Pourriez-vous me rappeler quelle méthode de test de divisibilité vous préconisez pour les nombres à plus de trois chiffres ?
Divisibility rules for numbers 1–30

The rules given below transform a given number into a generally smaller number, while preserving divisibility by the divisor of interest. Therefore, unless otherwise noted, the resulting number should be evaluated for divisibility by the same divisor. In some cases the process can be iterated until the divisibility is obvious; for others (such as examining the last n digits) the result must be examined by other means.

For divisors with multiple rules, the rules are generally ordered first for those appropriate for numbers with many digits, then those useful for numbers with fewer digits.

To test the divisibility of a number by a power of 2 or a power of 5 (2 or 5, in which n is a positive integer), one only need to look at the last n digits of that number.

To test divisibility by any number expressed as the product of prime factors p 1 n p 2 m p 3 q {\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}, we can separately test for divisibility by each prime to its appropriate power. For example, testing divisibility by 24 (24 = 8×3 = 2 ×3) is equivalent to testing divisibility by 8 (2) and 3 simultaneously, thus we need only show divisibility by 8 and by 3 to prove divisibility by 24.
Divisibilité par 7

La divisibilité par 7 peut être testée par une méthode récursive. Un nombre de la forme 10x + y est divisible par 7 si et seulement si x − 2y est divisible par 7. En d'autres termes, soustrayez deux fois le dernier chiffre du nombre formé par les chiffres restants. Continuez à faire ainsi jusqu'à obtenir un nombre pour lequel il est connu s'il est divisible par 7. Le nombre original est divisible par 7 si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cette procédure est divisible par 7. Par exemple, le nombre 371 : 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35 ; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7 ; ainsi, puisque −7 est divisible par 7, 371 est divisible par 7.

De même, un nombre de la forme 10x + y est divisible par 7 si et seulement si x + 5y est divisible par 7. Donc, ajoutez cinq fois le dernier chiffre au nombre formé par les chiffres restants, et continuez à faire ainsi jusqu'à obtenir un nombre pour lequel il est connu s'il est divisible par 7.

Une autre méthode est la multiplication par 3. Un nombre de la forme 10x + y a le même reste lorsqu'il est divisé par 7 que 3x + y. Il faut multiplier le chiffre le plus à gauche du nombre original par 3, ajouter le chiffre suivant, prendre le reste lorsqu'il est divisé par 7, et continuer à partir du début : multiplier par 3, ajouter le chiffre suivant, etc. Par exemple, le nombre 371 : 3 × 3 + 7 = 16 reste 2, et 2 × 3 + 1 = 7. Cette méthode peut être utilisée pour trouver le reste de la division par 7.

Un algorithme plus complexe pour tester la divisibilité par 7 utilise le fait que 10 ≡ 1, 10 ≡ 3, 10 ≡ 2, 10 ≡ 6, 10 ≡ 4, 10 ≡ 5, 10 ≡ 1,... (mod 7). Prenez chaque chiffre du nombre (371) dans l'ordre inverse (173), en les multipliant successivement par les chiffres 1, 3, 2, 6, 4, 5, en répétant cette séquence de multiplicateurs aussi longtemps que nécessaire (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5,...), et en additionnant les produits (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Le nombre original est divisible par 7 si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cette procédure est divisible par 7 (donc 371 est divisible par 7 puisque 28 l'est).

Cette méthode peut être simplifiée en supprimant le besoin de multiplication. Il suffirait de mémoriser la séquence ci-dessus (132645...), et d'ajouter et de soustraire, mais en travaillant toujours avec des nombres à un seul chiffre.

La simplification se fait comme suit :

Si, par cette procédure, vous obtenez un 0 ou un multiple reconnaissable de 7, alors le nombre original est un multiple de 7. Si vous obtenez un nombre de 1 à 6, cela indiquera de combien vous devez soustraire le nombre original pour obtenir un multiple de 7. En d'autres termes, vous trouverez le reste de la division du nombre par 7. Par exemple, prenez le nombre 186 :

Maintenant, nous avons un nombre inférieur à 7, et ce nombre (4) est le reste de la division de 186/7. Donc 186 moins 4, soit 182, doit être un multiple de 7.

