Pourquoi c'est que quand on calcule l'écart-type on fait le carré des différences avec la moyenne, puis on fait la racine carrée après ? Je comprends pas trop pourquoi on fait comme ça, c'est plus simple d'avoir juste la moyenne non ?
Identities and mathematical properties

The standard deviation is invariant under changes in location, and scales directly with the scale of the random variable. Thus, for a constant c and random variables X and Y: σ (c) = 0 σ (X + c) = σ (X), σ (c X) = | c | σ (X). {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (c)&=0\\\sigma (X+c)&=\sigma (X),\\\sigma (cX)&=|c|\sigma (X).\end{aligned}}}

The standard deviation of the sum of two random variables can be related to their individual standard deviations and the covariance between them:

σ (X + Y) = var (X) + var (Y) + 2 cov (X, Y). {\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\,\operatorname {cov} (X,Y)}}.\,}

where var = σ 2 {\displaystyle \textstyle \operatorname {var} \,=\,\sigma ^{2}} and cov {\displaystyle \textstyle \operatorname {cov} } stand for variance and covariance, respectively.

The calculation of the sum of squared deviations can be related to moments calculated directly from the data. In the following formula, the letter E is interpreted to mean expected value, i.e., mean.

σ (X) = E) 2 ] = E − (E) 2. {\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {E} \left)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \left-(\operatorname {E})^{2}}}.}

The sample standard deviation can be computed as: s (X) = N N − 1 E) 2 ]. {\displaystyle s(X)={\sqrt {\frac {N}{N-1}}}{\sqrt {\operatorname {E} \left)^{2}\right]}}.}

For a finite population with equal probabilities at all points, we have

1 N ∑ i = 1 N (x i − x ¯) 2 = 1 N (∑ i = 1 N x i 2) − x ¯ 2 = (1 N ∑ i = 1 N x i 2) − (1 N ∑ i = 1 N x i) 2, {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)^{2}}},}

which means that the standard deviation is equal to the square root of the difference between the average of the squares of the values and the square of the average value.

See computational formula for the variance for proof, and for an analogous result for the sample standard deviation.
Relation entre l'écart type et la moyenne

La moyenne et l'écart type d'un ensemble de données sont des statistiques descriptives généralement rapportées ensemble. Dans un certain sens, l'écart type est une mesure "naturelle" de dispersion statistique si le centre des données est mesuré autour de la moyenne. Ceci est dû au fait que l'écart type par rapport à la moyenne est plus petit que par rapport à tout autre point. L'énoncé précis est le suivant : supposons que x₁, ..., xₙ sont des nombres réels et définissons la fonction :

σ (r) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N (xᵢ − r)² . {\displaystyle \sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-r\right)^{2}}}.}

En utilisant le calcul différentiel ou en complétant le carré, il est possible de montrer que σ (r) a un minimum unique à la moyenne :

r = x̄. {\displaystyle r={\bar {x}}.\,}

La variabilité peut également être mesurée par le coefficient de variation, qui est le rapport de l'écart type à la moyenne. C'est un nombre sans dimension.
### Query ###
Pourquoi c'est que quand on calcule l'écart-type on fait le carré des différences avec la moyenne, puis on fait la racine carrée après ? Je comprends pas trop pourquoi on fait comme ça, c'est plus simple d'avoir juste la moyenne non ?

### Main Text ###
Identities and mathematical properties

The standard deviation is invariant under changes in location, and scales directly with the scale of the random variable. Thus, for a constant c and random variables X and Y: σ (c) = 0 σ (X + c) = σ (X), σ (c X) = | c | σ (X). {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (c)&=0\\\sigma (X+c)&=\sigma (X),\\\sigma (cX)&=|c|\sigma (X).\end{aligned}}}

The standard deviation of the sum of two random variables can be related to their individual standard deviations and the covariance between them:

σ (X + Y) = var (X) + var (Y) + 2 cov (X, Y). {\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\,\operatorname {cov} (X,Y)}}.\,}

where var = σ 2 {\displaystyle \textstyle \operatorname {var} \,=\,\sigma ^{2}} and cov {\displaystyle \textstyle \operatorname {cov} } stand for variance and covariance, respectively.

The calculation of the sum of squared deviations can be related to moments calculated directly from the data. In the following formula, the letter E is interpreted to mean expected value, i.e., mean.

σ (X) = E) 2 ] = E − (E) 2. {\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {E} \left)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \left-(\operatorname {E})^{2}}}.}

The sample standard deviation can be computed as: s (X) = N N − 1 E) 2 ]. {\displaystyle s(X)={\sqrt {\frac {N}{N-1}}}{\sqrt {\operatorname {E} \left)^{2}\right]}}.}

For a finite population with equal probabilities at all points, we have

1 N ∑ i = 1 N (x i − x ¯) 2 = 1 N (∑ i = 1 N x i 2) − x ¯ 2 = (1 N ∑ i = 1 N x i 2) − (1 N ∑ i = 1 N x i) 2, {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)^{2}}},}

which means that the standard deviation is equal to the square root of the difference between the average of the squares of the values and the square of the average value.

