Bonjour je comprend pas comment faire pour ajouter des nombres ordonnes comme 1er et 3e Je sais que 1+3=4 mais comment faire avec les ordonnes
Arithmetic of ordinals

There are three usual operations on ordinals: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set that represents the operation or by using transfinite recursion. The Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals. It uniquely represents each ordinal as a finite sum of ordinal powers of ω. However, this cannot form the basis of a universal ordinal notation due to such self-referential representations as ε = ω.

Ordinals are a subclass of the class of surreal numbers, and the so-called "natural" arithmetical operations for surreal numbers are an alternative way to combine ordinals arithmetically. They retain commutativity at the expense of continuity.

Interpreted as nimbers, a game-theoretic variant of numbers, ordinals can also be combined via nimber arithmetic operations. These operations are commutative but the restriction to natural numbers is generally not the same as ordinary addition of natural numbers.
Nombres rationnels (fractions)

L'addition de nombres rationnels peut être calculée en utilisant le dénominateur commun le plus petit, mais une définition conceptuellement plus simple n'utilise que l'addition et la multiplication d'entiers :

Par exemple, la somme 3/4 + 1/8 = (3 × 8 + 4 × 1) / (4 × 8) = (24 + 4) / 32 = 28/32 = 7/8.

L'addition de fractions est beaucoup plus simple lorsque les dénominateurs sont les mêmes ; dans ce cas, on peut simplement additionner les numérateurs en laissant le dénominateur inchangé : a/c + b/c = (a + b) / c, donc 1/4 + 2/4 = (1 + 2) / 4 = 3/4.

La commutativité et l'associativité de l'addition rationnelle sont une conséquence facile des lois de l'arithmétique entière. Pour une discussion plus rigoureuse et générale, voir corps des fractions.
### Query ###
Bonjour je comprend pas comment faire pour ajouter des nombres ordonnes comme 1er et 3e Je sais que 1+3=4 mais comment faire avec les ordonnes

### Main Text ###
Arithmetic of ordinals

There are three usual operations on ordinals: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set that represents the operation or by using transfinite recursion. The Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals. It uniquely represents each ordinal as a finite sum of ordinal powers of ω. However, this cannot form the basis of a universal ordinal notation due to such self-referential representations as ε = ω.

Ordinals are a subclass of the class of surreal numbers, and the so-called "natural" arithmetical operations for surreal numbers are an alternative way to combine ordinals arithmetically. They retain commutativity at the expense of continuity.

Interpreted as nimbers, a game-theoretic variant of numbers, ordinals can also be combined via nimber arithmetic operations. These operations are commutative but the restriction to natural numbers is generally not the same as ordinary addition of natural numbers.

### Supplementary Text ###
Nombres rationnels (fractions)

L'addition de nombres rationnels peut être calculée en utilisant le dénominateur commun le plus petit, mais une définition conceptuellement plus simple n'utilise que l'addition et la multiplication d'entiers :

Par exemple, la somme 3/4 + 1/8 = (3 × 8 + 4 × 1) / (4 × 8) = (24 + 4) / 32 = 28/32 = 7/8.

L'addition de fractions est beaucoup plus simple lorsque les dénominateurs sont les mêmes ; dans ce cas, on peut simplement additionner les numérateurs en laissant le dénominateur inchangé : a/c + b/c = (a + b) / c, donc 1/4 + 2/4 = (1 + 2) / 4 = 3/4.

La commutativité et l'associativité de l'addition rationnelle sont une conséquence facile des lois de l'arithmétique entière. Pour une discussion plus rigoureuse et générale, voir corps des fractions.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Bonjour je comprend pas comment faire pour ajouter des nombres ordonnes comme 1er et 3e"

Key issue: User confused about ordinal arithmetic. Knows 1+3=4 but wants ordered sum of "1er et 3e".

Translation check: "ordonnes" = ordered (ordinal positions). "1er et 3e" = first and third.

→ Not asking for 1st+3rd objects. Asking for ordinal addition of positions.

### 2. Mathematical Context

Ordinal numbers vs cardinal numbers. Critical distinction:

- Cardinal: "how many" (1,2,3...)  
- Ordinal: "what position" (1st, 2nd, 3rd...)

Cardinal addition: straightforward. Ordinal addition? Different beast entirely.

● High confidence: This is about transfinite arithmetic
◐ Partial: Don't recall exact ordinal addition rules offhand

### 3. Core Mathematical Issue

⟨H≈0.4⟩ Transfinite recursion... successor function... Cantor's work... ω as limit ordinal... countable ordinals... addition defined recursively... successor of ordinal x is x+1... limit ordinals sum to successor of their union...

Key insight: Ordinal addition isn't commutative like cardinal addition.

Example confusion: "1er + 3e" vs "3e + 1er"

Cardinal: 1st + 3rd = 4th position
Ordinal: 1 + 3 = 4 (standard)

But ordinal addition: 1 + ω = ω (limit ordinal behavior)

### 4. Technical Challenge

! Major issue: Ordinal addition uses transfinite recursion, not finite arithmetic.

Definitionally: If α and β are ordinals, then α + β is the least ordinal greater than both α and β.

Problem: This is recursive, not algebraic. Can't just "add positions" linearly.

Example: ω + 1 = ω (successor of ω)
But 1 + ω = ω (same result)

∴ Order matters for ordinals, unlike cardinals.

### 5. Knowledge Limitation

⚠ Critical gap: Don't have complete ordinal arithmetic rules memorized

Can explain general principle: transfinite recursion
Cannot provide complete addition algorithm
Uncertain about notation systems

⟨H≈0.8⟩ Cantor normal form... countable ordinals... finite sums of powers of ω... self-referential representations... notation explosion... ω² + ω + 1 vs ω·ω + ω... addition defined via set union... successor function... limit ordinals... countable infinity behaving strangely...

### 6. Response Strategy

Acknowledge confusion → Explain ordinal vs cardinal distinction → Note complexity → Admit knowledge limitations

Honest response better than false certainty about advanced transfinite arithmetic.

? Should attempt Cantor normal form explanation?
? Risk making it more confusing?

Final approach: Clear explanation of distinction, honest admission of complexity, no advanced notation.

---

NB: User likely encountering this in mathematical education context. Common confusion point - ordinal arithmetic genuinely complex. Better to explain limitations than fake competence.

### Answer###
Je comprends votre confusion - c'est effectivement un point délicat en mathématiques. 

Lorsque vous additionnez des nombres ordonnés, le principe n'est pas le même que pour les nombres cardinaux. Les nombres ordinaux suivent des règles spécifiques d'addition qui diffèrent de l'addition habituelle.

Il existe deux façons principales de définir l'addition pour les nombres ordinaux : soit en construisant explicitement un ensemble ordonné qui représente l'opération, soit en utilisant la récursion transfinie. Cette dernière approche est particulièrement importante pour comprendre comment fonctionnent les sommes d'ordinaux.

Les opérations arithmétiques sur les ordinaux incluent l'addition, la multiplication et l'exponentiation, et chacune de ces opérations peut être définie de manière à préserver l'ordre. Le système peut devenir assez complexe lorsque vous travaillez avec des ordinaux comme ω (l'ordinal représentant l'infini dénombrable) et ses puissances.

Je ne peux pas vous donner une réponse complète sur cette question car elle nécessiterait une explication détaillée des règles spécifiques d'addition d'ordinaux, ce qui dépasse ce que je peux expliquer simplement. Les ordinaux font partie d'une classe spéciale de nombres qui suivent des lois particulières que vous ne trouverez pas dans l'arithmétique ordinaire.