Comment c'est que les règles qu'on applique déterminent complètement une dérivation ?
Derivations and syntax trees

Given such a strategy, a derivation is completely determined by the sequence of rules applied. For instance, one leftmost derivation of the same string is
Voici la traduction du texte en français :

**Différentiation avec dépendances directes**

Supposons que f soit une fonction de deux variables, x et y. Si ces deux variables sont indépendantes, de sorte que le domaine de f est ℝ² , alors le comportement de f peut être compris en termes de ses dérivées partielles dans les directions x et y. Cependant, dans certaines situations, x et y peuvent être dépendants. Par exemple, il peut arriver que f soit contrainte à une courbe y = y(x). Dans ce cas, nous sommes en réalité intéressés par le comportement de la fonction composite f(x, y(x)). La dérivée partielle de f par rapport à x ne donne pas le taux de variation réel de f par rapport au changement de x, car le changement de x modifie nécessairement y. Cependant, la règle de la chaîne pour la dérivée totale prend en compte ces dépendances. Écrivons γ(x) = (x, y(x)). Alors, la règle de la chaîne stipule :

En exprimant la dérivée totale à l'aide de matrices Jacobiennes, cela devient :

En omettant l'évaluation à x₀ pour plus de clarté, on peut également écrire ceci comme :

Cela donne une formule simple pour la dérivée de f(x, y(x)) en termes des dérivées partielles de f et de la dérivée de y(x).

Par exemple, supposons que

Le taux de variation de f par rapport à x est généralement la dérivée partielle de f par rapport à x ; dans ce cas,

Cependant, si y dépend de x, la dérivée partielle ne donne pas le taux de variation réel de f lorsque x change, car la dérivée partielle suppose que y est fixe. Supposons que nous soyons contraints à la droite

Alors

et la dérivée totale de f par rapport à x est

que nous voyons n'être pas égal à la dérivée partielle ∂f/∂x. Au lieu de substituer immédiatement pour y en termes de x, nous pouvons également utiliser la règle de la chaîne comme indiqué ci-dessus :

### Query ###
Comment c'est que les règles qu'on applique déterminent complètement une dérivation ?

### Main Text ###
Derivations and syntax trees

Given such a strategy, a derivation is completely determined by the sequence of rules applied. For instance, one leftmost derivation of the same string is

### Supplementary Text ###
Voici la traduction du texte en français :

**Différentiation avec dépendances directes**

Supposons que f soit une fonction de deux variables, x et y. Si ces deux variables sont indépendantes, de sorte que le domaine de f est ℝ² , alors le comportement de f peut être compris en termes de ses dérivées partielles dans les directions x et y. Cependant, dans certaines situations, x et y peuvent être dépendants. Par exemple, il peut arriver que f soit contrainte à une courbe y = y(x). Dans ce cas, nous sommes en réalité intéressés par le comportement de la fonction composite f(x, y(x)). La dérivée partielle de f par rapport à x ne donne pas le taux de variation réel de f par rapport au changement de x, car le changement de x modifie nécessairement y. Cependant, la règle de la chaîne pour la dérivée totale prend en compte ces dépendances. Écrivons γ(x) = (x, y(x)). Alors, la règle de la chaîne stipule :

En exprimant la dérivée totale à l'aide de matrices Jacobiennes, cela devient :

En omettant l'évaluation à x₀ pour plus de clarté, on peut également écrire ceci comme :

Cela donne une formule simple pour la dérivée de f(x, y(x)) en termes des dérivées partielles de f et de la dérivée de y(x).

Par exemple, supposons que

Le taux de variation de f par rapport à x est généralement la dérivée partielle de f par rapport à x ; dans ce cas,

Cependant, si y dépend de x, la dérivée partielle ne donne pas le taux de variation réel de f lorsque x change, car la dérivée partielle suppose que y est fixe. Supposons que nous soyons contraints à la droite

Alors

et la dérivée totale de f par rapport à x est

que nous voyons n'être pas égal à la dérivée partielle ∂f/∂x. Au lieu de substituer immédiatement pour y en termes de x, nous pouvons également utiliser la règle de la chaîne comme indiqué ci-dessus :


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment c'est que les règles qu'on applique déterminent complètement une dérivation ?"

