comment sa se fait que les nombres réels changent de sens dans les deux méthodes pour parler des infinisimaux
Logical properties

The method of constructing infinitesimals of the kind used in nonstandard analysis depends on the model and which collection of axioms are used. We consider here systems where infinitesimals can be shown to exist.

In 1936 Maltsev proved the compactness theorem. This theorem is fundamental for the existence of infinitesimals as it proves that it is possible to formalise them. A consequence of this theorem is that if there is a number system in which it is true that for any positive integer n there is a positive number x such that 0 < x < 1/ n, then there exists an extension of that number system in which it is true that there exists a positive number x such that for any positive integer n we have 0 < x < 1/ n. The possibility to switch "for any" and "there exists" is crucial. The first statement is true in the real numbers as given in ZFC set theory : for any positive integer n it is possible to find a real number between 1/ n and zero, but this real number depends on n. Here, one chooses n first, then one finds the corresponding x. In the second expression, the statement says that there is an x (at least one), chosen first, which is between 0 and 1/ n for any n. In this case x is infinitesimal. This is not true in the real numbers (R) given by ZFC. Nonetheless, the theorem proves that there is a model (a number system) in which this is true. The question is: what is this model? What are its properties? Is there only one such model?

There are in fact many ways to construct such a one-dimensional linearly ordered set of numbers, but fundamentally, there are two different approaches:

In 1960, Abraham Robinson provided an answer following the first approach. The extended set is called the hyperreals and contains numbers less in absolute value than any positive real number. The method may be considered relatively complex but it does prove that infinitesimals exist in the universe of ZFC set theory. The real numbers are called standard numbers and the new non-real hyperreals are called nonstandard.

In 1977 Edward Nelson provided an answer following the second approach. The extended axioms are IST, which stands either for Internal set theory or for the initials of the three extra axioms: Idealization, Standardization, Transfer. In this system, we consider that the language is extended in such a way that we can express facts about infinitesimals. The real numbers are either standard or nonstandard. An infinitesimal is a nonstandard real number that is less, in absolute value, than any positive standard real number.

In 2006 Karel Hrbacek developed an extension of Nelson's approach in which the real numbers are stratified in (infinitely) many levels; i.e., in the coarsest level, there are no infinitesimals nor unlimited numbers. Infinitesimals are at a finer level and there are also infinitesimals with respect to this new level and so on.
Propriétés logiques

La méthode de construction des infinisimaux du type utilisés dans l'analyse non standard dépend du modèle et de l'ensemble d'axiomes utilisés. Nous considérons ici des systèmes où il est possible de démontrer l'existence des infinisimaux.

En 1936, Maltsev a prouvé le théorème de compacité. Ce théorème est fondamental pour l'existence des infinisimaux car il prouve qu'il est possible de les formaliser. Une conséquence de ce théorème est que si, dans un système de nombres, il est vrai que pour tout entier positif n, il existe un nombre positif x tel que 0 < x < 1/n, alors il existe une extension de ce système de nombres dans laquelle il est vrai qu'il existe un nombre positif x tel que, pour tout entier positif n, on a 0 < x < 1/n. La possibilité d'inverser "pour tout" et "il existe" est cruciale. La première affirmation est vraie dans les nombres réels tels que donnés dans la théorie des ensembles ZFC : pour tout entier positif n, il est possible de trouver un nombre réel entre 1/n et zéro, mais ce nombre réel dépend de n. Ici, on choisit n en premier, puis on trouve le x correspondant. Dans la seconde expression, l'affirmation dit qu'il existe un x (au moins un), choisi en premier, qui est entre 0 et 1/n pour tout n. Dans ce cas, x est un infinisimal. Ce n'est pas vrai dans les nombres réels (R) tels que donnés par ZFC. Néanmoins, le théorème prouve qu'il existe un modèle (un système de nombres) dans lequel cela est vrai. La question est : quel est ce modèle ? Quelles sont ses propriétés ? Existe-t-il un seul tel modèle ?

