Est-ce que la relation réciproque de R sert aussi de neutre pour la composition des relations ?
Composition

If R {\displaystyle R} is a binary relation over sets X {\displaystyle X} and Y {\displaystyle Y}, and S {\displaystyle S} is a binary relation over sets Y {\displaystyle Y} and Z {\displaystyle Z} then S ∘ R = { (x, z) ∣ there exists y ∈ Y such that x R y and y S z } {\displaystyle S\circ R=\{(x,z)\mid {\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}} (also denoted by R; S {\displaystyle R;S}) is the composition relation of R {\displaystyle R} and S {\displaystyle S} over X {\displaystyle X} and Z {\displaystyle Z}.

The identity element is the identity relation. The order of R {\displaystyle R} and S {\displaystyle S} in the notation S ∘ R, {\displaystyle S\circ R,} used here agrees with the standard notational order for composition of functions. For example, the composition (is parent of) ∘ {\displaystyle \circ } (is mother of) yields (is maternal grandparent of), while the composition (is mother of) ∘ {\displaystyle \circ } (is parent of) yields (is grandmother of). For the former case, if x {\displaystyle x} is the parent of y {\displaystyle y} and y {\displaystyle y} is the mother of z {\displaystyle z}, then x {\displaystyle x} is the maternal grandparent of z {\displaystyle z}.
Composition

Si R est une relation binaire sur les ensembles X et Y, et S est une relation binaire sur les ensembles Y et Z, alors S ∘ R = { (x, z) ∣ il existe y ∈ Y tel que x R y et y S z } (également notée R; S) est la relation de composition de R et S sur X et Z.

L'élément neutre est la relation identité. L'ordre de R et S dans la notation S ∘ R est conforme à l'ordre notationnel standard pour la composition de fonctions. Par exemple, la composition (est parent de) ∘ (est mère de) donne (est grand-parent maternel), tandis que la composition (est mère de) ∘ (est parent de) donne (est grand-mère de). Dans le premier cas, si x est le parent de y et y est la mère de z, alors x est le grand-parent maternel de z.
### Query ###
Est-ce que la relation réciproque de R sert aussi de neutre pour la composition des relations ?

### Main Text ###
Composition

If R {\displaystyle R} is a binary relation over sets X {\displaystyle X} and Y {\displaystyle Y}, and S {\displaystyle S} is a binary relation over sets Y {\displaystyle Y} and Z {\displaystyle Z} then S ∘ R = { (x, z) ∣ there exists y ∈ Y such that x R y and y S z } {\displaystyle S\circ R=\{(x,z)\mid {\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}} (also denoted by R; S {\displaystyle R;S}) is the composition relation of R {\displaystyle R} and S {\displaystyle S} over X {\displaystyle X} and Z {\displaystyle Z}.

The identity element is the identity relation. The order of R {\displaystyle R} and S {\displaystyle S} in the notation S ∘ R, {\displaystyle S\circ R,} used here agrees with the standard notational order for composition of functions. For example, the composition (is parent of) ∘ {\displaystyle \circ } (is mother of) yields (is maternal grandparent of), while the composition (is mother of) ∘ {\displaystyle \circ } (is parent of) yields (is grandmother of). For the former case, if x {\displaystyle x} is the parent of y {\displaystyle y} and y {\displaystyle y} is the mother of z {\displaystyle z}, then x {\displaystyle x} is the maternal grandparent of z {\displaystyle z}.

### Supplementary Text ###
Composition

Si R est une relation binaire sur les ensembles X et Y, et S est une relation binaire sur les ensembles Y et Z, alors S ∘ R = { (x, z) ∣ il existe y ∈ Y tel que x R y et y S z } (également notée R; S) est la relation de composition de R et S sur X et Z.

L'élément neutre est la relation identité. L'ordre de R et S dans la notation S ∘ R est conforme à l'ordre notationnel standard pour la composition de fonctions. Par exemple, la composition (est parent de) ∘ (est mère de) donne (est grand-parent maternel), tandis que la composition (est mère de) ∘ (est parent de) donne (est grand-mère de). Dans le premier cas, si x est le parent de y et y est la mère de z, alors x est le grand-parent maternel de z.

### Draft ###

Query: "Est-ce que la relation réciproque de R sert aussi de neutre pour la composition des relations ?"

Translation check: "Does the reciprocal relation of R also serve as neutral element for relation composition?"

! Key issue: Assuming R has reciprocal. Not always.

### 1. Definitional Framework

Binary relation R: X → Y. Reciprocal R⁻¹: Y → X.

Composition R ∘ S: (x,z) ∈ R ∘ S ⟺ ∃y: xRy ∧ Syz.

Standard result: R ∘ I = I ∘ R = R for identity relation I.

### 2. The Critical Distinction  

Identity relation I: {(x,x) | x ∈ X}. Always exists.

Reciprocal R⁻¹: {(y,x) | xRy}. May not exist if R fails conditions.

**Problem**: R⁻¹ ∄ when:
- R not functional (many-to-one)  
- R not total (some x lack y such that xRy)
- Domain/codomain mismatch

### 3. Counter-Examples

Consider R: { (1,a), (1,b), (2,a) }.
→ No reciprocal exists (1 maps to multiple values).

Even with reciprocal, composition fails:
R ∘ R⁻¹ ≠ I in general. Counter-example needed...

⟨H≈0.8⟩ *Wait. Think function composition. Identity is what preserves... but relations lack unique mapping constraint. Composition becomes... associative yes, but identity? Need total/functional for that structure...*

### 4. Correct Answer Structure

**No**. R⁻¹ ≠ identity relation generally.

**Why**: 
1. R⁻¹ may not exist (non-functional/non-total relations)
2. Even when exists, R ∘ R⁻¹ ≠ R⁻¹ ∘ R ≠ I in general

**Exception**: When R is **functional AND total**, then R⁻¹ exists AND R ∘ R⁻¹ = R⁻¹ ∘ R = I.

∴ Reciprocal serves as identity **only for total functional relations**.

**Contrast**: Identity relation always exists. Always serves as neutral element. No conditions required.

---

**Final verification**: User likely thinking of bijective functions where reciprocal = inverse = identity. But query asks about general relations. Answer must distinguish this special case.

✓ Structure confirmed: Definitional → Counter-examples → Exception statement → Clarification of identity vs. reciprocal.

### Answer###
Non, la relation réciproque de R ne sert pas toujours de neutre pour la composition des relations. 

La relation compositionnelle S ∘ R est définie par : S ∘ R = { (x, z) ∣ il existe y ∈ Y tel que x R y et y S z }. 

L'élément neutre pour cette composition est en réalité la relation identité, et non la relation réciproque de R. La relation réciproque de R ne jouera ce rôle que dans des conditions particulières.

Pour qu'une relation soit effectivement son propre inverse compositionnel, elle doit satisfaire des propriétés spécifiques qui ne sont pas automatiquement vérifiées pour toutes les relations. Les relations qui ont une réciproque existentielle et qui vérifient R ∘ R⁻¹ = R⁻¹ ∘ R = I sont celles qui correspondent aux applications injectives et surjectives (ou fonctions bijectives) dans le contexte des relations.

En général, la notion de réciproque ne correspond pas exactement à celle d'élément neutre pour la composition relationnelle, contrairement au cas des applications où l'inverse d'une bijection est effectivement son neutre compositionnel.