Note : La raison pour laquelle cela fonctionne est que si nous avons : a + b = c et b est un multiple de n'importe quel nombre donné n, alors a et c produiront nécessairement le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. En d'autres termes, dans 2 + 7 = 9, 7 est divisible par 7. Donc 2 et 9 doivent avoir le même reste lorsqu'ils sont divisés par 7. Le reste est 2.

Par conséquent, si un nombre n est un multiple de 7 (c'est-à-dire : le reste de n /7 est 0), l'ajout (ou la soustraction) de multiples de 7 ne peut pas modifier cette propriété.

Ce que fait cette procédure, comme expliqué ci-dessus pour la plupart des règles de divisibilité, est simplement de soustraire petit à petit des multiples de 7 du nombre original jusqu'à atteindre un nombre suffisamment petit pour que nous puissions nous rappeler s'il est un multiple de 7. Si 1 devient 3 dans la position décimale suivante, ce n'est que la conversion de 10×10 en 3×10. Et c'est en fait la même chose que soustraire 7×10 (clairement un multiple de 7) de 10×10.

De même, lorsque vous transformez un 3 en un 2 dans la position décimale suivante, vous transformez 30×10 en 2×10, ce qui équivaut à soustraire 30×10 −28×10, et cela revient à soustraire un multiple de 7. La même raison s'applique à toutes les conversions restantes :

Premier exemple de méthode 1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. RÉPONSE : 1050 est divisible par 7.

Deuxième exemple de méthode 1050 → 0501 (inversé) → 0× 1 + 5× 3 + 0× 2 + 1× 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplier et additionner). RÉPONSE : 1050 est divisible par 7.

Méthode védique de divisibilité par osculation La divisibilité par sept peut être testée en multipliant par le Ekhādika. Convertissez le diviseur sept en famille des neufs en multipliant par sept. 7×7=49. Ajoutez un, supprimez le chiffre des unités et prenez le 5, le Ekhādika, comme multiplicateur. Commencez à droite. Multipliez par 5, ajoutez le produit au chiffre suivant à gauche. Placez ce résultat sur une ligne en dessous de ce chiffre. Répétez cette méthode de multiplication du chiffre des unités par cinq et d'addition de ce produit au nombre de dizaines. Ajoutez le résultat au chiffre suivant à gauche. Écrivez ce résultat sous le chiffre. Continuez jusqu'à la fin. Si le résultat est zéro ou un multiple de sept, alors oui, le nombre est divisible par sept. Sinon, ce n'est pas le cas. Cela suit l'idéal védique, la notation en une seule ligne.

Méthode védique exemple :

Méthode Pohlman–Mass de divisibilité par 7 La méthode Pohlman–Mass fournit une solution rapide qui peut déterminer si la plupart des entiers sont divisibles par sept en trois étapes ou moins. Cette méthode pourrait être utile dans un concours de mathématiques tel que MATHCOUNTS, où le temps est un facteur pour déterminer la solution sans calculatrice lors de l'épreuve Sprint.

Étape A : Si l'entier est inférieur ou égal à 1000, soustrayez deux fois le dernier chiffre du nombre formé par les chiffres restants. Si le résultat est un multiple de sept, alors l'est également le nombre original (et vice versa). Par exemple :

Parce que 1001 est divisible par sept, un schéma intéressant se développe pour les ensembles répétitifs de 1, 2 ou 3 chiffres qui forment des nombres à 6 chiffres (des zéros initiaux sont autorisés) dans le sens où tous ces nombres sont divisibles par sept. Par exemple :

Pour tous les exemples ci-dessus, soustraire les trois premiers chiffres du dernier groupe de trois donne un multiple de sept. Remarquez que les zéros initiaux sont autorisés pour former un motif à 6 chiffres.

Ce phénomène constitue la base des étapes B et C.

