Je travaille sur une application de fonctions gaussiennes multidimensionnelles et je rencontre un problème théorique. Je cherche à calculer l'intégrale d'une fonction gaussienne en espace n-dimensionnel où la matrice C n'est pas positive-définie, mais plutôt négative-définie. Est-il possible d'obtenir une valeur finie pour cette intégrale lorsque la matrice C devient singulière, et comment puis-je interpréter le résultat lorsque l'intégrale diverge vers l'infini ?
Multi-dimensional Gaussian function

In an n {\displaystyle n} -dimensional space a Gaussian function can be defined as f (x) = exp (− x T C x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),} where x = {\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}} is a column of n {\displaystyle n} coordinates, C {\displaystyle C} is a positive-definite n × n {\displaystyle n\times n} matrix, and T {\displaystyle {}^{\mathsf {T}}} denotes matrix transposition.

The integral of this Gaussian function over the whole n {\displaystyle n} -dimensional space is given as ∫ R n exp (− x T C x) d x = π n det C. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}

It can be easily calculated by diagonalizing the matrix C {\displaystyle C} and changing the integration variables to the eigenvectors of C {\displaystyle C}.

More generally a shifted Gaussian function is defined as f (x) = exp (− x T C x + s T x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),} where s = {\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}} is the shift vector and the matrix C {\displaystyle C} can be assumed to be symmetric, C T = C {\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}, and positive-definite. The following integrals with this function can be calculated with the same technique: ∫ R n e − x T C x + v T x d x = π n det C exp (1 4 v T C − 1 v) ≡ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C x + v T x (a T x) d x = (a T u) ⋅ M, where u = 1 2 C − 1 v. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.} ∫ R n e − x T C x + v T x (x T D x) d x = (u T D u + 1 2 tr (D C − 1)) ⋅ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C ′ x + s ′ T x (− ∂ ∂ x Λ ∂ ∂ x) e − x T C x + s T x d x = (2 tr (C ′ Λ C B − 1) + 4 u T C ′ Λ C u − 2 u T (C ′ Λ s + C Λ s ′) + s ′ T Λ s) ⋅ M, {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}} where u = 1 2 B − 1 v, v = s + s ′, B = C + C ′. {\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}
Fonction gaussienne multidimensionnelle

Dans un espace n {\displaystyle n} -dimensionnel, une fonction gaussienne peut être définie comme f (x) = exp (− x T C x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),} où x = {\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}} est une colonne de n {\displaystyle n} coordonnées, C {\displaystyle C} est une matrice positive-définie n × n {\displaystyle n\times n}, et T {\displaystyle {}^{\mathsf {T}}} désigne la transposition matricielle.

L'intégrale de cette fonction gaussienne sur tout l'espace n {\displaystyle n} -dimensionnel est donnée par ∫ R n exp (− x T C x) d x = π n det C. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}

Elle peut être facilement calculée en diagonalisant la matrice C {\displaystyle C} et en changeant les variables d'intégration aux vecteurs propres de C {\displaystyle C}.

Plus généralement, une fonction gaussienne décalée est définie comme f (x) = exp (− x T C x + s T x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),} où s = {\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}} est le vecteur de décalage et la matrice C {\displaystyle C} peut être supposée symétrique, C T = C {\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}, et positive-définie. Les intégrales suivantes avec cette fonction peuvent être calculées avec la même technique : ∫ R n e − x T C x + v T x d x = π n det C exp (1 4 v T C − 1 v) ≡ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C x + v T x (a T x) d x = (a T u) ⋅ M, où u = 1 2 C − 1 v. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ où }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.} ∫ R n e − x T C x + v T x (x T D x) d x = (u T D u + 1 2 tr (D C − 1)) ⋅ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C ′ x + s ′ T x (− ∂ ∂ x Λ ∂ ∂ x) e − x T C x + s T x d x = (2 tr (C ′ Λ C B − 1) + 4 u T C ′ Λ C u − 2 u T (C ′ Λ s + C Λ s ′) + s ′ T Λ s) ⋅ M, {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}} où u = 1 2 B − 1 v, v = s + s ′, B = C + C ′. {\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}
### Query ###
Je travaille sur une application de fonctions gaussiennes multidimensionnelles et je rencontre un problème théorique. Je cherche à calculer l'intégrale d'une fonction gaussienne en espace n-dimensionnel où la matrice C n'est pas positive-définie, mais plutôt négative-définie. Est-il possible d'obtenir une valeur finie pour cette intégrale lorsque la matrice C devient singulière, et comment puis-je interpréter le résultat lorsque l'intégrale diverge vers l'infini ?

