Si on met un moins devant le t dans une fonction, est-ce que ça va changer le résultat de la convolution avec d'autres fonctions ?
Algebraic properties

The convolution defines a product on the linear space of integrable functions. This product satisfies the following algebraic properties, which formally mean that the space of integrable functions with the product given by convolution is a commutative associative algebra without identity (Strichartz 1994, §3.3). Other linear spaces of functions, such as the space of continuous functions of compact support, are closed under the convolution, and so also form commutative associative algebras.

Proof (using convolution theorem):

q (t) ⟺ F Q (f) = R (f) S (f) {\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}

q (− t) ⟺ F Q (− f) = R (− f) S (− f) {\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}

q (− t) = F − 1 { R (− f) S (− f) } = F − 1 { R (− f) } ∗ F − 1 { S (− f) } = r (− t) ∗ s (− t) {\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}
Équivariance translationnelle

La convolution commute avec les translations, ce qui signifie que

où τ f est la translation de la fonction f par x définie par

Si f est une fonction de Schwartz, alors τ f est la convolution avec une fonction delta de Dirac translatée : τ f = f ∗ τ δ. Ainsi, l'invariance translationnelle de la convolution des fonctions de Schwartz est une conséquence de l'associativité de la convolution.

De plus, dans certaines conditions, la convolution est l'opération la plus générale invariante par translation. En termes informels, ce qui suit est vrai :

Ainsi, certaines opérations invariantes par translation peuvent être représentées comme des convolutions. Les convolutions jouent un rôle important dans l'étude des systèmes invariants dans le temps, et en particulier dans la théorie des systèmes LTI. La fonction représentante g est la réponse impulsionnelle de la transformation S.

Une version plus précise du théorème cité ci-dessus nécessite de spécifier la classe de fonctions sur laquelle la convolution est définie, et d'assumer également que S doit être un opérateur linéaire continu par rapport à la topologie appropriée. Il est connu, par exemple, que tout opérateur linéaire continu et invariant par translation sur L est la convolution avec une mesure de Borel finie. Plus généralement, tout opérateur linéaire continu et invariant par translation sur L pour 1 ≤ p < ∞ est la convolution avec une distribution tempérée dont la transformée de Fourier est bornée. Plus précisément, ils sont tous donnés par des multiplicateurs de Fourier bornés.
### Query ###
Si on met un moins devant le t dans une fonction, est-ce que ça va changer le résultat de la convolution avec d'autres fonctions ?

### Main Text ###
Algebraic properties

The convolution defines a product on the linear space of integrable functions. This product satisfies the following algebraic properties, which formally mean that the space of integrable functions with the product given by convolution is a commutative associative algebra without identity (Strichartz 1994, §3.3). Other linear spaces of functions, such as the space of continuous functions of compact support, are closed under the convolution, and so also form commutative associative algebras.

Proof (using convolution theorem):

q (t) ⟺ F Q (f) = R (f) S (f) {\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}

q (− t) ⟺ F Q (− f) = R (− f) S (− f) {\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}

q (− t) = F − 1 { R (− f) S (− f) } = F − 1 { R (− f) } ∗ F − 1 { S (− f) } = r (− t) ∗ s (− t) {\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}

### Supplementary Text ###
Équivariance translationnelle

La convolution commute avec les translations, ce qui signifie que

où τ f est la translation de la fonction f par x définie par

Si f est une fonction de Schwartz, alors τ f est la convolution avec une fonction delta de Dirac translatée : τ f = f ∗ τ δ. Ainsi, l'invariance translationnelle de la convolution des fonctions de Schwartz est une conséquence de l'associativité de la convolution.

De plus, dans certaines conditions, la convolution est l'opération la plus générale invariante par translation. En termes informels, ce qui suit est vrai :

Ainsi, certaines opérations invariantes par translation peuvent être représentées comme des convolutions. Les convolutions jouent un rôle important dans l'étude des systèmes invariants dans le temps, et en particulier dans la théorie des systèmes LTI. La fonction représentante g est la réponse impulsionnelle de la transformation S.

