Comment c'est que la quantité physique qu'on obtient en faisant ça, le nombre de Reynolds, est la seule qu'on peut construire avec ces 4 paramètres ?
Derivation

If we know that the relevant physical quantities in a physical system are only ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu }, then the Reynolds number is essentially fixed by the Buckingham π theorem.

In detail, since there are 4 quantities ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu }, but they have only 3 dimensions (length, time, mass), we can consider ρ x 1 u x 2 L x 3 μ x 4 {\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}, where x 1,..., x 4 {\displaystyle x_{1},...,x_{4}} are real numbers. Setting the three dimensions of ρ x 1 u x 2 L x 3 μ x 4 {\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}} to zero, we obtain 3 independent linear constraints, so the solution space has 1 dimension, and it is spanned by the vector (1, 1, 1, − 1) {\displaystyle (1,1,1,-1)}.

Thus, any dimensionless quantity constructed out of ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu } is a function of ρ u L μ − 1 {\displaystyle \rho uL\mu ^{-1}}, the Reynolds number.

Alternatively, we can take the incompressible Navier–Stokes equations (convective form): ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − 1 ρ ∇ p + g {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} } Remove the gravity term g {\displaystyle {\mathbf {g}}}, then the left side consists of inertial force ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} }, and viscous force ν ∇ 2 u {\displaystyle \nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }. Their ratio has the order of (u ⋅ ∇) u ν ∇ 2 u ∼ u 2 / L ν u / L 2 = u L ν {\displaystyle {\frac {(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} }{\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }}\sim {\frac {u^{2}/L}{\nu u/L^{2}}}={\frac {uL}{\nu }}}, the Reynolds number. This argument is written out in detail on the Scallop theorem page.
Dérivation

Si nous savons que les quantités physiques pertinentes dans un système physique ne sont que ρ, u, L, μ, alors le nombre de Reynolds est essentiellement fixé par le théorème π de Buckingham.

Plus en détail, puisque nous avons 4 quantités ρ, u, L, μ, mais qu'elles n'ont que 3 dimensions (longueur, temps, masse), nous pouvons considérer ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄, où x₁, ..., x₄ sont des nombres réels. En ramenant les trois dimensions de ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄ à zéro, nous obtenons 3 contraintes linéaires indépendantes, donc l'espace de solution a 1 dimension, et il est engendré par le vecteur (1, 1, 1, -1).

Ainsi, toute quantité sans dimension construite à partir de ρ, u, L, μ est une fonction de ρ u L μ⁻¹, le nombre de Reynolds.

Alternativement, nous pouvons prendre les équations de Navier-Stokes (forme convective) pour un fluide incompressible : ∂ u / ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇² u = − 1/ρ ∇ p + g. En supprimant le terme de gravité g, le côté gauche est constitué de la force d'inertie ∂ u / ∂ t + (u ⋅ ∇) u et de la force visqueuse ν ∇² u. Leur rapport a l'ordre de grandeur (u ⋅ ∇) u / (ν ∇² u) ∼ u² / L / (ν u / L²) = u L / ν, le nombre de Reynolds. Cet argument est détaillé sur la page du théorème du Palourde (Scallop theorem).
### Query ###
Comment c'est que la quantité physique qu'on obtient en faisant ça, le nombre de Reynolds, est la seule qu'on peut construire avec ces 4 paramètres ?

### Main Text ###
Derivation

If we know that the relevant physical quantities in a physical system are only ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu }, then the Reynolds number is essentially fixed by the Buckingham π theorem.

In detail, since there are 4 quantities ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu }, but they have only 3 dimensions (length, time, mass), we can consider ρ x 1 u x 2 L x 3 μ x 4 {\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}, where x 1,..., x 4 {\displaystyle x_{1},...,x_{4}} are real numbers. Setting the three dimensions of ρ x 1 u x 2 L x 3 μ x 4 {\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}} to zero, we obtain 3 independent linear constraints, so the solution space has 1 dimension, and it is spanned by the vector (1, 1, 1, − 1) {\displaystyle (1,1,1,-1)}.

Thus, any dimensionless quantity constructed out of ρ, u, L, μ {\displaystyle \rho,u,L,\mu } is a function of ρ u L μ − 1 {\displaystyle \rho uL\mu ^{-1}}, the Reynolds number.

Alternatively, we can take the incompressible Navier–Stokes equations (convective form): ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − 1 ρ ∇ p + g {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} } Remove the gravity term g {\displaystyle {\mathbf {g}}}, then the left side consists of inertial force ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} }, and viscous force ν ∇ 2 u {\displaystyle \nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }. Their ratio has the order of (u ⋅ ∇) u ν ∇ 2 u ∼ u 2 / L ν u / L 2 = u L ν {\displaystyle {\frac {(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} }{\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }}\sim {\frac {u^{2}/L}{\nu u/L^{2}}}={\frac {uL}{\nu }}}, the Reynolds number. This argument is written out in detail on the Scallop theorem page.

