Je suis en train d'étudier des groupes présentés et j'ai un problème avec une présentation qui semble impossible à résoudre par les méthodes classiques. Le groupe est présenté comme suit : G = <x, y, z | x^2 = y^3 = z^5 = 1, xz = zx, yz = zy, yx = xy>. Je sais qu'il s'agit d'un groupe abélien, mais je n'arrive pas à trouver une base libre pour ses générateurs. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment aborder ce type de problème avec les approches géométriques ou graphiques mentionnées dans la théorie combinatoire ?
Combinatorial and geometric group theory

Groups can be described in different ways. Finite groups can be described by writing down the group table consisting of all possible multiplications g h. A more compact way of defining a group is by generators and relations, also called the presentation of a group. Given any set F of generators { g i } i ∈ I {\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}, the free group generated by F surjects onto the group G. The kernel of this map is called the subgroup of relations, generated by some subset D. The presentation is usually denoted by ⟨ F ∣ D ⟩. {\displaystyle \langle F\mid D\rangle.} For example, the group presentation ⟨ a, b ∣ a b a − 1 b − 1 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle } describes a group which is isomorphic to Z × Z. {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}.} A string consisting of generator symbols and their inverses is called a word.

Combinatorial group theory studies groups from the perspective of generators and relations. It is particularly useful where finiteness assumptions are satisfied, for example finitely generated groups, or finitely presented groups (i.e. in addition the relations are finite). The area makes use of the connection of graphs via their fundamental groups. A fundamental theorem of this area is that every subgroup of a free group is free.

There are several natural questions arising from giving a group by its presentation. The word problem asks whether two words are effectively the same group element. By relating the problem to Turing machines, one can show that there is in general no algorithm solving this task. Another, generally harder, algorithmically insoluble problem is the group isomorphism problem, which asks whether two groups given by different presentations are actually isomorphic. For example, the group with presentation ⟨ x, y ∣ x y x y x = e ⟩, {\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle,} is isomorphic to the additive group Z of integers, although this may not be immediately apparent. (Writing z = x y {\displaystyle z=xy}, one has G ≅ ⟨ z, y ∣ z 3 = y ⟩ ≅ ⟨ z ⟩. {\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle.})

Geometric group theory attacks these problems from a geometric viewpoint, either by viewing groups as geometric objects, or by finding suitable geometric objects a group acts on. The first idea is made precise by means of the Cayley graph, whose vertices correspond to group elements and edges correspond to right multiplication in the group. Given two elements, one constructs the word metric given by the length of the minimal path between the elements. A theorem of Milnor and Svarc then says that given a group G acting in a reasonable manner on a metric space X, for example a compact manifold, then G is quasi-isometric (i.e. looks similar from a distance) to the space X.
Théorie combinatoire et géométrique des groupes

Les groupes peuvent être décrits de différentes manières. Les groupes finis peuvent être décrits en écrivant le tableau de multiplication contenant toutes les multiplications possibles g h. Une manière plus compacte de définir un groupe est par des générateurs et des relations, également appelée présentation du groupe. Étant donné tout ensemble F de générateurs { gᵢ }ᵢ∈I, le groupe libre engendré par F surjecte sur le groupe G. Le noyau de cette application est appelé sous-groupe des relations, engendré par un sous-ensemble D. La présentation est généralement notée ⟨ F ∣ D ⟩. Par exemple, la présentation du groupe ⟨ a, b ∣ a b a⁻¹ b⁻¹ ⟩ décrit un groupe qui est isomorphe à Z × Z.

La théorie combinatoire des groupes étudie les groupes du point de vue des générateurs et des relations. Elle est particulièrement utile lorsque des hypothèses de finitude sont satisfaites, par exemple les groupes de type fini, ou les groupes présentés de manière finie (c'est-à-dire que les relations sont également finies). Ce domaine utilise la connexion avec les graphes via leurs groupes fondamentaux. Un théorème fondamental de ce domaine est que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

Plusieurs questions naturelles découlent de la présentation d'un groupe. Le problème du mot consiste à déterminer si deux mots représentent efficacement le même élément de groupe. En reliant ce problème aux machines de Turing, on peut montrer qu'il n'existe généralement pas d'algorithme pour résoudre cette tâche. Un autre problème, généralement plus difficile, algorithmiquement insoluble, est le problème de l'isomorphisme des groupes, qui consiste à déterminer si deux groupes donnés par des présentations différentes sont réellement isomorphes. Par exemple, le groupe avec la présentation ⟨ x, y ∣ x y x y x = e ⟩ est isomorphe au groupe additif Z des entiers, bien que cela ne soit pas immédiatement évident. (En posant z = x y, on a G ≅ ⟨ z, y ∣ z³ = y ⟩ ≅ ⟨ z ⟩.)

