Si on essaie d'utiliser le double comptage pour démontrer une égalité entre deux expressions qui représentent en fait des ensembles différents, est-ce que ça peut nous conduire à une réponse incorrecte ou est-ce que ça va forcément nous bloquer ?
In combinatorics, double counting, also called counting in two ways, is a combinatorial proof technique for showing that two expressions are equal by demonstrating that they are two ways of counting the size of one set. In this technique, which van Lint & Wilson (2001) call "one of the most important tools in combinatorics", one describes a finite set from two perspectives leading to two distinct expressions for the size of the set. Since both expressions equal the size of the same set, they equal each other.
En combinatoire, le double comptage, également appelé comptage de deux manières, est une technique de preuve combinatoire permettant de démontrer que deux expressions sont égales en montrant qu'elles représentent deux façons de compter la taille d'un même ensemble. Dans cette technique, que van Lint & Wilson (2001) qualifient de "l'un des outils les plus importants en combinatoire", on décrit un ensemble fini sous deux perspectives différentes, conduisant à deux expressions distinctes de sa taille. Puisque les deux expressions représentent la taille du même ensemble, elles sont égales entre elles.
### Query ###
Si on essaie d'utiliser le double comptage pour démontrer une égalité entre deux expressions qui représentent en fait des ensembles différents, est-ce que ça peut nous conduire à une réponse incorrecte ou est-ce que ça va forcément nous bloquer ?

### Main Text ###
In combinatorics, double counting, also called counting in two ways, is a combinatorial proof technique for showing that two expressions are equal by demonstrating that they are two ways of counting the size of one set. In this technique, which van Lint & Wilson (2001) call "one of the most important tools in combinatorics", one describes a finite set from two perspectives leading to two distinct expressions for the size of the set. Since both expressions equal the size of the same set, they equal each other.

### Supplementary Text ###
En combinatoire, le double comptage, également appelé comptage de deux manières, est une technique de preuve combinatoire permettant de démontrer que deux expressions sont égales en montrant qu'elles représentent deux façons de compter la taille d'un même ensemble. Dans cette technique, que van Lint & Wilson (2001) qualifient de "l'un des outils les plus importants en combinatoire", on décrit un ensemble fini sous deux perspectives différentes, conduisant à deux expressions distinctes de sa taille. Puisque les deux expressions représentent la taille du même ensemble, elles sont égales entre elles.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on essaie d'utiliser le double comptage pour démontrer une égalité entre deux expressions qui représentent en fait des ensembles différents"

Key semantic issue: "ensembles différents" → potential confusion. User asking if double counting fails when sets are truly disjoint.

Translation challenge: "blocquer" = "block/stall" suggests technique becomes inert, not just incorrect.

? Core question: Can double counting give false positives when sets genuinely disjoint?

### 2. Mathematical Foundation Check

Double counting principle: |S| = |T| when bijective correspondence exists between S and T.

Critical assumption: **S and T must be the same set**, not different sets with equal cardinality.

∴ Query premise contains logical error. "Different sets" irrelevant to validity - only set identity matters.

### 3. Failure Modes Analysis

When sets genuinely disjoint:
- No bijection exists between them
- Double counting cannot be applied
- Technique becomes meaningless, not necessarily wrong

⚠ Common confusion: cardinality equality ≠ set equality

Examples where double counting fails:
- Counting {1,2,3} vs {a,b,c} 
- Different representations of same combinatorial object

### 4. Scope Limitations

Technique limitations:
- Requires bijective correspondence
- Set identity, not cardinality, is crucial
- Cannot bridge genuinely disjoint mathematical objects

※ Advanced cases: partition refinement, generating functions might suggest equality where double counting fails directly.

### 5. Conclusion

Double counting cannot produce incorrect results when applied correctly. Its validity depends on showing bijection, not set similarity.

When applied to truly different sets, technique simply becomes inapplicable - it "blocks" due to lack of correspondence, not due to error.

∴ User's concern about false positives is unfounded. Double counting either works (when sets are identical) or doesn't (when they're not).

### Answer###
Votre préoccupation concernant l'utilisation du double comptage avec des ensembles différents est fondée sur une mise à plat de la technique. Le principe du double comptage repose précisément sur le fait que les deux expressions comptent la taille du même ensemble sous deux perspectives différentes.

Lorsque vous essayez d'appliquer cette technique à des ensembles réellement distincts, le principe ne s'applique pas. Le double comptage fonctionne uniquement lorsque les deux expressions représentent deux façons de compter les éléments d'un seul et même ensemble fini. Dans ce cas, même si les ensembles ont la même cardinalité, ils ne sont pas considérés comme des ensembles différents au sens mathématique.

Si vous essayez d'établir une égalité entre deux expressions qui comptent effectivement des ensembles disjoints, la technique ne vous conduira pas nécessairement à une réponse incorrecte - elle ne s'appliquera tout simplement pas. Le principe perd de sa validité lorsqu'il est utilisé pour des ensembles qui ne partagent aucun élément.

Il est important de noter que le double comptage est l'une des techniques les plus importantes en combinatoire précisément parce qu'il repose sur cette correspondance bijective entre les deux expressions. L'erreur potentielle ne réside pas dans l'application de la technique à des ensembles similaires, mais dans l'oubli de cette condition fondamentale d'identité des ensembles.