Comment les théorèmes de divergence de Gauss et de Stokes-Kelvin établissent la relation entre les formulations différentielle et intégrale.
Relationship between differential and integral formulations

The equivalence of the differential and integral formulations are a consequence of the Gauss divergence theorem and the Kelvin–Stokes theorem.
La relation entre les formulations différentielle et intégrale est une conséquence du théorème de divergence de Gauss et du théorème de Stokes-Kelvin.
### Query ###
Comment les théorèmes de divergence de Gauss et de Stokes-Kelvin établissent la relation entre les formulations différentielle et intégrale.

### Main Text ###
Relationship between differential and integral formulations

The equivalence of the differential and integral formulations are a consequence of the Gauss divergence theorem and the Kelvin–Stokes theorem.

### Supplementary Text ###
La relation entre les formulations différentielle et intégrale est une conséquence du théorème de divergence de Gauss et du théorème de Stokes-Kelvin.

### Draft ###

**Query parsing:** "Comment les théorèmes de divergence de Gauss et de Stokes-Kelvin établissent la relation entre les formulations différentielle et intégrale."

→ French mathematical physics question. Asking how Gauss-Divergence + Stokes-Kelvin establish bridge between differential/integral formulations.

**Translation check:** "théorèmes de divergence de Gauss et de Stokes-Kelvin" = Gauss's Divergence Theorem + Stokes' Theorem. "formulations différentielle et intégrale" = differential vs integral formulations. ✓

**Domain identification:** ● Mathematical physics, vector calculus
● Advanced undergraduate/graduate level
● French educational context likely

**Information retrieval vs synthesis:** Not simple lookup. Requires understanding:
- How each theorem works independently  
- Their combined mathematical relationship
- Pedagogical bridge they create

**Core mathematical relationship:**

Gauss's Divergence Theorem: ∇·F = ∫∫∫_V (∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z) dV = ∫∫_S F·n dS

Stokes' Theorem: ∇×F = ∫_C F·dr = ∫∫_S (n×F) dS

**Key insight:** These are *reciprocal relationships*.

Divergence theorem: converts volume integral (differential formulation) ↔ surface integral (integral formulation)

Stokes' theorem: converts line integral (integral formulation) ↔ surface integral (differential formulation)

**Mathematical bridge established:**

Theorems create bidirectional translation mechanism:
- Differential → Integral: Apply divergence/curl operators
- Integral → Differential: Integrate over appropriate domains

**Why this is significant:**

Physical phenomena often described naturally in differential form (local behavior). 

Measurement/computation often requires integral formulations (total quantities).

**Example synthesis:**
Maxwell equations: differential form describes field behavior
Integral form via theorems gives measurable quantities
Electrostatic: ∇·E = ρ → ∮E·dl = Q_enc (Gauss)
Magnetostatic: ∇×B = μ₀J → ∮B·dl = μ₀I_enc (Ampère)

**Verification:** Response correctly identifies this reciprocal relationship. Mentions "passages réciproques" - bidirectional conversions.

**Potential gaps in original response:**
- Could elaborate more on the *why* this relationship is fundamental
- Could give concrete physical example
- Stokes-Kelvin theorem reference (slightly imprecise - Kelvin came later, Stokes original)

**Conclusion:** ● Response is mathematically sound
◐ Pedagogically effective but could be more motivational
● Establishes the bridge through reciprocal theorem relationships

**Assessment:** Information retrieval successful. Mathematical relationships correctly identified. Pedagogical synthesis appropriate for advanced mathematical physics context.

### Answer###
Les théorèmes de divergence de Gauss et de Stokes-Kelvin établissent une relation fondamentale entre les formulations différentielle et intégrale en créant des passages réciproques permettant de convertir une formulation en l'autre.

Le théorème de divergence de Gauss permet de passer d'une formulation intégrale (flux à travers une surface) à une formulation différentielle (divergence d'un champ vectoriel). Inversement, le théorème de Stokes-Kelvin permet de passer d'une formulation intégrale (circulation le long d'un contour fermé) à une formulation différentielle (rotationnel d'un champ vectoriel).

Cette relation réciproque entre les formulations différentielle et intégrale est précisément ce qui fait d'eux des outils complémentaires puissants en physique mathématique et en électrodynamique. Ils permettent de transformer des problèmes exprimés sous forme différentielle en problèmes intégrables et vice versa, facilitant ainsi les calculs et les applications pratiques.