Dans quelles conditions de distance la calibration de phase des sondes p-u peut-être considérée comme négligeable par rapport aux erreurs d'étalonnage ?
Measurement

where I ^ n p − u {\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u}} is the biased estimate obtained using a p-u probe, P {\displaystyle P} and V n {\displaystyle V_{n}} are the Fourier transform of sound pressure and particle velocity, J n {\displaystyle J_{n}} is the reactive intensity and φ ue {\displaystyle \varphi _{\text{ue}}} is the p-u phase mismatch introduced by calibration errors. Therefore, the phase calibration is critical when measurements are carried out under near field conditions, but not so relevant if the measurements are performed out in the far field. The “reactivity” (the ratio of the reactive to the active intensity) indicates whether this source of error is of concern or not. Compared to pressure-based probes, p-u intensity probes are unaffected by the pressure-to-intensity index, enabling the estimation of propagating acoustic energy in unfavorable testing environments provided that the distance to the sound source is sufficient.
Mesure

où ${\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u}}$ est l'estimation biaisée obtenue avec une sonde p-u, P {\displaystyle P} et V n {\displaystyle V_{n}} sont la transformée de Fourier de la pression acoustique et de la vitesse particulaire, J n {\displaystyle J_{n}} est l'intensité réactive et φ ue {\displaystyle \varphi _{\text{ue}}} est le déphasage p-u introduit par les erreurs d'étalonnage. Par conséquent, l'étalonnage de phase est crucial lorsque les mesures sont effectuées dans des conditions de champ proche, mais moins pertinent si les mesures sont réalisées en champ lointain. La « réactivité » (le rapport de l'intensité réactive à l'intensité active) indique si cette source d'erreur est préoccupante ou non. Comparées aux sondes basées sur la pression, les sondes d'intensité p-u ne sont pas affectées par l'indice pression-intensité, ce qui permet d'estimer l'énergie acoustique propagante dans des environnements de test défavorables à condition que la distance à la source sonore soit suffisante.
### Query ###
Dans quelles conditions de distance la calibration de phase des sondes p-u peut-être considérée comme négligeable par rapport aux erreurs d'étalonnage ?

### Main Text ###
Measurement

where I ^ n p − u {\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u}} is the biased estimate obtained using a p-u probe, P {\displaystyle P} and V n {\displaystyle V_{n}} are the Fourier transform of sound pressure and particle velocity, J n {\displaystyle J_{n}} is the reactive intensity and φ ue {\displaystyle \varphi _{\text{ue}}} is the p-u phase mismatch introduced by calibration errors. Therefore, the phase calibration is critical when measurements are carried out under near field conditions, but not so relevant if the measurements are performed out in the far field. The “reactivity” (the ratio of the reactive to the active intensity) indicates whether this source of error is of concern or not. Compared to pressure-based probes, p-u intensity probes are unaffected by the pressure-to-intensity index, enabling the estimation of propagating acoustic energy in unfavorable testing environments provided that the distance to the sound source is sufficient.

### Supplementary Text ###
Mesure

où ${\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u}}$ est l'estimation biaisée obtenue avec une sonde p-u, P {\displaystyle P} et V n {\displaystyle V_{n}} sont la transformée de Fourier de la pression acoustique et de la vitesse particulaire, J n {\displaystyle J_{n}} est l'intensité réactive et φ ue {\displaystyle \varphi _{\text{ue}}} est le déphasage p-u introduit par les erreurs d'étalonnage. Par conséquent, l'étalonnage de phase est crucial lorsque les mesures sont effectuées dans des conditions de champ proche, mais moins pertinent si les mesures sont réalisées en champ lointain. La « réactivité » (le rapport de l'intensité réactive à l'intensité active) indique si cette source d'erreur est préoccupante ou non. Comparées aux sondes basées sur la pression, les sondes d'intensité p-u ne sont pas affectées par l'indice pression-intensité, ce qui permet d'estimer l'énergie acoustique propagante dans des environnements de test défavorables à condition que la distance à la source sonore soit suffisante.

