Le gain de courant d'un circuit T d'inductances couplées est-il indépendant de l'impédance de charge quel que soit le couplage ?
T-circuit

Mutually coupled inductors can equivalently be represented by a T-circuit of inductors as shown. If the coupling is strong and the inductors are of unequal values then the series inductor on the step-down side may take on a negative value.

This can be analyzed as a two port network. With the output terminated with some arbitrary impedance Z {\displaystyle Z}, the voltage gain A v {\displaystyle A_{v}}, is given by,

A v = s M Z s 2 L 1 L 2 − s 2 M 2 + s L 1 Z = k s (1 − k 2) L 1 L 2 Z + L 1 L 2 {\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}

where k {\displaystyle k} is the coupling constant and s {\displaystyle s} is the complex frequency variable, as above.For tightly coupled inductors where k = 1 {\displaystyle k=1} this reduces to

A v = L 2 L 1 {\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}

which is independent of the load impedance. If the inductors are wound on the same core and with the same geometry, then this expression is equal to the turns ratio of the two inductors because inductance is proportional to the square of turns ratio.

The input impedance of the network is given by,

Z in = s 2 L 1 L 2 − s 2 M 2 + s L 1 Z s L 2 + Z = L 1 L 2 Z (1 1 + Z s L 2) (1 + 1 − k 2 Z s L 2) {\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}

For k = 1 {\displaystyle k=1} this reduces to

Z in = s L 1 Z s L 2 + Z = L 1 L 2 Z (1 1 + Z s L 2) {\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}

Thus, current gain A i {\displaystyle A_{i}} is not independent of load unless the further condition

| s L 2 | ≫ | Z | {\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}

is met, in which case,

Z in ≈ L 1 L 2 Z {\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}

and

A i ≈ L 1 L 2 = 1 A v {\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}
Circuit T

Les inductances couplées mutuellement peuvent être représentées de manière équivalente par un circuit T d'inductances tel que montré. Si le couplage est fort et que les inductances ont des valeurs inégales, l'inductance en série du côté abaisseur de tension peut prendre une valeur négative.

Ceci peut être analysé comme un réseau à deux ports. Avec la sortie terminée par une impédance arbitraire Z, le gain de tension A<sub>v</sub> est donné par :

A<sub>v</sub> = s M Z / (s<sup>2</sup>L<sub>1</sub>L<sub>2</sub> - s<sup>2</sup>M<sup>2</sup> + sL<sub>1</sub>Z) = k / (s(1 - k<sup>2</sup>)(√(L<sub>1</sub>L<sub>2</sub>)/Z) + √(L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>))

où k est la constante de couplage et s est la variable de fréquence complexe, comme indiqué précédemment. Pour des inductances fortement couplées où k = 1, cela se réduit à :

A<sub>v</sub> = √(L<sub>2</sub> / L<sub>1</sub>)

ce qui est indépendant de l'impédance de charge. Si les inductances sont enroulées sur le même noyau et avec la même géométrie, cette expression est égale au rapport de spires des deux inductances, car l'inductance est proportionnelle au carré du rapport de spires.

L'impédance d'entrée du réseau est donnée par :

Z<sub>in</sub> = (s<sup>2</sup>L<sub>1</sub>L<sub>2</sub> - s<sup>2</sup>M<sup>2</sup> + sL<sub>1</sub>Z) / (sL<sub>2</sub> + Z) = (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z * (1 / (1 + Z/(sL<sub>2</sub>))) * (1 + (1 - k<sup>2</sup>) / (Z/(sL<sub>2</sub>)))

Pour k = 1, cela se réduit à :

Z<sub>in</sub> = (sL<sub>1</sub>Z) / (sL<sub>2</sub> + Z) = (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z * (1 / (1 + Z/(sL<sub>2</sub>)))

Ainsi, le gain de courant A<sub>i</sub> n'est pas indépendant de la charge, à moins que la condition supplémentaire

|sL<sub>2</sub>| ≫ |Z|

soit satisfaite, auquel cas :

Z<sub>in</sub> ≈ (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z

et

A<sub>i</sub> ≈ √(L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) = 1/A<sub>v</sub>
### Query ###
Le gain de courant d'un circuit T d'inductances couplées est-il indépendant de l'impédance de charge quel que soit le couplage ?

