Comment la règle du produit peut-elle être dérivée par dérivation implicite ?
Proof using implicit differentiation

Let h (x) = f (x) g (x), {\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},} so that f (x) = g (x) h (x). {\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}

The product rule then gives f ′ (x) = g ′ (x) h (x) + g (x) h ′ (x). {\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}

Solving for h ′ (x) {\displaystyle h'(x)} and substituting back for h (x) {\displaystyle h(x)} gives:
Preuve par dérivation implicite

Soit h(x) = f(x)g(x), et h(x) = f(x)/g(x), de sorte que f(x) = g(x)h(x).

La règle du produit donne alors f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x).

En résolvant pour h'(x) et en remplaçant h(x) par sa valeur, on obtient :
### Query ###
Comment la règle du produit peut-elle être dérivée par dérivation implicite ?

### Main Text ###
Proof using implicit differentiation

Let h (x) = f (x) g (x), {\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},} so that f (x) = g (x) h (x). {\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}

The product rule then gives f ′ (x) = g ′ (x) h (x) + g (x) h ′ (x). {\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}

Solving for h ′ (x) {\displaystyle h'(x)} and substituting back for h (x) {\displaystyle h(x)} gives:

### Supplementary Text ###
Preuve par dérivation implicite

Soit h(x) = f(x)g(x), et h(x) = f(x)/g(x), de sorte que f(x) = g(x)h(x).

La règle du produit donne alors f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x).

En résolvant pour h'(x) et en remplaçant h(x) par sa valeur, on obtient :

### Draft ###

Query: "Comment la règle du produit peut-elle être dérivée par dérivation implicite?"

Translation check: "How can the product rule be derived using implicit differentiation?"

● Clear mathematical question. Not ambiguous.

**Initial assessment:** Product rule derivation request. Standard calculus curriculum.

**Core claim verification:** User asserts product rule can be derived implicitly. True.

Standard approach: Start with f(x) = g(x)h(x). Treat as implicit relation.

**Setup:**
Let h(x) = f(x)/g(x). So f(x) = g(x)h(x). 

Product rule target: [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

**Implicit differentiation:**
Treat as single equation: g(x)h(x) - f(x) = 0

Differentiate both sides: g'(x)h(x) + g(x)h'(x) - f'(x) = 0

Solve for h'(x): h'(x) = [f'(x) - g'(x)h(x)]/g(x)

**Key insight:** Use h(x) = f(x)/g(x) to substitute back:
h'(x) = [f'(x) - g'(x)(f(x)/g(x))]/g(x)

Simplify: h'(x) = [g(x)f'(x) - g'(x)f(x)]/g(x)²

**Result verification:**
h'(x) = f'(x)/g(x) - g'(x)f(x)/g(x)²
h'(x) = f'(x)g(x)/g(x)² - g'(x)f(x)/g(x)²
h'(x) = [f'(x)g(x) - g'(x)f(x)]/g(x)²

∴ Standard product rule confirmed.

**Physical constraints check:** Mathematical derivation follows standard calculus procedures. No empirical assumptions.

**Logical verification:** Implicit treatment valid. Substitution back maintains consistency.

**Answer confidence:** ● High. Standard mathematical result.

**Potential issues:** None significant. Straightforward derivation.

**Translation accuracy:** French mathematical terminology correctly interpreted.

**Final assessment:** User's claim verified. Product rule can indeed be derived implicitly. Standard approach works.

### Answer###
La règle du produit peut effectivement être dérivée par dérivation implicite. Voici comment procéder :

On part de la relation f(x) = g(x)h(x), où h(x) = f(x)/g(x). Cette relation définit implicitement h(x) en fonction de f(x) et g(x).

En appliquant la règle du produit à f(x) = g(x)h(x), on obtient :
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)

Cette équation est une relation implicite entre f'(x), g'(x), h(x) et h'(x).

Pour dériver h'(x), on isole le terme contenant h'(x) dans l'équation précédente :
g(x)h'(x) = f'(x) - g'(x)h(x)

Puis on résout pour h'(x) :
h'(x) = (f'(x) - g'(x)h(x))/g(x)

Finalement, on substitue l'expression de h(x) dans le résultat pour obtenir la forme classique de la règle du produit :
h'(x) = f'(x)g(x) - g'(x)f(x) / g(x)²

Cette méthode illustre comment la dérivation implicite peut conduire naturellement à la démonstration de règles de dérivation standard.