Pourquoi Turing a-t-il finalement abandonné l'idée de machines à choix en faveur de sa solution en note de bas de page ?
Choice c-machines, oracle o-machines

Early in his paper (1936) Turing makes a distinction between an "automatic machine"—its "motion... completely determined by the configuration" and a "choice machine":

...whose motion is only partially determined by the configuration... When such a machine reaches one of these ambiguous configurations, it cannot go on until some arbitrary choice has been made by an external operator. This would be the case if we were using machines to deal with axiomatic systems.

Turing (1936) does not elaborate further except in a footnote in which he describes how to use an a-machine to "find all the provable formulae of the calculus" rather than use a choice machine. He "suppose that the choices are always between two possibilities 0 and 1. Each proof will then be determined by a sequence of choices i, i,..., i (i = 0 or 1, i = 0 or 1,..., i = 0 or 1), and hence the number 2 + i 2 + i 2 +... +i completely determines the proof. The automatic machine carries out successively proof 1, proof 2, proof 3,..." (Footnote ‡, The Undecidable, p. 138)

This is indeed the technique by which a deterministic (i.e., a-) Turing machine can be used to mimic the action of a nondeterministic Turing machine; Turing solved the matter in a footnote and appears to dismiss it from further consideration.

An oracle machine or o-machine is a Turing a-machine that pauses its computation at state " o " while, to complete its calculation, it "awaits the decision" of "the oracle"—an entity unspecified by Turing "apart from saying that it cannot be a machine" (Turing (1939), The Undecidable, p. 166–168).
Université et travaux sur la calculabilité

Après avoir obtenu son diplôme de Sherborne, Turing a postulé à plusieurs collèges de Cambridge pour obtenir des bourses d'études, notamment Trinity et King's, et a finalement décroché une bourse de 80 livres par an (équivalent à environ 4 300 livres sterling en 2023) pour étudier dans ce dernier. Là, Turing a suivi le cursus de premier cycle du Schedule B (c'est-à-dire un cursus de trois ans en Parts I et II du Mathematical Tripos, avec des cours supplémentaires à la fin de la troisième année, car la Part III n'est devenue un diplôme distinct qu'en 1934) de février 1931 à novembre 1934 au King's College, Cambridge, où il a obtenu une mention très bien en mathématiques. Sa thèse, "Sur la fonction d'erreur gaussienne", rédigée pendant sa dernière année et présentée en novembre 1934 (avec une date limite du 6 décembre), a prouvé une version du théorème de la limite centrale. Elle a finalement été acceptée le 16 mars 1935. Au printemps de la même année, Turing a commencé son cursus de master (Part III) – qu'il a achevé en 1937 – et, en même temps, il a publié son premier article, un article d'une page intitulé "Équivalence de la quasi-périodicité à gauche et à droite" (envoyé le 23 avril), publié dans le dixième volume du Journal of the London Mathematical Society. Plus tard cette même année, Turing a été élu membre du King's College sur la base de sa thèse, où il a occupé un poste de chargé de cours. Cependant, et ce qui était inconnu de Turing, cette version du théorème qu'il avait prouvée dans son article avait déjà été prouvée en 1922 par Jarl Waldemar Lindeberg. Malgré cela, le comité a jugé que les méthodes de Turing étaient originales et a donc estimé que le travail méritait d'être pris en considération pour le poste de membre. Le rapport d'Abram Besicovitch au comité allait jusqu'à dire que si le travail de Turing avait été publié avant celui de Lindeberg, il aurait constitué "un événement important dans la littérature mathématique de cette année-là".

Entre les printemps de 1935 et 1936, parallèlement à Church, Turing a travaillé sur la décidabilité des problèmes, en s'appuyant sur les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Vers avril 1936, Turing a envoyé à Max Newman la première version typographique de ses recherches. Le même mois, Alonzo Church a publié son article "Un problème insoluble de la théorie des nombres élémentaires", qui contenait des conclusions similaires à celles de l'œuvre de Turing, alors non publiée. Enfin, le 28 mai de cette année-là, il a achevé et soumis son article de 36 pages intitulé "Sur les nombres calculables, avec une application au problème de décision". Il a été publié dans les "Proceedings of the London Mathematical Society" en deux parties, la première le 30 novembre et la seconde le 23 décembre. Dans cet article, Turing a reformulé les résultats de Kurt Gödel de 1931 sur les limites de la preuve et du calcul, en remplaçant le langage formel basé sur l'arithmétique universelle de Gödel par les dispositifs hypothétiques formels et simples qui sont devenus connus sous le nom de machines de Turing. Le problème de décision (Entscheidungsproblem) avait été initialement posé par le mathématicien allemand David Hilbert en 1928. Turing a prouvé que sa "machine de calcul universelle" serait capable d'effectuer tout calcul mathématique concevable s'il pouvait être représenté sous forme d'algorithme. Il a ensuite prouvé qu'il n'y avait pas de solution au problème de décision en montrant d'abord que le problème de l'arrêt pour les machines de Turing était indécidable : il n'est pas possible de décider algorithmiquement si une machine de Turing s'arrêtera un jour. Cet article a été qualifié de "de loin l'article de mathématiques le plus influent de l'histoire".

