Je travaille sur l'histoire des mathématiques et je cherche à comprendre comment la notation différentielle de Leibniz a évolué vers des approches plus rigoureuses. Bien que je comprenne que Newton utilisait des "fluxions" et que Berkeley ait critiqué l'usage des quantités infinitésimales, je ne parviens pas à saisir comment cette notation a été progressivement formalisée dans l'approche epsilon-delta. Pourriez-vous m'expliquer comment les différentielles ont été progressivement intégrées dans un cadre plus rigoureux ?
History and usage

Infinitesimal quantities played a significant role in the development of calculus. Archimedes used them, even though he did not believe that arguments involving infinitesimals were rigorous. Isaac Newton referred to them as fluxions. However, it was Gottfried Leibniz who coined the term differentials for infinitesimal quantities and introduced the notation for them which is still used today.

In Leibniz's notation, if x is a variable quantity, then dx denotes an infinitesimal change in the variable x. Thus, if y is a function of x, then the derivative of y with respect to x is often denoted dy / dx, which would otherwise be denoted (in the notation of Newton or Lagrange) ẏ or y ′. The use of differentials in this form attracted much criticism, for instance in the famous pamphlet The Analyst by Bishop Berkeley. Nevertheless, the notation has remained popular because it suggests strongly the idea that the derivative of y at x is its instantaneous rate of change (the slope of the graph's tangent line), which may be obtained by taking the limit of the ratio Δ y /Δ x as Δ x becomes arbitrarily small. Differentials are also compatible with dimensional analysis, where a differential such as dx has the same dimensions as the variable x.

Calculus evolved into a distinct branch of mathematics during the 17th century CE, although there were antecedents going back to antiquity. The presentations of, e.g., Newton, Leibniz, were marked by non-rigorous definitions of terms like differential, fluent and "infinitely small". While many of the arguments in Bishop Berkeley 's 1734 The Analyst are theological in nature, modern mathematicians acknowledge the validity of his argument against " the Ghosts of departed Quantities "; however, the modern approaches do not have the same technical issues. Despite the lack of rigor, immense progress was made in the 17th and 18th centuries. In the 19th century, Cauchy and others gradually developed the Epsilon, delta approach to continuity, limits and derivatives, giving a solid conceptual foundation for calculus.

In the 20th century, several new concepts in, e.g., multivariable calculus, differential geometry, seemed to encapsulate the intent of the old terms, especially differential; both differential and infinitesimal are used with new, more rigorous, meanings.

Differentials are also used in the notation for integrals because an integral can be regarded as an infinite sum of infinitesimal quantities: the area under a graph is obtained by subdividing the graph into infinitely thin strips and summing their areas. In an expression such as ∫ f (x) d x, {\displaystyle \int f(x)\,dx,} the integral sign (which is a modified long s) denotes the infinite sum, f (x) denotes the "height" of a thin strip, and the differential dx denotes its infinitely thin width.
Histoire et utilisation

Les quantités infinitésimales ont joué un rôle important dans le développement du calcul différentiel et intégral. Archimède les a utilisées, bien qu'il ne croyait pas que les arguments impliquant des infinitésimaux étaient rigoureux. Isaac Newton les appelait « fluxions ». Cependant, c'est Gottfried Wilhelm Leibniz qui a inventé le terme « différentielles » pour les quantités infinitésimales et a introduit la notation qui est encore utilisée aujourd'hui.

Dans la notation de Leibniz, si x est une quantité variable, alors dx désigne un changement infinitésimal de la variable x. Ainsi, si y est une fonction de x, la dérivée de y par rapport à x est souvent notée dy / dx, ce qui serait autrement noté (dans la notation de Newton ou de Lagrange) ẏ ou y ′. L'utilisation de différentielles sous cette forme a suscité de nombreuses critiques, notamment dans le célèbre pamphlet *The Analyst* de l'évêque Berkeley. Néanmoins, la notation est restée populaire car elle suggère fortement l'idée que la dérivée de y en x est son taux de variation instantané (la pente de la tangente à la courbe), qui peut être obtenue en prenant la limite du rapport Δ y /Δ x lorsque Δ x tend vers zéro. Les différentielles sont également compatibles avec l'analyse dimensionnelle, où une différentielle telle que dx a les mêmes dimensions que la variable x.

