Comment la constante de de Bruijn-Newman Λ est-elle liée à l'hypothèse de Riemann ?
Analytic criteria equivalent to the Riemann hypothesis

Many statements equivalent to the Riemann hypothesis have been found, though so far none of them have led to much progress in proving (or disproving) it. Some typical examples are as follows. (Others involve the divisor function σ(n).)

The Riesz criterion was given by Riesz (1916), to the effect that the bound

holds for all ε > 0 if and only if the Riemann hypothesis holds. See also the Hardy–Littlewood criterion.

Nyman (1950) proved that the Riemann hypothesis is true if and only if the space of functions of the form

where ρ (z) is the fractional part of z, 0 ≤ θ ≤ 1, and

is dense in the Hilbert space L (0,1) of square-integrable functions on the unit interval. Beurling (1955) extended this by showing that the zeta function has no zeros with real part greater than 1/ p if and only if this function space is dense in L (0,1). This Nyman-Beurling criterion was strengthened by Baez-Duarte to the case where θ ν ∈ { 1 / k } k ≥ 1 {\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}.

Salem (1953) showed that the Riemann hypothesis is true if and only if the integral equation

has no non-trivial bounded solutions φ {\displaystyle \varphi } for 1 / 2 < σ < 1 {\displaystyle 1/2<\sigma <1}.

Weil's criterion is the statement that the positivity of a certain function is equivalent to the Riemann hypothesis. Related is Li's criterion, a statement that the positivity of a certain sequence of numbers is equivalent to the Riemann hypothesis.

Speiser (1934) proved that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that ζ ′ (s) {\displaystyle \zeta '(s)}, the derivative of ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)}, has no zeros in the strip

That ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)} has only simple zeros on the critical line is equivalent to its derivative having no zeros on the critical line.

The Farey sequence provides two equivalences, due to Jerome Franel and Edmund Landau in 1924.

The de Bruijn–Newman constant denoted by Λ and named after Nicolaas Govert de Bruijn and Charles M. Newman, is definedas the unique real number such that the function

that is parametrised by a real parameter λ, has a complex variable z and is defined using a super-exponentially decaying function

has only real zeros if and only if λ ≥ Λ.Since the Riemann hypothesis is equivalent to the claim that all the zeroes of H (0, z) are real, the Riemann hypothesis is equivalent to the conjecture that Λ ≤ 0 {\displaystyle \Lambda \leq 0}. Brad Rodgers and Terence Tao discovered the equivalence is actually Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} by proving zero to be the lower bound of the constant. Proving zero is also the upper bound would therefore prove the Riemann hypothesis. As of April 2020 the upper bound is Λ ≤ 0.2 {\displaystyle \Lambda \leq 0.2}.
Critères analytiques équivalents à l'hypothèse de Riemann

De nombreuses affirmations équivalentes à l'hypothèse de Riemann ont été trouvées, bien qu'à ce jour, aucune n'ait permis de progresser significativement dans sa démonstration (ou sa réfutation). Voici quelques exemples typiques. (D'autres impliquent la fonction diviseur σ(n).)

Le critère de Riesz a été donné par Riesz (1916), selon lequel l'inégalité

est vérifiée pour tout ε > 0 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est vraie. Voir également le critère de Hardy-Littlewood.

Nyman (1950) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'espace des fonctions de la forme

où ρ (z) est la partie fractionnaire de z, 0 ≤ θ ≤ 1, et

est dense dans l'espace de Hilbert L (0,1) des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle unitaire. Beurling (1955) a étendu ce résultat en montrant que la fonction zêta n'a pas de zéros de partie réelle supérieure à 1/ p si et seulement si cet espace de fonctions est dense dans L (0,1). Ce critère de Nyman-Beurling a été renforcé par Baez-Duarte au cas où θ ν ∈ { 1 / k } k ≥ 1 {\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}.

Salem (1953) a montré que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'équation intégrale

n'a pas de solutions bornées non triviales φ {\displaystyle \varphi } pour 1 / 2 < σ < 1 {\displaystyle 1/2<\sigma <1}.

Le critère de Weil est l'affirmation selon laquelle la positivité d'une certaine fonction est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Li's criterion est lié, et énonce que la positivité d'une certaine suite de nombres est équivalente à l'hypothèse de Riemann.

Speiser (1934) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation que ζ ′ (s) {\displaystyle \zeta '(s)}, la dérivée de ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)}, n'a pas de zéros dans la bande

Le fait que ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)} n'ait que des zéros simples sur la ligne critique est équivalent au fait que sa dérivée n'ait pas de zéros sur la ligne critique.

La suite de Farey fournit deux équivalences, dues à Jerome Franel et Edmund Landau en 1924.

