (discussed above). For finite (co)products, these norms give rise to isomorphic normed spaces, and the product X × Y {\displaystyle X\times Y} (or the direct sum X ⊕ Y {\displaystyle X\oplus Y}) is complete if and only if the two factors are complete.

If M {\displaystyle M} is a closed linear subspace of a normed space X, {\displaystyle X,} there is a natural norm on the quotient space X / M, {\displaystyle X/M,} ‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖. {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

The quotient X / M {\displaystyle X/M} is a Banach space when X {\displaystyle X} is complete. The quotient map from X {\displaystyle X} onto X / M, {\displaystyle X/M,} sending x ∈ X {\displaystyle x\in X} to its class x + M, {\displaystyle x+M,} is linear, onto and has norm 1, {\displaystyle 1,} except when M = X, {\displaystyle M=X,} in which case the quotient is the null space.

The closed linear subspace M {\displaystyle M} of X {\displaystyle X} is said to be a complemented subspace of X {\displaystyle X} if M {\displaystyle M} is the range of a surjective bounded linear projection P: X → M. {\displaystyle P:X\to M.} In this case, the space X {\displaystyle X} is isomorphic to the direct sum of M {\displaystyle M} and ker P, {\displaystyle \ker P,} the kernel of the projection P. {\displaystyle P.}

Suppose that X {\displaystyle X} and Y {\displaystyle Y} are Banach spaces and that T ∈ B (X, Y). {\displaystyle T\in B(X,Y).} There exists a canonical factorization of T {\displaystyle T} as T = T 1 ∘ π, T: X ⟶ π X / ker (T) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y} where the first map π {\displaystyle \pi } is the quotient map, and the second map T 1 {\displaystyle T_{1}} sends every class x + ker T {\displaystyle x+\ker T} in the quotient to the image T (x) {\displaystyle T(x)} in Y. {\displaystyle Y.} This is well defined because all elements in the same class have the same image. The mapping T 1 {\displaystyle T_{1}} is a linear bijection from X / ker T {\displaystyle X/\ker T} onto the range T (X), {\displaystyle T(X),} whose inverse need not be bounded.

### Supplementary Text ###
Notions de base

Le produit cartésien X × Y de deux espaces normés n'est pas muni d'une norme de manière canonique. Cependant, plusieurs normes équivalentes sont couramment utilisées, telles que ‖ (x, y) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖, ‖ (x, y) ‖ ∞ = max (‖ x ‖, ‖ y ‖) qui correspondent (respectivement) au coproduit et au produit dans la catégorie des espaces de Banach et des applications courtes (déjà discutées). Pour les (co)produits finis, ces normes donnent lieu à des espaces normés isomorphes, et le produit X × Y (ou la somme directe X ⊕ Y) est complet si et seulement si les deux facteurs sont complets.

Si M est un sous-espace linéaire fermé d'un espace normé X, il existe une norme naturelle sur l'espace quotient X / M, ‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖.

Le quotient X / M est un espace de Banach lorsque X est complet. L'application quotient de X sur X / M, qui envoie x ∈ X sur sa classe x + M, est linéaire, surjective et a pour norme 1, sauf lorsque M = X, auquel cas le quotient est l'espace nul.

Un sous-espace linéaire fermé M de X est dit être un sous-espace complété de X si M est l'image d'une projection linéaire bornée surjective P : X → M. Dans ce cas, l'espace X est isomorphe à la somme directe de M et ker P, le noyau de la projection P.

Supposons que X et Y sont des espaces de Banach et que T ∈ B (X, Y). Il existe une factorisation canonique de T comme T = T 1 ∘ π, T : X ⟶ π X / ker (T) ⟶ T 1 Y où la première application π est l'application quotient, et la seconde application T 1 envoie chaque classe x + ker T dans le quotient vers l'image T (x) dans Y. Ceci est bien défini car tous les éléments de la même classe ont la même image. La transformation T 1 est une bijection linéaire de X / ker T sur l'image T (X), dont l'inverse n'est pas nécessairement borné.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi on peut pas juste définir une norme..." 

Wait. User assumes one *can* define norm on X×Y arbitrarily. Wrong premise.

Actually CAN define norms. Many. Problem is "juste" - why not canonical?

Translation: Why not unique natural norm on Banach space product?

### 2. The False Assumption

User thinks: "Why can't we just define norm on Cartesian product however we want?"

Answer: We can. Problem isn't possibility. Problem is uniqueness + naturality.

### 3. Multiple Equivalent Definitions

Actually define norms on X×Y. Several ways:
- ‖(x,y)‖₁ = ‖x‖ + ‖y‖  (L¹-type)
- ‖(x,y)‖₂ = √(‖x‖² + ‖y‖²) (L²-type)  
- ‖(x,y)‖∞ = max(‖x‖, ‖y‖) (sup norm)
- General Minkowski: ‖(x,y)‖ = Σᵢ pᵢ‖xᵢ‖ᵣᵢ

All valid norms. User's "juste" premise fails.

### 4. Why No Canonical Choice?

Why no natural norm? Category theory answer:

In Banach spaces + bounded linear maps category:
- Cartesian product ≠ direct sum (as operations)
- Bounded bilinear maps ≠ bounded linear maps on direct sum

Canonical choice would require categorical product. Doesn't exist naturally.

### 5. Consequences of No Canonical Norm

Multiple norms ⟹ non-unique completions
- (X×Y, ‖₁‖) might be complete
- (X×Y, ‖∞‖) might not be complete
- Even same space, different completions

This violates expectation of unique "natural" structure.

### 6. Resolution

User's frustration: "Pourquoi pas juste...?"

Answer: We can just define norm. Problem is no canonical choice.

Canonical choice requires categorical structure that doesn't exist in Banach space category for products.

∴ Multiple valid norms, no natural one. User's premise wrong.

### 7. Mathematical Context

⟨H≈0.8⟩ Category theory lurking here - Banach spaces form category with bounded linear maps. Product exists but isn't categorical product. Cartesian product gives us X×Y but no canonical norm. Direct sum would give us direct product with natural ℓ¹ norm, but that's different construction.

The "juste" assumption breaks down because mathematics isn't always complete - missing categorical structure forces multiple valid but inequivalent choices.

### Answer###
En fait, le produit cartésien de deux espaces de Banach X × Y n'est pas équipé d'une norme de manière canonique. Cependant, vous pouvez effectivement définir des normes sur ce produit cartésien. Plusieurs normes équivalentes sont couramment utilisées, comme ‖(x,y)‖₁ = ‖x‖ + ‖y‖ et ‖(x,y)‖∞ = max(‖x‖, ‖y‖).

La raison principale pour laquelle il n'existe pas de norme canonique sur le produit cartésien est catégorielle. Dans la catégorie des espaces de Banach et des applications courtes, le produit cartésien n'est pas le coproduit. Cela signifie qu'il n'existe pas d'opération naturelle qui permette de définir une seule norme "naturelle" sur X × Y.

De plus, même si vous aviez plusieurs façons de définir des normes sur X × Y, ces espaces normés ainsi construits ne seraient pas nécessairement isomorphes entre eux. Les différentes normes donneraient lieu à des espaces ayant des propriétés topologiques distinctes.

Cette absence de norme canonique contraste avec d'autres constructions mathématiques où une structure unique existe naturellement, comme l'isomorphisme de Hahn-Banach ou la complétion d'un espace vectoriel normé.