Est-ce que zéro c'est pas vraiment un entier p-adique parce que c'est trop petit ?
p -adic integers

The p -adic integers are the p -adic numbers with a nonnegative valuation.

A p -adic integer can be represented as a sequence

of residues x mod p for each integer e, satisfying the compatibility relations x i ≡ x j (mod p i) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} for i < j.

Every integer is a p -adic integer (including zero, since 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty }). The rational numbers of the form n d p k {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} with d coprime with p and k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} are also p -adic integers (for the reason that d has an inverse mod p for every e).

The p -adic integers form a commutative ring, denoted Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} or Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}, that has the following properties.

The last property provides a definition of the p -adic numbers that is equivalent to the above one: the field of the p -adic numbers is the field of fractions of the completion of the localization of the integers at the prime ideal generated by p.
Nombres entiers p-adiques

Les nombres entiers p-adiques sont les nombres p-adiques de valuation non négative.

Un entier p-adique peut être représenté par une suite

de résidus x modulo p pour chaque entier e, satisfaisant les relations de compatibilité xᵢ ≡ xⱼ (mod pⁱ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} pour i < j.

Tout entier est un entier p-adique (y compris zéro, puisque 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty }). Les nombres rationnels de la forme n d pᵏ {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} avec d premier avec p et k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} sont également des entiers p-adiques (pour la raison que d a un inverse modulo p pour tout e).

Les entiers p-adiques forment un anneau commutatif, noté Zₚ {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} ou Zₚ {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}, qui possède les propriétés suivantes.

Cette dernière propriété fournit une définition des nombres p-adiques qui est équivalente à la précédente : le corps des nombres p-adiques est le corps des fractions du complété de la localisation des entiers à l'idéal premier engendré par p.
### Query ###
Est-ce que zéro c'est pas vraiment un entier p-adique parce que c'est trop petit ?

### Main Text ###
p -adic integers

The p -adic integers are the p -adic numbers with a nonnegative valuation.

A p -adic integer can be represented as a sequence

of residues x mod p for each integer e, satisfying the compatibility relations x i ≡ x j (mod p i) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} for i < j.

Every integer is a p -adic integer (including zero, since 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty }). The rational numbers of the form n d p k {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} with d coprime with p and k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} are also p -adic integers (for the reason that d has an inverse mod p for every e).

The p -adic integers form a commutative ring, denoted Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} or Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}, that has the following properties.

The last property provides a definition of the p -adic numbers that is equivalent to the above one: the field of the p -adic numbers is the field of fractions of the completion of the localization of the integers at the prime ideal generated by p.

### Supplementary Text ###
Nombres entiers p-adiques

Les nombres entiers p-adiques sont les nombres p-adiques de valuation non négative.

Un entier p-adique peut être représenté par une suite

de résidus x modulo p pour chaque entier e, satisfaisant les relations de compatibilité xᵢ ≡ xⱼ (mod pⁱ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} pour i < j.

Tout entier est un entier p-adique (y compris zéro, puisque 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty }). Les nombres rationnels de la forme n d pᵏ {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} avec d premier avec p et k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} sont également des entiers p-adiques (pour la raison que d a un inverse modulo p pour tout e).

Les entiers p-adiques forment un anneau commutatif, noté Zₚ {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} ou Zₚ {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}, qui possède les propriétés suivantes.

Cette dernière propriété fournit une définition des nombres p-adiques qui est équivalente à la précédente : le corps des nombres p-adiques est le corps des fractions du complété de la localisation des entiers à l'idéal premier engendré par p.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que zéro c'est pas vraiment un entier p-adique parce que c'est trop petit ?"

→ User asks if zero is "really" p-adic integer due to being "too small"
→ Colloquial phrasing suggests zero feels excluded from the p-adic hierarchy
→ "trop petit" = too small/insignificant

Translation nuance: French "pas vraiment" = "not really" carries user's intuition that zero feels marginal.

### 2. Mathematical Context Retrieval

p-adic integers Zₚ: formal infinite sequences with p-adic valuation ≥ 0
- Each coordinate represents residue class mod pᵏ
- Valuation vₚ(a) = k where a ≡ ak mod pᵏ
- Zero valuation means infinite tail of zeros

? Why does user perceive zero as "small"?

### 3. Structural Analysis

In p-adic hierarchy:
- Zero valuation = "base level"
- All other integers have strictly positive valuation
- Zero sits at bottom of infinite tower

But this isn't deficiency. This is fundamental.

⟨H≈0.8⟩ Think of p-adics as infinite precision arithmetic where "precision" grows downward through powers of p. Zero has infinite zeros trailing - that's what makes it special. Like the ground floor of an infinite building. Without zero, no foundation. ⟨H≈0.2⟩

### 4. Resolution

Zero IS p-adic integer. More precisely:
- Zₚ contains all p-adic integers with valuation ≥ 0
- Zero has valuation 0 (by convention)
- Zero provides additive identity for Zₚ

User's intuition backwards: zero isn't "too small" to be p-adic - it's the essential base case.

! Key insight: Zero's "smallness" is its strength - allows infinite precision from below.

### 5. Pedagogical Bridge

Compare to real numbers: zero is neither "too small" nor "too large" - it's the neutral element. Same principle in p-adic context.

∴ Zero fully qualifies as p-adic integer despite/because of its minimal valuation.

NB: User's question reveals common student confusion - worth addressing explicitly.

### Answer###
Votre question touche à une nuance intéressante de la structure des nombres p-adiques. En fait, zéro est bien un entier p-adique, et il ne l'est pas malgré sa "petite taille" - c'est justement à cause de cette propriété qu'il appartient à cette catégorie.

Les entiers p-adiques sont les nombres p-adiques ayant une valuation non négative. Pour représenter un entier p-adique, on utilise une suite de résidus modulo p pour chaque exposant, avec la propriété que ces résidus deviennent de plus en plus proches de zéro à mesure que l'exposant augmente.

Le zéro particulier dans cette structure est qu'il peut être représenté par une suite infinie de zéros, ce qui correspond effectivement à une valuation infinie (dans le sens où 0 < ∞). Cette représentation montre que zéro n'est pas exclu de la hiérarchie p-adique malgré son apparence "petite" - au contraire, sa représentation infinie de zéros le place à la base de cette structure.

Tous les entiers, y compris zéro, sont des entiers p-adiques. Cette propriété fait du zéro un élément fondamental de l'anneau des entiers p-adiques Zₚ, où il joue son rôle habituel d'élément neutre pour l'addition.