Comment ça se fait que le mot indécidable il veut dire deux choses différentes et pourquoi on dit que c'est pas pareil pour les mathématiques et l'informatique ?
Examples of undecidable statements

There are two distinct senses of the word "undecidable" in mathematics and computer science. The first of these is the proof-theoretic sense used in relation to Gödel's theorems, that of a statement being neither provable nor refutable in a specified deductive system. The second sense, which will not be discussed here, is used in relation to computability theory and applies not to statements but to decision problems, which are countably infinite sets of questions each requiring a yes or no answer. Such a problem is said to be undecidable if there is no computable function that correctly answers every question in the problem set (see undecidable problem).

Because of the two meanings of the word undecidable, the term independent is sometimes used instead of undecidable for the "neither provable nor refutable" sense.

Undecidability of a statement in a particular deductive system does not, in and of itself, address the question of whether the truth value of the statement is well-defined, or whether it can be determined by other means. Undecidability only implies that the particular deductive system being considered does not prove the truth or falsity of the statement. Whether there exist so-called "absolutely undecidable" statements, whose truth value can never be known or is ill-specified, is a controversial point in the philosophy of mathematics.

The combined work of Gödel and Paul Cohen has given two concrete examples of undecidable statements (in the first sense of the term): The continuum hypothesis can neither be proved nor refuted in ZFC (the standard axiomatization of set theory), and the axiom of choice can neither be proved nor refuted in ZF (which is all the ZFC axioms except the axiom of choice). These results do not require the incompleteness theorem. Gödel proved in 1940 that neither of these statements could be disproved in ZF or ZFC set theory. In the 1960s, Cohen proved that neither is provable from ZF, and the continuum hypothesis cannot be proved from ZFC.

Shelah (1974) showed that the Whitehead problem in group theory is undecidable, in the first sense of the term, in standard set theory.

Gregory Chaitin produced undecidable statements in algorithmic information theory and proved another incompleteness theorem in that setting. Chaitin's incompleteness theorem states that for any system that can represent enough arithmetic, there is an upper bound c such that no specific number can be proved in that system to have Kolmogorov complexity greater than c. While Gödel's theorem is related to the liar paradox, Chaitin's result is related to Berry's paradox.
Exemples d'énoncés indécidables

Il existe deux sens distincts du mot « indécidable » en mathématiques et en informatique. Le premier de ces sens est le sens théo-logique de la preuve, utilisé en relation avec les théorèmes de Gödel, qui désigne un énoncé qui n'est ni prouvable ni réfutable dans un système déductif spécifié. Le second sens, qui ne sera pas abordé ici, est utilisé en relation avec la théorie de la calculabilité et s'applique non pas aux énoncés, mais aux problèmes de décision, qui sont des ensembles infiniment dénombrables de questions nécessitant chacune une réponse par oui ou par non. Un tel problème est dit indécidable s'il n'existe aucune fonction calculable qui réponde correctement à chaque question de l'ensemble de problèmes (voir problème indécidable).

En raison des deux significations du mot indécidable, le terme « indépendant » est parfois utilisé à la place d'« indécidable » pour désigner le sens « ni prouvable ni réfutable ».

L'indécidabilité d'un énoncé dans un système déductif particulier ne traite pas, en soi, de la question de savoir si la valeur de vérité de l'énoncé est bien définie, ni si elle peut être déterminée par d'autres moyens. L'indécidabilité n'implique que le système déductif particulier considéré ne prouve ni la vérité ni la fausseté de l'énoncé. La question de savoir s'il existe des énoncés dites « absolument indécidables », dont la valeur de vérité ne peut jamais être connue ou est mal définie, est un point controversé en philosophie des mathématiques.

Le travail combiné de Gödel et de Paul Cohen a fourni deux exemples concrets d'énoncés indécidables (au premier sens du terme) : l'hypothèse du continuum ne peut ni être prouvée ni être réfutée dans ZFC (l'axiomatisation standard de la théorie des ensembles), et l'axiome du choix ne peut ni être prouvé ni être réfuté dans ZF (qui comprend tous les axiomes de ZFC à l'exception de l'axiome du choix). Ces résultats n'exigent pas le théorème d'incomplétude. Gödel a prouvé en 1940 qu'aucun de ces énoncés ne pouvait être réfuté dans la théorie des ensembles ZF ou ZFC. Dans les années 1960, Cohen a prouvé qu'aucun ne pouvait être prouvé à partir de ZF, et que l'hypothèse du continuum ne pouvait pas être prouvée à partir de ZFC.

