Qu'est-ce qui distingue concrètement un algorithme linéaire d'un quasi-linéaire ?
Quasilinear time

An algorithm is said to run in quasilinear time (also referred to as log-linear time) if T (n) = O (n log k n) {\displaystyle T(n)=O(n\log ^{k}n)} for some positive constant k; linearithmic time is the case k = 1 {\displaystyle k=1}. Using soft O notation these algorithms are O ~ (n) {\displaystyle {\tilde {O}}(n)}. Quasilinear time algorithms are also O (n 1 + ε) {\displaystyle O(n^{1+\varepsilon })} for every constant ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} and thus run faster than any polynomial time algorithm whose time bound includes a term n c {\displaystyle n^{c}} for any c > 1 {\displaystyle c>1}.

Algorithms which run in quasilinear time include:

In many cases, the O (n log n) {\displaystyle O(n\log n)} running time is simply the result of performing a Θ (log n) {\displaystyle \Theta (\log n)} operation n times (for the notation, see Big O notation § Family of Bachmann–Landau notations). For example, binary tree sort creates a binary tree by inserting each element of the n -sized array one by one. Since the insert operation on a self-balancing binary search tree takes O (log n) {\displaystyle O(\log n)} time, the entire algorithm takes O (n log n) {\displaystyle O(n\log n)} time.

Comparison sorts require at least Ω (n log n) {\displaystyle \Omega (n\log n)} comparisons in the worst case because log (n !) = Θ (n log n) {\displaystyle \log(n!)=\Theta (n\log n)}, by Stirling's approximation. They also frequently arise from the recurrence relation T (n) = 2 T (n 2) + O (n) {\textstyle T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n)}.
Temps quasi-linéaire

Un algorithme est dit s'exécuter en temps quasi-linéaire (également appelé temps log-linéaire) si T(n) = O(n logᵏn) pour une constante positive k ; le temps linéarithmique est le cas k = 1. En utilisant la notation douce O, ces algorithmes sont O ~ (n). Les algorithmes en temps quasi-linéaire sont également O(n¹⁺ε) pour tout ε > 0 et s'exécutent donc plus rapidement que tout algorithme polynomial dont la borne de temps inclut un terme nᶜ pour tout c > 1.

Les algorithmes qui s'exécutent en temps quasi-linéaire incluent :

Dans de nombreux cas, le temps d'exécution O(n log n) est simplement le résultat de l'exécution d'une opération Θ (log n) n fois (pour la notation, voir Notation asymptotique de Bachmann–Landau). Par exemple, le tri par arbre binaire crée un arbre binaire en insérant chaque élément du tableau de taille n un par un. Puisque l'opération d'insertion dans un arbre de recherche binaire auto-équilibré prend un temps O(log n), l'algorithme entier prend un temps O(n log n).

Les tris par comparaison nécessitent au moins Ω (n log n) de comparaisons dans le pire des cas car log(n !) = Θ (n log n), par l'approximation de Stirling. Ils découlent également fréquemment de la relation de récurrence T(n) = 2 T(n/2) + O(n).
### Query ###
Qu'est-ce qui distingue concrètement un algorithme linéaire d'un quasi-linéaire ?

### Main Text ###
Quasilinear time

An algorithm is said to run in quasilinear time (also referred to as log-linear time) if T (n) = O (n log k n) {\displaystyle T(n)=O(n\log ^{k}n)} for some positive constant k; linearithmic time is the case k = 1 {\displaystyle k=1}. Using soft O notation these algorithms are O ~ (n) {\displaystyle {\tilde {O}}(n)}. Quasilinear time algorithms are also O (n 1 + ε) {\displaystyle O(n^{1+\varepsilon })} for every constant ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} and thus run faster than any polynomial time algorithm whose time bound includes a term n c {\displaystyle n^{c}} for any c > 1 {\displaystyle c>1}.

Algorithms which run in quasilinear time include:

In many cases, the O (n log n) {\displaystyle O(n\log n)} running time is simply the result of performing a Θ (log n) {\displaystyle \Theta (\log n)} operation n times (for the notation, see Big O notation § Family of Bachmann–Landau notations). For example, binary tree sort creates a binary tree by inserting each element of the n -sized array one by one. Since the insert operation on a self-balancing binary search tree takes O (log n) {\displaystyle O(\log n)} time, the entire algorithm takes O (n log n) {\displaystyle O(n\log n)} time.

Comparison sorts require at least Ω (n log n) {\displaystyle \Omega (n\log n)} comparisons in the worst case because log (n !) = Θ (n log n) {\displaystyle \log(n!)=\Theta (n\log n)}, by Stirling's approximation. They also frequently arise from the recurrence relation T (n) = 2 T (n 2) + O (n) {\textstyle T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n)}.

