Je comprends pas bien la méthode des tableaux en logique. C'est quoi exactement un tableau et comment ça marche pour prouver une formule ?
Tableaux method

Unlike the methods just described the derivations in the tableaux method are not lists of formulas. Instead, a derivation is a tree of formulas. To show that a formula A is provable, the tableaux method attempts to demonstrate that the negation of A is unsatisfiable. The tree of the derivation has ¬ A {\displaystyle \lnot A} at its root; the tree branches in a way that reflects the structure of the formula. For example, to show that C ∨ D {\displaystyle C\lor D} is unsatisfiable requires showing that C and D are each unsatisfiable; this corresponds to a branching point in the tree with parent C ∨ D {\displaystyle C\lor D} and children C and D.
Preuve sémantique par tableaux

Étant donné que les tables de vérité ont 2 lignes pour n variables, elles peuvent devenir excessivement longues pour de grandes valeurs de n. Les tableaux analytiques sont une méthode de preuve sémantique plus efficace, mais néanmoins mécanique ; ils tirent parti du fait que « nous n'apprenons rien sur la validité de l'inférence en examinant les distributions de valeurs de vérité qui rendent soit les prémisses fausses, soit la conclusion vraie : les seules distributions pertinentes lors de la considération de la validité déductive sont manifestement celles qui rendent les prémisses vraies ou la conclusion fausse. »

Les tableaux analytiques pour la logique propositionnelle sont entièrement spécifiés par les règles énoncées sous forme schématique ci-dessous. Ces règles utilisent des « formules signées », où une formule signée est une expression T X ou F X, où X est une (non signée) formule du langage L. (Informellement, T X se lit « X est vrai », et F X se lit « X est faux ».) Leur définition sémantique formelle est que « sous n'importe quelle interprétation, une formule signée T X est appelée vraie si X est vrai, et fausse si X est faux, tandis qu'une formule signée F X est appelée fausse si X est vrai, et vraie si X est faux. »

1) T ∼ X F X F ∼ X T X espace 2) T (X ∧ Y) T X T Y F (X ∧ Y) F X | F Y espace 3) T (X ∨ Y) T X | T Y F (X ∨ Y) F X F Y espace 4) T (X ⊃ Y) F X | T Y F (X ⊃ Y) T X F Y  
{\displaystyle {\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}}

Dans cette notation, la règle 2 signifie que T (X ∧ Y) donne à la fois T X, T Y, tandis que F (X ∧ Y) se ramifie en F X, F Y. La notation doit être comprise de manière analogue pour les règles 3 et 4. Souvent, dans les tableaux pour la logique classique, la notation des formules signées est simplifiée de sorte que T φ est écrit simplement comme φ, et F φ comme ¬ φ, ce qui explique pourquoi la règle 1 est appelée la « Règle de la Double Négation ».

On construit un tableau pour un ensemble de formules en appliquant les règles pour produire davantage de lignes et de branches arborescentes jusqu'à ce que chaque ligne ait été utilisée, produisant ainsi un tableau complet. Dans certains cas, une branche peut contenir à la fois T X et F X pour un certain X, c'est-à-dire une contradiction. Dans ce cas, la branche est dite fermée. Si toutes les branches d'un arbre sont fermées, l'arbre lui-même est dit fermé. En vertu des règles de construction des tableaux, un arbre fermé est une preuve que la formule ou l'ensemble de formules d'origine utilisé pour le construire était lui-même contradictoire, et donc faux. Inversement, un tableau peut également prouver qu'une formule logique est tautologique : si une formule est tautologique, sa négation est une contradiction, donc un tableau construit à partir de sa négation se fermera.

Pour construire un tableau pour un argument ⟨ { φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n }, ψ ⟩, on écrit d'abord l'ensemble des formules de prémisses, { φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n }, avec une formule par ligne, signée avec T ; et, avec ces formules (l'ordre n'est pas important), on écrit également la conclusion, ψ, signée avec F. On produit ensuite un arbre de vérité (tableau analytique) en utilisant toutes ces lignes selon les règles. Un arbre fermé sera une preuve que l'argument était valide, en vertu du fait que φ ⊨ ψ si et seulement si { φ, ∼ ψ } est incohérent (également écrit φ, ∼ ψ ⊨ ).
### Query ###
Je comprends pas bien la méthode des tableaux en logique. C'est quoi exactement un tableau et comment ça marche pour prouver une formule ?