Il existe en fait de nombreuses façons de construire un tel ensemble ordonné unidimensionnel de nombres, mais fondamentalement, il existe deux approches différentes :

En 1960, Abraham Robinson a fourni une réponse en suivant la première approche. L'ensemble étendu est appelé les hyperréels et contient des nombres dont la valeur absolue est inférieure à tout nombre réel positif. La méthode peut être considérée comme relativement complexe, mais elle prouve bien que les infinisimaux existent dans l'univers de la théorie des ensembles ZFC. Les nombres réels sont appelés nombres standards et les nouveaux hyperréels non réels sont appelés non standards.

En 1977, Edward Nelson a fourni une réponse en suivant la seconde approche. Les axiomes étendus sont IST, qui signifie soit Théorie des ensembles internes, soit les initiales des trois axiomes supplémentaires : Idéalisation, Standardisation, Transfert. Dans ce système, nous considérons que le langage est étendu de telle sorte que nous pouvons exprimer des faits concernant les infinisimaux. Les nombres réels sont soit standards, soit non standards. Un infinisimal est un nombre réel non standard dont la valeur absolue est inférieure à tout nombre réel standard positif.

En 2006, Karel Hrbacek a développé une extension de l'approche de Nelson dans laquelle les nombres réels sont stratifiés en (infinitely) plusieurs niveaux ; c'est-à-dire, au niveau le plus grossier, il n'y a ni infinisimaux ni nombres illimités. Les infinisimaux se trouvent à un niveau plus fin et il existe également des infinisimaux par rapport à ce nouveau niveau et ainsi de suite.
### Query ###
comment sa se fait que les nombres réels changent de sens dans les deux méthodes pour parler des infinisimaux

### Main Text ###
Logical properties

The method of constructing infinitesimals of the kind used in nonstandard analysis depends on the model and which collection of axioms are used. We consider here systems where infinitesimals can be shown to exist.

In 1936 Maltsev proved the compactness theorem. This theorem is fundamental for the existence of infinitesimals as it proves that it is possible to formalise them. A consequence of this theorem is that if there is a number system in which it is true that for any positive integer n there is a positive number x such that 0 < x < 1/ n, then there exists an extension of that number system in which it is true that there exists a positive number x such that for any positive integer n we have 0 < x < 1/ n. The possibility to switch "for any" and "there exists" is crucial. The first statement is true in the real numbers as given in ZFC set theory : for any positive integer n it is possible to find a real number between 1/ n and zero, but this real number depends on n. Here, one chooses n first, then one finds the corresponding x. In the second expression, the statement says that there is an x (at least one), chosen first, which is between 0 and 1/ n for any n. In this case x is infinitesimal. This is not true in the real numbers (R) given by ZFC. Nonetheless, the theorem proves that there is a model (a number system) in which this is true. The question is: what is this model? What are its properties? Is there only one such model?

There are in fact many ways to construct such a one-dimensional linearly ordered set of numbers, but fundamentally, there are two different approaches:

In 1960, Abraham Robinson provided an answer following the first approach. The extended set is called the hyperreals and contains numbers less in absolute value than any positive real number. The method may be considered relatively complex but it does prove that infinitesimals exist in the universe of ZFC set theory. The real numbers are called standard numbers and the new non-real hyperreals are called nonstandard.

In 1977 Edward Nelson provided an answer following the second approach. The extended axioms are IST, which stands either for Internal set theory or for the initials of the three extra axioms: Idealization, Standardization, Transfer. In this system, we consider that the language is extended in such a way that we can express facts about infinitesimals. The real numbers are either standard or nonstandard. An infinitesimal is a nonstandard real number that is less, in absolute value, than any positive standard real number.

In 2006 Karel Hrbacek developed an extension of Nelson's approach in which the real numbers are stratified in (infinitely) many levels; i.e., in the coarsest level, there are no infinitesimals nor unlimited numbers. Infinitesimals are at a finer level and there are also infinitesimals with respect to this new level and so on.