Le calcul différentiel et intégral s'est développé au XVIIe siècle en tant que branche distincte des mathématiques, bien qu'il existait des prémices remontant à l'Antiquité. Les présentations de, par exemple, Newton, Leibniz, étaient caractérisées par des définitions non rigoureuses de termes tels que différentielle, fluide et « infiniment petit ». Bien que de nombreux arguments du *The Analyst* de Berkeley, datant de 1734, soient de nature théologique, les mathématiciens modernes reconnaissent la validité de son argument contre « les fantômes des quantités disparues » ; cependant, les approches modernes ne présentent pas les mêmes problèmes techniques. Malgré le manque de rigueur, d'immenses progrès ont été réalisés aux XVIIe et XVIIIe siècles. Au XIXe siècle, Cauchy et d'autres ont progressivement développé l'approche epsilon-delta de la continuité, des limites et des dérivées, fournissant ainsi une base conceptuelle solide au calcul différentiel et intégral.

Au XXe siècle, plusieurs nouveaux concepts dans, par exemple, le calcul différentiel à plusieurs variables, la géométrie différentielle, ont semblé englober l'intention des anciens termes, en particulier la différentielle ; à la fois la différentielle et l'infinitésimal sont utilisés avec de nouvelles significations plus rigoureuses.

Les différentielles sont également utilisées dans la notation des intégrales, car une intégrale peut être considérée comme une somme infinie de quantités infinitésimales : l'aire sous une courbe est obtenue en subdivisant la courbe en bandes infiniment fines et en additionnant leurs aires. Dans une expression telle que ∫ f (x) d x, {\displaystyle \int f(x)\,dx,} le symbole d'intégration (qui est un s long modifié) désigne la somme infinie, f (x) désigne la « hauteur » d'une bande mince, et la différentielle dx désigne sa largeur infiniment mince.
### Query ###
Je travaille sur l'histoire des mathématiques et je cherche à comprendre comment la notation différentielle de Leibniz a évolué vers des approches plus rigoureuses. Bien que je comprenne que Newton utilisait des "fluxions" et que Berkeley ait critiqué l'usage des quantités infinitésimales, je ne parviens pas à saisir comment cette notation a été progressivement formalisée dans l'approche epsilon-delta. Pourriez-vous m'expliquer comment les différentielles ont été progressivement intégrées dans un cadre plus rigoureux ?

### Main Text ###
History and usage

Infinitesimal quantities played a significant role in the development of calculus. Archimedes used them, even though he did not believe that arguments involving infinitesimals were rigorous. Isaac Newton referred to them as fluxions. However, it was Gottfried Leibniz who coined the term differentials for infinitesimal quantities and introduced the notation for them which is still used today.

In Leibniz's notation, if x is a variable quantity, then dx denotes an infinitesimal change in the variable x. Thus, if y is a function of x, then the derivative of y with respect to x is often denoted dy / dx, which would otherwise be denoted (in the notation of Newton or Lagrange) ẏ or y ′. The use of differentials in this form attracted much criticism, for instance in the famous pamphlet The Analyst by Bishop Berkeley. Nevertheless, the notation has remained popular because it suggests strongly the idea that the derivative of y at x is its instantaneous rate of change (the slope of the graph's tangent line), which may be obtained by taking the limit of the ratio Δ y /Δ x as Δ x becomes arbitrarily small. Differentials are also compatible with dimensional analysis, where a differential such as dx has the same dimensions as the variable x.

Calculus evolved into a distinct branch of mathematics during the 17th century CE, although there were antecedents going back to antiquity. The presentations of, e.g., Newton, Leibniz, were marked by non-rigorous definitions of terms like differential, fluent and "infinitely small". While many of the arguments in Bishop Berkeley 's 1734 The Analyst are theological in nature, modern mathematicians acknowledge the validity of his argument against " the Ghosts of departed Quantities "; however, the modern approaches do not have the same technical issues. Despite the lack of rigor, immense progress was made in the 17th and 18th centuries. In the 19th century, Cauchy and others gradually developed the Epsilon, delta approach to continuity, limits and derivatives, giving a solid conceptual foundation for calculus.

In the 20th century, several new concepts in, e.g., multivariable calculus, differential geometry, seemed to encapsulate the intent of the old terms, especially differential; both differential and infinitesimal are used with new, more rigorous, meanings.

