Dans quelle mesure les modes de désintégration bêta négatif et capture électronique du potassium-40 se démarquent-ils en termes d'efficacité relative pour la production de calcium-40 et d'argon-40.
Potassium-40 (⁴⁰K) is a radioactive isotope of potassium which has a long half-life of 1.25 billion years. It makes up about 0.012% of the total amount of potassium found in nature. Potassium-40 undergoes three types of radioactive decay. In about 89.28% of events, it decays to calcium-40 (⁴⁰Ca) with emission of a beta particle with a maximum energy of 1.31 MeV and an antineutrino. In about 10.72% of events, it decays to argon-40 (⁴⁰Ar) by electron capture (EC), with the emission of a neutrino and then a 1.460 MeV gamma ray. The radioactive decay of this particular isotope explains the large abundance of argon in the Earth's atmosphere, as well as prevalence of ⁴⁰Ar over other isotopes. Very rarely, it decays to ⁴⁰Ar by emitting a positron (β+) and a neutrino.
Le potassium-40 (⁴⁰K) est un isotope radioactif du potassium qui possède une longue demi-vie de 1,25 milliard d'années. Il représente environ 0,012 % de la quantité totale de potassium présente dans la nature. Le potassium-40 subit trois types de désintégration radioactive. Dans environ 89,28 % des cas, il se désintègre en calcium-40 (⁴⁰Ca) avec l'émission d'une particule bêta d'une énergie maximale de 1,31 MeV et d'un antineutrino. Dans environ 10,72 % des cas, il se désintègre en argon-40 (⁴⁰Ar) par capture électronique (CE), avec l'émission d'un neutrino puis d'un rayon gamma de 1,460 MeV. La désintégration radioactive de cet isotope particulier explique l'abondance importante d'argon dans l'atmosphère terrestre, ainsi que la prévalence de ⁴⁰Ar par rapport aux autres isotopes. Très rarement, il se désintègre en ⁴⁰Ar en émettant un positron (β+) et un neutrino.
### Query ###
Dans quelle mesure les modes de désintégration bêta négatif et capture électronique du potassium-40 se démarquent-ils en termes d'efficacité relative pour la production de calcium-40 et d'argon-40.

### Main Text ###
Potassium-40 (⁴⁰K) is a radioactive isotope of potassium which has a long half-life of 1.25 billion years. It makes up about 0.012% of the total amount of potassium found in nature. Potassium-40 undergoes three types of radioactive decay. In about 89.28% of events, it decays to calcium-40 (⁴⁰Ca) with emission of a beta particle with a maximum energy of 1.31 MeV and an antineutrino. In about 10.72% of events, it decays to argon-40 (⁴⁰Ar) by electron capture (EC), with the emission of a neutrino and then a 1.460 MeV gamma ray. The radioactive decay of this particular isotope explains the large abundance of argon in the Earth's atmosphere, as well as prevalence of ⁴⁰Ar over other isotopes. Very rarely, it decays to ⁴⁰Ar by emitting a positron (β+) and a neutrino.

### Supplementary Text ###
Le potassium-40 (⁴⁰K) est un isotope radioactif du potassium qui possède une longue demi-vie de 1,25 milliard d'années. Il représente environ 0,012 % de la quantité totale de potassium présente dans la nature. Le potassium-40 subit trois types de désintégration radioactive. Dans environ 89,28 % des cas, il se désintègre en calcium-40 (⁴⁰Ca) avec l'émission d'une particule bêta d'une énergie maximale de 1,31 MeV et d'un antineutrino. Dans environ 10,72 % des cas, il se désintègre en argon-40 (⁴⁰Ar) par capture électronique (CE), avec l'émission d'un neutrino puis d'un rayon gamma de 1,460 MeV. La désintégration radioactive de cet isotope particulier explique l'abondance importante d'argon dans l'atmosphère terrestre, ainsi que la prévalence de ⁴⁰Ar par rapport aux autres isotopes. Très rarement, il se désintègre en ⁴⁰Ar en émettant un positron (β+) et un neutrino.