### Main Text ###
Tableaux method

Unlike the methods just described the derivations in the tableaux method are not lists of formulas. Instead, a derivation is a tree of formulas. To show that a formula A is provable, the tableaux method attempts to demonstrate that the negation of A is unsatisfiable. The tree of the derivation has ¬ A {\displaystyle \lnot A} at its root; the tree branches in a way that reflects the structure of the formula. For example, to show that C ∨ D {\displaystyle C\lor D} is unsatisfiable requires showing that C and D are each unsatisfiable; this corresponds to a branching point in the tree with parent C ∨ D {\displaystyle C\lor D} and children C and D.

### Supplementary Text ###
Preuve sémantique par tableaux

Étant donné que les tables de vérité ont 2 lignes pour n variables, elles peuvent devenir excessivement longues pour de grandes valeurs de n. Les tableaux analytiques sont une méthode de preuve sémantique plus efficace, mais néanmoins mécanique ; ils tirent parti du fait que « nous n'apprenons rien sur la validité de l'inférence en examinant les distributions de valeurs de vérité qui rendent soit les prémisses fausses, soit la conclusion vraie : les seules distributions pertinentes lors de la considération de la validité déductive sont manifestement celles qui rendent les prémisses vraies ou la conclusion fausse. »

Les tableaux analytiques pour la logique propositionnelle sont entièrement spécifiés par les règles énoncées sous forme schématique ci-dessous. Ces règles utilisent des « formules signées », où une formule signée est une expression T X ou F X, où X est une (non signée) formule du langage L. (Informellement, T X se lit « X est vrai », et F X se lit « X est faux ».) Leur définition sémantique formelle est que « sous n'importe quelle interprétation, une formule signée T X est appelée vraie si X est vrai, et fausse si X est faux, tandis qu'une formule signée F X est appelée fausse si X est vrai, et vraie si X est faux. »

1) T ∼ X F X F ∼ X T X espace 2) T (X ∧ Y) T X T Y F (X ∧ Y) F X | F Y espace 3) T (X ∨ Y) T X | T Y F (X ∨ Y) F X F Y espace 4) T (X ⊃ Y) F X | T Y F (X ⊃ Y) T X F Y  
{\displaystyle {\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}}

Dans cette notation, la règle 2 signifie que T (X ∧ Y) donne à la fois T X, T Y, tandis que F (X ∧ Y) se ramifie en F X, F Y. La notation doit être comprise de manière analogue pour les règles 3 et 4. Souvent, dans les tableaux pour la logique classique, la notation des formules signées est simplifiée de sorte que T φ est écrit simplement comme φ, et F φ comme ¬ φ, ce qui explique pourquoi la règle 1 est appelée la « Règle de la Double Négation ».

On construit un tableau pour un ensemble de formules en appliquant les règles pour produire davantage de lignes et de branches arborescentes jusqu'à ce que chaque ligne ait été utilisée, produisant ainsi un tableau complet. Dans certains cas, une branche peut contenir à la fois T X et F X pour un certain X, c'est-à-dire une contradiction. Dans ce cas, la branche est dite fermée. Si toutes les branches d'un arbre sont fermées, l'arbre lui-même est dit fermé. En vertu des règles de construction des tableaux, un arbre fermé est une preuve que la formule ou l'ensemble de formules d'origine utilisé pour le construire était lui-même contradictoire, et donc faux. Inversement, un tableau peut également prouver qu'une formule logique est tautologique : si une formule est tautologique, sa négation est une contradiction, donc un tableau construit à partir de sa négation se fermera.

