Quelle est la différence fondamentale entre les classes dénombrables de fonctions calculables et la classe REC en termes d'apprenabilité ?
Inductive inference

This is the computability-theoretic branch of learning theory. It is based on E. Mark Gold 's model of learning in the limit from 1967 and has developed since then more and more models of learning. The general scenario is the following: Given a class S of computable functions, is there a learner (that is, computable functional) which outputs for any input of the form (f (0), f (1),..., f (n)) a hypothesis. A learner M learns a function f if almost all hypotheses are the same index e of f with respect to a previously agreed on acceptable numbering of all computable functions; M learns S if M learns every f in S. Basic results are that all computably enumerable classes of functions are learnable while the class REC of all computable functions is not learnable. Many related models have been considered and also the learning of classes of computably enumerable sets from positive data is a topic studied from Gold's pioneering paper in 1967 onwards.
Inférence inductive

Il s'agit de la branche de la théorie de l'apprentissage relevant de la théorie de la calculabilité. Elle est basée sur le modèle d'apprentissage dans la limite d'E. Mark Gold de 1967 et a depuis développé de plus en plus de modèles d'apprentissage. Le scénario général est le suivant : étant donné une classe S de fonctions calculables, existe-t-il un apprenant (c'est-à-dire une fonction calculable) qui produit, pour toute entrée de la forme (f (0), f (1),..., f (n)), une hypothèse ? Un apprenant M apprend une fonction f si presque toutes les hypothèses sont identiques à l'indice e de f par rapport à un numérotage préalablement convenu de toutes les fonctions calculables ; M apprend S si M apprend chaque f dans S. Les résultats fondamentaux sont que toutes les classes de fonctions dénombrables par calcul sont apprenables, tandis que la classe REC de toutes les fonctions calculables ne l'est pas. De nombreux modèles apparentés ont été considérés, et l'apprentissage de classes d'ensembles dénombrables par calcul à partir de données positives est un sujet étudié depuis l'article pionnier de Gold en 1967.
### Query ###
Quelle est la différence fondamentale entre les classes dénombrables de fonctions calculables et la classe REC en termes d'apprenabilité ?

### Main Text ###
Inductive inference

This is the computability-theoretic branch of learning theory. It is based on E. Mark Gold 's model of learning in the limit from 1967 and has developed since then more and more models of learning. The general scenario is the following: Given a class S of computable functions, is there a learner (that is, computable functional) which outputs for any input of the form (f (0), f (1),..., f (n)) a hypothesis. A learner M learns a function f if almost all hypotheses are the same index e of f with respect to a previously agreed on acceptable numbering of all computable functions; M learns S if M learns every f in S. Basic results are that all computably enumerable classes of functions are learnable while the class REC of all computable functions is not learnable. Many related models have been considered and also the learning of classes of computably enumerable sets from positive data is a topic studied from Gold's pioneering paper in 1967 onwards.

### Supplementary Text ###
Inférence inductive

Il s'agit de la branche de la théorie de l'apprentissage relevant de la théorie de la calculabilité. Elle est basée sur le modèle d'apprentissage dans la limite d'E. Mark Gold de 1967 et a depuis développé de plus en plus de modèles d'apprentissage. Le scénario général est le suivant : étant donné une classe S de fonctions calculables, existe-t-il un apprenant (c'est-à-dire une fonction calculable) qui produit, pour toute entrée de la forme (f (0), f (1),..., f (n)), une hypothèse ? Un apprenant M apprend une fonction f si presque toutes les hypothèses sont identiques à l'indice e de f par rapport à un numérotage préalablement convenu de toutes les fonctions calculables ; M apprend S si M apprend chaque f dans S. Les résultats fondamentaux sont que toutes les classes de fonctions dénombrables par calcul sont apprenables, tandis que la classe REC de toutes les fonctions calculables ne l'est pas. De nombreux modèles apparentés ont été considérés, et l'apprentissage de classes d'ensembles dénombrables par calcul à partir de données positives est un sujet étudié depuis l'article pionnier de Gold en 1967.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"différence fondamentale entre les classes dénombrables de fonctions calculables et la classe REC en termes d'apprenabilité"

Key terms to unpack:
- **dénombrables** = countable (mathematical property)  
- **REC** = class of all recursive/computable functions
- **apprenabilité** = learnability (inductive inference framework)

? Semantic issue: "fonctions calculables dénombrables" vs "fonctions récursives primitives" - are these equivalent?

