Je travaille sur l optimisation de filtres quantiques et j'ai observé que l'ordre dans lequel j'applique les filtres a un impact significatif sur le résultat final Comment cela s'explique par la non commutativité de la conjonction quantique mentionnée par von Neumann
Quantum logic

Von Neumann first proposed a quantum logic in his 1932 treatise Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, where he noted that projections on a Hilbert space can be viewed as propositions about physical observables. The field of quantum logic was subsequently inaugurated in a 1936 paper by von Neumann and Garrett Birkhoff, the first to introduce quantum logics, wherein von Neumann and Birkhoff first proved that quantum mechanics requires a propositional calculus substantially different from all classical logics and rigorously isolated a new algebraic structure for quantum logics. The concept of creating a propositional calculus for quantum logic was first outlined in a short section in von Neumann's 1932 work, but in 1936, the need for the new propositional calculus was demonstrated through several proofs. For example, photons cannot pass through two successive filters that are polarized perpendicularly (e.g., horizontally and vertically), and therefore, a fortiori, it cannot pass if a third filter polarized diagonally is added to the other two, either before or after them in the succession, but if the third filter is added between the other two, the photons will indeed pass through. This experimental fact is translatable into logic as the non-commutativity of conjunction (A ∧ B) ≠ (B ∧ A) {\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}. It was also demonstrated that the laws of distribution of classical logic, P ∨ (Q ∧ R) = {\displaystyle P\lor (Q\land R)={}} (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) {\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)} and P ∧ (Q ∨ R) = {\displaystyle P\land (Q\lor R)={}} (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) {\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}, are not valid for quantum theory.

The reason for this is that a quantum disjunction, unlike the case for classical disjunction, can be true even when both of the disjuncts are false and this is in turn attributable to the fact that it is frequently the case in quantum mechanics that a pair of alternatives are semantically determinate, while each of its members is necessarily indeterminate. Consequently, the distributive law of classical logic must be replaced with a weaker condition. Instead of a distributive lattice, propositions about a quantum system form an orthomodular lattice isomorphic to the lattice of subspaces of the Hilbert space associated with that system.

Nevertheless, he was never satisfied with his work on quantum logic. He intended it to be a joint synthesis of formal logic and probability theory and when he attempted to write up a paper for the Henry Joseph Lecture he gave at the Washington Philosophical Society in 1945 he found that he could not, especially given that he was busy with war work at the time. During his address at the 1954 International Congress of Mathematicians he gave this issue as one of the unsolved problems that future mathematicians could work on.
Histoire

En 1925, Heisenberg a publié l'article « Umdeutung » (réinterprétation) dans lequel il a montré qu'un aspect central de la théorie quantique était la non-commutativité : la théorie impliquait que l'ordre relatif des mesures de position et de quantité de mouvement était significatif. Travaillant avec Max Born et Pascual Jordan, il a continué à développer la mécanique matricielle, qui deviendrait la première formulation moderne de la mécanique quantique.

En mars 1926, travaillant à l'institut de Bohr, Heisenberg a réalisé que la non-commutativité impliquait le principe d'incertitude. Dans une lettre à Wolfgang Pauli en février 1927, il a élaboré les concepts de base.

Dans son célèbre article de 1927, « Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik » (« Sur le contenu perceptuel de la cinématique et de la mécanique quantiques théoriques »), Heisenberg a établi cette expression comme la quantité minimale de perturbation de la quantité de mouvement inévitable causée par toute mesure de position, mais il n'a pas donné de définition précise pour les incertitudes Δx et Δ p. Au lieu de cela, il a fourni des estimations plausibles dans chaque cas séparément. Son article a fourni une analyse en termes d'un microscope que Bohr a montré être incorrect ; Heisenberg a inclus un addendum à la publication.

Dans sa conférence de 1930 à Chicago, il a affiné son principe :

Des travaux ultérieurs ont élargi le concept. Toute paire de variables qui ne commutent pas ne peut être mesurée simultanément : plus l'une est connue avec précision, moins l'autre peut l'être. Heisenberg a écrit :

« Il peut être exprimé sous sa forme la plus simple comme suit : on ne peut jamais connaître avec une précision parfaite les deux facteurs importants qui déterminent le mouvement d'une des plus petites particules – sa position et sa vitesse. Il est impossible de déterminer avec précision à la fois la position et la direction et la vitesse d'une particule au même instant. »