Differentials are also used in the notation for integrals because an integral can be regarded as an infinite sum of infinitesimal quantities: the area under a graph is obtained by subdividing the graph into infinitely thin strips and summing their areas. In an expression such as ∫ f (x) d x, {\displaystyle \int f(x)\,dx,} the integral sign (which is a modified long s) denotes the infinite sum, f (x) denotes the "height" of a thin strip, and the differential dx denotes its infinitely thin width.

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Histoire et utilisation

Les quantités infinitésimales ont joué un rôle important dans le développement du calcul différentiel et intégral. Archimède les a utilisées, bien qu'il ne croyait pas que les arguments impliquant des infinitésimaux étaient rigoureux. Isaac Newton les appelait « fluxions ». Cependant, c'est Gottfried Wilhelm Leibniz qui a inventé le terme « différentielles » pour les quantités infinitésimales et a introduit la notation qui est encore utilisée aujourd'hui.

Dans la notation de Leibniz, si x est une quantité variable, alors dx désigne un changement infinitésimal de la variable x. Ainsi, si y est une fonction de x, la dérivée de y par rapport à x est souvent notée dy / dx, ce qui serait autrement noté (dans la notation de Newton ou de Lagrange) ẏ ou y ′. L'utilisation de différentielles sous cette forme a suscité de nombreuses critiques, notamment dans le célèbre pamphlet *The Analyst* de l'évêque Berkeley. Néanmoins, la notation est restée populaire car elle suggère fortement l'idée que la dérivée de y en x est son taux de variation instantané (la pente de la tangente à la courbe), qui peut être obtenue en prenant la limite du rapport Δ y /Δ x lorsque Δ x tend vers zéro. Les différentielles sont également compatibles avec l'analyse dimensionnelle, où une différentielle telle que dx a les mêmes dimensions que la variable x.

Le calcul différentiel et intégral s'est développé au XVIIe siècle en tant que branche distincte des mathématiques, bien qu'il existait des prémices remontant à l'Antiquité. Les présentations de, par exemple, Newton, Leibniz, étaient caractérisées par des définitions non rigoureuses de termes tels que différentielle, fluide et « infiniment petit ». Bien que de nombreux arguments du *The Analyst* de Berkeley, datant de 1734, soient de nature théologique, les mathématiciens modernes reconnaissent la validité de son argument contre « les fantômes des quantités disparues » ; cependant, les approches modernes ne présentent pas les mêmes problèmes techniques. Malgré le manque de rigueur, d'immenses progrès ont été réalisés aux XVIIe et XVIIIe siècles. Au XIXe siècle, Cauchy et d'autres ont progressivement développé l'approche epsilon-delta de la continuité, des limites et des dérivées, fournissant ainsi une base conceptuelle solide au calcul différentiel et intégral.

Au XXe siècle, plusieurs nouveaux concepts dans, par exemple, le calcul différentiel à plusieurs variables, la géométrie différentielle, ont semblé englober l'intention des anciens termes, en particulier la différentielle ; à la fois la différentielle et l'infinitésimal sont utilisés avec de nouvelles significations plus rigoureuses.

Les différentielles sont également utilisées dans la notation des intégrales, car une intégrale peut être considérée comme une somme infinie de quantités infinitésimales : l'aire sous une courbe est obtenue en subdivisant la courbe en bandes infiniment fines et en additionnant leurs aires. Dans une expression telle que ∫ f (x) d x, {\displaystyle \int f(x)\,dx,} le symbole d'intégration (qui est un s long modifié) désigne la somme infinie, f (x) désigne la « hauteur » d'une bande mince, et la différentielle dx désigne sa largeur infiniment mince.

### Draft ###

### 1. Query Analysis

"Je travaille sur l'histoire des mathématiques..." → User studying history of mathematics, specifically calculus notation evolution.

Key components to address:
- Leibniz differential notation origins
- Newton "fluxions" 
- Berkeley's critique
- ε-δ formalism connection
- Rigorization process

Translation note: "différentielles" = differentials, "quantités infinitésimales" = infinitesimal quantities.

### 2. Historical Context Mapping

Timeline:
- Late 17th century: Leibniz (1670s) vs Newton (1660s) notation systems
- Early 18th century: Berkeley critique (1734)
- 19th century: Rigorization (Cauchy, Weierstrass)

Geographic/cultural: German vs British mathematical traditions, Cambridge/Leipzig schools.

