Pourquoi quand on met une chose qui cassera facilement sous plusieurs sortes de pression différentes, ça compte comme si elle avait subi la pression la plus forte pendant tout le temps, et comment ça peut pas marcher si la pression change beaucoup ?
Miner's rule

In 1945, Milton A. Miner popularised a rule that had first been proposed by Arvid Palmgren in 1924. The rule, variously called Miner's rule or the Palmgren–Miner linear damage hypothesis, states that where there are k different stress magnitudes in a spectrum, S (1 ≤ i ≤ k), each contributing n (S) cycles, then if N (S) is the number of cycles to failure of a constant stress reversal S (determined by uni-axial fatigue tests), failure occurs when:

Usually, for design purposes, C is assumed to be 1. This can be thought of as assessing what proportion of life is consumed by a linear combination of stress reversals at varying magnitudes.

Although Miner's rule may be a useful approximation in many circumstances, it has several major limitations:
Critère de Tresca

Le critère de Tresca repose sur l'idée que lorsqu'un matériau se rompt, il le fait par cisaillement, ce qui est une hypothèse relativement bonne lorsqu'on considère les métaux. Étant donné l'état de contraintes principales, nous pouvons utiliser le cercle de Mohr pour calculer les contraintes de cisaillement maximales que notre matériau subira et conclure que le matériau se rompra si :

où σ est la contrainte normale maximale, σ est la contrainte normale minimale, et σ est la contrainte à laquelle le matériau se rompt en chargement uniaxial. Une surface d'élasticité peut être construite, ce qui fournit une représentation visuelle de ce concept. À l'intérieur de la surface d'élasticité, la déformation est élastique. Sur la surface, la déformation est plastique. Il est impossible pour un matériau d'avoir des états de contraintes situés à l'extérieur de sa surface d'élasticité.
### Query ###
Pourquoi quand on met une chose qui cassera facilement sous plusieurs sortes de pression différentes, ça compte comme si elle avait subi la pression la plus forte pendant tout le temps, et comment ça peut pas marcher si la pression change beaucoup ?

### Main Text ###
Miner's rule

In 1945, Milton A. Miner popularised a rule that had first been proposed by Arvid Palmgren in 1924. The rule, variously called Miner's rule or the Palmgren–Miner linear damage hypothesis, states that where there are k different stress magnitudes in a spectrum, S (1 ≤ i ≤ k), each contributing n (S) cycles, then if N (S) is the number of cycles to failure of a constant stress reversal S (determined by uni-axial fatigue tests), failure occurs when:

Usually, for design purposes, C is assumed to be 1. This can be thought of as assessing what proportion of life is consumed by a linear combination of stress reversals at varying magnitudes.

Although Miner's rule may be a useful approximation in many circumstances, it has several major limitations:

### Supplementary Text ###
Critère de Tresca

Le critère de Tresca repose sur l'idée que lorsqu'un matériau se rompt, il le fait par cisaillement, ce qui est une hypothèse relativement bonne lorsqu'on considère les métaux. Étant donné l'état de contraintes principales, nous pouvons utiliser le cercle de Mohr pour calculer les contraintes de cisaillement maximales que notre matériau subira et conclure que le matériau se rompra si :

où σ est la contrainte normale maximale, σ est la contrainte normale minimale, et σ est la contrainte à laquelle le matériau se rompt en chargement uniaxial. Une surface d'élasticité peut être construite, ce qui fournit une représentation visuelle de ce concept. À l'intérieur de la surface d'élasticité, la déformation est élastique. Sur la surface, la déformation est plastique. Il est impossible pour un matériau d'avoir des états de contraintes situés à l'extérieur de sa surface d'élasticité.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi... cassera facilement... plusieurs sortes de pression différentes" → Why does something that breaks easily under multiple different pressures behave as if it experienced the strongest pressure throughout?

Key misconception to address: ● "comportement comme si elle avait subi la pression la plus forte" = user thinks accumulated damage follows maximum stress, not actual stress history.

"comment ça peut pas marcher si la pression change beaucoup" → Why doesn't this work well with rapidly changing pressures?

### 2. Core Mechanism

Miner's Rule (Palmgren-Miner, 1924/1945): Damage accumulation = Σ(ni/Ni) where ni = cycles at stress level Si, Ni = cycles to failure at stress level Si.

