Quand Legendre a-t-il inventé le symbole de la fonction gamma ?
19th century: Gauss, Weierstrass and Legendre

Carl Friedrich Gauss rewrote Euler's product as Γ (z) = lim m → ∞ m z m ! z (z + 1) (z + 2) ⋯ (z + m) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}} and used this formula to discover new properties of the gamma function. Although Euler was a pioneer in the theory of complex variables, he does not appear to have considered the factorial of a complex number, as instead Gauss first did. Gauss also proved the multiplication theorem of the gamma function and investigated the connection between the gamma function and elliptic integrals.

Karl Weierstrass further established the role of the gamma function in complex analysis, starting from yet another product representation, Γ (z) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ (1 + z k) − 1 e z k, {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},} where γ is the Euler–Mascheroni constant. Weierstrass originally wrote his product as one for 1 / Γ, in which case it is taken over the function's zeros rather than its poles. Inspired by this result, he proved what is known as the Weierstrass factorization theorem —that any entire function can be written as a product over its zeros in the complex plane; a generalization of the fundamental theorem of algebra.

The name gamma function and the symbol Γ were introduced by Adrien-Marie Legendre around 1811; Legendre also rewrote Euler's integral definition in its modern form. Although the symbol is an upper-case Greek gamma, there is no accepted standard for whether the function name should be written "gamma function" or "Gamma function" (some authors simply write " Γ -function"). The alternative "pi function" notation Π(z) = z ! due to Gauss is sometimes encountered in older literature, but Legendre's notation is dominant in modern works.

It is justified to ask why we distinguish between the "ordinary factorial" and the gamma function by using distinct symbols, and particularly why the gamma function should be normalized to Γ(n + 1) = n ! instead of simply using " Γ(n) = n ! ". Consider that the notation for exponents, x, has been generalized from integers to complex numbers x without any change. Legendre's motivation for the normalization does not appear to be known, and has been criticized as cumbersome by some (the 20th-century mathematician Cornelius Lanczos, for example, called it "void of any rationality" and would instead use z !). Legendre's normalization does simplify some formulae, but complicates others. From a modern point of view, the Legendre normalization of the gamma function is the integral of the additive character e against the multiplicative character x with respect to the Haar measure d x x {\textstyle {\frac {dx}{x}}} on the Lie group R. Thus this normalization makes it clearer that the gamma function is a continuous analogue of a Gauss sum.
XIXe siècle : Gauss, Weierstrass et Legendre

Carl Friedrich Gauss a réécrit le produit d'Euler sous la forme Γ (z) = lim m → ∞ m z m ! z (z + 1) (z + 2) ⋯ (z + m) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}} et a utilisé cette formule pour découvrir de nouvelles propriétés de la fonction gamma. Bien qu'Euler ait été un pionnier dans la théorie des variables complexes, il ne semble pas avoir envisagé la factorielle d'un nombre complexe, contrairement à Gauss. Gauss a également prouvé le théorème de multiplication de la fonction gamma et a étudié le lien entre la fonction gamma et les intégrales elliptiques.

Karl Weierstrass a davantage établi le rôle de la fonction gamma dans l'analyse complexe, en partant d'une autre représentation en produit, Γ (z) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ (1 + z k) − 1 e z k, {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},} où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Weierstrass a initialement écrit son produit sous la forme 1 / Γ, auquel cas il est pris sur les zéros de la fonction plutôt que sur ses pôles. Inspiré par ce résultat, il a prouvé ce qui est connu sous le nom de théorème de factorisation de Weierstrass — que toute fonction entière peut être écrite comme un produit sur ses zéros dans le plan complexe ; une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre.

Le nom de fonction gamma et le symbole Γ ont été introduits par Adrien-Marie Legendre vers 1811 ; Legendre a également réécrit la définition intégrale d'Euler sous sa forme moderne. Bien que le symbole soit une gamma grecque majuscule, il n'existe pas de norme acceptée quant à la manière d'écrire le nom de la fonction, soit "fonction gamma", soit "Fonction Gamma" (certains auteurs écrivent simplement " Γ -fonction"). La notation alternative "fonction pi" Π(z) = z ! due à Gauss est parfois rencontrée dans la littérature plus ancienne, mais la notation de Legendre est dominante dans les travaux modernes.

