Pourquoi certaines phrases avec des lettres on sait si elles sont vraies ou fausses alors que d'autres pas, et comment ça marche avec les lettres qui changent de place ?
Free and bound variables

In a formula, a variable may occur free or bound (or both). One formalization of this notion is due to Quine, first the concept of a variable occurrence is defined, then whether a variable occurrence is free or bound, then whether a variable symbol overall is free or bound. In order to distinguish different occurrences of the identical symbol x, each occurrence of a variable symbol x in a formula φ is identified with the initial substring of φ up to the point at which said instance of the symbol x appears. Then, an occurrence of x is said to be bound if that occurrence of x lies within the scope of at least one of either ∃ x {\displaystyle \exists x} or ∀ x {\displaystyle \forall x}. Finally, x is bound in φ if all occurrences of x in φ are bound.

Intuitively, a variable symbol is free in a formula if at no point is it quantified: in ∀ y P (x, y), the sole occurrence of variable x is free while that of y is bound. The free and bound variable occurrences in a formula are defined inductively as follows.

For example, in ∀ x ∀ y (P (x) → Q (x, f (x), z)), x and y occur only bound, z occurs only free, and w is neither because it does not occur in the formula.

Free and bound variables of a formula need not be disjoint sets: in the formula P (x) → ∀ x Q (x), the first occurrence of x, as argument of P, is free while the second one, as argument of Q, is bound.

A formula in first-order logic with no free variable occurrences is called a first-order sentence. These are the formulas that will have well-defined truth values under an interpretation. For example, whether a formula such as Phil(x) is true must depend on what x represents. But the sentence ∃ x Phil(x) will be either true or false in a given interpretation.
Une lettre peut avoir plusieurs variantes, ou allographes, liées à des variations dans le style d'écriture manuscrite ou d'impression. Certains systèmes d'écriture ont deux types majeurs d'allographes pour chaque lettre : une forme majuscule (également appelée capitale ou majuscule) et une forme minuscule. Les lettres majuscules et minuscules représentent le même son, mais remplissent des fonctions différentes dans l'écriture. Les lettres capitales sont le plus souvent utilisées au début d'une phrase, comme la première lettre d'un nom propre ou d'un titre, ou dans les titres ou les inscriptions. Elles peuvent également servir à d'autres fins, comme dans la langue allemande où tous les noms communs commencent par une majuscule.

Les termes majuscule et minuscule ont vu le jour à l'époque de la composition typographique pour les presses d'impression. Les caractères individuels étaient conservés dans des compartiments spécifiques de tiroirs dans une caisse à caractères. Les lettres capitales étaient stockées dans un tiroir supérieur ou une case supérieure.
### Query ###
Pourquoi certaines phrases avec des lettres on sait si elles sont vraies ou fausses alors que d'autres pas, et comment ça marche avec les lettres qui changent de place ?

### Main Text ###
Free and bound variables

In a formula, a variable may occur free or bound (or both). One formalization of this notion is due to Quine, first the concept of a variable occurrence is defined, then whether a variable occurrence is free or bound, then whether a variable symbol overall is free or bound. In order to distinguish different occurrences of the identical symbol x, each occurrence of a variable symbol x in a formula φ is identified with the initial substring of φ up to the point at which said instance of the symbol x appears. Then, an occurrence of x is said to be bound if that occurrence of x lies within the scope of at least one of either ∃ x {\displaystyle \exists x} or ∀ x {\displaystyle \forall x}. Finally, x is bound in φ if all occurrences of x in φ are bound.

Intuitively, a variable symbol is free in a formula if at no point is it quantified: in ∀ y P (x, y), the sole occurrence of variable x is free while that of y is bound. The free and bound variable occurrences in a formula are defined inductively as follows.

For example, in ∀ x ∀ y (P (x) → Q (x, f (x), z)), x and y occur only bound, z occurs only free, and w is neither because it does not occur in the formula.

Free and bound variables of a formula need not be disjoint sets: in the formula P (x) → ∀ x Q (x), the first occurrence of x, as argument of P, is free while the second one, as argument of Q, is bound.

A formula in first-order logic with no free variable occurrences is called a first-order sentence. These are the formulas that will have well-defined truth values under an interpretation. For example, whether a formula such as Phil(x) is true must depend on what x represents. But the sentence ∃ x Phil(x) will be either true or false in a given interpretation.

