Un cycle limite stable peut-il être à la fois attractif vers l'infini et répulsif vers moins l'infini ?
Stable, unstable and semi-stable limit cycles

In the case where all the neighboring trajectories approach the limit cycle as time approaches infinity, it is called a stable or attractive limit cycle (ω-limit cycle). If instead, all neighboring trajectories approach it as time approaches negative infinity, then it is an unstable limit cycle (α-limit cycle). If there is a neighboring trajectory which spirals into the limit cycle as time approaches infinity, and another one which spirals into it as time approaches negative infinity, then it is a semi-stable limit cycle. There are also limit cycles that are neither stable, unstable nor semi-stable: for instance, a neighboring trajectory may approach the limit cycle from the outside, but the inside of the limit cycle is approached by a family of other cycles (which would not be limit cycles).

Stable limit cycles are examples of attractors. They imply self-sustained oscillations: the closed trajectory describes the perfect periodic behavior of the system, and any small perturbation from this closed trajectory causes the system to return to it, making the system stick to the limit cycle.
Cycles limites stables, instables et semi-stables

Dans le cas où toutes les trajectoires voisines tendent vers le cycle limite lorsque le temps tend vers l'infini, on l'appelle un cycle limite stable ou attractif (cycle limite ω). Si, au contraire, toutes les trajectoires voisines tendent vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini, alors il s'agit d'un cycle limite instable (cycle limite α). Si une trajectoire voisine en spirale vers le cycle limite lorsque le temps tend vers l'infini, et une autre en spirale vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini, alors il s'agit d'un cycle limite semi-stable. Il existe également des cycles limites qui ne sont ni stables, ni instables, ni semi-stables : par exemple, une trajectoire voisine peut s'approcher du cycle limite de l'extérieur, mais l'intérieur du cycle limite est approché par une famille d'autres cycles (qui ne seraient pas des cycles limites).

Les cycles limites stables sont des exemples d'attracteurs. Ils impliquent des oscillations auto-entretenues : la trajectoire fermée décrit le comportement périodique parfait du système, et toute petite perturbation de cette trajectoire fermée provoque le retour du système vers celle-ci, ce qui maintient le système sur le cycle limite.
### Query ###
Un cycle limite stable peut-il être à la fois attractif vers l'infini et répulsif vers moins l'infini ?

### Main Text ###
Stable, unstable and semi-stable limit cycles

In the case where all the neighboring trajectories approach the limit cycle as time approaches infinity, it is called a stable or attractive limit cycle (ω-limit cycle). If instead, all neighboring trajectories approach it as time approaches negative infinity, then it is an unstable limit cycle (α-limit cycle). If there is a neighboring trajectory which spirals into the limit cycle as time approaches infinity, and another one which spirals into it as time approaches negative infinity, then it is a semi-stable limit cycle. There are also limit cycles that are neither stable, unstable nor semi-stable: for instance, a neighboring trajectory may approach the limit cycle from the outside, but the inside of the limit cycle is approached by a family of other cycles (which would not be limit cycles).

Stable limit cycles are examples of attractors. They imply self-sustained oscillations: the closed trajectory describes the perfect periodic behavior of the system, and any small perturbation from this closed trajectory causes the system to return to it, making the system stick to the limit cycle.

### Supplementary Text ###
Cycles limites stables, instables et semi-stables

Dans le cas où toutes les trajectoires voisines tendent vers le cycle limite lorsque le temps tend vers l'infini, on l'appelle un cycle limite stable ou attractif (cycle limite ω). Si, au contraire, toutes les trajectoires voisines tendent vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini, alors il s'agit d'un cycle limite instable (cycle limite α). Si une trajectoire voisine en spirale vers le cycle limite lorsque le temps tend vers l'infini, et une autre en spirale vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini, alors il s'agit d'un cycle limite semi-stable. Il existe également des cycles limites qui ne sont ni stables, ni instables, ni semi-stables : par exemple, une trajectoire voisine peut s'approcher du cycle limite de l'extérieur, mais l'intérieur du cycle limite est approché par une famille d'autres cycles (qui ne seraient pas des cycles limites).

