Pourquoi c'est qu'on appelle ça "naturalité" dans les mathématiques quand on fait comme ça avec les flèches et les fonctions ?
Naturality

The bijections provided in the (covariant) Yoneda lemma (for each A {\displaystyle A} and F {\displaystyle F}) are the components of a natural isomorphism between two certain functors from C × S e t C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}} to S e t {\displaystyle \mathbf {Set} }. One of the two functors is the evaluation functor

that sends a pair (f, Φ) {\displaystyle (f,\Phi)} of a morphism f: A → B {\displaystyle f\colon A\to B} in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} and a natural transformation Φ: F → G {\displaystyle \Phi \colon F\to G} to the map

This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor

the image of a pair (f, Φ) {\displaystyle (f,\Phi)} is the map

that sends a natural transformation Ψ: hom (A, −) → F {\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F} to the natural transformation Φ ∘ Ψ ∘ hom (f, −): hom (B, −) → G {\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}, whose components are
Nombres naturels

Il existe deux manières populaires de définir la somme de deux nombres naturels a et b. Si l'on définit les nombres naturels comme les cardinalités d'ensembles finis (la cardinalité d'un ensemble étant le nombre d'éléments dans l'ensemble), il convient alors de définir leur somme comme suit :

Ici, A ∪ B est l'union de A et B. Une version alternative de cette définition permet à A et B de se chevaucher, puis prend leur union disjointe, un mécanisme qui permet de séparer les éléments communs et donc de les compter deux fois.

L'autre définition populaire est récursive :

Là encore, il existe de légères variations de cette définition dans la littérature. Littéralement, la définition ci-dessus est une application du théorème de récursion sur l'ensemble partiellement ordonné N. D'autre part, certaines sources préfèrent utiliser un théorème de récursion restreint qui ne s'applique qu'à l'ensemble des nombres naturels. On considère alors a comme étant temporairement "fixé", on applique la récursion à b pour définir une fonction " a +", et on assemble ces opérations unaires pour toutes les valeurs de a afin de former l'opération binaire complète.

Cette formulation récursive de l'addition a été développée par Dedekind dès 1854, et il l'a approfondie dans les décennies suivantes. Il a notamment prouvé les propriétés associatives et commutatives par induction mathématique.
### Query ###
Pourquoi c'est qu'on appelle ça "naturalité" dans les mathématiques quand on fait comme ça avec les flèches et les fonctions ?

### Main Text ###
Naturality

The bijections provided in the (covariant) Yoneda lemma (for each A {\displaystyle A} and F {\displaystyle F}) are the components of a natural isomorphism between two certain functors from C × S e t C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}} to S e t {\displaystyle \mathbf {Set} }. One of the two functors is the evaluation functor

that sends a pair (f, Φ) {\displaystyle (f,\Phi)} of a morphism f: A → B {\displaystyle f\colon A\to B} in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} and a natural transformation Φ: F → G {\displaystyle \Phi \colon F\to G} to the map

This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor

the image of a pair (f, Φ) {\displaystyle (f,\Phi)} is the map

that sends a natural transformation Ψ: hom (A, −) → F {\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F} to the natural transformation Φ ∘ Ψ ∘ hom (f, −): hom (B, −) → G {\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}, whose components are

### Supplementary Text ###
Nombres naturels

Il existe deux manières populaires de définir la somme de deux nombres naturels a et b. Si l'on définit les nombres naturels comme les cardinalités d'ensembles finis (la cardinalité d'un ensemble étant le nombre d'éléments dans l'ensemble), il convient alors de définir leur somme comme suit :

Ici, A ∪ B est l'union de A et B. Une version alternative de cette définition permet à A et B de se chevaucher, puis prend leur union disjointe, un mécanisme qui permet de séparer les éléments communs et donc de les compter deux fois.

L'autre définition populaire est récursive :

Là encore, il existe de légères variations de cette définition dans la littérature. Littéralement, la définition ci-dessus est une application du théorème de récursion sur l'ensemble partiellement ordonné N. D'autre part, certaines sources préfèrent utiliser un théorème de récursion restreint qui ne s'applique qu'à l'ensemble des nombres naturels. On considère alors a comme étant temporairement "fixé", on applique la récursion à b pour définir une fonction " a +", et on assemble ces opérations unaires pour toutes les valeurs de a afin de former l'opération binaire complète.

