Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi on n'obtient pas une égalité stricte dans le produit des écarts-types pour tout Ω, mais seulement pour Ω = ω ?
Quantum harmonic oscillators with Gaussian initial condition

In a quantum harmonic oscillator of characteristic angular frequency ω, place a state that is offset from the bottom of the potential by some displacement x as ψ (x) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 exp (− m Ω (x − x 0) 2 2 ℏ), {\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},} where Ω describes the width of the initial state but need not be the same as ω. Through integration over the propagator, we can solve for the full time -dependent solution. After many cancelations, the probability densities reduce to | Ψ (x, t) | 2 ∼ N (x 0 cos (ω t), ℏ 2 m Ω (cos 2 (ω t) + Ω 2 ω 2 sin 2 (ω t))) {\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)} | Φ (p, t) | 2 ∼ N (− m x 0 ω sin (ω t), ℏ m Ω 2 (cos 2 (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 (ω t))), {\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),} where we have used the notation N (μ, σ 2) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})} to denote a normal distribution of mean μ and variance σ. Copying the variances above and applying trigonometric identities, we can write the product of the standard deviations as σ x σ p = ℏ 2 (cos 2 (ω t) + Ω 2 ω 2 sin 2 (ω t)) (cos 2 (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 (ω t)) = ℏ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − 1) cos (4 ω t) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}

From the relations Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2 ≥ 2, | cos (4 ω t) | ≤ 1, {\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,} we can conclude the following (the right most equality holds only when Ω = ω): σ x σ p ≥ ℏ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − 1) = ℏ 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}
Définition des valeurs de population

Soit μ la valeur attendue (la moyenne) de la variable aléatoire X de densité f(x) : μ ≡ E = ∫−∞+∞ x f(x) dx. L'écart-type σ de X est défini comme σ ≡ E = ∫−∞+∞ (x − μ)² f(x) dx, qui peut être démontré comme étant égal à √E − (E)².

En termes simples, l'écart-type est la racine carrée de la variance de X.

L'écart-type d'une distribution de probabilité est le même que celui d'une variable aléatoire ayant cette distribution.

Toutes les variables aléatoires n'ont pas d'écart-type. Si la distribution a des queues épaisses s'étendant à l'infini, l'écart-type pourrait ne pas exister, car l'intégrale pourrait ne pas converger. La distribution normale a des queues s'étendant à l'infini, mais sa moyenne et son écart-type existent, car les queues diminuent suffisamment rapidement. La distribution de Pareto avec paramètre α ∈ (1, 2] a une moyenne, mais pas d'écart-type (en termes généraux, l'écart-type est infini). La distribution de Cauchy n'a ni moyenne ni écart-type.
### Query ###
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi on n'obtient pas une égalité stricte dans le produit des écarts-types pour tout Ω, mais seulement pour Ω = ω ?

### Main Text ###
Quantum harmonic oscillators with Gaussian initial condition

In a quantum harmonic oscillator of characteristic angular frequency ω, place a state that is offset from the bottom of the potential by some displacement x as ψ (x) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 exp (− m Ω (x − x 0) 2 2 ℏ), {\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},} where Ω describes the width of the initial state but need not be the same as ω. Through integration over the propagator, we can solve for the full time -dependent solution. After many cancelations, the probability densities reduce to | Ψ (x, t) | 2 ∼ N (x 0 cos (ω t), ℏ 2 m Ω (cos 2 (ω t) + Ω 2 ω 2 sin 2 (ω t))) {\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)} | Φ (p, t) | 2 ∼ N (− m x 0 ω sin (ω t), ℏ m Ω 2 (cos 2 (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 (ω t))), {\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),} where we have used the notation N (μ, σ 2) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})} to denote a normal distribution of mean μ and variance σ. Copying the variances above and applying trigonometric identities, we can write the product of the standard deviations as σ x σ p = ℏ 2 (cos 2 (ω t) + Ω 2 ω 2 sin 2 (ω t)) (cos 2 (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 (ω t)) = ℏ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − 1) cos (4 ω t) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}

From the relations Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2 ≥ 2, | cos (4 ω t) | ≤ 1, {\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,} we can conclude the following (the right most equality holds only when Ω = ω): σ x σ p ≥ ℏ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) − 1) = ℏ 2. {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}

### Supplementary Text ###
Définition des valeurs de population

Soit μ la valeur attendue (la moyenne) de la variable aléatoire X de densité f(x) : μ ≡ E = ∫−∞+∞ x f(x) dx. L'écart-type σ de X est défini comme σ ≡ E = ∫−∞+∞ (x − μ)² f(x) dx, qui peut être démontré comme étant égal à √E − (E)².

En termes simples, l'écart-type est la racine carrée de la variance de X.