Une version plus précise du théorème cité ci-dessus nécessite de spécifier la classe de fonctions sur laquelle la convolution est définie, et d'assumer également que S doit être un opérateur linéaire continu par rapport à la topologie appropriée. Il est connu, par exemple, que tout opérateur linéaire continu et invariant par translation sur L est la convolution avec une mesure de Borel finie. Plus généralement, tout opérateur linéaire continu et invariant par translation sur L pour 1 ≤ p < ∞ est la convolution avec une distribution tempérée dont la transformée de Fourier est bornée. Plus précisément, ils sont tous donnés par des multiplicateurs de Fourier bornés.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on met un moins devant le t dans une fonction, est-ce que ça va changer le résultat de la convolution avec d'autres fonctions ?"

→ User asking: f(t) vs f(-t) in convolution f*g. Impact on result?

Translation issues: "t dans une fonction" = "within a function", not "at time t". Context suggests Schwartz space/distribution theory.

Task type: Mathematical theory application. Not simple retrieval - requires theorem synthesis.

### 2. Core Mathematical Context

Convolution definition: (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ

Key insight: Convolution is linear, symmetric operation.

But specific question targets: What happens if f(t) → f(-t) in integral?

### 3. Direct Analysis

Consider f*g with f replaced by f(-t):

New integral: ∫ f(-τ)g(t-τ)dτ

Change of variables: u = -τ → ∫ f(u)g(t+u)(-du) = -∫ f(u)g(t+u)du

∴ Result flips sign: (f*g)(t) → -(f*g)(t)

### 4. Symmetry Properties

Convolution has inherent symmetry: f*g = g*f

If g = f(-t), then:
- f*f(-t) = f*g = g*f = f(-t)*f = (f(-t)*f)(-t)

Pattern: Convolution with f(-t) → sign change + symmetry

### 5. Physical Interpretation

⟨H≈0.8⟩ Time reversal... functions flowing backwards through convolution's integral landscape... the mathematics remembers which direction the integration traveled, encodes it in the minus sign... temporal orientation becomes mathematical signature...

Back to rigor: This reflects fundamental asymmetry in Fourier transform properties.

### 6. Technical Verification

For Schwartz functions: ℱ[f*g] = ℱ[f]ℱ[g]

If f(t) = f(-t), then ℱ[f] = ℱ[f(-t)] = ℱ[f] (even under ℱ)

But convolution with f(-t) creates odd function → sign change expected.

### 7. Generalization

Not just Schwartz space. Holds for:
- Distributions
- Measures  
- Generalized functions

Core principle: Convolution with reflection changes sign due to integral bounds.

### 8. Conclusion

✓ Yes, sign change occurs
✓ Symmetry property preserved  
✓ Mathematical rigor confirmed
✓ Physical interpretation available

NB: User likely thinking about Fourier inversion, time reversal, or quantum mechanics applications where this sign flip matters.

∴ Convolution with reflected functions produces negated results, following integral symmetry and Fourier properties.

### Answer###
Oui, mettre un moins devant la variable t dans une fonction va effectivement changer le résultat de la convolution avec d'autres fonctions.

Plus précisément, si vous avez une fonction q(t) qui peut être exprimée comme une convolution q(t) = r(t) * s(t), et que vous considérez la fonction q(-t), alors vous obtiendrez q(-t) = r(-t) * s(-t).

Cette propriété reflète le fait que la convolution est une opération symétrique et que l'invariance par translation de la convolution peut être comprise en termes de composition de fonctions. Le signe négatif devant t dans la fonction modifie la façon dont cette symétrie se manifeste dans le résultat de la convolution.

Cette règle s'applique même lorsque vous travaillez avec des espaces de fonctions particuliers comme les fonctions de Schwartz, où les convolutions peuvent être exprimées en termes de transformée de Fourier et d'opérateurs linéaires continus.