Pourquoi quand on calcule la moyenne avec tous les chiffres d'un échantillon, ça donne pas le bon résultat mais quand on fait sans tous les chiffres c'est mieux ?
Uncorrected sample standard deviation

The formula for the population standard deviation (of a finite population) can be applied to the sample, using the size of the sample as the size of the population (though the actual population size from which the sample is drawn may be much larger). This estimator, denoted by s, is known as the uncorrected sample standard deviation, or sometimes the standard deviation of the sample (considered as the entire population), and is defined as follows: s N = 1 N ∑ i = 1 N (x i − x ¯) 2, {\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}

where { x 1, x 2, …, x N } {\displaystyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots,\,x_{N}\}} are the observed values of the sample items, and x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} is the mean value of these observations, while the denominator N stands for the size of the sample: this is the square root of the sample variance, which is the average of the squared deviations about the sample mean.

This is a consistent estimator (it converges in probability to the population value as the number of samples goes to infinity), and is the maximum-likelihood estimate when the population is normally distributed. However, this is a biased estimator, as the estimates are generally too low. The bias decreases as sample size grows, dropping off as 1/ N, and thus is most significant for small or moderate sample sizes; for N > 75 {\displaystyle N>75} the bias is below 1%. Thus for very large sample sizes, the uncorrected sample standard deviation is generally acceptable. This estimator also has a uniformly smaller mean squared error than the corrected sample standard deviation.
Échantillonnage efficace

En statistique, un échantillon véritablement aléatoire signifie sélectionner des individus d'une population avec une probabilité équivalente ; en d'autres termes, choisir des individus d'un groupe sans biais. Ne pas le faire correctement entraînera un biais d'échantillonnage, ce qui peut considérablement augmenter l'erreur d'échantillonnage de manière systématique. Par exemple, tenter de mesurer la taille moyenne de l'ensemble de la population humaine sur Terre, mais mesurer un échantillon uniquement dans un seul pays, pourrait entraîner une surestimation ou une sous-estimation importante. En réalité, obtenir un échantillon non biaisé peut être difficile car de nombreux paramètres (dans cet exemple, le pays, l'âge, le sexe, etc.) peuvent fortement biaiser l'estimateur et il faut s'assurer qu'aucun de ces facteurs ne joue un rôle dans le processus de sélection.

Même dans un échantillon parfait et non biaisé, l'erreur d'échantillonnage existera toujours en raison de la composante statistique résiduelle ; considérez que mesurer seulement deux ou trois individus et calculer la moyenne produirait un résultat très variable à chaque fois. La taille probable de l'erreur d'échantillonnage peut généralement être réduite en prenant un échantillon plus important.
### Query ###
Pourquoi quand on calcule la moyenne avec tous les chiffres d'un échantillon, ça donne pas le bon résultat mais quand on fait sans tous les chiffres c'est mieux ?

### Main Text ###
Uncorrected sample standard deviation

The formula for the population standard deviation (of a finite population) can be applied to the sample, using the size of the sample as the size of the population (though the actual population size from which the sample is drawn may be much larger). This estimator, denoted by s, is known as the uncorrected sample standard deviation, or sometimes the standard deviation of the sample (considered as the entire population), and is defined as follows: s N = 1 N ∑ i = 1 N (x i − x ¯) 2, {\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}

where { x 1, x 2, …, x N } {\displaystyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots,\,x_{N}\}} are the observed values of the sample items, and x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} is the mean value of these observations, while the denominator N stands for the size of the sample: this is the square root of the sample variance, which is the average of the squared deviations about the sample mean.

This is a consistent estimator (it converges in probability to the population value as the number of samples goes to infinity), and is the maximum-likelihood estimate when the population is normally distributed. However, this is a biased estimator, as the estimates are generally too low. The bias decreases as sample size grows, dropping off as 1/ N, and thus is most significant for small or moderate sample sizes; for N > 75 {\displaystyle N>75} the bias is below 1%. Thus for very large sample sizes, the uncorrected sample standard deviation is generally acceptable. This estimator also has a uniformly smaller mean squared error than the corrected sample standard deviation.

