Quelles seraient les implications pratiques si la continuité de la fonction f(x) était remplacée par une discontinuité au point critique c dans cette démonstration ?
Proof version B

We will only prove the case of f (a) < u < f (b) {\displaystyle f(a)<u<f(b)}, as the f (a) > u > f (b) {\displaystyle f(a)>u>f(b)} case is similar.

Define g (x) = f (x) − u {\displaystyle g(x)=f(x)-u} which is equivalent to f (x) = g (x) + u {\displaystyle f(x)=g(x)+u} and lets us rewrite f (a) < u < f (b) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} as g (a) < 0 < g (b) {\displaystyle g(a)<0<g(b)}, and we have to prove, that g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0} for some c ∈ {\displaystyle c\in }, which is more intuitive. We further define the set S = { x ∈: g (x) ≤ 0 } {\displaystyle S=\{x\in:g(x)\leq 0\}}. Because g (a) < 0 {\displaystyle g(a)<0} we know, that a ∈ S {\displaystyle a\in S} so, that S {\displaystyle S} is not empty. Moreover, as S ⊆ {\displaystyle S\subseteq }, we know that S {\displaystyle S} is bounded and non-empty, so by Completeness, the supremum c = sup (S) {\displaystyle c=\sup(S)} exists.

There are 3 cases for the value of g (c) {\displaystyle g(c)}, those being g (c) < 0, g (c) > 0 {\displaystyle g(c)<0,g(c)>0} and g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0}. For contradiction, let us assume, that g (c) < 0 {\displaystyle g(c)<0}. Then, by the definition of continuity, for ϵ = 0 − g (c) {\displaystyle \epsilon =0-g(c)}, there exists a δ > 0 {\displaystyle \delta >0} such that x ∈ (c − δ, c + δ) {\displaystyle x\in (c-\delta,c+\delta)} implies, that | g (x) − g (c) | < − g (c) {\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}, which is equivalent to g (x) < 0 {\displaystyle g(x)<0}. If we just chose x = c + δ N {\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}, where N > δ b − c {\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}}, then g (x) < 0 {\displaystyle g(x)<0} and c < x < b {\displaystyle c<x<b}, so x ∈ S {\displaystyle x\in S}. It follows that x {\displaystyle x} is an upper bound for S {\displaystyle S}. However, x > c {\displaystyle x>c}, contradicting the upper bound property of the least upper bound c {\displaystyle c}, so g (c) ≥ 0 {\displaystyle g(c)\geq 0}. Assume then, that g (c) > 0 {\displaystyle g(c)>0}. We similarly chose ϵ = g (c) − 0 {\displaystyle \epsilon =g(c)-0} and know, that there exists a δ > 0 {\displaystyle \delta >0} such that x ∈ (c − δ, c + δ) {\displaystyle x\in (c-\delta,c+\delta)} implies | g (x) − g (c) | < g (c) {\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}. We can rewrite this as − g (c) < g (x) − g (c) < g (c) {\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)} which implies, that g (x) > 0 {\displaystyle g(x)>0}. If we now chose x = c − δ 2 {\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}, then g (x) > 0 {\displaystyle g(x)>0} and a < x < c {\displaystyle a<x<c}. It follows that x {\displaystyle x} is an upper bound for S {\displaystyle S}. However, x < c {\displaystyle x<c}, which contradict the least property of the least upper bound c {\displaystyle c}, which means, that g (c) > 0 {\displaystyle g(c)>0} is impossible. If we combine both results, we get that g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0} or f (c) = u {\displaystyle f(c)=u} is the only remaining possibility.

Remark: The intermediate value theorem can also be proved using the methods of non-standard analysis, which places "intuitive" arguments involving infinitesimals on a rigorous footing.
Analyse

Puisque les points finaux initiaux a et b sont choisis de sorte que f(a) et f(b) ont des signes opposés, à chaque étape, l'un des points finaux se rapprochera d'une racine de f. Si la seconde dérivée de f est de signe constant (donc qu'il n'y a pas de point d'inflexion) dans l'intervalle, alors un point final (celui où f a également le même signe) restera fixe pour toutes les itérations suivantes tandis que le point final convergeant sera mis à jour. En conséquence, contrairement à la méthode de la bissection, la largeur du crochet ne tend pas vers zéro (sauf si le zéro se trouve à un point d'inflexion autour duquel sign(f) = −sign(f ")). Par conséquent, l'approximation linéaire de f(x), qui est utilisée pour choisir la fausse position, ne s'améliore pas aussi rapidement que possible.

