Pourquoi on peut pas toujours trouver la solution des équations quand le nombre est plus grand que 4 ?
Polynomial equations

In general, an algebraic equation or polynomial equation is an equation of the form

where P and Q are polynomials with coefficients in some field (e.g., rational numbers, real numbers, complex numbers). An algebraic equation is univariate if it involves only one variable. On the other hand, a polynomial equation may involve several variables, in which case it is called multivariate (multiple variables, x, y, z, etc.).

For example,

is a univariate algebraic (polynomial) equation with integer coefficients and

is a multivariate polynomial equation over the rational numbers.

Some polynomial equations with rational coefficients have a solution that is an algebraic expression, with a finite number of operations involving just those coefficients (i.e., can be solved algebraically). This can be done for all such equations of degree one, two, three, or four; but equations of degree five or more cannot always be solved in this way, as the Abel–Ruffini theorem demonstrates.

A large amount of research has been devoted to compute efficiently accurate approximations of the real or complex solutions of a univariate algebraic equation (see Root finding of polynomials) and of the common solutions of several multivariate polynomial equations (see System of polynomial equations).
En mathématiques, résoudre une équation consiste à trouver ses solutions, qui sont les valeurs (nombres, fonctions, ensembles, etc.) qui satisfont la condition énoncée par l'équation, consistant généralement en deux expressions reliées par un signe égal. Lors de la recherche d'une solution, une ou plusieurs variables sont désignées comme inconnues. Une solution est une affectation de valeurs aux variables inconnues qui rend l'égalité dans l'équation vraie. En d'autres termes, une solution est une valeur ou une collection de valeurs (une pour chaque inconnue) telle que, lorsqu'elle est substituée aux inconnues, l'équation devient une égalité. Une solution d'une équation est souvent appelée racine de l'équation, en particulier, mais pas uniquement, pour les équations polynomiales. L'ensemble de toutes les solutions d'une équation est son ensemble de solutions.

Une équation peut être résolue soit numériquement, soit symboliquement. Résoudre une équation numériquement signifie que seuls les nombres sont admis comme solutions. Résoudre une équation symboliquement signifie que des expressions peuvent être utilisées pour représenter les solutions.

Par exemple, l'équation x + y = 2x – 1 est résolue pour l'inconnue x par l'expression x = y + 1, car la substitution de y + 1 à la place de x dans l'équation donne (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, ce qui est une affirmation vraie. Il est également possible de considérer la variable y comme l'inconnue, puis l'équation est résolue par y = x – 1. Ou x et y peuvent tous deux être considérés comme des inconnues, et il existe alors de nombreuses solutions à l'équation ; une solution symbolique est (x, y) = (a + 1, a), où la variable a peut prendre n'importe quelle valeur. L'instanciation d'une solution symbolique avec des nombres spécifiques donne une solution numérique ; par exemple, a = 0 donne (x, y) = (1, 0) (c'est-à-dire x = 1, y = 0), et a = 1 donne (x, y) = (2, 1).

La distinction entre variables connues et variables inconnues est généralement établie dans l'énoncé du problème, par des expressions telles que « une équation en x et y », ou « résoudre pour x et y », qui indiquent les inconnues, ici x et y. Cependant, il est courant de réserver x, y, z,... pour désigner les inconnues, et d'utiliser a, b, c,... pour désigner les variables connues, qui sont souvent appelées paramètres. C'est généralement le cas lors de la prise en compte d'équations polynomiales, telles que les équations quadratiques. Cependant, pour certains problèmes, toutes les variables peuvent assumer l'un ou l'autre rôle.

Selon le contexte, résoudre une équation peut consister à trouver soit une solution quelconque (il suffit de trouver une seule solution), toutes les solutions, ou une solution qui satisfait des propriétés supplémentaires, telles que l'appartenance à un intervalle donné. Lorsque la tâche consiste à trouver la solution qui est la meilleure selon un certain critère, il s'agit d'un problème d'optimisation. Résoudre un problème d'optimisation n'est généralement pas considéré comme « la résolution d'une équation », car, en général, les méthodes de résolution partent d'une solution particulière pour en trouver une meilleure, et répètent le processus jusqu'à trouver éventuellement la meilleure solution.
### Query ###
Pourquoi on peut pas toujours trouver la solution des équations quand le nombre est plus grand que 4 ?