Shelah (1974) a montré que le problème de Whitehead en théorie des groupes est indécidable, au premier sens du terme, dans la théorie des ensembles standard.

Gregory Chaitin a produit des énoncés indécidables en théorie algorithmique de l'information et a prouvé un autre théorème d'incomplétude dans ce contexte. Le théorème d'incomplétude de Chaitin stipule que pour tout système capable de représenter suffisamment d'arithmétique, il existe une borne supérieure c telle qu'aucun nombre spécifique ne peut être prouvé dans ce système pour avoir une complexité de Kolmogorov supérieure à c. Alors que le théorème de Gödel est lié au paradoxe du menteur, le résultat de Chaitin est lié au paradoxe de Berry.
### Query ###
Comment ça se fait que le mot indécidable il veut dire deux choses différentes et pourquoi on dit que c'est pas pareil pour les mathématiques et l'informatique ?

### Main Text ###
Examples of undecidable statements

There are two distinct senses of the word "undecidable" in mathematics and computer science. The first of these is the proof-theoretic sense used in relation to Gödel's theorems, that of a statement being neither provable nor refutable in a specified deductive system. The second sense, which will not be discussed here, is used in relation to computability theory and applies not to statements but to decision problems, which are countably infinite sets of questions each requiring a yes or no answer. Such a problem is said to be undecidable if there is no computable function that correctly answers every question in the problem set (see undecidable problem).

Because of the two meanings of the word undecidable, the term independent is sometimes used instead of undecidable for the "neither provable nor refutable" sense.

Undecidability of a statement in a particular deductive system does not, in and of itself, address the question of whether the truth value of the statement is well-defined, or whether it can be determined by other means. Undecidability only implies that the particular deductive system being considered does not prove the truth or falsity of the statement. Whether there exist so-called "absolutely undecidable" statements, whose truth value can never be known or is ill-specified, is a controversial point in the philosophy of mathematics.

The combined work of Gödel and Paul Cohen has given two concrete examples of undecidable statements (in the first sense of the term): The continuum hypothesis can neither be proved nor refuted in ZFC (the standard axiomatization of set theory), and the axiom of choice can neither be proved nor refuted in ZF (which is all the ZFC axioms except the axiom of choice). These results do not require the incompleteness theorem. Gödel proved in 1940 that neither of these statements could be disproved in ZF or ZFC set theory. In the 1960s, Cohen proved that neither is provable from ZF, and the continuum hypothesis cannot be proved from ZFC.

Shelah (1974) showed that the Whitehead problem in group theory is undecidable, in the first sense of the term, in standard set theory.

Gregory Chaitin produced undecidable statements in algorithmic information theory and proved another incompleteness theorem in that setting. Chaitin's incompleteness theorem states that for any system that can represent enough arithmetic, there is an upper bound c such that no specific number can be proved in that system to have Kolmogorov complexity greater than c. While Gödel's theorem is related to the liar paradox, Chaitin's result is related to Berry's paradox.

### Supplementary Text ###
Exemples d'énoncés indécidables

Il existe deux sens distincts du mot « indécidable » en mathématiques et en informatique. Le premier de ces sens est le sens théo-logique de la preuve, utilisé en relation avec les théorèmes de Gödel, qui désigne un énoncé qui n'est ni prouvable ni réfutable dans un système déductif spécifié. Le second sens, qui ne sera pas abordé ici, est utilisé en relation avec la théorie de la calculabilité et s'applique non pas aux énoncés, mais aux problèmes de décision, qui sont des ensembles infiniment dénombrables de questions nécessitant chacune une réponse par oui ou par non. Un tel problème est dit indécidable s'il n'existe aucune fonction calculable qui réponde correctement à chaque question de l'ensemble de problèmes (voir problème indécidable).

En raison des deux significations du mot indécidable, le terme « indépendant » est parfois utilisé à la place d'« indécidable » pour désigner le sens « ni prouvable ni réfutable ».

L'indécidabilité d'un énoncé dans un système déductif particulier ne traite pas, en soi, de la question de savoir si la valeur de vérité de l'énoncé est bien définie, ni si elle peut être déterminée par d'autres moyens. L'indécidabilité n'implique que le système déductif particulier considéré ne prouve ni la vérité ni la fausseté de l'énoncé. La question de savoir s'il existe des énoncés dites « absolument indécidables », dont la valeur de vérité ne peut jamais être connue ou est mal définie, est un point controversé en philosophie des mathématiques.

