Pourriez-vous confirmer si la formule de la distance euclidienne dans un espace euclidien n-dimensionnel est bien donnée par la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées ?
Euclidean distance

The distance formula in Cartesian coordinates is derived from the Pythagorean theorem. If (x, y) and (x, y) are points in the plane, then the distance between them, also called the Euclidean distance, is given by

More generally, in Euclidean n -space, the Euclidean distance between two points, A = (a 1, a 2, …, a n) {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})} and B = (b 1, b 2, …, b n) {\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})}, is defined, by generalization of the Pythagorean theorem, as:

If instead of Euclidean distance, the square of this value (the squared Euclidean distance, or SED) is used, the resulting equation avoids square roots and is simply a sum of the SED of the coordinates:

The squared form is a smooth, convex function of both points, and is widely used in optimization theory and statistics, forming the basis of least squares.
Distance euclidienne

La formule de la distance dans un système de coordonnées cartésiennes est dérivée du théorème de Pythagore. Si (x, y) et (x, y) sont des points dans le plan, alors la distance entre eux, également appelée distance euclidienne, est donnée par :

Plus généralement, dans l'espace euclidien n-dimensionnel, la distance euclidienne entre deux points, A = (a₁, a₂, …, aₙ) et B = (b₁, b₂, …, bₙ), est définie, par généralisation du théorème de Pythagore, comme suit :

Si, au lieu de la distance euclidienne, on utilise le carré de cette valeur (le carré de la distance euclidienne, ou CDE), l'équation résultante évite les racines carrées et est simplement une somme des CDE des coordonnées :

La forme quadratique est une fonction lisse et convexe des deux points, et est largement utilisée en théorie de l'optimisation et en statistique, formant la base des moindres carrés.
### Query ###
Pourriez-vous confirmer si la formule de la distance euclidienne dans un espace euclidien n-dimensionnel est bien donnée par la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées ?

### Main Text ###
Euclidean distance

The distance formula in Cartesian coordinates is derived from the Pythagorean theorem. If (x, y) and (x, y) are points in the plane, then the distance between them, also called the Euclidean distance, is given by

More generally, in Euclidean n -space, the Euclidean distance between two points, A = (a 1, a 2, …, a n) {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})} and B = (b 1, b 2, …, b n) {\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})}, is defined, by generalization of the Pythagorean theorem, as:

If instead of Euclidean distance, the square of this value (the squared Euclidean distance, or SED) is used, the resulting equation avoids square roots and is simply a sum of the SED of the coordinates:

The squared form is a smooth, convex function of both points, and is widely used in optimization theory and statistics, forming the basis of least squares.

### Supplementary Text ###
Distance euclidienne

La formule de la distance dans un système de coordonnées cartésiennes est dérivée du théorème de Pythagore. Si (x, y) et (x, y) sont des points dans le plan, alors la distance entre eux, également appelée distance euclidienne, est donnée par :

Plus généralement, dans l'espace euclidien n-dimensionnel, la distance euclidienne entre deux points, A = (a₁, a₂, …, aₙ) et B = (b₁, b₂, …, bₙ), est définie, par généralisation du théorème de Pythagore, comme suit :

Si, au lieu de la distance euclidienne, on utilise le carré de cette valeur (le carré de la distance euclidienne, ou CDE), l'équation résultante évite les racines carrées et est simplement une somme des CDE des coordonnées :

La forme quadratique est une fonction lisse et convexe des deux points, et est largement utilisée en théorie de l'optimisation et en statistique, formant la base des moindres carrés.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Formule de la distance euclidienne" → Euclidean distance formula
"racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées" → square root of sum of squared differences

Direct confirmation request. Mathematical verification needed.

### 2. Formula Verification

Standard Euclidean distance in n-dimensions:
$$d(P,Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$$

Yes. Confirmed. ✓

### 3. Derivation Path

Cartesian coordinates → Pythagorean theorem foundation.

For 2D: distance = √(Δx² + Δy²)
Generalizes to nD via orthogonality. Each coordinate difference squared, summed, then square rooted.

### 4. Squared Form Alternative

Equivalently: distance² = Σ(xᵢ - yᵢ)². 

Shorthand notation: ||P - Q||².

Often computationally convenient. Avoids square root calculation.

### 5. Context Expansion

"Espace euclidien" → Euclidean space. Self-explanatory.

"n-dimensionnel" → n-dimensional. Any finite dimension n ≥ 2.

### 6. Geometric Intuition

Think right triangles in higher dimensions. Each coordinate axis contributes orthogonal displacement. Pythagorean theorem stacks: distance² = Σ(leg²).

### 7. Conclusion

Yes, confirmed. Standard formula.

Root of sum of squared differences = √(Σ(coord_diff)²).

Squared form also valid: Σ(coord_diff)².

Both generalize 2D Pythagorean theorem to arbitrary dimensions.

### Answer###
Oui, votre formule est correcte. Dans un espace euclidien n-dimensionnel, la distance euclidienne entre deux points A = (a₁, a₂, …, aₙ) et B = (b₁, b₂, …, bₙ) est effectivement donnée par :

d(A,B) = √(Σ(aᵢ - bᵢ)²)

Cette formule généralise le théorème de Pythagore et représente la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées.

Il existe également une forme quadratique équivalente où l'on utilise le carré de cette distance (appelé distance euclidienne quadratique ou SED), qui s'écrit simplement :

d²(A,B) = Σ(aᵢ - bᵢ)²

Cette forme quadratique évite les racines carrées et est souvent utilisée en optimisation et en statistique.