Si on sait que le travail d'une force est W = ∫ F·dx et que la puissance est la dérivée du travail par rapport au temps, comment ça se fait que la formule P = F·v soit juste ?
Kinematic integrals

Forces can be used to define a number of physical concepts by integrating with respect to kinematic variables. For example, integrating with respect to time gives the definition of impulse: J = ∫ t 1 t 2 F d t, {\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathbf {F} \,\mathrm {d} t},} which by Newton's Second Law must be equivalent to the change in momentum (yielding the Impulse momentum theorem).

Similarly, integrating with respect to position gives a definition for the work done by a force: W = ∫ x 1 x 2 F ⋅ d x, {\displaystyle W=\int _{\mathbf {x} _{1}}^{\mathbf {x} _{2}}{\mathbf {F} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {x} }},} which is equivalent to changes in kinetic energy (yielding the work energy theorem).

Power P is the rate of change d W /d t of the work W, as the trajectory is extended by a position change d x {\displaystyle d\mathbf {x} } in a time interval d t: d W = d W d x ⋅ d x = F ⋅ d x, {\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x},} so P = d W d t = d W d x ⋅ d x d t = F ⋅ v, {\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v},} with v = d x / d t {\displaystyle \mathbf {v} =\mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t} the velocity.
Définition

La puissance est le taux par rapport au temps auquel un travail est effectué ; c'est la dérivée temporelle du travail : P = d W d t, {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}},} où P est la puissance, W est le travail et t est le temps.

Nous allons maintenant montrer que la puissance mécanique générée par une force F sur un corps se déplaçant à la vitesse v peut s'exprimer comme le produit : P = d W d t = F ⋅ v {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }

Si une force constante F est appliquée sur une distance x, le travail effectué est défini comme W = F ⋅ x {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {x} }. Dans ce cas, la puissance peut s'écrire : P = d W d t = d d t (F ⋅ x) = F ⋅ d x d t = F ⋅ v. {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {x} \right)=\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}.}

Si, au contraire, la force est variable sur une courbe tridimensionnelle C, alors le travail s'exprime en termes d'intégrale de ligne : W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ Δ t F ⋅ d r d t d t = ∫ Δ t F ⋅ v d t. {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\ dt=\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt.}

D'après le théorème fondamental du calcul, nous savons que P = d W d t = d d t ∫ Δ t F ⋅ v d t = F ⋅ v. {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}.} Par conséquent, la formule est valable dans toute situation générale.

Dans des travaux plus anciens, la puissance est parfois appelée activité.
### Query ###
Si on sait que le travail d'une force est W = ∫ F·dx et que la puissance est la dérivée du travail par rapport au temps, comment ça se fait que la formule P = F·v soit juste ?

### Main Text ###
Kinematic integrals

Forces can be used to define a number of physical concepts by integrating with respect to kinematic variables. For example, integrating with respect to time gives the definition of impulse: J = ∫ t 1 t 2 F d t, {\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathbf {F} \,\mathrm {d} t},} which by Newton's Second Law must be equivalent to the change in momentum (yielding the Impulse momentum theorem).

Similarly, integrating with respect to position gives a definition for the work done by a force: W = ∫ x 1 x 2 F ⋅ d x, {\displaystyle W=\int _{\mathbf {x} _{1}}^{\mathbf {x} _{2}}{\mathbf {F} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {x} }},} which is equivalent to changes in kinetic energy (yielding the work energy theorem).

Power P is the rate of change d W /d t of the work W, as the trajectory is extended by a position change d x {\displaystyle d\mathbf {x} } in a time interval d t: d W = d W d x ⋅ d x = F ⋅ d x, {\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x},} so P = d W d t = d W d x ⋅ d x d t = F ⋅ v, {\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v},} with v = d x / d t {\displaystyle \mathbf {v} =\mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t} the velocity.

### Supplementary Text ###
Définition

La puissance est le taux par rapport au temps auquel un travail est effectué ; c'est la dérivée temporelle du travail : P = d W d t, {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}},} où P est la puissance, W est le travail et t est le temps.

Nous allons maintenant montrer que la puissance mécanique générée par une force F sur un corps se déplaçant à la vitesse v peut s'exprimer comme le produit : P = d W d t = F ⋅ v {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }

Si une force constante F est appliquée sur une distance x, le travail effectué est défini comme W = F ⋅ x {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {x} }. Dans ce cas, la puissance peut s'écrire : P = d W d t = d d t (F ⋅ x) = F ⋅ d x d t = F ⋅ v. {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {x} \right)=\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}.}

Si, au contraire, la force est variable sur une courbe tridimensionnelle C, alors le travail s'exprime en termes d'intégrale de ligne : W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ Δ t F ⋅ d r d t d t = ∫ Δ t F ⋅ v d t. {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\ dt=\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt.}

D'après le théorème fondamental du calcul, nous savons que P = d W d t = d d t ∫ Δ t F ⋅ v d t = F ⋅ v. {\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{\Delta t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}.} Par conséquent, la formule est valable dans toute situation générale.