### Supplementary Text ###
Propriétés logiques

La méthode de construction des infinisimaux du type utilisés dans l'analyse non standard dépend du modèle et de l'ensemble d'axiomes utilisés. Nous considérons ici des systèmes où il est possible de démontrer l'existence des infinisimaux.

En 1936, Maltsev a prouvé le théorème de compacité. Ce théorème est fondamental pour l'existence des infinisimaux car il prouve qu'il est possible de les formaliser. Une conséquence de ce théorème est que si, dans un système de nombres, il est vrai que pour tout entier positif n, il existe un nombre positif x tel que 0 < x < 1/n, alors il existe une extension de ce système de nombres dans laquelle il est vrai qu'il existe un nombre positif x tel que, pour tout entier positif n, on a 0 < x < 1/n. La possibilité d'inverser "pour tout" et "il existe" est cruciale. La première affirmation est vraie dans les nombres réels tels que donnés dans la théorie des ensembles ZFC : pour tout entier positif n, il est possible de trouver un nombre réel entre 1/n et zéro, mais ce nombre réel dépend de n. Ici, on choisit n en premier, puis on trouve le x correspondant. Dans la seconde expression, l'affirmation dit qu'il existe un x (au moins un), choisi en premier, qui est entre 0 et 1/n pour tout n. Dans ce cas, x est un infinisimal. Ce n'est pas vrai dans les nombres réels (R) tels que donnés par ZFC. Néanmoins, le théorème prouve qu'il existe un modèle (un système de nombres) dans lequel cela est vrai. La question est : quel est ce modèle ? Quelles sont ses propriétés ? Existe-t-il un seul tel modèle ?

Il existe en fait de nombreuses façons de construire un tel ensemble ordonné unidimensionnel de nombres, mais fondamentalement, il existe deux approches différentes :

En 1960, Abraham Robinson a fourni une réponse en suivant la première approche. L'ensemble étendu est appelé les hyperréels et contient des nombres dont la valeur absolue est inférieure à tout nombre réel positif. La méthode peut être considérée comme relativement complexe, mais elle prouve bien que les infinisimaux existent dans l'univers de la théorie des ensembles ZFC. Les nombres réels sont appelés nombres standards et les nouveaux hyperréels non réels sont appelés non standards.

En 1977, Edward Nelson a fourni une réponse en suivant la seconde approche. Les axiomes étendus sont IST, qui signifie soit Théorie des ensembles internes, soit les initiales des trois axiomes supplémentaires : Idéalisation, Standardisation, Transfert. Dans ce système, nous considérons que le langage est étendu de telle sorte que nous pouvons exprimer des faits concernant les infinisimaux. Les nombres réels sont soit standards, soit non standards. Un infinisimal est un nombre réel non standard dont la valeur absolue est inférieure à tout nombre réel standard positif.

En 2006, Karel Hrbacek a développé une extension de l'approche de Nelson dans laquelle les nombres réels sont stratifiés en (infinitely) plusieurs niveaux ; c'est-à-dire, au niveau le plus grossier, il n'y a ni infinisimaux ni nombres illimités. Les infinisimaux se trouvent à un niveau plus fin et il existe également des infinisimaux par rapport à ce nouveau niveau et ainsi de suite.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"comment sa se fait que les nombres réels changent de sens dans les deux méthodes"

Key phrase: "changent de sens" → semantic ambiguity. Could mean:
- Sign reversal/negation? 
- Direction of approach?
- Conceptual inversion?

Query targets: Infinitesimal methods, real numbers, formal systems.

?Translation issue?: "sens" = direction/sense/meaning. Multiple interpretations possible.

### 2. Method Identification

Two approaches mentioned:
- Première méthode (Robinson, 1960): Hyperréels ← standard reals
- Deuxième méthode (Nelson, 1977): IST (Internal Set Theory) ← standard reals

Both extensions of classical analysis. Different logical foundations.

