Je souhaiterais savoir si la notation des fonctions symboliques binaires diffère lorsque l'interprétation de la structure est implicite.
Interpretation function

The interpretation function I {\displaystyle I} of A {\displaystyle {\mathcal {A}}} assigns functions and relations to the symbols of the signature. To each function symbol f {\displaystyle f} of arity n {\displaystyle n} is assigned an n {\displaystyle n} -ary function f A = I (f) {\displaystyle f^{\mathcal {A}}=I(f)} on the domain. Each relation symbol R {\displaystyle R} of arity n {\displaystyle n} is assigned an n {\displaystyle n} -ary relation R A = I (R) ⊆ A a r (R) {\displaystyle R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatorname {ar(R)} }} on the domain. A nullary (= 0 {\displaystyle =\,0} -ary) function symbol c {\displaystyle c} is called a constant symbol, because its interpretation I (c) {\displaystyle I(c)} can be identified with a constant element of the domain.

When a structure (and hence an interpretation function) is given by context, no notational distinction is made between a symbol s {\displaystyle s} and its interpretation I (s). {\displaystyle I(s).} For example, if f {\displaystyle f} is a binary function symbol of A, {\displaystyle {\mathcal {A}},} one simply writes f: A 2 → A {\displaystyle f:{\mathcal {A}}^{2}\to {\mathcal {A}}} rather than f A: | A | 2 → | A |. {\displaystyle f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\to |{\mathcal {A}}|.}
Fonction d'interprétation

La fonction d'interprétation *I* de *A* attribue des fonctions et des relations aux symboles de la signature. À chaque symbole de fonction *f* d'arité *n* est attribuée une fonction *n*-aire *f*<sup>*A*</sup> = *I*(*f*) sur le domaine. Chaque symbole de relation *R* d'arité *n* est associé à une relation *n*-aire *R*<sup>*A*</sup> = *I*(*R*) ⊆ *A*<sup>ar(*R*)</sup> sur le domaine. Un symbole de fonction nulaire (= 0-aire) *c* est appelé symbole constant, car son interprétation *I*(*c*) peut être identifiée à un élément constant du domaine.

Lorsqu'une structure (et donc une fonction d'interprétation) est donnée par le contexte, aucune distinction notationnelle n'est faite entre un symbole *s* et son interprétation *I*(*s*). Par exemple, si *f* est un symbole de fonction binaire de *A*, on écrit simplement *f* : *A*<sup>2</sup> → *A* plutôt que *f*<sup>*A*</sup> : |*A*|<sup>2</sup> → |*A*|.
### Query ###
Je souhaiterais savoir si la notation des fonctions symboliques binaires diffère lorsque l'interprétation de la structure est implicite.

### Main Text ###
Interpretation function

The interpretation function I {\displaystyle I} of A {\displaystyle {\mathcal {A}}} assigns functions and relations to the symbols of the signature. To each function symbol f {\displaystyle f} of arity n {\displaystyle n} is assigned an n {\displaystyle n} -ary function f A = I (f) {\displaystyle f^{\mathcal {A}}=I(f)} on the domain. Each relation symbol R {\displaystyle R} of arity n {\displaystyle n} is assigned an n {\displaystyle n} -ary relation R A = I (R) ⊆ A a r (R) {\displaystyle R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatorname {ar(R)} }} on the domain. A nullary (= 0 {\displaystyle =\,0} -ary) function symbol c {\displaystyle c} is called a constant symbol, because its interpretation I (c) {\displaystyle I(c)} can be identified with a constant element of the domain.

When a structure (and hence an interpretation function) is given by context, no notational distinction is made between a symbol s {\displaystyle s} and its interpretation I (s). {\displaystyle I(s).} For example, if f {\displaystyle f} is a binary function symbol of A, {\displaystyle {\mathcal {A}},} one simply writes f: A 2 → A {\displaystyle f:{\mathcal {A}}^{2}\to {\mathcal {A}}} rather than f A: | A | 2 → | A |. {\displaystyle f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\to |{\mathcal {A}}|.}

### Supplementary Text ###
Fonction d'interprétation

La fonction d'interprétation *I* de *A* attribue des fonctions et des relations aux symboles de la signature. À chaque symbole de fonction *f* d'arité *n* est attribuée une fonction *n*-aire *f*<sup>*A*</sup> = *I*(*f*) sur le domaine. Chaque symbole de relation *R* d'arité *n* est associé à une relation *n*-aire *R*<sup>*A*</sup> = *I*(*R*) ⊆ *A*<sup>ar(*R*)</sup> sur le domaine. Un symbole de fonction nulaire (= 0-aire) *c* est appelé symbole constant, car son interprétation *I*(*c*) peut être identifiée à un élément constant du domaine.