Un exemple de ce phénomène est la fonction

sur le crochet initial. L'extrémité gauche, -1, n'est jamais remplacée (elle ne change pas au début et après les trois premières itérations, f" est négative sur l'intervalle) et la largeur du crochet ne tombe donc jamais en dessous de 1. Par conséquent, l'extrémité droite s'approche de 0 à un rythme linéaire (le nombre de chiffres exacts augmente linéairement, avec un taux de convergence de 2/3).

Pour les fonctions discontinues, on ne peut espérer que cette méthode trouve un point où la fonction change de signe (par exemple, à x = 0 pour 1/x ou la fonction signe). En plus des changements de signe, il est également possible que la méthode converge vers un point où la limite de la fonction est nulle, même si la fonction est indéfinie (ou a une autre valeur) à ce point (par exemple, à x = 0 pour la fonction définie par f(x) = abs(x) − x lorsque x ≠ 0 et par f(0) = 5, en commençant par l'intervalle). Il est mathématiquement possible que, avec des fonctions discontinues, la méthode ne converge pas vers une limite nulle ou un changement de signe, mais ce n'est pas un problème en pratique, car cela nécessiterait une séquence infinie de coïncidences pour que les deux points finaux se retrouvent bloqués en convergence vers des discontinuités où le signe ne change pas, par exemple à x = ±1 dans

La méthode de la bissection évite ce problème de convergence hypothétique.
### Query ###
Quelles seraient les implications pratiques si la continuité de la fonction f(x) était remplacée par une discontinuité au point critique c dans cette démonstration ?

### Main Text ###
Proof version B

We will only prove the case of f (a) < u < f (b) {\displaystyle f(a)<u<f(b)}, as the f (a) > u > f (b) {\displaystyle f(a)>u>f(b)} case is similar.

Define g (x) = f (x) − u {\displaystyle g(x)=f(x)-u} which is equivalent to f (x) = g (x) + u {\displaystyle f(x)=g(x)+u} and lets us rewrite f (a) < u < f (b) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} as g (a) < 0 < g (b) {\displaystyle g(a)<0<g(b)}, and we have to prove, that g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0} for some c ∈ {\displaystyle c\in }, which is more intuitive. We further define the set S = { x ∈: g (x) ≤ 0 } {\displaystyle S=\{x\in:g(x)\leq 0\}}. Because g (a) < 0 {\displaystyle g(a)<0} we know, that a ∈ S {\displaystyle a\in S} so, that S {\displaystyle S} is not empty. Moreover, as S ⊆ {\displaystyle S\subseteq }, we know that S {\displaystyle S} is bounded and non-empty, so by Completeness, the supremum c = sup (S) {\displaystyle c=\sup(S)} exists.

There are 3 cases for the value of g (c) {\displaystyle g(c)}, those being g (c) < 0, g (c) > 0 {\displaystyle g(c)<0,g(c)>0} and g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0}. For contradiction, let us assume, that g (c) < 0 {\displaystyle g(c)<0}. Then, by the definition of continuity, for ϵ = 0 − g (c) {\displaystyle \epsilon =0-g(c)}, there exists a δ > 0 {\displaystyle \delta >0} such that x ∈ (c − δ, c + δ) {\displaystyle x\in (c-\delta,c+\delta)} implies, that | g (x) − g (c) | < − g (c) {\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}, which is equivalent to g (x) < 0 {\displaystyle g(x)<0}. If we just chose x = c + δ N {\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}, where N > δ b − c {\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}}, then g (x) < 0 {\displaystyle g(x)<0} and c < x < b {\displaystyle c<x<b}, so x ∈ S {\displaystyle x\in S}. It follows that x {\displaystyle x} is an upper bound for S {\displaystyle S}. However, x > c {\displaystyle x>c}, contradicting the upper bound property of the least upper bound c {\displaystyle c}, so g (c) ≥ 0 {\displaystyle g(c)\geq 0}. Assume then, that g (c) > 0 {\displaystyle g(c)>0}. We similarly chose ϵ = g (c) − 0 {\displaystyle \epsilon =g(c)-0} and know, that there exists a δ > 0 {\displaystyle \delta >0} such that x ∈ (c − δ, c + δ) {\displaystyle x\in (c-\delta,c+\delta)} implies | g (x) − g (c) | < g (c) {\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}. We can rewrite this as − g (c) < g (x) − g (c) < g (c) {\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)} which implies, that g (x) > 0 {\displaystyle g(x)>0}. If we now chose x = c − δ 2 {\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}, then g (x) > 0 {\displaystyle g(x)>0} and a < x < c {\displaystyle a<x<c}. It follows that x {\displaystyle x} is an upper bound for S {\displaystyle S}. However, x < c {\displaystyle x<c}, which contradict the least property of the least upper bound c {\displaystyle c}, which means, that g (c) > 0 {\displaystyle g(c)>0} is impossible. If we combine both results, we get that g (c) = 0 {\displaystyle g(c)=0} or f (c) = u {\displaystyle f(c)=u} is the only remaining possibility.