Pour construire un tableau pour un argument ⟨ { φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n }, ψ ⟩, on écrit d'abord l'ensemble des formules de prémisses, { φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n }, avec une formule par ligne, signée avec T ; et, avec ces formules (l'ordre n'est pas important), on écrit également la conclusion, ψ, signée avec F. On produit ensuite un arbre de vérité (tableau analytique) en utilisant toutes ces lignes selon les règles. Un arbre fermé sera une preuve que l'argument était valide, en vertu du fait que φ ⊨ ψ si et seulement si { φ, ∼ ψ } est incohérent (également écrit φ, ∼ ψ ⊨ ).

### Draft ###

**Query parsing**: "méthode des tableaux en logique" → tableau method in logic. User confused about process mechanics.

**Core question**: What exactly is a tableau? How does it work for proving formulas?

**Translation check**: "tableaux" = syntactic tableaux (Fitch-style) vs semantic tableaux (truth trees). Context suggests semantic approach.

### 1. Method Overview

**Tableau = systematic truth-table construction**. Not actual tables though - tree structures.

**Core principle**: Prove ¬A unsatisfiable → A provable.

**Workflow**:
1. Start with negated target formula
2. Apply inference rules to generate branches  
3. Tree grows outward showing all possible interpretations
4. Goal: force contradiction (closed branches)

### 2. Rule System

**Truth decomposition rules**:

```
Original formula: A ∨ B
Negated form: ¬(A ∨ B)  
Branching: ¬A ∧ ¬B
```

**Truth preservation**: Each branch maintains logical properties of original formula.

**Contradiction detection**: Same variable both true/false on same branch = **closed branch**.

### 3. Example

Prove: A ∨ (B ∧ ¬B) satisfiable?

**Setup**: ¬[A ∨ (B ∧ ¬B)]
**Initial state**: A ∧ (B ∧ ¬B)  
**Branching**: A, B, ¬B
**Result**: Open branches remain → satisfiable!

### 4. Verification

**Branch closure conditions**:
- True/False same variable = contradiction  
- Empty branch = contradiction
- All branches closed = unsatisfiable = false

**Key insight**: Mechanical process, no proof-by-inspection needed.

### 5. Practical Notes

**Efficiency**: Exponential branch growth but pruning possible.

**Completeness**: Sound + complete for propositional logic.

**Alternative to truth tables**: 2ⁿ rows → n levels of tableau.

**∴ Tableaux transform proof search into systematic tree construction**. Each node = formula fragment. Leaf contradiction = proof success.

### Answer###
La méthode des tableaux est une technique formelle pour démontrer la validité des formules logiques. Contrairement aux autres méthodes de preuve qui produisent des listes de formules, cette méthode génère des arbres de formules.

Le principe fonctionne en essayant de démontrer que la négation d'une formule donnée est insatisfiable. L'arbre de preuve commence par la formule ¬A (la négation de ce que vous voulez prouver) placée à la racine. L'arbre se divise de manière à refléter la structure logique de la formule. Par exemple, pour prouver qu'une disjonction C ∨ D est insatisfiable, il faut démontrer que C et D sont chacun insatisfiables. Cela correspond à une division du tableau en deux branches avec C et D comme enfants directs.

Les tableaux utilisent des "formules signées" où une formule signée est une expression T X ou F X, où X est une formule non signée. Intuitivement, T X se lit "X est vrai" et F X se lit "X est faux". Ces formules suivent des règles de construction systématiques : une formule signée T X est vraie si X est vrai, et fausse sinon. Inversement, une formule signée F X est fausse si X est vrai, et vraie sinon.

La construction d'un tableau suit ces règles en appliquant les transformations jusqu'à ce que chaque ligne ait été utilisée, créant ainsi un tableau complet. Une branche peut contenir à la fois T X et F X pour une variable donnée, créant une contradiction et fermant cette branche. Si toutes les branches d'un arbre se ferment, l'arbre lui-même est fermé, prouvant que la formule d'origine était contradictoire et donc fausse.

Cette méthode peut également prouver que les formules sont tautologiques : si une formule est tautologique, sa négation est une contradiction, et un tableau construit à partir de sa négation se fermera.