Je travaille sur une combinaison linéaire de variables aléatoires et je souhaite vérifier une formule pour calculer la variance de la somme pondérée. Selon mes notes, var(∑ᵢ aᵢXᵢ) = ∑ᵢ aᵢ²σ²(Xᵢ) + 2∑ᵢ<j aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ), mais je voudrais confirmer cette expression. Est-ce bien la bonne formule ?
Covariance of linear combinations

If X {\displaystyle X}, Y {\displaystyle Y}, W {\displaystyle W}, and V {\displaystyle V} are real-valued random variables and a, b, c, d {\displaystyle a,b,c,d} are real-valued constants, then the following facts are a consequence of the definition of covariance: cov (X, a) = 0 cov (X, X) = var (X) cov (X, Y) = cov (Y, X) cov (a X, b Y) = a b cov (X, Y) cov (X + a, Y + b) = cov (X, Y) cov (a X + b Y, c W + d V) = a c cov (X, W) + a d cov (X, V) + b c cov (Y, W) + b d cov (Y, V) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,a)&=0\\\operatorname {cov} (X,X)&=\operatorname {var} (X)\\\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} (Y,X)\\\operatorname {cov} (aX,bY)&=ab\,\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (X+a,Y+b)&=\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (aX+bY,cW+dV)&=ac\,\operatorname {cov} (X,W)+ad\,\operatorname {cov} (X,V)+bc\,\operatorname {cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {cov} (Y,V)\end{aligned}}}

For a sequence X 1, …, X n {\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}} of random variables in real-valued, and constants a 1, …, a n {\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n}}, we have var (∑ i = 1 n a i X i) = ∑ i = 1 n a i 2 σ 2 (X i) + 2 ∑ i, j: i < j a i a j cov (X i, X j) = ∑ i, j a i a j cov (X i, X j) {\displaystyle \operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}
Somme pondérée de variables

La propriété d'homogénéité et la formule de Bienaymé, ainsi que la propriété de la covariance Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) impliquent conjointement que :

Ceci implique qu'une somme pondérée de variables voit la variable ayant le poids le plus important avoir un poids disproportionné dans la variance du total. Par exemple, si X et Y sont non corrélés et que le poids de X est deux fois le poids de Y, alors le poids de la variance de X sera quatre fois le poids de la variance de Y.

L'expression ci-dessus peut être étendue à une somme pondérée de plusieurs variables :
### Query ###
Je travaille sur une combinaison linéaire de variables aléatoires et je souhaite vérifier une formule pour calculer la variance de la somme pondérée. Selon mes notes, var(∑ᵢ aᵢXᵢ) = ∑ᵢ aᵢ²σ²(Xᵢ) + 2∑ᵢ<j aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ), mais je voudrais confirmer cette expression. Est-ce bien la bonne formule ?

### Main Text ###
Covariance of linear combinations

If X {\displaystyle X}, Y {\displaystyle Y}, W {\displaystyle W}, and V {\displaystyle V} are real-valued random variables and a, b, c, d {\displaystyle a,b,c,d} are real-valued constants, then the following facts are a consequence of the definition of covariance: cov (X, a) = 0 cov (X, X) = var (X) cov (X, Y) = cov (Y, X) cov (a X, b Y) = a b cov (X, Y) cov (X + a, Y + b) = cov (X, Y) cov (a X + b Y, c W + d V) = a c cov (X, W) + a d cov (X, V) + b c cov (Y, W) + b d cov (Y, V) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,a)&=0\\\operatorname {cov} (X,X)&=\operatorname {var} (X)\\\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} (Y,X)\\\operatorname {cov} (aX,bY)&=ab\,\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (X+a,Y+b)&=\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (aX+bY,cW+dV)&=ac\,\operatorname {cov} (X,W)+ad\,\operatorname {cov} (X,V)+bc\,\operatorname {cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {cov} (Y,V)\end{aligned}}}

For a sequence X 1, …, X n {\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}} of random variables in real-valued, and constants a 1, …, a n {\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n}}, we have var (∑ i = 1 n a i X i) = ∑ i = 1 n a i 2 σ 2 (X i) + 2 ∑ i, j: i < j a i a j cov (X i, X j) = ∑ i, j a i a j cov (X i, X j) {\displaystyle \operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}

### Supplementary Text ###
Somme pondérée de variables

La propriété d'homogénéité et la formule de Bienaymé, ainsi que la propriété de la covariance Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) impliquent conjointement que :

Ceci implique qu'une somme pondérée de variables voit la variable ayant le poids le plus important avoir un poids disproportionné dans la variance du total. Par exemple, si X et Y sont non corrélés et que le poids de X est deux fois le poids de Y, alors le poids de la variance de X sera quatre fois le poids de la variance de Y.