La théorie géométrique des groupes attaque ces problèmes sous un angle géométrique, soit en considérant les groupes comme des objets géométriques, soit en trouvant des objets géométriques appropriés sur lesquels le groupe agit. La première idée est précisée au moyen du graphe de Cayley, dont les sommets correspondent aux éléments du groupe et les arêtes aux multiplications à droite dans le groupe. Étant donnés deux éléments, on construit la métrique du mot donnée par la longueur du chemin minimal entre les éléments. Un théorème de Milnor et Svarc stipule alors que si un groupe G agit de manière raisonnable sur un espace métrique X, par exemple une variété compacte, alors G est quasi-isométrique (c'est-à-dire qu'il ressemble à l'espace X à distance).
### Query ###
Je suis en train d'étudier des groupes présentés et j'ai un problème avec une présentation qui semble impossible à résoudre par les méthodes classiques. Le groupe est présenté comme suit : G = <x, y, z | x^2 = y^3 = z^5 = 1, xz = zx, yz = zy, yx = xy>. Je sais qu'il s'agit d'un groupe abélien, mais je n'arrive pas à trouver une base libre pour ses générateurs. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment aborder ce type de problème avec les approches géométriques ou graphiques mentionnées dans la théorie combinatoire ?

### Main Text ###
Combinatorial and geometric group theory

Groups can be described in different ways. Finite groups can be described by writing down the group table consisting of all possible multiplications g h. A more compact way of defining a group is by generators and relations, also called the presentation of a group. Given any set F of generators { g i } i ∈ I {\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}, the free group generated by F surjects onto the group G. The kernel of this map is called the subgroup of relations, generated by some subset D. The presentation is usually denoted by ⟨ F ∣ D ⟩. {\displaystyle \langle F\mid D\rangle.} For example, the group presentation ⟨ a, b ∣ a b a − 1 b − 1 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle } describes a group which is isomorphic to Z × Z. {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}.} A string consisting of generator symbols and their inverses is called a word.

Combinatorial group theory studies groups from the perspective of generators and relations. It is particularly useful where finiteness assumptions are satisfied, for example finitely generated groups, or finitely presented groups (i.e. in addition the relations are finite). The area makes use of the connection of graphs via their fundamental groups. A fundamental theorem of this area is that every subgroup of a free group is free.

There are several natural questions arising from giving a group by its presentation. The word problem asks whether two words are effectively the same group element. By relating the problem to Turing machines, one can show that there is in general no algorithm solving this task. Another, generally harder, algorithmically insoluble problem is the group isomorphism problem, which asks whether two groups given by different presentations are actually isomorphic. For example, the group with presentation ⟨ x, y ∣ x y x y x = e ⟩, {\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle,} is isomorphic to the additive group Z of integers, although this may not be immediately apparent. (Writing z = x y {\displaystyle z=xy}, one has G ≅ ⟨ z, y ∣ z 3 = y ⟩ ≅ ⟨ z ⟩. {\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle.})

Geometric group theory attacks these problems from a geometric viewpoint, either by viewing groups as geometric objects, or by finding suitable geometric objects a group acts on. The first idea is made precise by means of the Cayley graph, whose vertices correspond to group elements and edges correspond to right multiplication in the group. Given two elements, one constructs the word metric given by the length of the minimal path between the elements. A theorem of Milnor and Svarc then says that given a group G acting in a reasonable manner on a metric space X, for example a compact manifold, then G is quasi-isometric (i.e. looks similar from a distance) to the space X.

### Supplementary Text ###
Théorie combinatoire et géométrique des groupes

Les groupes peuvent être décrits de différentes manières. Les groupes finis peuvent être décrits en écrivant le tableau de multiplication contenant toutes les multiplications possibles g h. Une manière plus compacte de définir un groupe est par des générateurs et des relations, également appelée présentation du groupe. Étant donné tout ensemble F de générateurs { gᵢ }ᵢ∈I, le groupe libre engendré par F surjecte sur le groupe G. Le noyau de cette application est appelé sous-groupe des relations, engendré par un sous-ensemble D. La présentation est généralement notée ⟨ F ∣ D ⟩. Par exemple, la présentation du groupe ⟨ a, b ∣ a b a⁻¹ b⁻¹ ⟩ décrit un groupe qui est isomorphe à Z × Z.

La théorie combinatoire des groupes étudie les groupes du point de vue des générateurs et des relations. Elle est particulièrement utile lorsque des hypothèses de finitude sont satisfaites, par exemple les groupes de type fini, ou les groupes présentés de manière finie (c'est-à-dire que les relations sont également finies). Ce domaine utilise la connexion avec les graphes via leurs groupes fondamentaux. Un théorème fondamental de ce domaine est que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

Plusieurs questions naturelles découlent de la présentation d'un groupe. Le problème du mot consiste à déterminer si deux mots représentent efficacement le même élément de groupe. En reliant ce problème aux machines de Turing, on peut montrer qu'il n'existe généralement pas d'algorithme pour résoudre cette tâche. Un autre problème, généralement plus difficile, algorithmiquement insoluble, est le problème de l'isomorphisme des groupes, qui consiste à déterminer si deux groupes donnés par des présentations différentes sont réellement isomorphes. Par exemple, le groupe avec la présentation ⟨ x, y ∣ x y x y x = e ⟩ est isomorphe au groupe additif Z des entiers, bien que cela ne soit pas immédiatement évident. (En posant z = x y, on a G ≅ ⟨ z, y ∣ z³ = y ⟩ ≅ ⟨ z ⟩.)