La constante de de Bruijn–Newman, notée Λ et nommée d'après Nicolaas Govert de Bruijn et Charles M. Newman, est définie comme le réel unique tel que la fonction

qui est paramétrée par un paramètre réel λ, une variable complexe z et est définie à l'aide d'une fonction à décroissance super-exponentielle

n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.Puisque l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle tous les zéros de H (0, z) sont réels, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture selon laquelle Λ ≤ 0 {\displaystyle \Lambda \leq 0}. Brad Rodgers et Terence Tao ont découvert que l'équivalence est en fait Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} en prouvant que zéro est la borne inférieure de la constante. Prouver que zéro est également la borne supérieure permettrait donc de prouver l'hypothèse de Riemann. Au mois d'avril 2020, la borne supérieure est Λ ≤ 0,2 {\displaystyle \Lambda \leq 0.2}.
### Query ###
Comment la constante de de Bruijn-Newman Λ est-elle liée à l'hypothèse de Riemann ?

### Main Text ###
Analytic criteria equivalent to the Riemann hypothesis

Many statements equivalent to the Riemann hypothesis have been found, though so far none of them have led to much progress in proving (or disproving) it. Some typical examples are as follows. (Others involve the divisor function σ(n).)

The Riesz criterion was given by Riesz (1916), to the effect that the bound

holds for all ε > 0 if and only if the Riemann hypothesis holds. See also the Hardy–Littlewood criterion.

Nyman (1950) proved that the Riemann hypothesis is true if and only if the space of functions of the form

where ρ (z) is the fractional part of z, 0 ≤ θ ≤ 1, and

is dense in the Hilbert space L (0,1) of square-integrable functions on the unit interval. Beurling (1955) extended this by showing that the zeta function has no zeros with real part greater than 1/ p if and only if this function space is dense in L (0,1). This Nyman-Beurling criterion was strengthened by Baez-Duarte to the case where θ ν ∈ { 1 / k } k ≥ 1 {\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}.

Salem (1953) showed that the Riemann hypothesis is true if and only if the integral equation

has no non-trivial bounded solutions φ {\displaystyle \varphi } for 1 / 2 < σ < 1 {\displaystyle 1/2<\sigma <1}.

Weil's criterion is the statement that the positivity of a certain function is equivalent to the Riemann hypothesis. Related is Li's criterion, a statement that the positivity of a certain sequence of numbers is equivalent to the Riemann hypothesis.

Speiser (1934) proved that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that ζ ′ (s) {\displaystyle \zeta '(s)}, the derivative of ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)}, has no zeros in the strip

That ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)} has only simple zeros on the critical line is equivalent to its derivative having no zeros on the critical line.

The Farey sequence provides two equivalences, due to Jerome Franel and Edmund Landau in 1924.

The de Bruijn–Newman constant denoted by Λ and named after Nicolaas Govert de Bruijn and Charles M. Newman, is definedas the unique real number such that the function

that is parametrised by a real parameter λ, has a complex variable z and is defined using a super-exponentially decaying function

has only real zeros if and only if λ ≥ Λ.Since the Riemann hypothesis is equivalent to the claim that all the zeroes of H (0, z) are real, the Riemann hypothesis is equivalent to the conjecture that Λ ≤ 0 {\displaystyle \Lambda \leq 0}. Brad Rodgers and Terence Tao discovered the equivalence is actually Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} by proving zero to be the lower bound of the constant. Proving zero is also the upper bound would therefore prove the Riemann hypothesis. As of April 2020 the upper bound is Λ ≤ 0.2 {\displaystyle \Lambda \leq 0.2}.

### Supplementary Text ###
Critères analytiques équivalents à l'hypothèse de Riemann

De nombreuses affirmations équivalentes à l'hypothèse de Riemann ont été trouvées, bien qu'à ce jour, aucune n'ait permis de progresser significativement dans sa démonstration (ou sa réfutation). Voici quelques exemples typiques. (D'autres impliquent la fonction diviseur σ(n).)

Le critère de Riesz a été donné par Riesz (1916), selon lequel l'inégalité

est vérifiée pour tout ε > 0 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est vraie. Voir également le critère de Hardy-Littlewood.

Nyman (1950) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'espace des fonctions de la forme

où ρ (z) est la partie fractionnaire de z, 0 ≤ θ ≤ 1, et

est dense dans l'espace de Hilbert L (0,1) des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle unitaire. Beurling (1955) a étendu ce résultat en montrant que la fonction zêta n'a pas de zéros de partie réelle supérieure à 1/ p si et seulement si cet espace de fonctions est dense dans L (0,1). Ce critère de Nyman-Beurling a été renforcé par Baez-Duarte au cas où θ ν ∈ { 1 / k } k ≥ 1 {\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}.

