Comment ça se fait que quand on multiplie un vecteur par un nombre, sa norme augmente aussi mais pas de la même manière que sa longueur ?
Scalars in normed vector spaces

Alternatively, a vector space V can be equipped with a norm function that assigns to every vector v in V a scalar || v ||. By definition, multiplying v by a scalar k also multiplies its norm by | k |. If || v || is interpreted as the length of v, this operation can be described as scaling the length of v by k. A vector space equipped with a norm is called a normed vector space (or normed linear space).

The norm is usually defined to be an element of V ' s scalar field K, which restricts the latter to fields that support the notion of sign. Moreover, if V has dimension 2 or more, K must be closed under square root, as well as the four arithmetic operations; thus the rational numbers Q are excluded, but the surd field is acceptable. For this reason, not every scalar product space is a normed vector space.
Longueur

La longueur, la magnitude ou la norme du vecteur a est notée ‖ a ‖ ou, moins fréquemment, | a |, ce qui ne doit pas être confondu avec la valeur absolue (une norme scalaire).

La longueur du vecteur a peut être calculée à l'aide de la norme euclidienne,

‖ a ‖ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2, {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}

qui est une conséquence du théorème de Pythagore puisque les vecteurs de base e, e, e sont des vecteurs unitaires orthogonaux.

Cela est égal à la racine carrée du produit scalaire, discuté ci-dessous, du vecteur avec lui-même :

‖ a ‖ = a ⋅ a. {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}
### Query ###
Comment ça se fait que quand on multiplie un vecteur par un nombre, sa norme augmente aussi mais pas de la même manière que sa longueur ?

### Main Text ###
Scalars in normed vector spaces

Alternatively, a vector space V can be equipped with a norm function that assigns to every vector v in V a scalar || v ||. By definition, multiplying v by a scalar k also multiplies its norm by | k |. If || v || is interpreted as the length of v, this operation can be described as scaling the length of v by k. A vector space equipped with a norm is called a normed vector space (or normed linear space).

The norm is usually defined to be an element of V ' s scalar field K, which restricts the latter to fields that support the notion of sign. Moreover, if V has dimension 2 or more, K must be closed under square root, as well as the four arithmetic operations; thus the rational numbers Q are excluded, but the surd field is acceptable. For this reason, not every scalar product space is a normed vector space.

### Supplementary Text ###
Longueur

La longueur, la magnitude ou la norme du vecteur a est notée ‖ a ‖ ou, moins fréquemment, | a |, ce qui ne doit pas être confondu avec la valeur absolue (une norme scalaire).

La longueur du vecteur a peut être calculée à l'aide de la norme euclidienne,

‖ a ‖ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2, {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}

qui est une conséquence du théorème de Pythagore puisque les vecteurs de base e, e, e sont des vecteurs unitaires orthogonaux.

Cela est égal à la racine carrée du produit scalaire, discuté ci-dessous, du vecteur avec lui-même :

‖ a ‖ = a ⋅ a. {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment ça se fait que quand on multiplie un vecteur par un nombre, sa norme augmente aussi mais pas de la même manière que sa longueur ?"

→ Core confusion: user thinks there's difference between "norme" and "longueur"
→ French "norme" = norm (mathematical) vs "longueur" = length
→ Likely conflating geometric intuition with abstract vector space theory

### 2. Mathematical Clarification

● High confidence: No fundamental difference between norm and length in standard Euclidean space ℝⁿ.

For vector v ∈ ℝⁿ, with norm ||v|| and coordinates (v₁, v₂, ..., vₙ):
- ||v||² = v₁² + v₂² + ... + vₙ²
- ||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)

∴ Length = √(norm²) = norm when Euclidean metric used.

### 3. Scaling Properties

When multiplying vector v by scalar k:
- ||kv|| = |k|·||v||
- Result: magnitude scales by factor |k|

User's observation correct: multiplying by k doesn't give same scaling as multiplying by k².

Example:
- v = (3, 4) → ||v|| = 5
- 2v = (6, 8) → ||2v|| = 10 = 2·||v|| ✓
- But: (2v)² ≠ (2²v)² 
- (2v)² = (6, 8)·(6, 8) = 100
- (2²v)² = (12, 16)·(12, 16) = 400

### 4. Abstract Vector Space Context

In abstract normed vector spaces:
- Norm may not be Euclidean distance
- Could be Manhattan norm, taxicab norm, etc.
- Still: ||kv|| = |k|·||v||

⚠ Potential confusion: "norme" in French can mean "standard" or "regulation" outside math.

### 5. Resolution

User's confusion likely stems from:
- Geometric vs algebraic thinking
- French terminology precision
- Not realizing Euclidean norm is just special case

∴ No mysterious difference between norm and length - they're equivalent in standard Euclidean space. Scaling follows |k| rule, not k rule.

NB: This is foundational linear algebra, not advanced topic.

### Answer###
En multipliant un vecteur par un scalaire, sa norme augmente effectivement, mais cette relation n'est pas linéaire. Lorsque vous multipliez un vecteur v par un scalaire k, la norme du résultat est égale à |k| × ||v||, où ||v|| représente la norme (ou longueur) du vecteur original v.

Cette propriété peut sembler contre-intuitive au premier abord, mais elle découle du fait que la norme d'un vecteur est une quantité scalaire qui suit les règles de la valeur absolue. Lorsque vous multipliez le vecteur par un scalaire, vous étendez ou contractez sa longueur selon la valeur absolue du scalaire, mais pas nécessairement selon sa valeur au carré.

Par exemple, si vous multipliez un vecteur de longueur 5 par le scalaire 2, vous obtenez un vecteur de longueur 10 (donc 2 fois plus long). Si vous le multipliez par le scalaire 3, vous obtenez un vecteur de longueur 15 (3 fois plus long). La relation n'est pas linéaire car ||2v|| = 2 × ||v|| et ||3v|| = 3 × ||v||, mais (2v)² ≠ (3v)².

Cette distinction entre norme et longueur peut parfois se faire plus clairement lorsque l'on travaille dans des espaces vectoriels normés abstraits, où la notion de norme peut être plus générale que la simple longueur euclidienne.