Pourquoi cette formule avec les diagonales marche-t-elle pour calculer l'aire du losange ?
Area

As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height (h). The base is simply any side length a:

The area can also be expressed as the base squared times the sine of any angle:

or in terms of the height and a vertex angle:

or as half the product of the diagonals p, q:

or as the semiperimeter times the radius of the circle inscribed in the rhombus (inradius):

Another way, in common with parallelograms, is to consider two adjacent sides as vectors, forming a bivector, so the area is the magnitude of the bivector (the magnitude of the vector product of the two vectors), which is the determinant of the two vectors' Cartesian coordinates: K = x y – x y.
Formules trigonométriques

L'aire peut être exprimée en termes trigonométriques comme

où les longueurs des diagonales sont p et q et l'angle entre elles est θ. Dans le cas d'un quadrilatère orthodiagonal (par exemple, un losange, un carré et un kite), cette formule se réduit à K = pq/2 puisque θ est égal à 90°.

L'aire peut également être exprimée en termes de bimédianes comme

où les longueurs des bimédianes sont m et n et l'angle entre elles est φ.

La formule de Bretschneider exprime l'aire en fonction des côtés et de deux angles opposés :

où les côtés sont a, b, c, d en séquence, s est le demi-périmètre, et A et C sont deux (en fait, n'importe quels deux) angles opposés. Elle se réduit à la formule de Brahmagupta pour l'aire d'un quadrilatère cyclique lorsque A + C = 180°.

Une autre formule de l'aire en termes des côtés et des angles, avec l'angle C entre les côtés b et c, et l'angle A entre les côtés a et d, est

Dans le cas d'un quadrilatère cyclique, la dernière formule devient K = 1/2 (ad + bc) sin A.

Dans un parallélogramme, où les paires de côtés et d'angles opposés sont égaux, cette formule se réduit à K = ab ⋅ sin A.

Alternativement, on peut écrire l'aire en termes des côtés et de l'angle θ d'intersection des diagonales, à condition que θ ne soit pas égal à 90° :

Dans le cas d'un parallélogramme, la dernière formule devient K = 1/2 | tan θ | ⋅ | a² − b² |.

Une autre formule de l'aire incluant les côtés a, b, c, d est

où x est la distance entre les milieux des diagonales, et φ est l'angle entre les bimédianes.

La dernière formule trigonométrique de l'aire incluant les côtés a, b, c, d et l'angle α (entre a et b) est :

qui peut également être utilisée pour l'aire d'un quadrilatère concavé (ayant la partie concave opposée à l'angle α), en changeant simplement le premier signe + en -.
### Query ###
Pourquoi cette formule avec les diagonales marche-t-elle pour calculer l'aire du losange ?

### Main Text ###
Area

As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height (h). The base is simply any side length a:

The area can also be expressed as the base squared times the sine of any angle:

or in terms of the height and a vertex angle:

or as half the product of the diagonals p, q:

or as the semiperimeter times the radius of the circle inscribed in the rhombus (inradius):

Another way, in common with parallelograms, is to consider two adjacent sides as vectors, forming a bivector, so the area is the magnitude of the bivector (the magnitude of the vector product of the two vectors), which is the determinant of the two vectors' Cartesian coordinates: K = x y – x y.

### Supplementary Text ###
Formules trigonométriques

L'aire peut être exprimée en termes trigonométriques comme

où les longueurs des diagonales sont p et q et l'angle entre elles est θ. Dans le cas d'un quadrilatère orthodiagonal (par exemple, un losange, un carré et un kite), cette formule se réduit à K = pq/2 puisque θ est égal à 90°.

L'aire peut également être exprimée en termes de bimédianes comme

où les longueurs des bimédianes sont m et n et l'angle entre elles est φ.

La formule de Bretschneider exprime l'aire en fonction des côtés et de deux angles opposés :

où les côtés sont a, b, c, d en séquence, s est le demi-périmètre, et A et C sont deux (en fait, n'importe quels deux) angles opposés. Elle se réduit à la formule de Brahmagupta pour l'aire d'un quadrilatère cyclique lorsque A + C = 180°.

Une autre formule de l'aire en termes des côtés et des angles, avec l'angle C entre les côtés b et c, et l'angle A entre les côtés a et d, est

Dans le cas d'un quadrilatère cyclique, la dernière formule devient K = 1/2 (ad + bc) sin A.

