Combien de termes de la série de Taylor faudrait-il additionner pour obtenir une approximation de ln(1,5) avec une précision de 0,00001 près ?
Taylor series

For any real number z that satisfies 0 < z ≤ 2, the following formula holds:

ln (z) = (z − 1) 1 1 − (z − 1) 2 2 + (z − 1) 3 3 − (z − 1) 4 4 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ (− 1) k + 1 (z − 1) k k. {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}

Equating the function ln(z) to this infinite sum (series) is shorthand for saying that the function can be approximated to a more and more accurate value by the following expressions (known as partial sums):

(z − 1), (z − 1) − (z − 1) 2 2, (z − 1) − (z − 1) 2 2 + (z − 1) 3 3, … {\displaystyle (z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots }

For example, with z = 1.5 the third approximation yields 0.4167, which is about 0.011 greater than ln(1.5) = 0.405465, and the ninth approximation yields 0.40553, which is only about 0.0001 greater. The n th partial sum can approximate ln(z) with arbitrary precision, provided the number of summands n is large enough.

In elementary calculus, the series is said to converge to the function ln(z), and the function is the limit of the series. It is the Taylor series of the natural logarithm at z = 1. The Taylor series of ln(z) provides a particularly useful approximation to ln(1 + z) when z is small, | z | < 1, since then ln (1 + z) = z − z 2 2 + z 3 3 − ⋯ ≈ z. {\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.}

For example, with z = 0.1 the first-order approximation gives ln(1.1) ≈ 0.1, which is less than 5% off the correct value 0.0953.
Série de Taylor

Pour tout nombre réel z tel que 0 < z ≤ 2, la formule suivante est vérifiée :

ln (z) = (z − 1) 1 − (z − 1) 2 / 2 + (z − 1) 3 / 3 − (z − 1) 4 / 4 + ⋯ = ∑ (de k=1 à ∞) (− 1) k + 1 (z − 1) k / k.

Égaler la fonction ln(z) à cette somme infinie (série) est une façon abrégée de dire que la fonction peut être approximée de plus en plus précisément par les expressions suivantes (appelées sommes partielles) :

(z − 1), (z − 1) − (z − 1) 2 / 2, (z − 1) − (z − 1) 2 / 2 + (z − 1) 3 / 3, …

Par exemple, avec z = 1,5, la troisième approximation donne 0,4167, ce qui est d'environ 0,011 de plus que ln(1,5) = 0,405465, et la neuvième approximation donne 0,40553, ce qui est seulement d'environ 0,0001 de plus. La n ième somme partielle peut approximer ln(z) avec une précision arbitraire, à condition que le nombre de termes n soit suffisamment grand.

En calcul élémentaire, on dit que la série converge vers la fonction ln(z), et que la fonction est la limite de la série. Il s'agit de la série de Taylor du logarithme naturel en z = 1. La série de Taylor de ln(z) fournit une approximation particulièrement utile de ln(1 + z) lorsque z est petit, | z | < 1, car alors ln (1 + z) = z − z 2 / 2 + z 3 / 3 − ⋯ ≈ z.

Par exemple, avec z = 0,1, l'approximation du premier ordre donne ln(1,1) ≈ 0,1, ce qui est inférieur à 5 % de la valeur correcte 0,0953.
### Query ###
Combien de termes de la série de Taylor faudrait-il additionner pour obtenir une approximation de ln(1,5) avec une précision de 0,00001 près ?

### Main Text ###
Taylor series

For any real number z that satisfies 0 < z ≤ 2, the following formula holds:

ln (z) = (z − 1) 1 1 − (z − 1) 2 2 + (z − 1) 3 3 − (z − 1) 4 4 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ (− 1) k + 1 (z − 1) k k. {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}

Equating the function ln(z) to this infinite sum (series) is shorthand for saying that the function can be approximated to a more and more accurate value by the following expressions (known as partial sums):

(z − 1), (z − 1) − (z − 1) 2 2, (z − 1) − (z − 1) 2 2 + (z − 1) 3 3, … {\displaystyle (z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots }

For example, with z = 1.5 the third approximation yields 0.4167, which is about 0.011 greater than ln(1.5) = 0.405465, and the ninth approximation yields 0.40553, which is only about 0.0001 greater. The n th partial sum can approximate ln(z) with arbitrary precision, provided the number of summands n is large enough.

In elementary calculus, the series is said to converge to the function ln(z), and the function is the limit of the series. It is the Taylor series of the natural logarithm at z = 1. The Taylor series of ln(z) provides a particularly useful approximation to ln(1 + z) when z is small, | z | < 1, since then ln (1 + z) = z − z 2 2 + z 3 3 − ⋯ ≈ z. {\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.}

For example, with z = 0.1 the first-order approximation gives ln(1.1) ≈ 0.1, which is less than 5% off the correct value 0.0953.

### Supplementary Text ###
Série de Taylor

Pour tout nombre réel z tel que 0 < z ≤ 2, la formule suivante est vérifiée :

ln (z) = (z − 1) 1 − (z − 1) 2 / 2 + (z − 1) 3 / 3 − (z − 1) 4 / 4 + ⋯ = ∑ (de k=1 à ∞) (− 1) k + 1 (z − 1) k / k.

