Comment la différence entre les contraintes réelles et techniques évolue-t-elle avec la déformation plastique
True stress and strain

In the above definitions of engineering stress and strain, two behaviors of materials in tensile tests are ignored:

True stress and true strain are defined differently than engineering stress and strain to account for these behaviors. They are given as

Here the dimensions are instantaneous values. Assuming volume of the sample conserves and deformation happens uniformly,

The true stress and strain can be expressed by engineering stress and strain. For true stress,

For the strain,

Integrate both sides and apply the boundary condition,

So in a tension test, true stress is larger than engineering stress and true strain is less than engineering strain. Thus, a point defining true stress–strain curve is displaced upwards and to the left to define the equivalent engineering stress–strain curve. The difference between the true and engineering stresses and strains will increase with plastic deformation. At low strains (such as elastic deformation), the differences between the two is negligible. As for the tensile strength point, it is the maximal point in engineering stress–strain curve but is not a special point in true stress–strain curve. Because engineering stress is proportional to the force applied along the sample, the criterion for necking formation can be set as δ F = 0. {\displaystyle \delta F=0.}

This analysis suggests nature of the ultimate tensile strength (UTS) point. The work strengthening effect is exactly balanced by the shrinking of section area at UTS point.

After the formation of necking, the sample undergoes heterogeneous deformation, so equations above are not valid. The stress and strain at the necking can be expressed as:

An empirical equation is commonly used to describe the relationship between true stress and true strain.

Here, n is the strain-hardening exponent and K is the strength coefficient. n is a measure of a material's work hardening behavior. Materials with a higher n have a greater resistance to necking. Typically, metals at room temperature have n ranging from 0.02 to 0.5.
Contraintes et déformations réelles

Dans les définitions ci-dessus des contraintes et déformations techniques, deux comportements des matériaux lors d'essais de traction sont ignorés :

Les contraintes et déformations réelles sont définies différemment des contraintes et déformations techniques pour tenir compte de ces comportements. Elles sont données par :

Ici, les dimensions sont des valeurs instantanées. En supposant que le volume de l'échantillon est conservé et que la déformation est uniforme,

les contraintes et déformations réelles peuvent être exprimées en fonction des contraintes et déformations techniques. Pour la contrainte réelle,

Pour la déformation,

Intégrez les deux côtés et appliquez la condition aux limites :

Ainsi, lors d'un essai de traction, la contrainte réelle est supérieure à la contrainte technique et la déformation réelle est inférieure à la déformation technique. Par conséquent, un point définissant la courbe contrainte réelle-déformation réelle est déplacé vers le haut et vers la gauche pour définir la courbe contrainte technique-déformation technique équivalente. La différence entre les contraintes et déformations réelles et techniques augmente avec la déformation plastique. À de faibles déformations (comme la déformation élastique), les différences entre les deux sont négligeables. Quant au point de résistance à la traction, il s'agit du point maximal sur la courbe contrainte technique-déformation technique, mais ce n'est pas un point particulier sur la courbe contrainte réelle-déformation réelle. Étant donné que la contrainte technique est proportionnelle à la force appliquée sur l'échantillon, le critère de formation de col est défini comme δ F = 0.

Cette analyse suggère la nature du point de résistance à la traction ultime (RTU). L'effet de renforcement par travail est exactement équilibré par la réduction de la section transversale au point de RTU.

Après la formation du col, l'échantillon subit une déformation hétérogène, de sorte que les équations ci-dessus ne sont pas valides. La contrainte et la déformation au niveau du col peuvent être exprimées comme :

Une équation empirique est couramment utilisée pour décrire la relation entre la contrainte réelle et la déformation réelle.