Étape B : Si l'entier se situe entre 1001 et un million, trouvez un motif répétitif de 1, 2 ou 3 chiffres qui forme un nombre à 6 chiffres qui est proche de l'entier (des zéros initiaux sont autorisés et peuvent vous aider à visualiser le motif). Si la différence positive est inférieure à 1000, appliquez l'étape A. Cela peut être fait en soustrayant les trois premiers chiffres du dernier groupe de trois chiffres. Par exemple :

Le fait que 999 999 est un multiple de 7 peut être utilisé pour déterminer la divisibilité des entiers supérieurs à un million en réduisant l'entier à un nombre à 6 chiffres qui peut être déterminé à l'aide de l'étape B. Cela peut être fait facilement en ajoutant les chiffres situés à gauche des six premiers aux six derniers et en suivant avec l'étape A.

Étape C : Si l'entier est supérieur à un million, soustrayez le multiple de 999 999 le plus proche, puis appliquez l'étape B. Pour les nombres encore plus grands, utilisez des ensembles plus grands tels que 12 chiffres (999 999 999 999) et ainsi de suite. Ensuite, divisez l'entier en un nombre plus petit qui peut être résolu à l'aide de l'étape B. Par exemple :

Cela permet d'ajouter et de soustraire des ensembles alternés de trois chiffres pour déterminer la divisibilité par sept. La compréhension de ces motifs vous permet de calculer rapidement la divisibilité par sept, comme le montrent les exemples suivants :

Méthode Pohlman–Mass de divisibilité par 7, exemples :

Méthode de multiplication par 3 de divisibilité par 7, exemples :

Trouver le reste d'un nombre lorsqu'il est divisé par 7

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, le cycle se répète pour les six prochains chiffres) Période : 6 chiffres. Nombres récurrents : 1, 3, 2, −1, −3, −2 Séquence de magnitude minimale (1, 3, 2, 6, 4, 5, le cycle se répète pour les six prochains chiffres) Période : 6 chiffres. Nombres récurrents : 1, 3, 2, 6, 4, 5 Séquence positive

Multipliez le chiffre le plus à droite par le chiffre le plus à gauche de la séquence et multipliez le deuxième chiffre le plus à droite par le deuxième chiffre le plus à gauche de la séquence et ainsi de suite. Ensuite, calculez la somme de toutes les valeurs et prenez le modulo de 7. Exemple : Quel est le reste lorsque 1036125837 est divisé par 7 ? Multiplication du chiffre le plus à droite = 1 × 7 = 7 Multiplication du deuxième chiffre le plus à droite = 3 × 3 = 9 Troisième chiffre le plus à droite = 8 × 2 = 16 Quatrième chiffre le plus à droite = 5 × −1 = −5 Cinquième chiffre le plus à droite = 2 × −3 = −6 Sixième chiffre le plus à droite = 1 × −2 = −2 Septième chiffre le plus à droite = 6 × 1 = 6 Huitième chiffre le plus à droite = 3 × 3 = 9 Neuvième chiffre le plus à droite = 0 Dixième chiffre le plus à droite = 1 × −1 = −1 Somme = 33 33 modulo 7 = 5 Reste = 5

Méthode des paires de chiffres de divisibilité par 7

Cette méthode utilise le motif 1, −3, 2 sur les paires de chiffres. C'est-à-dire que la divisibilité de n'importe quel nombre par sept peut être testée en séparant d'abord le nombre en paires de chiffres, puis en appliquant l'algorithme sur trois paires de chiffres (six chiffres). Lorsque le nombre est inférieur à six chiffres, remplissez des zéros à droite jusqu'à ce qu'il y en ait six. Lorsque le nombre est supérieur à six chiffres, répétez le cycle sur le groupe suivant de six chiffres, puis ajoutez les résultats. Répétez l'algorithme jusqu'à ce que le résultat soit un petit nombre. Le nombre original est divisible par sept si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cet algorithme est divisible par sept. Cette méthode est particulièrement adaptée aux grands nombres.

Exemple 1 : Le nombre à tester est 157514. Nous séparons d'abord le nombre en trois paires de chiffres : 15, 75 et 14. Ensuite, nous appliquons l'algorithme : 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 Parce que le résultat 182 est inférieur à six chiffres, nous ajoutons des zéros à droite jusqu'à ce qu'il y en ait six. Ensuite, nous appliquons à nouveau notre algorithme : 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 Le résultat −42 est divisible par sept, donc le nombre original 157514 est divisible par sept.

