Tu crois qu'on va jamais trouver d'autres nombres premiers de Fermat ou bien on va finir par en découvrir d'autres ?
In mathematics, a Fermat number, named after Pierre de Fermat, the first known to have studied them, is a positive integer of the form: F n = 2 2 n + 1, {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,} where n is a non-negative integer. The first few Fermat numbers are: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,... (sequence A000215 in the OEIS).

If 2 + 1 is prime and k > 0, then k itself must be a power of 2, so 2 + 1 is a Fermat number; such primes are called Fermat primes. As of 2023, the only known Fermat primes are F = 3, F = 5, F = 17, F = 257, and F = 65537 (sequence A019434 in the OEIS).
Nombres de Fermat

Les nombres de Fermat et les nombres premiers de Fermat ont été étudiés pour la première fois par Pierre de Fermat, qui conjecturait que tous les nombres de Fermat étaient premiers. En effet, les cinq premiers nombres de Fermat F …, F sont facilement démontrés comme étant premiers. La conjecture de Fermat a été réfutée par Leonhard Euler en 1732 lorsqu'il a démontré que

Euler a prouvé que tout facteur de F doit avoir la forme k² + 1 (plus tard amélioré à k² + 1 par Lucas) pour n ≥ 2.

Le fait que 641 soit un facteur de F peut être déduit des égalités 641 = 2 × 5 + 1 et 641 = 2 + 5. La première égalité implique que 2 × 5 ≡ −1 (mod 641) et, par conséquent, en élevant à la puissance quatrième, que 2 × 5 ≡ 1 (mod 641). D'autre part, la deuxième égalité implique que 5 ≡ −2 (mod 641). Ces congruences impliquent que 2 ≡ −1 (mod 641).

Fermat était probablement conscient de la forme des facteurs plus tard prouvée par Euler, il est donc curieux qu'il n'ait pas mené à bien le calcul simple pour trouver le facteur. Une explication courante est que Fermat a commis une erreur de calcul.

Il n'y a pas d'autres nombres premiers de Fermat F connus avec n > 4, mais on en sait peu sur les nombres de Fermat pour les grandes valeurs de n. En fait, chacun des points suivants est un problème ouvert :

En 2024, il est connu que F est composé pour 5 ≤ n ≤ 32, bien que, parmi ceux-ci, seules les factorisations complètes de F soient connues pour 0 ≤ n ≤ 11, et il n'y a pas de facteurs premiers connus pour n = 20 et n = 24. Le plus grand nombre de Fermat connu pour être composé est F, et son facteur premier 7 × 2 + 1 a été découvert en octobre 2020.
### Query ###
Tu crois qu'on va jamais trouver d'autres nombres premiers de Fermat ou bien on va finir par en découvrir d'autres ?

### Main Text ###
In mathematics, a Fermat number, named after Pierre de Fermat, the first known to have studied them, is a positive integer of the form: F n = 2 2 n + 1, {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,} where n is a non-negative integer. The first few Fermat numbers are: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,... (sequence A000215 in the OEIS).

If 2 + 1 is prime and k > 0, then k itself must be a power of 2, so 2 + 1 is a Fermat number; such primes are called Fermat primes. As of 2023, the only known Fermat primes are F = 3, F = 5, F = 17, F = 257, and F = 65537 (sequence A019434 in the OEIS).

### Supplementary Text ###
Nombres de Fermat

Les nombres de Fermat et les nombres premiers de Fermat ont été étudiés pour la première fois par Pierre de Fermat, qui conjecturait que tous les nombres de Fermat étaient premiers. En effet, les cinq premiers nombres de Fermat F …, F sont facilement démontrés comme étant premiers. La conjecture de Fermat a été réfutée par Leonhard Euler en 1732 lorsqu'il a démontré que

Euler a prouvé que tout facteur de F doit avoir la forme k² + 1 (plus tard amélioré à k² + 1 par Lucas) pour n ≥ 2.

Le fait que 641 soit un facteur de F peut être déduit des égalités 641 = 2 × 5 + 1 et 641 = 2 + 5. La première égalité implique que 2 × 5 ≡ −1 (mod 641) et, par conséquent, en élevant à la puissance quatrième, que 2 × 5 ≡ 1 (mod 641). D'autre part, la deuxième égalité implique que 5 ≡ −2 (mod 641). Ces congruences impliquent que 2 ≡ −1 (mod 641).

Fermat était probablement conscient de la forme des facteurs plus tard prouvée par Euler, il est donc curieux qu'il n'ait pas mené à bien le calcul simple pour trouver le facteur. Une explication courante est que Fermat a commis une erreur de calcul.

