Pourrais-tu prédire le résultat de (x - a)^5 δ(x - a) ?
Algebraic properties

The distributional product of δ with x is equal to zero:

x δ (x) = 0. {\displaystyle x\,\delta (x)=0.}

More generally, (x − a) n δ (x − a) = 0 {\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0} for all positive integers n {\displaystyle n}.

Conversely, if xf (x) = xg (x), where f and g are distributions, then

f (x) = g (x) + c δ (x) {\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}

for some constant c.
Dérivation mathématique

(5) u<sub>t</sub> = (α - ε<sub>t</sub>) / β

### Query ###
Pourrais-tu prédire le résultat de (x - a)^5 δ(x - a) ?

### Main Text ###
Algebraic properties

The distributional product of δ with x is equal to zero:

x δ (x) = 0. {\displaystyle x\,\delta (x)=0.}

More generally, (x − a) n δ (x − a) = 0 {\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0} for all positive integers n {\displaystyle n}.

Conversely, if xf (x) = xg (x), where f and g are distributions, then

f (x) = g (x) + c δ (x) {\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}

for some constant c.

### Supplementary Text ###
Dérivation mathématique

(5) u<sub>t</sub> = (α - ε<sub>t</sub>) / β


### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourrais-tu prédire le résultat de (x - a)^5 δ(x - a) ?"

Key terms: 
- (x - a)^5 : polynomial power
- δ(x - a) : Dirac delta function  
- demande prédiction : seeks prediction/result

? Is this computation or property query?
→ Both. Computational result + underlying principle.

### 2. Core Mathematical Context

Dirac delta properties ● :
- δ(x - a) = 0 for x ≠ a
- ∫δ(x - a) dx = 1
- Scaling: δ(αx) = 1/|α|δ(x)

Power functions ◐:
- (x - a)^n continuous everywhere
- Zero at x = a for n > 0

### 3. Product Analysis

Direct computation approach:
```
(x - a)^5 δ(x - a) = 
    { (x - a)^5 · δ(x - a) if x = a
     { 0 · δ(x - a) if x ≠ a
```

∴ Result = 0 everywhere except possibly at x = a.

But wait → distributional sense needed.

### 4. Distributional Framework

⟨H≈0.8⟩ The delta function isn't just a function... it's a linear functional acting on test functions. The power term wants to annihilate it completely. Integration by parts? No, that's not quite right... the distributional derivative kills the power, leaves the delta. ⟨/H≈0.8⟩

More precisely ●:
- (x - a)^n δ(x - a) = 0 for all n ≥ 0
- This is fundamental distributional identity

### 5. Verification Path

☑ Direct substitution confirms zero
☑ Integration over test functions gives zero  
☑ Distributional derivative perspective explains why

NB: Not just computational result - deep distributional property.

### 6. Response Structure

Opening: Acknowledge the delta properties
Core: State the fundamental result (x - a)^n δ(x - a) = 0
Explanation: Distributional interpretation
Closure: Connect to broader theory

∴ The prediction: (x - a)^5 δ(x - a) = 0

This represents a fundamental theorem in distributional calculus, not just a specific computation. The delta function "absorbs" the power term through distributional multiplication rules.

### Answer###
Le résultat de (x - a)^5 δ(x - a) peut être prédit en utilisant les propriétés fondamentales de la fonction delta de Dirac.

Plus généralement, pour toute fonction polynomiale (x - a)^n avec n entier positif, on sait que (x - a)^n δ(x - a) = 0 pour tous les nombres entiers positifs n. Cette propriété est une conséquence directe de la définition de la fonction delta et de ses propriétés de distribution.

Donc, dans votre cas spécifique où n = 5, on obtient :
(x - a)^5 δ(x - a) = 0

Cette égalité s'explique par le fait que la fonction delta de Dirac est une distribution qui s'annule partout sauf en son argument, et que le terme polynomial (x - a)^5 s'annule précisément en x = a. Le produit de ces deux termes donne donc zéro identiquement.

Cette propriété fait partie des règles fondamentales de calcul distribué et est essentielle pour la manipulation des distributions en analyse mathématique.