Je travaille sur un modèle prédictif pour la dynamique d'une réaction chimique et j'ai initialement utilisé une approche boîte blanche avec des équations cinétiques bien établies. Cependant, mes données expérimentales montrent des comportements imprévisibles qui ne correspondent pas complètement à ces équations. Comment puis-je passer progressivement d'une approche boîte blanche à une approche boîte noire tout en préservant la précision prédictive du modèle ?
A priori information

Mathematical modeling problems are often classified into black box or white box models, according to how much a priori information on the system is available. A black-box model is a system of which there is no a priori information available. A white-box model (also called glass box or clear box) is a system where all necessary information is available. Practically all systems are somewhere between the black-box and white-box models, so this concept is useful only as an intuitive guide for deciding which approach to take.

Usually, it is preferable to use as much a priori information as possible to make the model more accurate. Therefore, the white-box models are usually considered easier, because if you have used the information correctly, then the model will behave correctly. Often the a priori information comes in forms of knowing the type of functions relating different variables. For example, if we make a model of how a medicine works in a human system, we know that usually the amount of medicine in the blood is an exponentially decaying function, but we are still left with several unknown parameters; how rapidly does the medicine amount decay, and what is the initial amount of medicine in blood? This example is therefore not a completely white-box model. These parameters have to be estimated through some means before one can use the model.

In black-box models, one tries to estimate both the functional form of relations between variables and the numerical parameters in those functions. Using a priori information we could end up, for example, with a set of functions that probably could describe the system adequately. If there is no a priori information we would try to use functions as general as possible to cover all different models. An often used approach for black-box models are neural networks which usually do not make assumptions about incoming data. Alternatively, the NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous inputs) algorithms which were developed as part of nonlinear system identification can be used to select the model terms, determine the model structure, and estimate the unknown parameters in the presence of correlated and nonlinear noise. The advantage of NARMAX models compared to neural networks is that NARMAX produces models that can be written down and related to the underlying process, whereas neural networks produce an approximation that is opaque.
Informations *a priori*

Les problèmes de modélisation mathématique sont souvent classés en modèles « boîtes noires » ou « boîtes blanches » en fonction de la quantité d'informations *a priori* disponibles sur le système. Un modèle « boîte noire » est un système pour lequel aucune information *a priori* n'est disponible. Un modèle « boîte blanche » (également appelé modèle « boîte de verre » ou « boîte transparente ») est un système pour lequel toutes les informations nécessaires sont disponibles. En réalité, la plupart des systèmes se situent entre les modèles « boîte noire » et « boîte blanche », donc ce concept n'est utile qu'en tant que guide intuitif pour décider quelle approche adopter.

Il est généralement préférable d'utiliser autant d'informations *a priori* que possible pour rendre le modèle plus précis. Par conséquent, les modèles « boîte blanche » sont généralement considérés comme plus faciles, car si les informations ont été utilisées correctement, le modèle se comportera correctement. Souvent, les informations *a priori* se présentent sous la forme de la connaissance du type de fonctions reliant différentes variables. Par exemple, si nous modélisons le fonctionnement d'un médicament dans un système humain, nous savons que la quantité de médicament dans le sang est généralement une fonction décroissante exponentiellement, mais nous nous retrouvons tout de même avec plusieurs paramètres inconnus : à quelle vitesse la quantité de médicament diminue-t-elle et quelle est la quantité initiale de médicament dans le sang ? Cet exemple n'est donc pas un modèle complètement « boîte blanche ». Ces paramètres doivent être estimés par un moyen quelconque avant de pouvoir utiliser le modèle.

Dans les modèles « boîte noire », on essaie d'estimer à la fois la forme fonctionnelle des relations entre les variables et les paramètres numériques dans ces fonctions. En utilisant des informations *a priori*, on pourrait par exemple aboutir à un ensemble de fonctions qui pourraient probablement décrire le système de manière adéquate. S'il n'y a aucune information *a priori*, on essaierait d'utiliser des fonctions aussi générales que possible pour couvrir différents modèles. Une approche souvent utilisée pour les modèles « boîte noire » sont les réseaux de neurones, qui ne font généralement pas d'hypothèses sur les données entrantes. Alternativement, les algorithmes NARMAX (modèle autorégressif-moyenne mobile non linéaire avec entrées exogènes) qui ont été développés dans le cadre de l'identification non linéaire des systèmes peuvent être utilisés pour sélectionner les termes du modèle, déterminer la structure du modèle et estimer les paramètres inconnus en présence de bruit corrélé et non linéaire. L'avantage des modèles NARMAX par rapport aux réseaux de neurones est que NARMAX produit des modèles qui peuvent être écrits et reliés au processus sous-jacent, tandis que les réseaux de neurones produisent une approximation opaque.
### Query ###
Je travaille sur un modèle prédictif pour la dynamique d'une réaction chimique et j'ai initialement utilisé une approche boîte blanche avec des équations cinétiques bien établies. Cependant, mes données expérimentales montrent des comportements imprévisibles qui ne correspondent pas complètement à ces équations. Comment puis-je passer progressivement d'une approche boîte blanche à une approche boîte noire tout en préservant la précision prédictive du modèle ?

