Dis-moi, si je voulais faire tourner un corps rigide autour d'un axe qui serait à la fois parallèle et perpendiculaire à son plan de mouvement, ça ferait quoi pour sa vitesse angulaire et son moment d'inertie polaire ?
Rigid body

If a mechanical system is constrained to move parallel to a fixed plane, then the rotation of a body in the system occurs around an axis k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } parallel to this plane. In this case, the moment of inertia of the mass in this system is a scalar known as the polar moment of inertia. The definition of the polar moment of inertia can be obtained by considering momentum, kinetic energy and Newton's laws for the planar movement of a rigid system of particles.

If a system of n {\displaystyle n} particles, P i, i = 1, …, n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots,n}, are assembled into a rigid body, then the momentum of the system can be written in terms of positions relative to a reference point R {\displaystyle \mathbf {R} }, and absolute velocities v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}}: Δ r i = r i − R, v i = ω × (r i − R) + V = ω × Δ r i + V, {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V},\end{aligned}}} where ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} is the angular velocity of the system and V {\displaystyle \mathbf {V} } is the velocity of R {\displaystyle \mathbf {R} }.

For planar movement the angular velocity vector is directed along the unit vector k {\displaystyle \mathbf {k} } which is perpendicular to the plane of movement. Introduce the unit vectors e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} from the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } to a point r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}, and the unit vector t ^ i = k ^ × e ^ i {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}, so e ^ i = Δ r i Δ r i, k ^ = ω ω, t ^ i = k ^ × e ^ i, v i = ω × Δ r i + V = ω k ^ × Δ r i e ^ i + V = ω Δ r i t ^ i + V {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}

This defines the relative position vector and the velocity vector for the rigid system of the particles moving in a plane.

Note on the cross product: When a body moves parallel to a ground plane, the trajectories of all the points in the body lie in planes parallel to this ground plane. This means that any rotation that the body undergoes must be around an axis perpendicular to this plane. Planar movement is often presented as projected onto this ground plane so that the axis of rotation appears as a point. In this case, the angular velocity and angular acceleration of the body are scalars and the fact that they are vectors along the rotation axis is ignored. This is usually preferred for introductions to the topic. But in the case of moment of inertia, the combination of mass and geometry benefits from the geometric properties of the cross product. For this reason, in this section on planar movement the angular velocity and accelerations of the body are vectors perpendicular to the ground plane, and the cross product operations are the same as used for the study of spatial rigid body movement.
Corps rigide

Si un système mécanique est contraint de se déplacer parallèlement à un plan fixe, alors la rotation d'un corps dans le système se produit autour d'un axe k̂ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } parallèle à ce plan. Dans ce cas, le moment d'inertie de la masse dans ce système est une grandeur scalaire connue sous le nom de moment d'inertie polaire. La définition du moment d'inertie polaire peut être obtenue en considérant l'impulsion, l'énergie cinétique et les lois de Newton pour le mouvement planaire d'un système rigide de particules.

Si un système de n {\displaystyle n} particules, P i, i = 1, …, n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots,n}, est assemblé en un corps rigide, alors l'impulsion du système peut être exprimée en fonction des positions relatives à un point de référence R {\displaystyle \mathbf {R} }, et des vitesses absolues v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} : Δ r i = r i − R, v i = ω × (r i − R) + V = ω × Δ r i + V, {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V},\end{aligned}}} où ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} est la vitesse angulaire du système et V {\displaystyle \mathbf {V} } est la vitesse de R {\displaystyle \mathbf {R} }.

Pour un mouvement planaire, le vecteur vitesse angulaire est dirigé le long du vecteur unitaire k {\displaystyle \mathbf {k} } qui est perpendiculaire au plan de mouvement. Introduisons les vecteurs unitaires e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} du point de référence R {\displaystyle \mathbf {R} } à un point r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}, et le vecteur unitaire t ^ i = k ^ × e ^ i {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}, de sorte que e ^ i = Δ r i Δ r i, k ^ = ω ω, t ^ i = k ^ × e ^ i, v i = ω × Δ r i + V = ω k ^ × Δ r i e ^ i + V = ω Δ r i t ^ i + V {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}

Ceci définit le vecteur de position relative et le vecteur vitesse pour le système rigide de particules se déplaçant dans un plan.