Remark: The intermediate value theorem can also be proved using the methods of non-standard analysis, which places "intuitive" arguments involving infinitesimals on a rigorous footing.

### Supplementary Text ###
Analyse

Puisque les points finaux initiaux a et b sont choisis de sorte que f(a) et f(b) ont des signes opposés, à chaque étape, l'un des points finaux se rapprochera d'une racine de f. Si la seconde dérivée de f est de signe constant (donc qu'il n'y a pas de point d'inflexion) dans l'intervalle, alors un point final (celui où f a également le même signe) restera fixe pour toutes les itérations suivantes tandis que le point final convergeant sera mis à jour. En conséquence, contrairement à la méthode de la bissection, la largeur du crochet ne tend pas vers zéro (sauf si le zéro se trouve à un point d'inflexion autour duquel sign(f) = −sign(f ")). Par conséquent, l'approximation linéaire de f(x), qui est utilisée pour choisir la fausse position, ne s'améliore pas aussi rapidement que possible.

Un exemple de ce phénomène est la fonction

sur le crochet initial. L'extrémité gauche, -1, n'est jamais remplacée (elle ne change pas au début et après les trois premières itérations, f" est négative sur l'intervalle) et la largeur du crochet ne tombe donc jamais en dessous de 1. Par conséquent, l'extrémité droite s'approche de 0 à un rythme linéaire (le nombre de chiffres exacts augmente linéairement, avec un taux de convergence de 2/3).

Pour les fonctions discontinues, on ne peut espérer que cette méthode trouve un point où la fonction change de signe (par exemple, à x = 0 pour 1/x ou la fonction signe). En plus des changements de signe, il est également possible que la méthode converge vers un point où la limite de la fonction est nulle, même si la fonction est indéfinie (ou a une autre valeur) à ce point (par exemple, à x = 0 pour la fonction définie par f(x) = abs(x) − x lorsque x ≠ 0 et par f(0) = 5, en commençant par l'intervalle). Il est mathématiquement possible que, avec des fonctions discontinues, la méthode ne converge pas vers une limite nulle ou un changement de signe, mais ce n'est pas un problème en pratique, car cela nécessiterait une séquence infinie de coïncidences pour que les deux points finaux se retrouvent bloqués en convergence vers des discontinuités où le signe ne change pas, par exemple à x = ±1 dans

La méthode de la bissection évite ce problème de convergence hypothétique.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Quelques seraient les implications pratiques si la continuité de la fonction f(x) était remplacée par une discontinuité au point critique c dans cette démonstration ?"

Breaking down:
- "quelques" → "quelques implications pratiques" 
- Continuity replaced by discontinuity at critical point c
- Seeks practical consequences, not theoretical impossibility

Translation: How would proof behave if f discontinuous at c?

### 2. Contextual Mapping

⟨H≈0.3⟩ Intermediate Value Theorem proof territory. Typically: continuous f on [a,b], f(a)≠f(b), want to show f(c)=k for some c∈(a,b). Standard approach via bisection, contradiction arguments. Discontinuity at critical point... where exactly? At endpoint? Interior? Type of discontinuity matters.

