Est-ce que le corps des nombres complexes est bien algébriquement clos ?
Fundamental theorem of algebra

The fundamental theorem of algebra, of Carl Friedrich Gauss and Jean le Rond d'Alembert, states that for any complex numbers (called coefficients) a,..., a, the equation a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0} has at least one complex solution z, provided that at least one of the higher coefficients a,..., a is nonzero. This property does not hold for the field of rational numbers Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (the polynomial x − 2 does not have a rational root, because √2 is not a rational number) nor the real numbers R {\displaystyle \mathbb {R} } (the polynomial x + 4 does not have a real root, because the square of x is positive for any real number x).

Because of this fact, C {\displaystyle \mathbb {C} } is called an algebraically closed field. It is a cornerstone of various applications of complex numbers, as is detailed further below. There are various proofs of this theorem, by either analytic methods such as Liouville's theorem, or topological ones such as the winding number, or a proof combining Galois theory and the fact that any real polynomial of odd degree has at least one real root.
Opérations de clôture algébrique

Un corps est algébriquement clos s'il n'a pas d'extensions algébriques strictement plus grandes, ou, de manière équivalente, si toute équation polynomiale

admet une solution x ∈ F. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, C est algébriquement clos, c'est-à-dire que toute équation polynomiale à coefficients complexes admet une solution complexe. Les nombres rationnels et réels ne sont pas algébriquement clos puisque l'équation

n'admet aucune solution rationnelle ni réelle. Un corps contenant F est appelé clôture algébrique de F s'il est algébrique sur F (grossièrement parlant, pas trop grand par rapport à F) et est algébriquement clos (assez grand pour contenir les solutions de toutes les équations polynomiales).

D'après ce qui précède, C est une clôture algébrique de R. La situation où la clôture algébrique est une extension finie du corps F est assez spéciale : d'après le théorème d'Artin-Schreier, le degré de cette extension est nécessairement 2, et F est élémentairement équivalent à R. De tels corps sont également appelés corps réels fermés.

Tout corps F possède une clôture algébrique, qui est de plus unique à (non-unicité) isomorphisme près. On l'appelle communément la clôture algébrique et on la note F̄. Par exemple, la clôture algébrique Q̄ de Q est appelée le corps des nombres algébriques. Le corps F̄ est généralement plutôt implicite puisque sa construction nécessite le lemme de l'ultrafiltre, un axiome de théorie des ensembles qui est plus faible que l'axiome du choix. À cet égard, la clôture algébrique de F est exceptionnellement simple. Elle est l'union des corps finis contenant F (ceux d'ordre q). Pour tout corps algébriquement clos F de caractéristique 0, la clôture algébrique du corps F((t)) des séries de Laurent est le corps des séries de Puiseux, obtenu en adjoignant des racines de t.
### Query ###
Est-ce que le corps des nombres complexes est bien algébriquement clos ?

### Main Text ###
Fundamental theorem of algebra

The fundamental theorem of algebra, of Carl Friedrich Gauss and Jean le Rond d'Alembert, states that for any complex numbers (called coefficients) a,..., a, the equation a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0} has at least one complex solution z, provided that at least one of the higher coefficients a,..., a is nonzero. This property does not hold for the field of rational numbers Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (the polynomial x − 2 does not have a rational root, because √2 is not a rational number) nor the real numbers R {\displaystyle \mathbb {R} } (the polynomial x + 4 does not have a real root, because the square of x is positive for any real number x).

Because of this fact, C {\displaystyle \mathbb {C} } is called an algebraically closed field. It is a cornerstone of various applications of complex numbers, as is detailed further below. There are various proofs of this theorem, by either analytic methods such as Liouville's theorem, or topological ones such as the winding number, or a proof combining Galois theory and the fact that any real polynomial of odd degree has at least one real root.

### Supplementary Text ###
Opérations de clôture algébrique

Un corps est algébriquement clos s'il n'a pas d'extensions algébriques strictement plus grandes, ou, de manière équivalente, si toute équation polynomiale

admet une solution x ∈ F. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, C est algébriquement clos, c'est-à-dire que toute équation polynomiale à coefficients complexes admet une solution complexe. Les nombres rationnels et réels ne sont pas algébriquement clos puisque l'équation

n'admet aucune solution rationnelle ni réelle. Un corps contenant F est appelé clôture algébrique de F s'il est algébrique sur F (grossièrement parlant, pas trop grand par rapport à F) et est algébriquement clos (assez grand pour contenir les solutions de toutes les équations polynomiales).

