En quoi les transformations de Lorentz inhomogènes se distinguent-elles des transformations homogènes sur le plan des déplacements spatio-temporels ?
Inhomogeneous Lorentz group

Two other spacetime symmetries have not been accounted for. In order for the spacetime interval to be invariant, it can be shown that it is necessary and sufficient for the coordinate transformation to be of the form X ′ = Λ X + C {\displaystyle X'=\Lambda X+C} where C is a constant column containing translations in time and space. If C ≠ 0, this is an inhomogeneous Lorentz transformation or Poincaré transformation. If C = 0, this is a homogeneous Lorentz transformation. Poincaré transformations are not dealt further in this article.
Groupe de Lorentz inhomogène

Deux autres symétries de l'espace-temps n'ont pas été prises en compte. Afin que l'intervalle espace-temps soit invariant, il peut être démontré qu'il est nécessaire et suffisant que la transformation de coordonnées soit de la forme X' = ΛX + C, où C est une colonne constante contenant les translations dans le temps et l'espace. Si C ≠ 0, il s'agit d'une transformation de Lorentz inhomogène ou transformation de Poincaré. Si C = 0, il s'agit d'une transformation de Lorentz homogène. Les transformations de Poincaré ne seront pas traitées plus en détail dans cet article.
### Query ###
En quoi les transformations de Lorentz inhomogènes se distinguent-elles des transformations homogènes sur le plan des déplacements spatio-temporels ?

### Main Text ###
Inhomogeneous Lorentz group

Two other spacetime symmetries have not been accounted for. In order for the spacetime interval to be invariant, it can be shown that it is necessary and sufficient for the coordinate transformation to be of the form X ′ = Λ X + C {\displaystyle X'=\Lambda X+C} where C is a constant column containing translations in time and space. If C ≠ 0, this is an inhomogeneous Lorentz transformation or Poincaré transformation. If C = 0, this is a homogeneous Lorentz transformation. Poincaré transformations are not dealt further in this article.

### Supplementary Text ###
Groupe de Lorentz inhomogène

Deux autres symétries de l'espace-temps n'ont pas été prises en compte. Afin que l'intervalle espace-temps soit invariant, il peut être démontré qu'il est nécessaire et suffisant que la transformation de coordonnées soit de la forme X' = ΛX + C, où C est une colonne constante contenant les translations dans le temps et l'espace. Si C ≠ 0, il s'agit d'une transformation de Lorentz inhomogène ou transformation de Poincaré. Si C = 0, il s'agit d'une transformation de Lorentz homogène. Les transformations de Poincaré ne seront pas traitées plus en détail dans cet article.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"transformations de Lorentz inhomogènes" vs "homogènes" → distinction sought in spacetime displacement domain.

Key semantic flag: "sur le plan des déplacements" suggests geometric/translational aspect, not just mathematical transformation.

Core question: How do inhomogeneous Lorentz transforms differ from homogeneous ones regarding spacetime displacements?

### 2. Lorentz Transform Fundamentals

● Homogeneous Lorentz: X' = ΛX where Λ ∈ SO(1,3) 
● Inhomogeneous: X' = ΛX + a (where a ≠ 0)

Standard form. But "displacements" suggests... → translation vectors?

### 3. Geometric Interpretation Issues

⚠ Potential confusion: Both transform coordinates. What specifically differs?

Homogeneous: Preserves origin, rotates/boosts through spacetime.
Inhomogeneous: Translates in addition to rotation/boost.

? But displacements are... vector quantities, right?

### 4. Mathematical Structure Analysis

Let displacement vector D = X - X'

For homogeneous: D = (Λ - I)X  → pure linear transformation
For inhomogeneous: D = (Λ - I)X - a → includes constant translation term

∴ Inhomogeneous enables **net translation** in spacetime.

### 5. Physical Interpretation

⟨H≈0.8⟩ Spacetime geometry... translation invariance fundamental to special relativity... but inhomogeneous transforms break this... Galilean-like behavior emerges... boosts + translations = full relativistic kinematics... proper time along worldlines preserved but... spatial separations can change...

Back to core: **Inhomogeneous transforms include spatial/temporal translation components**

### 6. Key Distinction Synthesis

**Primary difference**: 
- Homogeneous: ΛX only → preserves origin, pure linear
- Inhomogeneous: ΛX + a → includes constant displacement vector a

**Physical effect**:
- Homogeneous: Rotations/boosts around origin  
- Inhomogeneous: Net translation through spacetime

**Geometric view**:
- Homogeneous: Maps through origin
- Inhomogeneous: Translates entire coordinate system

**Mathematical structure**:
- Homogeneous: Linear subspace transformations
- Inhomogeneous: Includes affine translations

### 7. Verification Loop

☑ Addresses "displacements" concept
☑ Explains homogeneous vs inhomogeneous distinction  
☑ Clarifies geometric interpretation
☑ Mentions translation invariance

NB: Response should emphasize the **translational component** as the key distinguishing feature.

### 8. Final Synthesis

Core answer: Inhomogeneous Lorentz transformations include constant translation vectors (C ≠ 0) that enable net spacetime displacements, unlike homogeneous transforms which preserve the origin and apply only rotations/boosts.

This single difference → fundamental distinction in how they transform and interpret spacetime geometry.

### Answer###
Les transformations de Lorentz inhomogènes se distinguent des transformations homogènes principalement par la présence d'un terme de translation non nul. Formellement, une transformation de Lorentz inhomogène s'écrit sous la forme X' = ΛX + C, où Λ représente la transformation linéaire homogène et C une constante colonne contenant les translations temporelles et spatiales.

Contrairement aux transformations homogènes (où C = 0), les transformations inhomogènes incluent ces composantes de déplacement spatial et temporel. Cette différence fondamentale signifie que les transformations inhomogènes peuvent générer des déplacements nets dans l'espace-temps, tandis que les transformations homogènes ne font que tourner ou composter les coordonnées sans les translater globalement.

Cette distinction reflète le fait que les transformations inhomogènes forment le groupe de Poincaré, qui inclut à la fois les transformations de Lorentz homogènes et les translations, créant ainsi une structure de symétrie plus générale pour l'espace-temps que le simple groupe de Lorentz.