### Main Text ###
T-circuit

Mutually coupled inductors can equivalently be represented by a T-circuit of inductors as shown. If the coupling is strong and the inductors are of unequal values then the series inductor on the step-down side may take on a negative value.

This can be analyzed as a two port network. With the output terminated with some arbitrary impedance Z {\displaystyle Z}, the voltage gain A v {\displaystyle A_{v}}, is given by,

A v = s M Z s 2 L 1 L 2 − s 2 M 2 + s L 1 Z = k s (1 − k 2) L 1 L 2 Z + L 1 L 2 {\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}

where k {\displaystyle k} is the coupling constant and s {\displaystyle s} is the complex frequency variable, as above.For tightly coupled inductors where k = 1 {\displaystyle k=1} this reduces to

A v = L 2 L 1 {\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}

which is independent of the load impedance. If the inductors are wound on the same core and with the same geometry, then this expression is equal to the turns ratio of the two inductors because inductance is proportional to the square of turns ratio.

The input impedance of the network is given by,

Z in = s 2 L 1 L 2 − s 2 M 2 + s L 1 Z s L 2 + Z = L 1 L 2 Z (1 1 + Z s L 2) (1 + 1 − k 2 Z s L 2) {\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}

For k = 1 {\displaystyle k=1} this reduces to

Z in = s L 1 Z s L 2 + Z = L 1 L 2 Z (1 1 + Z s L 2) {\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}

Thus, current gain A i {\displaystyle A_{i}} is not independent of load unless the further condition

| s L 2 | ≫ | Z | {\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}

is met, in which case,

Z in ≈ L 1 L 2 Z {\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}

and

A i ≈ L 1 L 2 = 1 A v {\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}

### Supplementary Text ###
Circuit T

Les inductances couplées mutuellement peuvent être représentées de manière équivalente par un circuit T d'inductances tel que montré. Si le couplage est fort et que les inductances ont des valeurs inégales, l'inductance en série du côté abaisseur de tension peut prendre une valeur négative.

Ceci peut être analysé comme un réseau à deux ports. Avec la sortie terminée par une impédance arbitraire Z, le gain de tension A<sub>v</sub> est donné par :

A<sub>v</sub> = s M Z / (s<sup>2</sup>L<sub>1</sub>L<sub>2</sub> - s<sup>2</sup>M<sup>2</sup> + sL<sub>1</sub>Z) = k / (s(1 - k<sup>2</sup>)(√(L<sub>1</sub>L<sub>2</sub>)/Z) + √(L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>))

où k est la constante de couplage et s est la variable de fréquence complexe, comme indiqué précédemment. Pour des inductances fortement couplées où k = 1, cela se réduit à :

A<sub>v</sub> = √(L<sub>2</sub> / L<sub>1</sub>)

ce qui est indépendant de l'impédance de charge. Si les inductances sont enroulées sur le même noyau et avec la même géométrie, cette expression est égale au rapport de spires des deux inductances, car l'inductance est proportionnelle au carré du rapport de spires.

L'impédance d'entrée du réseau est donnée par :

Z<sub>in</sub> = (s<sup>2</sup>L<sub>1</sub>L<sub>2</sub> - s<sup>2</sup>M<sup>2</sup> + sL<sub>1</sub>Z) / (sL<sub>2</sub> + Z) = (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z * (1 / (1 + Z/(sL<sub>2</sub>))) * (1 + (1 - k<sup>2</sup>) / (Z/(sL<sub>2</sub>)))

Pour k = 1, cela se réduit à :

Z<sub>in</sub> = (sL<sub>1</sub>Z) / (sL<sub>2</sub> + Z) = (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z * (1 / (1 + Z/(sL<sub>2</sub>)))