### 3. Information Retrieval vs Synthesis Challenge

Not simple fact lookup. Need to explain:
→ Why Leibniz notation persisted despite Berkeley critique
→ How 17th-century infinitesimals differ from modern limits
→ The logical gap between "intuitive correctness" and rigor
→ Specific 19th-century developments bridging this gap

### 4. Core Mathematical Issues

**Leibniz Approach:**
dy/dx notation suggested instantaneous rate of change. Berkeley's critique: "ghosts of departed quantities" - what exactly IS dx?

**Rigor Problem:**
17th-century calculus: empirically correct but logically unsound.
- Infinitesimals existed "between finite and zero"
- No precise definition of limit process
- Geometric intuition ≠ rigorous foundation

### 5. Historical Evolution Track

**Pre-formalization era:**
● Leibniz notation: dy/dx = instantaneous slope
● Newton: ẏ = fluxion of y
◐ Infinitesimals as "vanishing but non-zero" quantities
○ No epsilon-delta in sight

**Berkeley's Attack (1734):**
! Key insight: Berkeley exposed logical foundation problem
"Where are the quantities gone? Vanished into nothing!"
→ Notation worked, underlying logic weak

**19th-century Formalization:**
→ Cauchy (1820s): First epsilon-delta approach
→ Weierstrass (1850s-70s): Rigorous limit definitions
→ Bridge established: intuitive → rigorous

### 6. Technical Gap Analysis

**What 17th-century lacked:**
- Precise definition of "arbitrarily close"
- Formal limit concept
- ε-δ machinery
- Distinction: limit of sequence vs limit of function

**Why notation survived:**
※ Pedagogical effectiveness
※ Dimensional analysis compatibility  
※ Physical intuition alignment

### 7. Synthesis Strategy

Address user's "ne parviens pas à saisir" by:
1. Explaining intuitive vs rigorous distinction
2. Connecting notation to underlying concepts
3. Showing historical progression
4. Bridging 17th-century intuition to 19th-century rigor

**Key logical flow:**
Leibniz notation → Berkeley critique → Rigor gap → 19th-century formalization

**Physical constraint check:**
✓ Timeline coherent
✓ Mathematical progression logical
✓ Cultural context appropriate

**Information completeness:**
◐ Could expand on specific Berkeley quotes
◐ More Cauchy vs Weierstrass details
● Core historical narrative solid

∴ Ready to construct detailed response explaining how infinitesimal notation evolved from intuitive to rigorous, addressing user's specific confusion about the formalization process.

### Answer###
La transition de la notation différentielle de Leibniz vers des approches plus rigoureuses illustre un parcours fascinant dans l'histoire des mathématiques. Bien que votre question soit complexe, je peux vous donner une vue d'ensemble de cette évolution.

Leibniz a effectivement introduit la notation différentielle moderne lorsque dx désigne une quantité infinitésimale et dy/dx représente la dérivée d'une fonction y par rapport à x. Cette notation, malgré ses apparences intuitives - rappelant que la dérivée suggère le taux de variation instantané - a été l'objet de critiques sévères, notamment dans le pamphlet "The Analyst" de Berkeley, qui dénonçait les "fantômes de quantités disparues".

L'efficacité de cette notation résidait dans son pouvoir suggestif : elle permettait de visualiser intuitivement les concepts de dérivée comme pente de tangente et de différentielle comme quantité infinitésimale. Cette approche, bien que non rigoureuse, a permis des progrès considérables aux XVIIe et XVIIIe siècles.

Le tournant décisif s'est produit au XIXe siècle avec l'émergence de l'approche epsilon-delta. Cauchy et d'autres mathématiciens ont progressivement développé cette méthode formelle pour la continuité, les limites et les dérivées, créant ainsi les fondements conceptuels solides dont le calcul avait besoin.

Je dois cependant avouer que les détails spécifiques de cette formalisation epsilon-delta et les étapes intermédiaires entre l'approche infinitésimale de Leibniz et cette nouvelle rigueur restent complexes à retracer précisément. Cette évolution représente une transformation fondamentale de la façon de penser les mathématiques, mais les mécanismes exacts de cette transition mériteraient une analyse plus approfondie que je ne peux fournir ici.