Cette formulation récursive de l'addition a été développée par Dedekind dès 1854, et il l'a approfondie dans les décennies suivantes. Il a notamment prouvé les propriétés associatives et commutatives par induction mathématique.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi c'est qu'on appelle ça 'naturalité'" → Why is it called "naturality"

User observes: arrows (morphisms) + functions → "naturality" term used

Seeks etymology/explanation. Not just definition - wants the *why* of naming.

### 2. Mathematical Context Retrieval

⟨H≈0.4⟩ Natural transformation. Functors. Category theory. 1940s-50s development. Mac Lane, Eilenberg. Yoneda lemma. Universal properties. The term emerged from... what exactly?

Key insight: Naturality ≠ obvious meaning in everyday French. User's confusion valid.

● High confidence: Term technical, not translation of obvious concept
◐ Partial: Exact historical origins, timeline
○ Low confidence: Anecdotal stories vs. established usage

### 3. Information Triangulation

Etymology likely:
├─ Historical: Category theory development (1940s-1960s)
├─ Language: English→French borrowing vs. neologism  
└─ Semantic: Why "natural" for formal mathematical concept?

Physical constraint: Mathematical terminology often lacks obvious translation. "Naturality" likely emerged in English mathematical discourse first.

⟨H≈0.8⟩ Category theory birthed in America... Saunders Mac Lane... English speakers developing abstract framework... "natural" in everyday sense = "obvious," "unforced"... but also "occurring in nature"... duality with artificial/constructed... morphisms "naturally" transforming...

### 4. Knowledge Gaps Assessment

Missing pieces:
? Exact historical usage in Mac Lane's work
? Alternative terminology considered
? Translation decisions in French mathematical community
? Anecdote: how term caught on

⚠ Potential bias: Retrospect makes term obvious, but historically contested?

### 5. Reasoning Through Constraints

Logical constraint: Mathematical terms often lack literal translation
→ "Naturality" may be English neologism that stuck
→ Or translation of existing English usage
→ Either way, semantic justification needed

Physical constraint: Mathematical communication increasingly international
→ Term would spread regardless of original language
→ French adoption suggests English mathematical dominance

### 6. Synthesis Attempt

⟨H≈1.2⟩ Natural transformations... morphisms behaving "naturally"... no arbitrary choices... universal properties... essence of category theory... "natural" in philosophical sense... Heideggerian "essence"? No... but something... the morphisms "unfold naturally"... contrast with "constructed"... with artificial... with ad-hoc...

∴ Term likely emerged from:
1. English mathematical discourse (1940s-1960s)
2. "Natural" = "unforced," "inevitable" 
3. Universal properties vs. arbitrary constructions
4. Became standard through adoption

### 7. Uncertainty Acknowledgment

◐ Incomplete information on:
- Exact historical sources
- Alternative terminology considered
- Translation process in French mathematics

○ Low confidence in any specific etymology story
⚠ Anecdotal evidence unreliable

### 8. Response Framework

Structure answer as:
1. Acknowledge valid confusion
2. Explain technical context (natural transformations)
3. Admit uncertainty about etymology
4. Suggest term captures "inevitable" nature of constructions
5. Note international adoption pattern

⟨H≈0.3⟩ User deserves honest admission of uncertainty rather than speculation. Mathematical terminology often lacks obvious motivation - this makes the question particularly acute.

### 9. Draft Conclusion

Cannot provide definitive etymology. Term likely emerged from English mathematical discourse during category theory development (1940s-1960s). "Naturality" may capture sense of "inevitable" vs. "constructed" morphisms. Historical record incomplete - answer must acknowledge uncertainty rather than speculate.

### Answer###
Je comprends votre question sur l'utilisation du terme "naturalité" en mathématiques. Cette terminologie s'applique effectivement aux bijections et transformations naturelles dans le contexte de la théorie des catégories.

Les bijections que vous observez sont les composants d'un isomorphisme naturel entre deux foncteurs. Ces bijections forment ce qu'on appelle une transformation naturelle, où chaque composante de cette transformation correspond à une bijection spécifique entre deux ensembles d'objets mathématiques.

Cependant, je ne peux pas vous donner les raisons précises du choix de ce terme spécifique en français. Il s'agit probablement d'une question d'étymologie mathématique qui nécessiterait une analyse plus approfondie de l'histoire de la terminologie en théorie des catégories. Le terme "naturalité" pourrait refléter le caractère "naturel" ou "évident" de ces constructions mathématiques, mais je ne suis pas en mesure de confirmer cette interprétation sans plus d'informations sur son origine historique.