Si les fonctions non dérivables en zéro sont pathologiques mais typiques à la fois, qu'est-ce qui fait qu'elles sont plus typiques que pathologiques ?
Density of nowhere-differentiable functions

It turns out that the Weierstrass function is far from being an isolated example: although it is "pathological", it is also "typical" of continuous functions:
Densité des fonctions non-dérivables en nul

Il s'avère que la fonction de Weierstrass est loin d'être un exemple isolé : bien qu'elle soit « pathologique », elle est aussi « typique » des fonctions continues :
### Query ###
Si les fonctions non dérivables en zéro sont pathologiques mais typiques à la fois, qu'est-ce qui fait qu'elles sont plus typiques que pathologiques ?

### Main Text ###
Density of nowhere-differentiable functions

It turns out that the Weierstrass function is far from being an isolated example: although it is "pathological", it is also "typical" of continuous functions:

### Supplementary Text ###
Densité des fonctions non-dérivables en nul

Il s'avère que la fonction de Weierstrass est loin d'être un exemple isolé : bien qu'elle soit « pathologique », elle est aussi « typique » des fonctions continues :

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si les fonctions non dérivables en zéro sont pathologiques mais typiques à la fois" → If non-differentiable functions at zero are both pathological and typical simultaneously.

Key logical tension: How can something be both atypical (pathological) and typical? 

User seeks clarification of this apparent contradiction. French "pathologiques mais typiques" suggests English "pathological yet typical".

### 2. Mathematical Context Retrieval

● Need differentiable functions, continuous functions, measure theory
◐ Specific theorem about nowhere differentiable functions
○ Exact definition of "typical" in this context

→ Likely territory: Real analysis, late 19th/early 20th century mathematics
→ Key players: Weierstrass, possibly Lebesgue, Baire

### 3. Core Mathematical Facts

Weierstrass function: f(x) = Σ(n=0 to ∞) aⁿcos(bⁿπx) where 0 < a < 1, b odd, ab > 1 + 3.7.

Properties:
- Continuous everywhere ●
- Nowhere differentiable ●  
- Self-similar fractal structure ●

∴ Weierstrass function exemplifies the paradox user identifies.

### 4. Resolution Strategy

Need to distinguish:
- Pathological properties: exotic behavior, non-intuitive
- Typical properties: measure-theoretic prevalence

! Key insight: "Typical" here means "generic" or "almost everywhere" in appropriate sense.

### 5. Mathematical Verification

⟨H≈0.8⟩ *Weierstrass discovered this... not just one function but entire class... dense sets of nowhere differentiable functions... Baire category theorem lurking in background... continuous functions form "small" sets in appropriate topology...*

Theorem (informal): Among continuous functions on [0,1], differentiable functions form measure-zero set.

NB: This explains how pathological functions can be typical.

### 6. Synthesis

Resolution: Pathological = unusual from intuitive standpoint
Typical = frequent from measure-theoretic standpoint

The paradox dissolves when we distinguish:
- Descriptive set theory (typicality)  
- Computational/constructive mathematics (pathology)

Weierstrass function is pathological as constructive object.
But typical as member of continuous function space.

∴ Both assessments correct in different mathematical contexts.

---

*Physical constraint check: Mathematics doesn't contradict itself. User's question reflects genuine conceptual tension in foundations of analysis.*

*Answer structure: Acknowledge tension → Explain measure-theoretic typicality → Resolve paradox via distinction between descriptive and constructive properties.*

### Answer###
Cette apparente contradiction s'explique par le fait que les fonctions continues non dérivables en zéro, bien que considérées comme pathologiques, forment en réalité une classe extrêmement large et "dense" dans l'espace des fonctions continues.

La fonction de Weierstrass illustre parfaitement ce paradoxe : elle présente des propriétés exotiques - comme l'absence totale de dérivabilité sur tout ℝ - qui la rendent "pathologique" au sens où elle diffère considérablement du comportement intuitif des fonctions. Cependant, malgré cette nature "pathologique", elle appartient à une classe de fonctions qui est typique au sens statistique : la plupart des fonctions continues se comportent de manière similaire à la fonction de Weierstrass en ce qui concerne la dérivabilité.

Cette dualité s'explique par le théorème selon lequel les fonctions continues non dérivables forment un ensemble "dense" dans l'espace des fonctions continues. Cela signifie que presque toutes les fonctions continues que l'on peut rencontrer dans les applications pratiques partagent cette propriété fondamentale d'être non dérivables en un point donné, malgré leur apparence "normale" et leur bon comportement global.

Ainsi, une fonction non dérivable en zéro est pathologique dans le sens où elle présente des comportements locaux exotiques, mais elle est typique dans le sens où elle représente la règle plutôt que l'exception parmi les fonctions continues réelles.