### Supplementary Text ###
Une lettre peut avoir plusieurs variantes, ou allographes, liées à des variations dans le style d'écriture manuscrite ou d'impression. Certains systèmes d'écriture ont deux types majeurs d'allographes pour chaque lettre : une forme majuscule (également appelée capitale ou majuscule) et une forme minuscule. Les lettres majuscules et minuscules représentent le même son, mais remplissent des fonctions différentes dans l'écriture. Les lettres capitales sont le plus souvent utilisées au début d'une phrase, comme la première lettre d'un nom propre ou d'un titre, ou dans les titres ou les inscriptions. Elles peuvent également servir à d'autres fins, comme dans la langue allemande où tous les noms communs commencent par une majuscule.

Les termes majuscule et minuscule ont vu le jour à l'époque de la composition typographique pour les presses d'impression. Les caractères individuels étaient conservés dans des compartiments spécifiques de tiroirs dans une caisse à caractères. Les lettres capitales étaient stockées dans un tiroir supérieur ou une case supérieure.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi certaines phrases avec des lettres on sait si elles sont vraies ou fausses alors que d'autres pas"
→ Why some letter-phrase combinations known true/false vs others unknown
→ Key semantic: "lettres" = quantified variables in logical formulas

"comment ça marche avec les lettres qui changent de place"  
→ How does it work with variables switching positions?

※ This is about bound vs free variables in predicate logic, not cryptography/substitutional ciphers

### 2. Core Mechanism

**Free variables** → truth-value dependent on assignment
- Example: `Phil(x)` - true/false depends on x's interpretation  
- "phrase avec des lettres" = formula with free variables

**Bound variables** → quantified expressions, fixed truth-value
- `∀x Phil(x)` - universally quantified, either true or false regardless of x
- Variables bound by quantifiers (`∀`, `∃`) don't contribute to truth-value uncertainty

### 3. Position Independence

Critical insight: Bound variable position irrelevant to truth-value.

**Quantifier scope determines binding**
- `∀x (P(x) ∧ Q(x))` vs `∀x P(x) ∧ ∀x Q(x)`  
- Same logical content, different surface structure
- x bound in both cases

**Free variable scope matters**
- `Phil(x) ∧ Phil(y)` vs `Phil(x) ∧ Phil(x)`  
- Multiple free variables → truth-value assignment required
- Position affects interpretation, not logical structure

### 4. Formal Definition

Variable occurrence classified as:
- **Free occurrence**: unbound within formula scope
- **Bound occurrence**: within quantifier scope (`∀x`, `∃x`)
- **Scope**: region where binding quantifier applies

∴ Truth-value determination depends entirely on:
1. Presence of free variables (makes truth-value incomplete)
2. Scope relationships (determines which variables bound)
3. Interpretations assigned to free variables

**Key principle**: Quantifier binding is [scope-sensitive](https://en.wikipedia.org/wiki/Scope_(linguistics)#In_formal_logic), position-independent.

### 5. Practical Example

Formula: `∀x (P(x) ∧ Q(x))`
- All x occurrences bound (under ∀x)
- Truth-value: T or F depending on P(x) ∧ Q(x) relationship
- Independent of x position within formula

Compare: `P(x) ∧ Q(y)`  
- x,y both free
- Truth-value depends on interpretation of x,y
- "Phrase with letters" becomes truth-value incomplete

### Answer###
La différence que vous observez entre les phrases avec lettres concerne le concept fondamental de variables libres et variables liées en logique formelle.

Certaines formules, comme "Phil(x)", ne peuvent pas avoir de valeur de vérité bien définie car elles contiennent des variables libres. La vérité de telles formules dépend de ce que représente la variable - elle devient vraie ou fausse selon l'interprétation spécifique donnée à cette variable.

D'autres formules, comme "∀x Phil(x)", n'ont pas de variables libres et constituent des phrases du premier ordre. Ces formules ont une valeur de vérité bien définie : elles seront soit vraies, soit fausses selon leur structure logique, indépendamment de substitutions particulières.

Les variables liées sont celles qui apparaissent sous le signe d'un quantificateur (comme ∀ ou ∃). Par exemple, dans "∀x P(x, y)", la variable x est liée par le quantificateur ∀x et n'affecte pas la valeur de vérité de manière indépendante.

La position des lettres n'influence pas nécessairement la valeur de vérité d'une formule. Ce qui compte, c'est si une variable est libre ou liée dans le contexte de la formule. Une variable liée peut changer de position sans modifier le fait qu'elle soit liée, et cela n'affecte pas la structure logique fondamentale de la formule.

Cette distinction entre variables libres et liées explique pourquoi certaines combinaisons de lettres ont des valeurs de vérité fixes, tandis que d'autres dépendent de contextes spécifiques.