### 2. Domain Contextualization

● **Theory**: Inductive inference in computability
● **Framework**: Gold's learning model (1967+)
● **Key insight**: Dichotomous behavior between countable classes and REC

Core distinction sought: why can countable classes be learned while REC cannot?

### 3. Technical Foundation

**Learning model structure:**
- Input: (f(0), f(1), ..., f(n)) for some computable function f
- Output: hypothesis h about underlying function
- Goal: learner converges to correct function

**Formal definition:**
Class C learnable iff ∃ learner L such that ∀f∈C, ∀n, ∀sufficiently large m:
L(f(0),...,f(n),...,f(m)) outputs correct function with probability →1

### 4. Countable Classes Analysis

**Why countable classes are learnable:**

Enumerable property → finite representation possible
- Can enumerate all functions in class C
- Learner maintains finite hypothesis space
- Bounded search space

**Example:** Class of constant functions {f(x) = c}
- Enumeration: [f₀(x)=0, f₁(x)=1, f₂(x)=2, ...]  
- Learner: check each constant hypothesis sequentially
- Convergence guaranteed

∴ **Theorem**: Any computably enumerable class of computable functions is learnable

### 5. REC Class Analysis  

**Why REC is not learnable:**

REC contains all computable functions → no finite enumeration possible
- Uncountably infinite functions
- No exhaustive hypothesis testing
- Infinite search space problem

**Proof sketch (informal):**
Suppose REC were learnable by some learner L
→ ∃ enumeration of all recursive functions f₀,f₁,f₂,...
→ L must eventually output correct function fₙ for each n
→ But L cannot distinguish between functions (no finite distinguishing input)
→ Contradiction

### 6. Key Insight

**Fundamental difference:**

Enumerable classes have finite representation → learnable
REC has no finite representation → not learnable

**Structural constraint:** 
- Countable sets: |C| ≤ ℵ₀ (natural numbers)
- REC: |C| = continuum (all computable functions)

∴ **Conclusion**: Learnability depends critically on whether class can be finitely characterized - enumerable classes can, REC cannot.

**Learning paradigm breakdown for REC:** Too many possible functions, insufficient discriminating power in finite inputs.

### Answer###
La différence fondamentale entre les classes dénombrables de fonctions calculables et la classe REC en termes d'apprenabilité réside dans leur nature structurelle et leur propriété d'énumération.

Les classes dénombrables de fonctions calculables sont apprenables car elles peuvent être énumérées de manière calculable. Dans le cadre de l'inférence inductive, cela signifie qu'il existe un apprenant calculable capable de générer, pour toute séquence d'entrées (f(0), f(1), ..., f(n)), une hypothèse qui converge vers la fonction cible avec une probabilité tendant vers 1. Ces classes incluent toutes les fonctions calculables qui appartiennent à une classe énumérable par calcul.

La classe REC, contenant toutes les fonctions calculables, n'est pas apprenable pour une raison fondamentale : sa taille et sa structure ne permettent pas une énumération complète ou une caractérisation finie suffisante pour l'apprentissage. Contrairement aux classes dénombrables qui peuvent être parcourues et caractérisées par un processus énumératif, la classe REC comprend un nombre infini de fonctions sans possibilité de les énumérer exhaustivement.

Cette distinction s'appuie sur le résultat théorique selon lequel toutes les classes dénombrables de fonctions calculables sont apprenables, tandis que la classe REC ne l'est pas. Les modèles d'apprentissage en limite, développés depuis le travail pionnier de Mark Gold en 1967, formalisent cette distinction en établissant que l'apprenabilité dépend directement de la propriété d'énumération de la classe considérée.