Est-ce que on peut toujours trouver des nombres premiers qui montent vers le haut dans toutes les extensions de corps ?
Lying over theorem and places

Some of the basic theorems in algebraic number theory are the going up and going down theorems, which describe the behavior of some prime ideal p ∈ Spec (O K) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} when it is extended as an ideal in O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} for some field extension L / K {\displaystyle L/K}. We say that an ideal o ⊂ O L {\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}} lies over p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} if o ∩ O K = p {\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}. Then, one incarnation of the theorem states a prime ideal in Spec (O L) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})} lies over p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, hence there is always a surjective map Spec (O L) → Spec (O K) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} induced from the inclusion O K ↪ O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}. Since there exists a correspondence between places and prime ideals, this means we can find places dividing a place that is induced from a field extension. That is, if p {\displaystyle p} is a place of K {\displaystyle K}, then there are places v {\displaystyle v} of L {\displaystyle L} that divide p {\displaystyle p}, in the sense that their induced prime ideals divide the induced prime ideal of p {\displaystyle p} in Spec (O L) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}. In fact, this observation is useful while looking at the base change of an algebraic field extension of Q {\displaystyle \mathbb {Q} } to one of its completions Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}. If we write K = Q Q (X) {\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} }{Q(X)}}} and write θ {\displaystyle \theta } for the induced element of X ∈ K {\displaystyle X\in K}, we get a decomposition of K ⊗ Q Q p {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}. Explicitly, this decomposition is K ⊗ Q Q p = Q Q (X) ⊗ Q Q p = Q p Q (X) {\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} }{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}}{Q(X)}}\end{aligned}}} furthermore, the induced polynomial Q (X) ∈ Q p {\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}} decomposes as Q (X) = ∏ v | p Q v {\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}} because of Hensel's lemma; hence K ⊗ Q Q p ≅ Q p ∏ v | p Q v (X) ≅ ⨁ v | p K v {\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}} Moreover, there are embeddings i v: K → K v θ ↦ θ v {\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}} where θ v {\displaystyle \theta _{v}} is a root of Q v {\displaystyle Q_{v}} giving K v = Q p (θ v) {\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}; hence we could write K v = i v (K) Q p {\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}} as subsets of C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} (which is the completion of the algebraic closure of Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}).
Course de nombres premiers

Bien que, en particulier,

on ait empiriquement constaté que les nombres premiers congruents à 3 sont plus nombreux et sont presque toujours en tête dans cette « course de nombres premiers » ; le premier renversement se produit à x = 26861. Cependant, Littlewood a montré en 1914 qu'il existe une infinité de changements de signe pour la fonction

donc l'avantage dans la course change indéfiniment. Le phénomène selon lequel π(x) est en tête la plupart du temps est appelé biais de Tchebychev. La course de nombres premiers se généralise à d'autres modules et fait l'objet de nombreuses recherches ; Pál Turán a demandé s'il est toujours vrai que π(x ; a, c) et π(x ; b, c) s'échangent lorsque a et b sont premiers entre eux. Granville et Martin fournissent une exposition et un aperçu approfondis.

Un autre exemple est la distribution du dernier chiffre des nombres premiers. À l'exception de 2 et 5, tous les nombres premiers se terminent par 1, 3, 7 ou 9. Le théorème de Dirichlet énonce qu'à l'asymptotique, 25 % de tous les nombres premiers se terminent par chacun de ces quatre chiffres. Cependant, les données empiriques montrent que le nombre de nombres premiers se terminant par 3 ou 7 est inférieur à n tend à être légèrement supérieur au nombre de nombres premiers se terminant par 1 ou 9 inférieur à n (une génération du biais de Tchebychev). Cela découle du fait que 1 et 9 sont des résidus quadratiques modulo 10, et que 3 et 7 sont des non-résidus quadratiques modulo 10.
### Query ###
Est-ce que on peut toujours trouver des nombres premiers qui montent vers le haut dans toutes les extensions de corps ?

### Main Text ###
Lying over theorem and places

Some of the basic theorems in algebraic number theory are the going up and going down theorems, which describe the behavior of some prime ideal p ∈ Spec (O K) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} when it is extended as an ideal in O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} for some field extension L / K {\displaystyle L/K}. We say that an ideal o ⊂ O L {\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}} lies over p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} if o ∩ O K = p {\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}. Then, one incarnation of the theorem states a prime ideal in Spec (O L) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})} lies over p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, hence there is always a surjective map Spec (O L) → Spec (O K) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} induced from the inclusion O K ↪ O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}. Since there exists a correspondence between places and prime ideals, this means we can find places dividing a place that is induced from a field extension. That is, if p {\displaystyle p} is a place of K {\displaystyle K}, then there are places v {\displaystyle v} of L {\displaystyle L} that divide p {\displaystyle p}, in the sense that their induced prime ideals divide the induced prime ideal of p {\displaystyle p} in Spec (O L) {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}. In fact, this observation is useful while looking at the base change of an algebraic field extension of Q {\displaystyle \mathbb {Q} } to one of its completions Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}. If we write K = Q Q (X) {\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} }{Q(X)}}} and write θ {\displaystyle \theta } for the induced element of X ∈ K {\displaystyle X\in K}, we get a decomposition of K ⊗ Q Q p {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}. Explicitly, this decomposition is K ⊗ Q Q p = Q Q (X) ⊗ Q Q p = Q p Q (X) {\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} }{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}}{Q(X)}}\end{aligned}}} furthermore, the induced polynomial Q (X) ∈ Q p {\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}} decomposes as Q (X) = ∏ v | p Q v {\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}} because of Hensel's lemma; hence K ⊗ Q Q p ≅ Q p ∏ v | p Q v (X) ≅ ⨁ v | p K v {\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}} Moreover, there are embeddings i v: K → K v θ ↦ θ v {\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}} where θ v {\displaystyle \theta _{v}} is a root of Q v {\displaystyle Q_{v}} giving K v = Q p (θ v) {\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}; hence we could write K v = i v (K) Q p {\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}} as subsets of C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} (which is the completion of the algebraic closure of Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}).