Le travail combiné de Gödel et de Paul Cohen a fourni deux exemples concrets d'énoncés indécidables (au premier sens du terme) : l'hypothèse du continuum ne peut ni être prouvée ni être réfutée dans ZFC (l'axiomatisation standard de la théorie des ensembles), et l'axiome du choix ne peut ni être prouvé ni être réfuté dans ZF (qui comprend tous les axiomes de ZFC à l'exception de l'axiome du choix). Ces résultats n'exigent pas le théorème d'incomplétude. Gödel a prouvé en 1940 qu'aucun de ces énoncés ne pouvait être réfuté dans la théorie des ensembles ZF ou ZFC. Dans les années 1960, Cohen a prouvé qu'aucun ne pouvait être prouvé à partir de ZF, et que l'hypothèse du continuum ne pouvait pas être prouvée à partir de ZFC.

Shelah (1974) a montré que le problème de Whitehead en théorie des groupes est indécidable, au premier sens du terme, dans la théorie des ensembles standard.

Gregory Chaitin a produit des énoncés indécidables en théorie algorithmique de l'information et a prouvé un autre théorème d'incomplétude dans ce contexte. Le théorème d'incomplétude de Chaitin stipule que pour tout système capable de représenter suffisamment d'arithmétique, il existe une borne supérieure c telle qu'aucun nombre spécifique ne peut être prouvé dans ce système pour avoir une complexité de Kolmogorov supérieure à c. Alors que le théorème de Gödel est lié au paradoxe du menteur, le résultat de Chaitin est lié au paradoxe de Berry.

### Draft ###

Query: "Comment ça se fait que le mot indécidable il veut dire deux choses différentes..."

Translation check: ● "indécidable" = undecidable. ● "deux choses différentes" = two different things. But what exactly?

Key confusion identified: User thinks "indécidable" has multiple meanings. Actually...

**Core issue**: "Indécidable" has precise technical meanings in different fields. Not ambiguity - specialization.

Mathematical sense: Incompleteness theory (Gödel). Statement S neither provable nor refutable from given axioms. ∴ Proof-theoretic undecidability.

Computer science sense: Decision problems. Function f(x) = {yes,no} for infinite input set. No computable algorithm exists for correct answers. ∴ Computational undecidability.

**Why different meanings?**

→ Mathematical logic developed first (1931). "Undecidable" emerged from Gödel's work on formal systems.

→ Computer science borrowed term later. Found natural extension: algorithmic unsolvability maps cleanly to "undecidable" from proof theory perspective.

**Why not same meaning?**

! Different domains, different questions.
- Math asks: "Can we prove/disprove?" 
- CS asks: "Can we compute?"

These questions have different answer spaces:
- Mathematical truth is absolute
- Algorithmic behavior depends on computational resources

**Concrete examples**:
- Continuum hypothesis in set theory: proof-theoretically undecidable (Cohen, 1960s)
- Halting problem: computationally undecidable (Turing, 1930s)

Same term, different technical contexts. Not confusion - convergence of concepts across domains.

**Physical constraint check**: ✓ Makes sense - mathematical objects have both logical properties (provability) and computational properties (algorithm complexity).

**Answer structure**:
1. Clarify user's confusion
2. Define both meanings precisely  
3. Explain why different meanings exist
4. Give concrete examples

※ Key insight: User likely confused by terminology overlap. Actually reflects deep connections between mathematical logic and computability theory.

### Answer###
Le mot "indécidable" a effectivement deux significations distinctes selon le domaine considéré. En mathématiques et en informatique théorique, ce terme peut désigner deux concepts fondamentalement différents.

Dans le contexte de la théorie de la démonstration, un énoncé est qualifié d'indécidable lorsqu'il ne peut ni être prouvé ni être réfuté au sein d'un système déductif donné. C'est le sens utilisé pour les théorèmes de Gödel - un énoncé est indécidable s'il échappe à toute démonstration possible dans ce système formel.

En informatique théorique, l'indécidabilité désigne plutôt les problèmes de décision : des ensembles de questions qui nécessitent une réponse oui/non pour chaque élément, mais pour lesquels il n'existe aucune fonction calculable capable de répondre correctement à toutes les questions du problème.

Cette différence s'explique par le fait que les mathématiques et l'informatique abordent la notion d'"indécidable" sous des angles complémentaires. Les mathématiciens se concentrent sur la possibilité de démonstration formelle, tandis que les informaticiens étudient les limites des algorithmes et des calculs effectifs.

L'indécidabilité d'un énoncé dans un système déductif ne dit rien de sa valeur de vérité intrinsèque ou de sa déterminabilité par d'autres moyens. Elle n'implique simplement que le système déductif particulier ne peut établir ni sa vérité ni sa fausseté.