### Main Text ###
A priori information

Mathematical modeling problems are often classified into black box or white box models, according to how much a priori information on the system is available. A black-box model is a system of which there is no a priori information available. A white-box model (also called glass box or clear box) is a system where all necessary information is available. Practically all systems are somewhere between the black-box and white-box models, so this concept is useful only as an intuitive guide for deciding which approach to take.

Usually, it is preferable to use as much a priori information as possible to make the model more accurate. Therefore, the white-box models are usually considered easier, because if you have used the information correctly, then the model will behave correctly. Often the a priori information comes in forms of knowing the type of functions relating different variables. For example, if we make a model of how a medicine works in a human system, we know that usually the amount of medicine in the blood is an exponentially decaying function, but we are still left with several unknown parameters; how rapidly does the medicine amount decay, and what is the initial amount of medicine in blood? This example is therefore not a completely white-box model. These parameters have to be estimated through some means before one can use the model.

In black-box models, one tries to estimate both the functional form of relations between variables and the numerical parameters in those functions. Using a priori information we could end up, for example, with a set of functions that probably could describe the system adequately. If there is no a priori information we would try to use functions as general as possible to cover all different models. An often used approach for black-box models are neural networks which usually do not make assumptions about incoming data. Alternatively, the NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous inputs) algorithms which were developed as part of nonlinear system identification can be used to select the model terms, determine the model structure, and estimate the unknown parameters in the presence of correlated and nonlinear noise. The advantage of NARMAX models compared to neural networks is that NARMAX produces models that can be written down and related to the underlying process, whereas neural networks produce an approximation that is opaque.

### Supplementary Text ###
Informations *a priori*

Les problèmes de modélisation mathématique sont souvent classés en modèles « boîtes noires » ou « boîtes blanches » en fonction de la quantité d'informations *a priori* disponibles sur le système. Un modèle « boîte noire » est un système pour lequel aucune information *a priori* n'est disponible. Un modèle « boîte blanche » (également appelé modèle « boîte de verre » ou « boîte transparente ») est un système pour lequel toutes les informations nécessaires sont disponibles. En réalité, la plupart des systèmes se situent entre les modèles « boîte noire » et « boîte blanche », donc ce concept n'est utile qu'en tant que guide intuitif pour décider quelle approche adopter.

Il est généralement préférable d'utiliser autant d'informations *a priori* que possible pour rendre le modèle plus précis. Par conséquent, les modèles « boîte blanche » sont généralement considérés comme plus faciles, car si les informations ont été utilisées correctement, le modèle se comportera correctement. Souvent, les informations *a priori* se présentent sous la forme de la connaissance du type de fonctions reliant différentes variables. Par exemple, si nous modélisons le fonctionnement d'un médicament dans un système humain, nous savons que la quantité de médicament dans le sang est généralement une fonction décroissante exponentiellement, mais nous nous retrouvons tout de même avec plusieurs paramètres inconnus : à quelle vitesse la quantité de médicament diminue-t-elle et quelle est la quantité initiale de médicament dans le sang ? Cet exemple n'est donc pas un modèle complètement « boîte blanche ». Ces paramètres doivent être estimés par un moyen quelconque avant de pouvoir utiliser le modèle.

Dans les modèles « boîte noire », on essaie d'estimer à la fois la forme fonctionnelle des relations entre les variables et les paramètres numériques dans ces fonctions. En utilisant des informations *a priori*, on pourrait par exemple aboutir à un ensemble de fonctions qui pourraient probablement décrire le système de manière adéquate. S'il n'y a aucune information *a priori*, on essaierait d'utiliser des fonctions aussi générales que possible pour couvrir différents modèles. Une approche souvent utilisée pour les modèles « boîte noire » sont les réseaux de neurones, qui ne font généralement pas d'hypothèses sur les données entrantes. Alternativement, les algorithmes NARMAX (modèle autorégressif-moyenne mobile non linéaire avec entrées exogènes) qui ont été développés dans le cadre de l'identification non linéaire des systèmes peuvent être utilisés pour sélectionner les termes du modèle, déterminer la structure du modèle et estimer les paramètres inconnus en présence de bruit corrélé et non linéaire. L'avantage des modèles NARMAX par rapport aux réseaux de neurones est que NARMAX produit des modèles qui peuvent être écrits et reliés au processus sous-jacent, tandis que les réseaux de neurones produisent une approximation opaque.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"approche boîte blanche avec des équations cinétiques bien établies" → established kinetic equations, "white-box" approach
"comportements imprévisibles" → unpredictable behaviors
"passer progressivement" → gradual transition
"préservant la précision prédictive" → maintaining predictive accuracy

