Quelles sont les principales différences pratiques entre les définitions de la distribution géométrique sur N et N0 en termes de calculabilité et d'interprétation des résultats ?
Definition

The geometric distribution is the discrete probability distribution that describes when the first success in an infinite sequence of independent and identically distributed Bernoulli trials occurs. Its probability mass function depends on its parameterization and support. When supported on N {\displaystyle \mathbb {N} }, the probability mass function is P (X = k) = (1 − p) k − 1 p {\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p} where k = 1, 2, 3, … {\displaystyle k=1,2,3,\dotsc } is the number of trials and p {\displaystyle p} is the probability of success in each trial.

The support may also be N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}}, defining Y = X − 1 {\displaystyle Y=X-1}. This alters the probability mass function into P (Y = k) = (1 − p) k p {\displaystyle P(Y=k)=(1-p)^{k}p} where k = 0, 1, 2, … {\displaystyle k=0,1,2,\dotsc } is the number of failures before the first success.

An alternative parameterization of the distribution gives the probability mass function P (Y = k) = (P Q) k (1 − P Q) {\displaystyle P(Y=k)=\left({\frac {P}{Q}}\right)^{k}\left(1-{\frac {P}{Q}}\right)} where P = 1 − p p {\displaystyle P={\frac {1-p}{p}}} and Q = 1 p {\displaystyle Q={\frac {1}{p}}}.

An example of a geometric distribution arises from rolling a six-sided die until a "1" appears. Each roll is independent with a 1 / 6 {\displaystyle 1/6} chance of success. The number of rolls needed follows a geometric distribution with p = 1 / 6 {\displaystyle p=1/6}.
En théorie des probabilités et statistique, la distribution géométrique est soit l'une des deux distributions de probabilité discrètes suivantes :

- La distribution de probabilité du nombre X d'épreuves de Bernoulli nécessaires pour obtenir un succès, définie sur N = { 1, 2, 3, … } ;
- La distribution de probabilité du nombre Y = X − 1 d'échecs avant le premier succès, définie sur N 0 = { 0, 1, 2, … }. Ces deux distributions géométriques différentes ne doivent pas être confondues. On adopte souvent le nom de distribution géométrique décalée pour la première ; cependant, pour éviter toute ambiguïté, il est conseillé de préciser laquelle est envisagée en mentionnant explicitement le support. La distribution géométrique donne la probabilité que la première occurrence d'un succès nécessite k épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p. Si la probabilité de succès à chaque épreuve est p, alors la probabilité que la k-ième épreuve soit le premier succès est :

- Pr = (k − 1) p pour k = 1, 2, 3, 4, … Cette forme de la distribution géométrique est utilisée pour modéliser le nombre d'épreuves jusqu'au premier succès inclus. Par contraste, la forme suivante de la distribution géométrique est utilisée pour modéliser le nombre d'échecs jusqu'au premier succès :

- Pr = k p pour k = 0, 1, 2, 3, … La distribution géométrique tire son nom du fait que ses probabilités suivent une suite géométrique. Elle est parfois appelée distribution de Furry, d'après Wendell H. Furry.
### Query ###
Quelles sont les principales différences pratiques entre les définitions de la distribution géométrique sur N et N0 en termes de calculabilité et d'interprétation des résultats ?

### Main Text ###
Definition

The geometric distribution is the discrete probability distribution that describes when the first success in an infinite sequence of independent and identically distributed Bernoulli trials occurs. Its probability mass function depends on its parameterization and support. When supported on N {\displaystyle \mathbb {N} }, the probability mass function is P (X = k) = (1 − p) k − 1 p {\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p} where k = 1, 2, 3, … {\displaystyle k=1,2,3,\dotsc } is the number of trials and p {\displaystyle p} is the probability of success in each trial.

The support may also be N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}}, defining Y = X − 1 {\displaystyle Y=X-1}. This alters the probability mass function into P (Y = k) = (1 − p) k p {\displaystyle P(Y=k)=(1-p)^{k}p} where k = 0, 1, 2, … {\displaystyle k=0,1,2,\dotsc } is the number of failures before the first success.

An alternative parameterization of the distribution gives the probability mass function P (Y = k) = (P Q) k (1 − P Q) {\displaystyle P(Y=k)=\left({\frac {P}{Q}}\right)^{k}\left(1-{\frac {P}{Q}}\right)} where P = 1 − p p {\displaystyle P={\frac {1-p}{p}}} and Q = 1 p {\displaystyle Q={\frac {1}{p}}}.

An example of a geometric distribution arises from rolling a six-sided die until a "1" appears. Each roll is independent with a 1 / 6 {\displaystyle 1/6} chance of success. The number of rolls needed follows a geometric distribution with p = 1 / 6 {\displaystyle p=1/6}.