### Main Text ###
Multi-dimensional Gaussian function

In an n {\displaystyle n} -dimensional space a Gaussian function can be defined as f (x) = exp (− x T C x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),} where x = {\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}} is a column of n {\displaystyle n} coordinates, C {\displaystyle C} is a positive-definite n × n {\displaystyle n\times n} matrix, and T {\displaystyle {}^{\mathsf {T}}} denotes matrix transposition.

The integral of this Gaussian function over the whole n {\displaystyle n} -dimensional space is given as ∫ R n exp (− x T C x) d x = π n det C. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}

It can be easily calculated by diagonalizing the matrix C {\displaystyle C} and changing the integration variables to the eigenvectors of C {\displaystyle C}.

More generally a shifted Gaussian function is defined as f (x) = exp (− x T C x + s T x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),} where s = {\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}} is the shift vector and the matrix C {\displaystyle C} can be assumed to be symmetric, C T = C {\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}, and positive-definite. The following integrals with this function can be calculated with the same technique: ∫ R n e − x T C x + v T x d x = π n det C exp (1 4 v T C − 1 v) ≡ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C x + v T x (a T x) d x = (a T u) ⋅ M, where u = 1 2 C − 1 v. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.} ∫ R n e − x T C x + v T x (x T D x) d x = (u T D u + 1 2 tr (D C − 1)) ⋅ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C ′ x + s ′ T x (− ∂ ∂ x Λ ∂ ∂ x) e − x T C x + s T x d x = (2 tr (C ′ Λ C B − 1) + 4 u T C ′ Λ C u − 2 u T (C ′ Λ s + C Λ s ′) + s ′ T Λ s) ⋅ M, {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}} where u = 1 2 B − 1 v, v = s + s ′, B = C + C ′. {\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}

### Supplementary Text ###
Fonction gaussienne multidimensionnelle

Dans un espace n {\displaystyle n} -dimensionnel, une fonction gaussienne peut être définie comme f (x) = exp (− x T C x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),} où x = {\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}} est une colonne de n {\displaystyle n} coordonnées, C {\displaystyle C} est une matrice positive-définie n × n {\displaystyle n\times n}, et T {\displaystyle {}^{\mathsf {T}}} désigne la transposition matricielle.

L'intégrale de cette fonction gaussienne sur tout l'espace n {\displaystyle n} -dimensionnel est donnée par ∫ R n exp (− x T C x) d x = π n det C. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}

Elle peut être facilement calculée en diagonalisant la matrice C {\displaystyle C} et en changeant les variables d'intégration aux vecteurs propres de C {\displaystyle C}.

Plus généralement, une fonction gaussienne décalée est définie comme f (x) = exp (− x T C x + s T x), {\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),} où s = {\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}} est le vecteur de décalage et la matrice C {\displaystyle C} peut être supposée symétrique, C T = C {\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}, et positive-définie. Les intégrales suivantes avec cette fonction peuvent être calculées avec la même technique : ∫ R n e − x T C x + v T x d x = π n det C exp (1 4 v T C − 1 v) ≡ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C x + v T x (a T x) d x = (a T u) ⋅ M, où u = 1 2 C − 1 v. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ où }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.} ∫ R n e − x T C x + v T x (x T D x) d x = (u T D u + 1 2 tr (D C − 1)) ⋅ M. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.} ∫ R n e − x T C ′ x + s ′ T x (− ∂ ∂ x Λ ∂ ∂ x) e − x T C x + s T x d x = (2 tr (C ′ Λ C B − 1) + 4 u T C ′ Λ C u − 2 u T (C ′ Λ s + C Λ s ′) + s ′ T Λ s) ⋅ M, {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}} où u = 1 2 B − 1 v, v = s + s ′, B = C + C ′. {\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

User asks: "calculate integral of Gaussian function in n-dimensional space where matrix C is not positive-definite, but rather negative-definite"

Key issues flagged:
- C negative-definite → standard theory fails ●
- "finite value possible when C becomes singular" → seeking edge cases ◐  
- "divergence to infinity" → asymptotic behavior analysis ◐

Translation/semantic check: "négative-définie" = negative-definite (not just "non-positive-definite")

### 2. Domain Contextualization  

**Core Gaussian integral formula**: 
∫ⁿℝ exp(-xᵀCx) dx = (πⁿ/|det(C)|)¹ᐟ²

**Standard assumptions**: C positive-definite → finite, well-defined result

**Edge cases investigation**: 
- C singular (det(C) = 0) → ?
- C negative-definite → ?  
- Mixed signs in eigenvalues → ?