### Draft ###

Query parsing: "calibration de phase des sondes p-u" → p-u probe phase calibration. "conditions de distance" → distance conditions. "négligeable par rapport aux erreurs d'étalonnage" → negligible vs calibration errors.

? Translation issue: "p-u" typically means pressure-velocity acoustic intensity probes, but "étalonnage" suggests optical/metrological calibration context? 

Most likely: acoustic intensity measurement setup. Context clues → near-field/far-field distinction critical.

### Technical Domain Mapping

Acoustic measurement standards. ISO/IEC guidelines. ◐ Probe calibration procedures. 

Key physics: p-u intensity = P(ω)·V(ω)·cos(φ), where φ=phase_difference.

If φ_calib ≪ φ_actual → calibration error dominates
If φ_calib >> φ_actual → measurement becomes meaningless

### Distance-Dependent Analysis

Near-field conditions:
- λ/4 < r < 2λ  
- Pressure-velocity phase φ ≈ 90° (±45°)
- Any phase error significant → φ_err/φ_total ≈ large fraction

Far-field conditions:  
- r >> 2λ
- Pressure-velocity phase φ ≈ 0° or 180°
- Same error: φ_err/φ_total ≈ small fraction

∴ Distance has inverse proportionality to error significance.

### Physical Constraints Check

Sound wavelength λ = c/f where c≈343 m/s at room temp
Typical audio: f ≈ 100-10000 Hz → λ ≈ 34-3.4 mm
Near-field boundary ≈ 8.5mm-20cm for typical speakers

? Verification: Is this why handheld p-u probes work well at distance? ✓

### Error Propagation Mathematics

Intensity error = (∂I/∂φ)·(∂φ/∂t)·Δt
Near-field: |∂I/∂φ| ≈ maximum
Far-field: |∂I/∂φ| ≈ minimum

→ Error scales inversely with distance in this approximation.

### Practical Thresholds

⟨H≈0.8⟩ 
*Memory retrieval: microphone calibration tolerances typically ±2-3° phase. Pressure calibration standards. Bruel&Kjaer specifications. But what about p-u specific tolerances?*

◐ Standard uncertainty budgets for acoustic intensity measurements: phase uncertainties typically 5-10° total.

If intrinsic phase uncertainty = 5°
Near-field relevance: significant (5°/90° ≈ 5.6% error)
Far-field relevance: negligible (5°/0° → undefined, but practically <0.1%)

### Synthesis

**Core answer**: Phase calibration negligible when r >> 2λ.

**Rationale**: Far-field conditions → pressure-velocity phase approaches zero → same calibration error produces smaller relative uncertainty. Near-field → high phase gradients → calibration error becomes dominant.

**Physical boundary**: Transition typically r ≈ λ/2 to r ≈ 2λ, depending on frequency content and measurement geometry.

**Practical threshold**: When distance exceeds ~4-8 times wavelength, phase calibration becomes secondary error source.

● High confidence on physics
◐ Incomplete on specific tolerance values - would need manufacturer specs
○ Caveat: approximation breaks down for complex source geometries

### Answer###
La calibration de phase des sondes p-u peut être considérée comme négligeable par rapport aux erreurs d'étalonnage dans les conditions de champ lointain. 

En effet, l'erreur de phase p-u introduite par les imperfections d'étalonnage devient moins significative lorsque les mesures sont effectuées loin de la source sonore. Contrairement aux conditions de champ proche où cette erreur de phase est critique, les mesures en champ lointain rendent cette composante d'erreur moins pertinente.

La distance joue donc un rôle fondamental : plus la mesure est réalisée loin de la source acoustique, plus l'impact des erreurs de calibration de phase sur la précision finale diminue. Cette situation est particulièrement favorable pour l'estimation de l'énergie acoustique propagante, même dans des environnements de test défavorables.

Le principe repose sur le fait que dans le champ lointain, la relation entre pression acoustique et vitesse particulaire se simplifie, réduisant ainsi l'influence des déphasages introduits par les imperfections de calibration.