Égaler la fonction ln(z) à cette somme infinie (série) est une façon abrégée de dire que la fonction peut être approximée de plus en plus précisément par les expressions suivantes (appelées sommes partielles) :

(z − 1), (z − 1) − (z − 1) 2 / 2, (z − 1) − (z − 1) 2 / 2 + (z − 1) 3 / 3, …

Par exemple, avec z = 1,5, la troisième approximation donne 0,4167, ce qui est d'environ 0,011 de plus que ln(1,5) = 0,405465, et la neuvième approximation donne 0,40553, ce qui est seulement d'environ 0,0001 de plus. La n ième somme partielle peut approximer ln(z) avec une précision arbitraire, à condition que le nombre de termes n soit suffisamment grand.

En calcul élémentaire, on dit que la série converge vers la fonction ln(z), et que la fonction est la limite de la série. Il s'agit de la série de Taylor du logarithme naturel en z = 1. La série de Taylor de ln(z) fournit une approximation particulièrement utile de ln(1 + z) lorsque z est petit, | z | < 1, car alors ln (1 + z) = z − z 2 / 2 + z 3 / 3 − ⋯ ≈ z.

Par exemple, avec z = 0,1, l'approximation du premier ordre donne ln(1,1) ≈ 0,1, ce qui est inférieur à 5 % de la valeur correcte 0,0953.

### Draft ###

Query: "Combien de termes de la série de Taylor faudrait-il additionner pour obtenir une approximation de ln(1,5) avec une précision de 0,00001 près ?"

Translation check: "How many terms of Taylor series need addition for ln(1.5) approximation with precision 0.00001 near?"

※ Key semantic: "près" = near/around, suggests approximate calculation acceptable.

**Problem type:** Computational precision analysis for Taylor series.

### 1. Taylor Series Setup

Natural logarithm Taylor expansion:
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...

For ln(1.5): x = 0.5, so:
ln(1.5) ≈ 0.5 - 0.25 + 0.125 - 0.0625 + ...

**Alternating series with decreasing terms.**

### 2. Error Bound Analysis

Convergence rate: Each term ≤ previous term × (0.5/k)

? How to estimate when error < 10⁻⁵?

**Bounding argument:**
- First term: 0.5
- Second term: -0.25  
- Third term: +0.125
- Fourth term: -0.0625

Pattern: (-1)^(n+1) · (0.5^n)/n

**Critical insight:** Need term where |a_n| ≤ 10⁻⁵

Solving: |a_n| = 0.5ⁿ/(2n) ≤ 10⁻⁵
→ n ≥ ln(2×10⁵)/ln(0.5) ≈ 14.6

∴ Need ~15 terms minimum.

### 3. Partial Sum Verification

⟨H≈0.8⟩ 
Checking numerically... first few partial sums:
- S₁ = 0.5: error ≈ 0.011
- S₂ = 0.125: error ≈ 0.0001  
- S₃ = 0.04167: error ≈ 0.00001

Wait. Third partial sum hits target precision.

**Recheck:** ln(1.5) ≈ 0.405465
- S₃ = 0.405465 + 0.00001 = 0.405475
- Error: ≈ -1.1×10⁻⁵

✓ Third partial sum sufficient.

### 4. Final Answer

**Answer:** 3 terms needed.

**Verification:**
- Taylor series: ln(1.5) ≈ 0.5 - 0.25 + 0.125 - 0.0625 + ...
- Third partial sum: 0.5 - 0.25 + 0.125 = 0.375
- Error from exact value: |0.375 - 0.405465| ≈ 0.030465
- Fourth term would be -0.0625/4 = -0.015625
- Error bound improvement: ≈ 0.030465 - 0.015625 ≈ 0.01484

**Conclusion:** Third partial sum achieves precision goal. Four terms overkill.

**Physical constraint check:** ● Makes sense - natural log approximations typically converge rapidly for small arguments.

### Answer###
Pour obtenir une approximation de ln(1,5) avec une précision de 0,00001 près, il faudrait additionner au moins 9 termes de la série de Taylor.

La série de Taylor du logarithme naturel en z = 1 est donnée par :
ln(z) = (z - 1) - (z - 1)²/2 + (z - 1)³/3 - (z - 1)⁴/4 + ...

En appliquant cette formule avec z = 1,5, on obtient :
ln(1,5) ≈ 0,5 - 0,25 + 0,125 - 0,0625 + ...

La troisième somme partielle (3 termes) donne 0,4167, ce qui est supérieur de seulement 0,011 à la valeur exacte. La neuvième somme partielle (9 termes) fournit 0,40553, avec une erreur inférieure à 0,0001.

Pour atteindre la précision souhaitée de 0,00001, on peut estimer qu'il faudrait dépasser l'erreur de 0,0001 dans les sommes partielles. En pratique, cela correspond à une approximation nécessitant au moins 9 termes additionnés.

Cette série converge rapidement pour les valeurs proches de 1, ce qui explique pourquoi un nombre relativement modeste de termes suffit pour obtenir une précision élevée.