J'ai 4 vecteurs dans l'espace à 3 dimensions et je veux savoir si ils sont indépendants. Dans le texte ils disent que quand on a plus de vecteurs que de dimensions ils sont pas indépendants mais moi je crois que si je fais attention avec mes vecteurs je peux les faire être indépendants même si c'est pas possible normalement. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment faire ça ?
More vectors than dimensions

If there are more vectors than dimensions, the vectors are linearly dependent. This is illustrated in the example above of three vectors in R 2. {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}
Plus de vecteurs que de dimensions

Si le nombre de vecteurs est supérieur au nombre de dimensions, les vecteurs sont linéairement dépendants. Cela est illustré dans l'exemple ci-dessus de trois vecteurs dans ℝ².

### Query ###
J'ai 4 vecteurs dans l'espace à 3 dimensions et je veux savoir si ils sont indépendants. Dans le texte ils disent que quand on a plus de vecteurs que de dimensions ils sont pas indépendants mais moi je crois que si je fais attention avec mes vecteurs je peux les faire être indépendants même si c'est pas possible normalement. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment faire ça ?

### Main Text ###
More vectors than dimensions

If there are more vectors than dimensions, the vectors are linearly dependent. This is illustrated in the example above of three vectors in R 2. {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}

### Supplementary Text ###
Plus de vecteurs que de dimensions

Si le nombre de vecteurs est supérieur au nombre de dimensions, les vecteurs sont linéairement dépendants. Cela est illustré dans l'exemple ci-dessus de trois vecteurs dans ℝ².


### Draft ###

### 1. Query Parsing

User claims: "4 vectors in 3D space, want independence, heard more vectors than dimensions = dependent, but thinks careful arrangement can fix this."

Key misconception to address. ●

French: "indépendance linéaire" = linear independence. "dimensions" = spatial dimensions.

### 2. Core Mathematical Fact

Linear independence fundamental constraint: **max n vectors in n-dimensional space can be independent**.

Proof by contradiction: n+1 vectors in n-space → span exceeds n-dimensional volume → linear dependence.

∴ User's premise incorrect. No "careful arrangement" changes this.

### 3. Why the Confusion?

Possible sources:
- Misunderstanding geometric vs algebraic independence?
- Thinking of orthonormal bases where 4 vectors might span 3D "nicely"?  
- Confusing computational tolerance with true independence?

?maybe? User sees numerical examples where 4 vectors "behave independently" but this is numerical approximation artifact.

### 4. Counter-Examples Build Intuition

Take vectors:
```
v₁ = (1,0,0)
v₂ = (0,1,0)  
v₃ = (0,0,1)
v₄ = (1,1,1)
```

Clearly dependent (v₄ = v₁ + v₂ + v₃). No arrangement fixes this.

**Key insight**: → Geometric "niceness" ≠ algebraic independence.

### 5. Computational Verification

For actual datasets, check:
- Gram determinant = 0 → dependent
- Linear system `[v₁;v₂;v₃;v₄]` has non-unique solutions
- Any vector expressible as linear combination

※ User likely has computational examples showing "independence" - these are numerical artifacts.

### 6. Final Clarification

Mathematical impossibility absolute here. No exceptions. ●

User's intuition about "careful arrangement" addresses wrong problem.

**Bottom line**: 4 vectors in 3D space → always dependent. Period.

_____

NB: This connects to broader theme in linear algebra where geometric intuition (4 vectors "looking independent") fails against algebraic constraints (dimension theory).

### Answer###
Je comprends votre question et votre intuition, mais il y a un point fondamental que je dois clarifier.

Effectivement, lorsque vous avez plus de vecteurs que de dimensions, les vecteurs sont toujours linéairement dépendants. Cette règle est absolue : quatre vecteurs dans un espace à 3 dimensions ne peuvent pas être indépendants par définition mathématique.

Votre préoccupation sur l'arrangement ou la "façon particulière" de disposer les vecteurs ne change rien à cette contrainte fondamentale. Même si vous choisissez les quatre vecteurs avec beaucoup de soin, ils seront toujours linéairement dépendants dans cet espace.

Cette limitation découle directement du fait qu'un espace vectoriel de dimension n ne peut contenir plus de n vecteurs linéairement indépendants. Les vecteurs supplémentaires doivent nécessairement être des combinaisons linéaires des précédents, ce qui les rend dépendants.

Il n'existe aucun arrangement mathématiquement possible qui puisse contourner cette contrainte. La dépendance linéaire de quatre vecteurs dans un espace à 3 dimensions est un résultat théorique incontestable basé sur les propriétés fondamentales des espaces vectoriels.