### Supplementary Text ###
Échantillonnage efficace

En statistique, un échantillon véritablement aléatoire signifie sélectionner des individus d'une population avec une probabilité équivalente ; en d'autres termes, choisir des individus d'un groupe sans biais. Ne pas le faire correctement entraînera un biais d'échantillonnage, ce qui peut considérablement augmenter l'erreur d'échantillonnage de manière systématique. Par exemple, tenter de mesurer la taille moyenne de l'ensemble de la population humaine sur Terre, mais mesurer un échantillon uniquement dans un seul pays, pourrait entraîner une surestimation ou une sous-estimation importante. En réalité, obtenir un échantillon non biaisé peut être difficile car de nombreux paramètres (dans cet exemple, le pays, l'âge, le sexe, etc.) peuvent fortement biaiser l'estimateur et il faut s'assurer qu'aucun de ces facteurs ne joue un rôle dans le processus de sélection.

Même dans un échantillon parfait et non biaisé, l'erreur d'échantillonnage existera toujours en raison de la composante statistique résiduelle ; considérez que mesurer seulement deux ou trois individus et calculer la moyenne produirait un résultat très variable à chaque fois. La taille probable de l'erreur d'échantillonnage peut généralement être réduite en prenant un échantillon plus important.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"moyenne avec tous les chiffres" → raw data averaging
"sans tous les chiffres" → sampling/approximation methods
"pas le bon résultat" → bias problem

Translation nuance: "tous les chiffres" could mean full precision vs. all digits included. Context suggests latter.

Core question: Why does complete averaging fail?

### 2. Mathematical Foundation

Standard deviation calculation:
σ² = (1/N)Σ(xi - μ)²

Raw data contains measurement precision. Rounding creates bias.

Example scenario:
- True value ≈ 100.000
- Measurements: 100.00, 100.0, 99.99, 100.01
- Raw avg: 100.00
- Sample avg: 100.00 (all digits preserved)

→ Bias introduced through precision loss

### 3. Sampling Bias Analysis

Full dataset averaging problem:
- Requires all measurements
- Each digit carries weight
- Small changes propagate
- Sensitive to outliers

Sample-based approach:
- Works with representative subset
- Ignores measurement precision
- Robust to small variations
- Less sensitive to individual values

! Key insight: Bias-variance tradeoff in measurement precision

### 4. Statistical Theory

Raw averaging creates systematic underestimation.
Sample standard deviation formula uses N-1 degrees freedom.

Unbiased estimator: s² = (N/(N-1)) × sample variance

This correction factor accounts for the "too low" bias mentioned in response.

### 5. Practical Implications

Real-world applications:
- Survey data (rounding creates bias)
- Sensor measurements (precision matters)
- Financial data (each digit significant)

Sample-based methods more robust for:
- Large datasets
- Noisy measurements  
- Outlier sensitivity

∴ Raw averaging suboptimal due to precision sensitivity

### 6. Convergence Properties

Sample methods converge to true mean faster.
Raw approach requires perfect dataset.

Law of large numbers: sample averages stabilize, raw averages don't.

**Conclusion**: Sampling methods win through robustness, not just practicality. Raw averaging fails due to mathematical bias in precision handling.

### Answer###
Le problème que vous observez est lié à un phénomène statistique fondamental. Lorsque vous calculez la moyenne avec tous les chiffres de votre échantillon, vous obtenez effectivement un résultat biaisé - les estimations sont généralement trop faibles par rapport à la valeur réelle que vous essayez de mesurer.

Ce biais existe parce que la formule utilisée pour calculer l'écart type de l'échantillon (la base du calcul de la moyenne) est un estimateur non corrélé. En d'autres termes, même si vous utilisez toutes les données de votre échantillon, le résultat ne sera pas parfaitement précis.

Le biais diminue lorsque la taille de votre échantillon augmente, mais il reste significatif pour les échantillons petits ou moyens. Pour les échantillons très larges (N > 75), ce biais devient inférieur à 1%, ce qui explique pourquoi l'utilisation de tous les chiffres devient acceptable dans ce cas.

Le calcul de la moyenne sans utiliser tous les chiffres peut paradoxalement donner de meilleurs résultats parce que les méthodes d'échantillonnage statistiques sont conçues pour être plus robustes face à ce type de biais systématique. L'échantillonnage efficace nécessite de sélectionner les individus d'une population avec une probabilité équivalente, ce qui peut réduire l'erreur d'échantillonnage de manière significative.

Dans votre situation, le fait de ne pas utiliser tous les chiffres peut donc paradoxalement conduire à une estimation plus précise, même si techniquement moins complète.