Est-ce que DBSCAN peut minimiser le nombre de clusters tout en maximisant la distance entre les points d'un même cluster ?
Optimization Criterion

DBSCAN optimizes the following loss function: For any possible clustering C = { C 1, …, C l } {\displaystyle C=\{C_{1},\ldots,C_{l}\}} out of the set of all clusterings C {\displaystyle {\mathcal {C}}}, it minimizes the number of clusters under the condition that every pair of points in a cluster is density-reachable, which corresponds to the original two properties "maximality" and "connectivity" of a cluster:
Critère d'optimisation

DBSCAN optimise la fonction de perte suivante : pour tout regroupement possible C = { C 1, …, C l } pris dans l'ensemble de tous les regroupements C, il minimise le nombre de clusters sous la condition que toute paire de points dans un cluster soit accessible par densité, ce qui correspond aux deux propriétés originales de "maximalité" et de "connectivité" d'un cluster :

### Query ###
Est-ce que DBSCAN peut minimiser le nombre de clusters tout en maximisant la distance entre les points d'un même cluster ?

### Main Text ###
Optimization Criterion

DBSCAN optimizes the following loss function: For any possible clustering C = { C 1, …, C l } {\displaystyle C=\{C_{1},\ldots,C_{l}\}} out of the set of all clusterings C {\displaystyle {\mathcal {C}}}, it minimizes the number of clusters under the condition that every pair of points in a cluster is density-reachable, which corresponds to the original two properties "maximality" and "connectivity" of a cluster:

### Supplementary Text ###
Critère d'optimisation

DBSCAN optimise la fonction de perte suivante : pour tout regroupement possible C = { C 1, …, C l } pris dans l'ensemble de tous les regroupements C, il minimise le nombre de clusters sous la condition que toute paire de points dans un cluster soit accessible par densité, ce qui correspond aux deux propriétés originales de "maximalité" et de "connectivité" d'un cluster :


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"DBSCAN peut minimiser le nombre de clusters tout en maximisant la distance entre les points d'un même cluster ?"

→ Can DBSCAN minimize cluster count while maximizing distance between same-cluster points?

**Core misconception alert!** ⚠

### 2. Objective Function Analysis

DBSCAN objective function: **Minimize clusters subject to density connectivity constraints**.

Not distance-based. Density-based. Critical difference.

Minimizes |C| (number of clusters) under constraint that:
- ∀ points p,q ∈ same cluster → p density-reachable from q
- Core points have sufficient neighbors

### 3. Density vs Distance Metrics

DBSCAN uses ε-neighborhood (distance threshold) but optimizes **connectivity**, not cluster diameter.

Example: Two dense blobs with different radii
- Option A: Small tight clusters (distance ≈ ε/2)  
- Option B: Larger loose clusters (distance ≈ multiple ε)

DBSCAN prefers Option B → maximizes cluster "reachability" not inter-point distance.

### 4. Algorithmic Evidence

DBSCAN merges clusters when:
- Points density-connected via γ-reachable chain
- Regardless of actual pairwise distances

Counter-example: Two uniform-density circles, different radii
- Small circle: tight clusters (distance ≈ ε/2)
- Large circle: loose clusters (distance ≈ 2ε)

DBSCAN merges large circle → maximizes connectivity, not distance diversity.

### 5. Conclusion

∴ DBSCAN optimizes **connectivity** not **distance dispersion**.

The algorithm inherently prefers solutions where clusters are maximally connected (small ε, dense regions) rather than solutions where clusters are maximally sparse (large ε, loose formations).

**Distance maximization** is **orthogonal** to DBSCAN's density-based optimization framework.

### Answer###
Non, DBSCAN ne minimise pas nécessairement la distance entre les points d'un même cluster. L'algorithme DBSCAN optimise plutôt le nombre de clusters sous la contrainte que toute paire de points dans un cluster soit accessible par densité. Cette contrainte correspond aux propriétés originales de "maximalité" et de "connectivité" d'un cluster.

DBSCAN minimise donc le nombre de clusters en tenant compte de la proximité locale et de la connectivité des points, mais sans nécessairement maximiser la distance entre les points du même cluster. L'objectif principal est de regrouper les points de manière à former des clusters denses et connectés, plutôt que de créer des clusters avec une grande dispersion géométrique.

La formulation de l'optimisation s'effectue en minimisant le nombre de clusters pour toute partition possible, sous réserve que chaque paire de points dans un cluster soit densité-atteignable. Cette approche privilégie la cohésion des clusters par proximité locale plutôt que leur dispersion spatiale maximale.