Dans un parallélogramme, où les paires de côtés et d'angles opposés sont égaux, cette formule se réduit à K = ab ⋅ sin A.

Alternativement, on peut écrire l'aire en termes des côtés et de l'angle θ d'intersection des diagonales, à condition que θ ne soit pas égal à 90° :

Dans le cas d'un parallélogramme, la dernière formule devient K = 1/2 | tan θ | ⋅ | a² − b² |.

Une autre formule de l'aire incluant les côtés a, b, c, d est

où x est la distance entre les milieux des diagonales, et φ est l'angle entre les bimédianes.

La dernière formule trigonométrique de l'aire incluant les côtés a, b, c, d et l'angle α (entre a et b) est :

qui peut également être utilisée pour l'aire d'un quadrilatère concavé (ayant la partie concave opposée à l'angle α), en changeant simplement le premier signe + en -.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi cette formule avec les diagonales marche-t-elle pour calculer l'aire du losange ?"

Key assumption: User knows the diagonal formula K = (pq)/2 but wants geometric intuition. Why does it work?

Translation note: "marche" = "works" or "applies" - user questioning validity/derivation, not computational procedure.

### 2. Geometric Foundation

Rhombus properties ●:
- All sides equal (a = b = c = d)  
- Opposite angles equal
- Diagonals bisect at right angles (90°)
- Diagonals are perpendicular bisectors

∴ Rhombus = special parallelogram with equal sides + perpendicular diagonals

### 3. Area Formula Derivation

Standard rhombus area: K = base × height = a × h

But wait - why diagonals? →

Critical insight !: Diagonals create four congruent right triangles.
Each triangle: base = p/2, height = q/2

Total area = 4 × (1/2 × base × height) = 4 × (1/2 × p/2 × q/2) = pq/4

? Why divide by 4 then multiply by 2?

→ Double-counting issue. Each triangle contributes 1/4 of rhombus area.
Four triangles = whole rhombus. But formula counts each diagonal contribution twice.

∴ Corrected: K = pq/4 × 4 = pq/2

### 4. Geometric Verification

Visual check ✓:
- Draw rhombus ABCD
- Diagonals AC and BD intersect at O  
- Triangles AOB, BOC, COD, DOA are congruent (SAS)
- Each has area = (1/2)×AO×BO = (1/2)×(p/2)×(q/2)
- Total area = 4 × (p×q)/8 = pq/2

### 5. Intuitive Explanation

Why diagonals "work":
→ They capture rhombus's "extreme" parallelogram nature
→ Equal sides + perpendicular intersection = maximal triangle subdivision efficiency  
→ Diagonals provide orthogonal reference frame for area calculation
→ Formula pq/2 = "average" of possible base×height combinations

NB: Diagonals give shortest possible base/height pairs (when aligned with sides), while maximizing total subdivision.

### 6. Broader Context

Rhombus area ↔ triangle area relationship:
- Rhombus = collection of congruent right triangles
- Diagonals determine triangle "packing density"
- pq/2 = optimal triangle arrangement for given perimeter

∴ Diagonal formula emerges naturally from geometric constraints + area optimization.

**Conclusion**: Formula works because rhombus structure creates perfect triangle subdivision pattern, and diagonals provide clean geometric parameters for calculating triangle contributions.

### Answer###
La formule de l'aire d'un losange en fonction des diagonales p et q (K = pq/2) découle directement de sa nature géométrique particulière.

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Cette propriété fondamentale signifie que ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur point de rencontre et que chaque diagonale est la bissectrice de l'autre. Ces caractéristiques font du losange un cas particulier de parallélogramme.

L'aire d'un parallélogramme s'exprime généralement comme le produit de sa base par sa hauteur. Pour le losange, cette formule devient K = base × hauteur = a × h, où a représente n'importe quel côté et h la hauteur correspondante.

Cependant, l'expression en termes de diagonales apparaît lorsque l'on considère que les diagonales du losange créent quatre triangles rectangles congrus. Ces triangles ont pour base la moitié de chaque diagonale et pour hauteur la moitié de l'autre diagonale. L'aire totale du losange est donc la somme des aires de ces quatre triangles : elle s'écrit comme 4 × (1/2 × base × hauteur) = 4 × (1/2 × p/2 × q/2) = pq/2.

Cette formulation en fonction des diagonales est particulièrement élégante car elle capture l'essence du losange : un quadrilatère où les propriétés des diagonales déterminent complètement sa structure géométrique et sa façon de se découper en triangles.