Comment le nombre de fois que l'on lance une pièce influence le seuil à partir duquel on peut dire qu'elle est truquée.
Testing the fairness of a coin

As an example of a statistical test, an experiment is performed to determine whether a coin flip is fair (equal chance of landing heads or tails) or unfairly biased (one outcome being more likely than the other).

Suppose that the experimental results show the coin turning up heads 14 times out of 20 total flips. The full data X {\displaystyle X} would be a sequence of twenty times the symbol "H" or "T". The statistic on which one might focus could be the total number T {\displaystyle T} of heads. The null hypothesis is that the coin is fair, and coin tosses are independent of one another. If a right-tailed test is considered, which would be the case if one is actually interested in the possibility that the coin is biased towards falling heads, then the p -value of this result is the chance of a fair coin landing on heads at least 14 times out of 20 flips. That probability can be computed from binomial coefficients as

This probability is the p -value, considering only extreme results that favor heads. This is called a one-tailed test. However, one might be interested in deviations in either direction, favoring either heads or tails. The two-tailed p -value, which considers deviations favoring either heads or tails, may instead be calculated. As the binomial distribution is symmetrical for a fair coin, the two-sided p -value is simply twice the above calculated single-sided p -value: the two-sided p -value is 0.115.

In the above example:

The Pr(no. of heads ≤ 14 heads) = 1 − Pr(no. of heads ≥ 14 heads) + Pr(no. of head = 14) = 1 − 0.058 + 0.036 = 0.978; however, the symmetry of this binomial distribution makes it an unnecessary computation to find the smaller of the two probabilities. Here, the calculated p -value exceeds 0.05, meaning that the data falls within the range of what would happen 95% of the time, if the coin were fair. Hence, the null hypothesis is not rejected at the 0.05 level.

However, had one more head been obtained, the resulting p -value (two-tailed) would have been 0.0414 (4.14%), in which case the null hypothesis would be rejected at the 0.05 level.
La queue de la distribution du test d'hypothèse nulle

Considérons la question de savoir si une pièce lancée est équitable (c'est-à-dire qu'elle retombe en moyenne sur face 50 % du temps) et une expérience où l'on lance la pièce 5 fois. Un résultat possible de l'expérience que nous considérons ici est 5 faces. Les résultats sont considérés comme peu probables par rapport à une distribution supposée si leur probabilité est inférieure à un seuil de signification de 0,05.

Une hypothèse nulle potentielle impliquant un test unilatéral est : "cette pièce n'est pas biaisée en faveur de la face". Attention, dans ce contexte, le terme "unilatéral" ne se réfère pas au résultat d'un seul lancer de pièce (c'est-à-dire si la pièce tombe sur "pile" au lieu de "face") ; le terme "unilatéral" se réfère à une manière spécifique de tester l'hypothèse nulle dans laquelle la région critique (également appelée "région de rejet") se situe d'un seul côté de la distribution de probabilité.

En effet, avec une pièce équitable, la probabilité de ce résultat expérimental est de 1/2 = 0,031, ce qui serait encore plus faible si la pièce était biaisée en faveur du pile. Par conséquent, les observations ne sont pas suffisamment improbables pour que l'hypothèse nulle soit valide, et le test la réfute. Puisque la pièce n'est ostensibly ni équitable ni biaisée en faveur du pile, la conclusion de l'expérience est que la pièce est biaisée en faveur de la face.

Alternativement, une hypothèse nulle impliquant un test bilatéral est : "cette pièce est équitable". Cette hypothèse nulle pourrait être examinée en recherchant soit trop de pile, soit trop de face dans les expériences. Les résultats qui tendraient à réfuter cette hypothèse nulle sont ceux qui présentent un grand nombre de faces ou un grand nombre de piles, et notre expérience avec 5 faces semblerait appartenir à cette catégorie.

Cependant, la probabilité de 5 lancers du même type, qu'il s'agisse de faces ou de piles, est le double de celle de l'occurrence unique de 5 faces considérées isolément. Par conséquent, sous cette hypothèse nulle bilatérale, l'observation reçoit une valeur de probabilité de 0,063. Par conséquent, avec le même seuil de signification utilisé pour le test unilatéral (0,05), le même résultat n'est pas statistiquement significatif. Par conséquent, l'hypothèse nulle bilatérale sera préservée dans ce cas, ne soutenant pas la conclusion atteinte avec l'hypothèse nulle unilatérale, à savoir que la pièce est biaisée en faveur de la face.

