Pourquoi est-il impossible de remplacer "n'est pas prouvable" par "faux" dans une phrase de Gödel, et comment cette limitation relie-t-elle le théorème d'incomplétude à la preuve d'indéfinissabilité de Tarski ?
Relationship with the liar paradox

Gödel specifically cites Richard's paradox and the liar paradox as semantical analogues to his syntactical incompleteness result in the introductory section of " On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I ". The liar paradox is the sentence "This sentence is false." An analysis of the liar sentence shows that it cannot be true (for then, as it asserts, it is false), nor can it be false (for then, it is true). A Gödel sentence G for a system F makes a similar assertion to the liar sentence, but with truth replaced by provability: G says " G is not provable in the system F." The analysis of the truth and provability of G is a formalized version of the analysis of the truth of the liar sentence.

It is not possible to replace "not provable" with "false" in a Gödel sentence because the predicate " Q is the Gödel number of a false formula" cannot be represented as a formula of arithmetic. This result, known as Tarski's undefinability theorem, was discovered independently both by Gödel, when he was working on the proof of the incompleteness theorem, and by the theorem's namesake, Alfred Tarski.
Relation avec le paradoxe du menteur

Gödel cite spécifiquement le paradoxe de Richard et le paradoxe du menteur comme analogues sémantiques à son résultat d'incomplétude syntaxique dans la section d'introduction de « Sur les propositions indécidables de manière formelle dans Principia Mathematica et systèmes connexes I ». Le paradoxe du menteur est la phrase « Cette phrase est fausse. » Une analyse de la phrase du menteur montre qu'elle ne peut être ni vraie (car, comme elle l'affirme, elle est fausse), ni fausse (car alors, elle est vraie). Une phrase de Gödel G pour un système F fait une assertion similaire à celle de la phrase du menteur, mais avec la vérité remplacée par la prouvabilité : G affirme « G n'est pas prouvable dans le système F. » L'analyse de la vérité et de la prouvabilité de G est une version formalisée de l'analyse de la vérité de la phrase du menteur.

Il n'est pas possible de remplacer « n'est pas prouvable » par « faux » dans une phrase de Gödel parce que le prédicat « Q est le numéro de Gödel d'une formule fausse » ne peut pas être représenté comme une formule de l'arithmétique. Ce résultat, connu sous le nom de théorème d'indéfinissabilité de Tarski, a été découvert indépendamment à la fois par Gödel, lorsqu'il travaillait sur la preuve du théorème d'incomplétude, et par l'auteur du théorème, Alfred Tarski.
### Query ###
Pourquoi est-il impossible de remplacer "n'est pas prouvable" par "faux" dans une phrase de Gödel, et comment cette limitation relie-t-elle le théorème d'incomplétude à la preuve d'indéfinissabilité de Tarski ?

### Main Text ###
Relationship with the liar paradox

Gödel specifically cites Richard's paradox and the liar paradox as semantical analogues to his syntactical incompleteness result in the introductory section of " On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I ". The liar paradox is the sentence "This sentence is false." An analysis of the liar sentence shows that it cannot be true (for then, as it asserts, it is false), nor can it be false (for then, it is true). A Gödel sentence G for a system F makes a similar assertion to the liar sentence, but with truth replaced by provability: G says " G is not provable in the system F." The analysis of the truth and provability of G is a formalized version of the analysis of the truth of the liar sentence.

It is not possible to replace "not provable" with "false" in a Gödel sentence because the predicate " Q is the Gödel number of a false formula" cannot be represented as a formula of arithmetic. This result, known as Tarski's undefinability theorem, was discovered independently both by Gödel, when he was working on the proof of the incompleteness theorem, and by the theorem's namesake, Alfred Tarski.

### Supplementary Text ###
Relation avec le paradoxe du menteur

Gödel cite spécifiquement le paradoxe de Richard et le paradoxe du menteur comme analogues sémantiques à son résultat d'incomplétude syntaxique dans la section d'introduction de « Sur les propositions indécidables de manière formelle dans Principia Mathematica et systèmes connexes I ». Le paradoxe du menteur est la phrase « Cette phrase est fausse. » Une analyse de la phrase du menteur montre qu'elle ne peut être ni vraie (car, comme elle l'affirme, elle est fausse), ni fausse (car alors, elle est vraie). Une phrase de Gödel G pour un système F fait une assertion similaire à celle de la phrase du menteur, mais avec la vérité remplacée par la prouvabilité : G affirme « G n'est pas prouvable dans le système F. » L'analyse de la vérité et de la prouvabilité de G est une version formalisée de l'analyse de la vérité de la phrase du menteur.

