Est-ce que si je fais juste la soustraction de deux nombres naturels, je vais forcément obtenir un nombre naturel ?
In mathematics, a subset of a given set is closed under an operation of the larger set if performing that operation on members of the subset always produces a member of that subset. For example, the natural numbers are closed under addition, but not under subtraction: 1 − 2 is not a natural number, although both 1 and 2 are.

Similarly, a subset is said to be closed under a collection of operations if it is closed under each of the operations individually.

The closure of a subset is the result of a closure operator applied to the subset. The closure of a subset under some operations is the smallest superset that is closed under these operations. It is often called the span (for example linear span) or the generated set.
Nombres naturels

La soustraction des nombres naturels n'est pas une opération fermée : la différence n'est pas un nombre naturel à moins que le minuende ne soit supérieur ou égal au soustrahend. Par exemple, 26 ne peut pas être soustrait de 11 pour donner un nombre naturel. Dans un tel cas, on utilise l'une des deux approches suivantes :
### Query ###
Est-ce que si je fais juste la soustraction de deux nombres naturels, je vais forcément obtenir un nombre naturel ?

### Main Text ###
In mathematics, a subset of a given set is closed under an operation of the larger set if performing that operation on members of the subset always produces a member of that subset. For example, the natural numbers are closed under addition, but not under subtraction: 1 − 2 is not a natural number, although both 1 and 2 are.

Similarly, a subset is said to be closed under a collection of operations if it is closed under each of the operations individually.

The closure of a subset is the result of a closure operator applied to the subset. The closure of a subset under some operations is the smallest superset that is closed under these operations. It is often called the span (for example linear span) or the generated set.

### Supplementary Text ###
Nombres naturels

La soustraction des nombres naturels n'est pas une opération fermée : la différence n'est pas un nombre naturel à moins que le minuende ne soit supérieur ou égal au soustrahend. Par exemple, 26 ne peut pas être soustrait de 11 pour donner un nombre naturel. Dans un tel cas, on utilise l'une des deux approches suivantes :

### Draft ###

Query: "Est-ce que si je fais juste la soustraction de deux nombres naturels, je vais forcément obtenir un nombre naturel ?"

Translation: "If I just do subtraction of two natural numbers, will I necessarily get a natural number?"

→ Core question: Closure property of subtraction on ℕ.

### 1. Direct Answer

No. Subtraction not closed on natural numbers.

Counterexample needed. Take ℕ = {0,1,2,...}.

Consider 3 - 5 = ?

Result: -2 ∉ ℕ. ∴ Not always natural.

### 2. Mathematical Definition

Subset S ⊆ T closed under operation ⊕ if: ∀a,b ∈ S, a ⊕ b ∈ S

For subtraction: ∀a,b ∈ ℕ, a - b ∈ ℕ ?

Counter-example destroys ∀.

### 3. Boundary Cases

Actually more precise:
- a ≥ b → a - b ∈ ℕ ✓
- a < b → a - b ∉ ℕ ✗

Examples:
- 7 - 2 = 5 ∈ ℕ ✓
- 2 - 7 = -5 ∉ ℕ ✗

### 4. Why Not Closed?

Subtraction creates negative integers when minuend < subtrahend.

Natural numbers don't contain negatives. ∴ Hole in closure.

Compare addition: a + b always in ℕ → closed.

### 5. Practical Context

This explains why we extend to integers.

Need negative numbers precisely for subtraction closure.

⟨H≈0.3⟩ Think about it - if you can't subtract 5 from 2 and get a natural result, what happens when you owe money? Can't model debt with just naturals. The mathematical universe splits: some operations stay inside ℕ, others explode it open. Subtraction explodes.

### Conclusion

Subtraction on natural numbers: not closed.
→ Creates gaps requiring extension to integers.
→ Fundamental motivation for number system expansion.

∴ Answer: No, not necessarily natural.

### Answer###
Non, faire la soustraction de deux nombres naturels ne garantit pas que le résultat soit un nombre naturel. La soustraction n'est pas une opération fermée sur l'ensemble des nombres naturels.

Plus précisément, le résultat de la soustraction n'est pas nécessairement un nombre naturel à moins que le minuende ne soit supérieur ou égal au soustrahend. Par exemple, si vous soustrayez 26 de 11, le résultat ne sera pas un nombre naturel.

Pour mieux comprendre cela, considérons qu'un sous-ensemble d'un ensemble est dit fermé sous une opération si l'exécution de cette opération sur les membres du sous-ensemble produit toujours un membre de ce sous-ensemble. La soustraction ne respecte pas cette propriété pour les nombres naturels : effectuer une soustraction peut conduire à des résultats qui ne sont pas des nombres naturels.

Cette limitation explique pourquoi il est parfois nécessaire d'étendre l'ensemble des nombres naturels vers des systèmes plus larges comme les nombres entiers, où les opérations de soustraction sont mieux définies pour tous les couples de nombres.