Pourquoi ça marche pas pareil si on change l'ordre des variables dans les calculs, c'est quoi qui fait que le résultat change ?
Properties

With more than two variables being related to each other, the value of the coefficient of multiple correlation depends on the choice of dependent variable: a regression of y {\displaystyle y} on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} will in general have a different R {\displaystyle R} than will a regression of z {\displaystyle z} on x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. For example, suppose that in a particular sample the variable z {\displaystyle z} is uncorrelated with both x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}, while x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are linearly related to each other. Then a regression of z {\displaystyle z} on y {\displaystyle y} and x {\displaystyle x} will yield an R {\displaystyle R} of zero, while a regression of y {\displaystyle y} on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} will yield a strictly positive R {\displaystyle R}. This follows since the correlation of y {\displaystyle y} with its best predictor based on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} is in all cases at least as large as the correlation of y {\displaystyle y} with its best predictor based on x {\displaystyle x} alone, and in this case with z {\displaystyle z} providing no explanatory power it will be exactly as large.
Propriétés

Si une fonction f peut être exprimée comme une somme finie d'autres fonctions, alors la fonction à croissance la plus rapide détermine l'ordre de f(n). Par exemple,

En particulier, si une fonction peut être limitée par un polynôme en n, alors lorsque n tend vers l'infini, on peut négliger les termes d'ordre inférieur du polynôme. Les ensembles O(n) et O(c) sont très différents. Si c est supérieur à un, alors le second croît beaucoup plus rapidement. Une fonction qui croît plus rapidement que n pour tout c est appelée superpolynomiale. Celle qui croît plus lentement que toute fonction exponentielle de la forme c^n est appelée sous-exponentielle. Un algorithme peut nécessiter un temps qui est à la fois superpolynomial et sous-exponentiel ; des exemples en sont les algorithmes les plus rapides connus pour la factorisation d'entiers et la fonction n.

On peut ignorer toutes les puissances de n à l'intérieur des logarithmes. L'ensemble O(log n) est exactement le même que O(log(n)). Les logarithmes ne diffèrent que par un facteur constant (puisque log(n) = c log n) et la notation grand O ignore donc cela. De même, les logarithmes avec différentes bases constantes sont équivalents. En revanche, les exponentielles avec différentes bases ne sont pas du même ordre. Par exemple, 2 et 3 ne sont pas du même ordre.

Le changement d'unités peut ou non affecter l'ordre de l'algorithme résultant. Changer d'unités équivaut à multiplier la variable appropriée par une constante partout où elle apparaît. Par exemple, si un algorithme s'exécute dans l'ordre de n, remplacer n par cn signifie que l'algorithme s'exécute dans l'ordre de c n, et la notation grand O ignore la constante c. Ceci peut s'écrire c n = O(n). Cependant, si un algorithme s'exécute dans l'ordre de 2, remplacer n par cn donne 2 = O(2). Ce n'est pas équivalent à 2 en général. Le changement de variables peut également affecter l'ordre de l'algorithme résultant. Par exemple, si le temps d'exécution d'un algorithme est O(n) lorsqu'il est mesuré en termes du nombre n de chiffres d'un nombre d'entrée x, alors son temps d'exécution est O(log x) lorsqu'il est mesuré en fonction du nombre d'entrée x lui-même, car n = O(log x).
### Query ###
Pourquoi ça marche pas pareil si on change l'ordre des variables dans les calculs, c'est quoi qui fait que le résultat change ?

### Main Text ###
Properties

With more than two variables being related to each other, the value of the coefficient of multiple correlation depends on the choice of dependent variable: a regression of y {\displaystyle y} on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} will in general have a different R {\displaystyle R} than will a regression of z {\displaystyle z} on x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}. For example, suppose that in a particular sample the variable z {\displaystyle z} is uncorrelated with both x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y}, while x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} are linearly related to each other. Then a regression of z {\displaystyle z} on y {\displaystyle y} and x {\displaystyle x} will yield an R {\displaystyle R} of zero, while a regression of y {\displaystyle y} on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} will yield a strictly positive R {\displaystyle R}. This follows since the correlation of y {\displaystyle y} with its best predictor based on x {\displaystyle x} and z {\displaystyle z} is in all cases at least as large as the correlation of y {\displaystyle y} with its best predictor based on x {\displaystyle x} alone, and in this case with z {\displaystyle z} providing no explanatory power it will be exactly as large.

### Supplementary Text ###
Propriétés

Si une fonction f peut être exprimée comme une somme finie d'autres fonctions, alors la fonction à croissance la plus rapide détermine l'ordre de f(n). Par exemple,

En particulier, si une fonction peut être limitée par un polynôme en n, alors lorsque n tend vers l'infini, on peut négliger les termes d'ordre inférieur du polynôme. Les ensembles O(n) et O(c) sont très différents. Si c est supérieur à un, alors le second croît beaucoup plus rapidement. Une fonction qui croît plus rapidement que n pour tout c est appelée superpolynomiale. Celle qui croît plus lentement que toute fonction exponentielle de la forme c^n est appelée sous-exponentielle. Un algorithme peut nécessiter un temps qui est à la fois superpolynomial et sous-exponentiel ; des exemples en sont les algorithmes les plus rapides connus pour la factorisation d'entiers et la fonction n.

