Quelle est la définition mathématique exacte d'une 3-sphère dans l'espace euclidien à 4 dimensions ?
In mathematics, a 3-sphere, glome or hypersphere is a higher-dimensional analogue of a sphere. In 4-dimensional Euclidean space, it is the set of points equidistant from a fixed central point. Analogous to how the boundary of a ball in three dimensions is an ordinary sphere, the boundary of a ball in four dimensions is a 3-sphere. Topologically, a 3-sphere is an example of a 3-manifold, and it is also an n-sphere.
3-sphère

Une 3-sphère est un analogue en dimension supérieure d'une sphère. Elle est constituée de l'ensemble des points équidistants d'un point central fixe dans l'espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle qui forme la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet tridimensionnel qui forme la frontière d'une boule en quatre dimensions. De nombreux exemples de 3-variétés peuvent être construits en prenant des quotients de la 3-sphère par un groupe fini π agissant librement sur S³ via une application π → SO(4), de sorte que M = S³ / π.
### Query ###
Quelle est la définition mathématique exacte d'une 3-sphère dans l'espace euclidien à 4 dimensions ?

### Main Text ###
In mathematics, a 3-sphere, glome or hypersphere is a higher-dimensional analogue of a sphere. In 4-dimensional Euclidean space, it is the set of points equidistant from a fixed central point. Analogous to how the boundary of a ball in three dimensions is an ordinary sphere, the boundary of a ball in four dimensions is a 3-sphere. Topologically, a 3-sphere is an example of a 3-manifold, and it is also an n-sphere.

### Supplementary Text ###
3-sphère

Une 3-sphère est un analogue en dimension supérieure d'une sphère. Elle est constituée de l'ensemble des points équidistants d'un point central fixe dans l'espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle qui forme la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet tridimensionnel qui forme la frontière d'une boule en quatre dimensions. De nombreux exemples de 3-variétés peuvent être construits en prenant des quotients de la 3-sphère par un groupe fini π agissant librement sur S³ via une application π → SO(4), de sorte que M = S³ / π.

### Draft ###

Query: "Quelle est la définition mathématique exacte d'une 3-sphère dans l'espace euclidien à 4 dimensions ?"

Translation check: "3-sphere" = 3-sphäre, "4-dimensional Euclidean space" = espace euclidien à 4 dimensions. Clear mathematical terminology.

**Task classification:** Mathematical definition retrieval. Not complex reasoning.

**Core definition needed:** 
3-sphere in ℝ⁴ = set of points equidistant from central point.

**Verification path:**
Distance function: ||x|| = √(x₁² + x₂² + x₃² + x₄²) = R (constant)
→ x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = R²

**Topological context:**
Boundary of 4-ball = 3-sphere.
3-manifold structure.
n-sphere generalization (n=3 case).

**Mathematical rigor check:**
☑ Equidistance definition clear
☑ Distance formula correct  
☑ Topological classification accurate
☑ Boundary relationship stated

**Response structure:**
1. Direct definition: equidistant points
2. Boundary relationship (4-ball connection)
3. Topological classification
4. Generalization framework

**Potential issues flagged:**
- No geometric intuition included (optional)
- Could mention parametrization/equations
- Classical vs. modern definitions?

**Conclusion:** Standard mathematical definition. No controversial interpretations. Response covers essential elements with appropriate precision.

**Answer completeness:** ● High confidence
- Definition: ✓
- Boundary relation: ✓  
- Topology: ✓
- Generalization: ✓

### Answer###
Une 3-sphère dans l'espace euclidien à 4 dimensions est définie comme l'ensemble des points équidistants d'un point central fixe. Mathématiquement, c'est l'analogue en dimension supérieure d'une sphère ordinaire : tout comme une sphère limite une boule tridimensionnelle en trois dimensions, une 3-sphère forme la frontière d'une boule quadridimensionnelle.

Plus précisément, une 3-sphère est un objet tridimensionnel qui peut être paramétrée par une équation de la forme :

x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = R²

où R représente le rayon de la 3-sphère et (x₁, x₂, x₃, x₄) sont les coordonnées des points dans l'espace euclidien à 4 dimensions.

Topologiquement, une 3-sphère est un exemple de 3-variété et constitue également une n-sphère particulière avec n=3. Elle peut être vue comme le quotient de la 3-sphère standard par un groupe fini agissant librement, ce qui permet de construire diverses 3-variétés.