Si une base orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension infinie n'est pas une base de Hamel
Orthonormal bases

The notion of an orthonormal basis from linear algebra generalizes over to the case of Hilbert spaces. In a Hilbert space H, an orthonormal basis is a family { e } of elements of H satisfying the conditions:

A system of vectors satisfying the first two conditions basis is called an orthonormal system or an orthonormal set (or an orthonormal sequence if B is countable). Such a system is always linearly independent.

Despite the name, an orthonormal basis is not, in general, a basis in the sense of linear algebra (Hamel basis). More precisely, an orthonormal basis is a Hamel basis if and only if the Hilbert space is a finite-dimensional vector space.

Completeness of an orthonormal system of vectors of a Hilbert space can be equivalently restated as:

This is related to the fact that the only vector orthogonal to a dense linear subspace is the zero vector, for if S is any orthonormal set and v is orthogonal to S, then v is orthogonal to the closure of the linear span of S, which is the whole space.

Examples of orthonormal bases include:

In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis will not be a basis in the sense of linear algebra; to distinguish the two, the latter basis is also called a Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense implies that every vector in the space can be written as the sum of an infinite series, and the orthogonality implies that this decomposition is unique.
Bases orthonormées

La notion de base orthonormée de l'algèbre linéaire se généralise au cas des espaces de Hilbert. Dans un espace de Hilbert H, une base orthonormée est une famille { e } d'éléments de H satisfaisant les conditions suivantes :

Un système de vecteurs satisfaisant les deux premières conditions est appelé un système orthonormé ou un ensemble orthonormé (ou une suite orthonormée si B est dénombrable). Un tel système est toujours linéairement indépendant.

Malgré le nom, une base orthonormée n'est pas, en général, une base au sens de l'algèbre linéaire (base de Hamel). Plus précisément, une base orthonormée est une base de Hamel si et seulement si l'espace de Hilbert est un espace vectoriel de dimension finie.

La complétude d'un système orthonormé de vecteurs d'un espace de Hilbert peut être reformulée de manière équivalente comme suit :

Cela est lié au fait que le seul vecteur orthogonal à une sous-espace linéaire dense est le vecteur nul, car si S est un ensemble orthonormé quelconque et v est orthogonal à S, alors v est orthogonal à l'adhérence de l'étendue linéaire de S, qui est tout l'espace.

Des exemples de bases orthonormées incluent :

Dans le cas de dimension infinie, une base orthonormée ne sera pas une base au sens de l'algèbre linéaire ; pour distinguer les deux, cette dernière base est également appelée base de Hamel. Le fait que l'étendue des vecteurs de la base soit dense implique que tout vecteur de l'espace peut être écrit comme la somme d'une série infinie, et l'orthogonalité implique que cette décomposition est unique.
### Query ###
Si une base orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension infinie n'est pas une base de Hamel

### Main Text ###
Orthonormal bases

The notion of an orthonormal basis from linear algebra generalizes over to the case of Hilbert spaces. In a Hilbert space H, an orthonormal basis is a family { e } of elements of H satisfying the conditions:

A system of vectors satisfying the first two conditions basis is called an orthonormal system or an orthonormal set (or an orthonormal sequence if B is countable). Such a system is always linearly independent.

Despite the name, an orthonormal basis is not, in general, a basis in the sense of linear algebra (Hamel basis). More precisely, an orthonormal basis is a Hamel basis if and only if the Hilbert space is a finite-dimensional vector space.

Completeness of an orthonormal system of vectors of a Hilbert space can be equivalently restated as:

This is related to the fact that the only vector orthogonal to a dense linear subspace is the zero vector, for if S is any orthonormal set and v is orthogonal to S, then v is orthogonal to the closure of the linear span of S, which is the whole space.

Examples of orthonormal bases include:

In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis will not be a basis in the sense of linear algebra; to distinguish the two, the latter basis is also called a Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense implies that every vector in the space can be written as the sum of an infinite series, and the orthogonality implies that this decomposition is unique.

### Supplementary Text ###
Bases orthonormées

La notion de base orthonormée de l'algèbre linéaire se généralise au cas des espaces de Hilbert. Dans un espace de Hilbert H, une base orthonormée est une famille { e } d'éléments de H satisfaisant les conditions suivantes :

Un système de vecteurs satisfaisant les deux premières conditions est appelé un système orthonormé ou un ensemble orthonormé (ou une suite orthonormée si B est dénombrable). Un tel système est toujours linéairement indépendant.

Malgré le nom, une base orthonormée n'est pas, en général, une base au sens de l'algèbre linéaire (base de Hamel). Plus précisément, une base orthonormée est une base de Hamel si et seulement si l'espace de Hilbert est un espace vectoriel de dimension finie.

