Comment expliquer que le système d'axiomes de l'arithmétique de Peano soit à la fois incohérent lorsqu'il contient toutes les propositions comme axiomes, mais cohérent lorsqu'il est restreint, et quelles sont les implications de cette dualité pour la nature des systèmes axiomatiques ?
Consistency

A set of axioms is (simply) consistent if there is no statement such that both the statement and its negation are provable from the axioms, and inconsistent otherwise. That is to say, a consistent axiomatic system is one that is free from contradiction.

Peano arithmetic is provably consistent from ZFC, but not from within itself. Similarly, ZFC is not provably consistent from within itself, but ZFC + "there exists an inaccessible cardinal " proves ZFC is consistent because if κ is the least such cardinal, then V sitting inside the von Neumann universe is a model of ZFC, and a theory is consistent if and only if it has a model.

If one takes all statements in the language of Peano arithmetic as axioms, then this theory is complete, has a recursively enumerable set of axioms, and can describe addition and multiplication. However, it is not consistent.

Additional examples of inconsistent theories arise from the paradoxes that result when the axiom schema of unrestricted comprehension is assumed in set theory.
Cohérence

Un ensemble d'axiomes est (simplement) cohérent s'il n'existe aucune proposition pour laquelle à la fois la proposition et sa négation peuvent être démontrées à partir des axiomes, et incohérent sinon. Autrement dit, un système axiomatique cohérent est un système exempt de contradiction.

L'arithmétique de Peano est prouvablement cohérente à partir de ZFC, mais pas à partir d'elle-même. De même, ZFC n'est pas prouvablement cohérente à partir d'elle-même, mais ZFC + « il existe un cardinal inaccessible » prouve que ZFC est cohérent, car si κ est le plus petit tel cardinal, alors V, situé à l'intérieur de l'univers de von Neumann, est un modèle de ZFC, et une théorie est cohérente si et seulement si elle possède un modèle.

Si l'on prend toutes les propositions dans le langage de l'arithmétique de Peano comme axiomes, alors cette théorie est complète, possède un ensemble d'axiomes récursivement énumérable et peut décrire l'addition et la multiplication. Cependant, elle n'est pas cohérente.

Des exemples supplémentaires de théories incohérentes découlent des paradoxes qui résultent de l'hypothèse du schéma d'axiome de la compréhension non restreinte en théorie des ensembles.
### Query ###
Comment expliquer que le système d'axiomes de l'arithmétique de Peano soit à la fois incohérent lorsqu'il contient toutes les propositions comme axiomes, mais cohérent lorsqu'il est restreint, et quelles sont les implications de cette dualité pour la nature des systèmes axiomatiques ?

### Main Text ###
Consistency

A set of axioms is (simply) consistent if there is no statement such that both the statement and its negation are provable from the axioms, and inconsistent otherwise. That is to say, a consistent axiomatic system is one that is free from contradiction.

Peano arithmetic is provably consistent from ZFC, but not from within itself. Similarly, ZFC is not provably consistent from within itself, but ZFC + "there exists an inaccessible cardinal " proves ZFC is consistent because if κ is the least such cardinal, then V sitting inside the von Neumann universe is a model of ZFC, and a theory is consistent if and only if it has a model.

If one takes all statements in the language of Peano arithmetic as axioms, then this theory is complete, has a recursively enumerable set of axioms, and can describe addition and multiplication. However, it is not consistent.

Additional examples of inconsistent theories arise from the paradoxes that result when the axiom schema of unrestricted comprehension is assumed in set theory.

### Supplementary Text ###
Cohérence

Un ensemble d'axiomes est (simplement) cohérent s'il n'existe aucune proposition pour laquelle à la fois la proposition et sa négation peuvent être démontrées à partir des axiomes, et incohérent sinon. Autrement dit, un système axiomatique cohérent est un système exempt de contradiction.

L'arithmétique de Peano est prouvablement cohérente à partir de ZFC, mais pas à partir d'elle-même. De même, ZFC n'est pas prouvablement cohérente à partir d'elle-même, mais ZFC + « il existe un cardinal inaccessible » prouve que ZFC est cohérent, car si κ est le plus petit tel cardinal, alors V, situé à l'intérieur de l'univers de von Neumann, est un modèle de ZFC, et une théorie est cohérente si et seulement si elle possède un modèle.

Si l'on prend toutes les propositions dans le langage de l'arithmétique de Peano comme axiomes, alors cette théorie est complète, possède un ensemble d'axiomes récursivement énumérable et peut décrire l'addition et la multiplication. Cependant, elle n'est pas cohérente.

Des exemples supplémentaires de théories incohérentes découlent des paradoxes qui résultent de l'hypothèse du schéma d'axiome de la compréhension non restreinte en théorie des ensembles.

