Comment ça se fait que le groupe de Galois Gal(C/R) n'a que deux éléments alors qu'il agit sur les racines du polynôme caractéristique ?
Finite abelian groups

The Galois group Gal (C / R) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R})} has two elements, the identity automorphism and the complex conjugation automorphism.
Le groupe de Galois de la partie réelle des racines primitives de l'unité est lié les unes aux autres comme racines du polynôme minimal de 2 cos (2 π / n). Les racines du polynôme minimal sont simplement deux fois la partie réelle ; ces racines forment un groupe de Galois cyclique.
### Query ###
Comment ça se fait que le groupe de Galois Gal(C/R) n'a que deux éléments alors qu'il agit sur les racines du polynôme caractéristique ?

### Main Text ###
Finite abelian groups

The Galois group Gal (C / R) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R})} has two elements, the identity automorphism and the complex conjugation automorphism.

### Supplementary Text ###
Le groupe de Galois de la partie réelle des racines primitives de l'unité est lié les unes aux autres comme racines du polynôme minimal de 2 cos (2 π / n). Les racines du polynôme minimal sont simplement deux fois la partie réelle ; ces racines forment un groupe de Galois cyclique.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait que le groupe de Galois Gal(C/R) n'a que deux éléments..."

Key misconception here. ● Gal(C/R) ≠ "only 2 elements". 

User conflating field extensions C/R with polynomial root behavior. Need to disambiguate.

### 2. Field Extension Context

Galois groups measure automorphism symmetries of field extensions. C/R has complex conjugation as sole non-trivial automorphism.

∴ Gal(C/R) ≅ {id, σ} where σ is complex conjugation.

Standard result. ● High confidence.

### 3. Polynomial Roots vs Field Structure

Critical distinction: polynomial roots ≠ field automorphisms.

Example polynomial: x² - 2. Roots are ±√2. But Gal(C/R) acts on *all* complex numbers, not just polynomial roots.

Each root has multiple automorphisms. E.g., √2 maps to itself under id, but to -√2 under σ.

### 4. Cyclotomic Group Connection

⟨H≈0.8⟩ 
User might be thinking of cyclotomic extensions... primitive nth roots of unity form cyclic group under multiplication. But these live in C, not R. Field extension C(μn)/R where μn = e^(2πi/n). Galois group cyclic of order φ(n). Confusion stems from mixing different extension types?
⟨/H⟩

### 5. Resolution

No contradiction exists. Gal(C/R) small because R is algebraically closed in C (only needs identity and conjugation).

Polynomial roots behavior emerges from individual element actions, not group size.

NB: Field extensions C/Q would have larger Galois groups. More automorphisms possible.

### 6. Verification

User's intuition about "acting on roots" correct but incomplete. Group *does* act on all field elements, including polynomial roots. Action determines root behavior.

∴ No paradox. Natural consequence of C/R being minimal field extension.

### Answer###
Il y a en fait une petite confusion dans votre question. Le groupe de Galois Gal(C/R) n'a pas "seulement deux éléments" - il a exactement deux éléments : l'automorphisme identité et l'automorphisme de conjugaison complexe. 

Ce groupe agit effectivement sur les racines du polynôme caractéristique, mais cela ne signifie pas qu'il faille deux éléments pour décrire toute l'action sur les racines. Chaque élément du groupe agit différemment sur les racines : l'identité les laisse fixes, tandis que la conjugaison complexe les envoie sur leurs conjugués complexes.

Le fait que ce groupe soit petit (seulement deux éléments) reflète le fait que l'extension de corps C/R est très "naturelle" - il s'agit simplement de l'extension où on ajoute la racine carrée de -1 à R. Cette extension ne peut avoir que très peu d'automorphismes non triviaux.

Les racines des polynômes peuvent former des groupes cycliques ou autres structures, mais cela n'a pas de lien direct avec la taille du groupe de Galois de l'extension de corps. Les automorphismes du corps agissent sur *tout* le corps, pas seulement sur les racines d'un polynôme particulier.