⟨H≈0.8⟩ Classical Gaussian theory assumes positive definiteness like a mathematical axiom... but what happens when we push beyond? The integral becomes this strange beast, matrix inversions blowing up, eigenvectors pointing to infinity...

### 3. Mathematical Framework

**Definition check**: C negative-definite ⟺ all eigenvalues < 0

**Integral behavior analysis**:
- Standard case: C > 0 → finite result ●
- Singular case: det(C) = 0 → ⚠ potential issues
- Negative-definite: eigenvalues λᵢ < 0 → ?

**Key insight** !: Even with negative eigenvalues, if all λᵢ < 0 then exp(-xᵀCx) still decays to zero

### 4. Critical Analysis

Response claims: "when matrix C becomes singular, the integral diverges to infinity"

**Counter-argument needed**: 
- Singular matrices have det(C) = 0 
- Standard formula gives ∞/∞ indeterminate form
- But integration variable transformation still works
- Result remains finite if proper limiting procedure applied

**Verification path**:
```
∫ⁿℝ exp(-xᵀCx) dx = (πⁿ/|det(C)|)¹ᐟ²
    ↓
lim_{C→singular} = lim_{det(C)→0} = ∞ × 0  
    ↓
L'Hôpital or direct evaluation → finite limit
```

### 5. Technical Resolution

**For singular C**:
- Change variables to eigenbasis
- Eigenvalues λᵢ < 0 (negative-definite assumption)  
- Integration over each eigen-direction remains finite
- Overall result: finite despite singular matrix

**For negative-definite C**:
- All terms remain well-defined
- Exponential decay still ensures integrability
- Standard formula applies with |det(C)| < 0

### 6. Interpretation Issues

Response correctly identifies: "interpretation of results when integrals diverge to infinity"

**Real issue**: Not divergence to infinity in this case
**Confusion source**: Indeterminate forms during calculation
**Resolution**: Apply proper limiting procedures

### 7. Final Assessment

Original response contains **inaccurate claims** about integral divergence

**Correct approach**:
1. Standard theory still applies for negative-definite matrices
2. Singular matrix cases require careful limiting procedures  
3. Results remain finite in all cases

**Recommendation**: User should clarify specific numerical examples showing the behavior they're observing

**Potential issue**: User might have computational precision problems rather than mathematical divergence

### Answer###
Votre question touche effectivement à une situation limite intéressante en analyse gaussienne multidimensionnelle. Lorsque la matrice C n'est pas positive-définie, mais plutôt négative-définie, le comportement de l'intégrale gaussienne devient effectivement problématique.

Dans le cadre standard où C est positive-définie, l'intégrale s'écrit : ∫ℛⁿ exp(-xᵀCx) dx = √(πⁿ/det(C))

Cependant, lorsque C devient singulière (déterminant nul) ou négative-définie, cette formule ne s'applique plus directement. Dans ces cas limites, l'intégrale diverge généralement vers l'infini.

Plus précisément, lorsque la matrice C est singulière, le dénominateur √(1/det(C)) devient indéfini, ce qui entraîne une divergence de l'intégrale. Cette situation correspond à une matrice covariance dégénérée, où les directions principales de l'espace gaussien sont "écrasées" vers une dimension de variance nulle.

Concernant l'interprétation lorsque l'intégrale diverge vers l'infini, cela indique généralement que la distribution gaussienne correspondante est extrêmement plate ou dégénérée dans certaines directions de l'espace. Les valeurs propres négatives de la matrice C (dans le cas négative-définie) créent une forme de "puits" qui peut conduire à des comportements asymptotiques pathologiques.

Je vous recommande de vérifier si votre matrice C n'est pas effectivement singulière ou proche de la singularité, ce qui expliquerait ces résultats divergents.