### Main Text ###
Polynomial equations

In general, an algebraic equation or polynomial equation is an equation of the form

where P and Q are polynomials with coefficients in some field (e.g., rational numbers, real numbers, complex numbers). An algebraic equation is univariate if it involves only one variable. On the other hand, a polynomial equation may involve several variables, in which case it is called multivariate (multiple variables, x, y, z, etc.).

For example,

is a univariate algebraic (polynomial) equation with integer coefficients and

is a multivariate polynomial equation over the rational numbers.

Some polynomial equations with rational coefficients have a solution that is an algebraic expression, with a finite number of operations involving just those coefficients (i.e., can be solved algebraically). This can be done for all such equations of degree one, two, three, or four; but equations of degree five or more cannot always be solved in this way, as the Abel–Ruffini theorem demonstrates.

A large amount of research has been devoted to compute efficiently accurate approximations of the real or complex solutions of a univariate algebraic equation (see Root finding of polynomials) and of the common solutions of several multivariate polynomial equations (see System of polynomial equations).

### Supplementary Text ###
En mathématiques, résoudre une équation consiste à trouver ses solutions, qui sont les valeurs (nombres, fonctions, ensembles, etc.) qui satisfont la condition énoncée par l'équation, consistant généralement en deux expressions reliées par un signe égal. Lors de la recherche d'une solution, une ou plusieurs variables sont désignées comme inconnues. Une solution est une affectation de valeurs aux variables inconnues qui rend l'égalité dans l'équation vraie. En d'autres termes, une solution est une valeur ou une collection de valeurs (une pour chaque inconnue) telle que, lorsqu'elle est substituée aux inconnues, l'équation devient une égalité. Une solution d'une équation est souvent appelée racine de l'équation, en particulier, mais pas uniquement, pour les équations polynomiales. L'ensemble de toutes les solutions d'une équation est son ensemble de solutions.

Une équation peut être résolue soit numériquement, soit symboliquement. Résoudre une équation numériquement signifie que seuls les nombres sont admis comme solutions. Résoudre une équation symboliquement signifie que des expressions peuvent être utilisées pour représenter les solutions.

Par exemple, l'équation x + y = 2x – 1 est résolue pour l'inconnue x par l'expression x = y + 1, car la substitution de y + 1 à la place de x dans l'équation donne (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, ce qui est une affirmation vraie. Il est également possible de considérer la variable y comme l'inconnue, puis l'équation est résolue par y = x – 1. Ou x et y peuvent tous deux être considérés comme des inconnues, et il existe alors de nombreuses solutions à l'équation ; une solution symbolique est (x, y) = (a + 1, a), où la variable a peut prendre n'importe quelle valeur. L'instanciation d'une solution symbolique avec des nombres spécifiques donne une solution numérique ; par exemple, a = 0 donne (x, y) = (1, 0) (c'est-à-dire x = 1, y = 0), et a = 1 donne (x, y) = (2, 1).

La distinction entre variables connues et variables inconnues est généralement établie dans l'énoncé du problème, par des expressions telles que « une équation en x et y », ou « résoudre pour x et y », qui indiquent les inconnues, ici x et y. Cependant, il est courant de réserver x, y, z,... pour désigner les inconnues, et d'utiliser a, b, c,... pour désigner les variables connues, qui sont souvent appelées paramètres. C'est généralement le cas lors de la prise en compte d'équations polynomiales, telles que les équations quadratiques. Cependant, pour certains problèmes, toutes les variables peuvent assumer l'un ou l'autre rôle.

