Comment la quantité d'énergie totale détermine-t-elle la forme de l'orbite d'un corps gravitationnel ?
Orbital energies and orbit shapes

When only two gravitational bodies interact, their orbits follow a conic section. The orbit can be open (implying the object never returns) or closed (returning). Which it is depends on the total energy (kinetic + potential energy) of the system. In the case of an open orbit, the speed at any position of the orbit is at least the escape velocity for that position, in the case of a closed orbit, the speed is always less than the escape velocity. Since the kinetic energy is never negative if the common convention is adopted of taking the potential energy as zero at infinite separation, the bound orbits will have negative total energy, the parabolic trajectories zero total energy, and hyperbolic orbits positive total energy.

An open orbit will have a parabolic shape if it has the velocity of exactly the escape velocity at that point in its trajectory, and it will have the shape of a hyperbola when its velocity is greater than the escape velocity. When bodies with escape velocity or greater approach each other, they will briefly curve around each other at the time of their closest approach, and then separate, forever.

All closed orbits have the shape of an ellipse. A circular orbit is a special case, wherein the foci of the ellipse coincide. The point where the orbiting body is closest to Earth is called the perigee, and when orbiting a body other than earth it is called the periapsis (less properly, "perifocus" or "pericentron"). The point where the satellite is farthest from Earth is called the apogee, apoapsis, or sometimes apifocus or apocentron. A line drawn from periapsis to apoapsis is the line-of-apsides. This is the major axis of the ellipse, the line through its longest part.
Force totale en relativité générale

En relativité générale, l'énergie potentielle gravitationnelle effective d'un objet de masse m tournant autour d'un corps central massif M est donnée par

Une force totale conservative peut alors être obtenue comme son gradient négatif

où L est le moment cinétique. Le premier terme représente la force de gravitation newtonienne, qui est décrite par la loi de l'inverse du carré. Le deuxième terme représente la force centrifuge dans le mouvement circulaire. Le troisième terme représente l'effet relativiste.
### Query ###
Comment la quantité d'énergie totale détermine-t-elle la forme de l'orbite d'un corps gravitationnel ?

### Main Text ###
Orbital energies and orbit shapes

When only two gravitational bodies interact, their orbits follow a conic section. The orbit can be open (implying the object never returns) or closed (returning). Which it is depends on the total energy (kinetic + potential energy) of the system. In the case of an open orbit, the speed at any position of the orbit is at least the escape velocity for that position, in the case of a closed orbit, the speed is always less than the escape velocity. Since the kinetic energy is never negative if the common convention is adopted of taking the potential energy as zero at infinite separation, the bound orbits will have negative total energy, the parabolic trajectories zero total energy, and hyperbolic orbits positive total energy.

An open orbit will have a parabolic shape if it has the velocity of exactly the escape velocity at that point in its trajectory, and it will have the shape of a hyperbola when its velocity is greater than the escape velocity. When bodies with escape velocity or greater approach each other, they will briefly curve around each other at the time of their closest approach, and then separate, forever.

All closed orbits have the shape of an ellipse. A circular orbit is a special case, wherein the foci of the ellipse coincide. The point where the orbiting body is closest to Earth is called the perigee, and when orbiting a body other than earth it is called the periapsis (less properly, "perifocus" or "pericentron"). The point where the satellite is farthest from Earth is called the apogee, apoapsis, or sometimes apifocus or apocentron. A line drawn from periapsis to apoapsis is the line-of-apsides. This is the major axis of the ellipse, the line through its longest part.

### Supplementary Text ###
Force totale en relativité générale

En relativité générale, l'énergie potentielle gravitationnelle effective d'un objet de masse m tournant autour d'un corps central massif M est donnée par

Une force totale conservative peut alors être obtenue comme son gradient négatif

où L est le moment cinétique. Le premier terme représente la force de gravitation newtonienne, qui est décrite par la loi de l'inverse du carré. Le deuxième terme représente la force centrifuge dans le mouvement circulaire. Le troisième terme représente l'effet relativiste.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment la quantité d'énergie totale détermine-t-elle la forme de l'orbite d'un corps gravitationnel ?"

Key semantic: *quantité d'énergie totale* = total energy (kinetic + potential). *forme de l'orbite* = orbital shape.

Direct information retrieval → orbital mechanics fundamentals.

### 2. Energy Classification Framework

Total energy E_tot = kinetic energy K + potential energy V.

Three regimes:
- E_tot < 0: **bound orbits** (closed ellipses)  
- E_tot = 0: **parabolic trajectories** (open, single passage)
- E_tot > 0: **hyperbolic trajectories** (open, escape)

※ Negative potential energy convention assumed (zero at infinity).

### 3. Shape-Energy Relationships

**Closed Elliptical Orbits (E_tot < 0):**
- Object returns periodically
- Periapsis distance: closest approach
- Apoapsis distance: farthest separation  
- Special case: circular orbit (coincident foci)
- Speed always < escape velocity at any point

**Open Parabolic Orbits (E_tot = 0):**
- Tangent to central body at periapsis
- Exactly escape velocity at periapsis
- Hyperbolic open orbits (E_tot > 0):
- Velocity > escape velocity
- Brief interaction, then separation

### 4. Physical Constraints Verification

Escape velocity at distance r from mass M: v_esc = √(2GM/r)

For bound orbits: v < v_esc everywhere → closed path possible
For parabolic: v = v_esc at periapsis → open but tangent
For hyperbolic: v > v_esc → open, non-tangent

∴ Energy determines whether closed/open, energy magnitude determines eccentricity within that category.

### 5. Mathematical Synthesis

Conic section classification:
- Ellipse: |E_tot| < GMm/2a (bound)
- Parabola: E_tot = GMm/2a (escape)  
- Hyperbola: E_tot > GMm/2a (escape + excess velocity)

Eccentricity e = (1 + 2E_tot/GMm)^{-1/2}

● High confidence: Standard two-body problem results
● Complete coverage: All possible orbital shapes explained
◐ Minor gap: Relativistic corrections not addressed (stated explicitly out-of-scope)

### Answer###
La forme de l'orbite d'un corps gravitationnel dépend directement de sa quantité d'énergie totale, définie comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle gravitationnelle.

Trois catégories principales d'orbites se distinguent selon cette énergie :

**Orbite fermée (énergie totale négative) :** Ces orbites sont toujours closes et suivent une forme elliptique. Dans ce cas, le corps gravitationnel retourne périodiquement vers le corps central. La vitesse du corps à chaque point de l'orbite est inférieure à la vitesse d'évasion locale. Le point le plus proche (périapside) et le point le plus éloigné (apoapside) définissent les sommets de l'ellipse. Un orbite circulaire représente un cas particulier où les foyers de l'ellipse coïncident.

**Orbite parabolique (énergie totale nulle) :** Cette orbite ouverte correspond exactement au cas limite où la vitesse atteint la vitesse d'évasion au point le plus proche. Le corps suit une trajectoire parabolique et ne retourne jamais vers le corps central.

**Orbite hyperbolique (énergie totale positive) :** Ces orbites ouvertes caractérisent des corps dont la vitesse dépasse la vitesse d'évasion. Dans ce cas, les objets se rapprochent brièvement, dévient autour du corps central, puis se séparent définitivement, ne le contournant jamais.

Cette relation énergie-forme orbitale explique pourquoi seules les orbites fermées peuvent être elliptiques, et pourquoi l'ellipse devient un cercle particulier dans le cas d'une orbite circulaire stable.