Proof structure:
```
Assume f continuous [a,b], f(a)≠f(b)
Want: f(c)=k for some c∈(a,b)
Proof: Bisection argument + contradiction
```

### 3. Core Analysis

Key insight: Discontinuity ≠ automatic proof failure

? What if discontinuity at endpoint?
- f(a) or f(b) discontinuous
- No contradiction with proof structure
- Still works if [a,b] excludes discontinuity

! Critical case: discontinuity at interior point c

Suppose f discontinuous at c∈(a,b):

```
f continuous on [a,c) ∪ (c,b]
f discontinuous at c
f(a)≠f(b)
```

Proof breakdown:
- Bisection still works initially
- Eventually hits/approaches c
- At c: f(x)±ε vs f(x±δ) potentially different

### 4. Practical Implications

Discontinuity at c creates multiple scenarios:

**Scenario A**: Jump discontinuity
- f(c-δ) ≠ f(c+δ) 
- Proof fails at c
- Bisection may not find target value

**Scenario B**: Removable discontinuity  
- f(c-δ) → L, f(c+δ) → L (but f(c)≠L)
- Proof still works if seeking L
- Confusion possible if expecting actual f(c)

**Scenario C**: Oscillatory behavior
- f(c-δ) oscillates vs f(c+δ) oscillates  
- No convergence to target value
- Iterative process diverges at c

### 5. Convergence Analysis

⟨H≈0.8⟩ Bisection convergence rate... typically linear O(1/n). But with discontinuity at c, what happens? Each iteration closer to c gets more "uncertain" - the function jumps around, oscillates, or simply doesn't behave as expected. Convergence becomes stochastic rather than deterministic. The proof's logical structure crumbles at the critical point where continuity assumptions break down.

Convergence implications:
- Linear vs exponential? 
- Stochastic vs deterministic?
- Failure modes at c?

### 6. Resolution Strategy

Solution path:
1. Identify discontinuity location ✓
2. Analyze local behavior at c ✓  
3. Predict convergence breakdown ✓
4. Propose modified approach ✓

### 7. Practical Recommendations

For proof robustness:
- Avoid critical points with discontinuities
- Use continuity certificates
- Handle endpoint cases separately
- Consider piecewise continuity

∴ Discontinuity at critical point c creates proof instability through:
- Potential convergence failure
- Incorrect intermediate values
- Stochastic rather than deterministic behavior

NB: This isn't just a theoretical concern - real mathematical proofs encounter discontinuous functions all the time.

**Final implication**: Standard IVT proofs require topological assumptions (continuity) that guarantee path connectivity. Discontinuity breaks this assumption → proof failure at critical points.

⚠ Practical lesson: Always verify continuity assumptions in mathematical proofs, especially at endpoints and critical values.

### Answer###
Si la continuité de la fonction f(x) était remplacée par une discontinuité au point critique c dans cette démonstration, les implications pratiques seraient considérables et problématiques pour la validité de la preuve.

Dans la démonstration classique, l'hypothèse de continuité de f garantit que l'on peut appliquer des arguments de convergence et de proximité pour établir que f(c) = 0 lorsqu'il existe des valeurs f(a) < 0 et f(b) > 0. La continuité permet d'utiliser des arguments epsilon-delta pour contrôler le comportement de la fonction aux alentours du point critique.

En présence d'une discontinuité au point c, la démonstration perd sa solidité logique. Dans le cas d'une discontinuité de saut, par exemple, il pourrait exister des voisinages de c où la fonction prend des valeurs arbitrairement proches de zéro sans jamais l'atteindre exactement. Cela contredirait l'hypothèse que f(c) = 0.

De plus, la méthode de recherche par bisection utilisée dans la démonstration s'appuie sur l'idée que l'on peut approcher indéfiniment le point critique en restant dans des intervalles où la fonction conserve son signe initial. Si une discontinuité apparaît au point critique, cette approche peut conduire à des oscillations ou à des échecs de convergence.

Dans le contexte spécifique de cette démonstration, où l'on construit une fonction auxiliaire g(x) = f(x) - u et utilise des arguments de supremum, la présence d'une discontinuité pourrait empêcher l'argument de contradiction de s'appliquer correctement. Les propriétés de limite et de convergence qui sous-tendent la preuve ne seraient plus garanties.

Cette situation illustre pourquoi l'hypothèse de continuité est essentielle dans ce type de démonstration mathématique : elle assure que les propriétés topologiques du domaine permettent d'établir les résultats d'existence et d'unicité attendus.