Est-ce que deux points d'un espace métrique sont identiques si et seulement si leur distance est nulle
Definition

Formally, a metric space is an ordered pair (M, d) where M is a set and d is a metric on M, i.e., a function d: M × M → R {\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} } satisfying the following axioms for all points x, y, z ∈ M {\displaystyle x,y,z\in M}:

If the metric d is unambiguous, one often refers by abuse of notation to "the metric space M ".

By taking all axioms except the second, one can show that distance is always non-negative: 0 = d (x, x) ≤ d (x, y) + d (y, x) = 2 d (x, y) {\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)} Therefore the second axiom can be weakened to If x ≠ y, then d (x, y) ≠ 0 {\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0} and combined with the first to make d (x, y) = 0 ⟺ x = y {\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}.
Espaces métriques et espaces uniformes

Les distances entre points sont définies dans un espace métrique. Les isomorphismes entre espaces métriques sont appelés isométries. Tout espace métrique est également un espace topologique. Un espace topologique est appelé métrisable s'il supporte un espace métrique. Toutes les variétés sont métrisables.

Dans un espace métrique, on peut définir des ensembles bornés et des suites de Cauchy. Un espace métrique est dit complet si toutes les suites de Cauchy convergent. Tout espace incomplet peut être plongé isométriquement, en tant que sous-ensemble dense, dans un espace complet (la complétion). Tout espace métrique compact est complet ; la droite réelle est non compacte mais complète ; l'intervalle ouvert (0,1) est incomplet.

Tout espace euclidien est également un espace métrique complet. De plus, toutes les notions géométriques inhérentes à un espace euclidien peuvent être caractérisées en termes de sa métrique. Par exemple, le segment de droite reliant deux points donnés A et C est constitué de tous les points B tels que la distance entre A et C est égale à la somme de deux distances, entre A et B et entre B et C.

La dimension de Hausdorff (liée au nombre de petites boules qui recouvrent l'ensemble donné) s'applique aux espaces métriques, et peut être non entière (en particulier pour les fractales). Pour un espace euclidien n-dimensionnel, la dimension de Hausdorff est égale à n.

Les espaces uniformes n'introduisent pas de distances, mais permettent néanmoins d'utiliser la continuité uniforme, les suites de Cauchy (ou les filtres ou les réseaux), la complétude et la complétion. Tout espace uniforme est également un espace topologique. Tout espace topologique linéaire (métrisable ou non) est également un espace uniforme, et est complet en dimension finie mais généralement incomplet en dimension infinie. Plus généralement, tout groupe topologique commutatif est également un espace uniforme. Un groupe topologique non commutatif, en revanche, porte deux structures uniformes, l'une invariante par la gauche, l'autre invariante par la droite.
### Query ###
Est-ce que deux points d'un espace métrique sont identiques si et seulement si leur distance est nulle

### Main Text ###
Definition

Formally, a metric space is an ordered pair (M, d) where M is a set and d is a metric on M, i.e., a function d: M × M → R {\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} } satisfying the following axioms for all points x, y, z ∈ M {\displaystyle x,y,z\in M}:

If the metric d is unambiguous, one often refers by abuse of notation to "the metric space M ".

By taking all axioms except the second, one can show that distance is always non-negative: 0 = d (x, x) ≤ d (x, y) + d (y, x) = 2 d (x, y) {\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)} Therefore the second axiom can be weakened to If x ≠ y, then d (x, y) ≠ 0 {\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0} and combined with the first to make d (x, y) = 0 ⟺ x = y {\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}.

### Supplementary Text ###
Espaces métriques et espaces uniformes

Les distances entre points sont définies dans un espace métrique. Les isomorphismes entre espaces métriques sont appelés isométries. Tout espace métrique est également un espace topologique. Un espace topologique est appelé métrisable s'il supporte un espace métrique. Toutes les variétés sont métrisables.

