Est-ce que l'égalité μ ≡ E est toujours valable pour toutes les distributions de probabilité ?
Mean

The first raw moment is the mean, usually denoted μ ≡ E. {\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E}.}
Répartition de probabilité

Pour toute distribution de probabilité à valeurs réelles avec fonction de répartition cumulative F, une médiane est définie comme tout nombre réel m qui satisfait les inégalités lim x → m − F (x) ≤ 1 2 ≤ F (m) {\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)} (cf. le dessin dans la définition de l'espérance pour des variables aléatoires réelles quelconques). Une formulation équivalente utilise une variable aléatoire X distribuée selon F : P (X ≤ m) ≥ 1 2 et P (X ≥ m) ≥ 1 2. {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ et }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.}

Notez que cette définition ne requiert pas que X ait une distribution absolument continue (qui possède une fonction de densité de probabilité f), ni qu'elle soit discrète. Dans le premier cas, les inégalités peuvent être transformées en égalités : une médiane satisfait P (X ≤ m) = ∫ − ∞ m f (x) d x = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}} et P (X ≥ m) = ∫ m ∞ f (x) d x = 1 2. {\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}

Toute distribution de probabilité sur l'ensemble des nombres réels R {\displaystyle \mathbb {R} } possède au moins une médiane, mais dans des cas pathologiques, il peut y en avoir plusieurs : si F est constante à 1/2 sur un intervalle (de sorte que f = 0 là-bas), alors toute valeur de cet intervalle est une médiane.
### Query ###
Est-ce que l'égalité μ ≡ E est toujours valable pour toutes les distributions de probabilité ?

### Main Text ###
Mean

The first raw moment is the mean, usually denoted μ ≡ E. {\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E}.}

### Supplementary Text ###
Répartition de probabilité

Pour toute distribution de probabilité à valeurs réelles avec fonction de répartition cumulative F, une médiane est définie comme tout nombre réel m qui satisfait les inégalités lim x → m − F (x) ≤ 1 2 ≤ F (m) {\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)} (cf. le dessin dans la définition de l'espérance pour des variables aléatoires réelles quelconques). Une formulation équivalente utilise une variable aléatoire X distribuée selon F : P (X ≤ m) ≥ 1 2 et P (X ≥ m) ≥ 1 2. {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ et }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.}

Notez que cette définition ne requiert pas que X ait une distribution absolument continue (qui possède une fonction de densité de probabilité f), ni qu'elle soit discrète. Dans le premier cas, les inégalités peuvent être transformées en égalités : une médiane satisfait P (X ≤ m) = ∫ − ∞ m f (x) d x = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}} et P (X ≥ m) = ∫ m ∞ f (x) d x = 1 2. {\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}

Toute distribution de probabilité sur l'ensemble des nombres réels R {\displaystyle \mathbb {R} } possède au moins une médiane, mais dans des cas pathologiques, il peut y en avoir plusieurs : si F est constante à 1/2 sur un intervalle (de sorte que f = 0 là-bas), alors toute valeur de cet intervalle est une médiane.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"μ ≡ E" → notation equivalence question. User asking: is expectation E() always equal to mean μ for probability distributions?

"μ ≡ E" → mathematical equivalence symbol. Not assignment.

### 2. Direct Answer

No. ⚠ False equivalence generally.

While E[X] often equals μ (the mean), this is not universally true.

### 3. Counter-Examples

**Discrete case:**
- Bernoulli(p) distribution: E[X] = p ≠ μ when p ≠ 0.5
- Geometric(p) distribution: E[X] = 1/p ≠ μ

**Continuous case:**
- Cauchy distribution: undefined mean (μ) but E[X] exists
- Distribution with infinite variance: E[X] may diverge

### 4. When Equality Holds

● E[X] = μ when:
- X has finite mean
- Distribution is symmetric about mean
- No outliers/heavy tails

### 5. Clarification

Expectation operator E[]:
- General mathematical operation
- Applies to random variables
- Can be infinite

Mean μ:
- Specific measure of central tendency  
- Exists only for "well-behaved" distributions
- Finite for most practical distributions

∴ E[X] ≡ μ only for distributions with finite, well-defined mean.

**Key insight:** E[X] is broader concept. μ is special case when both exist and equal.

### Answer###
Non, l'égalité μ ≡ E n'est pas toujours valable pour toutes les distributions de probabilité.

Bien que le premier moment brut soit effectivement la moyenne notée μ ≡ E, cette notation ne représente pas nécessairement une égalité absolue entre μ et l'espérance E pour toutes les distributions. L'espérance E d'une variable aléatoire réelle peut exister même lorsque la distribution n'a pas de moyenne bien définie au sens classique.

Il existe des cas particuliers où cette égalité ne tient pas. Par exemple, pour certaines distributions à queue lourde ou distributions sans espérance finie, l'espérance E peut diverger vers l'infini, même si la notion de "moyenne" intuitive peut encore s'appliquer.

Dans le contexte des variables aléatoires réelles, l'espérance E peut être définie pour une classe plus large de distributions que la seule notion de moyenne μ, qui nécessite l'existence d'un moment d'ordre un fini et non nécessairement nul.

La relation entre μ et E dépend donc de la distribution considérée et de l'existence effective des moments correspondants.