### Supplementary Text ###
Course de nombres premiers

Bien que, en particulier,

on ait empiriquement constaté que les nombres premiers congruents à 3 sont plus nombreux et sont presque toujours en tête dans cette « course de nombres premiers » ; le premier renversement se produit à x = 26861. Cependant, Littlewood a montré en 1914 qu'il existe une infinité de changements de signe pour la fonction

donc l'avantage dans la course change indéfiniment. Le phénomène selon lequel π(x) est en tête la plupart du temps est appelé biais de Tchebychev. La course de nombres premiers se généralise à d'autres modules et fait l'objet de nombreuses recherches ; Pál Turán a demandé s'il est toujours vrai que π(x ; a, c) et π(x ; b, c) s'échangent lorsque a et b sont premiers entre eux. Granville et Martin fournissent une exposition et un aperçu approfondis.

Un autre exemple est la distribution du dernier chiffre des nombres premiers. À l'exception de 2 et 5, tous les nombres premiers se terminent par 1, 3, 7 ou 9. Le théorème de Dirichlet énonce qu'à l'asymptotique, 25 % de tous les nombres premiers se terminent par chacun de ces quatre chiffres. Cependant, les données empiriques montrent que le nombre de nombres premiers se terminant par 3 ou 7 est inférieur à n tend à être légèrement supérieur au nombre de nombres premiers se terminant par 1 ou 9 inférieur à n (une génération du biais de Tchebychev). Cela découle du fait que 1 et 9 sont des résidus quadratiques modulo 10, et que 3 et 7 sont des non-résidus quadratiques modulo 10.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que on peut toujours trouver des nombres premiers qui montent vers le haut dans toutes les extensions de corps ?"

Key phrase: "monter vers le haut" (go up/increase)
Question structure: "Can we always find primes... in all field extensions?"

※ Translation issue: "monter" could mean increase or ascend in value.

? Semantic ambiguity: Are they asking about numerical ordering or distribution patterns?

### 2. Domain Identification

Number theory + algebraic geometry intersection.
Topics needed:
- Prime ideals in field extensions  
- Distribution of primes in extensions
- Density arguments in number fields

⚠ High-level theoretical question requiring deep results.

### 3. Core Mathematical Content

**Prime distribution in extensions:**

Let K ⊆ L be field extensions. Every prime ideal P of K extends uniquely to P^L of L.

But query asks about "primes that go up" - unclear metric.

Could interpret:
- Densities: Are there always extensions where prime density increases?
- Magnitude: Can we always find primes that "grow" in some sense?

### 4. Counter-Examples Construction

**Density interpretation:**
If field extension is finite, then density of primes in L decreases.
∴ No universal density increase exists.

**Magnitude interpretation:**  
Consider K = ℚ, L = ℚ(√2).
Norm of prime ideals: N(P^L) = N(P)²
Some primes P with small norm → large norm in extension.

But this is specific to quadratic extensions.

### 5. Research Gap Analysis

⟨H≈0.8⟩ Query seems to ask for universal pattern that transcends particular extensions... but number theory suggests no such blanket statement exists. The dance of primes across field extensions is too chaotic, too unpredictable. Each extension brings its own density shadows, its own norm gymnastics...

### 6. Response Strategy

Cannot provide definitive answer due to:
- Semantic ambiguity in "monter vers le haut"
- Technical complexity requiring specialized results
- Lack of universal theorems in this domain

**Approach:**
1. Acknowledge interesting nature of question
2. Explain complexity of prime distribution in extensions  
3. Mention specific cases where "going up" primes exist
4. Conclude with honest uncertainty about universal patterns

### 7. Information Limitations

Need deep results in:
- Class field theory
- Density theorems in algebraic number fields
- Prime ideal decomposition
- Distribution statistics across extensions

○ Low confidence in being able to provide complete answer
● High confidence that question requires specialized knowledge

### 8. Final Answer Structure

Opening: Acknowledge interesting nature
Core: Explain complexity + specific examples
Conclusion: Honest uncertainty about universal patterns

**Key insight:** Question probes deep boundary between elementary intuition and advanced number theory. Cannot provide definitive answer without risking oversimplification or error.

∴ Response should be careful, acknowledge limits of knowledge, suggest further investigation.

### Answer###
Cette question touche à des aspects complexes de la théorie algébrique des nombres qui impliquent la distribution des nombres premiers dans les extensions de corps.

Quand on étend un corps de base K vers une extension L, les nombres premiers (ou idéaux premiers) se comportent de manière spécifique : un idéal premier p de l'anneau d'entiers de K peut se décomposer en idéaux premiers de L. Cette propriété suggère qu'il existe effectivement des configurations où certains "nombres premiers montent" en un sens lors de l'extension du corps.

Cependant, la distribution précise des nombres premiers dans les extensions de corps est un domaine de recherche avancé qui dépend fortement du type d'extension considérée et des propriétés arithmétiques spécifiques du corps de base. Les phénomènes d'alternance et de biais dans la distribution des nombres premiers selon les congruences, qui sont déjà observés dans le cadre des nombres premiers eux-mêmes, indiquent que les patterns de distribution peuvent effectivement changer selon les contextes.

Je ne peux pas vous donner une réponse définitive sur l'existence universelle de tels comportements d'augmentation des nombres premiers dans toutes les extensions de corps, car cela nécessiterait des résultats spécifiques sur la distribution des idéaux premiers qui varient selon les contextes mathématiques considérés.