Comment peut-on expliquer mathématiquement que le Laplacien normalisé à gauche est relié à la stochasticité à droite et aux marches aléatoires ?
Left (random-walk) and right normalized Laplacians

The left (random-walk) normalized Laplacian matrix is defined as:

where D + {\displaystyle D^{+}} is the Moore–Penrose inverse.The elements of L rw {\textstyle L^{\text{rw}}} are given by

Similarly, the right normalized Laplacian matrix is defined as

The left or right normalized Laplacian matrix is not symmetric if the adjacency matrix is symmetric, except for the trivial case of all isolated vertices. For example,

The example also demonstrates that if G {\displaystyle G} has no isolated vertices, then D + A {\displaystyle D^{+}A} right stochastic and hence is the matrix of a random walk, so that the left normalized Laplacian L rw:= D + L = I − D + A {\displaystyle L^{\text{rw}}:=D^{+}L=I-D^{+}A} has each row summing to zero. Thus we sometimes alternatively call L rw {\displaystyle L^{\text{rw}}} the random-walk normalized Laplacian. In the less uncommonly used right normalized Laplacian L D + = I − A D + {\displaystyle LD^{+}=I-AD^{+}} each column sums to zero since A D + {\displaystyle AD^{+}} is left stochastic.

For a non-symmetric adjacency matrix of a directed graph, one also needs to choose indegree or outdegree for normalization:

The left out-degree normalized Laplacian with row-sums all 0 relates to right stochastic D out + A {\displaystyle D_{\text{out}}^{+}A}, while the right in-degree normalized Laplacian with column-sums all 0 contains left stochastic A D in + {\displaystyle AD_{\text{in}}^{+}}.
Processus de naissance et de mort

Considérons une marche aléatoire, avec des pas { +1, −1 } se produisant avec des probabilités p, q = 1 − p. Supposons également que l'incrément de temps suit un processus de Poisson, avec paramètre λ. Alors la probabilité que la marche aléatoire se trouve au point de réseau n à l'instant t est

Cela conduit à un système d'équations intégrales (ou, de manière équivalente, un système d'équations différentielles). Cependant, comme il s'agit d'un système d'équations de convolution, la transformée de Laplace le convertit en un système d'équations linéaires pour

à savoir :

qui peut désormais être résolu par des méthodes standard.
### Query ###
Comment peut-on expliquer mathématiquement que le Laplacien normalisé à gauche est relié à la stochasticité à droite et aux marches aléatoires ?

### Main Text ###
Left (random-walk) and right normalized Laplacians

The left (random-walk) normalized Laplacian matrix is defined as:

where D + {\displaystyle D^{+}} is the Moore–Penrose inverse.The elements of L rw {\textstyle L^{\text{rw}}} are given by

Similarly, the right normalized Laplacian matrix is defined as

The left or right normalized Laplacian matrix is not symmetric if the adjacency matrix is symmetric, except for the trivial case of all isolated vertices. For example,

The example also demonstrates that if G {\displaystyle G} has no isolated vertices, then D + A {\displaystyle D^{+}A} right stochastic and hence is the matrix of a random walk, so that the left normalized Laplacian L rw:= D + L = I − D + A {\displaystyle L^{\text{rw}}:=D^{+}L=I-D^{+}A} has each row summing to zero. Thus we sometimes alternatively call L rw {\displaystyle L^{\text{rw}}} the random-walk normalized Laplacian. In the less uncommonly used right normalized Laplacian L D + = I − A D + {\displaystyle LD^{+}=I-AD^{+}} each column sums to zero since A D + {\displaystyle AD^{+}} is left stochastic.

For a non-symmetric adjacency matrix of a directed graph, one also needs to choose indegree or outdegree for normalization:

The left out-degree normalized Laplacian with row-sums all 0 relates to right stochastic D out + A {\displaystyle D_{\text{out}}^{+}A}, while the right in-degree normalized Laplacian with column-sums all 0 contains left stochastic A D in + {\displaystyle AD_{\text{in}}^{+}}.

### Supplementary Text ###
Processus de naissance et de mort

Considérons une marche aléatoire, avec des pas { +1, −1 } se produisant avec des probabilités p, q = 1 − p. Supposons également que l'incrément de temps suit un processus de Poisson, avec paramètre λ. Alors la probabilité que la marche aléatoire se trouve au point de réseau n à l'instant t est

Cela conduit à un système d'équations intégrales (ou, de manière équivalente, un système d'équations différentielles). Cependant, comme il s'agit d'un système d'équations de convolution, la transformée de Laplace le convertit en un système d'équations linéaires pour

à savoir :

qui peut désormais être résolu par des méthodes standard.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment peut-on expliquer mathématiquement que le Laplacien normalisé à gauche est relié à la stochasticité à droite et aux marches aléatoires ?"

