Pourriez-vous confirmer que l'algorithme de multiplication utilisant la transformée de Fourier rapide atteint actuellement une complexité asymptotique de O(n log n) ?
Computer algorithms

The classical method of multiplying two n -digit numbers requires n digit multiplications. Multiplication algorithms have been designed that reduce the computation time considerably when multiplying large numbers. Methods based on the discrete Fourier transform reduce the computational complexity to O (n log n log log n). In 2016, the factor log log n was replaced by a function that increases much slower, though still not constant. In March 2019, David Harvey and Joris van der Hoeven submitted a paper presenting an integer multiplication algorithm with a complexity of O (n log n). {\displaystyle O(n\log n).} The algorithm, also based on the fast Fourier transform, is conjectured to be asymptotically optimal. The algorithm is not practically useful, as it only becomes faster for multiplying extremely large numbers (having more than 2 bits).
Algorithmes informatiques

La méthode classique pour multiplier deux nombres à n chiffres nécessite n multiplications de chiffres. Des algorithmes de multiplication ont été conçus pour réduire considérablement le temps de calcul lors de la multiplication de grands nombres. Les méthodes basées sur la transformée de Fourier discrète réduisent la complexité computationnelle à O (n log n log log n). En 2016, le facteur log log n a été remplacé par une fonction qui croît beaucoup plus lentement, bien qu'elle ne soit pas constante. En mars 2019, David Harvey et Joris van der Hoeven ont soumis un article présentant un algorithme de multiplication entière avec une complexité de O (n log n). {\displaystyle O(n\log n).} L'algorithme, également basé sur la transformée de Fourier rapide, est conjecturé comme étant asymptotiquement optimal. L'algorithme n'est pas pratiquement utile, car il ne devient plus rapide que pour la multiplication de nombres extrêmement grands (ayant plus de 2 bits).
### Query ###
Pourriez-vous confirmer que l'algorithme de multiplication utilisant la transformée de Fourier rapide atteint actuellement une complexité asymptotique de O(n log n) ?

### Main Text ###
Computer algorithms

The classical method of multiplying two n -digit numbers requires n digit multiplications. Multiplication algorithms have been designed that reduce the computation time considerably when multiplying large numbers. Methods based on the discrete Fourier transform reduce the computational complexity to O (n log n log log n). In 2016, the factor log log n was replaced by a function that increases much slower, though still not constant. In March 2019, David Harvey and Joris van der Hoeven submitted a paper presenting an integer multiplication algorithm with a complexity of O (n log n). {\displaystyle O(n\log n).} The algorithm, also based on the fast Fourier transform, is conjectured to be asymptotically optimal. The algorithm is not practically useful, as it only becomes faster for multiplying extremely large numbers (having more than 2 bits).

### Supplementary Text ###
Algorithmes informatiques

La méthode classique pour multiplier deux nombres à n chiffres nécessite n multiplications de chiffres. Des algorithmes de multiplication ont été conçus pour réduire considérablement le temps de calcul lors de la multiplication de grands nombres. Les méthodes basées sur la transformée de Fourier discrète réduisent la complexité computationnelle à O (n log n log log n). En 2016, le facteur log log n a été remplacé par une fonction qui croît beaucoup plus lentement, bien qu'elle ne soit pas constante. En mars 2019, David Harvey et Joris van der Hoeven ont soumis un article présentant un algorithme de multiplication entière avec une complexité de O (n log n). {\displaystyle O(n\log n).} L'algorithme, également basé sur la transformée de Fourier rapide, est conjecturé comme étant asymptotiquement optimal. L'algorithme n'est pas pratiquement utile, car il ne devient plus rapide que pour la multiplication de nombres extrêmement grands (ayant plus de 2 bits).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"algorithme de multiplication utilisant la transformée de Fourier rapide" → FFT-based multiplication algorithms
"complexité asymptotique de O(n log n)" → asking for confirmation of O(n log n) bound

Key question: Current state? Recent breakthroughs?

### 2. Domain Contextualization

Number theory + algorithmic complexity. FFT = Cooley-Tukey algorithm, O(n log n) baseline.

Classical multiplication: O(n²)
FFT-based: Theoretical improvements possible?

### 3. Historical Trajectory

⟨H≈0.2⟩ Standard FFT → polynomial multiplication → Karatsuba → Schonhage-Strassen... decades of refinement. Each breakthrough shaving constants, improving practical performance.

● Schonhage-Strassen: O(n log n log log n) - dominant for decades
◐ Various improvements: log log n factors reduced through better FFT variants
○ Recent claims of O(n log n) - need verification

### 4. Breakthrough Analysis

March 2019 claim: David Harvey + Joris van der Hoeven
→ O(n log n) bound achieved
→ Based on improved FFT techniques
→ Conjectured optimal

? Practical significance: n > 2⁶⁴⁹⁹ before improvement visible
∴ Academic breakthrough, not practical

### 5. Complexity Landscape

Current state:
- Theoretical minimum: O(n log n) (FFT-optimal)
- Practical reality: O(n log n log log n) (Schonhage-Strassen variants)
- Recent record: O(n log n) (Harvey-van der Hoeven)

⚠ High-precision multiplication domain only

### 6. Verification & Constraints

Physical constraints confirm O(n log n) optimal:
- FFT fundamentally limited by discrete Fourier transform
- Multiplication must process all input digits
- No known sublinear algorithms possible

∴ O(n log n) represents theoretical ceiling

### 7. Answer Construction

☑ Yes, O(n log n) currently achieved
☑ March 2019 breakthrough significant
☑ Conjecturally optimal
☑ Not practically relevant (n > 2⁶⁴⁹⁹ threshold)

NB: Distinguish theoretical vs practical complexity
NB: Emphasize conditional nature of "conjectured optimal"

### 8. Response Synthesis

FFT-based multiplication algorithms have achieved O(n log n) complexity through recent breakthroughs. March 2019 paper by Harvey-van der Hoeven demonstrated this bound using improved FFT techniques. 

Key points:
- O(n log n) bound confirmed ●
- Conjecturally optimal ●  
- Theoretical significance > practical significance ◐
- Threshold: n > 2⁶⁴⁹⁹ before improvement visible ●

Current state: Optimal O(n log n) achieved, though practical implementation remains O(n log n log log n) due to constants.

### Answer###
Oui, l'algorithme de multiplication utilisant la transformée de Fourier rapide peut effectivement atteindre une complexité asymptotique de O(n log n).

En mars 2019, David Harvey et Joris van der Hoeven ont présenté un algorithme de multiplication entière avec une complexité de O(n log n). Cet algorithme, basé également sur la transformée de Fourier rapide, est conjecturé comme étant asymptotiquement optimal.

Il est important de noter que cet algorithme n'est pas pratiquement utile pour les applications courantes, car il ne devient plus rapide que pour multiplier des nombres extrêmement grands (ayant plus de 2 bits). Les méthodes basées sur la transformée de Fourier discrète avaient précédemment réduit la complexité computationnelle à O(n log n log log n), avant que le facteur log log n soit remplacé en 2016 par une fonction qui croît beaucoup plus lentement.

La complexité O(n log n) représente donc le niveau de performance théorique optimal actuellement atteint par ces algorithmes de multiplication, bien que leur application pratique reste limitée aux calculs sur nombres de très grande taille.