Exemple 2 : Le nombre à tester est 15751537186. (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 Le résultat −77 est divisible par sept, donc le nombre original 15751537186 est divisible par sept.

Une autre méthode de paires de chiffres pour la divisibilité par 7

Méthode

Il s'agit d'une méthode non récursive pour trouver le reste laissé par un nombre lorsqu'il est divisé par 7 :

Par exemple :

Le nombre 194 536 laisse un reste de 6 lorsqu'il est divisé par 7.

Le nombre 510 517 813 laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 7.

Preuve de la correction de la méthode

La méthode est basée sur l'observation que 100 laisse un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 7. Et comme nous divisons le nombre en paires de chiffres, nous avons essentiellement des puissances de 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10 000 mod 7 = 2^2 = 4

1 000 000 mod 7 = 2^3 = 8 ; 8 mod 7 = 1

100 000 000 mod 7 = 2^4 = 16 ; 16 mod 7 = 2

10 000 000 000 mod 7 = 2^5 = 32 ; 32 mod 7 = 4

Et ainsi de suite.

La correction de la méthode est ensuite établie par la chaîne d'égalités suivante :

Soit N le nombre donné a 2 n a 2 n − 1... a 2 a 1 ¯ {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}.

a 2 n a 2 n − 1... a 2 a 1 ¯ mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}

mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}

∑ k = 1 n (a 2 k a 2 k − 1 × 10 2 k − 2) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}

∑ k = 1 n (a 2 k a 2 k − 1 mod 7) × (10 2 k − 2 mod 7) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}

### Query ###
Pourriez-vous me rappeler quelle méthode de test de divisibilité vous préconisez pour les nombres à plus de trois chiffres ?

### Main Text ###
Divisibility rules for numbers 1–30

The rules given below transform a given number into a generally smaller number, while preserving divisibility by the divisor of interest. Therefore, unless otherwise noted, the resulting number should be evaluated for divisibility by the same divisor. In some cases the process can be iterated until the divisibility is obvious; for others (such as examining the last n digits) the result must be examined by other means.

For divisors with multiple rules, the rules are generally ordered first for those appropriate for numbers with many digits, then those useful for numbers with fewer digits.

To test the divisibility of a number by a power of 2 or a power of 5 (2 or 5, in which n is a positive integer), one only need to look at the last n digits of that number.

To test divisibility by any number expressed as the product of prime factors p 1 n p 2 m p 3 q {\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}, we can separately test for divisibility by each prime to its appropriate power. For example, testing divisibility by 24 (24 = 8×3 = 2 ×3) is equivalent to testing divisibility by 8 (2) and 3 simultaneously, thus we need only show divisibility by 8 and by 3 to prove divisibility by 24.

### Supplementary Text ###
Divisibilité par 7

La divisibilité par 7 peut être testée par une méthode récursive. Un nombre de la forme 10x + y est divisible par 7 si et seulement si x − 2y est divisible par 7. En d'autres termes, soustrayez deux fois le dernier chiffre du nombre formé par les chiffres restants. Continuez à faire ainsi jusqu'à obtenir un nombre pour lequel il est connu s'il est divisible par 7. Le nombre original est divisible par 7 si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cette procédure est divisible par 7. Par exemple, le nombre 371 : 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35 ; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7 ; ainsi, puisque −7 est divisible par 7, 371 est divisible par 7.

De même, un nombre de la forme 10x + y est divisible par 7 si et seulement si x + 5y est divisible par 7. Donc, ajoutez cinq fois le dernier chiffre au nombre formé par les chiffres restants, et continuez à faire ainsi jusqu'à obtenir un nombre pour lequel il est connu s'il est divisible par 7.