Lorsqu'une structure (et donc une fonction d'interprétation) est donnée par le contexte, aucune distinction notationnelle n'est faite entre un symbole *s* et son interprétation *I*(*s*). Par exemple, si *f* est un symbole de fonction binaire de *A*, on écrit simplement *f* : *A*<sup>2</sup> → *A* plutôt que *f*<sup>*A*</sup> : |*A*|<sup>2</sup> → |*A*|.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"notation des fonctions symboliques binaires" → binary symbolic functions notation
"interprétation de la structure est implicite" → implicit structure interpretation

User asking: does notation differ when structure interpretation implicit?

Key semantic: "symbolic functions" vs "interpretations" distinction crucial here.

### 2. Domain Contextualization

Mathematical logic. Signature theory. Model theory fundamentals.

● High confidence: This is standard model-theoretic terminology
◐ Partial: Need to recall exact notational conventions
? Uncertainty: Is this about first-order logic specifically?

### 3. Core Notational Distinction Analysis

When explicit: f^(A): |A|^2 → |A| (interpretation f on structure A)
When implicit: f: A × A → A (function f in structure A)

→ Abstraction level differs. Explicit = meta-level notation. Implicit = object-level.

∴ Yes, notation does differ fundamentally.

### 4. Verification Against Mathematical Practice

Standard convention confirmed:
- Capital letters for structures (A, B, ...)  
- Lowercase for functions in structures (f, g, ...)
- Superscripts for interpretations (f^A, f^B, ...)

This mirrors set-theoretic conventions:
- Capital letters for sets (X, Y, ...)
- Lowercase for elements (x, y, ...)

✓ Pattern consistency verified.

### 5. Scope Clarification

NB: This applies to binary functions. Extension to other arities follows analogously.

Not limited to binary case. General principle:
- Explicit interpretation: f^(n): |A|^n → |A|
- Implicit function: f: A^n → A

### 6. Structural Analysis

The implicit notation presupposes context where structure A is understood.

Example: "f: A × A → A" assumes f is a function on domain A.
Explicit: "f^A: |A| × |A| → |A| explicitly constructs the function mapping.

→ Notational minimalism vs explicit construction trade-off.

### 7. Practical Implications

Context-dependent usage:
- In signature definitions: explicit interpretations
- Within structure discussions: implicit functions  
- When switching structures: explicit superscripts clarify
- In theorems/proofs: implicit notation sufficient

### 8. Answer Synthesis

**Conclusion**: Yes, notation differs significantly.

Explicit interpretation: f^A (superscript A indicates interpretation on structure A)
Implicit function: f (assumes structure A context)

This reflects abstraction level—explicit notation maintains meta-level perspective, implicit drops unnecessary scaffolding when structure context clear.

Standard practice across mathematical logic texts. Consistent with set-theoretic conventions.

∴ Notational choice depends on context clarity rather than mathematical complexity.

### Answer###
Oui, la notation des fonctions symboliques binaires diffère effectivement lorsque l'interprétation de la structure est implicite.

Lorsqu'une structure et sa fonction d'interprétation sont données par le contexte, on peut écrire simplement f : A² → A pour une fonction binaire f dans la structure A, au lieu de f^A : |A|² → |A| qui distinguerait explicitement l'interprétation de la fonction sur le domaine.

Cette distinction notationnelle reflète le niveau d'abstraction : l'écriture implicite suppose que le contexte structurel est suffisamment clair pour ne pas avoir besoin d'un indice explicite, tandis que la notation avec exposant maintient une distinction claire entre le symbole et son interprétation.

Cette convention s'applique généralement aux symboles de fonctions et de relations binaires et peut être étendue à des arités supérieures selon le contexte.