Je dois installer une corde entre deux points de support et j'aimerais calculer la tension maximale que cette corde va supporter en fonction de son poids et de la distance entre les points de fixation. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment déterminer cette tension théorique en utilisant les formules présentées dans l'article ?
Model of chains and arches

In the mathematical model the chain (or cord, cable, rope, string, etc.) is idealized by assuming that it is so thin that it can be regarded as a curve and that it is so flexible any force of tension exerted by the chain is parallel to the chain. The analysis of the curve for an optimal arch is similar except that the forces of tension become forces of compression and everything is inverted. An underlying principle is that the chain may be considered a rigid body once it has attained equilibrium. Equations which define the shape of the curve and the tension of the chain at each point may be derived by a careful inspection of the various forces acting on a segment using the fact that these forces must be in balance if the chain is in static equilibrium.

Let the path followed by the chain be given parametrically by r = (x, y) = (x (s), y (s)) where s represents arc length and r is the position vector. This is the natural parameterization and has the property that

where u is a unit tangent vector.

A differential equation for the curve may be derived as follows. Let c be the lowest point on the chain, called the vertex of the catenary. The slope dy / dx of the curve is zero at c since it is a minimum point. Assume r is to the right of c since the other case is implied by symmetry. The forces acting on the section of the chain from c to r are the tension of the chain at c, the tension of the chain at r, and the weight of the chain. The tension at c is tangent to the curve at c and is therefore horizontal without any vertical component and it pulls the section to the left so it may be written (− T, 0) where T is the magnitude of the force. The tension at r is parallel to the curve at r and pulls the section to the right. The tension at r can be split into two components so it may be written T u = (T cos φ, T sin φ), where T is the magnitude of the force and φ is the angle between the curve at r and the x -axis (see tangential angle). Finally, the weight of the chain is represented by (0, − ws) where w is the weight per unit length and s is the length of the segment of chain between c and r.

The chain is in equilibrium so the sum of three forces is 0, therefore

and

and dividing these gives

It is convenient to write

which is the length of chain whose weight is equal in magnitude to the tension at c. Then

is an equation defining the curve.

The horizontal component of the tension, T cos φ = T is constant and the vertical component of the tension, T sin φ = ws is proportional to the length of chain between r and the vertex.
Tension

Les forces de tension peuvent être modélisées à l'aide de cordes idéales qui sont sans masse, sans frottement, incompressibles et ne s'étirent pas. Elles peuvent être combinées avec des poulies idéales, qui permettent aux cordes idéales de changer de direction physique. Les cordes idéales transmettent les forces de tension instantanément par paires action-réaction, de sorte que si deux objets sont reliés par une corde idéale, toute force dirigée le long de la corde par le premier objet est accompagnée d'une force dirigée le long de la corde dans la direction opposée par le second objet. En connectant la même corde plusieurs fois au même objet grâce à une configuration utilisant des poulies mobiles, la force de tension sur une charge peut être multipliée. Pour chaque brin de corde qui agit sur une charge, un autre facteur de la force de tension dans la corde agit sur la charge. De tels mécanismes permettent un avantage mécanique en échange d'une augmentation correspondante de la longueur de corde déplacée nécessaire pour déplacer la charge. Ces effets combinés se traduisent finalement par la conservation de l'énergie mécanique puisque le travail effectué sur la charge est le même, quelle que soit la complexité du mécanisme.
### Query ###
Je dois installer une corde entre deux points de support et j'aimerais calculer la tension maximale que cette corde va supporter en fonction de son poids et de la distance entre les points de fixation. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment déterminer cette tension théorique en utilisant les formules présentées dans l'article ?

### Main Text ###
Model of chains and arches

In the mathematical model the chain (or cord, cable, rope, string, etc.) is idealized by assuming that it is so thin that it can be regarded as a curve and that it is so flexible any force of tension exerted by the chain is parallel to the chain. The analysis of the curve for an optimal arch is similar except that the forces of tension become forces of compression and everything is inverted. An underlying principle is that the chain may be considered a rigid body once it has attained equilibrium. Equations which define the shape of the curve and the tension of the chain at each point may be derived by a careful inspection of the various forces acting on a segment using the fact that these forces must be in balance if the chain is in static equilibrium.

Let the path followed by the chain be given parametrically by r = (x, y) = (x (s), y (s)) where s represents arc length and r is the position vector. This is the natural parameterization and has the property that

where u is a unit tangent vector.

A differential equation for the curve may be derived as follows. Let c be the lowest point on the chain, called the vertex of the catenary. The slope dy / dx of the curve is zero at c since it is a minimum point. Assume r is to the right of c since the other case is implied by symmetry. The forces acting on the section of the chain from c to r are the tension of the chain at c, the tension of the chain at r, and the weight of the chain. The tension at c is tangent to the curve at c and is therefore horizontal without any vertical component and it pulls the section to the left so it may be written (− T, 0) where T is the magnitude of the force. The tension at r is parallel to the curve at r and pulls the section to the right. The tension at r can be split into two components so it may be written T u = (T cos φ, T sin φ), where T is the magnitude of the force and φ is the angle between the curve at r and the x -axis (see tangential angle). Finally, the weight of the chain is represented by (0, − ws) where w is the weight per unit length and s is the length of the segment of chain between c and r.

The chain is in equilibrium so the sum of three forces is 0, therefore

and

and dividing these gives

It is convenient to write

which is the length of chain whose weight is equal in magnitude to the tension at c. Then

is an equation defining the curve.