### Draft ###

Query: "Dans quelle mesure les modes de désintégration bêta négatif et capture électronique du potassium-40 se démarquent-ils en termes d'efficacité relative pour la production de calcium-40 et d'argon-40."

Translation check: "To what extent do negative beta decay modes and electron capture of K-40 stand out in terms of relative efficiency for Ca-40 and Ar-40 production."

※ Key semantic: "efficacité relative" → relative efficiency (not absolute yields)

### 1. Problem Structure

K-40 decay modes:
- β⁻ decay → Ca-40 (majority)  
- EC → Ar-40 (minority)
- Rare β⁺ → Ar-40 (negligible)

Need quantitative comparison. Branching ratios. Energy considerations.

### 2. Quantitative Data Retrieval

⟨H≈0.2⟩ Standard nuclear physics. K-40 has Z=19, N=21. Beta decay follows Q-value constraints. EC competes when Q-value allows.

Branching ratios from memory:
- β⁻ → Ca-40: ~89% ●
- EC → Ar-40: ~11% ●  
- β⁺ → Ar-40: <0.1% ◐

∴ β⁻ overwhelmingly dominant.

### 3. Physical Reasoning

Why β⁻ dominates:
→ Q-value favors β⁻ emission (higher than EC threshold)
→ Fermi selection rules favor β⁻ over β⁺
→ Coulomb barrier suppresses β⁺ (Z=19 proton barrier)

EC explanation:
→ Q-value barely sufficient for EC
→ K-shell electrons captured preferentially
→ Creates Ar-40 with K-vacancy → gamma emission

### 4. Efficiency Analysis

Relative efficiency = branching ratio × decay probability

Since half-life = 1.25×10⁹ years → decay probability per unit time similar for both modes.

∴ Efficiency difference = branching ratio difference

β⁻ → Ca-40: 89% × 1 = 0.89
EC → Ar-40: 11% × 1 = 0.11

Ratio: 8.0 ≈ 8:1 favoring β⁻ decay

### 5. Cosmological Implications

⟨H≈0.8⟩ This explains atmospheric Ar abundance. K-40 in crustal rocks → continuous Ar-40 production via EC in mineral lattices. Half-life matches geological timescales. Steady-state production rate limited by K-40 abundance (~0.012% of K).

Terrestrial K-40 inventory → sustained Ar-40 flux → atmospheric buildup over 4.5 Gyr.

### 6. Conclusion Structure

Modes stand out: β⁻ dramatically more efficient than EC.
- Quantitative difference: 8:1 ratio
- Physical basis: Q-value, selection rules, barriers
- Cosmological consequence: explains Ar-40 dominance in atmosphere

NB: Rare positron branch irrelevant for production comparison (<0.1% branching).

☑ Information retrieval complete
☑ Physical reasoning applied  
☑ Quantitative comparison established
☑ Cosmological context provided

### Answer###
Les modes de désintégration bêta négatif et capture électronique du potassium-40 présentent des différences marquées en termes d'efficacité relative pour la production de calcium-40 et d'argon-40.

La désintégration bêta négative représente le mode majoritaire, se produisant dans environ 89,28% des événements de désintégration. Elle conduit directement à la formation de calcium-40 avec l'émission d'une particule bêta de 1,31 MeV et d'un antineutrino.

La capture électronique, en revanche, est significativement moins fréquente, ne se produisant que dans 10,72% des événements. Ce processus transforme directement le potassium-40 en argon-40 selon la séquence : capture d'un électron de la coquille K, émission d'un neutrino, puis d'un rayonnement gamma de 1,460 MeV.

Cette différence d'efficacité s'explique par le fait que la désintégration bêta négative présente une énergie de désintégration favorable à la formation de calcium-40, tandis que la capture électronique, bien que possible, nécessite un équilibre énergétique plus contraignant.

Ces proportions reflètent l'importance relative de ces deux modes dans la production naturelle d'argon-40 et calcium-40, et expliquent en partie l'abondance relative de l'argon-40 dans la croûte terrestre et l'atmosphère.