C'est quoi cette méthode avec les formes qui sont pareilles
Estimation

2. Parallel-forms method:
Équivalence des formes

En géométrie, deux sous-ensembles d'un espace euclidien ont la même forme si l'un peut être transformé en l'autre par une combinaison de translations, de rotations (ensemble appelées transformations rigides) et d'homothéties (changements d'échelle uniformes). En d'autres termes, la forme d'un ensemble de points est toute l'information géométrique qui est invariante aux translations, aux rotations et aux changements de taille. Avoir la même forme est une relation d'équivalence, et par conséquent, une définition mathématique précise de la notion de forme peut être donnée comme étant une classe d'équivalence de sous-ensembles d'un espace euclidien ayant la même forme.

Le mathématicien et statisticien David George Kendall écrit :

« Dans cet article, le terme « forme » est utilisé au sens courant et signifie ce que l'on attendrait normalement qu'il signifie. Nous définissons ici « forme » de manière informelle comme « toute l'information géométrique qui reste lorsqu'on élimine les effets de la position, de l'échelle et de la rotation d'un objet. »

Les formes d'objets physiques sont égales si les sous-ensembles de l'espace qu'ils occupent satisfont la définition ci-dessus. En particulier, la forme ne dépend pas de la taille et du placement de l'objet dans l'espace. Par exemple, un « d » et un « p » ont la même forme, car ils peuvent être parfaitement superposés si le « d » est déplacé vers la droite d'une certaine distance, inversé et agrandi d'un certain facteur (voir superposition de Procrustes pour plus de détails). Cependant, une image miroir pourrait être considérée comme une forme différente. Par exemple, un « b » et un « p » ont une forme différente, au moins lorsqu'ils sont contraints de se déplacer dans un espace bidimensionnel comme la page sur laquelle ils sont écrits. Bien qu'ils aient la même taille, il n'y a aucun moyen de les superposer parfaitement en les traduisant et en les faisant pivoter sur la page. De même, dans un espace tridimensionnel, une main droite et une main gauche ont une forme différente, même s'il s'agit d'images miroir l'une de l'autre. Les formes peuvent changer si l'objet est mis à l'échelle de manière non uniforme. Par exemple, une sphère devient un ellipsoïde lorsqu'elle est mise à l'échelle différemment dans les directions verticale et horizontale. En d'autres termes, le maintien des axes de symétrie (s'ils existent) est important pour préserver les formes. De plus, la forme est déterminée uniquement par la frontière extérieure d'un objet.
### Query ###
C'est quoi cette méthode avec les formes qui sont pareilles

### Main Text ###
Estimation

2. Parallel-forms method:

### Supplementary Text ###
Équivalence des formes

En géométrie, deux sous-ensembles d'un espace euclidien ont la même forme si l'un peut être transformé en l'autre par une combinaison de translations, de rotations (ensemble appelées transformations rigides) et d'homothéties (changements d'échelle uniformes). En d'autres termes, la forme d'un ensemble de points est toute l'information géométrique qui est invariante aux translations, aux rotations et aux changements de taille. Avoir la même forme est une relation d'équivalence, et par conséquent, une définition mathématique précise de la notion de forme peut être donnée comme étant une classe d'équivalence de sous-ensembles d'un espace euclidien ayant la même forme.

Le mathématicien et statisticien David George Kendall écrit :

« Dans cet article, le terme « forme » est utilisé au sens courant et signifie ce que l'on attendrait normalement qu'il signifie. Nous définissons ici « forme » de manière informelle comme « toute l'information géométrique qui reste lorsqu'on élimine les effets de la position, de l'échelle et de la rotation d'un objet. »

Les formes d'objets physiques sont égales si les sous-ensembles de l'espace qu'ils occupent satisfont la définition ci-dessus. En particulier, la forme ne dépend pas de la taille et du placement de l'objet dans l'espace. Par exemple, un « d » et un « p » ont la même forme, car ils peuvent être parfaitement superposés si le « d » est déplacé vers la droite d'une certaine distance, inversé et agrandi d'un certain facteur (voir superposition de Procrustes pour plus de détails). Cependant, une image miroir pourrait être considérée comme une forme différente. Par exemple, un « b » et un « p » ont une forme différente, au moins lorsqu'ils sont contraints de se déplacer dans un espace bidimensionnel comme la page sur laquelle ils sont écrits. Bien qu'ils aient la même taille, il n'y a aucun moyen de les superposer parfaitement en les traduisant et en les faisant pivoter sur la page. De même, dans un espace tridimensionnel, une main droite et une main gauche ont une forme différente, même s'il s'agit d'images miroir l'une de l'autre. Les formes peuvent changer si l'objet est mis à l'échelle de manière non uniforme. Par exemple, une sphère devient un ellipsoïde lorsqu'elle est mise à l'échelle différemment dans les directions verticale et horizontale. En d'autres termes, le maintien des axes de symétrie (s'ils existent) est important pour préserver les formes. De plus, la forme est déterminée uniquement par la frontière extérieure d'un objet.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"C'est quoi cette méthode avec les formes qui sont pareilles"

French → "What is this method with the shapes that are the same"

Key phrase: "formes qui sont pareilles" = "similar/equal shapes"

Context clues: Method involving geometric comparison. ◐ Partial information available.

? Is this about shape equivalence, similarity, invariant properties?

### 2. Domain Identification

Geometric analysis. Shape theory. Pattern recognition.

Core question: When are two geometric objects "the same"?

### 3. Method Recognition

⟨H≈0.8⟩ 
Shape equivalence... translation invariance... rotational symmetry... scaling... the method that strips away position, orientation, size... 

! Found it: Procrustes analysis. AKA shape matching.

Process:
1. Position alignment (translation)
2. Rotation alignment 
3. Scale normalization
4. Compare residual differences

### 4. Mathematical Formalization

Two sets A,B in Euclidean space equivalent if:
∃ T: isometry s.t. T(A) = B

Where isometry = translation + rotation + uniform scaling.

Invariant preserved: geometric structure, angles, local curvature, connectivity.

Lost: absolute size, absolute position, absolute orientation.

### 5. Application Context

Pattern recognition. Medical imaging. Computer graphics. Quality control.

Example: comparing CT scans of organs, comparing manufactured parts, comparing handwriting samples.

### 6. Verification

☑ Matches query description
☑ Uses "formes pareilles" concept  
☑ Involves systematic transformation
☑ Strips away non-geometric properties

∴ The method is Procrustes analysis/shape equivalence.

Core insight: Geometric similarity independent of position, orientation, size.

NB: This explains why same-shaped objects can appear "different" due to translation/rotation/scaling artifacts.

Final answer structure:
- Name the method: Procrustes analysis
- Explain equivalence concept
- Give mathematical definition
- Show invariance properties
- Provide practical context

### Answer###
Il s'agit de la méthode des formes parallèles, qui consiste à comparer des objets géométriques en tenant compte uniquement de leur structure intrinsèque.

Cette méthode repose sur le principe que deux sous-ensembles d'un espace euclidien ont la même forme lorsqu'ils peuvent être transformés l'un en l'autre par une combinaison de translations, de rotations et d'homothéties (changements d'échelle uniforme). En termes simples, cette approche permet de déterminer si deux formes sont fondamentalement similaires en éliminant les effets de position, d'orientation et de taille.

Cette méthode d'analyse formelle est particulièrement utile pour comparer des objets qui peuvent sembler différents en raison de leur placement, de leur orientation ou de leur échelle, mais qui possèdent en réalité la même structure géométrique sous-jacente.