Dans un espace métrique, on peut définir des ensembles bornés et des suites de Cauchy. Un espace métrique est dit complet si toutes les suites de Cauchy convergent. Tout espace incomplet peut être plongé isométriquement, en tant que sous-ensemble dense, dans un espace complet (la complétion). Tout espace métrique compact est complet ; la droite réelle est non compacte mais complète ; l'intervalle ouvert (0,1) est incomplet.

Tout espace euclidien est également un espace métrique complet. De plus, toutes les notions géométriques inhérentes à un espace euclidien peuvent être caractérisées en termes de sa métrique. Par exemple, le segment de droite reliant deux points donnés A et C est constitué de tous les points B tels que la distance entre A et C est égale à la somme de deux distances, entre A et B et entre B et C.

La dimension de Hausdorff (liée au nombre de petites boules qui recouvrent l'ensemble donné) s'applique aux espaces métriques, et peut être non entière (en particulier pour les fractales). Pour un espace euclidien n-dimensionnel, la dimension de Hausdorff est égale à n.

Les espaces uniformes n'introduisent pas de distances, mais permettent néanmoins d'utiliser la continuité uniforme, les suites de Cauchy (ou les filtres ou les réseaux), la complétude et la complétion. Tout espace uniforme est également un espace topologique. Tout espace topologique linéaire (métrisable ou non) est également un espace uniforme, et est complet en dimension finie mais généralement incomplet en dimension infinie. Plus généralement, tout groupe topologique commutatif est également un espace uniforme. Un groupe topologique non commutatif, en revanche, porte deux structures uniformes, l'une invariante par la gauche, l'autre invariante par la droite.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Est-ce que deux points... identiques si et seulement si leur distance est nulle"

Breaking down: "identiques" vs "distance nulle". Are these equivalent notions?

? Translation nuance: "identiques" = "égaux" = "the same"? English "identical" stronger than mathematical "equal" sometimes.

→ Core question: Metric space equivalence. Bidirectional implication check needed.

### 2. Metric Space Theory Retrieval

Distance function d: X × X → ℝ⁺ ∪ {0}

Metric axioms:
- d(x,y) ≥ 0 
- d(x,x) = 0
- d(x,y) = d(y,x)
- d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (triangle inequality)

! Key insight: Symmetry axiom makes triangle inequality sharp when x≠y.

### 3. Logical Analysis

Need to prove: x = y ⟺ d(x,y) = 0

Forward direction (⇐):
If d(x,y) = 0, then by triangle inequality:
0 = d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) for all z
∴ d(x,z) = 0, d(z,y) = 0 for all z
∴ x = y (uniqueness)

Backward direction (⇒):
If x = y, then d(x,y) = 0 by definition of metric.

### 4. Verification & Counterexamples

Check: Is this always true in every metric space?

☑ Yes. Follows directly from metric axioms.
☐ Could there be pathological examples?

Consider: Manhattan metric, taxicab geometry, etc.
Still holds: x = y ⟺ d(x,y) = 0

### 5. Response Structure

Direct affirmative answer.
Explain equivalence via metric properties.
Reference symmetry axiom (implicit in French "identiques").
Note this is fundamental metric space property.

∴ Two points identical ⟺ zero distance.

### Answer###
Oui, cette propriété est effectivement vraie dans tout espace métrique. 

Plus précisément, pour deux points x et y d'un espace métrique, on a : d(x,y) = 0 ⟺ x = y. Cela signifie que deux points sont identiques (ou "égaux") si et seulement si leur distance est nulle.

Cette équivalence découle directement des axiomes fondamentaux d'une métrique. La notion de distance est conçue de manière que la distance entre deux points soit nulle si et seulement si ces points coïncident. L'axiome de symétrie de la distance, combiné à l'inégalité triangulaire, garantit que cette condition est satisfaite.

Cette propriété est fondamentale en géométrie métrique et constitue l'un des concepts de base des espaces métriques. Elle permet de passer de manière équivalente entre les notions de proximité géométrique et d'égalité ponctuelle.