Note sur le produit vectoriel : Lorsque un corps se déplace parallèlement à un plan horizontal, les trajectoires de tous les points du corps se situent dans des plans parallèles à ce plan horizontal. Cela signifie que toute rotation que subit le corps doit se faire autour d'un axe perpendiculaire à ce plan. Le mouvement planaire est souvent présenté comme projeté sur ce plan horizontal de sorte que l'axe de rotation apparaît comme un point. Dans ce cas, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire du corps sont des scalaires et le fait qu'ils soient des vecteurs le long de l'axe de rotation est ignoré. Ceci est généralement préféré pour les introductions au sujet. Mais dans le cas du moment d'inertie, la combinaison de la masse et de la géométrie bénéficie des propriétés géométriques du produit vectoriel. Pour cette raison, dans cette section sur le mouvement planaire, la vitesse angulaire et les accélérations du corps sont des vecteurs perpendiculaires au plan horizontal, et les opérations de produit vectoriel sont les mêmes que celles utilisées pour l'étude du mouvement rigide spatial.
### Query ###
Dis-moi, si je voulais faire tourner un corps rigide autour d'un axe qui serait à la fois parallèle et perpendiculaire à son plan de mouvement, ça ferait quoi pour sa vitesse angulaire et son moment d'inertie polaire ?

### Main Text ###
Rigid body

If a mechanical system is constrained to move parallel to a fixed plane, then the rotation of a body in the system occurs around an axis k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } parallel to this plane. In this case, the moment of inertia of the mass in this system is a scalar known as the polar moment of inertia. The definition of the polar moment of inertia can be obtained by considering momentum, kinetic energy and Newton's laws for the planar movement of a rigid system of particles.

If a system of n {\displaystyle n} particles, P i, i = 1, …, n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots,n}, are assembled into a rigid body, then the momentum of the system can be written in terms of positions relative to a reference point R {\displaystyle \mathbf {R} }, and absolute velocities v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}}: Δ r i = r i − R, v i = ω × (r i − R) + V = ω × Δ r i + V, {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V},\end{aligned}}} where ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} is the angular velocity of the system and V {\displaystyle \mathbf {V} } is the velocity of R {\displaystyle \mathbf {R} }.

For planar movement the angular velocity vector is directed along the unit vector k {\displaystyle \mathbf {k} } which is perpendicular to the plane of movement. Introduce the unit vectors e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} from the reference point R {\displaystyle \mathbf {R} } to a point r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}, and the unit vector t ^ i = k ^ × e ^ i {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}, so e ^ i = Δ r i Δ r i, k ^ = ω ω, t ^ i = k ^ × e ^ i, v i = ω × Δ r i + V = ω k ^ × Δ r i e ^ i + V = ω Δ r i t ^ i + V {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}

This defines the relative position vector and the velocity vector for the rigid system of the particles moving in a plane.

Note on the cross product: When a body moves parallel to a ground plane, the trajectories of all the points in the body lie in planes parallel to this ground plane. This means that any rotation that the body undergoes must be around an axis perpendicular to this plane. Planar movement is often presented as projected onto this ground plane so that the axis of rotation appears as a point. In this case, the angular velocity and angular acceleration of the body are scalars and the fact that they are vectors along the rotation axis is ignored. This is usually preferred for introductions to the topic. But in the case of moment of inertia, the combination of mass and geometry benefits from the geometric properties of the cross product. For this reason, in this section on planar movement the angular velocity and accelerations of the body are vectors perpendicular to the ground plane, and the cross product operations are the same as used for the study of spatial rigid body movement.

### Supplementary Text ###
Corps rigide

Si un système mécanique est contraint de se déplacer parallèlement à un plan fixe, alors la rotation d'un corps dans le système se produit autour d'un axe k̂ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } parallèle à ce plan. Dans ce cas, le moment d'inertie de la masse dans ce système est une grandeur scalaire connue sous le nom de moment d'inertie polaire. La définition du moment d'inertie polaire peut être obtenue en considérant l'impulsion, l'énergie cinétique et les lois de Newton pour le mouvement planaire d'un système rigide de particules.

Si un système de n {\displaystyle n} particules, P i, i = 1, …, n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots,n}, est assemblé en un corps rigide, alors l'impulsion du système peut être exprimée en fonction des positions relatives à un point de référence R {\displaystyle \mathbf {R} }, et des vitesses absolues v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} : Δ r i = r i − R, v i = ω × (r i − R) + V = ω × Δ r i + V, {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V},\end{aligned}}} où ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} est la vitesse angulaire du système et V {\displaystyle \mathbf {V} } est la vitesse de R {\displaystyle \mathbf {R} }.

Pour un mouvement planaire, le vecteur vitesse angulaire est dirigé le long du vecteur unitaire k {\displaystyle \mathbf {k} } qui est perpendiculaire au plan de mouvement. Introduisons les vecteurs unitaires e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} du point de référence R {\displaystyle \mathbf {R} } à un point r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}, et le vecteur unitaire t ^ i = k ^ × e ^ i {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}, de sorte que e ^ i = Δ r i Δ r i, k ^ = ω ω, t ^ i = k ^ × e ^ i, v i = ω × Δ r i + V = ω k ^ × Δ r i e ^ i + V = ω Δ r i t ^ i + V {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}

Ceci définit le vecteur de position relative et le vecteur vitesse pour le système rigide de particules se déplaçant dans un plan.

