Comment on peut passer de l'une à l'autre des formules avec les points et les déterminants pour une droite ?
Determinant form

The two-point form of the equation of a line can be expressed simply in terms of a determinant. There are two common ways for that.

The equation (x 2 − x 1) (y − y 1) − (y 2 − y 1) (x − x 1) = 0 {\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0} is the result of expanding the determinant in the equation

The equation (y 1 − y 2) x + (x 2 − x 1) y + (x 1 y 2 − x 2 y 1) = 0 {\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0} can be obtained by expanding with respect to its first row the determinant in the equation

Besides being very simple and mnemonic, this form has the advantage of being a special case of the more general equation of a hyperplane passing through n points in a space of dimension n – 1. These equations rely on the condition of linear dependence of points in a projective space.
Forme du déterminant

L'équation d'une droite sous forme point-point peut être exprimée simplement à l'aide d'un déterminant. Il existe deux manières courantes de faire cela.

L'équation (x₂ − x₁) (y − y₁) − (y₂ − y₁) (x − x₁) = 0 est le résultat du développement du déterminant dans l'équation

L'équation (y₁ − y₂) x + (x₂ − x₁) y + (x₁y₂ − x₂y₁) = 0 peut être obtenue en développant par rapport à sa première ligne le déterminant dans l'équation

Outre le fait d'être très simple et mnémotechnique, cette forme présente l'avantage d'être un cas particulier de l'équation plus générale d'un hyperplan passant par n points dans un espace de dimension n – 1. Ces équations reposent sur la condition de dépendance linéaire des points dans un espace projectif.
### Query ###
Comment on peut passer de l'une à l'autre des formules avec les points et les déterminants pour une droite ?

### Main Text ###
Determinant form

The two-point form of the equation of a line can be expressed simply in terms of a determinant. There are two common ways for that.

The equation (x 2 − x 1) (y − y 1) − (y 2 − y 1) (x − x 1) = 0 {\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0} is the result of expanding the determinant in the equation

The equation (y 1 − y 2) x + (x 2 − x 1) y + (x 1 y 2 − x 2 y 1) = 0 {\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0} can be obtained by expanding with respect to its first row the determinant in the equation

Besides being very simple and mnemonic, this form has the advantage of being a special case of the more general equation of a hyperplane passing through n points in a space of dimension n – 1. These equations rely on the condition of linear dependence of points in a projective space.

### Supplementary Text ###
Forme du déterminant

L'équation d'une droite sous forme point-point peut être exprimée simplement à l'aide d'un déterminant. Il existe deux manières courantes de faire cela.

L'équation (x₂ − x₁) (y − y₁) − (y₂ − y₁) (x − x₁) = 0 est le résultat du développement du déterminant dans l'équation

L'équation (y₁ − y₂) x + (x₂ − x₁) y + (x₁y₂ − x₂y₁) = 0 peut être obtenue en développant par rapport à sa première ligne le déterminant dans l'équation

Outre le fait d'être très simple et mnémotechnique, cette forme présente l'avantage d'être un cas particulier de l'équation plus générale d'un hyperplan passant par n points dans un espace de dimension n – 1. Ces équations reposent sur la condition de dépendance linéaire des points dans un espace projectif.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment passer de l'une à l'autre des formules avec les points et les déterminants pour une droite ?"

Translation: "How to pass from one to the other of the formulas with points and determinants for a line?"

Key semantic issue: "passer de l'une à l'autre" → bidirectional transformation, not derivation.

Two interpretations:
- Point-slope → determinant form
- Determinant → point-slope form  
- Both exist, related through expansion

### 2. Form Recognition

Standard point-slope: (y - y₁) = m(x - x₁)
Two-point form: (y - y₁) = [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)](x - x₁)

Determinant forms encountered:
- 2×2 matrix expansion
- Cramer's rule application
- Geometric interpretation via area

### 3. Transformation Analysis

Point-slope → Determinant:
Substitute slope m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), rearrange terms.

Result: (y - y₁)(x₂ - x₁) - (x - x₁)(y₂ - y₁) = 0

Can write as determinant:
|x - x₁  y - y₁| = 0
|x₂ - x₁ y₂ - y₁|

### 4. Determinant → Point-Slope

Expand 2×2 determinant:
(x₂ - x₁)y - (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

Rearrange: y = [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)]x + [-(x₁y₂ - x₂y₁)/(x₂ - x₁)]

Point-slope form: y - y₁ = m(x - x₁), where m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

### 5. Geometric Interpretation

Determinant interpretation:
- Area of parallelogram formed by (x,y), (x₁,y₁), (x₂,y₂)
- Signed area → orientation of points
- Zero determinant → collinear points

∴ Two-point form captures collinearity via linear dependence

### 6. Synthesis

Bidirectional conversion established through:
- Algebraic expansion/factorization
- Geometric interpretation of determinant
- Linear algebra perspective (homogeneous coordinates)

Key insight: Determinant provides natural generalization to higher dimensions (hyperplanes).

Transformation verified:
☑ Standard point-slope → determinant
☑ Determinant expansion → point-slope  
☑ Geometric consistency maintained
☑ Generalization pathway identified

### Answer###
Les formules avec points et déterminants pour une droite peuvent se transformer de plusieurs façons. 

La forme point-point peut s'exprimer à l'aide d'un déterminant de deux manières distinctes. La première forme utilise l'équation (x₂ - x₁) (y - y₁) - (y₂ - y₁) (x - x₁) = 0, qui résulte du développement du déterminant dans l'équation :

```
|x - x₁  y - y₁| = 0
|x₂ - x₁ y₂ - y₁|
```

La seconde forme donne l'équation (y₁ - y₂)x + (x₂ - x₁)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0, obtenue en développant le déterminant par rapport à sa première ligne :

```
|1  x₁  y₁| = 0
|1  x₂  y₂|
|1  x  y|
```

Ces transformations illustrent comment passer d'une forme à l'autre : le développement du déterminant conduit d'une part à la forme factorisée, et d'autre part à la forme linéaire.

L'avantage de ces formulations matricielles réside dans leur simplicité et leur caractère mnémonique, ainsi que dans le fait qu'elles généralisent facilement aux équations d'hyperplans dans des espaces de dimension supérieure.