Quelles sont les principales différences entre la détermination du rang d'une matrice par la dimension de l'espace engendré par ses lignes et par la recherche du rang de Gauss ?
Row rank – dimension of row space

The rank of A is the maximal number of linearly independent rows of A; this is the dimension of the row space of A.
En algèbre linéaire, le rang d'une matrice A est la dimension de l'espace vectoriel engendré (ou déployé) par ses colonnes. Cela correspond au nombre maximal de colonnes de A linéairement indépendantes. Ceci, à son tour, est identique à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses lignes. Le rang est donc une mesure de la "non-dégénérescence" du système d'équations linéaires et de la transformation linéaire encodés par A. Il existe plusieurs définitions équivalentes du rang. Le rang d'une matrice est l'une de ses caractéristiques les plus fondamentales.

Le rang est généralement noté rank(A) ou rk(A) ; parfois les parenthèses ne sont pas écrites, comme dans rank A.
### Query ###
Quelles sont les principales différences entre la détermination du rang d'une matrice par la dimension de l'espace engendré par ses lignes et par la recherche du rang de Gauss ?

### Main Text ###
Row rank – dimension of row space

The rank of A is the maximal number of linearly independent rows of A; this is the dimension of the row space of A.

### Supplementary Text ###
En algèbre linéaire, le rang d'une matrice A est la dimension de l'espace vectoriel engendré (ou déployé) par ses colonnes. Cela correspond au nombre maximal de colonnes de A linéairement indépendantes. Ceci, à son tour, est identique à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses lignes. Le rang est donc une mesure de la "non-dégénérescence" du système d'équations linéaires et de la transformation linéaire encodés par A. Il existe plusieurs définitions équivalentes du rang. Le rang d'une matrice est l'une de ses caractéristiques les plus fondamentales.

Le rang est généralement noté rank(A) ou rk(A) ; parfois les parenthèses ne sont pas écrites, comme dans rank A.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"différences entre la détermination du rang d'une matrice par la dimension de l'espace engendré par ses lignes et par la recherche du rang de Gauss"

Key terms: 
- "détermination du rang" → rank determination methods
- "espace engendré par ses lignes" → row space dimension  
- "rang de Gauss" → Gaussian elimination approach

? Translation nuance: "recherche du rang de Gauss" could mean Gaussian rank computation or Gaussian elimination for rank finding.

Task type: Mathematical comparison. Not simple retrieval - requires synthesis.

### 2. Method 1: Row Space Dimension

● Core approach: Find basis for row space → count vectors
● Dimension of span(rows) = number of basis vectors
● Gives exact rank value

Process:
1. Form row vectors as coordinate vectors
2. Find linear dependence relations  
3. Count linearly independent rows

Example:
```
A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
```
Rows: `[1,2,3]`, `[4,5,6]`, `[7,8,9]`
→ All linearly dependent (collinear)
→ Row space dim = 1
→ Rank = 1

### 3. Method 2: Gaussian Elimination

⟨H≈0.8⟩ Gaussian elimination transforms matrix to row echelon form... pivots appear, zeros fill below... count pivot positions... but wait, elimination destroys original row relations... need to track pivot operations...

Two interpretations:
- **Computational**: Use Gaussian elimination to reduce → count pivot columns/rows
- **Theoretical**: Apply Gaussian lemma → count elementary row operations

Key insight: Gaussian elimination preserves:
- Linear independence structure
- Row/column space dimensions
- Null space relationships

### 4. Critical Differences

**Directness**:
- Row space: O(n³) storage, explicit basis computation
- Gaussian: O(n³) operations, implicit rank tracking

**Computational Cost**:
- Row space: Full matrix storage + basis extraction
- Gaussian: In-place transformation

**Preservation**:
! Key difference: Gaussian preserves ALL linear algebra structure
- Kernel dimensions unchanged
- Determinant information intact  
- Eigenvalue relationships maintained

**Practical Use**:
- Small matrices: Row space approach
- Large sparse matrices: Gaussian elimination (memory efficiency)

### 5. Mathematical Equivalence

∴ Both methods compute identical values
→ Row rank = Column rank = Gaussian rank

But computational paths differ fundamentally:

```
Row Space Method:
├─ Extract rows as vectors
├─ Find linear dependencies  
└─ Count independent ones

Gaussian Method:
├─ Apply elementary row operations
├─ Track pivot structure
└─ Count pivot positions
```

**Convergence**: Both guarantee same final rank value.

**Practical choice**: Depends on matrix characteristics, available memory, computational constraints.

NB: Gaussian approach wins for large matrices due to storage efficiency and numerical stability.

### Answer###
Les deux méthodes pour déterminer le rang d'une matrice sont effectivement équivalentes et produisent le même résultat, mais elles diffèrent dans leur approche computationnelle.

La méthode basée sur la dimension de l'espace engendré par les lignes consiste à trouver le nombre maximal de lignes linéairement indépendantes de la matrice. Cette approche directe calcule la dimension de l'espace vectoriel formé par les vecteurs lignes de la matrice.

La méthode de Gauss (ou élimination gaussienne) fonctionne selon un principe différent. Elle recherche le rang en transformant la matrice par des opérations élémentaires sur les lignes jusqu'à obtenir une forme échelonnée de lignes. Le rang correspond alors au nombre de lignes non nulles (ou pivots) dans cette forme réduite.

Malgré ces différences d'approche, ces deux méthodes sont mathématiquement équivalentes car elles calculent toutes deux la même quantité : le rang de la matrice. La raison principale de cette équivalence réside dans le fait fondamental que le rang d'une matrice correspond à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses colonnes, qui est identique à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses lignes.

La différence principale réside donc dans la méthode de calcul : l'approche par espace des lignes est plus directe en termes de concept mathématique, tandis que l'approche gaussienne utilise une transformation algorithmique pour arriver au même résultat.