Key tension: established theory vs. experimental reality. Classical modeling dilemma.

### 2. Problem Classification

Standard white-box assumption: known functional forms, unknown parameters.
Reality check: complete white-box rarely exists in practice.

? Are equations truly "bien établies" or just "reasonably well-characterized"?
? Experimental conditions might differ from theoretical assumptions.

### 3. Transition Strategy Framework

**Phase 1: Parameter Refinement**
- Use experimental data → refine kinetic constants
- White-box elements remain: functional forms intact
- Black-box elements emerge: parameter values, boundary conditions

**Phase 2: Structure Adaptation**  
- Add empirical correction terms
- Semi-empirical approach: keep core, modify periphery
- Example: add phenomenological damping terms

**Phase 3: Functional Form Evolution**
- Replace sub-models with empirical functions
- Black-box approximation within white-box framework
- NARMAX-type approaches for noise handling

### 4. Methodological Toolkit

**NARMAX Approach:**
- Nonlinear AutoRegressive models with eXogenous inputs
- Model structure identification algorithms
- Parameter estimation with error correlation handling

**Implementation Flow:**
```
1. Identify deviating experimental regimes
2. Extract relevant input/output variables  
3. Apply NARMAX structure selection
4. Validate against expanded dataset
5. Iterate → convergence
```

**Key Advantage:** NARMAX produces interpretable models vs. neural network "black boxes."

### 5. Predictive Accuracy Preservation

Critical success factors:
- Maintain physical constraints
- Preserve known reaction mechanisms
- Use NARMAX interpretability for validation
- Monitor out-of-sample performance

**Risk Mitigation:** 
- Avoid over-parameterization
- Validate across multiple experimental conditions
- Cross-validation with independent datasets

### 6. Implementation Strategy

**Step 1: Diagnostic Analysis**
Identify specific behaviors where white-box fails.
→ Parameter drift?
→ Nonlinear regime effects?
→ Missing coupling terms?

**Step 2: Local Adaptation**
Modify equations in problematic regions only.
Keep global structure, add local corrections.

**Step 3: Systematic Evolution**
Replace empirical corrections with systematic models.
NARMAX identification for each sub-system.

**Step 4: Model Integration**
Combine adapted sub-models into coherent framework.
Validate across full experimental space.

∴ Gradual transition preserves accuracy while incorporating experimental insights.

**Critical Insight:** True "white-box" rarely exists. Partial white-box + black-box elements already present in "well-established" models. Transition involves making this implicit structure explicit.

### Answer###
Votre situation illustre un défi classique en modélisation mathématique. Les modèles considérés initialement comme "boîte blanche" nécessitent en réalité une estimation de paramètres inconnus, même si la forme fonctionnelle générale des relations est connue.

Pour effectuer cette transition graduelle, vous pouvez adopter une approche en plusieurs étapes. Tout d'abord, utilisez vos équations cinétiques établies pour identifier les paramètres spécifiques qui nécessitent une estimation plus précise. Cette phase peut inclure l'ajustement des constantes cinétiques ou des conditions initiales basées sur vos données expérimentales.

Ensuite, considérez l'enrichissement de votre modèle avec des termes correctifs qui capturent les comportements imprévisibles. Vous pourriez introduire des fonctions d'adaptation qui modifient les équations originales selon certaines conditions expérimentales.

Pour les aspects les plus problématiques, envisagez d'appliquer des approches de type "boîte noire" comme les réseaux de neurones ou les algorithmes NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average). Ces méthodes permettent de sélectionner automatiquement les termes du modèle, de déterminer sa structure et d'estimer les paramètres inconnus en présence de bruit corrélé et non linéaire.

L'avantage des approches NARMAX par rapport aux réseaux de neurones réside dans leur capacité à produire des modèles interprétables et liés au processus sous-jacent, ce qui facilite la validation et l'amélioration de la précision prédictive de votre modèle.