Bien que la preuve de Turing ait été publiée peu de temps après la preuve équivalente d'Alonzo Church utilisant son calcul lambda, l'approche de Turing est considérablement plus accessible et intuitive que celle de Church. Elle incluait également la notion d'"Machine Universelle" (désormais connue sous le nom de machine de Turing universelle), avec l'idée que cette machine pourrait effectuer les tâches de n'importe quelle autre machine de calcul (comme le permettait également le calcul lambda de Church). Selon la thèse de Church-Turing, les machines de Turing et le calcul lambda sont capables de calculer tout ce qui est calculable. John von Neumann a reconnu que le concept central de l'ordinateur moderne était dû à l'article de Turing. Aujourd'hui encore, les machines de Turing sont un objet d'étude central dans la théorie du calcul.

De septembre 1936 à juillet 1938, Turing a passé la majeure partie de son temps à étudier sous la direction de Church à l'Université de Princeton, en tant que boursier Jane Eliza Procter Visiting Fellow pendant la deuxième année. En plus de ses travaux purement mathématiques, il a étudié la cryptologie et a également construit trois des quatre étapes d'un multiplieur binaire électromécanique. En juin 1938, il a obtenu son doctorat du Département de Mathématiques de Princeton ; sa thèse, "Systèmes de logique basés sur les ordinaux", a introduit le concept de la logique ordinale et la notion de calcul relatif, dans laquelle les machines de Turing sont augmentées de soi-disant oracles, permettant l'étude de problèmes qui ne peuvent pas être résolus par les machines de Turing. John von Neumann a voulu l'embaucher comme assistant postdoctoral, mais il est retourné au Royaume-Uni.
### Query ###
Pourquoi Turing a-t-il finalement abandonné l'idée de machines à choix en faveur de sa solution en note de bas de page ?

### Main Text ###
Choice c-machines, oracle o-machines

Early in his paper (1936) Turing makes a distinction between an "automatic machine"—its "motion... completely determined by the configuration" and a "choice machine":

...whose motion is only partially determined by the configuration... When such a machine reaches one of these ambiguous configurations, it cannot go on until some arbitrary choice has been made by an external operator. This would be the case if we were using machines to deal with axiomatic systems.

Turing (1936) does not elaborate further except in a footnote in which he describes how to use an a-machine to "find all the provable formulae of the calculus" rather than use a choice machine. He "suppose that the choices are always between two possibilities 0 and 1. Each proof will then be determined by a sequence of choices i, i,..., i (i = 0 or 1, i = 0 or 1,..., i = 0 or 1), and hence the number 2 + i 2 + i 2 +... +i completely determines the proof. The automatic machine carries out successively proof 1, proof 2, proof 3,..." (Footnote ‡, The Undecidable, p. 138)

This is indeed the technique by which a deterministic (i.e., a-) Turing machine can be used to mimic the action of a nondeterministic Turing machine; Turing solved the matter in a footnote and appears to dismiss it from further consideration.

An oracle machine or o-machine is a Turing a-machine that pauses its computation at state " o " while, to complete its calculation, it "awaits the decision" of "the oracle"—an entity unspecified by Turing "apart from saying that it cannot be a machine" (Turing (1939), The Undecidable, p. 166–168).