Une autre méthode est la multiplication par 3. Un nombre de la forme 10x + y a le même reste lorsqu'il est divisé par 7 que 3x + y. Il faut multiplier le chiffre le plus à gauche du nombre original par 3, ajouter le chiffre suivant, prendre le reste lorsqu'il est divisé par 7, et continuer à partir du début : multiplier par 3, ajouter le chiffre suivant, etc. Par exemple, le nombre 371 : 3 × 3 + 7 = 16 reste 2, et 2 × 3 + 1 = 7. Cette méthode peut être utilisée pour trouver le reste de la division par 7.

Un algorithme plus complexe pour tester la divisibilité par 7 utilise le fait que 10 ≡ 1, 10 ≡ 3, 10 ≡ 2, 10 ≡ 6, 10 ≡ 4, 10 ≡ 5, 10 ≡ 1,... (mod 7). Prenez chaque chiffre du nombre (371) dans l'ordre inverse (173), en les multipliant successivement par les chiffres 1, 3, 2, 6, 4, 5, en répétant cette séquence de multiplicateurs aussi longtemps que nécessaire (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5,...), et en additionnant les produits (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Le nombre original est divisible par 7 si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cette procédure est divisible par 7 (donc 371 est divisible par 7 puisque 28 l'est).

Cette méthode peut être simplifiée en supprimant le besoin de multiplication. Il suffirait de mémoriser la séquence ci-dessus (132645...), et d'ajouter et de soustraire, mais en travaillant toujours avec des nombres à un seul chiffre.

La simplification se fait comme suit :

Si, par cette procédure, vous obtenez un 0 ou un multiple reconnaissable de 7, alors le nombre original est un multiple de 7. Si vous obtenez un nombre de 1 à 6, cela indiquera de combien vous devez soustraire le nombre original pour obtenir un multiple de 7. En d'autres termes, vous trouverez le reste de la division du nombre par 7. Par exemple, prenez le nombre 186 :

Maintenant, nous avons un nombre inférieur à 7, et ce nombre (4) est le reste de la division de 186/7. Donc 186 moins 4, soit 182, doit être un multiple de 7.

Note : La raison pour laquelle cela fonctionne est que si nous avons : a + b = c et b est un multiple de n'importe quel nombre donné n, alors a et c produiront nécessairement le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. En d'autres termes, dans 2 + 7 = 9, 7 est divisible par 7. Donc 2 et 9 doivent avoir le même reste lorsqu'ils sont divisés par 7. Le reste est 2.

Par conséquent, si un nombre n est un multiple de 7 (c'est-à-dire : le reste de n /7 est 0), l'ajout (ou la soustraction) de multiples de 7 ne peut pas modifier cette propriété.

Ce que fait cette procédure, comme expliqué ci-dessus pour la plupart des règles de divisibilité, est simplement de soustraire petit à petit des multiples de 7 du nombre original jusqu'à atteindre un nombre suffisamment petit pour que nous puissions nous rappeler s'il est un multiple de 7. Si 1 devient 3 dans la position décimale suivante, ce n'est que la conversion de 10×10 en 3×10. Et c'est en fait la même chose que soustraire 7×10 (clairement un multiple de 7) de 10×10.

De même, lorsque vous transformez un 3 en un 2 dans la position décimale suivante, vous transformez 30×10 en 2×10, ce qui équivaut à soustraire 30×10 −28×10, et cela revient à soustraire un multiple de 7. La même raison s'applique à toutes les conversions restantes :

Premier exemple de méthode 1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. RÉPONSE : 1050 est divisible par 7.

Deuxième exemple de méthode 1050 → 0501 (inversé) → 0× 1 + 5× 3 + 0× 2 + 1× 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplier et additionner). RÉPONSE : 1050 est divisible par 7.

Méthode védique de divisibilité par osculation La divisibilité par sept peut être testée en multipliant par le Ekhādika. Convertissez le diviseur sept en famille des neufs en multipliant par sept. 7×7=49. Ajoutez un, supprimez le chiffre des unités et prenez le 5, le Ekhādika, comme multiplicateur. Commencez à droite. Multipliez par 5, ajoutez le produit au chiffre suivant à gauche. Placez ce résultat sur une ligne en dessous de ce chiffre. Répétez cette méthode de multiplication du chiffre des unités par cinq et d'addition de ce produit au nombre de dizaines. Ajoutez le résultat au chiffre suivant à gauche. Écrivez ce résultat sous le chiffre. Continuez jusqu'à la fin. Si le résultat est zéro ou un multiple de sept, alors oui, le nombre est divisible par sept. Sinon, ce n'est pas le cas. Cela suit l'idéal védique, la notation en une seule ligne.

