Dis-moi, est-ce qu'on peut vraiment faire des tests t appariés avec un échantillon non apparié tout en maintenant le même nombre de degrés de liberté que les tests indépendants ?
Paired samples

Paired samples t -tests typically consist of a sample of matched pairs of similar units, or one group of units that has been tested twice (a "repeated measures" t -test).

A typical example of the repeated measures t -test would be where subjects are tested prior to a treatment, say for high blood pressure, and the same subjects are tested again after treatment with a blood-pressure-lowering medication. By comparing the same patient's numbers before and after treatment, we are effectively using each patient as their own control. That way the correct rejection of the null hypothesis (here: of no difference made by the treatment) can become much more likely, with statistical power increasing simply because the random interpatient variation has now been eliminated. However, an increase of statistical power comes at a price: more tests are required, each subject having to be tested twice. Because half of the sample now depends on the other half, the paired version of Student's t -test has only n / 2 − 1 degrees of freedom (with n being the total number of observations). Pairs become individual test units, and the sample has to be doubled to achieve the same number of degrees of freedom. Normally, there are n − 1 degrees of freedom (with n being the total number of observations).

A paired samples t -test based on a "matched-pairs sample" results from an unpaired sample that is subsequently used to form a paired sample, by using additional variables that were measured along with the variable of interest. The matching is carried out by identifying pairs of values consisting of one observation from each of the two samples, where the pair is similar in terms of other measured variables. This approach is sometimes used in observational studies to reduce or eliminate the effects of confounding factors.

Paired samples t -tests are often referred to as "dependent samples t -tests".
Test t apparié pour échantillons dépendants

Ce test est utilisé lorsque les échantillons sont dépendants ; c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'un seul échantillon qui a été testé deux fois (mesures répétées) ou lorsque l'on dispose de deux échantillons qui ont été appariés ou « jumelés ». Il s'agit d'un exemple de test de différence appariée. La statistique t est calculée comme suit :

où ${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$ et $s_{D}$ sont la moyenne et l'écart-type des différences entre toutes les paires. Les paires sont par exemple les scores pré-test et post-test d'une même personne, ou les paires de personnes appariées dans des groupes significatifs (par exemple, issues de la même famille ou du même groupe d'âge : voir tableau). La constante μ est égale à zéro si l'on souhaite tester si la moyenne de la différence est significativement différente. Le degré de liberté utilisé est n − 1, où n représente le nombre de paires.
### Query ###
Dis-moi, est-ce qu'on peut vraiment faire des tests t appariés avec un échantillon non apparié tout en maintenant le même nombre de degrés de liberté que les tests indépendants ?

### Main Text ###
Paired samples

Paired samples t -tests typically consist of a sample of matched pairs of similar units, or one group of units that has been tested twice (a "repeated measures" t -test).

A typical example of the repeated measures t -test would be where subjects are tested prior to a treatment, say for high blood pressure, and the same subjects are tested again after treatment with a blood-pressure-lowering medication. By comparing the same patient's numbers before and after treatment, we are effectively using each patient as their own control. That way the correct rejection of the null hypothesis (here: of no difference made by the treatment) can become much more likely, with statistical power increasing simply because the random interpatient variation has now been eliminated. However, an increase of statistical power comes at a price: more tests are required, each subject having to be tested twice. Because half of the sample now depends on the other half, the paired version of Student's t -test has only n / 2 − 1 degrees of freedom (with n being the total number of observations). Pairs become individual test units, and the sample has to be doubled to achieve the same number of degrees of freedom. Normally, there are n − 1 degrees of freedom (with n being the total number of observations).

A paired samples t -test based on a "matched-pairs sample" results from an unpaired sample that is subsequently used to form a paired sample, by using additional variables that were measured along with the variable of interest. The matching is carried out by identifying pairs of values consisting of one observation from each of the two samples, where the pair is similar in terms of other measured variables. This approach is sometimes used in observational studies to reduce or eliminate the effects of confounding factors.

Paired samples t -tests are often referred to as "dependent samples t -tests".

### Supplementary Text ###
Test t apparié pour échantillons dépendants

Ce test est utilisé lorsque les échantillons sont dépendants ; c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'un seul échantillon qui a été testé deux fois (mesures répétées) ou lorsque l'on dispose de deux échantillons qui ont été appariés ou « jumelés ». Il s'agit d'un exemple de test de différence appariée. La statistique t est calculée comme suit :

où ${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$ et $s_{D}$ sont la moyenne et l'écart-type des différences entre toutes les paires. Les paires sont par exemple les scores pré-test et post-test d'une même personne, ou les paires de personnes appariées dans des groupes significatifs (par exemple, issues de la même famille ou du même groupe d'âge : voir tableau). La constante μ est égale à zéro si l'on souhaite tester si la moyenne de la différence est significativement différente. Le degré de liberté utilisé est n − 1, où n représente le nombre de paires.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"tests t appariés avec un échantillon non apparié" → impossible. Category error.

Paired t-tests require: paired observations. Non-paired = independent observations. ∴ Fundamental incompatibility.

"maintenant le même nombre de degrés de liberté que les tests indépendants" → this part suggests user confused about df calculation.

? Maybe asking about computational equivalence? Or df degrees in paired vs independent contexts?

### 2. Core Clarification

Paired t-test df: n-1 (where n = number of pairs)
Independent t-test df: n₁-1 + n₂-1 (combined groups)

● High confidence: paired df << independent df when sample sizes unequal
◐ Partial: user might want computational shortcut?

### 3. Mathematical Reality Check

Let's say:
- Paired: n=10 pairs → df=9
- Independent: n₁=5, n₂=5 → df=4+4=8

Impossible to match df without sacrificing power/precision.

⟨H≈0.8⟩ Maybe user thinking of matched-pairs designs? Where you take independent sample, add matching variables, create pseudo-pairs? Then df increases but still < independent case...

### 4. Power Considerations

Paired design power advantage: eliminates individual variation → can use smaller n for same effect size detection.

Independent design advantage: larger df → more precise estimates.

∴ No equivalence possible without loss.

### 5. Conclusion

Original premise flawed. Paired + non-paired = different statistical frameworks entirely.

If user wants df equivalence → need different test entirely (ANOVA, regression, etc.).

● Final answer: Technical impossibility. Paired data structure fundamentally different from independent observations.

### Answer###
Cette question présente une confusion importante sur la nature des tests t appariés. Un test t apparié ne peut pas être effectué avec un échantillon non apparié, car sa définition même repose sur la présence d'observations appariées.

Les tests t appariés consistent typiquement en un échantillon de paires de observations similaires, ou dans un seul groupe d'unités testé à deux reprises (test de mesures répétées). Dans le cas des mesures répétées, chaque observation forme sa propre paire avec sa mesure précédente, ce qui explique la structure appariée.

Concernant les degrés de liberté, le test t apparié utilise n − 1 degrés de liberté, où n représente le nombre total d'observations. Cette différence s'explique par le fait que les paires deviennent les unités de test individuelles, et l'échantillon doit être doublé pour obtenir le même nombre de degrés de liberté qu'un test indépendant.

Il existe cependant une variante qui peut sembler paradoxale : le test t apparié basé sur un "échantillon de paires appariées" peut utiliser un échantillon non apparié initial en formant des paires par l'ajout de variables supplémentaires. Cette approche consiste à identifier des paires d'observations similaires selon d'autres variables mesurées.

En résumé, la structure appariée des données est fondamentale pour ce type de test statistique, et il n'existe pas d'équivalence directe avec les tests indépendants en termes de degrés de liberté sans modifier la puissance statistique de l'analyse.