Kennard en 1927 a prouvé pour la première fois l'inégalité moderne :

où ħ = h / 2 π, et σ, σ sont les écarts types de la position et de la quantité de mouvement. (Heisenberg n'a prouvé la relation (A2) que pour le cas particulier des états gaussiens.) En 1929, Robertson a généralisé l'inégalité à tous les observables et, en 1930, Schrödinger a étendu la forme pour permettre une covariance non nulle des opérateurs ; ce résultat est appelé inégalité de Robertson-Schrödinger.
### Query ###
Je travaille sur l optimisation de filtres quantiques et j'ai observé que l'ordre dans lequel j'applique les filtres a un impact significatif sur le résultat final Comment cela s'explique par la non commutativité de la conjonction quantique mentionnée par von Neumann

### Main Text ###
Quantum logic

Von Neumann first proposed a quantum logic in his 1932 treatise Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, where he noted that projections on a Hilbert space can be viewed as propositions about physical observables. The field of quantum logic was subsequently inaugurated in a 1936 paper by von Neumann and Garrett Birkhoff, the first to introduce quantum logics, wherein von Neumann and Birkhoff first proved that quantum mechanics requires a propositional calculus substantially different from all classical logics and rigorously isolated a new algebraic structure for quantum logics. The concept of creating a propositional calculus for quantum logic was first outlined in a short section in von Neumann's 1932 work, but in 1936, the need for the new propositional calculus was demonstrated through several proofs. For example, photons cannot pass through two successive filters that are polarized perpendicularly (e.g., horizontally and vertically), and therefore, a fortiori, it cannot pass if a third filter polarized diagonally is added to the other two, either before or after them in the succession, but if the third filter is added between the other two, the photons will indeed pass through. This experimental fact is translatable into logic as the non-commutativity of conjunction (A ∧ B) ≠ (B ∧ A) {\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}. It was also demonstrated that the laws of distribution of classical logic, P ∨ (Q ∧ R) = {\displaystyle P\lor (Q\land R)={}} (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) {\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)} and P ∧ (Q ∨ R) = {\displaystyle P\land (Q\lor R)={}} (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) {\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}, are not valid for quantum theory.

The reason for this is that a quantum disjunction, unlike the case for classical disjunction, can be true even when both of the disjuncts are false and this is in turn attributable to the fact that it is frequently the case in quantum mechanics that a pair of alternatives are semantically determinate, while each of its members is necessarily indeterminate. Consequently, the distributive law of classical logic must be replaced with a weaker condition. Instead of a distributive lattice, propositions about a quantum system form an orthomodular lattice isomorphic to the lattice of subspaces of the Hilbert space associated with that system.

Nevertheless, he was never satisfied with his work on quantum logic. He intended it to be a joint synthesis of formal logic and probability theory and when he attempted to write up a paper for the Henry Joseph Lecture he gave at the Washington Philosophical Society in 1945 he found that he could not, especially given that he was busy with war work at the time. During his address at the 1954 International Congress of Mathematicians he gave this issue as one of the unsolved problems that future mathematicians could work on.

### Supplementary Text ###
Histoire

En 1925, Heisenberg a publié l'article « Umdeutung » (réinterprétation) dans lequel il a montré qu'un aspect central de la théorie quantique était la non-commutativité : la théorie impliquait que l'ordre relatif des mesures de position et de quantité de mouvement était significatif. Travaillant avec Max Born et Pascual Jordan, il a continué à développer la mécanique matricielle, qui deviendrait la première formulation moderne de la mécanique quantique.

En mars 1926, travaillant à l'institut de Bohr, Heisenberg a réalisé que la non-commutativité impliquait le principe d'incertitude. Dans une lettre à Wolfgang Pauli en février 1927, il a élaboré les concepts de base.

Dans son célèbre article de 1927, « Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik » (« Sur le contenu perceptuel de la cinématique et de la mécanique quantiques théoriques »), Heisenberg a établi cette expression comme la quantité minimale de perturbation de la quantité de mouvement inévitable causée par toute mesure de position, mais il n'a pas donné de définition précise pour les incertitudes Δx et Δ p. Au lieu de cela, il a fourni des estimations plausibles dans chaque cas séparément. Son article a fourni une analyse en termes d'un microscope que Bohr a montré être incorrect ; Heisenberg a inclus un addendum à la publication.

Dans sa conférence de 1930 à Chicago, il a affiné son principe :

Des travaux ultérieurs ont élargi le concept. Toute paire de variables qui ne commutent pas ne peut être mesurée simultanément : plus l'une est connue avec précision, moins l'autre peut l'être. Heisenberg a écrit :

« Il peut être exprimé sous sa forme la plus simple comme suit : on ne peut jamais connaître avec une précision parfaite les deux facteurs importants qui déterminent le mouvement d'une des plus petites particules – sa position et sa vitesse. Il est impossible de déterminer avec précision à la fois la position et la direction et la vitesse d'une particule au même instant. »

Kennard en 1927 a prouvé pour la première fois l'inégalité moderne :

où ħ = h / 2 π, et σ, σ sont les écarts types de la position et de la quantité de mouvement. (Heisenberg n'a prouvé la relation (A2) que pour le cas particulier des états gaussiens.) En 1929, Robertson a généralisé l'inégalité à tous les observables et, en 1930, Schrödinger a étendu la forme pour permettre une covariance non nulle des opérateurs ; ce résultat est appelé inégalité de Robertson-Schrödinger.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je travaille sur l'optimisation de filtres quantiques" → quantum filter optimization.

