Qu'est-ce qui se passerait si on essayait de manipuler un système de vote strict avec trois résultats possibles ?
Corollary

We now consider the case where by assumption, a voter cannot be indifferent between two candidates. We denote by L {\displaystyle {\mathcal {L}}} the set of strict total orders over A {\displaystyle {\mathcal {A}}} and we define a strict voting rule as a function f: L n → A {\displaystyle f:{\mathcal {L}}^{n}\to {\mathcal {A}}}. The definitions of possible outcomes, manipulable, dictatorial have natural adaptations to this framework.

For a strict voting rule, the converse of the Gibbard–Satterthwaite theorem is true. Indeed, a strict voting rule is dictatorial if and only if it always selects the most-liked candidate of the dictator among the possible outcomes; in particular, it does not depend on the other voters' ballots. As a consequence, it is not manipulable: the dictator is perfectly defended by her sincere ballot, and the other voters have no impact on the outcome, hence they have no incentive to deviate from sincere voting. Thus, we obtain the following equivalence.

Theorem — If a strict voting rule has at least 3 possible outcomes, it is non-manipulable if and only if it is dictatorial.

In the theorem, as well as in the corollary, it is not needed to assume that any alternative can be elected. It is only assumed that at least three of them can win, i.e. are possible outcomes of the voting rule. It is possible that some other alternatives can be elected in no circumstances: the theorem and the corollary still apply. However, the corollary is sometimes presented under a less general form: instead of assuming that the rule has at least three possible outcomes, it is sometimes assumed that A {\displaystyle {\mathcal {A}}} contains at least three elements and that the voting rule is onto, i.e. every alternative is a possible outcome. The assumption of being onto is sometimes even replaced with the assumption that the rule is unanimous, in the sense that if all voters prefer the same candidate, then she must be elected.
Corollaire

Nous considérons maintenant le cas où, par hypothèse, un électeur ne peut être indifférent entre deux candidats. Nous notons par L ⊆ {\displaystyle {\mathcal {L}}} l'ensemble des ordres totaux stricts sur A {\displaystyle {\mathcal {A}}} et nous définissons une règle de vote stricte comme une fonction f: L n → A {\displaystyle f:{\mathcal {L}}^{n}\to {\mathcal {A}}}. Les définitions des résultats possibles, manipulable, dictatorial s'adaptent naturellement à ce cadre.

Pour une règle de vote stricte, le contraire du théorème de Gibbard-Satterthwaite est vrai. En effet, une règle de vote stricte est dictatoriale si et seulement si elle sélectionne toujours le candidat le plus préféré du dictateur parmi les résultats possibles ; en particulier, elle ne dépend pas des bulletins des autres électeurs. Par conséquent, elle n'est pas manipulable : le dictateur est parfaitement défendue par son bulletin sincère, et les autres électeurs n'ont aucun impact sur le résultat, d'où leur absence d'incitation à s'écarter du vote sincère. Ainsi, nous obtenons l'équivalence suivante.

Théorème — Si une règle de vote stricte a au moins 3 résultats possibles, elle est non manipulable si et seulement si elle est dictatoriale.

Dans le théorème, ainsi que dans le corollaire, il n'est pas nécessaire de supposer que toute alternative puisse être élue. On suppose seulement qu'au moins trois d'entre elles peuvent l'être, c'est-à-dire qu'elles sont des résultats possibles de la règle de vote. Il est possible que certaines autres alternatives ne soient élues dans aucune circonstance : le théorème et le corollaire restent applicables. Cependant, le corollaire est parfois présenté sous une forme moins générale : au lieu de supposer que la règle a au moins trois résultats possibles, on suppose parfois que A {\displaystyle {\mathcal {A}}} contient au moins trois éléments et que la règle de vote est surjective, c'est-à-dire que toute alternative est un résultat possible. L'hypothèse de surjectivité est parfois même remplacée par l'hypothèse que la règle est unanime, au sens où si tous les électeurs préfèrent le même candidat, alors elle doit être élue.
### Query ###
Qu'est-ce qui se passerait si on essayait de manipuler un système de vote strict avec trois résultats possibles ?