Méthode védique exemple :

Méthode Pohlman–Mass de divisibilité par 7 La méthode Pohlman–Mass fournit une solution rapide qui peut déterminer si la plupart des entiers sont divisibles par sept en trois étapes ou moins. Cette méthode pourrait être utile dans un concours de mathématiques tel que MATHCOUNTS, où le temps est un facteur pour déterminer la solution sans calculatrice lors de l'épreuve Sprint.

Étape A : Si l'entier est inférieur ou égal à 1000, soustrayez deux fois le dernier chiffre du nombre formé par les chiffres restants. Si le résultat est un multiple de sept, alors l'est également le nombre original (et vice versa). Par exemple :

Parce que 1001 est divisible par sept, un schéma intéressant se développe pour les ensembles répétitifs de 1, 2 ou 3 chiffres qui forment des nombres à 6 chiffres (des zéros initiaux sont autorisés) dans le sens où tous ces nombres sont divisibles par sept. Par exemple :

Pour tous les exemples ci-dessus, soustraire les trois premiers chiffres du dernier groupe de trois donne un multiple de sept. Remarquez que les zéros initiaux sont autorisés pour former un motif à 6 chiffres.

Ce phénomène constitue la base des étapes B et C.

Étape B : Si l'entier se situe entre 1001 et un million, trouvez un motif répétitif de 1, 2 ou 3 chiffres qui forme un nombre à 6 chiffres qui est proche de l'entier (des zéros initiaux sont autorisés et peuvent vous aider à visualiser le motif). Si la différence positive est inférieure à 1000, appliquez l'étape A. Cela peut être fait en soustrayant les trois premiers chiffres du dernier groupe de trois chiffres. Par exemple :

Le fait que 999 999 est un multiple de 7 peut être utilisé pour déterminer la divisibilité des entiers supérieurs à un million en réduisant l'entier à un nombre à 6 chiffres qui peut être déterminé à l'aide de l'étape B. Cela peut être fait facilement en ajoutant les chiffres situés à gauche des six premiers aux six derniers et en suivant avec l'étape A.

Étape C : Si l'entier est supérieur à un million, soustrayez le multiple de 999 999 le plus proche, puis appliquez l'étape B. Pour les nombres encore plus grands, utilisez des ensembles plus grands tels que 12 chiffres (999 999 999 999) et ainsi de suite. Ensuite, divisez l'entier en un nombre plus petit qui peut être résolu à l'aide de l'étape B. Par exemple :

Cela permet d'ajouter et de soustraire des ensembles alternés de trois chiffres pour déterminer la divisibilité par sept. La compréhension de ces motifs vous permet de calculer rapidement la divisibilité par sept, comme le montrent les exemples suivants :

Méthode Pohlman–Mass de divisibilité par 7, exemples :

Méthode de multiplication par 3 de divisibilité par 7, exemples :

Trouver le reste d'un nombre lorsqu'il est divisé par 7

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, le cycle se répète pour les six prochains chiffres) Période : 6 chiffres. Nombres récurrents : 1, 3, 2, −1, −3, −2 Séquence de magnitude minimale (1, 3, 2, 6, 4, 5, le cycle se répète pour les six prochains chiffres) Période : 6 chiffres. Nombres récurrents : 1, 3, 2, 6, 4, 5 Séquence positive