"l'ordre dans lequel j'applique les filtres" → filter application order.

"impact significatif sur le résultat final" → significant impact on final result.

"non commutativité de la conjonction quantique" → non-commutativity of quantum conjunction.

Key question: Why does permutation matter for quantum filters?

### 2. Problem Classification

Information retrieval + mathematical synthesis. Need:
- Quantum mechanics foundations ●
- Filter theory ◐  
- Optimization theory ○

? Cross-domain challenge: classical optimization meets quantum physics.

### 3. Quantum Logic Framework

⟨H≈0.2⟩ Classical logic: A ∧ B = B ∧ A. Commutative. Filter order irrelevant.

Quantum mechanics breaks this. Hilbert space projections. Observables non-commutative.

A ∧ B ≠ B ∧ A generally.

Example: Polarizing filters.
- Horizontal (H) vs Vertical (V) polarization
- H ∧ V = 0 ≠ V ∧ H = 0
- Order matters for photon transmission

### 4. Mathematical Structure

Orthomodular lattices. Classical Boolean algebra → quantum orthomodular structure.

Distributive law fails: A ∧ (B ∨ C) ≠ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

∴ Classical optimization assumptions break down.

### 5. Filter Cascade Effects

Sequential application:
1. Input state |ψ⟩
2. Filter F₁: projects onto subspace P₁
3. Filter F₂: projects onto subspace P₂

Classical case: P₁(P₂|ψ⟩) = P₂(P₁|ψ⟩)

Quantum case: P₁(P₂|ψ⟩) ≠ P₂(P₁(P₂|ψ⟩)) generally.

→ Path dependence emerges.

### 6. Optimization Implications

Classical approach: enumerate all permutations, optimize.
Quantum approach: must account for non-commutative structure.

? How to handle:
- State evolution matrices
- Measurement order effects  
- Quantum state collapse sequences

⟨H≈1⟩ Perhaps graph theory? Directed acyclic graphs for classical, quantum needs feedback loops. Markov chains breaking down. Optimization landscapes becoming fractal-like...

### 7. Physical Constraints

Experimental reality:
- Finite measurement precision ●
- Decoherence effects ●
- Practical state preparation ◐

These constraints might favor specific orderings despite theoretical non-commutativity.

### 8. Synthesis

**Core answer**: Non-commutativity creates order-dependent quantum filtering because:

1. Quantum conjunction (projection composition) is non-commutative
2. Classical distributive laws fail in quantum logic
3. Filter sequence affects final state evolution
4. Path dependence emerges from Hilbert space structure

**Optimization challenge**: Classical optimization techniques insufficient. Need quantum-aware algorithms respecting:
- Orthomodular lattice structure
- State evolution equations
- Measurement theory

**Physical reality check**: Despite theoretical non-commutativity, practical filters may still have dominant/preferred orderings due to experimental constraints.

∴ Your observation reflects fundamental quantum structure, not implementation error.

### Answer###
L'impact significatif de l'ordre d'application des filtres quantiques que vous observez découle directement de la non-commutativité de la logique quantique. Contrairement à la logique classique, où l'ordre des opérations n'altère pas le résultat (A ∧ B = B ∧ A), la mécanique quantique requiert une structure propositionnelle où cette propriété ne s'applique pas nécessairement.

Cette non-commutativité s'observe expérimentalement avec les filtres polarisants : les photons ne peuvent pas passer à travers deux filtres successifs polarisés perpendiculairement, et donc a fortiori ils ne peuvent pas le faire si un troisième filtre à polarisation diagonale est ajouté avant ou après les deux autres dans la séquence. Cependant, si le troisième filtre est placé entre les deux autres, les photons passeront effectivement. Cette observation expérimentale se traduit en logique par la non-commutativité de la conjonction.

La structure algébrique sous-jacente est celle des treillis orthomodulaires, qui sont isomorphes aux sous-espaces d'un espace de Hilbert. Cette structure remplace les lois distributives du calcul classique et explique pourquoi l'ordre d'application des filtres modifie significativement le résultat final.

Pour l'optimisation de vos filtres quantiques, cette structure non-commutative implique que vous devez considérer l'ordre spécifique d'application des transformations quantiques, car chaque séquence générera des résultats distincts en raison de la nature intrinsèque de la mécanique quantique plutôt qu'à une erreur d'implémentation classique.