si on peut pas calculer tous les nombres avec une machine
Other properties

The computable real numbers do not share all the properties of the real numbers used in analysis. For example, the least upper bound of a bounded increasing computable sequence of computable real numbers need not be a computable real number. A sequence with this property is known as a Specker sequence, as the first construction is due to Ernst Specker in 1949. Despite the existence of counterexamples such as these, parts of calculus and real analysis can be developed in the field of computable numbers, leading to the study of computable analysis.

Every computable number is arithmetically definable, but not vice versa. There are many arithmetically definable, noncomputable real numbers, including:

Both of these examples in fact define an infinite set of definable, uncomputable numbers, one for each Universal Turing machine.A real number is computable if and only if the set of natural numbers it represents (when written in binary and viewed as a characteristic function) is computable.

The set of computable real numbers (as well as every countable, densely ordered subset of computable reals without ends) is order-isomorphic to the set of rational numbers.
Non-calculabilité de l'ordre

La relation d'ordre sur les nombres calculables n'est pas calculable. Soit A la description d'une machine de Turing qui approxime le nombre a {\displaystyle a}. Alors il n'existe pas de machine de Turing qui, en entrée A, produise "OUI" si a > 0 {\displaystyle a>0} et "NON" si a ≤ 0. {\displaystyle a\leq 0.} Pour comprendre pourquoi, supposons que la machine décrite par A continue à produire 0 comme approximations ϵ {\displaystyle \epsilon }. Il n'est pas clair combien de temps attendre avant de décider que la machine ne produira jamais une approximation qui force a à être positif. Ainsi, la machine devra éventuellement deviner que le nombre sera égal à 0, afin de produire une sortie ; la séquence pourrait plus tard devenir différente de 0. Cette idée peut être utilisée pour montrer que la machine est incorrecte sur certaines séquences si elle calcule une fonction totale. Un problème similaire se pose lorsque les réels calculables sont représentés comme des découpages de Dedekind. Il en va de même pour la relation d'égalité : le test d'égalité n'est pas calculable.

Bien que la relation d'ordre complète ne soit pas calculable, sa restriction aux paires de nombres inégaux l'est. C'est-à-dire, il existe un programme qui prend en entrée deux machines de Turing A et B approximant les nombres a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b}, où a ≠ b {\displaystyle a\neq b}, et qui produit une sortie indiquant si a < b {\displaystyle a<b} ou a > b. {\displaystyle a>b.} Il suffit d'utiliser des approximations ϵ {\displaystyle \epsilon } où ϵ < | b − a | / 2, {\displaystyle \epsilon <|b-a|/2,} et en prenant des valeurs de plus en plus petites pour ϵ {\displaystyle \epsilon } (tendant vers 0), on peut éventuellement décider si a < b {\displaystyle a<b} ou a > b. {\displaystyle a>b.}
### Query ###
si on peut pas calculer tous les nombres avec une machine

### Main Text ###
Other properties

The computable real numbers do not share all the properties of the real numbers used in analysis. For example, the least upper bound of a bounded increasing computable sequence of computable real numbers need not be a computable real number. A sequence with this property is known as a Specker sequence, as the first construction is due to Ernst Specker in 1949. Despite the existence of counterexamples such as these, parts of calculus and real analysis can be developed in the field of computable numbers, leading to the study of computable analysis.

Every computable number is arithmetically definable, but not vice versa. There are many arithmetically definable, noncomputable real numbers, including:

Both of these examples in fact define an infinite set of definable, uncomputable numbers, one for each Universal Turing machine.A real number is computable if and only if the set of natural numbers it represents (when written in binary and viewed as a characteristic function) is computable.

The set of computable real numbers (as well as every countable, densely ordered subset of computable reals without ends) is order-isomorphic to the set of rational numbers.

### Supplementary Text ###
Non-calculabilité de l'ordre

La relation d'ordre sur les nombres calculables n'est pas calculable. Soit A la description d'une machine de Turing qui approxime le nombre a {\displaystyle a}. Alors il n'existe pas de machine de Turing qui, en entrée A, produise "OUI" si a > 0 {\displaystyle a>0} et "NON" si a ≤ 0. {\displaystyle a\leq 0.} Pour comprendre pourquoi, supposons que la machine décrite par A continue à produire 0 comme approximations ϵ {\displaystyle \epsilon }. Il n'est pas clair combien de temps attendre avant de décider que la machine ne produira jamais une approximation qui force a à être positif. Ainsi, la machine devra éventuellement deviner que le nombre sera égal à 0, afin de produire une sortie ; la séquence pourrait plus tard devenir différente de 0. Cette idée peut être utilisée pour montrer que la machine est incorrecte sur certaines séquences si elle calcule une fonction totale. Un problème similaire se pose lorsque les réels calculables sont représentés comme des découpages de Dedekind. Il en va de même pour la relation d'égalité : le test d'égalité n'est pas calculable.