See computational formula for the variance for proof, and for an analogous result for the sample standard deviation.

### Supplementary Text ###
Relation entre l'écart type et la moyenne

La moyenne et l'écart type d'un ensemble de données sont des statistiques descriptives généralement rapportées ensemble. Dans un certain sens, l'écart type est une mesure "naturelle" de dispersion statistique si le centre des données est mesuré autour de la moyenne. Ceci est dû au fait que l'écart type par rapport à la moyenne est plus petit que par rapport à tout autre point. L'énoncé précis est le suivant : supposons que x₁, ..., xₙ sont des nombres réels et définissons la fonction :

σ (r) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N (xᵢ − r)² . {\displaystyle \sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-r\right)^{2}}}.}

En utilisant le calcul différentiel ou en complétant le carré, il est possible de montrer que σ (r) a un minimum unique à la moyenne :

r = x̄. {\displaystyle r={\bar {x}}.\,}

La variabilité peut également être mesurée par le coefficient de variation, qui est le rapport de l'écart type à la moyenne. C'est un nombre sans dimension.

### Draft ###

Query: "Pourquoi... faire le carré des différences avec la moyenne, puis la racine carrée après?"

Translation check: ✓ "écart-type" = standard deviation, "moyenne" = mean. User confused about squared→sqrt transformation logic.

**Core issue identified**: Mathematical intuition gap. Why not linear deviation processing?

### 1. Motivation

Raw deviations from mean: |xᵢ - μ|
→ Problem: magnitude-preserving but variance-ignoring
→ Example: [0, 0, 10, 10] vs [0, 10, 10, 20] → same avg (10), different spread

Linear processing insufficient for dispersion quantification.

### 2. Quadratic necessity

Squared deviations: (xᵢ - μ)²
→ Scaling property: larger differences contribute proportionally more
→ Variance = E[(X-μ)²] captures spread meaningfully  
→ Mathematical tractability: quadratic form enables calculus/probability manipulations

**Key insight**: Squaring transforms absolute differences → relative contributions based on magnitude.

### 3. Root transformation logic

Why not keep variance as-is?
- Units: variance in (units)²
- Standard deviation: variance^(1/2) → back to original unit scale
- Interpretation: "typical deviation from mean" becomes meaningful metric

**Physical constraint**: Standard deviation must be in same units as original data for practical interpretation.

### 4. Mathematical advantages

⟨H≈0.8⟩ Squared→sqrt pipeline enables:
- Direct probability density function generation via Central Limit Theorem
- Normal distribution recognition through σ parameter  
- Moment relationships: Var(X) = E[X²] - (E[X])²
- Covariance calculations for joint distributions
- Scale invariance properties under linear transformations

### 5. Alternative approaches considered

Could use:
- Absolute deviations: |xᵢ - μ| → median absolute deviation
- Cubed deviations: (xᵢ - μ)³ → higher-order moments
- Log transformations: ln(xᵢ - μ + ε) → robust alternatives

**Empirical evidence**: Squared approach dominates for broad practical adoption across statistics/ML applications.

**∴ Conclusion**: The pipeline exists because squared differences provide mathematically coherent measure of spread that can be unit-scaled via square root extraction, enabling meaningful interpretation while preserving computational advantages for probabilistic modeling.

NB: Historical note - this formulation emerged from Gauss's least squares method in astronomy, where quadratic error optimization naturally led to this transformation.

### Answer###
Votre question touche au cœur de la façon dont la variance et l'écart type mesurent la dispersion des données. 

La raison principale pour laquelle on fait le carré des différences avec la moyenne avant de calculer la racine carrée est liée à la définition même de variance. Cette approche permet de donner plus d'importance aux points qui sont loin de la moyenne - ce qui est logique pour mesurer la dispersion. Si on utilisait simplement les différences au carré, on perdrait cette propriété de pondération.

Plus précisément, le calcul σ = √(E[(X-μ)²]) capture le fait qu'un écart type par rapport à la moyenne est plus petit que par rapport à n'importe quel autre point. Mathématiquement, cela correspond au minimum de la fonction σ(r) = √(1/(N-1)Σ(xᵢ - r)²) qui atteint son minimum unique en r = x̄ (la moyenne).

Le fait de calculer la racine carrée après le carré permet également de revenir à l'unité originale des données. Sans cette étape, nous aurions une mesure en unités au carré, ce qui serait moins pratique pour l'interprétation.

Cette transformation mathématique particulière offre de nombreux avantages pratiques et théoriques en statistique, notamment pour les calculs de covariance, les propriétés d'invariance et les relations avec d'autres moments statistiques.