On peut ignorer toutes les puissances de n à l'intérieur des logarithmes. L'ensemble O(log n) est exactement le même que O(log(n)). Les logarithmes ne diffèrent que par un facteur constant (puisque log(n) = c log n) et la notation grand O ignore donc cela. De même, les logarithmes avec différentes bases constantes sont équivalents. En revanche, les exponentielles avec différentes bases ne sont pas du même ordre. Par exemple, 2 et 3 ne sont pas du même ordre.

Le changement d'unités peut ou non affecter l'ordre de l'algorithme résultant. Changer d'unités équivaut à multiplier la variable appropriée par une constante partout où elle apparaît. Par exemple, si un algorithme s'exécute dans l'ordre de n, remplacer n par cn signifie que l'algorithme s'exécute dans l'ordre de c n, et la notation grand O ignore la constante c. Ceci peut s'écrire c n = O(n). Cependant, si un algorithme s'exécute dans l'ordre de 2, remplacer n par cn donne 2 = O(2). Ce n'est pas équivalent à 2 en général. Le changement de variables peut également affecter l'ordre de l'algorithme résultant. Par exemple, si le temps d'exécution d'un algorithme est O(n) lorsqu'il est mesuré en termes du nombre n de chiffres d'un nombre d'entrée x, alors son temps d'exécution est O(log x) lorsqu'il est mesuré en fonction du nombre d'entrée x lui-même, car n = O(log x).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi ça marche pas pareil si on change l'ordre des variables dans les calculs"
→ Why does it not work the same way if we change the order of variables in calculations

"c'est quoi qui fait que le résultat change ?"
→ What makes the result change?

User asking about **order sensitivity**. Likely regression/correlation context. French "marche pas pareil" = "doesn't work the same way".

### 2. Problem Identification

Two scenarios:
- Regression(y,x,z) vs Regression(z,x,y)  
- Order matters for correlation coefficients

Key insight: **Covariance calculations** are order-dependent.

### 3. Mathematical Core

Let's expand:

**Case 1**: y = β₀ + β₁x + β₂z + ε
**Case 2**: z = γ₀ + γ₁x + γ₂y + ν

Swapping dependent/independent variables changes:
- Coefficients (β₁ vs γ₂)  
- Interpretations (direct vs indirect effects)
- Standard errors
- Significance tests

### 4. Counter-intuitive Example

Consider:
- Cor(x,y) = 0.7  
- Cor(x,z) = 0.3  
- Cor(y,z) = -0.4

Regression(y,x,z):
- R² ≈ 0.61 (x explains 61% of y variance)
- z has small negative effect

Regression(z,x,y):  
- R² ≈ 0.59 (x explains 59% of z variance)  
- y has negative effect on z

Same three variables. **Different R² values**. Why?

### 5. Linear Algebra Perspective

In matrix form:
```
y = Xβ + ε
```

Where X = [1, x₁, x₂]. Switching dependent variable:
```
z = Xγ + ν  
```

→ Different β and γ even when X unchanged
→ **Parameter estimation is order-dependent**

### 6. Geometric Intuition

**Multivariate space**: Each variable lives in n-dimensional space
- Regression finds optimal hyperplane
- Order affects which variables are "primary" vs "secondary"
- ∴ Different hyperplanes = different R² values

### 7. Why This Matters

**Statistical interpretation**: 
- Order matters for causal inference
- Regression coefficients change sign/magnitude
- Predictive accuracy varies

**Practical implications**:
- Model selection becomes crucial
- Variable ordering affects conclusions  
- Cross-validation necessary

### 8. Key Insight

! The **linear relationship** between variables is preserved under any reordering, but the **interpretation** and **measurement** of those relationships change fundamentally.

**Mathematical essence**: Covariance calculations are **bilinear forms** - order matters for their values even though underlying linear structure remains.

### 9. Verification

User's question targets this exact phenomenon. French "calculs" = calculations. "Variables" = variables. "Résultat change" = result changes.

**Core answer**: 
- Swapping variables in regression ≠ same result
- R² values differ even with same variables  
- Mathematical structure preserved, interpretation ≠

**Mechanism**: Parameter estimation process is order-sensitive. Linear algebra + covariance calculations create this asymmetry.

### Answer###
Le changement d'ordre des variables dans les calculs mathématiques peut effectivement modifier les résultats obtenus, et ceci s'explique par la structure même des relations statistiques.

Lorsqu'on effectue des régressions avec plusieurs variables, le coefficient de corrélation multiple dépend fortement du choix de la variable dépendante. Par exemple, si on fait une régression de y sur x et z, on obtiendra un R différent de celui qu'on obtiendra en faisant une régression de z sur x et y.

Cette différence s'observe même dans des situations particulières où une variable est complètement indépendante des autres. Si z est décorrélé de x et de y, mais que x et y sont linéairement corrélés entre eux, alors la régression de z sur y et x donnera un R nul, tandis que la régression de y sur x et z donnera un R strictement positif.

Le phénomène s'explique par le fait que la corrélation de y avec son meilleur prédicteur basé sur x et z est toujours supérieure ou égale à la corrélation de y avec son meilleur prédicteur basé uniquement sur x. Quand z ne fournit aucun pouvoir explicatif supplémentaire, cette inégalité devient une égalité.

En résumé, l'ordre des variables dans les calculs modifie la manière dont les relations statistiques sont interprétées et mesurées, même quand les données sous-jacentes restent les mêmes.