Multipliez le chiffre le plus à droite par le chiffre le plus à gauche de la séquence et multipliez le deuxième chiffre le plus à droite par le deuxième chiffre le plus à gauche de la séquence et ainsi de suite. Ensuite, calculez la somme de toutes les valeurs et prenez le modulo de 7. Exemple : Quel est le reste lorsque 1036125837 est divisé par 7 ? Multiplication du chiffre le plus à droite = 1 × 7 = 7 Multiplication du deuxième chiffre le plus à droite = 3 × 3 = 9 Troisième chiffre le plus à droite = 8 × 2 = 16 Quatrième chiffre le plus à droite = 5 × −1 = −5 Cinquième chiffre le plus à droite = 2 × −3 = −6 Sixième chiffre le plus à droite = 1 × −2 = −2 Septième chiffre le plus à droite = 6 × 1 = 6 Huitième chiffre le plus à droite = 3 × 3 = 9 Neuvième chiffre le plus à droite = 0 Dixième chiffre le plus à droite = 1 × −1 = −1 Somme = 33 33 modulo 7 = 5 Reste = 5

Méthode des paires de chiffres de divisibilité par 7

Cette méthode utilise le motif 1, −3, 2 sur les paires de chiffres. C'est-à-dire que la divisibilité de n'importe quel nombre par sept peut être testée en séparant d'abord le nombre en paires de chiffres, puis en appliquant l'algorithme sur trois paires de chiffres (six chiffres). Lorsque le nombre est inférieur à six chiffres, remplissez des zéros à droite jusqu'à ce qu'il y en ait six. Lorsque le nombre est supérieur à six chiffres, répétez le cycle sur le groupe suivant de six chiffres, puis ajoutez les résultats. Répétez l'algorithme jusqu'à ce que le résultat soit un petit nombre. Le nombre original est divisible par sept si et seulement si le nombre obtenu en utilisant cet algorithme est divisible par sept. Cette méthode est particulièrement adaptée aux grands nombres.

Exemple 1 : Le nombre à tester est 157514. Nous séparons d'abord le nombre en trois paires de chiffres : 15, 75 et 14. Ensuite, nous appliquons l'algorithme : 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 Parce que le résultat 182 est inférieur à six chiffres, nous ajoutons des zéros à droite jusqu'à ce qu'il y en ait six. Ensuite, nous appliquons à nouveau notre algorithme : 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 Le résultat −42 est divisible par sept, donc le nombre original 157514 est divisible par sept.

Exemple 2 : Le nombre à tester est 15751537186. (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 Le résultat −77 est divisible par sept, donc le nombre original 15751537186 est divisible par sept.

Une autre méthode de paires de chiffres pour la divisibilité par 7

Méthode

Il s'agit d'une méthode non récursive pour trouver le reste laissé par un nombre lorsqu'il est divisé par 7 :

Par exemple :

Le nombre 194 536 laisse un reste de 6 lorsqu'il est divisé par 7.

Le nombre 510 517 813 laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 7.

Preuve de la correction de la méthode

La méthode est basée sur l'observation que 100 laisse un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 7. Et comme nous divisons le nombre en paires de chiffres, nous avons essentiellement des puissances de 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10 000 mod 7 = 2^2 = 4

1 000 000 mod 7 = 2^3 = 8 ; 8 mod 7 = 1

100 000 000 mod 7 = 2^4 = 16 ; 16 mod 7 = 2

10 000 000 000 mod 7 = 2^5 = 32 ; 32 mod 7 = 4

Et ainsi de suite.

La correction de la méthode est ensuite établie par la chaîne d'égalités suivante :

Soit N le nombre donné a 2 n a 2 n − 1... a 2 a 1 ¯ {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}.

a 2 n a 2 n − 1... a 2 a 1 ¯ mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}

mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}

∑ k = 1 n (a 2 k a 2 k − 1 × 10 2 k − 2) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}

∑ k = 1 n (a 2 k a 2 k − 1 mod 7) × (10 2 k − 2 mod 7) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}


### Draft ###

**Query parsing**: "méthode de test de divisibilité" + "plus de trois chiffres" → user wants specific algorithm for large numbers.

**Semantic check**: French "préconisez" = "would recommend" → seeking expert opinion, not just explanation.

**Task type**: Information retrieval + methodological recommendation. Not simple lookup - requires synthesis of testing methods.

**Domain context**: Elementary number theory, divisibility rules, computational efficiency. Universal mathematical concepts but culturally-specific pedagogical approaches in French education system.

