Si on utilise la formule de Stirling pour calculer le nombre de factorielles qui vont exister dans l'avenir, est-ce qu'on pourrait prédire quand exactement on va trouver une nouvelle valeur pour pi qui sera complètement différente de ce que Moivre a découvert ?
History

The formula was first discovered by Abraham de Moivre in the form n ! ∼ ⋅ n n + 1 2 e − n. {\displaystyle n!\sim \cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}

De Moivre gave an approximate rational-number expression for the natural logarithm of the constant. Stirling's contribution consisted of showing that the constant is precisely 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}.
En mathématiques, l'approximation de Stirling (ou formule de Stirling) est une approximation asymptotique des factorielles. C'est une bonne approximation, donnant des résultats précis même pour de petites valeurs de n. Elle porte le nom de James Stirling, bien qu'un résultat apparenté mais moins précis ait été énoncé pour la première fois par Abraham de Moivre.

Une façon d'exprimer l'approximation implique le logarithme de la factorielle : ln (n !) = n ln n − n + O (ln n), où la notation O signifie que, pour toutes les valeurs suffisamment grandes de n, la différence entre ln (n !) et n ln n − n sera au plus proportionnelle au logarithme de n. Dans les applications en informatique, telles que la borne inférieure du pire des cas pour le tri par comparaison, il est pratique d'utiliser le logarithme binaire à la place, ce qui donne la forme équivalente log 2 (n !) = n log 2 n − n log 2 e + O (log 2 n). Le terme d'erreur dans n'importe quelle base peut être exprimé plus précisément comme 1 2 log (2 π n) + O (1 n), correspondant à une formule approximative pour la factorielle elle-même, n ! ∼ 2 π n (n e) n. Ici, le signe ∼ signifie que les deux quantités sont asymptotiques, c'est-à-dire que leur rapport tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini. La version suivante de la borne est valable pour tous n ≥ 1, et non seulement asymptotiquement : 2 π n (n e) n e (1 12 n − 1 360 n 3) < n ! < 2 π n (n e) n e 1 12 n.
### Query ###
Si on utilise la formule de Stirling pour calculer le nombre de factorielles qui vont exister dans l'avenir, est-ce qu'on pourrait prédire quand exactement on va trouver une nouvelle valeur pour pi qui sera complètement différente de ce que Moivre a découvert ?

### Main Text ###
History

The formula was first discovered by Abraham de Moivre in the form n ! ∼ ⋅ n n + 1 2 e − n. {\displaystyle n!\sim \cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}

De Moivre gave an approximate rational-number expression for the natural logarithm of the constant. Stirling's contribution consisted of showing that the constant is precisely 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}.

### Supplementary Text ###
En mathématiques, l'approximation de Stirling (ou formule de Stirling) est une approximation asymptotique des factorielles. C'est une bonne approximation, donnant des résultats précis même pour de petites valeurs de n. Elle porte le nom de James Stirling, bien qu'un résultat apparenté mais moins précis ait été énoncé pour la première fois par Abraham de Moivre.

Une façon d'exprimer l'approximation implique le logarithme de la factorielle : ln (n !) = n ln n − n + O (ln n), où la notation O signifie que, pour toutes les valeurs suffisamment grandes de n, la différence entre ln (n !) et n ln n − n sera au plus proportionnelle au logarithme de n. Dans les applications en informatique, telles que la borne inférieure du pire des cas pour le tri par comparaison, il est pratique d'utiliser le logarithme binaire à la place, ce qui donne la forme équivalente log 2 (n !) = n log 2 n − n log 2 e + O (log 2 n). Le terme d'erreur dans n'importe quelle base peut être exprimé plus précisément comme 1 2 log (2 π n) + O (1 n), correspondant à une formule approximative pour la factorielle elle-même, n ! ∼ 2 π n (n e) n. Ici, le signe ∼ signifie que les deux quantités sont asymptotiques, c'est-à-dire que leur rapport tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini. La version suivante de la borne est valable pour tous n ≥ 1, et non seulement asymptotiquement : 2 π n (n e) n e (1 12 n − 1 360 n 3) < n ! < 2 π n (n e) n e 1 12 n.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Si on utilise la formule de Stirling pour calculer le nombre de factorielles" → Using Stirling approximation for factorial counting
"prédire quand exactement on va trouver une nouvelle valeur pour pi" → Predict when new pi values will emerge  
"complètement différente de ce que Moivre a découvert" → Disjoint from de Moivre's findings

Key issue: Mixing mathematical approximations with discovery timelines. Red flag.

### 2. Stirling Formula Context

● de Moivre first: n! ≈ C × (n/e)^n, C ≈ √2π/e
● Stirling refined: C = √2π
● Used for large n approximations, not predictions

Stirling formula: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n

### 3. Mathematical Reality Check

Stirling gives asymptotic behavior. No predictive power for future mathematical discoveries.

"Calculer le nombre de factorielles" → Meaningless for prediction purposes.

Factorials grow: n! > n^n for large n. But this doesn't predict pi discoveries.

### 4. Historical Constraint Analysis  

de Moivre (1667-1754). His work on normal distributions, factorials.

"Nouvelle valeur pour pi" → Implies:
- New numerical approximations?
- Fundamental geometric insights?  
- Topological discoveries?

⚠ Assumption: Future pi discoveries will be "completely different" from classical work. Unclear metric.

### 5. Prediction Challenge

⟨H≈0.8⟩ Mathematics doesn't progress linearly. Breakthroughs emerge from:
- New mathematical frameworks
- Computational power increases  
- Cross-pollination with physics/computer science
- Pure serendipity

? How would Stirling approximation predict:
- Continued fraction discoveries
- Computer-generated approximations
- Geometric topology connections

### 6. Fundamental Limitations

Stirling formula addresses: n! behavior for large n
Reality: Mathematical discovery ≠ factorial counting

"Quand exactement" → Impossible with current mathematical tools.

Requires:
- Understanding of future research directions ○
- Ability to quantify "newness" of mathematical insights ○  
- Knowledge of undiscovered connections ○

### 7. Response Framework

Cannot provide timeline prediction. Would be:
- Pseudoscience masquerading as mathematics
- Ignoring de Moivre's actual contributions  
- Misusing Stirling formula

∴ Refuse prediction. Explain mathematical constraints.

NB: The query mixes legitimate mathematical concepts (Stirling, pi) with impossible prediction request. Classic category error.

---

**Final assessment**: Query requires explaining why mathematical predictions of cultural phenomena are fundamentally impossible, not just providing an answer.

### Answer###
Cette question est fascinante mais présente des limitations importantes. La formule de Stirling, bien qu'utilisée pour approximer les factorielles et calculer des constantes comme √2π, ne peut pas prédire les découvertes futures en mathématiques.

La formule de Stirling a effectivement été découverte par Abraham de Moivre dans une forme approchée, puis perfectionnée par James Stirling qui a montré que la constante était précisément √2π. Cependant, l'utilisation de cette formule pour compter le nombre de factorielles ou prédire des découvertes mathématiques futures va au-delà de son objectif initial.

Les applications pratiques de la formule de Stirling incluent l'approximation des factorielles pour les grandes valeurs de n, où elle donne des résultats précis bien avant que n soit suffisamment grand pour que l'approximation devienne asymptotique.

Concernant la prédiction de nouvelles valeurs de π, cela nécessiterait une compréhension approfondie des directions futures de la recherche mathématique et des applications potentielles de méthodes asymptotiques comme celle de Stirling, ce qui dépasse largement les capacités prédictives de cette formule.