### Supplementary Text ###
Temps quasi-linéaire

Un algorithme est dit s'exécuter en temps quasi-linéaire (également appelé temps log-linéaire) si T(n) = O(n logᵏn) pour une constante positive k ; le temps linéarithmique est le cas k = 1. En utilisant la notation douce O, ces algorithmes sont O ~ (n). Les algorithmes en temps quasi-linéaire sont également O(n¹⁺ε) pour tout ε > 0 et s'exécutent donc plus rapidement que tout algorithme polynomial dont la borne de temps inclut un terme nᶜ pour tout c > 1.

Les algorithmes qui s'exécutent en temps quasi-linéaire incluent :

Dans de nombreux cas, le temps d'exécution O(n log n) est simplement le résultat de l'exécution d'une opération Θ (log n) n fois (pour la notation, voir Notation asymptotique de Bachmann–Landau). Par exemple, le tri par arbre binaire crée un arbre binaire en insérant chaque élément du tableau de taille n un par un. Puisque l'opération d'insertion dans un arbre de recherche binaire auto-équilibré prend un temps O(log n), l'algorithme entier prend un temps O(n log n).

Les tris par comparaison nécessitent au moins Ω (n log n) de comparaisons dans le pire des cas car log(n !) = Θ (n log n), par l'approximation de Stirling. Ils découlent également fréquemment de la relation de récurrence T(n) = 2 T(n/2) + O(n).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Qu'est-ce qui distingue concrètement un algorithme linéaire d'un quasi-linéaire ?"

→ Concrete distinction sought. French "concrètement" demands practical examples, not abstract definitions.

Key semantic: "quasi-linéaire" = quasi-linear. Classic CS terminology.

### 2. Initial Assessment  

Linear algorithms: T(n) = O(n)
Quasi-linear algorithms: T(n) = O(n log^k n) for some k>0

But need concrete distinctions. ● High confidence on definitions.

### 3. Core Distinction

Linear: n operations exactly
Quasi-linear: n log^k n operations (k>0)

∴ Difference in growth rate due to logarithmic factor

### 4. Concrete Examples

Linear:
- Simple iteration through array
- Constant work per element

Quasi-linear:  
- Binary tree construction: O(n log n)
- Merge sort: O(n log n)  
- Heap operations: O(n log n)

### 5. Why This Distinction Matters

Computational complexity perspective:
- Linear: n steps, regardless of input size
- Quasi-linear: n steps × log^k factor

→ Efficiency gap widens with large n

Binary tree example:
- Insert each element: O(log n) per operation
- n elements total: O(n log n)

### 6. Practical Implications

For n=1000:
- Linear: ~1000 steps
- Quasi-linear: ~1000 × log²(1000) ≈ 10,000 steps

Small constant factor difference → large practical impact

### 7. Algorithmic Origins

Quasi-linear often arises from:
- Divide-and-conquer with logarithmic depth
- Balanced tree manipulations  
- Sorting algorithms requiring comparison-based operations

### 8. Verification Against Response

Response correctly identifies:
☑ Growth rate distinction (n vs n log^k n)
☑ Binary tree example as concrete instance
☑ Complexity class implications

◐ Could elaborate more on practical significance
○ Missing mention of k=1 special case (linearithmic)

### 9. Synthesis

Concrete distinction: quasi-linear algorithms introduce logarithmic factors (typically log n) that cause complexity to grow more slowly than purely linear, yet faster than constant-time algorithms.

This difference becomes significant for large input sizes, despite both classes being "efficient" in practical terms.

### Answer###
La distinction entre algorithmes linéaires et quasi-linéaires repose sur leur comportement asymptotique en fonction de la taille de l'entrée.

Un algorithme linéaire s'exécute en temps O(n), ce qui signifie que son temps d'exécution croît proportionnellement à la taille de l'entrée.

En revanche, un algorithme quasi-linéaire (également appelé temps log-linéaire) s'exécute en temps O(n log^k n) pour une constante positive k. Le cas particulier où k = 1 est appelé temps linéarithmique. Ces algorithmes sont également notés O~(n) en notation douce.

Concrètement, cette différence se traduit par le fait que les algorithmes quasi-linéaires introduisent un facteur logarithmique dans leur complexité temporelle. Cette composante logarithmique peut résulter de plusieurs situations : soit l'opération principale s'effectue n fois sur une entrée de taille n, mais avec une complexité logarithmique par opération, soit l'algorithme suit une structure récursive avec des sous-problèmes de taille réduite par un facteur constant.

Un exemple typique est le tri par arbre binaire, où l'insertion d'un élément dans un arbre de recherche binaire auto-équilibré s'effectue en O(log n) temps, et l'ensemble de l'algorithme nécessite donc O(n log n) opérations pour traiter n éléments.

Les algorithmes quasi-linéaires sont généralement plus efficaces que les algorithmes polynomiales dont la borne temporelle inclut un terme n^c pour c > 1.