Il est justifié de se demander pourquoi nous distinguons la « factorielle ordinaire » de la fonction gamma en utilisant des symboles distincts, et en particulier pourquoi la fonction gamma devrait être normalisée de sorte que Γ(n + 1) = n ! plutôt que simplement utiliser " Γ(n) = n ! ". Considérons que la notation pour les exposants, x, a été généralisée des entiers aux nombres complexes x sans modification. La motivation de Legendre pour cette normalisation ne semble pas être connue et a été critiquée comme étant lourde par certains (le mathématicien du XXe siècle Cornelius Lanczos, par exemple, l'appelant « dénuée de toute rationalité » et préférant utiliser z !). La normalisation de Legendre simplifie certaines formules, mais en complique d'autres. D'un point de vue moderne, la normalisation de la fonction gamma par Legendre est l'intégrale du caractère additif e par rapport au caractère multiplicatif x par rapport à la mesure de Haar dx/x sur le groupe de Lie R. Ainsi, cette normalisation rend plus clair que la fonction gamma est un analogue continu d'une somme de Gauss.
### Query ###
Quand Legendre a-t-il inventé le symbole de la fonction gamma ?

### Main Text ###
19th century: Gauss, Weierstrass and Legendre

Carl Friedrich Gauss rewrote Euler's product as Γ (z) = lim m → ∞ m z m ! z (z + 1) (z + 2) ⋯ (z + m) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}} and used this formula to discover new properties of the gamma function. Although Euler was a pioneer in the theory of complex variables, he does not appear to have considered the factorial of a complex number, as instead Gauss first did. Gauss also proved the multiplication theorem of the gamma function and investigated the connection between the gamma function and elliptic integrals.

Karl Weierstrass further established the role of the gamma function in complex analysis, starting from yet another product representation, Γ (z) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ (1 + z k) − 1 e z k, {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},} where γ is the Euler–Mascheroni constant. Weierstrass originally wrote his product as one for 1 / Γ, in which case it is taken over the function's zeros rather than its poles. Inspired by this result, he proved what is known as the Weierstrass factorization theorem —that any entire function can be written as a product over its zeros in the complex plane; a generalization of the fundamental theorem of algebra.

The name gamma function and the symbol Γ were introduced by Adrien-Marie Legendre around 1811; Legendre also rewrote Euler's integral definition in its modern form. Although the symbol is an upper-case Greek gamma, there is no accepted standard for whether the function name should be written "gamma function" or "Gamma function" (some authors simply write " Γ -function"). The alternative "pi function" notation Π(z) = z ! due to Gauss is sometimes encountered in older literature, but Legendre's notation is dominant in modern works.

It is justified to ask why we distinguish between the "ordinary factorial" and the gamma function by using distinct symbols, and particularly why the gamma function should be normalized to Γ(n + 1) = n ! instead of simply using " Γ(n) = n ! ". Consider that the notation for exponents, x, has been generalized from integers to complex numbers x without any change. Legendre's motivation for the normalization does not appear to be known, and has been criticized as cumbersome by some (the 20th-century mathematician Cornelius Lanczos, for example, called it "void of any rationality" and would instead use z !). Legendre's normalization does simplify some formulae, but complicates others. From a modern point of view, the Legendre normalization of the gamma function is the integral of the additive character e against the multiplicative character x with respect to the Haar measure d x x {\textstyle {\frac {dx}{x}}} on the Lie group R. Thus this normalization makes it clearer that the gamma function is a continuous analogue of a Gauss sum.

### Supplementary Text ###
XIXe siècle : Gauss, Weierstrass et Legendre

Carl Friedrich Gauss a réécrit le produit d'Euler sous la forme Γ (z) = lim m → ∞ m z m ! z (z + 1) (z + 2) ⋯ (z + m) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}} et a utilisé cette formule pour découvrir de nouvelles propriétés de la fonction gamma. Bien qu'Euler ait été un pionnier dans la théorie des variables complexes, il ne semble pas avoir envisagé la factorielle d'un nombre complexe, contrairement à Gauss. Gauss a également prouvé le théorème de multiplication de la fonction gamma et a étudié le lien entre la fonction gamma et les intégrales elliptiques.

Karl Weierstrass a davantage établi le rôle de la fonction gamma dans l'analyse complexe, en partant d'une autre représentation en produit, Γ (z) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ (1 + z k) − 1 e z k, {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},} où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Weierstrass a initialement écrit son produit sous la forme 1 / Γ, auquel cas il est pris sur les zéros de la fonction plutôt que sur ses pôles. Inspiré par ce résultat, il a prouvé ce qui est connu sous le nom de théorème de factorisation de Weierstrass — que toute fonction entière peut être écrite comme un produit sur ses zéros dans le plan complexe ; une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre.

Le nom de fonction gamma et le symbole Γ ont été introduits par Adrien-Marie Legendre vers 1811 ; Legendre a également réécrit la définition intégrale d'Euler sous sa forme moderne. Bien que le symbole soit une gamma grecque majuscule, il n'existe pas de norme acceptée quant à la manière d'écrire le nom de la fonction, soit "fonction gamma", soit "Fonction Gamma" (certains auteurs écrivent simplement " Γ -fonction"). La notation alternative "fonction pi" Π(z) = z ! due à Gauss est parfois rencontrée dans la littérature plus ancienne, mais la notation de Legendre est dominante dans les travaux modernes.