Dans des travaux plus anciens, la puissance est parfois appelée activité.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si on sait que le travail d'une force est W = ∫ F·dx"

Correct. ● Work-force integral.

"et que la puissance est la dérivée du travail par rapport au temps"

Correct. ● P = dW/dt by definition.

"comment ça se fait que la formule P = F·v soit juste ?"

Core confusion: why instantaneous F·v = dW/dt despite integration nature?

### 2. The Apparent Paradox

Work = ∫ F·dx over path/time interval
Power = instantaneous dW/dt 
→ How can instantaneous F·v = ∫(F·dx) over whole path?

※ This is exactly the confusion - thinking of P as "instantaneous" vs "accumulated over path"

### 3. Resolution Strategy

Need chain rule + mean value theorem + limiting process.

⟨H≈0.2⟩ Chain rule: dW/dt = (dW/dx)(dx/dt). Force constant → dW/dx = F. Velocity = dx/dt. So P = F·v.

But wait - this assumes constant force. What about variable forces?

⟨H≈1⟩ Integration bounds... path-dependent work. But for point-mass, constant-velocity motion, path independence. F·v gives instantaneous power, not total work. The confusion dissolves when you realize they're different quantities operating at different scales.

### 4. Mathematical Foundation

For constant force F along path:
- W = F·Δx (work-energy theorem) ●
- v = Δx/Δt (constant velocity) ●
- P = F·v = F(Δx/Δt) = (F·Δx)/Δt = dW/dt ●

For general case, need chain rule:
dP/dt = d(F·v)/dt = F(dv/dt) + v(dF/dt)

If F constant → dF/dt = 0 → P = F·v ●

### 5. Physical Intuition

⟨H≈1.2⟩ Think of it like flowing water. Work is the total volume that passed through a pipe. Power is the rate of flow at any instant. You can measure the total by collecting and weighing, or you can measure the instantaneous rate by watching the gauge. The "∫ F·dx" is collecting the whole stream, the "F·v" is reading the meter right now. They're connected by how fast the water moves and how much pipe you have, but they're different numbers for different purposes.

### 6. Extended Forces

What about variable forces? Still works because:

W = ∫ F·dr (line integral) ●
v = dr/dt (velocity) ●
Chain rule: P = dW/dt = ∫(F·dr/dt)dt = ∫(F·v)dt ●

For point-mass: ∫(F·v)dt = ∫ma·vdt = ∫madv = ½mv² (KE theorem)

### 7. Conclusion

∴ P = F·v emerges from:
1. Definition of power as dW/dt ●
2. Work-velocity relation for forces ●  
3. Chain rule application ●
4. Limiting process considerations ●

The "∫" and "instantaneous" appear to contradict but actually reinforce each other through calculus. Work integrates forces over paths/time; power captures instantaneous rate of work accumulation.

! Key insight: Power measures how quickly work accumulates, not the total work itself.

### Answer###
La formule P = F·v découle directement de la définition mathématique de la puissance et du travail.

La puissance est définie comme la dérivée temporelle du travail : P = dW/dt. Quand une force constante F s'applique sur une distance x, le travail effectué est W = F·x. La puissance peut alors s'écrire : P = dW/dt = d/dt(F·x) = F·(dx/dt) = F·v, où v = dx/dt représente la vitesse.

Cette relation s'étend aux forces variables le long d'une trajectoire. Le travail s'exprime comme une intégrale de ligne : W = ∫ F·dr. La puissance devient alors P = dW/dt = d/dt(∫ F·v dt) = F·v.

Le principe fondamental consiste à appliquer la règle de chaîne pour la dérivée du travail par rapport au temps. Même si le travail est une quantité intégrale (calculée sur une trajectoire complète), la puissance peut être exprimée sous forme instantanée F·v car elle représente le taux de variation du travail à un instant donné, ce qui équivaut à la contribution instantanée de la force et de la vitesse.

Cette apparente contradiction entre l'intégration du travail et la nature instantanée de la formule P = F·v s'explique par le fait que la puissance capture le taux de variation du travail, qui peut être calculé à partir de quantités instantanées.