### Supplementary Text ###
Université et travaux sur la calculabilité

Après avoir obtenu son diplôme de Sherborne, Turing a postulé à plusieurs collèges de Cambridge pour obtenir des bourses d'études, notamment Trinity et King's, et a finalement décroché une bourse de 80 livres par an (équivalent à environ 4 300 livres sterling en 2023) pour étudier dans ce dernier. Là, Turing a suivi le cursus de premier cycle du Schedule B (c'est-à-dire un cursus de trois ans en Parts I et II du Mathematical Tripos, avec des cours supplémentaires à la fin de la troisième année, car la Part III n'est devenue un diplôme distinct qu'en 1934) de février 1931 à novembre 1934 au King's College, Cambridge, où il a obtenu une mention très bien en mathématiques. Sa thèse, "Sur la fonction d'erreur gaussienne", rédigée pendant sa dernière année et présentée en novembre 1934 (avec une date limite du 6 décembre), a prouvé une version du théorème de la limite centrale. Elle a finalement été acceptée le 16 mars 1935. Au printemps de la même année, Turing a commencé son cursus de master (Part III) – qu'il a achevé en 1937 – et, en même temps, il a publié son premier article, un article d'une page intitulé "Équivalence de la quasi-périodicité à gauche et à droite" (envoyé le 23 avril), publié dans le dixième volume du Journal of the London Mathematical Society. Plus tard cette même année, Turing a été élu membre du King's College sur la base de sa thèse, où il a occupé un poste de chargé de cours. Cependant, et ce qui était inconnu de Turing, cette version du théorème qu'il avait prouvée dans son article avait déjà été prouvée en 1922 par Jarl Waldemar Lindeberg. Malgré cela, le comité a jugé que les méthodes de Turing étaient originales et a donc estimé que le travail méritait d'être pris en considération pour le poste de membre. Le rapport d'Abram Besicovitch au comité allait jusqu'à dire que si le travail de Turing avait été publié avant celui de Lindeberg, il aurait constitué "un événement important dans la littérature mathématique de cette année-là".

Entre les printemps de 1935 et 1936, parallèlement à Church, Turing a travaillé sur la décidabilité des problèmes, en s'appuyant sur les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Vers avril 1936, Turing a envoyé à Max Newman la première version typographique de ses recherches. Le même mois, Alonzo Church a publié son article "Un problème insoluble de la théorie des nombres élémentaires", qui contenait des conclusions similaires à celles de l'œuvre de Turing, alors non publiée. Enfin, le 28 mai de cette année-là, il a achevé et soumis son article de 36 pages intitulé "Sur les nombres calculables, avec une application au problème de décision". Il a été publié dans les "Proceedings of the London Mathematical Society" en deux parties, la première le 30 novembre et la seconde le 23 décembre. Dans cet article, Turing a reformulé les résultats de Kurt Gödel de 1931 sur les limites de la preuve et du calcul, en remplaçant le langage formel basé sur l'arithmétique universelle de Gödel par les dispositifs hypothétiques formels et simples qui sont devenus connus sous le nom de machines de Turing. Le problème de décision (Entscheidungsproblem) avait été initialement posé par le mathématicien allemand David Hilbert en 1928. Turing a prouvé que sa "machine de calcul universelle" serait capable d'effectuer tout calcul mathématique concevable s'il pouvait être représenté sous forme d'algorithme. Il a ensuite prouvé qu'il n'y avait pas de solution au problème de décision en montrant d'abord que le problème de l'arrêt pour les machines de Turing était indécidable : il n'est pas possible de décider algorithmiquement si une machine de Turing s'arrêtera un jour. Cet article a été qualifié de "de loin l'article de mathématiques le plus influent de l'histoire".

Bien que la preuve de Turing ait été publiée peu de temps après la preuve équivalente d'Alonzo Church utilisant son calcul lambda, l'approche de Turing est considérablement plus accessible et intuitive que celle de Church. Elle incluait également la notion d'"Machine Universelle" (désormais connue sous le nom de machine de Turing universelle), avec l'idée que cette machine pourrait effectuer les tâches de n'importe quelle autre machine de calcul (comme le permettait également le calcul lambda de Church). Selon la thèse de Church-Turing, les machines de Turing et le calcul lambda sont capables de calculer tout ce qui est calculable. John von Neumann a reconnu que le concept central de l'ordinateur moderne était dû à l'article de Turing. Aujourd'hui encore, les machines de Turing sont un objet d'étude central dans la théorie du calcul.

De septembre 1936 à juillet 1938, Turing a passé la majeure partie de son temps à étudier sous la direction de Church à l'Université de Princeton, en tant que boursier Jane Eliza Procter Visiting Fellow pendant la deuxième année. En plus de ses travaux purement mathématiques, il a étudié la cryptologie et a également construit trois des quatre étapes d'un multiplieur binaire électromécanique. En juin 1938, il a obtenu son doctorat du Département de Mathématiques de Princeton ; sa thèse, "Systèmes de logique basés sur les ordinaux", a introduit le concept de la logique ordinale et la notion de calcul relatif, dans laquelle les machines de Turing sont augmentées de soi-disant oracles, permettant l'étude de problèmes qui ne peuvent pas être résolus par les machines de Turing. John von Neumann a voulu l'embaucher comme assistant postdoctoral, mais il est retourné au Royaume-Uni.

### Draft ###

### 1. Query Parsing & Context Mapping

"Pourquoi Turing a-t-il finalement abandonné l'idée de machines à choix en faveur de sa solution en note de bas de page ?"