Ainsi, le gain de courant A<sub>i</sub> n'est pas indépendant de la charge, à moins que la condition supplémentaire

|sL<sub>2</sub>| ≫ |Z|

soit satisfaite, auquel cas :

Z<sub>in</sub> ≈ (L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) * Z

et

A<sub>i</sub> ≈ √(L<sub>1</sub>/L<sub>2</sub>) = 1/A<sub>v</sub>

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"gain de courant d'un circuit T" → current gain of T-circuit
"indépendance de l'impédance de charge" → independence from load impedance  
"quel que soit le couplage" → regardless of coupling

Core question: Is current gain Aᵢ(Z) constant across all loads Z?

### 2. Circuit Topology Analysis

T-circuit structure:
```
   Z₀
     ↓
L₁ - M₁₂ - L₂
```

Current gain definition: Aᵢ = I₀/Iᵢ = (V₀/Z₀)/(V/Z) = Z₀/Z × Aᵥ

Where Aᵥ = voltage gain from primary to secondary.

### 3. Voltage Gain Dependency

Key relationship: Aᵥ = (sM)/(s²L₁L₂ - s²M² + sL₁Z)

Denominator contains Z term → Aᵥ depends on load Z

Critical insight: For tight coupling (k = 1), Aᵥ reduces to √L₂/L₁
But this requires k = 1 (perfect coupling)

### 4. Independence Condition

If Aᵥ independent of Z → numerator must cancel Z dependence in denominator

This happens when: s²L₁L₂ - s²M² + sL₁Z = 0 independent of Z

Solving: s²(L₁L₂ - M²) = -sL₁Z

For independence: L₁L₂ - M² = 0

∴ Only when L₁L₂ = M² does Aᵥ become Z-independent

But L₁L₂ = M² ⟺ perfect coupling k = 1

### 5. Practical Reality Check

Real transformers: L₁L₂ ≈ M² (tight coupling)
→ Voltage gain ≈ constant across loads
→ Current gain ≈ reciprocal of voltage gain

Loose coupling: L₁L₂ ≠ M²
→ Voltage gain varies with load
→ Current gain varies accordingly

### 6. Conclusion

**Answer: No**

Current gain generally depends on load impedance.

Independence requires:
- Perfect coupling (k = 1) 
- Satisfying L₁L₂ = M²
- Operating in high-impedance regime

Most practical transformers approximate this condition → current gain appears load-independent across typical loads.

But fundamental dependency exists due to coupling coefficient limitations.

### Answer###
Le gain de courant d'un circuit T d'inductances couplées n'est pas intrinsèquement indépendant de l'impédance de charge, même si certaines conditions particulières peuvent le rendre pratiquement constant.

Le gain de tension Aᵥ dépend de l'impédance de charge Z selon la relation : Aᵥ = sM/(s²L₁L₂ - s²M² + sL₁Z). Cette dépendance directe implique que le gain de courant Aᵢ ne peut pas être complètement indépendant de Z, car Aᵢ ≈ 1/Aᵥ.

Cependant, pour un couplage très serré (k = 1) et des inductances de valeurs égales, le gain de tension se simplifie en Aᵥ = √(L₂/L₁) et devient effectivement indépendant de l'impédance de charge. Dans ce cas particulier, le gain de courant Aᵢ ≈ √(L₁/L₂) = 1/Aᵥ.

L'indépendance complète du gain de courant par rapport à la charge nécessite toutefois une condition supplémentaire : |sL₂| ≫ |Z|. Lorsque cette condition est satisfaite, l'impédance d'entrée s'approche de Zᵢ ≈ (L₁/L₂)Z, et le gain de courant devient approximativement Aᵢ ≈ √(L₁/L₂) = 1/Aᵥ.

En résumé, bien que le gain de courant puisse apparaître indépendant de la charge dans des conditions particulières de couplage serré et d'impédances appropriées, cette indépendance n'est pas une propriété générale du circuit T.