Cet exemple illustre que la conclusion tirée d'un test statistique peut dépendre de la formulation précise des hypothèses nulle et alternative.
### Query ###
Comment le nombre de fois que l'on lance une pièce influence le seuil à partir duquel on peut dire qu'elle est truquée.

### Main Text ###
Testing the fairness of a coin

As an example of a statistical test, an experiment is performed to determine whether a coin flip is fair (equal chance of landing heads or tails) or unfairly biased (one outcome being more likely than the other).

Suppose that the experimental results show the coin turning up heads 14 times out of 20 total flips. The full data X {\displaystyle X} would be a sequence of twenty times the symbol "H" or "T". The statistic on which one might focus could be the total number T {\displaystyle T} of heads. The null hypothesis is that the coin is fair, and coin tosses are independent of one another. If a right-tailed test is considered, which would be the case if one is actually interested in the possibility that the coin is biased towards falling heads, then the p -value of this result is the chance of a fair coin landing on heads at least 14 times out of 20 flips. That probability can be computed from binomial coefficients as

This probability is the p -value, considering only extreme results that favor heads. This is called a one-tailed test. However, one might be interested in deviations in either direction, favoring either heads or tails. The two-tailed p -value, which considers deviations favoring either heads or tails, may instead be calculated. As the binomial distribution is symmetrical for a fair coin, the two-sided p -value is simply twice the above calculated single-sided p -value: the two-sided p -value is 0.115.

In the above example:

The Pr(no. of heads ≤ 14 heads) = 1 − Pr(no. of heads ≥ 14 heads) + Pr(no. of head = 14) = 1 − 0.058 + 0.036 = 0.978; however, the symmetry of this binomial distribution makes it an unnecessary computation to find the smaller of the two probabilities. Here, the calculated p -value exceeds 0.05, meaning that the data falls within the range of what would happen 95% of the time, if the coin were fair. Hence, the null hypothesis is not rejected at the 0.05 level.

However, had one more head been obtained, the resulting p -value (two-tailed) would have been 0.0414 (4.14%), in which case the null hypothesis would be rejected at the 0.05 level.

### Supplementary Text ###
La queue de la distribution du test d'hypothèse nulle

Considérons la question de savoir si une pièce lancée est équitable (c'est-à-dire qu'elle retombe en moyenne sur face 50 % du temps) et une expérience où l'on lance la pièce 5 fois. Un résultat possible de l'expérience que nous considérons ici est 5 faces. Les résultats sont considérés comme peu probables par rapport à une distribution supposée si leur probabilité est inférieure à un seuil de signification de 0,05.

Une hypothèse nulle potentielle impliquant un test unilatéral est : "cette pièce n'est pas biaisée en faveur de la face". Attention, dans ce contexte, le terme "unilatéral" ne se réfère pas au résultat d'un seul lancer de pièce (c'est-à-dire si la pièce tombe sur "pile" au lieu de "face") ; le terme "unilatéral" se réfère à une manière spécifique de tester l'hypothèse nulle dans laquelle la région critique (également appelée "région de rejet") se situe d'un seul côté de la distribution de probabilité.

En effet, avec une pièce équitable, la probabilité de ce résultat expérimental est de 1/2 = 0,031, ce qui serait encore plus faible si la pièce était biaisée en faveur du pile. Par conséquent, les observations ne sont pas suffisamment improbables pour que l'hypothèse nulle soit valide, et le test la réfute. Puisque la pièce n'est ostensibly ni équitable ni biaisée en faveur du pile, la conclusion de l'expérience est que la pièce est biaisée en faveur de la face.

Alternativement, une hypothèse nulle impliquant un test bilatéral est : "cette pièce est équitable". Cette hypothèse nulle pourrait être examinée en recherchant soit trop de pile, soit trop de face dans les expériences. Les résultats qui tendraient à réfuter cette hypothèse nulle sont ceux qui présentent un grand nombre de faces ou un grand nombre de piles, et notre expérience avec 5 faces semblerait appartenir à cette catégorie.

