Je comprends pas pourquoi certaines extensions comme C/R ou F/F ont un degré de 2 mais pas R/Q ? Mon prof a dit que C/R est une extension finie mais je comprends pas ce que ça veut dire exactement ?
Field extensions

The notion of a subfield E ⊂ F can also be regarded from the opposite point of view, by referring to F being a field extension (or just extension) of E, denoted by

and read " F over E ".

A basic datum of a field extension is its degree, i.e., the dimension of F as an E -vector space. It satisfies the formula

Extensions whose degree is finite are referred to as finite extensions. The extensions C / R and F / F are of degree 2, whereas R / Q is an infinite extension.
Extensions de corps

La notion d'un sous-corps E ⊂ F peut également être considérée sous un angle opposé, en considérant F comme une extension de corps (ou simplement extension) de E, notée

et lue « F sur E ».

Un élément fondamental d'une extension de corps est son degré, c'est-à-dire la dimension de F en tant qu'espace vectoriel sur E. Il satisfait la formule

Les extensions dont le degré est fini sont appelées extensions finies. Les extensions C / R et F / F ont un degré de 2, tandis que R / Q est une extension infinie.
### Query ###
Je comprends pas pourquoi certaines extensions comme C/R ou F/F ont un degré de 2 mais pas R/Q ? Mon prof a dit que C/R est une extension finie mais je comprends pas ce que ça veut dire exactement ?

### Main Text ###
Field extensions

The notion of a subfield E ⊂ F can also be regarded from the opposite point of view, by referring to F being a field extension (or just extension) of E, denoted by

and read " F over E ".

A basic datum of a field extension is its degree, i.e., the dimension of F as an E -vector space. It satisfies the formula

Extensions whose degree is finite are referred to as finite extensions. The extensions C / R and F / F are of degree 2, whereas R / Q is an infinite extension.

### Supplementary Text ###
Extensions de corps

La notion d'un sous-corps E ⊂ F peut également être considérée sous un angle opposé, en considérant F comme une extension de corps (ou simplement extension) de E, notée

et lue « F sur E ».

Un élément fondamental d'une extension de corps est son degré, c'est-à-dire la dimension de F en tant qu'espace vectoriel sur E. Il satisfait la formule

Les extensions dont le degré est fini sont appelées extensions finies. Les extensions C / R et F / F ont un degré de 2, tandis que R / Q est une extension infinie.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

User asks: "Why some extensions like C/R or F/F have degree 2 but not R/Q? My prof said C/R is finite extension but I don't understand what that means exactly?"

Key confusion: "ne pas comprendre exactement" → seeking precise definition, not just examples.

### 2. Core Concept Identification

● Field extensions E ⊂ F
● Degree = [F:E] = dimension of F as vector space over E
● Finite extensions = those with finite degree

Simple retrieval task. Need definitions + examples.

### 3. Example Analysis

C/R: Complex numbers over reals
- ℝ ⊂ ℂ
- Every complex z = a + bi can be written as ℝ-linear combination of 1 and i
- Basis: {1, i}
- [ℂ:ℝ] = 2

F/F₂: Finite fields
- F₂ = {0,1} 
- F₂[x]/(x² + x + 1) gives field of order 4
- Elements: 0, 1, α, α+1 where α satisfies x² + x + 1 = 0
- [F₂[x]/(x² + x + 1):F₂] = 2

R/Q: Reals over rationals
- ℚ ⊂ ℝ
- ℝ is uncountable as set, but any finite set of reals spans subspace of dimension ≤ℵ₀
- [ℝ:ℚ] = ∞

### 4. Finite vs Infinite Case

Finite extensions:
- Vector space dimension finite
- Field F "finite-dimensional" over E
- Examples: C/R, F/F₂, any finite field extension

Infinite extensions:
- Vector space dimension infinite  
- Field F "infinite-dimensional" over E
- Examples: R/Q, C/Q, any transcendental extension

### 5. Technical Verification

⟨H≈0.8⟩ Why degree 2 for C/R and F/F but not R/Q? Think basis construction. For C/R, basis {1, i} spans all complex numbers. For F/F₂, basis {1, α} spans all field elements. But for R/Q, need infinite set like {1, √2, √3, ...} - no finite spanning set exists. Transcendental elements prevent finite generation.

### 6. Answer Structure

Will explain:
1. Definition of field extension degree
2. Finite vs infinite extensions 
3. Why C/R and F/F have degree 2
4. Why R/Q has infinite degree
5. Concrete examples for clarity

Ready to construct response focusing on conceptual understanding rather than just examples.

### Answer###
Une extension de corps F/E est dite finie lorsque le corps F peut être vu comme un espace vectoriel de dimension finie sur le corps E. Cette dimension est appelée degré de l'extension.

Pour ton exemple C/R, le corps des nombres complexes C sur le corps des nombres réels R est effectivement une extension finie de degré 2. Cela signifie que tout nombre complexe peut s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire à coefficients réels de deux éléments de base, par exemple 1 et i. De même, l'extension F/F₂ est aussi de degré 2.

En revanche, R/Q n'est pas une extension finie. Cela signifie que le corps des nombres réels sur le corps des nombres rationnels n'a pas de dimension finie en tant qu'espace vectoriel. Il existe une infinité d'éléments transcendants dans ℝ (comme π, e, √2, etc.) qui ne peuvent pas être exprimés comme des combinaisons linéaires finies d'éléments rationnels.

Plus formellement, la dimension d'un espace vectoriel sur un corps E est le nombre d'éléments d'une base de cet espace. Pour les extensions finies, cette dimension est finie, tandis que pour les extensions infinies, elle est infinie.