### Draft ###

Query: "Comment expliquer que le système d'axiomes de l'arithmétique de Peano soit à la fois incohérent lorsqu'il contient toutes les propositions comme axiomes, mais cohérent lorsqu'il est restreint..."

Translation check: "Explain why Peano arithmetic axiom system is both inconsistent when containing all propositions as axioms, but consistent when restricted, and what implications this duality has for nature of axiomatic systems."

● User assumes core paradox - verify first.

**The Paradox Explained**

PA consistency stems from incompleteness vs completeness trade-off.

Classical PA (5 axioms, no Σ₀ comprehension): 
- Consistent ● 
- Incomplete ◐
- Gödel 1931: ∀ Σ₀ sentence φ, PA ⊬ φ ∨ PA ⊬ ¬φ

But: PA* = PA ∪ {all Σ₀ sentences as axioms}
→ Now complete! But inconsistent ⚠

Why? Explosion principle: If PA* ⊢ φ then PA* ⊢ ¬φ also.
Proof: Use contradiction method. Assume PA* ⊢ φ. Then PA* ⊢ φ ∧ ¬φ ∧ φ ∧ ¬φ...
→ Contradiction. ∴ PA* is inconsistent.

**Restriction resolves paradox**

Standard PA avoids this by:
- Restricting to primitive recursive functions
- Avoiding unrestricted comprehension
- Using weak induction schema

These restrictions preserve:
1. Arithmetic soundness ●
2. Decidability of axiom set ●  
3. Avoid Gödel sentences as theorems ●

**Implications for Axiomatic Systems**

This duality reveals:
- Completeness ↔ Consistency trade-off is fundamental
- "Natural" axiom sets (like PA*) can be inconsistent
- Restriction necessity for practical systems
- Metalanguage perspective essential

⟨H≈0.8⟩ The paradox echoes deeper logical tensions... why does our intuitive arithmetic explode when we make it "complete"? Maybe completeness itself is the contradiction - demanding a system capture all truth about its own expressive power. Like trying to map an infinite plane onto finite paper...

**Key Insight** !

PA* case shows that "obvious" axiom sets can be inconsistent. This challenges naive assumption that "natural" formal systems are consistent.

∴ We need:
- Meta-theoretic justification of axioms
- Independence results from consistency
- Practical vs complete formal systems distinction

The duality demonstrates that formal consistency isn't just technical - it's ontological. Some "natural" systems are inherently contradictory when made complete.

**Physical Constraints Check**

No computational limits here. Pure logical reasoning.
Historical context: Early 20th century logic foundations crisis.
Modern relevance: Formal verification, programming language semantics.

**Verification** ↺

Cross-check with known results:
- Gödel incompleteness: ✓
- Explosion principle: ✓  
- PA vs PA*: ✓
- Metalogical consistency: ✓

The paradox is well-established. Query translation appears accurate. French mathematical terminology standard.

**Final Answer Structure**

Lead with paradox statement → Explain inconsistency of PA* → Show restriction resolves issue → Extract meta-principles for axiomatic systems.

Dense, technical, but accessible once core logical relationships understood.

### Answer###
Le système d'axiomes de l'arithmétique de Peano présente effectivement cette dualité remarquable entre cohérence et contradiction selon le choix des axiomes inclus.

Lorsque l'on considère l'arithmétique de Peano avec seulement ses axiomes standards (les cinq axiomes originaux de Peano), le système est cohérent. Il est prouvablement cohérent à partir de ZFC, bien que cette cohérence ne puisse être démontrée directement à partir de l'arithmétique de Peano elle-même.

Cependant, une situation paradoxale apparaît lorsque tous les énoncés du langage de l'arithmétique de Peano sont considérés comme axiomes. Dans ce cas, la théorie résultante devient complète et possède un ensemble d'axiomes récursivement énumérable. Elle peut décrire l'addition et la multiplication. Néanmoins, cette théorie complète est incohérente.

Cette incohérence découle du fait que lorsqu'une théorie est complète, pour chaque proposition φ, soit elle est prouvable (φ), soit sa négation ¬φ est prouvable. Ainsi, si nous incluons suffisamment de propositions, nous atteindrons nécessairement des contradictions où à la fois une proposition et sa négation deviennent démontrables.

Les implications de cette dualité pour la nature des systèmes axiomatiques sont profondes. Elle révèle que la cohérence d'un système axiomatique n'est pas une propriété universelle, mais dépend crucialement de la sélection des axiomes. De plus, cette distinction entre arithmétique de Peano restreinte et complète illustre le compromis fondamental entre exhaustivité (complétude) et non-contradiction (cohérence) dans les systèmes formels.

Cette leçon s'étend aux systèmes axiomatiques en théorie des ensembles, où l'inclusion d'axiomes comme le schéma de compréhension non restreinte peut générer des paradoxes similaires, soulignant ainsi l'importance des restrictions axiomatiques pour maintenir la cohérence mathématique.