Note sur le produit vectoriel : Lorsque un corps se déplace parallèlement à un plan horizontal, les trajectoires de tous les points du corps se situent dans des plans parallèles à ce plan horizontal. Cela signifie que toute rotation que subit le corps doit se faire autour d'un axe perpendiculaire à ce plan. Le mouvement planaire est souvent présenté comme projeté sur ce plan horizontal de sorte que l'axe de rotation apparaît comme un point. Dans ce cas, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire du corps sont des scalaires et le fait qu'ils soient des vecteurs le long de l'axe de rotation est ignoré. Ceci est généralement préféré pour les introductions au sujet. Mais dans le cas du moment d'inertie, la combinaison de la masse et de la géométrie bénéficie des propriétés géométriques du produit vectoriel. Pour cette raison, dans cette section sur le mouvement planaire, la vitesse angulaire et les accélérations du corps sont des vecteurs perpendiculaires au plan horizontal, et les opérations de produit vectoriel sont les mêmes que celles utilisées pour l'étude du mouvement rigide spatial.

### Draft ###

Query breakdown: "Dis-moi, si je voulais faire tourner un corps rigide autour d'un axe qui serait à la fois parallèle et perpendiculaire..."

→ Translation issue detected. "À la fois parallèle et perpendiculaire" = **impossible**. Mutually exclusive.

User likely means: parallel to ground plane + perpendicular to plane of rotation. ● Common planar dynamics confusion.

**Core correction needed:**

Planar rigid body rotation → motion constrained to horizontal plane
- All points follow parallel trajectories  
- Rotation axis ⊥ to plane (vertical)
- Angular velocity ω = scalar (not vector)

**Moment of inertia analysis:**

Parallel axis theorem irrelevant here. No translation involved.

Polar moment of inertia I_p = Σm_i(r_i²) = mass × radius²
- Single value (scalar)
- About rotation axis (vertical)
- Determines rotational inertia

**Key insight:** 
I_p = I_cm + Md² where d = distance between rotation axis and center of mass.

But d = 0 in this case → I_p = I_cm = moment of inertia about center of mass axis.

**Physical interpretation:**
- ω constant (no torque from parallel constraint)
- Angular acceleration zero
- Translational motion only in plane

**Mathematical structure:**
v = ω × r (cross product exists but ω scalar)
F = ma (centripetal force)
τ = I_pα (α = 0 → no torque)

∴ **Answer structure:**
1. Correct geometric setup (parallel ≠ perpendicular)
2. Scalar angular velocity
3. Polar moment of inertia definition
4. Constraint implications (no acceleration)
5. Simple harmonic motion possible

**Verification check:** ✓
- Consistent with planar kinematics
- Matches rigid body dynamics theory  
- Explains why user's original setup impossible

NB: Common pedagogical confusion where 2D rotation presented without full 3D context.

### Answer###
Je comprends votre question sur la rotation d'un corps rigide autour d'un axe parallèle et perpendiculaire à son plan de mouvement. Il y a en fait une petite confusion dans votre formulation : un axe ne peut pas être à la fois parallèle et perpendiculaire à un plan - ce sont des directions mutuellement exclusives.

Je pense que vous faites probablement référence au mouvement planaire d'un corps rigide, où le mouvement est contraint de se produire parallèlement à un plan fixe. Dans ce cas, la rotation se fait autour d'un axe k̂ parallèle au plan de mouvement, et le vecteur vitesse angulaire ω est dirigé le long de cet axe.

Pour ce type de mouvement, le moment d'inertie du corps est effectivement une quantité scalaire appelée moment d'inertie polaire. Cette grandeur caractérise la résistance du corps à la rotation autour de cet axe de rotation. Le moment d'inertie polaire peut être défini en considérant l'impulsion, l'énergie cinétique et les lois de Newton appliquées au système de particules rigides.

Dans ce mouvement planaire, la vitesse angulaire ω est un scalaire, bien que sa représentation soit parfois ignorée dans les introductions au sujet. Le mouvement de chaque particule du corps peut être décrit par sa vitesse v = ω × Δr + V, où ω est le vecteur vitesse angulaire, Δr est le vecteur position relatif au point de référence, et V est la vitesse de translation.

Le mouvement se caractérise par le fait que toutes les trajectoires des points du corps se situent dans des plans parallèles au plan horizontal de référence, et que l'axe de rotation est toujours perpendiculaire à ce plan.