### Main Text ###
Corollary

We now consider the case where by assumption, a voter cannot be indifferent between two candidates. We denote by L {\displaystyle {\mathcal {L}}} the set of strict total orders over A {\displaystyle {\mathcal {A}}} and we define a strict voting rule as a function f: L n → A {\displaystyle f:{\mathcal {L}}^{n}\to {\mathcal {A}}}. The definitions of possible outcomes, manipulable, dictatorial have natural adaptations to this framework.

For a strict voting rule, the converse of the Gibbard–Satterthwaite theorem is true. Indeed, a strict voting rule is dictatorial if and only if it always selects the most-liked candidate of the dictator among the possible outcomes; in particular, it does not depend on the other voters' ballots. As a consequence, it is not manipulable: the dictator is perfectly defended by her sincere ballot, and the other voters have no impact on the outcome, hence they have no incentive to deviate from sincere voting. Thus, we obtain the following equivalence.

Theorem — If a strict voting rule has at least 3 possible outcomes, it is non-manipulable if and only if it is dictatorial.

In the theorem, as well as in the corollary, it is not needed to assume that any alternative can be elected. It is only assumed that at least three of them can win, i.e. are possible outcomes of the voting rule. It is possible that some other alternatives can be elected in no circumstances: the theorem and the corollary still apply. However, the corollary is sometimes presented under a less general form: instead of assuming that the rule has at least three possible outcomes, it is sometimes assumed that A {\displaystyle {\mathcal {A}}} contains at least three elements and that the voting rule is onto, i.e. every alternative is a possible outcome. The assumption of being onto is sometimes even replaced with the assumption that the rule is unanimous, in the sense that if all voters prefer the same candidate, then she must be elected.

### Supplementary Text ###
Corollaire

Nous considérons maintenant le cas où, par hypothèse, un électeur ne peut être indifférent entre deux candidats. Nous notons par L ⊆ {\displaystyle {\mathcal {L}}} l'ensemble des ordres totaux stricts sur A {\displaystyle {\mathcal {A}}} et nous définissons une règle de vote stricte comme une fonction f: L n → A {\displaystyle f:{\mathcal {L}}^{n}\to {\mathcal {A}}}. Les définitions des résultats possibles, manipulable, dictatorial s'adaptent naturellement à ce cadre.

Pour une règle de vote stricte, le contraire du théorème de Gibbard-Satterthwaite est vrai. En effet, une règle de vote stricte est dictatoriale si et seulement si elle sélectionne toujours le candidat le plus préféré du dictateur parmi les résultats possibles ; en particulier, elle ne dépend pas des bulletins des autres électeurs. Par conséquent, elle n'est pas manipulable : le dictateur est parfaitement défendue par son bulletin sincère, et les autres électeurs n'ont aucun impact sur le résultat, d'où leur absence d'incitation à s'écarter du vote sincère. Ainsi, nous obtenons l'équivalence suivante.

Théorème — Si une règle de vote stricte a au moins 3 résultats possibles, elle est non manipulable si et seulement si elle est dictatoriale.

Dans le théorème, ainsi que dans le corollaire, il n'est pas nécessaire de supposer que toute alternative puisse être élue. On suppose seulement qu'au moins trois d'entre elles peuvent l'être, c'est-à-dire qu'elles sont des résultats possibles de la règle de vote. Il est possible que certaines autres alternatives ne soient élues dans aucune circonstance : le théorème et le corollaire restent applicables. Cependant, le corollaire est parfois présenté sous une forme moins générale : au lieu de supposer que la règle a au moins trois résultats possibles, on suppose parfois que A {\displaystyle {\mathcal {A}}} contient au moins trois éléments et que la règle de vote est surjective, c'est-à-dire que toute alternative est un résultat possible. L'hypothèse de surjectivité est parfois même remplacée par l'hypothèse que la règle est unanime, au sens où si tous les électeurs préfèrent le même candidat, alors elle doit être élue.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Qu'est-ce qui se passerait si on essayait de manipuler un système de vote strict avec trois résultats possibles?"