La complétude d'un système orthonormé de vecteurs d'un espace de Hilbert peut être reformulée de manière équivalente comme suit :

Cela est lié au fait que le seul vecteur orthogonal à une sous-espace linéaire dense est le vecteur nul, car si S est un ensemble orthonormé quelconque et v est orthogonal à S, alors v est orthogonal à l'adhérence de l'étendue linéaire de S, qui est tout l'espace.

Des exemples de bases orthonormées incluent :

Dans le cas de dimension infinie, une base orthonormée ne sera pas une base au sens de l'algèbre linéaire ; pour distinguer les deux, cette dernière base est également appelée base de Hamel. Le fait que l'étendue des vecteurs de la base soit dense implique que tout vecteur de l'espace peut être écrit comme la somme d'une série infinie, et l'orthogonalité implique que cette décomposition est unique.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si une base orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension infinie n'est pas une base de Hamel"

Key terms: 
- "base orthonormée" = orthonormal basis ●
- "base de Hamel" = Hamel basis ●  
- "dimension infinie" = infinite-dimensional ◐

Translation straightforward. User asking about equivalence between these two concepts in infinite-dimensional Hilbert spaces.

### 2. Core Mathematical Claim

The response claims: orthonormal basis ≠ Hamel basis in infinite-dimensional Hilbert spaces.

This is correct ●. The distinction is fundamental in functional analysis.

### 3. Verification Process

**Definition check:**
- Orthonormal basis: {e_i} with ⟨e_i,e_j⟩ = δ_{ij}
- Hamel basis: spanning set with linear independence

**Counterexample construction:**
Consider Hilbert space ℓ²(ℕ) = {sequences a_n with Σ|a_n|² < ∞}.

Define e_n = (0,0,...,1,0,0,...), where 1 is in position n.
Clearly orthonormal.

But consider f = (1/n²). This lies in ℓ² but cannot be written as finite linear combination of e_n's.

Why? Suppose f = Σc_n e_n with only finitely many non-zero c_n.
Then c_k = 0 for all k > N for some N.
But f_k = 1/k² ≠ 0 for infinitely many k > N.

Contradiction ∴ orthonormal basis e_n fails to span ℓ².

### 4. Characterization Result

The response mentions: orthonormal basis IS Hamel basis iff space finite-dimensional.

This is correct ●. 

**Forward direction:** Finite-dimensional → orthonormal basis = Hamel basis
- Any orthonormal set in finite-dimensional space is complete
- Linear independence + completeness = spanning
- So orthonormal = Hamel basis

**Reverse direction:** Infinite-dimensional → orthonormal ≠ Hamel
- Counterexample above shows existence of orthonormal sets failing to be Hamel
- Dense linear span ≠ full space in infinite dimensions

### 5. Completeness Issue

Key insight: Orthonormal basis in infinite-dimensional space lacks Hamel property due to **completeness failure**.

The e_n basis above has dense linear span but fails to span entire ℓ².

This connects to:
- Uniqueness of representation (Fourier series)  
- Measure zero sets
- Hahn-Banach separation

### 6. Pedagogical Context

The response correctly emphasizes this is **central distinction** in functional analysis.

Common confusion sources:
- Intuitive "basis" meaning conflated
- Finite vs infinite dimensional behavior
- Role of completeness in Hilbert space theory

### 7. Conclusion

Response is mathematically sound ●.
- Correct claim about equivalence failure
- Proper counterexample construction  
- Accurate characterization of finite-dimensional case
- Good explanation of underlying issue (completeness)

The provided answer is technically accurate and pedagogically appropriate for advanced undergraduate/graduate level mathematics.

### Answer###
Cette affirmation est correcte. Une base orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension infinie n'est pas nécessairement une base de Hamel.

Plus précisément, une base orthonormée n'est pas une base de Hamel (au sens de l'algèbre linéaire) lorsque l'espace de Hilbert est de dimension infinie. Cette distinction est fondamentale en analyse fonctionnelle et constitue l'un des points clés qui sépare le comportement des espaces de Hilbert finis et infinis dimensionnels.

Une base orthonormée est effectivement une famille de vecteurs qui satisfait les conditions d'orthogonalité et de normalisation. Bien que ces vecteurs forment un système linéairement indépendant et que leur ensemble soit complet dans le sens de la complétude hilbertienne, ils ne constituent pas nécessairement une base au sens de l'algèbre linéaire.

Le fait que l'on puisse écrire tout vecteur de l'espace comme somme d'une série infinie de ces vecteurs de base, avec une représentation unique due à l'orthogonalité, ne fait pas de cette famille une base de Hamel au sens strict. Cette différence devient particulièrement importante dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie.

Cette distinction entre base orthonormée et base de Hamel reflète les propriétés topologiques distinctes des espaces de Hilbert infinis dimensionnels et constitue un résultat central en analyse fonctionnelle.