Comment ça se fait que quand on a une famille d'ensembles qui est stable pour les unions et intersections, on peut faire des joints et des rencontres, mais sinon ça marche pas pareil ?
Examples

If some power set ℘ (X) {\displaystyle \wp (X)} is partially ordered in the usual way (by ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }) then joins are unions and meets are intersections; in symbols, ∨ = ∪ and ∧ = ∩ {\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ and }}\,\wedge \,=\,\cap \,} (where the similarity of these symbols may be used as a mnemonic for remembering that ∨ {\displaystyle \,\vee \,} denotes the join/supremum and ∧ {\displaystyle \,\wedge \,} denotes the meet/infimum).

More generally, suppose that F ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing } is a family of subsets of some set X {\displaystyle X} that is partially ordered by ⊆. {\displaystyle \,\subseteq.\,} If F {\displaystyle {\mathcal {F}}} is closed under arbitrary unions and arbitrary intersections and if A, B, (F i) i ∈ I {\displaystyle A,B,\left(F_{i}\right)_{i\in I}} belong to F {\displaystyle {\mathcal {F}}} then

But if F {\displaystyle {\mathcal {F}}} is not closed under unions then A ∨ B {\displaystyle A\vee B} exists in (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} if and only if there exists a unique ⊆ {\displaystyle \,\subseteq } -smallest J ∈ F {\displaystyle J\in {\mathcal {F}}} such that A ∪ B ⊆ J. {\displaystyle A\cup B\subseteq J.} For example, if F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}} then { 1 } ∨ { 2 } = { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}} whereas if F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, { 0, 1, 2 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}} then { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} does not exist because the sets { 0, 1, 2 } and { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ and }}\{1,2,3\}} are the only upper bounds of { 1 } and { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}} in (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} that could possibly be the least upper bound { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} but { 0, 1, 2 } ⊈ { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}} and { 1, 2, 3 } ⊈ { 0, 1, 2 }. {\displaystyle \{1,2,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.} If F = { { 1 }, { 2 }, { 0, 2, 3 }, { 0, 1, 3 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}} then { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} does not exist because there is no upper bound of { 1 } and { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}} in (F, ⊆). {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq).}
Voici la traduction du texte en français :

Si un ensemble de parties ℘ (X) {\displaystyle \wp (X)} est partiellement ordonné de la manière habituelle (par ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }), alors les jointures sont les unions et les intersections sont les rencontres ; en symboles, ∨ = ∪ et ∧ = ∩ {\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ et }}\,\wedge \,=\,\cap \,} (où la similarité de ces symboles peut être utilisée comme aide mnémotechnique pour se rappeler que ∨ {\displaystyle \,\vee \,} désigne la jointure/le suprémum et ∧ {\displaystyle \,\wedge \,} désigne la rencontre/l'infimum).

Plus généralement, supposons que F ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing } est une famille de sous-ensembles d'un ensemble X {\displaystyle X} qui est partiellement ordonné par ⊆. {\displaystyle \,\subseteq.\,} Si F {\displaystyle {\mathcal {F}}} est stable par unions arbitraires et intersections arbitraires et si A, B, (F i) i ∈ I {\displaystyle A,B,\left(F_{i}\right)_{i\in I}} appartiennent à F {\displaystyle {\mathcal {F}}}, alors

Mais si F {\displaystyle {\mathcal {F}}} n'est pas stable par unions, alors A ∨ B {\displaystyle A\vee B} existe dans (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} si et seulement si il existe un J ∈ F {\displaystyle J\in {\mathcal {F}}} unique, minimal par ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }, tel que A ∪ B ⊆ J. {\displaystyle A\cup B\subseteq J.} Par exemple, si F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}} alors { 1 } ∨ { 2 } = { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}} alors que si F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, { 0, 1, 2 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}} alors { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} n'existe pas parce que les ensembles { 0, 1, 2 } et { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ et }}\{1,2,3\}} sont les seuls majorements de { 1 } et { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ et }}\{2\}} dans (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} qui pourraient être le plus petit majorant { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} mais { 0, 1, 2 } ⊈ { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}} et { 1, 2, 3 } ⊈ { 0, 1, 2 }. {\displaystyle \{1,2,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.} Si F = { { 1 }, { 2 }, { 0, 2, 3 }, { 0, 1, 3 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}} alors { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} n'existe pas parce qu'il n'y a pas de majorant de { 1 } et { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ et }}\{2\}} dans (F, ⊆). {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq).}
### Query ###
Comment ça se fait que quand on a une famille d'ensembles qui est stable pour les unions et intersections, on peut faire des joints et des rencontres, mais sinon ça marche pas pareil ?