L'expression ci-dessus peut être étendue à une somme pondérée de plusieurs variables :

### Draft ###

### 1. Query Parsing

User asks: "combinaison linéaire de variables aléatoires" → linear combination variance formula.

Specific claim: var(∑ᵢ aᵢXᵢ) = ∑ᵢ aᵢ²σ²(Xᵢ) + 2∑ᵢ<j aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ)

Clean translation. Standard notation. No ambiguity.

### 2. Formula Verification

● Core variance formula: var(∑aᵢXᵢ) = ∑aᵢ²var(Xᵢ) + 2∑ₖ≠ₗ aᵢaₗ cov(Xᵢ, Xₗ)

User's version: correct up to sign convention.

⚠ Double-check: covariance terms have opposite sign in many sources.
→ Cov(X,Y) = E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)] = -E[(μᵧ-Y)(X-μₓ)]
→ Cov(Y,X) = E[(Y-μᵧ)(X-μₓ)] = -E[(μₓ-X)(Y-μᵧ)]

∴ Cov(Xᵢ,Xⱼ) = -Cov(Xⱼ,Xᵢ) in population context.

User's formula assumes covariance terms positive. This interpretation depends on definition choices.

### 3. Mathematical Structure

Variance decomposition:
- First term: individual variances scaled by squares of weights
- Second term: cross-covariance between pairs

For uncorrelated variables: cov(Xᵢ,Xⱼ) = 0 → formula reduces to ∑aᵢ²σᵢ²

For perfectly correlated: cov(Xᵢ,Xⱼ) = ρσᵢσⱼ → maximum variance amplification

### 4. Scope Verification

◐ User notes: "combinaison linéaire pondérée"
→ Weighted linear combination. Correct terminology.

Context suggests: portfolio theory, signal processing, statistics applications.

### 5. Sign Convention Resolution

Most sources: var(∑aᵢXᵢ) = ∑aᵢ²σ²(Xᵢ) + 2∑ₖ≠ₗ aᵢaₗ cov(Xᵢ,Xₗ)

User's version: var(∑aᵢXᵢ) = ∑aᵢ²σ²(Xᵢ) - 2∑ₖ≠ₗ aᵢaₗ cov(Xᵢ,Xₗ)

! Key insight: sign difference from covariance definition conventions.

⚠ Potential confusion: some sources use negative covariance definitions.

### 6. Conclusion

✓ User's formula mathematically correct
✓ Reflects conventional covariance definitions  
✓ Standard in many statistical contexts

NB: Variance formula holds regardless of sign convention choice. User's version simply uses different definition of covariance.

∴ Confirm expression. No errors detected.

### Answer###
Votre formule est effectivement correcte. La variance d'une combinaison linéaire de variables aléaoires s'écrit :

var(∑ᵢ aᵢXᵢ) = ∑ᵢ aᵢ²σ²(Xᵢ) + 2∑ᵢ<j aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ)

Cette formule découle directement des propriétés de covariance et de variance. Les termes individuels aᵢ²σ²(Xᵢ) représentent la contribution de chaque variable pondérée par son propre carré et sa variance, tandis que le terme 2∑ᵢ<j aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ) capture les interactions entre les différentes variables à travers leurs covariances.

Cette expression peut être réécrite de manière équivalente sous la forme ∑ᵢₖ aᵢaₖ cov(Xᵢ, Xₖ), où la somme s'étend sur tous les couples de variables. Il est important de noter que cette formule ne s'applique qu'aux variables aléaoires réelles et que les constantes aᵢ doivent être réelles également.

La propriété de covariance qui sous-tend cette formule stipule que cov(aᵢXᵢ, aⱼXⱼ) = aᵢaⱼ cov(Xᵢ, Xⱼ), ce qui permet de décomposer la variance totale en contributions individuelles et covariances croisées.