Pourquoi on dit que le résultat est en forme canonique quand le dénominateur est premier avec le numérateur mais pas dans les autres cas ?
Addition

Two fractions are added as follows:

If both fractions are in canonical form, the result is in canonical form if and only if b, d are coprime integers.
Ordre de priorité

Si les deux dénominateurs sont positifs (en particulier si les deux fractions sont sous forme canonique) :

D'autre part, si l'un des dénominateurs est négatif, chaque fraction avec un dénominateur négatif doit d'abord être convertie en une forme équivalente avec un dénominateur positif, en changeant les signes à la fois du numérateur et du dénominateur.
### Query ###
Pourquoi on dit que le résultat est en forme canonique quand le dénominateur est premier avec le numérateur mais pas dans les autres cas ?

### Main Text ###
Addition

Two fractions are added as follows:

If both fractions are in canonical form, the result is in canonical form if and only if b, d are coprime integers.

### Supplementary Text ###
Ordre de priorité

Si les deux dénominateurs sont positifs (en particulier si les deux fractions sont sous forme canonique) :

D'autre part, si l'un des dénominateurs est négatif, chaque fraction avec un dénominateur négatif doit d'abord être convertie en une forme équivalente avec un dénominateur positif, en changeant les signes à la fois du numérateur et du dénominateur.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi... dénominateur premier avec le numérateur" → Why canonical form when denominator prime with numerator.

User asking about fraction reduction. Specifically: when do we get "forme canonique" (canonical form)?

Key semantic: "pas dans les autres cas" → not in other cases. Binary framing.

### 2. Mathematical Context Retrieval

Canonical form for fractions: reduced to lowest terms. 

? Why prime-ness restriction on denominator?

⟨H≈0.3⟩ Think fraction fields, unique representation, greatest common divisor... When gcd(numerator,denominator) = 1, fraction irreducible. Otherwise always reducible. Fundamental theorem of arithmetic lurking in background...

● High confidence: GCD = 1 is the key condition
◐ Partial: Don't recall exact proof structure for "canonical" terminology

### 3. Technical Verification

Let fractions: a/b, c/d

Result canonical ⟺ gcd(ad + bc, bd) = 1

When b, d relatively prime: gcd(bd, *) = 1
∴ gcd(ad + bc, bd) = 1 always

When b, d NOT relatively prime: gcd(bd, *) > 1
Can have gcd(ad + bc, bd) = 1 or > 1

! Key insight: Coprimality b, d forces irreducibility of sum
But non-coprimality allows reducible sums

### 4. Proof Structure

**Case 1**: b, d relatively prime
- gcd(b,d) = 1
- gcd(bd, *) = 1
- gcd(ad + bc, bd) = 1 (follows from Bézout)
- Result irreducible ✓

**Case 2**: b, d not relatively prime  
- gcd(b,d) > 1
- Can have gcd(ad + bc, bd) = 1 or > 1
- Result may be reducible ⚠

### 5. Canonical Form Definition

Canonical form ≡ lowest terms representation

∴ Only truly canonical when irreducible

When b, d coprime: always irreducible
When b, d not coprime: sometimes reducible

### 6. Final Synthesis

The restriction exists because:

1. Coprime denominators force irreducible sums
2. Non-coprime denominators allow reducible sums
3. Only irreducible fractions qualify as "canonical"

⟨H≈0.8⟩ Elegant mathematical precision... canonical form as unique representation... when the arithmetic structure of the denominator constrains the entire fraction to its minimal, irreducible essence...

**Answer**: Coprimality b, d guarantees canonical form because it forces irreducibility of the sum. Non-coprimality allows reducible results, violating canonical form requirements.

NB: This reflects deeper principles about unique factorization and field structure in rational numbers.

### Answer###
La forme canonique d'une fraction résulte d'une réduction au dénominateur commun lorsque les deux dénominateurs initiaux sont positifs. Cependant, cette condition n'est garantie que lorsque les dénominateurs b et d sont premiers entre eux.

Plus précisément, le résultat est effectivement en forme canonique lorsque les dénominateurs b et d sont premiers entre eux. Dans ce cas, la fraction finale ne peut pas être simplifiée davantage, ce qui correspond à la définition mathématique de la forme canonique.

Par contre, lorsque les dénominateurs b et d ne sont pas premiers entre eux, le résultat obtenu peut ou non être en forme canonique selon les valeurs spécifiques du numérateur et du dénominateur. Il se peut que la fraction finale puisse encore être réduite, ce qui explique pourquoi elle n'est pas automatiquement considérée comme étant dans sa forme la plus simple.

Cette restriction aux dénominateurs premiers entre eux reflète le principe fondamental selon lequel une fraction est en forme canonique lorsqu'elle est réduite à sa forme la plus simple, sans possibilité de simplification supplémentaire.