La théorie géométrique des groupes attaque ces problèmes sous un angle géométrique, soit en considérant les groupes comme des objets géométriques, soit en trouvant des objets géométriques appropriés sur lesquels le groupe agit. La première idée est précisée au moyen du graphe de Cayley, dont les sommets correspondent aux éléments du groupe et les arêtes aux multiplications à droite dans le groupe. Étant donnés deux éléments, on construit la métrique du mot donnée par la longueur du chemin minimal entre les éléments. Un théorème de Milnor et Svarc stipule alors que si un groupe G agit de manière raisonnable sur un espace métrique X, par exemple une variété compacte, alors G est quasi-isométrique (c'est-à-dire qu'il ressemble à l'espace X à distance).

### Draft ###

### 1. Problem Parsing

User presents: G = <x,y,z | x² = y³ = z⁵ = 1, xz = zx, yz = zy, yx = xy>

Claims: "abélien" + "impossible to find free basis"

**Issue**: These claims contradict each other. 

Abelian group → every generating set is linearly independent (basis). Standard result.

User's frustration: "géométriques ou graphiques" approaches.

**Real problem**: Not that basis doesn't exist, but finding **presentation** with minimal relations.

### 2. Resolution Path

⟨H≈0.2⟩ Classical approach: abelian groups have unique infinite cyclic presentations for infinite order elements. Finite order → torsion elements → relations involving finite cycles.

Key insight: Given abelian presentation, can always eliminate redundant relations.

**Step 1**: Identify infinite order generators
- x, y, z all have order 2,3,5 respectively
- No infinite order elements

**Step 2**: Check for torsion cycles
- Only trivial cycles (identity)

**Step 3**: Minimal presentation
- Every relation is redundant in abelian case
- Standard form: ⟨x,y,z⟩ with no relations

### 3. Geometric Approaches

**Cayley graphs**: 
- G acts on itself via addition
- Standard lattice structure
- No "interesting" geometry

**Small cancellation theory**:
- No overlapping relations
- Presentation is minimal by default

**Hyperbolic presentations**:
- Abelian groups are virtually nilpotent
- No positive curvature behavior

### 4. Why "Geometric Approaches" Don't Help

User wants "graphiques ou géométriques" methods.

**Reality check**: Geometric methods most powerful for:
- Non-abelian groups
- Hyperbolic/geometric presentations  
- Dehn functions, isoperimetric inequalities

**For abelian groups**: Geometric insight = minimal, but computationally trivial.

### 5. Missing Information

? Why user thinks this is hard?
? What specific geometric approach tried?
? Confusion about minimal vs. standard presentations?

**Likely issue**: User may have:
- Non-standard presentation of cyclic group
- Confusion about redundant relations
- Expecting geometric methods to yield computational shortcuts

### 6. Conclusion

**Direct answer**: Presentation is just ⟨x,y,z⟩ (no relations).

**Geometric approaches**: Available but uninteresting for abelian case. Standard algebraic methods suffice.

**User's actual question**: How to systematically find minimal abelian presentations?

**Answer**: Computational but straightforward. No deep geometric insight needed.

### Answer###
Votre présentation G = ⟨x, y, z | x² = y³ = z⁵ = 1, xz = zx, yz = zy, yx = xy⟩ correspond effectivement à un groupe abélien, et votre préoccupation concernant l'absence de base libre pour les générateurs est légitime.

Le problème que vous rencontrez s'explique par le fait que dans votre présentation, toutes les relations sont redondantes pour un groupe abélien. Comme G est abélien (vérifiable par les relations de commutation xz = zx, yz = zy, yx = xy), la présentation peut être simplifiée considérablement.

Pour un groupe abélien, une présentation avec des relations de commutation peut toujours être réduite à une forme standard où les relations sont uniquement les ordres des générateurs. Dans votre cas, la présentation minimale serait simplement ⟨x, y, z⟩ avec aucune relation supplémentaire, car les relations de commutation sont automatiquement satisfaites.

Concernant les approches géométriques que vous mentionnez, la théorie géométrique des groupes utilise principalement les graphes de Cayley pour visualiser les groupes. Pour les groupes abéliens comme le vôtre, l'approche géométrique révèle généralement une structure relativement simple et régulière, mais elle ne résout pas directement le problème de trouver une base libre.

Les méthodes combinatoires pour les présentations de groupes se concentrent sur les relations et les mots, mais pour les groupes abéliens, la complexité principale réside souvent dans la gestion des relations redondantes plutôt que dans la recherche de générateurs spécifiques.