Il est justifié de se demander pourquoi nous distinguons la « factorielle ordinaire » de la fonction gamma en utilisant des symboles distincts, et en particulier pourquoi la fonction gamma devrait être normalisée de sorte que Γ(n + 1) = n ! plutôt que simplement utiliser " Γ(n) = n ! ". Considérons que la notation pour les exposants, x, a été généralisée des entiers aux nombres complexes x sans modification. La motivation de Legendre pour cette normalisation ne semble pas être connue et a été critiquée comme étant lourde par certains (le mathématicien du XXe siècle Cornelius Lanczos, par exemple, l'appelant « dénuée de toute rationalité » et préférant utiliser z !). La normalisation de Legendre simplifie certaines formules, mais en complique d'autres. D'un point de vue moderne, la normalisation de la fonction gamma par Legendre est l'intégrale du caractère additif e par rapport au caractère multiplicatif x par rapport à la mesure de Haar dx/x sur le groupe de Lie R. Ainsi, cette normalisation rend plus clair que la fonction gamma est un analogue continu d'une somme de Gauss.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Quand Legendre a-t-il inventé le symbole de la fonction gamma ?"

Key components:
- **Timing**: "quand" → when exactly?
- **Attribution**: "inventé" → who gets credit?
- **Notation**: "symbole" → which symbol specifically?
- **Function**: "fonction gamma" → Γ(z)

? Translation nuance: "inventé" could mean "introduced" vs "discovered"

### 2. Historical Context Mapping

Timeline: Euler (1729-1783) → Legendre (1752-1833) → Modern gamma function

Euler first defined gamma via integral representation ≈1740s.
Notation evolution path: Euler used various forms, no standard symbol.

Legendre's era: 1800-1830s, peak mathematical notation period.
Known for: analytical mechanics, Legendre polynomials, notation reforms.

### 3. Evidence Triangulation

⟨H≈0.8⟩ Legendre working in observatory context... notation precision matters for astronomical calculations... gamma function emerges from probability theory, integral calculus... symbol choice connects to Greek alphabet tradition... capital gamma echoing Euler's integral ∫ notation? ⟨/H⟩

● High confidence: Legendre introduced Γ notation
◐ Partial: Exact dating within 1800-1820 window
○ Low confidence: Whether he was first to use this particular symbol

Cross-reference needed:
- Legendre's published works chronology
- Contemporary mathematicians' notation usage
- Euler-Legendre correspondence (if exists)

### 4. Logical Constraints

Physical constraint: Legendre lived 1752-1833, active 1800-1830
→ Must be within this timeframe

Mathematical constraint: Gamma function was already studied
→ Legendre building on Euler's work, not inventing from scratch

Notation constraint: Standard mathematical symbols crystallize slowly
→ Multiple independent attributions possible

### 5. Information State Assessment

⚠ Gap: Exact publication dates of Legendre's gamma-related works
⚠ Missing: Comparison with other contemporary notations
⚠ Uncertainty: "Invention" vs "popularization" semantic issue

NB: Legendre's mathematical writings span multiple volumes
Need specific work containing gamma notation

### 6. Convergence

Most likely answer: **Around 1811**

Evidence chain:
1. Legendre's notation reform period → 1800-1820s ●
2. Gamma function context → building on Euler ●  
3. Symbol choice rationale → Greek alphabet tradition ◐
4. Specific dating → 1811 appears in sources ◐

∴ Answer: Legendre introduced Γ notation for gamma function circa 1811, rewriting Euler's integral definition in modern form, though exact timing/priority remains uncertain.

Key uncertainty markers: "environ" (around), "il semble" (it seems), "reste incertain" (remains uncertain)

### Answer###
Adrien-Marie Legendre a introduit le symbole Γ pour représenter la fonction gamma vers 1811. Il a également réécrit la définition intégrale d'Euler sous sa forme moderne à cette époque. Bien que Legendre soit crédité de cette notation, il convient de noter que Gauss avait déjà établi des propriétés fondamentales de cette fonction et l'avait représentée par une formule produit, et que Weierstrass l'avait ensuite davantage formalisée en théorie complexe.

Il est intéressant de constater que Legendre a choisi le symbole gamma majuscule grec pour désigner cette fonction qui généralise la factorielle aux nombres complexes. Cette notation de Legendre, bien que moins intuitive que l'utilisation directe de n ! pour les entiers, s'est imposée dans les travaux mathématiques modernes.

La date précise de 1811 est généralement acceptée, mais les détails exacts concernant les motivations de Legendre pour cette normalisation et le choix spécifique du symbole restent quelque peu flous dans l'histoire.