Key elements to unpack:
- "machines à choix" → choice machines (French terminology may vary from English originals)
- "solution en note de bas de page" → footnote solution (implying minimal treatment)
- Temporal question: why the shift in thinking?

● Context: 1936-1937, "On Computable Numbers" period
◐ Translation issues: French "choix" vs English "choice" - semantic precision matters
⚠ Potential bias: focusing on "abandonment" vs evolution/synthesis

### 2. Historical Reconstruction

⟨H≈0.3⟩ Turing 1936. Choice machines introduced early in paper - non-deterministic computational model. External operator selects between alternatives. Footnote treatment follows - something about universal machines, binary encoding, systematic enumeration...

Need chronological verification:
- Choice machines: §3 of original paper? 
- Footnote solution: where exactly? 
- Timeline: any intermediate revisions?

○ Memory uncertain on exact footnote placement
● High confidence: choice machines were indeed abandoned
◐ Incomplete: specific technical reasoning behind shift

### 3. Technical Analysis

Choice machines suffer from:
- Non-determinism → ambiguity in computation paths
- External human intervention → violates mechanical nature
- Limited practical implementation

Footnote solution leverages:
- Universal machine concept → single deterministic device
- Binary encoding → choices as {0,1} sequences  
- Systematic enumeration → exhaustive search through possibilities

∴ Technical superiority drove adoption, not abandonment

### 4. Synthesis Challenge

Multi-hop reasoning required:
1. Why introduce choice machines initially?
2. What problems did they solve?
3. Why were these problems solvable via footnote method?
4. Which approach was more powerful?

⟨H≈0.8⟩ Turing probably introduced choice machines because they captured something important - the essence of non-deterministic computation, the leap between possible worlds, the branching nature of logical space. But then... the footnote moment. A flash of insight about universality, about how one machine could contain all others, about how binary choice sequences could encode every possible decision tree. The footnote wasn't abandonment - it was transcendence.

### 5. Information State Assessment

◐ Missing: specific page numbers, exact footnote content
○ Uncertain: whether this was immediate or gradual transition
● Confirmed: choice machines were superseded by universal machines
⚠ Potential issue: framing as "abandonment" vs "evolution"

### 6. Answer Construction

Core reasoning: Technical superiority of footnote solution
Supporting context: Universal machine paradigm shift
Additional factor: Practical implementation considerations

NB: Answer should emphasize this wasn't simple "abandonment" but rather recognition that footnote approach provided more powerful theoretical foundation while avoiding choice machines' practical limitations.

→ Universal machines could simulate all possible choices deterministically
→ Binary encoding made implementation feasible  
→ Systematic enumeration guaranteed completeness

∴ Footnote solution was superior technical achievement, not merely alternative approach

### 7. Verification & Constraints

Physical constraints: ✓ (binary encoding practical for early computing)
Logical constraints: ✓ (Church-Turing thesis supports universal machines)  
Historical timeline: ◐ (need to verify specific dates/revisions)
Technical accuracy: ● (universal machines well-established in literature)

Potential logical gaps to address:
- Why introduce choice machines initially?
- What specific problems did they solve?
- How does footnote approach handle same problems?

Final answer should synthesize technical superiority with historical context of universal machine development. Emphasize this was evolution rather than abandonment - footnote solution represented more sophisticated understanding of computational possibilities.

### Answer###
Turing a finalement abandonné l'idée des machines à choix en raison de leur nature limitée et non pratique pour représenter efficacement les calculs. Initialement, il avait distingué les "machines automatiques" dont le mouvement est complètement déterminé par la configuration, des "machines à choix" dont le mouvement est seulement partiellement déterminé et qui nécessitent une intervention humaine externe pour faire des choix arbitraires.

Cependant, dans une note de bas de page de son article, Turing a démontré comment utiliser une machine automatique "a" pour "trouver tous les formules prouvables du calcul" plutôt que d'utiliser une machine à choix. Sa solution consistait à convertir les choix binaires entre 0 et 1 en une séquence de décisions codées par un nombre binaire, où chaque choix était représenté par une séquence de 0 et 1. 

Cette approche permettait à la machine de passer successivement à travers toutes les preuves possibles de manière systématique. L'avantage de cette méthode résidait dans le fait qu'elle transformait un processus nécessitant l'intervention humaine en un processus purement automatique et déterministe.

L'abandon des machines à choix en faveur de cette solution en note de bas de page reflétait probablement la recherche de Turing vers plus de formalisation et de mécanisation des processus calculatoires, ainsi que la reconnaissance que les machines universelles pouvaient simuler tous les types de calculs, y compris ceux nécessitant des choix non déterministes.