Pourriez-vous m'expliquer concrètement pourquoi on utilise la recherche des points les plus proches plutôt que la distance perpendiculaire pour calculer la distance entre deux droites non coplanaires, et quelles sont les conditions où l'une ou l'autre approche serait plus appropriée ?
Distance

The nearest points c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2:

The distance between nearest points in two skew lines may also be expressed using other vectors:

Here the 1×3 vector x represents an arbitrary point on the line through particular point a with b representing the direction of the line and with the value of the real number λ {\displaystyle \lambda } determining where the point is on the line, and similarly for arbitrary point y on the line through particular point c in direction d.

The cross product of b and d is perpendicular to the lines, as is the unit vector

The perpendicular distance between the lines is then

(if | b × d | is zero the lines are parallel and this method cannot be used).
Distance

Les points les plus proches, c₁ et c₂, forment le segment de ligne le plus court reliant la Ligne 1 et la Ligne 2 :

La distance entre les points les plus proches de deux droites non coplanaires peut également être exprimée à l'aide d'autres vecteurs :

Ici, le vecteur 1×3 x représente un point arbitraire sur la ligne passant par un point particulier a, avec b représentant la direction de la ligne, et la valeur du nombre réel λ déterminant la position du point sur la ligne, et de même pour un point arbitraire y sur la ligne passant par un point particulier c dans la direction d.

Le produit vectoriel de b et d est perpendiculaire aux lignes, tout comme le vecteur unitaire.

La distance perpendiculaire entre les lignes est alors :

(si | b × d | est nul, les lignes sont parallèles et cette méthode ne peut pas être utilisée).
### Query ###
Pourriez-vous m'expliquer concrètement pourquoi on utilise la recherche des points les plus proches plutôt que la distance perpendiculaire pour calculer la distance entre deux droites non coplanaires, et quelles sont les conditions où l'une ou l'autre approche serait plus appropriée ?

### Main Text ###
Distance

The nearest points c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2:

The distance between nearest points in two skew lines may also be expressed using other vectors:

Here the 1×3 vector x represents an arbitrary point on the line through particular point a with b representing the direction of the line and with the value of the real number λ {\displaystyle \lambda } determining where the point is on the line, and similarly for arbitrary point y on the line through particular point c in direction d.

The cross product of b and d is perpendicular to the lines, as is the unit vector

The perpendicular distance between the lines is then

(if | b × d | is zero the lines are parallel and this method cannot be used).

### Supplementary Text ###
Distance

Les points les plus proches, c₁ et c₂, forment le segment de ligne le plus court reliant la Ligne 1 et la Ligne 2 :

La distance entre les points les plus proches de deux droites non coplanaires peut également être exprimée à l'aide d'autres vecteurs :

Ici, le vecteur 1×3 x représente un point arbitraire sur la ligne passant par un point particulier a, avec b représentant la direction de la ligne, et la valeur du nombre réel λ déterminant la position du point sur la ligne, et de même pour un point arbitraire y sur la ligne passant par un point particulier c dans la direction d.

Le produit vectoriel de b et d est perpendiculaire aux lignes, tout comme le vecteur unitaire.

La distance perpendiculaire entre les lignes est alors :

(si | b × d | est nul, les lignes sont parallèles et cette méthode ne peut pas être utilisée).

### Draft ###

Query: "recherche des points les plus proches plutôt que la distance perpendiculaire" 

Wait. Semantic confusion detected.

User assumes perpendicular distance ≠ nearest points distance. False premise.

● Perpendicular distance IS nearest points distance for non-coplanar lines. Always.

The confusion stems from geometric intuition. Perpendicular projection creates shortest path automatically. No separate "nearest points search" needed.

But query persists. Maybe asking about computational approaches?

For non-coplanar lines L₁, L₂:
- Nearest point p₁ ∈ L₁
- Nearest point p₂ ∈ L₂  
- Distance = ||p₁ - p₂||

Equivalently:
- Find direction vectors **u**, **v**
- Compute **u** × **v** (normal vector)
- Project any point onto normal direction
- Distance = projected separation

∴ Both approaches yield identical results.

When one might prefer another:

**Perpendicular distance approach**:
- Direct geometric construction
- Intuitive interpretation
- Works for parallel lines (cross product zero case)

**Nearest points approach**:
- Computational advantage? 
- Potentially faster numerical computation
- Handles degenerate cases differently

? But mathematically equivalent.

**Key insight**: User's premise incorrect. No choice between "nearest points" vs "perpendicular distance" - they're the same metric.

Only difference: computational implementation, not fundamental approach.

NB: For coplanar lines, perpendicular distance ≠ nearest points (unless parallel or intersecting). But user asked specifically about non-coplanar.

Answer should clarify the mathematical equivalence, then explain subtle computational differences.

### Answer###
Il y a en réalité une confusion fondamentale dans votre question : la distance entre deux droites non coplanaires n'est pas calculée en recherchant les points les plus proches plutôt que la distance perpendiculaire, car ces deux approches sont mathématiquement équivalentes et donnent le même résultat.

La distance entre deux droites non coplanaires peut effectivement être exprimée de deux manières : soit en trouvant les points les plus proches sur chaque droite, soit en calculant directement la distance perpendiculaire. Dans les deux cas, on obtient le segment de ligne le plus court qui les relie.

L'approche par les points les plus proches consiste à trouver les vecteurs x et y représentant des points arbitraires sur les deux droites, puis à calculer la distance entre ces points. Cette approche peut s'exprimer formellement à l'aide de la formule :

Distance = ||(x - a) × (y - c)|| / ||(b × d)||

L'approche par distance perpendiculaire utilise le produit vectoriel des directions des droites pour obtenir un vecteur normal aux deux lignes, puis projette les points sur cette direction normale pour calculer la distance.

Ces deux méthodes sont équivalentes car elles calculent la même quantité géométrique - la longueur du plus court segment de ligne entre les droites. La différence principale réside dans l'approche mathématique utilisée : l'une optimise directement pour les points les plus proches, l'autre calcule la distance perpendiculaire qui est automatiquement minimisée par la nature géométrique du problème.

Concernant l'utilisation d'une approche plutôt que l'autre, cela dépend souvent des contraintes computationnelles spécifiques et de l'interprétation géométrique souhaitée plutôt que d'une différence fondamentale dans le résultat obtenu.