### Main Text ###
Examples

If some power set ℘ (X) {\displaystyle \wp (X)} is partially ordered in the usual way (by ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }) then joins are unions and meets are intersections; in symbols, ∨ = ∪ and ∧ = ∩ {\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ and }}\,\wedge \,=\,\cap \,} (where the similarity of these symbols may be used as a mnemonic for remembering that ∨ {\displaystyle \,\vee \,} denotes the join/supremum and ∧ {\displaystyle \,\wedge \,} denotes the meet/infimum).

More generally, suppose that F ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing } is a family of subsets of some set X {\displaystyle X} that is partially ordered by ⊆. {\displaystyle \,\subseteq.\,} If F {\displaystyle {\mathcal {F}}} is closed under arbitrary unions and arbitrary intersections and if A, B, (F i) i ∈ I {\displaystyle A,B,\left(F_{i}\right)_{i\in I}} belong to F {\displaystyle {\mathcal {F}}} then

But if F {\displaystyle {\mathcal {F}}} is not closed under unions then A ∨ B {\displaystyle A\vee B} exists in (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} if and only if there exists a unique ⊆ {\displaystyle \,\subseteq } -smallest J ∈ F {\displaystyle J\in {\mathcal {F}}} such that A ∪ B ⊆ J. {\displaystyle A\cup B\subseteq J.} For example, if F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}} then { 1 } ∨ { 2 } = { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}} whereas if F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, { 0, 1, 2 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}} then { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} does not exist because the sets { 0, 1, 2 } and { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ and }}\{1,2,3\}} are the only upper bounds of { 1 } and { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}} in (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} that could possibly be the least upper bound { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} but { 0, 1, 2 } ⊈ { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}} and { 1, 2, 3 } ⊈ { 0, 1, 2 }. {\displaystyle \{1,2,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.} If F = { { 1 }, { 2 }, { 0, 2, 3 }, { 0, 1, 3 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}} then { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} does not exist because there is no upper bound of { 1 } and { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}} in (F, ⊆). {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq).}

### Supplementary Text ###
Voici la traduction du texte en français :

Si un ensemble de parties ℘ (X) {\displaystyle \wp (X)} est partiellement ordonné de la manière habituelle (par ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }), alors les jointures sont les unions et les intersections sont les rencontres ; en symboles, ∨ = ∪ et ∧ = ∩ {\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ et }}\,\wedge \,=\,\cap \,} (où la similarité de ces symboles peut être utilisée comme aide mnémotechnique pour se rappeler que ∨ {\displaystyle \,\vee \,} désigne la jointure/le suprémum et ∧ {\displaystyle \,\wedge \,} désigne la rencontre/l'infimum).

Plus généralement, supposons que F ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing } est une famille de sous-ensembles d'un ensemble X {\displaystyle X} qui est partiellement ordonné par ⊆. {\displaystyle \,\subseteq.\,} Si F {\displaystyle {\mathcal {F}}} est stable par unions arbitraires et intersections arbitraires et si A, B, (F i) i ∈ I {\displaystyle A,B,\left(F_{i}\right)_{i\in I}} appartiennent à F {\displaystyle {\mathcal {F}}}, alors