### 3. Core Issue Analysis

● Robinson's hyperreal field: Non-standard models of arithmetic
- Standard reals ⊂ Hyperreals  
- Infinitesimals: |ε| < 1/n for all n ∈ ℕ
- Transfer principle: ∀ standard predicate φ(x), φ(x^∗) where x^∗ is non-standard extension

● Nelson's IST: Internal language for "monads" (neighborhoods)
- No explicit infinitesimals in base theory
- Internal set membership: x ∈ℳ U (where U is "internal" set)
- Transfer principle: ∀ internal predicate φ(x), φ(x) ↔ φ(x^S) where x^S is standard part

### 4. The Apparent Contradiction

Robinson: Infinitesimals exist as concrete objects
Nelson: Infinitesimals are formal/syntactic constructs

→ Different ontologies for infinitesimals

But both yield same "calculus of infinitesimals." How?

! Key insight: They're complementary approaches, not competing ones.

### 5. The Resolution

⟨H≈0.8⟩ 
"Sens" reversal refers to:
- Robinson reverses classical exclusion (no infinitesimals in ℝ)
- Nelson reverses classical syntax (no explicit infinitesimals needed)
- Both "invert" the standard model's limitations

∴ Change of perspective, not actual sign reversal.

The "real numbers change sense" because:
1. Robinson: Extension principle creates new numbers
2. Nelson: Internal logic creates new language constructs

Neither contradicts classical analysis. Both extend it.

### 6. Why the Confusion?

Different mathematical "registers":
- Robinson: Set-theoretic/model-theoretic  
- Nelson: Axiomatic/syntactic

"Real numbers change sense" = real numbers remain the same, but:
- Frameworks change
- Proof strategies change  
- What counts as "rigorous" changes

※ The question assumes real numbers can "change sense" - but this is precisely what's being investigated.

### 7. Final Synthesis

◐ Semantic translation issue: "sens" suggests directional change
● Actually: Paradigmatic shifts in how we think about:
  - Mathematical existence
  - Rigorous foundations  
  - Infinitesimal calculus

The "reversal" is methodological, not ontological.

Both approaches "work" → different tools for different purposes.

Real numbers don't change sense. Our understanding of them changes.

---

NB: User asking about philosophical foundations of analysis, not just technical details. "Sens" = direction of inquiry, perspective, framework choice.

### Answer###
La question que vous soulignez touche à l'une des difficultés fondamentales de l'analyse non standard. Les deux méthodes que vous mentionnez - celle de Robinson (1960) et celle de Nelson (1977) - abordent effectivement les infinisimaux de manière différente, créant ce que l'on pourrait interpréter comme une inversion du sens traditionnel des nombres réels.

Dans l'approche de Robinson, les hyperréels étendent le système des nombres réels en introduisant des nombres non standards qui sont des infinisimaux (ayant une valeur absolue inférieure à tout nombre réel positif standard). Cette extension transforme radicalement la structure mathématique en créant une classe de nouveaux objets qui n'existent pas dans ℝ.

L'approche de Nelson, en revanche, ne crée pas directement de nouveaux nombres. Au lieu de cela, elle étend le langage mathématique pour permettre l'expression formelle des propriétés des infinisimaux sans nécessairement modifier la collection des objets mathématiques existants. Dans ce cadre, les nombres réels standards peuvent être considérés comme des cas particuliers de nombres réels qui peuvent être standards ou non standards.

Cette apparente contradiction s'explique par le fait que ces deux systèmes répondent à des questions différentes sur la nature des infinisimaux. L'une répond par l'extension du système numérique, l'autre par l'extension du langage formel. Les deux approches peuvent sembler "inverser" le sens traditionnel des nombres réels, mais elles le font en restant cohérentes avec leurs fondements respectifs.

La résolution de cette apparente contradiction réside dans le fait qu'il existe plusieurs façons de formaliser l'existence des infinisimaux, et ces deux systèmes constituent des réponses distinctes à la question de comment étendre le cadre mathématique pour inclure les infinisimaux de manière rigoureuse.