Est-ce que la suite des fonctions générées à partir de la fonction de Möbius converge vers une fonction limite spécifique ?
Repeated transformations

Given an arithmetic function, one can generate a bi-infinite sequence of other arithmetic functions by repeatedly applying the first summation.

For example, if one starts with Euler's totient function φ, and repeatedly applies the transformation process, one obtains:

If the starting function is the Möbius function itself, the list of functions is:

Both of these lists of functions extend infinitely in both directions. The Möbius inversion formula enables these lists to be traversed backwards.

As an example the sequence starting with φ is:

The generated sequences can perhaps be more easily understood by considering the corresponding Dirichlet series: each repeated application of the transform corresponds to multiplication by the Riemann zeta function.
Transformations répétées

Étant donné une fonction arithmétique, on peut générer une suite bi-infinie d'autres fonctions arithmétiques en appliquant de manière répétée la première sommation.

Par exemple, si l'on part de la fonction de totient d'Euler et que l'on applique de manière répétée le processus de transformation, on obtient :

Si la fonction de départ est elle-même la fonction de Möbius, la liste des fonctions est la suivante :

Ces deux listes de fonctions s'étendent à l'infini dans les deux sens. La formule d'inversion de Möbius permet de parcourir ces listes à reculons.

À titre d'exemple, la suite commençant par φ est la suivante :

Ces suites générées peuvent peut-être être mieux comprises en considérant les séries de Dirichlet correspondantes : chaque application répétée de la transformation correspond à une multiplication par la fonction zêta de Riemann.
### Query ###
Est-ce que la suite des fonctions générées à partir de la fonction de Möbius converge vers une fonction limite spécifique ?

### Main Text ###
Repeated transformations

Given an arithmetic function, one can generate a bi-infinite sequence of other arithmetic functions by repeatedly applying the first summation.

For example, if one starts with Euler's totient function φ, and repeatedly applies the transformation process, one obtains:

If the starting function is the Möbius function itself, the list of functions is:

Both of these lists of functions extend infinitely in both directions. The Möbius inversion formula enables these lists to be traversed backwards.

As an example the sequence starting with φ is:

The generated sequences can perhaps be more easily understood by considering the corresponding Dirichlet series: each repeated application of the transform corresponds to multiplication by the Riemann zeta function.

### Supplementary Text ###
Transformations répétées

Étant donné une fonction arithmétique, on peut générer une suite bi-infinie d'autres fonctions arithmétiques en appliquant de manière répétée la première sommation.

Par exemple, si l'on part de la fonction de totient d'Euler et que l'on applique de manière répétée le processus de transformation, on obtient :

Si la fonction de départ est elle-même la fonction de Möbius, la liste des fonctions est la suivante :

Ces deux listes de fonctions s'étendent à l'infini dans les deux sens. La formule d'inversion de Möbius permet de parcourir ces listes à reculons.

À titre d'exemple, la suite commençant par φ est la suivante :

Ces suites générées peuvent peut-être être mieux comprises en considérant les séries de Dirichlet correspondantes : chaque application répétée de la transformation correspond à une multiplication par la fonction zêta de Riemann.

### Draft ###

### 1. Query Analysis

"suite des fonctions générées" → generated function sequence
"fonction de Möbius" → Möbius function μ(n)
"converge vers une fonction limite" → converges to limit function

Key issue: convergence in what sense? ● Pointwise? ◐ Uniform? ○ Norm convergence?

Translation check: "générées à partir de" could mean "generated from" or "starting with". Context suggests latter.

### 2. Core Mechanism

Möbius function behavior under repeated convolution:
μ*μ*μ*... = ?

⟨H≈0.8⟩ Think backward. Möbius inversion. Identity function emerges. But why? The arithmetic structure... divisors, prime factorization, cancellation patterns... the function eats itself, becomes identity, then transforms again... ⟨/H⟩

Known result: μ*μ = 1 (identity function)
∴ μ*μ*μ*... oscillates: μ, 1, μ, 1, μ, 1, ...

### 3. Convergence Assessment  

Convergence failure analysis:

**Pointwise**: No convergence. Sequence alternates μ(n), 1(n), μ(n), 1(n), ...
→ No pointwise limit function exists

**Uniform**: Even worse. Oscillations unbounded.

**Norm convergence**: ?maybe? Could converge to zero in appropriate function spaces.

Key insight: ! This is arithmetic function composition, not analytic series.

### 4. Contextual Evidence

Similar phenomena in number theory:
- Lambert series (modular forms)
- Dedekind zeta function zeros
- L-function behavior

Pattern: discrete arithmetic structures → divergent series behavior.

⟨H≈1.2⟩ The Möbius strip twisting through function space, winding through prime powers, the identity emerging like a topological hole, but no convergence, no smoothing, just the jagged arithmetic truth of prime factorization... ⟨/H⟩

### 5. Mathematical Resolution

**Answer**: Sequence does NOT converge to specific function limit.

Reasoning:
- μ*μ = 1 (identity function)
- Repeated application preserves this oscillation
- No dominant convergence direction
- Arithmetic structure prevents uniform/norm convergence

NB: This reflects deeper principle - arithmetic functions can exhibit pathological convergence behavior despite "nice" individual function properties.

**Exception**: Convergence to zero in appropriate function spaces (e.g., L¹). But no non-trivial limit function.

∴ Sequence generated by repeated Möbius convolution fails to converge to specific function limit in any standard sense.

### Answer###
La suite des fonctions générées par la transformation répétée de la fonction de Möbius ne converge pas vers une fonction limite spécifique. 

Lorsque la fonction de Möbius μ est soumise à cette transformation itérative, la séquence générée suit un comportement oscillant et périodique. En appliquant la formule d'inversion de Möbius de manière répétée, on obtient une séquence qui alterne entre la fonction de Möbius elle-même et la fonction identité, puis recommence indéfiniment.

Ce comportement reflète le fait que la transformation appliquée correspond arithmétiquement à une multiplication par la fonction zêta de Riemann dans l'espace des séries de Dirichlet. L'absence de convergence vers une limite spécifique découle de cette structure arithmétique sous-jacente et du caractère discontinu des fonctions numériques dans ce contexte.

La séquence générée peut s'écrire de manière formelle comme une alternance entre μ et l'identité, ce qui illustre clairement l'absence de convergence ponctuelle vers une fonction limite non triviale.