Les cycles limites stables sont des exemples d'attracteurs. Ils impliquent des oscillations auto-entretenues : la trajectoire fermée décrit le comportement périodique parfait du système, et toute petite perturbation de cette trajectoire fermée provoque le retour du système vers celle-ci, ce qui maintient le système sur le cycle limite.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Un cycle limite stable peut-il être à la fois attractif vers l'infini et répulsif vers moins l'infini ?"

Translation: "Can a stable limit cycle be both attractive toward infinity and repulsive toward minus infinity?"

Key semantic issue: "attractif vers l'infini" vs "répulsif vers moins l'infini" → ambiguous temporal direction.

? Is user asking about forward time (t→∞) vs backward time (t→-∞)? Or different coordinate directions?

### 2. Domain Contextualization

Limit cycles = closed trajectories in continuous dynamical systems
Stable = forward approach (t→∞)
Attractor = backward approach (t→-∞)

Classic Poincaré, Andronov-Krylov theory. ● High confidence domain.

### 3. Conceptual Foundation

Forward approach:
- Stable limit cycle → all nearby trajectories converge to it as t→∞
- Attractor behavior

Backward approach:  
- Repulsive behavior → nearby trajectories diverge from it as t→-∞
- α-limit set structure

### 4. Logical Contradiction Analysis

Fundamental impossibility: ∴ Stable + Attractor ≠ Stable + Repulsive

If stable → forward convergence only
If repulsive → backward divergence only

No simultaneous behavior possible.

### 5. Mathematical Framework

Let Ω = limit cycle, x₀ ∈ neighborhood(Ω)

Stable definition: ∀ε>0, ∃δ>0 such that ||x(t,x₀) - Ω|| < ε ∀t > T

Repulsive definition: ∃ε>0, ∀δ>0, ∃t < -T such that ||x(t,x₀) - Ω|| > δ

Contradiction: Same x₀ cannot satisfy both simultaneously.

### 6. Classification Resolution

Three limit cycle types:
1. Stable (ω-limit cycle) ● 
2. Unstable (α-limit cycle) ●
3. Semi-stable ◐

No stable-repulsive simultaneous behavior exists.

### 7. Physical Intuition

⟨H≈0.8⟩ Think of water flowing around stable island (attractor) vs unstable whirlpool (repulsor). Forward currents converge, backward currents diverge. Can't have both simultaneously - violates mass conservation in phase space. ⟨/H⟩

### 8. Synthesis

∴ Non. Stable limit cycles are inherently forward attractors only.

Repulsive behavior would make them unstable limit cycles (α-type).

Mathematical contradiction + classification theory confirms impossibility.

**Final answer: No** - stable limit cycles exhibit forward attraction exclusively, not simultaneous bidirectional behavior.

### Answer###
Non, un cycle limite stable ne peut pas être à la fois attractif vers l'infini et répulsif vers moins l'infini.

En effet, un cycle limite stable (ou attractif) est défini comme un cycle limite tel que toutes les trajectoires voisines convergent vers lui lorsque le temps tend vers l'infini. Inversement, un cycle limite instable (ou α-limite) est caractérisé par le fait que toutes les trajectoires voisines convergent vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini.

Les cycles limites stables constituent un type particulier d'attracteur, où le comportement périodique fermé du système est auto-entretenu : toute petite perturbation de la trajectoire fermée fait revenir le système vers celle-ci, le maintenant sur le cycle limite.

Il existe également des cycles limites semi-stables, où une trajectoire voisine peut spiraler vers le cycle limite lorsque le temps tend vers l'infini, et une autre vers lui lorsque le temps tend vers moins l'infini. Cependant, ces comportements sont distincts et mutuellement exclusifs avec le caractère attractif ou répulsif du cycle limite.