### Supplementary Text ###
En théorie des probabilités et statistique, la distribution géométrique est soit l'une des deux distributions de probabilité discrètes suivantes :

- La distribution de probabilité du nombre X d'épreuves de Bernoulli nécessaires pour obtenir un succès, définie sur N = { 1, 2, 3, … } ;
- La distribution de probabilité du nombre Y = X − 1 d'échecs avant le premier succès, définie sur N 0 = { 0, 1, 2, … }. Ces deux distributions géométriques différentes ne doivent pas être confondues. On adopte souvent le nom de distribution géométrique décalée pour la première ; cependant, pour éviter toute ambiguïté, il est conseillé de préciser laquelle est envisagée en mentionnant explicitement le support. La distribution géométrique donne la probabilité que la première occurrence d'un succès nécessite k épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p. Si la probabilité de succès à chaque épreuve est p, alors la probabilité que la k-ième épreuve soit le premier succès est :

- Pr = (k − 1) p pour k = 1, 2, 3, 4, … Cette forme de la distribution géométrique est utilisée pour modéliser le nombre d'épreuves jusqu'au premier succès inclus. Par contraste, la forme suivante de la distribution géométrique est utilisée pour modéliser le nombre d'échecs jusqu'au premier succès :

- Pr = k p pour k = 0, 1, 2, 3, … La distribution géométrique tire son nom du fait que ses probabilités suivent une suite géométrique. Elle est parfois appelée distribution de Furry, d'après Wendell H. Furry.

### Draft ###

Query: "principales différences pratiques entre les définitions de la distribution géométrique sur N et N0"

Translation check: "practical differences between geometric distribution definitions on N vs N0" ● 

Clear mathematical question. Two interpretations of same underlying process.

### 1. Support Differences

Core distinction: indexing convention.

N definition: P(X=k) = (1-p)^(k-1)p, k=1,2,3,...
→ Measures trials until first success (inclusive)
→ Support = {1,2,3,...} = natural numbers

N0 definition: P(Y=k) = (1-p)^kp, k=0,1,2,...  
→ Measures failures before first success
→ Support = {0,1,2,...} = non-negative integers

∴ Same distribution, different framing.

### 2. Computational Implications

Calculation differences minimal:
- N: need (k-1) powers, start at k=1
- N0: need k powers, start at k=0

! Key practical difference: interpretation drives computational approach

Example: P(X=5) vs P(Y=4)
- N: P(X=5) = (1-p)^4·p 
- N0: P(Y=4) = (1-p)^4·p

Same result. Different computational path.

### 3. Interpretation Impact

Choice depends on problem context:

**N interpretation**:
- "How many trials until success?"
- Natural when counting experiments
- "I flip coin until heads" → X measures flips
- Computation: iterate from trial 1

**N0 interpretation**:  
- "How many failures before success?"
- Useful for counting attempts
- "How many times I miss the target?"
- Computation: iterate from failure 0

### 4. Result Interpretation

Output interpretation varies:
- N: "exactly 5 trials needed" 
- N0: "exactly 4 misses before success"

Same probabilistic information. Different framing.

**Practical difference**: 
Choosing N0 often simplifies counting problems where "failure" is the primary metric.

Example: Quality control. N0 interpretation better if tracking defective items before good one.

### 5. Versatility Assessment

Both formulations mathematically equivalent.

N0 version more versatile:
- Direct application to stopping rules
- Natural for counting processes
- Computational efficiency when failures matter

∴ Choice = function of application context.

**Conclusion**: Support definitions determine indexing and computational approach, but underlying probability structure identical. Practical differences minimal except for interpretation and computational convenience in specific contexts.

### Answer###
Les deux définitions de la distribution géométrique diffèrent principalement par leur support et leur interprétation pratique.

La distribution géométrique définie sur N (les nombres naturels) représente le nombre de tentatives X nécessaires pour obtenir le premier succès. Sa fonction de masse probabiliste est P(X = k) = (1 - p)^(k-1)p, où k = 1, 2, 3,... et p est la probabilité de succès. Cette version mesure directement le nombre d'essais jusqu'au premier succès, incluant ce succès dans le comptage.

La distribution géométrique définie sur N₀ (les entiers non négatifs) représente le nombre d'échecs Y avant le premier succès, où Y = X - 1. Sa fonction de masse probabiliste est P(Y = k) = (1 - p)^kp, où k = 0, 1, 2,... Cette version mesure uniquement le nombre d'échecs en considérant que le succès n'est pas compté dans le nombre d'essais.

Pratiquement, le choix de la définition dépend du contexte d'application. La version sur N₀ est souvent plus intuitive pour compter des tentatives car elle ne considère pas le succès lui-même dans le nombre d'essais. Les calculs restent similaires mais les interprétations des résultats diffèrent : dans la première version, on compte "combien d'essais jusqu'au succès", tandis que dans la seconde, on compte "combien d'échecs avant le succès".

Cette flexibilité permet d'adapter l'interprétation aux besoins spécifiques de chaque problème statistique.