D'après ce qui précède, C est une clôture algébrique de R. La situation où la clôture algébrique est une extension finie du corps F est assez spéciale : d'après le théorème d'Artin-Schreier, le degré de cette extension est nécessairement 2, et F est élémentairement équivalent à R. De tels corps sont également appelés corps réels fermés.

Tout corps F possède une clôture algébrique, qui est de plus unique à (non-unicité) isomorphisme près. On l'appelle communément la clôture algébrique et on la note F̄. Par exemple, la clôture algébrique Q̄ de Q est appelée le corps des nombres algébriques. Le corps F̄ est généralement plutôt implicite puisque sa construction nécessite le lemme de l'ultrafiltre, un axiome de théorie des ensembles qui est plus faible que l'axiome du choix. À cet égard, la clôture algébrique de F est exceptionnellement simple. Elle est l'union des corps finis contenant F (ceux d'ordre q). Pour tout corps algébriquement clos F de caractéristique 0, la clôture algébrique du corps F((t)) des séries de Laurent est le corps des séries de Puiseux, obtenu en adjoignant des racines de t.

### Draft ###

Query: "Est-ce que le corps des nombres complexes est bien algébriquement clos ?"

French → English: "Is the field of complex numbers algebraically closed?"

Direct question. "Bien" = emphasis on correctness/confirmation needed.

### 1. Definition Check

Algebraic closure definition: Field F algebraically closed ⟺ every non-constant polynomial f(x) ∈ F[x] has root in F.

Complex numbers ℂ: {a + bi : a,b ∈ ℝ, i² = -1}.

Question: ℂ algebraically closed?

### 2. Fundamental Theorem Application

Core result needed: Fundamental Theorem of Algebra (FTA).

FTA states: Every non-constant polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

∴ ℂ algebraically closed.

⟨H≈0.3⟩ *Why this matters: No polynomial f(x) ∈ ℂ[x] of degree >0 without root in ℂ. Every polynomial factors completely over ℂ. Field "complete" in sense of containing all algebraic extensions.*

### 3. Contrast Fields

Rational numbers ℚ: Not algebraically closed.
- x² - 2 has no rational root
- √2 ∉ ℚ

Real numbers ℝ: Not algebraically closed.  
- x² + 1 has no real root
- i ∉ ℝ

Complex numbers ℂ: Algebraically closed.
- Every polynomial f(x) ∈ ℂ[x] factors as f(x) = (x - α₁)^(n₁) ⋯ (x - αₖ)^(nₖ)
- All roots contained in ℂ

### 4. Verification Path

☑ FTA confirms ℂ closure
☑ Counterexamples show ℚ, ℝ non-closure  
☑ Historical context: Gauss, d'Alembert proof
☑ Applications leverage this property

NB: This makes ℂ "complete" field from polynomial perspective.

**Conclusion**: Oui, ℂ is algebraically closed. FTA guarantees it. Essential property enabling complex analysis, Fourier theory, etc.

### Answer###
Oui, le corps des nombres complexes est bien algébriquement clos.

Un corps est dit algébriquement clos lorsqu'il ne possède pas d'extensions algébriques strictement plus grandes, ou encore lorsque toute équation polynomiale à coefficients dans ce corps admet au moins une solution dans ce corps.

Le théorème fondamental de l'algèbre, démontré par Carl Friedrich Gauss et Jean le Rond d'Alembert, établit précisément que pour tout polynôme à coefficients complexes a₀ + a₁z + ... + aₙzⁿ avec aₙ ≠ 0, il existe au moins une solution complexe z. Cette propriété ne s'applique ni aux nombres rationnels ℚ (où le polynôme x² - 2 n'a pas de racine rationnelle, car √2 n'est pas rationnel) ni aux nombres réels ℝ (où le polynôme x² + 4 n'a pas de racine réelle).

Cette propriété d'être algébriquement clos fait des nombres complexes un outil fondamental en mathématiques, notamment en analyse complexe et en physique théorique.