Dans quelle mesure l'extrapolation linéaire serait-elle fiable pour prolonger une fonction non linéaire proche de sa limite ?
Linear

Linear extrapolation means creating a tangent line at the end of the known data and extending it beyond that limit. Linear extrapolation will only provide good results when used to extend the graph of an approximately linear function or not too far beyond the known data.

If the two data points nearest the point x ∗ {\displaystyle x_{*}} to be extrapolated are (x k − 1, y k − 1) {\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})} and (x k, y k) {\displaystyle (x_{k},y_{k})}, linear extrapolation gives the function:

(which is identical to linear interpolation if x k − 1 < x ∗ < x k {\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}). It is possible to include more than two points, and averaging the slope of the linear interpolant, by regression -like techniques, on the data points chosen to be included. This is similar to linear prediction.
Linéaire

L'extrapolation linéaire consiste à créer une tangente à la fin des données connues et à l'étendre au-delà de cette limite. L'extrapolation linéaire ne fournira de bons résultats que lorsqu'elle est utilisée pour prolonger le graphique d'une fonction approximativement linéaire ou pas trop loin au-delà des données connues.

Si les deux points de données les plus proches du point x ∗ {\displaystyle x_{*}} à extrapoler sont (x k − 1, y k − 1) {\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})} et (x k, y k) {\displaystyle (x_{k},y_{k})}, l'extrapolation linéaire donne la fonction :

(qui est identique à l'interpolation linéaire si x k − 1 < x ∗ < x k {\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}). Il est possible d'inclure plus de deux points et de faire la moyenne de la pente de l'interpolant linéaire, par des techniques semblables à la régression, sur les points de données choisis pour être inclus. Cela est similaire à la prédiction linéaire.
### Query ###
Dans quelle mesure l'extrapolation linéaire serait-elle fiable pour prolonger une fonction non linéaire proche de sa limite ?

### Main Text ###
Linear

Linear extrapolation means creating a tangent line at the end of the known data and extending it beyond that limit. Linear extrapolation will only provide good results when used to extend the graph of an approximately linear function or not too far beyond the known data.

If the two data points nearest the point x ∗ {\displaystyle x_{*}} to be extrapolated are (x k − 1, y k − 1) {\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})} and (x k, y k) {\displaystyle (x_{k},y_{k})}, linear extrapolation gives the function:

(which is identical to linear interpolation if x k − 1 < x ∗ < x k {\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}). It is possible to include more than two points, and averaging the slope of the linear interpolant, by regression -like techniques, on the data points chosen to be included. This is similar to linear prediction.

### Supplementary Text ###
Linéaire

L'extrapolation linéaire consiste à créer une tangente à la fin des données connues et à l'étendre au-delà de cette limite. L'extrapolation linéaire ne fournira de bons résultats que lorsqu'elle est utilisée pour prolonger le graphique d'une fonction approximativement linéaire ou pas trop loin au-delà des données connues.

Si les deux points de données les plus proches du point x ∗ {\displaystyle x_{*}} à extrapoler sont (x k − 1, y k − 1) {\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})} et (x k, y k) {\displaystyle (x_{k},y_{k})}, l'extrapolation linéaire donne la fonction :

(qui est identique à l'interpolation linéaire si x k − 1 < x ∗ < x k {\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}). Il est possible d'inclure plus de deux points et de faire la moyenne de la pente de l'interpolant linéaire, par des techniques semblables à la régression, sur les points de données choisis pour être inclus. Cela est similaire à la prédiction linéaire.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"extrapolation linéaire" → linear extrapolation. "prolonger une fonction non linéaire" → extend a nonlinear function. "limite" → limit/boundary. 

Key question: reliability measure for linear extrapolation of nonlinear functions near boundaries.

※ Translation issue: "limite" could mean limit (as in boundary) or limit (as in mathematical limit). Context suggests boundary.

### 2. Method Setup

Linear extrapolation: y = mx + b where slope m = (Δy/Δx) from data points.

For nonlinear f(x) near boundary x_0, reliability R(x) depends on:
- Curvature magnitude at x_0
- Distance extended beyond x_0  
- Underlying function characteristics

### 3. Curvature Analysis

If f''(x_0) ≠ 0 → function curved at boundary
→ Local approximation breaks down
→ Linear segment diverges from actual function

Error bound: E(x) ≈ (1/2)f''(ξ)·(x-x_0)² for some ξ ∈ [x_0,x]

∴ Curvature determines reliability ceiling.

### 4. Distance Factor

Linear extrapolation reliable only if extended distance << characteristic length scales of function.

If L_char = typical oscillation period, reliable range ≈ L_char/10 to L_char/5.

Beyond this: systematic bias increases.

### 5. Function Properties

Better reliability for:
- Smooth functions (small |f''|)
- Monotonic sections  
- Functions with bounded derivatives

Worse for:
- Oscillatory functions
- Singularities nearby
- Discontinuous derivatives

### 6. Practical Assessment

Reliability assessment requires:
☐ Plot function behavior near boundary
☐ Measure local curvature  
☐ Estimate distance of extrapolation
☑ Use domain knowledge of function type

≈ Rule of thumb: < 20% of characteristic length for reasonable confidence.

### 7. Alternative Methods

For improved reliability consider:
- Higher-order polynomial extrapolation (if data permits)
- Spline continuation
- Piecewise linear with curvature correction
- Neural network continuation

Each has trade-offs in complexity vs accuracy.

### 8. Conclusion

Linear extrapolation for nonlinear functions near boundaries:

**Reliable when:**
- Small local curvature (|f''| << 1)
- Short extrapolation distance (< 10% of characteristic length)  
- Smooth, well-behaved function

**Unreliable when:**
- Large curvature at boundary
- Long extrapolation range
- Oscillatory or singular behavior

**Assessment required:** Local analysis essential before application.

∴ Method has narrow reliability envelope. Requires careful validation against known function properties and expected accuracy needs.

### Answer###
L'extrapolation linéaire présente des limites importantes lorsqu'elle est appliquée à des fonctions non linéaires, même lorsqu'elles sont utilisées près de leur limite. Cette technique consiste à créer une droite tangente à la fin des données connues et à l'étendre au-delà de cette limite.

L'extrapolation linéaire ne fournira de bons résultats que dans deux conditions : lorsqu'elle est utilisée pour prolonger le graphique d'une fonction approximativement linéaire, ou lorsque l'extension ne dépasse pas trop les données connues. Ces conditions ne sont pas toujours respectées pour les fonctions non linéaires.

Pour une fonction non linéaire, l'extrapolation linéaire peut conduire à des résultats inexacts car la méthode ne capture pas la courbure caractéristique des fonctions non linéaires. La fiabilité décroît rapidement lorsque l'on s'éloigne des points de données initiaux, même si la fonction semble suivre une tendance linéaire locale.

Il est également possible d'améliorer cette méthode en incluant plusieurs points de données et en calculant la pente moyenne de l'interpolant linéaire par des techniques de régression, mais cela ne résout pas les problèmes fondamentaux liés à l'extrapolation linéaire de fonctions non linéaires.

Pour évaluer la fiabilité de cette approche, il serait nécessaire d'analyser la courbure locale de la fonction et la distance d'extrapolation, mais une analyse détaillée de ces facteurs dépasse le cadre de cette réponse.