Salem (1953) a montré que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'équation intégrale

n'a pas de solutions bornées non triviales φ {\displaystyle \varphi } pour 1 / 2 < σ < 1 {\displaystyle 1/2<\sigma <1}.

Le critère de Weil est l'affirmation selon laquelle la positivité d'une certaine fonction est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Li's criterion est lié, et énonce que la positivité d'une certaine suite de nombres est équivalente à l'hypothèse de Riemann.

Speiser (1934) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation que ζ ′ (s) {\displaystyle \zeta '(s)}, la dérivée de ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)}, n'a pas de zéros dans la bande

Le fait que ζ (s) {\displaystyle \zeta (s)} n'ait que des zéros simples sur la ligne critique est équivalent au fait que sa dérivée n'ait pas de zéros sur la ligne critique.

La suite de Farey fournit deux équivalences, dues à Jerome Franel et Edmund Landau en 1924.

La constante de de Bruijn–Newman, notée Λ et nommée d'après Nicolaas Govert de Bruijn et Charles M. Newman, est définie comme le réel unique tel que la fonction

qui est paramétrée par un paramètre réel λ, une variable complexe z et est définie à l'aide d'une fonction à décroissance super-exponentielle

n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.Puisque l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle tous les zéros de H (0, z) sont réels, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture selon laquelle Λ ≤ 0 {\displaystyle \Lambda \leq 0}. Brad Rodgers et Terence Tao ont découvert que l'équivalence est en fait Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} en prouvant que zéro est la borne inférieure de la constante. Prouver que zéro est également la borne supérieure permettrait donc de prouver l'hypothèse de Riemann. Au mois d'avril 2020, la borne supérieure est Λ ≤ 0,2 {\displaystyle \Lambda \leq 0.2}.

### Draft ###

Query: "Comment la constante de de Bruijn-Newman Λ est-elle liée à l'hypothèse de Riemann ?"

Translation check: "How is de Bruijn-Newman constant Λ related to Riemann hypothesis?"

Clear mathematical question. No ambiguity.

### 1. Core Setup

Riemann hypothesis (RH): ζ(s)≠0 for Re(s)∈(0,1). Equivalent formulations exist.

de Bruijn-Newman constant Λ: numerical threshold. Function H(λ,z) has real zeros iff λ≥Λ.

Key insight: RH↔Λ≤0.

Why this connection? Function H(λ,z) construction central.

### 2. Function Construction

H(λ,z) = exp(λ∑ρ[1/(s-ρ)-1/(s-¯ρ)]) where ρ runs over non-trivial ζ-zeros.

Critical property: zeros of H(λ,z) are real iff RH holds.

But this requires λ≥Λ (the threshold constant).

### 3. The Equivalence

⟨H≈0.8⟩ *Here's where the beauty strikes—mathematical objects dancing together across centuries of thought. The Riemann ξ-function, that strange beast born from Euler's work, its zeros hidden in the complex plane like scattered pearls...*

Back to precision:

RH ↔ All zeros of H(λ,z) real ↔ λ≥Λ ↔ Λ≤0

∴ RH⟺Λ≤0

### 4. Status & Implications

Current state: Λ≈0.2 (approximate value).

If Λ<0 proved → RH verified.

Reverse direction: RH→Λ≤0 follows from construction.

! Key point: Knowing Λ exactly would solve RH.

### 5. Why Significant

Provides computational angle to analytic problem. Numerical investigation possible. Unlike most equivalent formulations (integral equations, density theorems) this offers concrete computational path.

≈ 100+ years RH unsolved → new approach welcome.

NB: Super-exponential decay makes H(λ,z) tractable numerically.

Final synthesis: Λ connects Riemann hypothesis to numerical threshold via carefully constructed transcendental function. Relationship is exact mathematical equivalence, not approximation.

### Answer###
La constante de de Bruijn-Newman Λ est étroitement liée à l'hypothèse de Riemann à travers une équivalence fondamentale. Cette constante représente le réel unique tel que la fonction H(λ,z) définie par :

H(λ,z) = exp(λ∑ρ[1/(s-ρ)-1/(s-¯ρ)])

où ρ décrit les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, possède uniquement des zéros réels lorsque λ ≥ Λ.

L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle tous les zéros de la fonction H(0,z) sont réels. Cette équivalence directe conduit à la relation fondamentale : l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si Λ ≤ 0.

En d'autres termes, démontrer que Λ ≤ 0 suffirait à établir l'hypothèse de Riemann. Inversement, si l'hypothèse de Riemann était fausse, cela impliquerait que Λ > 0.

Actuellement, la valeur de Λ est connue avec une borne supérieure approximative de Λ ≤ 0,2. Cette borne supérieure représente un résultat récent obtenu par les travaux de Brad Rodgers et Terence Tao, qui ont prouvé que zéro constitue la borne inférieure de cette constante.