Translation: "How can one explain mathematically that the left-normalized Laplacian is connected to right stochasticity and random walks?"

Key semantic issue: "stochasticité à droite" - unclear whether refers to:
- Right stochastic matrices (column sums = 1)  
- Or right-normalized Laplacian (row sums = 1)

### 2. Mathematical Setup

Standard discrete Laplacian: L = D - A where D = degree matrix, A = adjacency matrix.

Left-normalized: ¯L = D⁻¹(D - A) = I - D⁻¹A

Right-normalized: ¯L^T = (D - A)D⁻¹ = (I - A D⁻¹)T

### 3. The Connection

**Critical insight:** Normalization factors determine stochastic properties.

Left normalization → D⁻¹A is right stochastic matrix
- Each column sums to 1
- Matrix represents Markov chain with transition probabilities

Why? D⁻¹ = (degree matrix)^(-1) scales each row by 1/degree_i.
So D⁻¹A effectively normalizes adjacency matrix rows → stochastic.

**Physical interpretation:** Random walk on graph.
- Start at vertex i
- Transition probability to neighbor j is (1/degree_i) × A_ij  
- All outgoing probabilities sum to 1

### 4. Mathematical Formalism

⟨H≈0.8⟩ The left-normalized Laplacian emerges naturally from discrete harmonic analysis... Neumann boundary conditions... but its true essence lies in spectral graph theory where the eigenvalues of ¯L determine graph connectivity... the stochastic normalization ensures the random walk interpretation remains valid even for weighted graphs...

Back to core: L rw = I - D⁻¹A represents the transition matrix of a random walk where each vertex has uniform probability of transitioning to any of its neighbors.

### 5. Verification

Check: If graph is regular (all vertices same degree k), then D⁻¹ = (1/k)I
So ¯L = (kI - A)/k = (k-1)I/k + (A-I)/k

First term: (k-1)/k identity matrix → each vertex has (k-1)/k probability to stay put
Second term: (A-I)/k → 1/k probability to transition via adjacency matrix

Matches standard random walk behavior. ✓

### 6. Generalization

Same principle extends to weighted graphs, directed graphs:
- Weighted Laplacian: ¯L = D⁻¹(D - W) where W = weighted adjacency
- Stochastic interpretation preserved
- Normalization factor determines intensity/speed of random walk

**Bridge to continuous case:** 
- Diffusion equation ∇²u = 0 ↔ discrete Laplacian
- Brownian motion ↔ random walk
- Same mathematical structure underlies both domains

### 7. Conclusion

Mathematical connection explained by:
1. Normalization matrices → stochastic properties
2. Left-normalized Laplacian → right stochastic matrix D⁻¹A  
3. Right stochastic matrix → valid transition probabilities
4. Random walk interpretation → physical realization of stochasticity

∴ Left-normalized Laplacian IS the normalized adjacency matrix of a random walk on the graph.

The "stochasticité à droite" refers to right stochasticity of the normalized adjacency matrix, not right-normalized Laplacian itself.

### Answer###
Le lien entre le laplacien normalisé à gauche et la stochasticité droite s'explique par la structure matricielle qui résulte de la normalisation.

Le laplacien normalisé à gauche L^rw = D^+ L = I - D^+ A, où D^+ est l'inverse de Moore-Penrose, présente une propriété cruciale : lorsque la matrice d'adjacence A est non symétrique, cette normalisation fait que D^+ A est stochastique à droite (les colonnes de la matrice somme à un). Cette propriété signifie que la matrice représente une marche aléatoire valide, où chaque colonne correspond aux probabilités de transition depuis un nœud vers ses voisins.

Mathématiquement, cette stochasticité droite découle du fait que D^+ = (D^{-1})^T, où D est la matrice de degrés. Le produit D^+ A normalise les lignes de la matrice d'adjacence de manière à obtenir des sommes égales à 1, créant ainsi une matrice de transition probabiliste.

Cette normalisation gauche génère un laplacien où chaque ligne somme à zéro, ce qui reflète le fait qu'une marche aléatoire doit préserver la conservation de la probabilité : la somme des probabilités de transition depuis un nœud vers ses voisins doit être égale à 1.

Le laplacien normalisé à droite présente une structure similaire, mais avec les colonnes qui somme à un (stochastique à gauche), car la matrice A D^+ est alors gauche stochastique.

Cette correspondance entre normalisation matricielle et propriétés stochastiques fait du laplacien normalisé l'outil naturel pour représenter et analyser les marches aléatoires sur les graphes.