Bien que la relation d'ordre complète ne soit pas calculable, sa restriction aux paires de nombres inégaux l'est. C'est-à-dire, il existe un programme qui prend en entrée deux machines de Turing A et B approximant les nombres a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b}, où a ≠ b {\displaystyle a\neq b}, et qui produit une sortie indiquant si a < b {\displaystyle a<b} ou a > b. {\displaystyle a>b.} Il suffit d'utiliser des approximations ϵ {\displaystyle \epsilon } où ϵ < | b − a | / 2, {\displaystyle \epsilon <|b-a|/2,} et en prenant des valeurs de plus en plus petites pour ϵ {\displaystyle \epsilon } (tendant vers 0), on peut éventuellement décider si a < b {\displaystyle a<b} ou a > b. {\displaystyle a>b.}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"si on peut pas calculer tous les nombres avec une machine"

→ "can't all numbers be calculated with a machine"

Semantic ambiguity: "calculer" = compute? enumerate? represent exactly?

● High confidence: computational limits exist
◐ Incomplete: need precise mathematical framing

### 2. Mathematical Foundation

**Computable numbers**: those with algorithm generating digits
**All real numbers**: continuum, uncountable

Key insight: countable ⋂ continuum = ∅

∴ Most reals are uncomputable by definition

### 3. Turing Machine Formalism

TM can compute only recursive/computable functions.

Real numbers require infinite precision → diagonalization argument shows uncountability.

For any TM computing reals, there exists non-computable real escaping its approximation.

### 4. Specific Counterexamples

**Specker sequences**: 
- Generate computable reals
- LUB of sequence is non-computable
- Shows calculus properties fail for computable reals

**Chaitin's Ω**: 
- Kolmogorov complexity measure
- Non-computable despite being real number
- Self-referential construction

### 5. Computational Tractability

Even computable numbers have practical limits:

**Busy beaver function**: 
- Computable but grows superfast
- No efficient algorithm exists
- TM eventually stalls/loops

**Proof impossibility**:
If all numbers computable, contradiction with diagonalization.
If efficient computation possible, P=NP false.

### 6. Applications & Implications

⟨H≈0.8⟩ The fundamental incompleteness... machines as bounded approximators, never the exact... calculus breaks down on these "almost computable" sequences... analysis fragments into computable and non-computable reals... mathematics splits into what's mechanically verifiable vs what requires infinite precision...

**Computable Analysis**:
- Bounded subsets
- Continuous functions only
- Loses completeness properties

**Physical constraints**:
- Finite memory → finite precision
- Time bounds → approximation limits
- Energy costs → computational efficiency

### 7. Verification & Synthesis

☑ Mathematical proof: diagonalization
☑ Practical examples: Specker, Ω
☑ Computational complexity: busy beaver
☑ Physical realism: finite resources

**Conclusion**: Non-calculability follows from foundational mathematics (Turing completeness) and is verified by concrete examples. Not just theoretical possibility—practical inevitability.

NB: This limitation isn't machine deficiency but mathematical necessity. Even "perfect" computation faces this boundary.

### Answer###
La question touche aux limites fondamentales du calcul informatique. Il existe effectivement des nombres réels qui ne peuvent pas être calculés par une machine, même théoriquement.

Les nombres calculables sont ceux qui peuvent être représentés par une machine de Turing ou un algorithme effectif. Cependant, même parmi ces nombres, certains ont des propriétés qui les rendent incalculables dans certaines situations pratiques. Par exemple, la borne supérieure d'une suite croissante bornée de nombres réels calculables n'est pas nécessairement un nombre réel calculable.

Certains nombres réels sont arithmétiquement définissables mais non calculables. Il existe même des nombres réels qui peuvent être utilisés pour construire une infinité de nombres définissables mais non calculables, en fonction de la machine de Turing universelle considérée.

La relation d'ordre sur les nombres calculables n'est pas calculable, ce qui signifie qu'il n'existe pas de programme capable de déterminer si un nombre calculable est supérieur, inférieur ou égal à zéro. De manière plus générale, tester l'égalité ou comparer deux nombres calculables n'est pas une opération calculable.

Cependant, pour les paires de nombres inégaux, il existe un programme qui peut déterminer si l'un est supérieur à l'autre en utilisant des approximations successives.

Cette limitation n'est pas un problème spécifique aux machines actuelles, mais reflète des contraintes fondamentales des systèmes computationnels formels.