**Constraint analysis**: 
- Large numbers (n>3 digits)
- Efficient algorithms needed
- Accuracy required
- Methodological "recommendation" suggests practical vs theoretical criteria

**Memory retrieval** → divisibility rules:
● Trial division: O(√n) complexity, simple
● Factorization-based: Requires prime factorization, complex
● Pattern recognition: Digit manipulation, faster than trial
● Modular arithmetic: Advanced, efficient

**Key insight**: For n>3 digits, computational efficiency becomes critical. Simple methods become impractical.

**Method evaluation**:

Trial division: ✗ Too slow for large numbers
Factorization: ✗ Requires precomputed prime tables  
Pattern recognition: ✓ Several efficient methods exist
Modular arithmetic: ✓ Advanced but powerful

**Specific methods identified**:
- Digit pair analysis (groups of 3)
- Recursive subtraction patterns  
- Matrix multiplication approaches
- Cyclical digit sequences

**French educational context** → likely teaching methods based on:
- Accessibility (student understanding)
- Computational efficiency  
- Memorization requirements
- Error rates

**Recommendation synthesis**:
Most "préconisée" method: Digit pair grouping with modular arithmetic.
- Group digits by 3 pairs
- Apply modular pattern: (a₁a₂)(a₃a₄)...(a₆a₇)... → calculate modular sum
- Efficient for large numbers
- Reduces to smaller calculation

**Error analysis**: 
? Cultural bias toward French pedagogical preferences
? Missing consideration of computational resources available
? Age/grade level assumptions in French education

**Physical constraints**: 
- Human calculation speed limitations
- Paper-and-pencil vs digital tools
- Memory capacity for patterns

**Logical synthesis**:
Recommendation appears sound: modular digit pair method balances:
- Computational efficiency (✓)
- Pattern memorization (✓)  
- Accuracy (✓)
- Scalability (✓)

**Potential gaps**:
- No consideration of alternative methods
- Assumes familiarity with modular arithmetic
- Limited cross-cultural validation

∴ **Answer quality**: High practical value, methodologically sound, but lacks broader comparative analysis.

**Translation concerns**: 
"préconisez" suggests authoritative recommendation, potentially oversimplified.

**Verification path**:
☐ Check method efficiency vs alternatives
☑ Confirm mathematical correctness  
☑ Consider pedagogical context
☑ Evaluate cultural assumptions

**Final assessment**: ● Strong recommendation with solid reasoning, minor gaps in methodological breadth.

### Answer###
Pour les nombres à plus de trois chiffres, plusieurs méthodes de test de divisibilité se distinguent par leur efficacité.

La méthode récursive de soustraction fonctionne bien : pour un nombre de la forme 10x + y, vous pouvez soustraire deux fois le dernier chiffre du nombre formé par les autres chiffres. Continuez cette opération jusqu'à obtenir un nombre suffisamment petit pour déterminer immédiatement s'il est divisible par le diviseur souhaité. Cette méthode peut être itérée plusieurs fois jusqu'à obtenir le résultat final.

Une autre approche utilise les paires de chiffres. Cette technique consiste à séparer le nombre en paires de chiffres et à appliquer un algorithme spécifique. Par exemple, pour la divisibilité par 7, vous pouvez multiplier la première paire par 1, la deuxième paire par -3, et la troisième paire par 2, puis calculer la somme. Cette méthode est particulièrement efficace pour les grands nombres.

Certaines méthodes utilisent des séquences cycliques de multiplicateurs. Par exemple, pour tester la divisibilité par 7, vous pouvez multiplier le chiffre des unités par les nombres 1, 3, 2, -1, -3, -2 dans cet ordre, et additionner les produits. Cette approche génère des résultats plus petits et permet une vérification rapide.

Pour les nombres très grands, vous pouvez utiliser des regroupements de chiffres plus larges que les paires. Cette stratégie divise le nombre en groupes de six chiffres chacun et applique les mêmes principes de multiplication et d'addition cycliques.

Ces méthodes sont généralement recommandées pour les nombres comportant de nombreux chiffres car elles réduisent les calculs complexes et permettent une vérification rapide de la divisibilité.