Pourquoi l'ensemble des parties d'un ensemble fini a-t-il toujours plus d'éléments que l'ensemble d'origine ?
Power sets

The power set of a set S is the set of all subsets of S. The empty set and S itself are elements of the power set of S, because these are both subsets of S. For example, the power set of {1, 2, 3} is {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. The power set of a set S is commonly written as P (S) or 2.

If S has n elements, then P (S) has 2 elements. For example, {1, 2, 3} has three elements, and its power set has 2 = 8 elements, as shown above.

If S is infinite (whether countable or uncountable), then P (S) is uncountable. Moreover, the power set is always strictly "bigger" than the original set, in the sense that any attempt to pair up the elements of S with the elements of P (S) will leave some elements of P (S) unpaired. (There is never a bijection from S onto P (S).)
Implications philosophiques

Avant le paradoxe de Russell (et d'autres paradoxes similaires découverts à peu près à la même époque, comme le paradoxe de Burali-Forti), une conception courante de l'idée d'ensemble était la « conception extensionnelle d'ensemble », telle que rapportée par von Neumann et Morgenstern :

Un ensemble est une collection arbitraire d'objets, sans aucune restriction quant à la nature et au nombre de ces objets, qui constituent les éléments de l'ensemble en question. Les éléments constituent et déterminent l'ensemble tel quel, sans aucun ordre ou relation quelconque entre eux.

En particulier, il n'y avait pas de distinction entre les ensembles et les classes propres en tant que collections d'objets. De plus, l'existence de chacun des éléments d'une collection était considérée comme suffisante pour l'existence de l'ensemble de ces éléments. Cependant, des paradoxes tels que ceux de Russell et de Burali-Forti ont montré l'impossibilité de cette conception d'ensemble, par des exemples de collections d'objets qui ne forment pas d'ensembles, bien que tous ces objets existent.
### Query ###
Pourquoi l'ensemble des parties d'un ensemble fini a-t-il toujours plus d'éléments que l'ensemble d'origine ?

### Main Text ###
Power sets

The power set of a set S is the set of all subsets of S. The empty set and S itself are elements of the power set of S, because these are both subsets of S. For example, the power set of {1, 2, 3} is {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. The power set of a set S is commonly written as P (S) or 2.

If S has n elements, then P (S) has 2 elements. For example, {1, 2, 3} has three elements, and its power set has 2 = 8 elements, as shown above.

If S is infinite (whether countable or uncountable), then P (S) is uncountable. Moreover, the power set is always strictly "bigger" than the original set, in the sense that any attempt to pair up the elements of S with the elements of P (S) will leave some elements of P (S) unpaired. (There is never a bijection from S onto P (S).)

### Supplementary Text ###
Implications philosophiques

Avant le paradoxe de Russell (et d'autres paradoxes similaires découverts à peu près à la même époque, comme le paradoxe de Burali-Forti), une conception courante de l'idée d'ensemble était la « conception extensionnelle d'ensemble », telle que rapportée par von Neumann et Morgenstern :

Un ensemble est une collection arbitraire d'objets, sans aucune restriction quant à la nature et au nombre de ces objets, qui constituent les éléments de l'ensemble en question. Les éléments constituent et déterminent l'ensemble tel quel, sans aucun ordre ou relation quelconque entre eux.

En particulier, il n'y avait pas de distinction entre les ensembles et les classes propres en tant que collections d'objets. De plus, l'existence de chacun des éléments d'une collection était considérée comme suffisante pour l'existence de l'ensemble de ces éléments. Cependant, des paradoxes tels que ceux de Russell et de Burali-Forti ont montré l'impossibilité de cette conception d'ensemble, par des exemples de collections d'objets qui ne forment pas d'ensembles, bien que tous ces objets existent.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi l'ensemble des parties d'un ensemble fini a-t-il toujours plus d'éléments que l'ensemble d'origine ?"

→ French: "Why does the set of all subsets of a finite set always have more elements than the original set?"

Key assumption to verify: Does finite set S always have |P(S)| > |S|?

### 2. Direct Cardinality Calculation

For finite set S with n elements:
- |S| = n
- |P(S)| = 2ⁿ

∴ |P(S)|/|S| = 2ⁿ/n > 1 ⇔ n > 0

● Always true for n > 0. Base case verified.

### 3. Bijection Argument

Central proof technique: Show no bijection f: S → P(S) exists.

**Proof by contradiction**:
Suppose f exists. Define subset A ⊆ S where A = {x ∈ S : x ∉ f(x)}.

Since f is bijection, A must exist as some set p ∈ P(S).
But A ⊆ S, so A = f(s) for some s ∈ S.

**Contradiction**: If A = f(s), then s ∈ A ⟺ s ∉ f(s) = A.
This is impossible simultaneously.

∴ No bijection S → P(S) exists.

### 4. Cardinal Arithmetic

2ⁿ > n for n > 0 because:
- 2ⁿ = 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ⁻¹ 
- Each term ≥ 1
- n terms total
- Geometric series sum > n

**Alternative**: Induction on n.
- Base: n=1. |P({a})| = 2¹ = 2 > 1 = |{a}| ✓
- Inductive: |P({a₁,a₂,...,aₙ₋₁,aₙ})| = 2×|P({a₁,a₂,...,aₙ₋₁})| > 2×n by IH

### 5. Structural Explanation

Why P(S) "inherently larger":

**Cardinal hierarchy**: 
ℕ (countables) → ℙ(ℕ) (uncountables) → ℙ(ℙ(ℕ)) → ...

Finite sets stay finite. Power operation creates jump.

**No self-bijection**: 
For any set X, cannot find bijection X ↔ P(X).
This is structural, not computational limitation.

### 6. Philosophical Implications

Naive set comprehension fails for P(X).
Russell paradox: {S : S ∉ S} cannot be set.

Power sets generate proper classes in some foundations.
Cardinal arithmetic becomes formal system.

### Conclusion

|P(S)| > |S| always holds for finite S because:
1. Direct count shows 2ⁿ > n for finite n > 0
2. No bijection S → P(S) exists (bijection impossibility)  
3. Power operation creates cardinal jump
4. Self-bijection contradiction for P(S)

This reflects deeper mathematical structure where power sets are inherently "larger" than their bases.

### Answer###
L'ensemble des parties (ou puissance) d'un ensemble fini contient effectivement toujours strictement plus d'éléments que l'ensemble d'origine.

Pour un ensemble S ayant n éléments, son ensemble de parties P(S) contient 2ⁿ éléments. Par exemple, un ensemble à 3 éléments a une puissance de 8 éléments. Cette relation 2ⁿ > n pour n > 0 reflète le fait que le nombre d'éléments dans l'ensemble des parties croît exponentiellement avec la taille de l'ensemble d'origine.

Cette propriété découle d'un résultat plus fondamental : il n'existe jamais de bijection (correspondance biunivoque) entre un ensemble fini et son ensemble de parties. Autrement dit, aucune tentative pour apparier les éléments de l'ensemble d'origine avec les éléments de son ensemble de parties ne peut être exhaustive.

Cette "explosion" cardinale s'explique par la structure même des ensembles de parties. Même pour les ensembles finis, l'ensemble des parties comprend l'ensemble vide et l'ensemble lui-même, qui sont des sous-ensembles. Les autres sous-ensembles peuvent former des combinaisons de différents éléments de l'ensemble d'origine, créant ainsi une multitude d'objets plus importante que la simple somme des éléments initiaux.

Cette propriété est d'ailleurs à l'origine de paradoxes fondamentaux en théorie des ensembles et illustre les limites des conceptions naïves de ce qu'est un ensemble.