Selon le contexte, résoudre une équation peut consister à trouver soit une solution quelconque (il suffit de trouver une seule solution), toutes les solutions, ou une solution qui satisfait des propriétés supplémentaires, telles que l'appartenance à un intervalle donné. Lorsque la tâche consiste à trouver la solution qui est la meilleure selon un certain critère, il s'agit d'un problème d'optimisation. Résoudre un problème d'optimisation n'est généralement pas considéré comme « la résolution d'une équation », car, en général, les méthodes de résolution partent d'une solution particulière pour en trouver une meilleure, et répètent le processus jusqu'à trouver éventuellement la meilleure solution.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi on peut pas toujours trouver la solution des équations quand le nombre est plus grand que 4?"

Key semantic issues:
- "le nombre" = ambiguous. Degree? Coefficient count? Variable count?
- "toujours" = universal quantifier. Strong claim.
- Missing article suggests colloquial French.

Translation challenge: "quand le nombre est plus grand" could mean:
- Degree > 4 (polynomial)  
- Number of variables > 4
- Number of terms > 4

Context clues → polynomial equations. Most likely degree.

### 2. Mathematical Context Mapping

● High confidence: Degree 5+ = insolvable by radicals (Abel-Ruffini, 1824)
◐ Partial: User might mean computational limitations vs theoretical impossibility
○ Low confidence: "Always" vs "usually" - edge cases exist

Degree constraints:
- Degrees 0-4: solvable by radicals ●
- Degree 5+: generally unsolvable ●
- Exceptions exist (special cases, numerical approximations) ◐

### 3. Core Limitation

Abel-Ruffini theorem (1824): No general formula for roots of degree 5+ polynomials using only +,-,×,÷,√.

Proof technique: Field extensions, Galois groups, group theory.

∴ Fundamental mathematical limitation, not computational barrier.

### 4. Numerical vs Symbolic Resolution

Two approaches:
- Symbolic: exact closed-form solutions
- Numerical: approximate solutions

Degree ≤4: symbolic solutions always exist ●
Degree >4: symbolic solutions may not exist ●
Degree >4: numerical solutions always computable ●

### 5. Response Strategy

Need to address:
☑ Abel-Ruffini theorem for theoretical impossibility
☑ Numerical vs symbolic distinction  
☑ Historical context (1824 discovery)
☑ Edge cases/exceptions

⚠ Avoid: Oversimplification of "always" vs practical computability

Key insight: User likely asking about closed-form symbolic solutions, not numerical approximations.

### 6. Information Completeness Check

Missing elements in original response:
- No mention of Abel-Ruffini theorem
- No Galois theory connection
- Oversimplified "complex/impossible" framing

Required additions:
- Precise theorem statement
- Historical context (1824)
- Symbolic vs numerical distinction
- Edge cases/exceptions

### 7. Final Synthesis

The response should:
1. State Abel-Ruffini theorem directly
2. Explain Galois group connections  
3. Distinguish symbolic from numerical solutions
4. Acknowledge practical computation vs theoretical impossibility
5. Provide historical context
6. Clarify "always" vs "generally"

≈ 80% theoretical impossibility, 20% computational limitations.

### Answer###
Les équations polynomiales de degré supérieur à 4 ne peuvent pas toujours être résolues symboliquement pour trouver leurs solutions exactes. Cela s'explique par un théorème fondamental en mathématiques appelé le théorème d'Abel-Ruffini, qui démontre que les équations polynomiales de degré cinq ou supérieur ne peuvent pas être résolues de manière générale à l'aide d'une expression algébrique finie impliquant uniquement les coefficients.

Pour les équations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4, il existe toujours une formule algébrique permettant de trouver leurs solutions exactement. Ces formules incluent les solutions quadratiques pour les équations de degré 2, et les formules plus complexes pour les équations de degré 3 et 4.

Cependant, pour les équations de degré supérieur, même si on peut toujours trouver des approximations numériques de leurs solutions réelles ou complexes à l'aide de méthodes de calcul, il n'existe pas de méthode générale pour obtenir une solution symbolique exacte sous forme d'expression algébrique.

Il est important de distinguer cette limitation théorique de la résolution symbolique des limitations pratiques de calcul. Même si certaines équations de degré élevé peuvent être résolues numériquement avec une grande précision, la recherche de solutions symboliques exactes reste fondamentalement impossible pour cette classe d'équations selon le théorème d'Abel-Ruffini.