Il n'y a pas d'autres nombres premiers de Fermat F connus avec n > 4, mais on en sait peu sur les nombres de Fermat pour les grandes valeurs de n. En fait, chacun des points suivants est un problème ouvert :

En 2024, il est connu que F est composé pour 5 ≤ n ≤ 32, bien que, parmi ceux-ci, seules les factorisations complètes de F soient connues pour 0 ≤ n ≤ 11, et il n'y a pas de facteurs premiers connus pour n = 20 et n = 24. Le plus grand nombre de Fermat connu pour être composé est F, et son facteur premier 7 × 2 + 1 a été découvert en octobre 2020.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Tu crois qu'on va jamais trouver d'autres nombres premiers de Fermat" → "Do you think we'll ever find other Fermat primes"

User asks: discovery probability vs impossibility. Binary framing.

Key semantic: "jamais" = never, absolute. "autres" = other/more (additive vs multiplicative?).

Translation issue: English "prime" vs French "premier". Same mathematical concept.

### 2. Mathematical Context Retrieval

Fermat primes: Fn = 2^(2^n) + 1, n ≥ 0.

Historical sequence: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Euler (1732): F5 composite, 641 divides it. Counterexample to Fermat's conjecture.

⟨H≈0.8⟩ Five lonely primes, scattered across centuries like archaeological fragments. Three, five, seventeen, two hundred fifty-seven, six hundred fifty-five thousand three hundred thirty-seven. The first four dance in perfect isolation, their primality self-evident. The fifth, that vast number, a fortress of bits where no factorization army has breached its walls...⟨/H⟩

### 3. Current State Assessment  

Only five known Fermat primes. All discovered pre-computer era.

Modern computational search: intensive factorization efforts.

Known composites: F5-F32 (incomplete factorization for some).

! Key insight: No Fermat prime discovery in ~250 years despite computational advances.

### 4. Logical Constraints

Fermat numbers grow exponentially: Fn+1 = 2^(2^n) × 2^(2^1) = 2^2×Fn.

If p divides Fn+1, then p = k² + 1 (Euler's criterion).

→ Large Fermat numbers have enormous prime factors (if prime).

Physical constraint: Computational limits increase linearly, Fermat numbers increase exponentially.

### 5. Probability Assessment

Historical pattern: F5-F32 all composite (28/28 cases).

Bayesian interpretation: P(F33 prime) given no prime discovery in 250 years?

Prior: Based on Euler's counterexample, strong evidence against.

Evidence update: Zero discoveries despite modern computing power.

Posterior: P(F33 prime) ≈ 0.1? Very speculative.

### 6. Philosophical Dimension

⟨H≈1.2⟩ Mathematics dreams in patterns. The lonely five, scattered across mathematical space like abandoned waystations. Each new Fermat number a vast fortress, its walls growing thicker with each generation. The mathematicians gather at these citadels, tools clicking, algorithms spinning, yet always the same result: composition. Is this the universe's joke—endless growth but no true primes? Or hidden among those monstrous numbers, a final, unexpected prime waiting to shatter our expectations...⟨/H⟩

### 7. Synthesis

Mathematical reality: Fermat primes likely finite, possibly none exist beyond n=4.

Evidence: 250+ years zero discoveries despite exponential computational growth.

Pattern strength: All tested Fermat numbers composite.

∴ Answer to user's query: "jamais" likely correct.

NB: Remaining possibility: extremely rare primes exist at enormous computational distances.

Final assessment: P(more Fermat primes) ≈ 0.1-0.3 based on available evidence.

### Answer###
La question des nombres premiers de Fermat reste l'une des énigmes les plus fascinantes des mathématiques. Actuellement, seuls cinq nombres premiers de Fermat sont connus : 3, 5, 17, 257 et 65537. Ces nombres suivent le pattern Fₙ = 2²ⁿ + 1, où n est un entier non négatif.

L'histoire montre que trouver de nouveaux nombres premiers de Fermat est extrêmement difficile. Même si les cinq premiers nombres de Fermat apparaissent premiers, Euler a démontré en 1732 que F₅ est composé, divisé par 641. Cette découverte contredisait la conjecture de Fermat selon laquelle tous les nombres de Fermat seraient premiers.

Les recherches informatiques modernes ont révélé que Fₙ est composé pour 5 ≤ n ≤ 32, bien que les factorisations complètes ne soient connues que pour n ≤ 11. Le plus grand nombre de Fermat connu pour être composé est F₃₂, dont le facteur premier 7×2²⁶ + 1 a été découvert récemment en octobre 2020.

Cette situation contraste avec les nombreuses avancées dans la découverte de nombres premiers récents, comme les records de nombres premiers de Mersenne. Les nombres premiers de Fermat semblent donc se faire plus rares à mesure que les valeurs de n augmentent.

Il est possible que d'autres nombres premiers de Fermat existent, mais leur recherche devient progressivement plus ardue. Les nombres de Fermat de grands ordres ont des facteurs premiers considérables, ce qui rend leur décomposition factorielle extrêmement complexe.