Ici, n est l'exposant de durcissement par travail et K est le coefficient de résistance. n est une mesure du comportement de durcissement par travail d'un matériau. Les matériaux ayant un n plus élevé ont une plus grande résistance au col. Typiquement, les métaux à température ambiante ont un n allant de 0,02 à 0,5.
### Query ###
Comment la différence entre les contraintes réelles et techniques évolue-t-elle avec la déformation plastique

### Main Text ###
True stress and strain

In the above definitions of engineering stress and strain, two behaviors of materials in tensile tests are ignored:

True stress and true strain are defined differently than engineering stress and strain to account for these behaviors. They are given as

Here the dimensions are instantaneous values. Assuming volume of the sample conserves and deformation happens uniformly,

The true stress and strain can be expressed by engineering stress and strain. For true stress,

For the strain,

Integrate both sides and apply the boundary condition,

So in a tension test, true stress is larger than engineering stress and true strain is less than engineering strain. Thus, a point defining true stress–strain curve is displaced upwards and to the left to define the equivalent engineering stress–strain curve. The difference between the true and engineering stresses and strains will increase with plastic deformation. At low strains (such as elastic deformation), the differences between the two is negligible. As for the tensile strength point, it is the maximal point in engineering stress–strain curve but is not a special point in true stress–strain curve. Because engineering stress is proportional to the force applied along the sample, the criterion for necking formation can be set as δ F = 0. {\displaystyle \delta F=0.}

This analysis suggests nature of the ultimate tensile strength (UTS) point. The work strengthening effect is exactly balanced by the shrinking of section area at UTS point.

After the formation of necking, the sample undergoes heterogeneous deformation, so equations above are not valid. The stress and strain at the necking can be expressed as:

An empirical equation is commonly used to describe the relationship between true stress and true strain.

Here, n is the strain-hardening exponent and K is the strength coefficient. n is a measure of a material's work hardening behavior. Materials with a higher n have a greater resistance to necking. Typically, metals at room temperature have n ranging from 0.02 to 0.5.

### Supplementary Text ###
Contraintes et déformations réelles

Dans les définitions ci-dessus des contraintes et déformations techniques, deux comportements des matériaux lors d'essais de traction sont ignorés :

Les contraintes et déformations réelles sont définies différemment des contraintes et déformations techniques pour tenir compte de ces comportements. Elles sont données par :

Ici, les dimensions sont des valeurs instantanées. En supposant que le volume de l'échantillon est conservé et que la déformation est uniforme,

les contraintes et déformations réelles peuvent être exprimées en fonction des contraintes et déformations techniques. Pour la contrainte réelle,

Pour la déformation,

Intégrez les deux côtés et appliquez la condition aux limites :

Ainsi, lors d'un essai de traction, la contrainte réelle est supérieure à la contrainte technique et la déformation réelle est inférieure à la déformation technique. Par conséquent, un point définissant la courbe contrainte réelle-déformation réelle est déplacé vers le haut et vers la gauche pour définir la courbe contrainte technique-déformation technique équivalente. La différence entre les contraintes et déformations réelles et techniques augmente avec la déformation plastique. À de faibles déformations (comme la déformation élastique), les différences entre les deux sont négligeables. Quant au point de résistance à la traction, il s'agit du point maximal sur la courbe contrainte technique-déformation technique, mais ce n'est pas un point particulier sur la courbe contrainte réelle-déformation réelle. Étant donné que la contrainte technique est proportionnelle à la force appliquée sur l'échantillon, le critère de formation de col est défini comme δ F = 0.

Cette analyse suggère la nature du point de résistance à la traction ultime (RTU). L'effet de renforcement par travail est exactement équilibré par la réduction de la section transversale au point de RTU.

Après la formation du col, l'échantillon subit une déformation hétérogène, de sorte que les équations ci-dessus ne sont pas valides. La contrainte et la déformation au niveau du col peuvent être exprimées comme :

Une équation empirique est couramment utilisée pour décrire la relation entre la contrainte réelle et la déformation réelle.

Ici, n est l'exposant de durcissement par travail et K est le coefficient de résistance. n est une mesure du comportement de durcissement par travail d'un matériau. Les matériaux ayant un n plus élevé ont une plus grande résistance au col. Typiquement, les métaux à température ambiante ont un n allant de 0,02 à 0,5.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Comment la différence entre les contraintes réelles et techniques évolue-t-elle avec la déformation plastique"

Key elements to address:
- Difference between true/engineering stress-strain
- Evolution with plastic deformation 
- Mechanisms underlying this relationship

Translation nuance: "contraintes réelles" = true stress, "techniques" = engineering stress. Classic materials science terminology.

