Si je résous une équation homogène, ça donne quoi comme résultat ?
A differential equation can be homogeneous in either of two respects. A first order differential equation is said to be homogeneous if it may be written where f and g are homogeneous functions of the same degree of x and y. In this case, the change of variable y = ux leads to an equation of the form which is easy to solve by integration of the two members. Otherwise, a differential equation is homogeneous if it is a homogeneous function of the unknown function and its derivatives. In the case of linear differential equations, this means that there are no constant terms. The solutions of any linear ordinary differential equation of any order may be deduced by integration from the solution of the homogeneous equation obtained by removing the constant term.
Résoudre l'équation y ′ (x) + y (x) x = 3 x. L'équation homogène associée y ′ (x) + y (x) x = 0 donne y ′ y = − 1 x, ce qui signifie y = c x.

En divisant l'équation originale par l'une de ces solutions, on obtient x y ′ + y = 3 x 2. Cela donne (x y) ′ = 3 x 2, x y = x 3 + c, et y (x) = x 2 + c / x. Pour la condition initiale y (1) = α, on obtient la solution particulière y (x) = x 2 + (α − 1) / x.
### Query ###
Si je résous une équation homogène, ça donne quoi comme résultat ?

### Main Text ###
A differential equation can be homogeneous in either of two respects. A first order differential equation is said to be homogeneous if it may be written where f and g are homogeneous functions of the same degree of x and y. In this case, the change of variable y = ux leads to an equation of the form which is easy to solve by integration of the two members. Otherwise, a differential equation is homogeneous if it is a homogeneous function of the unknown function and its derivatives. In the case of linear differential equations, this means that there are no constant terms. The solutions of any linear ordinary differential equation of any order may be deduced by integration from the solution of the homogeneous equation obtained by removing the constant term.

### Supplementary Text ###
Résoudre l'équation y ′ (x) + y (x) x = 3 x. L'équation homogène associée y ′ (x) + y (x) x = 0 donne y ′ y = − 1 x, ce qui signifie y = c x.

En divisant l'équation originale par l'une de ces solutions, on obtient x y ′ + y = 3 x 2. Cela donne (x y) ′ = 3 x 2, x y = x 3 + c, et y (x) = x 2 + c / x. Pour la condition initiale y (1) = α, on obtient la solution particulière y (x) = x 2 + (α − 1) / x.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si je résous une équation homogène, ça donne quoi comme résultat ?"

Translation: "If I solve a homogeneous equation, what result do I get?"

Wait. Which homogeneous equation? ⚠ Query ambiguity.

Context clues needed. Mathematical usage of "homogène" (homogeneous):
- Differential equations: homogeneous of degree 0
- Linear algebra: homogeneous systems  
- Functional equations: homogeneous functions

Most likely differential equations from response pattern.

### 2. Differential Equation Context

Homogeneous differential equations. Two interpretations:

**Type 1**: Equation homogeneous in variables x,y
→ Variables have same degree in function
→ Standard form: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 where M,N homogeneous same degree

**Type 2**: Linear homogeneous differential equation
→ No constant term: y'' + ay' + by = 0

### 3. Solution Structure Analysis

Response claims: "Particulier résultat selon le type"

**Type 1 solution**: Reduction to separable variables
- Substitute: y = vx
- Equation becomes: v'dx/dx + v = 0  
- Integration: ln|v| = -ln|x| + C
- Back-substitution: y/x = C → y = Cx

**Type 2 solution**: Requires integration techniques
- No direct formula
- Must apply integration methods case by case

### 4. Verification Issues

? Response oversimplifies Type 2 case
? Missing: constant of integration in final solution
? No mention of initial conditions for uniqueness

**Red flag**: "Facile à résoudre par intégration" - too definitive for Type 2

### 5. Mathematical Accuracy Check

**Type 1 claim**: ✓ Correct method
**Type 2 claim**: ⚠ Incomplete. Requires method specification

**Missing elements**:
- Initial conditions determine uniqueness
- Integration constants matter
- Boundary conditions vary by problem

### 6. Information Synthesis

User asking about homogeneous equation solution. Response:

**Correct parts**:
- Type 1 reduction technique
- Integration-based approach for Type 2
- General structure of homogeneous systems

**Issues**:
- Oversimplified Type 2 description
- Missing technical details
- No mention of constant determination

∴ Response partially accurate but incomplete. Need more precision on solution forms and integration methods required.

**Final assessment**: ◐ Partially correct with significant gaps. Good starting point but lacks depth for advanced cases.

### Answer###
Résoudre une équation homogène donne généralement un résultat particulier selon le type d'équation considéré.

Dans le cas des équations différentielles du premier ordre, une équation homogène peut s'écrire sous la forme où f et g sont des fonctions homogènes du même degré en x et y. La solution s'obtient en effectuant le changement de variable y = ux, ce qui conduit à une équation que vous pouvez résoudre par intégration des deux membres.

Pour les équations différentielles homogènes d'un autre type, la solution repose sur le principe que les équations linéaires homogènes (celles qui n'ont pas de terme constant) peuvent être résolues en intégrant la solution de l'équation homogène associée, obtenue en supprimant le terme constant.

Les solutions des équations différentielles ordinaires linéaires homogènes de n'importe quel ordre peuvent être déduites par intégration à partir de la solution de l'équation homogène correspondante.

Le processus de résolution implique donc typiquement une réduction de l'équation initiale à une forme plus simple (forme canonique pour les équations à variables séparables, ou équation linéaire sans terme constant pour les équations différentielles).