### Supplementary Text ###
Dérivation

Si nous savons que les quantités physiques pertinentes dans un système physique ne sont que ρ, u, L, μ, alors le nombre de Reynolds est essentiellement fixé par le théorème π de Buckingham.

Plus en détail, puisque nous avons 4 quantités ρ, u, L, μ, mais qu'elles n'ont que 3 dimensions (longueur, temps, masse), nous pouvons considérer ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄, où x₁, ..., x₄ sont des nombres réels. En ramenant les trois dimensions de ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄ à zéro, nous obtenons 3 contraintes linéaires indépendantes, donc l'espace de solution a 1 dimension, et il est engendré par le vecteur (1, 1, 1, -1).

Ainsi, toute quantité sans dimension construite à partir de ρ, u, L, μ est une fonction de ρ u L μ⁻¹, le nombre de Reynolds.

Alternativement, nous pouvons prendre les équations de Navier-Stokes (forme convective) pour un fluide incompressible : ∂ u / ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇² u = − 1/ρ ∇ p + g. En supprimant le terme de gravité g, le côté gauche est constitué de la force d'inertie ∂ u / ∂ t + (u ⋅ ∇) u et de la force visqueuse ν ∇² u. Leur rapport a l'ordre de grandeur (u ⋅ ∇) u / (ν ∇² u) ∼ u² / L / (ν u / L²) = u L / ν, le nombre de Reynolds. Cet argument est détaillé sur la page du théorème du Palourde (Scallop theorem).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment c'est que la quantité physique...est la seule qu'on peut construire"

Key semantic: "seule" (only/unique). User asking why Re specifically, not some other dimensionless combo.

Four parameters: ρ (density), u (velocity), L (length), μ (viscosity).

Three dimensions: M, L, T. → Dimensional analysis.

### 2. Buckingham π Theorem Application

Dimensional matrix setup:
```
ρ [ML⁻¹]   u [LT⁻¹]   L [L]     μ [MLT⁻¹]
```

Constraint equations:
```
Σxᵢ dimᵢ(ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄) = 0
```

Three independent constraints from three dimensions.

Solution space: one-dimensional. Spanned by (1,1,1,-1).

∴ Only dimensionless form: Re = ρuL/μ

### 3. Uniqueness Verification

Why this specific combination?

Reynolds number captures fundamental physics:
- Inertial forces vs viscous forces
- u²/L vs νu/L² scaling
- Critical flow transition parameter

Any other combination would either:
- Have wrong physical interpretation
- Not be dimensionless  
- Not capture the essential physics

### 4. Physical Constraint Check

⟨H≈0.8⟩ Think fluid flow... boundary layers forming, transition to turbulence, drag reduction... all governed by Re. The number emerges from the geometry of the problem, not arbitrary mathematical choice. Dimensionless groups are shadows of physical reality, and Re casts the clearest shadow.

Back to rigor: ● Uniqueness follows from π theorem + physical relevance.

! Key insight: "Seule" justified by:
1. Dimensional analysis (π theorem)
2. Physical interpretability  
3. Predictive power in fluid dynamics

NB: Other dimensionless groups (Fr, Eu, etc.) capture different physics. Re specifically for inertial-viscous balance.

∴ Reynolds number is unique because it's the only dimensionless quantity constructed from those four parameters that actually means something physically.

### Answer###
Le nombre de Reynolds est effectivement la seule quantité sans dimension que l'on puisse construire à partir de ces 4 paramètres grâce au théorème π de Buckingham.

Cette unicité découle du fait que vous avez 4 quantités physiques (ρ, u, L, μ) mais seulement 3 dimensions (longueur, temps, masse). Cela signifie que toute combinaison de ces paramètres peut s'écrire sous la forme ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄, où x₁, ..., x₄ sont des nombres réels.

Le théorème de Buckingham vous indique que l'espace des quantités sans dimension construites à partir de ces 4 paramètres est de dimension 1. Concrètement, en imposant que les 3 dimensions de cette expression s'annulent, vous obtenez 3 contraintes linéaires indépendantes. Cette condition détermine entièrement l'exposant de chaque paramètre, et l'unique solution non triviale est donnée par le vecteur (1,1,1,-1).

Cela signifie que toute quantité sans dimension construite à partir de ρ, u, L, μ est nécessairement une fonction de ρ u L μ⁻¹, qui correspond précisément au nombre de Reynolds.

Alternativement, vous pouvez le voir en considérant les équations de Navier-Stokes : le rapport entre les forces d'inertie (∂u/∂t + (u·∇)u) et les forces visqueuses (ν∇²u) est précisément de l'ordre de grandeur u²/L / (νu/L²) = u L / ν, le nombre de Reynolds.