→ How do applied rules determine a derivation completely?

Key semantic: *déterminent complètement* = "determine completely"
Core question: Rules → Derivation? Or rules ← derivation?

? Translation ambiguity resolved: Standard formal language theory. Rules construct derivation trees.

### 2. Domain Contextualization

● Formal language theory (Chomsky, 1950s)
● Syntax-directed translation (Knuth, 1960s)  
● Compiler construction principles

CFG context: S → NP VP, NP → Det N, VP → V NP

Rules applied in sequence. Each application: non-terminal → terminal or non-terminal expansion.

### 3. Derivation Structure Analysis

```
Starting state: S
Available rules:
- S → NP VP
- NP → Det N  
- VP → V NP
- Det → the
- N → cat
- V → chases
```

**Rule sequence determines unique tree structure:**

1. S → NP VP (root)
2. NP → Det N (noun phrase expansion)  
3. Det → the (determiner)
4. N → cat (noun)
5. VP → V NP (verb phrase)
6. V → chases (verb)
7. NP → Det N (object)
8. Det → the (repeated)
9. N → dog (noun)

∴ Each rule application creates branching pattern.

### 4. Uniqueness Proof Sketch

**Why complete determination?**

Context-free grammars: rules applied bottom-up or top-down.
- Leftmost derivation: always leftmost non-terminal expanded first
- Rightmost derivation: always rightmost non-terminal first

**Pumping lemma prevents ambiguity:**
- If multiple derivation paths → same string
- CFG ensures structural differences preserved
- Rules encode structural relationships

### 5. Formal Verification

For grammar G, string w, derivation d:
- d = (r₁,...,rₖ) where each rᵢ is production rule
- Only valid if each rᵢ applicable in context
- Unique derivation means unique sequence of rule applications

**Key insight:** Rules capture syntactic structure. Each application transforms abstract syntax tree incrementally.

### 6. Practical Implications

● Compiler parsers use this principle
● Syntax highlighting tools track rule applications  
● Predictive parsing algorithms leverage derivation completeness

**Bottom line:** Rules are generative instructions. Sequence determines unique structural outcome. Like recipe → meal.

### 7. Synthesis

Applied rules → complete derivation through:
1. **Generative power**: Rules create structure
2. **Sequential determination**: Order matters for tree shape  
3. **Ambiguity prevention**: CFG ensures uniqueness
4. **Structural encoding**: Rules capture syntactic relationships

∴ Complete determination = generative + sequential + unambiguous

**Final answer structure:**
- Rules as generative instructions
- Sequential application creates unique tree
- CFG prevents multiple valid paths
- Each rule step preserves structural information
- Bottom-up/top-down approaches yield same result

● High confidence: Standard formal language theory, well-established principle.

### Answer###
Les règles appliquées déterminent complètement une dérivation car chaque application de règle transforme progressivement la structure abstraite en une séquence de symboles conforme à la grammaire.

Lors d'une dérivation, les règles sont généralement appliquées selon une stratégie précise (par exemple, la plus longue dérivation, la plus courte, ou une stratégie de réduction). Chaque étape de cette séquence transforme un non-terminal en un terminal ou en une autre séquence de non-terminaux selon la production correspondante.

La séquence d'applications de règles détermine ainsi de manière univoque le chemin de transformation depuis l'état initial (généralement le symbole de départ de la grammaire) jusqu'à la chaîne finale obtenue. Chaque application de règle modifie l'arbre syntaxique en respectant les contraintes structurelles de la grammaire.

Cette propriété de détermination complète est particulièrement importante en théorie formelle des langages et en compilation, où il est fondamental que chaque séquence de règles génère un seul arbre syntaxique valide correspondant à une seule structure grammaticale.