### 2. Fundamental Relationships

Start with definitions. Engineering stress σ_e = F/A₀ where A₀ = initial area. True stress σ_t = F/A where A = instantaneous area.

Key relationship: σ_t = σ_e(1-ε_p/ε_N)^(-1) where ε_p = plastic strain, ε_N = necking strain.

→ Difference increases with plastic deformation because:

### 3. Physical Mechanisms

During plastic deformation:
- Material flows, changes geometry
- Necking occurs → local concentration of stress
- Volume remains approximately constant (incompressibility)

∴ A₀ ≠ A at any given force F

True stress = applied force/instantaneous area
Engineering stress = applied force/original area

As plastic strain increases:
- Area decreases (necking)  
- True stress > engineering stress
- Difference becomes significant

### 4. Quantitative Evolution

⟨H≈0.8⟩ Consider necking process... material flows around the neck, like water finding its path of least resistance. The circumference constraint forces material to concentrate, creating the classical hour-glass deformation. As this happens, the cross-sectional area decreases by ~30-50% in severe cases. Meanwhile the force increases because the material is still flowing into the neck region under the applied load...

Back to mechanics:
If ε_p is small → (1-ε_p/ε_N)^(-1) ≈ 1
If ε_p is large → significant deviation from 1

True strain definition also changes: ε_t = ln(L/L₀) where L = instantaneous length
Engineering strain: ε_e = (L-L₀)/L₀

Difference in strain increases with:
- Degree of necking
- Rate of work hardening
- Material ductility

### 5. Mathematical Framework

True stress-strain curve shifts upward and to left relative to engineering curve.
Work hardening exponent n affects slope of true stress curve.
Higher n → steeper true stress curve → greater difference at given strain.

⟨H≈0.4⟩ The mathematics here is quite elegant - it captures the geometric reality of necking through simple but powerful relationships. The incompressibility assumption allows us to relate area changes to length changes, which then propagates through the stress definitions...

### 6. Practical Implications

Difference becomes critical during:
- Fracture analysis
- Formability prediction  
- Residual stress calculations

NB: Always use true stress-strain for:
- Beyond linear elastic regime
- Necking analysis
- Accurate material characterization

### 7. Synthesis

Evolution of true/engineering stress difference with plastic deformation:

Initial stage: Minimal difference, ε_p ≈ 0
→ σ_t ≈ σ_e, curves nearly identical

Intermediate stage: Necking initiation, ε_p increases  
→ True stress > engineering stress (area reduction)
→ Difference becomes measurable

Advanced stage: Significant necking, ε_p large
→ True stress can be 2-3x engineering stress
→ True curve shifts substantially left/up

Key factors affecting rate of evolution:
- Material work hardening (n value)
- Strain rate
- Temperature
- Initial grain size

∴ Difference increases monotonically with plastic strain, becoming significant during necking initiation and reaching maximum values in severely deformed regions.

The relationship fundamentally reflects the geometric changes in material during plastic flow, with volume conservation playing a crucial role in determining the true vs engineering stress distinction.

### Answer###
La différence entre les contraintes réelles et techniques évolue de manière significative avec l'augmentation de la déformation plastique.

Initialement, lors des faibles déformations (régime élastique), cette différence est négligeable. Cependant, à mesure que la déformation plastique progresse, la divergence entre les deux types de contraintes devient plus marquée.

La contrainte réelle étant supérieure à la contrainte technique et la déformation réelle étant inférieure à la déformation technique, une courbe de contrainte réelle-déformation réelle se déplace vers le haut et vers la gauche par rapport à la courbe de contrainte technique-déformation technique équivalente. Cette évolution reflète le comportement non linéaire des matériaux soumis à des déformations importantes.

Cette différence augmente donc avec le niveau de déformation plastique, créant une séparation progressive entre les courbes réelles et techniques. L'analyse révèle que le critère de formation de col peut être établi en fixant la variation de force δF égale à zéro, et que l'effet de renforcement par travail se trouve exactement équilibré par la réduction de la section transversale au point de résistance à la traction.

Après la formation du col, la déformation devient hétérogène, ce qui explique pourquoi les relations entre contraintes réelles et techniques se modifient considérablement avec l'évolution progressive de la déformation plastique.