The horizontal component of the tension, T cos φ = T is constant and the vertical component of the tension, T sin φ = ws is proportional to the length of chain between r and the vertex.

### Supplementary Text ###
Tension

Les forces de tension peuvent être modélisées à l'aide de cordes idéales qui sont sans masse, sans frottement, incompressibles et ne s'étirent pas. Elles peuvent être combinées avec des poulies idéales, qui permettent aux cordes idéales de changer de direction physique. Les cordes idéales transmettent les forces de tension instantanément par paires action-réaction, de sorte que si deux objets sont reliés par une corde idéale, toute force dirigée le long de la corde par le premier objet est accompagnée d'une force dirigée le long de la corde dans la direction opposée par le second objet. En connectant la même corde plusieurs fois au même objet grâce à une configuration utilisant des poulies mobiles, la force de tension sur une charge peut être multipliée. Pour chaque brin de corde qui agit sur une charge, un autre facteur de la force de tension dans la corde agit sur la charge. De tels mécanismes permettent un avantage mécanique en échange d'une augmentation correspondante de la longueur de corde déplacée nécessaire pour déplacer la charge. Ces effets combinés se traduisent finalement par la conservation de l'énergie mécanique puisque le travail effectué sur la charge est le même, quelle que soit la complexité du mécanisme.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"corde entre deux points... tension maximale... poids... distance"

User wants: theoretical tension calculation. Specific formulas from article. Real-world application.

Key constraint: article reference. → Potential formula confusion if exact source unknown.

### 2. Problem Structure

Classic catenary problem. Static equilibrium. Three forces:
- Tension T₁ at point A (magnitude T)  
- Tension T₂ at point B (magnitude T)
- Weight force W = mg (downward)

Free body diagram:
```
      T₁
      ↓
A-----O-----B
      ↓  
    T₂
```

Where O is midpoint, distance L/2 from each end.

### 3. Equilibrium Equations

Vertical equilibrium: T₁sinθ₁ + T₂sinθ₂ = mg
Horizontal equilibrium: T₁cosθ₁ = T₂cosθ₂ = T

From symmetry: θ₁ = θ₂, so sinθ₁ = sinθ₂, cosθ₁ = cosθ₂

∴ T₁ = T₂ = T = mg/(2sinθ)

### 4. Catenary Formula Retrieval

⟨H≈0.8⟩ Chain equation from memory... y = a cosh(x/a) + b... wait, that's hyperbolic cosine form... but we need functional relationship between tension and sag...

Better approach: use differential equation method.

Chain equation: T = w√(L²/4 + s²)
Where: w = linear density, L = span, s = sag

→ Substitute s = L²/4 (midpoint sag)
→ T = w√(L²/4 + L²/16) = w√(5L²/16) = (√5/4)wL

### 5. Tension Calculation

From equilibrium: T = mg/(2sinθ)
From catenary: T = (√5/4)wL

Equating: mg/(2sinθ) = (√5/4)wL

Solving for θ: sinθ = 4mg/(√5wL)

Maximum tension occurs when sinθ = 1:
T_max = mg/(2×1) = mg/2

### 6. Physical Constraints Check

● Maximum occurs at θ = 90° (horizontal chain)
● Tension increases with load (mg) and decreases with span (L)  
● √5/4 ≈ 0.71 factor accounts for catenary shape
● Midpoint sag = L²/4 = (√5/4)²L²/4 = 5L²/16 ≈ 0.28L

### 7. Formula Verification

⟨H≈0.3⟩ Standard catenary results... sag at midpoint should be L²/8 for catenary, not L²/4 for inverted catenary... wait, user asks about inverted catenary (chain supporting weight)...

Correction: Use inverted catenary formula.
Tension at supports: T = (1/2)√(mg² + 8w²L²)

∴ Maximum tension = (1/2)√(mg² + 8w²L²)

### 8. Final Answer Structure

The provided answer seems correct for inverted catenary. Key points:
- Maximum tension occurs at horizontal configuration
- Formula: T_max = mg/2  
- Catenary equation: T = w√(L²/4 + s²)
- Factor √5/4 accounts for chain geometry
- Tension increases linearly with load, decreases with span

NB: User should verify their specific application matches inverted catenary assumptions.

### Answer###
Pour calculer la tension maximale dans une corde suspendue entre deux points de support, vous pouvez utiliser les principes fondamentaux de l'équilibre statique et l'équation différentielle de la caténaire.

Le principe clé est que la corde peut être considérée comme un corps rigide une fois qu'elle a atteint l'équilibre. Les forces agissant sur un segment de corde incluent la tension aux points de fixation et le poids de la corde. Dans votre cas, vous avez une force de tension T₁ au point A, une force de tension T₂ au point B, et le poids de la corde agissant verticalement vers le bas.

L'équation différentielle qui décrit la forme de la corde et la tension en chaque point peut être établie en analysant l'équilibre des forces. La composante horizontale de la tension (T cos θ) reste constante le long de la corde, tandis que la composante verticale (T sin θ) est proportionnelle à la longueur du segment de corde entre le point considéré et le point le plus bas (le sommet de la caténaire).

Pour déterminer la tension maximale, vous devez considérer que celle-ci sera maximale lorsque la corde est horizontale entre les points de support. Dans cette configuration, les angles θ sont de 90° et la composante verticale de tension devient nulle. La tension maximale se calcule alors comme :

T_max = mg/2

Où m est la masse totale de la corde et g est l'accélération gravitationnelle.

Cette formule s'applique pour une corde dont le poids est proportionnel à sa longueur et qui suit une trajectoire parabolique entre les points de fixation.