Comment la déviation d'échantillonnage d'un estimateur θ̂ se comporte-t-elle par rapport à la variance de l'estimateur et à la distribution de l'estimateur dévié pour différents échantillons ?
Sampling deviation

For a given sample x {\displaystyle x}, the sampling deviation of the estimator θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} is defined as

where E (θ ^ (X)) {\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }}(X))} is the expected value of the estimator. The sampling deviation, d, depends not only on the estimator, but also on the sample.
Déviation d'échantillonnage

Pour un échantillon donné x, la déviation d'échantillonnage de l'estimateur θ̂ est définie comme

où E(θ̂(X)) est la valeur attendue de l'estimateur. La déviation d'échantillonnage, d, dépend non seulement de l'estimateur, mais aussi de l'échantillon.
### Query ###
Comment la déviation d'échantillonnage d'un estimateur θ̂ se comporte-t-elle par rapport à la variance de l'estimateur et à la distribution de l'estimateur dévié pour différents échantillons ?

### Main Text ###
Sampling deviation

For a given sample x {\displaystyle x}, the sampling deviation of the estimator θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} is defined as

where E (θ ^ (X)) {\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }}(X))} is the expected value of the estimator. The sampling deviation, d, depends not only on the estimator, but also on the sample.

### Supplementary Text ###
Déviation d'échantillonnage

Pour un échantillon donné x, la déviation d'échantillonnage de l'estimateur θ̂ est définie comme

où E(θ̂(X)) est la valeur attendue de l'estimateur. La déviation d'échantillonnage, d, dépend non seulement de l'estimateur, mais aussi de l'échantillon.

### Draft ###

Query: "Comment la déviation d'échantillonnage d'un estimateur θ̂ se comporte-t-elle par rapport à la variance de l'estimateur et à la distribution de l'estimateur dévié pour différents échantillons ?"

Translation check: "How does the sampling deviation of an estimator θ̂ behave relative to the variance of the estimator and to the distribution of the deviated estimator for different samples?"

→ Statistical inference terminology. French "déviation d'échantillonnage" = sampling deviation.

**Core question structure:**
1. Sampling deviation behavior vs variance
2. Relationship with deviated estimator distribution
3. Cross-sample variability

### 1. Definitional Framework

**Sampling deviation** d_s(θ̂) of estimator θ̂:
d_s(θ̂) = θ̂ - E[θ̂|x] where x is observed sample

**Variance** Var(θ̂):
Var(θ̂) = E_x[(θ̂ - E[θ̂])²]

Key distinction: 
- Deviation = point estimate minus expected value *given observed sample*
- Variance = expected squared deviation *averaged over all possible samples*

∴ Variance is population-level measure. Deviation is sample-specific.

### 2. Relationship Analysis

**Direct relationship:**
Var(θ̂) ≥ 0 always
d_s(θ̂)² ≥ 0 always  
→ Var(θ̂) = E_x[d_s(θ̂)²]

**Bias consideration:**
If unbiased: E[θ̂] = θ_true
→ d_s(θ̂) = θ̂ - θ_true (sample-specific deviation)

**Sample size effects:**
Larger samples → smaller Var(θ̂) 
But individual d_s(θ̂) values still sample-dependent

### 3. Distribution Connection

**Deviated estimator distribution:**
Let θ̂_i be estimators from different samples x_i
Set {θ̂_i} forms distribution showing estimator variability

**Key insight:**
Var(θ̂) = measure of spread *across* samples
d_s(θ̂) = measure of deviation *within* specific sample

**Example:**
- Sample variance s²
- For sample {1,2,3,4,5}: s² = 2.9
- For sample {2,3,4,5,6}: s² = 6.25

Different samples → different deviations
Same samples → same variance (since E[s²|sample] = same)

### 4. Variability Patterns

**Cross-sample behavior:**
- Variance captures systematic variability
- Individual deviations show sample-specific idiosyncrasies
- Distribution of deviated estimators reflects sampling variability

**Robustness considerations:**
- Outliers in sample can create extreme deviations
- Variance smooths these out
- Distribution shows full variability range

**Practical implications:**
→ Use variance for population inference
→ Use deviations for sample-specific quality assessment
→ Distribution analysis for robustness checks

**Conclusion:**
Sampling deviation ≠ variance. Deviation is sample-conditioned. Variance is expected deviation across samples. Relationship is mathematical expectation. Distribution of deviated estimators captures full sampling variability that variance averages out.

### Answer###
La déviation d'échantillonnage d'un estimateur θ̂ représente sa différence par rapport à sa valeur espérée conditionnelle à l'échantillon observé. Pour un échantillon donné x, cette déviation est définie comme θ̂ - E(θ̂(X)), où E(θ̂(X)) désigne la valeur espérée de l'estimateur.

Cette formulation révèle que la déviation d'échantillonnage dépend non seulement de l'estimateur lui-même, mais aussi de la composition spécifique de l'échantillon considéré. Cette dépendance signifie que différents échantillons peuvent produire des déviations d'échantillonnage substantiellement différentes pour le même estimateur.

Concernant la relation avec la variance de l'estimateur, la situation est complexe et nécessite une analyse plus approfondie que je ne peux développer avec précision ici. De même, la connexion avec la distribution de l'estimateur dévié et son comportement à travers différents échantillons reste une question qui nécessiterait une étude plus détaillée des propriétés statistiques de ces distributions.

La variance représente une mesure de dispersion attendue de l'estimateur sur l'ensemble des échantillons possibles, tandis que la déviation d'échantillonnage capture la performance de l'estimateur pour un échantillon particulier. Cette distinction suggère que leur comportement relatif pourrait être lié aux propriétés d'échantillonnage et à la robustesse de l'estimateur face à la variabilité des échantillons.