Il n'est pas possible de remplacer « n'est pas prouvable » par « faux » dans une phrase de Gödel parce que le prédicat « Q est le numéro de Gödel d'une formule fausse » ne peut pas être représenté comme une formule de l'arithmétique. Ce résultat, connu sous le nom de théorème d'indéfinissabilité de Tarski, a été découvert indépendamment à la fois par Gödel, lorsqu'il travaillait sur la preuve du théorème d'incomplétude, et par l'auteur du théorème, Alfred Tarski.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Pourquoi est-il impossible de remplacer 'n'est pas prouvable' par 'faux'" → Why impossible to replace "not provable" with "false"
"théorème d'incomplétude" → incompleteness theorem (presumably Gödel's)
"limitation" + "indéfinissabilité de Tarski" → restriction relates to Tarski's undefinability

? Translation nuance: "n'est pas prouvable" = provable or unprovable? Context suggests provable.

### 2. Initial Assessment

Complex synthesis task. Not simple fact retrieval.

Key challenge: Bridging:
- Arithmetic formula representation 
- Provability predicates
- Semantic vs syntactic truth
- Gödel sentence construction

⚠ Potential confusion: User may think replacing "not provable" with "false" creates contradiction. Actually about definability.

### 3. Gödel Sentence Structure

Classical Gödel sentence G: "G is not provable in system S"
If we could replace: G ≡ "G is false"

But this fails because provability predicate cannot be arithmetized.

### 4. Tarski's Undefinability Theorem

● Core result: Truth predicate (or provability) not definable in arithmetic
Formal consequence: No formula ϕ(n) where ϕ(n) true iff n is Gödel number of false arithmetic formula

⟨H≈0.8⟩ Why this matters: If such formula existed, could construct sentence "This sentence has Gödel number n, where ϕ(n)" → self-referential paradox like liar... But no such ϕ exists precisely because truth (or provability) indefinable... Circular dependency, definitional impossibility...

### 5. Technical Barrier

Cannot have formula φ(n) such that φ(n) ↔ "n is Gödel number of false formula"

∴ No way to express "false" using arithmetic predicates
∴ No replacement for "not provable"

### 6. Semantic Parallel

Liar paradox: "This statement is false"
→ Semantic truth vs syntactic structure
→ Gödel: provability vs syntactic derivability

Both exploit: (Potential) gap between what can be expressed syntactically and what can be asserted semantically.

### 7. Incompleteness Connection

? Why this proves incompleteness?

⟨H≈1.2⟩ The undefinability barrier creates fundamental limit. Can't express provability as arithmetic formula → can't construct complete system → incompleteness follows because... some sentences (like Gödel sentence) provable but their negation not provable... system lacks self-consistency mechanism to handle provability predicate...

! Key insight: Incompleteness stems from same logical impossibility that prevents definability of truth/provability

### 8. Resolution

Replacement fails due to:
- Tarski's undefinability theorem
- No definable predicate for "false formula"
- Semantic vs syntactic distinction preserved
- Incompleteness emerges from definitional limits

∴ Limitation is *precisely* what makes incompleteness provable.

The restriction isn't just technical obstacle—it's the *causal mechanism* generating incompleteness.

### Answer###
Il n'est pas possible de remplacer "n'est pas prouvable" par "faux" dans une phrase de Gödel précisément en raison du théorème d'indéfinissabilité de Tarski. Ce théorème établit qu'il est impossible de représenter le prédicat "Q est le numéro de Gödel d'une formule fausse" comme une formule de l'arithmétique.

Cette limitation s'explique par le fait qu'une phrase de Gödel G pour un système formel F fait une assertion qui remplace la vérité par la prouvabilité : elle affirme "G n'est pas prouvable dans le système F." L'analyse de cette assertion nécessite une distinction fondamentale entre la prouvabilité syntaxique et la vérité sémantique.

Le paradoxe du menteur illustre cette distinction : la phrase "Cette phrase est fausse" ne peut être ni vraie ni fausse, créant une contradiction logique similaire à celle qu'aurait une phrase de Gödel où "n'est pas prouvable" serait remplacé par "faux".

Le théorème d'incomplétude de Gödel et le théorème d'indéfinissabilité de Tarski sont intimement liés : la limitation à ne pas pouvoir exprimer la notion de formule "fausse" ou "non-prouvable" en tant que formule arithmétique est précisément ce qui rend nécessaire l'existence de propositions formellement indécidables dans les systèmes cohérents. Cette restriction reflète une différence fondamentale entre les concepts de vérité sémantique et de prouvabilité syntaxique qui ne peut être contournée dans le cadre des systèmes formels arithmétiques.