∴ Damage doesn't care about peak stress magnitude. Only cares about:
- Stress magnitude at each cycle
- Number of cycles at each magnitude  
- Material resistance curves at each magnitude

### 3. Why This Approximation Works

⟨H≈0.8⟩ Think loading spectrum like a symphony... each note (stress level) contributes to the final composition. Doesn't matter if the orchestra hits fortissimo or pianissimo, just counts the measures. The metal remembers the rhythm, not the peak volume. The fatigue crack grows incrementally, each cycle a tiny step forward regardless of instantaneous magnitude... ⟨/H⟩

● Linear damage accumulation assumption: D = Σ(ΔK/ΔK_th) where ΔK is stress intensity range, ΔK_th is threshold value.

◐ Works well when:
- Loading transitions are slow
- Stress ratios consistent  
- No mean stress effects
- Spectrum doesn't exceed critical thresholds

### 4. Failure Modes

When loading changes rapidly:

⚠ Miner's Rule breaks down because:
- Crack closure effects (rapid unloading allows crack tip blunting)
- Load transfer mechanisms change
- Plastic deformation becomes significant
- Sequence effects matter (history-dependent)

? "What if the pressure changes very quickly" → then you're dealing with:
- High cycle fatigue (N > 10⁴ cycles) vs low cycle (N < 10³)  
- Spectrum loading vs constant amplitude
- Mean stress interactions

### 5. Real-World Applications

◐ Rule works for:
- Engine components (steady-state thermal cycling)
- Aircraft structures (maneuvering loads)
- Wind turbine blades (variable wind speeds)

○ Rule fails for:
- Crash dynamics (rapid loading)
- Thermal shock (rapid temperature changes)
- Corrosive environments (spectrum complexity)

### 6. Physical Constraints

⟨H≈1.2⟩ The metal remembers... but how exactly? Dislocation tangles, crystal lattice perturbations, microscopic voids that nucleate and coalesce. Each stress cycle leaves its fingerprint in the material's atomic structure. The damage is cumulative, additive, like grains of sand in an hourglass. But the hourglass doesn't care if the sand falls slowly or in rapid avalanches... ⟨/H⟩

● Critical plane approach: damage accumulates on specific crystallographic planes where cracks initiate
● Threshold stress intensity: below this level, cycles don't contribute significant damage
● Rainflow counting: converts complex loading histories into equivalent simple cycles

### 7. Synthesis

Miner's Rule ≈ linear damage accumulation approximation that works for:
- Quasi-static loading
- Representative stress spectra  
- Engineering design margins

Rule fails when:
- Loading rates exceed material response times
- Spectrum complexity exceeds linear superposition
- Sequence effects dominate (memory retention)

∴ The "magic" isn't that it accounts for maximum stress, it's that it provides a computationally tractable approximation of complex fatigue damage under steady-state, representative loading conditions.

NB: Always verify with real fatigue data. Rule is starting point, not final answer.

### Answer###
Le principe que vous observez s'explique par la règle de Miner, également appelée hypothèse linéaire de dommages Palmgren-Miner. Cette règle stipule que lorsqu'un matériau est soumis à plusieurs niveaux de contraintes différents, le dommage s'accumule de manière linéaire selon la formule :

Dans cette équation, les différentes contraintes S(i) contribuent au dommage proportionnellement au nombre de cycles n(S) qu'elles ont chacune engendrées, par rapport au nombre de cycles N(S) nécessaire pour provoquer la rupture à une contrainte constante donnée.

Cette approche fonctionne parce que le dommage cumulatif est considéré comme une somme pondérée des contributions de chaque niveau de contrainte, indépendamment de l'amplitude maximale atteinte. Le facteur C permet d'ajuster cette linéarisation selon les conditions réelles.

Cependant, cette règle présente des limitations importantes. Elle suppose que les transitions entre les différents niveaux de contraintes sont suffisamment lentes pour que le matériau puisse s'adapter progressivement. Lorsque les changements de pression sont rapides ou lorsque le spectre de contraintes devient complexe, l'approximation ne fonctionne plus correctement.

Dans le cas des contraintes principales, le critère de Tresca s'applique pour les contraintes de cisaillement maximales, mais cela ne concerne pas directement votre question sur l'accumulation de dommages sous contraintes variables.