Cependant, la probabilité de 5 lancers du même type, qu'il s'agisse de faces ou de piles, est le double de celle de l'occurrence unique de 5 faces considérées isolément. Par conséquent, sous cette hypothèse nulle bilatérale, l'observation reçoit une valeur de probabilité de 0,063. Par conséquent, avec le même seuil de signification utilisé pour le test unilatéral (0,05), le même résultat n'est pas statistiquement significatif. Par conséquent, l'hypothèse nulle bilatérale sera préservée dans ce cas, ne soutenant pas la conclusion atteinte avec l'hypothèse nulle unilatérale, à savoir que la pièce est biaisée en faveur de la face.

Cet exemple illustre que la conclusion tirée d'un test statistique peut dépendre de la formulation précise des hypothèses nulle et alternative.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Comment le nombre de fois que l'on lance une pièce influence le seuil à partir duquel on peut dire qu'elle est truquée"

→ Key terms: "nombre de fois" (sample size), "seuil" (significance threshold), "truquée" (biased/unfair)
→ French semantic note: "truquée" implies intentional manipulation vs natural variation

Translation issues: "seuil" = threshold/critical value. Statistical interpretation needed.

### 2. Core Statistical Framework

Classical approach: Binomial test for fairness.
- Null hypothesis: p(Heads) = 0.5
- Alternative: p(Heads) ≠ 0.5 (two-tailed) or p(Heads) > 0.5 (one-tailed)

Sample proportion: ˆp = X/n where X = number of heads, n = total flips

Standard error: SE = √(ˆp(1 - ˆp)/n)

Test statistic: Z = (ˆp - 0.5)/SE

Critical value: zα/2 for two-tailed α-level test

### 3. Sample Size Influence Analysis

Key relationship: As n increases → critical value decreases

Intuitive explanation: Larger samples provide more precise estimates of true proportion.

Mathematical: For fixed significance level α, reject null when |Z| > zα/2

∴ Larger n → smaller critical values → easier to reject null

### 4. Threshold Determination

Critical threshold depends on:
- Desired significance level (typically 0.05)
- Direction of interest (one vs two-tailed)
- Sample size n

Example calculation:
- n = 100 flips, observed ˆp = 0.6
- Two-tailed test at α = 0.05
- Critical value: ±1.96
- Test statistic: (0.6 - 0.5)/(√(0.5×0.5)/100) ≈ 2.83
- Conclusion: Reject null, piece appears biased

### 5. Practical Implications

Threshold decreases as sample size increases:
- Small samples (n < 20): High threshold needed
- Moderate samples (n ≈ 20-100): Standard thresholds apply  
- Large samples (n > 100): Lower thresholds, easier to detect bias

! Key insight: Sample size fundamentally determines statistical power and threshold requirements

### 6. Synthesis

The influence operates through:
1. Increased precision of sample proportion estimates
2. Decreased standard errors as n increases
3. Shrinking critical values for significance testing

Smaller thresholds for large samples reflect greater confidence in rejecting null hypothesis when evidence exists.

∴ More flips → lower threshold needed for "trucqué" determination

### Answer###
Le nombre de lancers de pièce influence directement le seuil de signification nécessaire pour conclure qu'une pièce est truquée. Ce processus repose sur un test statistique qui compare les résultats expérimentaux aux probabilités attendues sous l'hypothèse nulle que la pièce est équitable.

Lorsque l'on effectue un test bilatéral avec un échantillon modéré (par exemple, 5 lancers), le seuil de signification peut être relativement élevé. Dans cet exemple, obtenir 5 faces consécutives ne permet pas de rejeter l'hypothèse nulle à un niveau de signification de 0,05, même si le résultat semble extrème. La probabilité de 5 lancers du même type (5 faces ou 5 piles) est simplement le double de celle d'une occurrence unique de 5 faces, s'établissant à 0,063.

Cependant, à mesure que le nombre de lancers augmente, le seuil de signification diminue. Dans un scénario avec 20 lancers donnant 14 fois face, la valeur p bilatérale devient de 0,115, mais en test unilatéral (intéressant uniquement les biais vers face), elle tombe à 0,058. Un lancer supplémentaire de face ferait passer cette valeur p à 0,0414, rendant le résultat statistiquement significatif au niveau de 0,05 et permettant de rejeter l'hypothèse nulle.

Ainsi, plus le nombre de lancers est élevé, plus le seuil de preuve nécessaire pour détecter un biais diminue, car les échantillons plus larges fournissent des estimations plus précises de la proportion réelle.