Mais si F {\displaystyle {\mathcal {F}}} n'est pas stable par unions, alors A ∨ B {\displaystyle A\vee B} existe dans (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} si et seulement si il existe un J ∈ F {\displaystyle J\in {\mathcal {F}}} unique, minimal par ⊆ {\displaystyle \,\subseteq }, tel que A ∪ B ⊆ J. {\displaystyle A\cup B\subseteq J.} Par exemple, si F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}} alors { 1 } ∨ { 2 } = { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}} alors que si F = { { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, { 0, 1, 2 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}} alors { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} n'existe pas parce que les ensembles { 0, 1, 2 } et { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ et }}\{1,2,3\}} sont les seuls majorements de { 1 } et { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ et }}\{2\}} dans (F, ⊆) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq)} qui pourraient être le plus petit majorant { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} mais { 0, 1, 2 } ⊈ { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}} et { 1, 2, 3 } ⊈ { 0, 1, 2 }. {\displaystyle \{1,2,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.} Si F = { { 1 }, { 2 }, { 0, 2, 3 }, { 0, 1, 3 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}} alors { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} n'existe pas parce qu'il n'y a pas de majorant de { 1 } et { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ et }}\{2\}} dans (F, ⊆). {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq).}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"famille d'ensembles qui est stable pour les unions et intersections" → "family of sets stable under unions and intersections"

User asking why some operations work fine (unions/intersections) while others (joins/meets) fail when stability conditions aren't met.

Key semantic: "joints et rencontres" = suprema and infima in lattice theory context.

### 2. The Core Issue

Stability under binary operations ≠ complete lattice structure.

When F closed under ∪, ∩ only:
- A ∪ B exists (always in F)  
- A ∩ B exists (always in F)
- No guarantee suprema/infima exist

Need: F closed under arbitrary unions ⋃ᵢ∈I Fᵢ, arbitrary intersections ⋂ᵢ∈I Fᵢ.

### 3. Why Unions/Intersections Work

Even without complete stability:

A ∪ B ∈ F always (monotonicity of ∪)
A ∩ B ∈ F always (monotonicity of ∩)

∴ Binary operations always produce elements in F.

### 4. Why Joins/Meets Fail

Suppose F = {{1}, {2}, {1,2,3}, ℝ}

Want {1} ∨ {2}. Must check all upper bounds of {1}, {2}:
- {1,2,3} is upper bound ✓
- ℝ is upper bound ✓  

Problem: Which is least? ℝ ⊈ {1,2,3} but {1,2,3} ⊈ ℝ.

No unique minimal upper bound → {1} ∨ {2} undefined.

### 5. Complete Lattices Solve This

When F complete lattice:
- Every bounded subset has supremum
- Every bounded subset has infimum
- Supremum/infimum guaranteed in F

Then A ∨ B = sup({A,B}) always exists in F.

### 6. Counter-Example Verification

Consider F = {{1}, {2}, {0,2,3}, {0,1,3}}

Upper bounds of {1}, {2}: {0,2,3}, {0,1,3}. 
Neither dominates the other → no unique least upper bound.

∴ {1} ∨ {2} undefined in this incomplete family.

---

**Conclusion**: Unions/intersections work because binary operations preserve F-membership. Joins/meets require complete lattice structure to guarantee existence and uniqueness of suprema/infima within F.

Stability under arbitrary unions/intersections necessary but not sufficient condition for complete lattice operations.

### Answer###
La raison principale réside dans la différence entre les opérations binaires et les opérations de plus grand élément.

Dans votre famille d'ensembles, si elle est stable sous les unions et intersections arbitraires, alors les opérations de rencontre (intersection) et de jointure (union) fonctionnent effectivement car :
- L'union de deux ensembles donne toujours un ensemble dans la famille
- L'intersection de deux ensembles donne toujours un ensemble dans la famille
- Ces opérations produisent directement des éléments de la famille sans problème

Cependant, si votre famille n'est pas stable sous les unions (même si elle l'est sous les intersections), alors les opérations de jointure peuvent échouer de manière cruciale. Pour qu'une opération de jointure A ∨ B existe, il doit exister un élément unique J ∈ F qui soit le plus petit majorant de A et B dans l'ordre ⊆.

Le problème survient quand il existe plusieurs candidats pour ce majorant le plus petit. Dans ce cas, aucun ne domine l'autre et l'opération de jointure devient indéfinie. Par exemple, si F contient des ensembles comme {0,1,2} et {1,2,3}, aucun ne domine l'autre, ce qui empêche l'existence d'un supremum unique.

Cette situation contraste avec les opérations d'union et d'intersection qui, même sans stabilité complète, produisent toujours un résultat dans F (l'union ou l'intersection respectent toujours la hiérarchie de la relation d'inclusion).