Translation: "What would happen if one tried to manipulate a strict voting system with three possible results?"

Key terms:
- "strict" → ordinal preferences, no indifference
- "trois résultats possibles" → trichotomous outcomes space

? Semantic ambiguity: "strict" could mean strict preference order OR strict ballot secrecy rules.

### 2. Domain Contextualization

⟨H≈0.3⟩ Voting theory territory. Gibbard-Satterthwaite lurking. Arrow's impossibility. Strategic behavior. Manipulation resistance. French academic context suggests familiarity with formal models...

Core question: Can strict voting systems be manipulated when outcomes restricted to {win, tie, lose}?

### 3. Mathematical Foundation

Strict voting = each voter orders candidates linearly, no ties.
Three possible outcomes:
- Candidate A wins
- Candidate B wins  
- Tie (neither wins)

! Key insight: This creates constraint space.

Gibbard-Satterthwaite Theorem background:
- Any voting system with at least 3 alternatives is manipulable
- Unless system is dictatorial
- Strict systems maintain anonymity properties

### 4. Constraint Analysis

With trichotomous outcomes, manipulation harder because:

**Dimensionality reduction**: Only 3 possible "winning configurations"
- All votes must align for tie
- Majority determines winner in most cases
- No pseudo-majority effects

**Information structure**: Voters know exact outcome space
- Can't misreport through indifference
- Must choose genuine preference order

**Strategic complexity**: 
- False majority formation requires coordination
- Tie manipulation needs precise vote distribution
- ⚠ Susceptible to detection

### 5. Manipulation Strategies

Possible approaches:
├─ False majority formation
├─ Strategic abstention 
├─ Bullet voting
└─ Random perturbation

But effectiveness limited by:
- Small outcome space
- Transparent voting
- No anonymity shield

### 6. Resistance Mechanisms

Three possible results → natural immunity to manipulation:

**Coordination costs**: 
- Requires all manipulators agree on strategy
- Detection easier in small groups

**Information transparency**:
- Voters see outcome space clearly
- Strategic misreporting less effective

**Structural constraints**:
- Only 3 possible states
- Manipulation must generate specific outcomes
- Cannot hide behind indifference

### 7. Synthesis

⟨H≈0.8⟩ The strict system with trichotomous results becomes almost self-correcting. Like a crystal lattice - apply pressure (manipulation), crystal reforms to natural structure. The mathematics constrains the possible deformations. Strategic behavior hits ceiling effects...

∴ Such systems are remarkably resistant to manipulation
∴ Coordination requirements make false majority strategies costly
∴ Transparency prevents effective strategic misreporting

**Final constraint**: Only works with genuine strict preferences
If voters can fake indifference → classical manipulability returns

NB: This represents optimal voting system from manipulation resistance perspective within classical framework.

### Answer###
La manipulation d'un système de vote strict avec exactement trois résultats possibles présente des caractéristiques particulières. Contrairement aux systèmes de vote avec un nombre plus élevé de résultats possibles, ces systèmes strictes avec trois alternatives ne peuvent pas être non-manipulables à moins d'être dictatoriaux.

Cette contrainte découle du théorème de Gibbard-Satterthwaite : pour qu'une règle de vote stricte soit non-manipulable, elle doit nécessairement être dictatoriale, ce qui signifie qu'elle sélectionne toujours le candidat préféré du dictateur parmi les résultats possibles et ne dépend pas des bulletins des autres votants.

En pratique, cela signifie que si vous essayez de manipuler un tel système de vote en modifiant votre bulletin de manière stratégique, votre influence sur le résultat sera limitée ou nulle. Le dictateur bénéficiera d'une protection parfaite avec son bulletin sincère, et les autres votants n'auront aucun impact sur le résultat, ce qui élimine toute incitation à dévier du vote sincère.

Cette situation contraste avec les systèmes ayant plus de trois résultats possibles, où l'absence de contraintes dictatoriales permet une plus grande flexibilité dans la conception de règles de vote non-manipulables.