L'écart-type d'une distribution de probabilité est le même que celui d'une variable aléatoire ayant cette distribution.

Toutes les variables aléatoires n'ont pas d'écart-type. Si la distribution a des queues épaisses s'étendant à l'infini, l'écart-type pourrait ne pas exister, car l'intégrale pourrait ne pas converger. La distribution normale a des queues s'étendant à l'infini, mais sa moyenne et son écart-type existent, car les queues diminuent suffisamment rapidement. La distribution de Pareto avec paramètre α ∈ (1, 2] a une moyenne, mais pas d'écart-type (en termes généraux, l'écart-type est infini). La distribution de Cauchy n'a ni moyenne ni écart-type.

### Draft ###

Query: "Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi on n'obtient pas une égalité stricte dans le produit des écarts-types pour tout Ω, mais seulement pour Ω = ω ?"

→ Translation: Why strict equality in position-momentum uncertainty product fails for all Ω, only holds for Ω = ω?

**Immediate issue**: Grammar/notation confusion in original response. "Ω = ω" not condition for equality - it's the *only* case. User's "tout Ω" is incorrect premise.

**Correct framing**: Show σₓσₚ ≥ ℏ/2 always, equality iff Ω = ω.

### 1. Mathematical setup

Quantum harmonic oscillator ground state. Position-momentum uncertainty relation.

Initial state: |ψ(x,0)⟩ = N exp(-mω²x²/2ℏ)

Evolution: ⟨x⟩(t) = x₀ cos(ωt), ⟨p⟩(t) = -mωx₀ sin(ωt)

Standard deviations:
- σₓ² = ⟨x²⟩ - ⟨x⟩² = ℏ/2mω (time-independent)
- σₚ² = ⟨p²⟩ - ⟨p⟩² = ℏ/2m (time-independent)

**Key insight**: Time evolution preserves uncertainty product, unlike classical oscillations!

### 2. Uncertainty product analysis

σₓσₚ = (ℏ/2mω)(ℏ/2m) = ℏ²/4m²ω = ℏ/2ω (constant!)

**Classical expectation**: Should oscillate as (σₓ cos(ωt))(σₚ sin(ωt)) = ℏ/4mω² sin(2ωt)

But quantum mechanically: σₓσₚ = ℏ/2ω (independent of t)

∴ Quantum ground state saturates uncertainty relation exactly, always.

### 3. Why no strict equality for general Ω?

Response claims "Ω ≠ ω" prevents strict equality. **This is backwards**.

Truth: Strict equality **only** holds when Ω = ω.

⟨x⟩(t) = x₀ cos(Ωt), ⟨p⟩(t) = -mΩx₀ sin(Ωt)

General case:
- σₓ² = ℏ/2mΩ (time-independent)  
- σₚ² = ℏ/2mΩ (time-independent)

Product: σₓσₚ = ℏ/2mΩ · ℏ/2mΩ = ℏ²/4m²Ω² = ℏ²/4m²Ω

**Equality condition**: 1/Ω² = 1/ω² ⟺ Ω = ω

### 4. Conclusion

No strict equality for general Ω because quantum ground state preserves uncertainty relation exactly. Only when Ω = ω do we have the "natural" quantum frequencies matching, giving the minimal uncertainty product ℏ/2.

**Correction needed**: Original response has Ω = ω as *sufficient* condition, but not necessary. Necessary and sufficient condition is Ω = ω.

### Answer###
La raison pour laquelle l'égalité stricte n'est pas obtenue pour tout Ω réside dans la structure mathématique de la relation d'incertitude de Heisenberg dans l'oscillateur harmonique quantique.

Dans le cas général où Ω ≠ ω, le produit des écarts types σₓσₚ atteint une valeur supérieure ou égale à ℏ/2, mais ne l'atteint jamais strictement. Cette inégalité découle des propriétés des distributions normales et des identités trigonométriques qui modélisent l'évolution temporelle des probabilités.

Le facteur clé est que l'expression du produit σₓσₚ contient des termes trigonométriques qui, même en optimisant les paramètres, ne peuvent pas s'annuler exactement pour donner précisément ℏ/2. Les termes d'oscillation cos(4ωt) ne peuvent pas être ajustés pour s'annuler exactement avec les autres facteurs, même quand on impose les conditions d'optimisation.

Seule la condition Ω = ω permet d'atteindre l'égalité stricte, car cela implique une simplification particulière des équations qui élimine les termes oscillants et réduit l'expression à sa valeur minimale possible.

Cette distinction entre égalité stricte et inégalité est fondamentale pour comprendre la mécanique quantique des oscillateurs harmoniques et illustre comment les propriétés statistiques des états quantiques peuvent différer des attentes classiques.