Pourquoi certains nombres ils marchent pas dans cette histoire de harmoniques ?
Harmonic primes

Primes p for which there are no solutions to H ≡ 0 (mod p) and H ≡ − ω (mod p) for 1 ≤ k ≤ p −2, where H denotes the k -th harmonic number and ω denotes the Wolstenholme quotient.
Harmoniques

Toucher légèrement la corde avec le bout d'un doigt à un nœud harmonique, sans appuyer complètement sur la corde, puis pincer ou gratter la corde, crée des harmoniques. Au lieu du son normal, une note de plus haute tessiture se fait entendre. Chaque nœud se situe à une division entière de la longueur de la corde, par exemple à mi-chemin ou au tiers de sa longueur. Un instrument réactif produira de nombreux nœuds harmoniques possibles le long de la corde. Les harmoniques sont indiquées dans la musique soit par un petit cercle au-dessus de la note qui détermine la hauteur de l'harmonique, soit par des têtes de notes en forme de losange. Il existe deux types d'harmoniques : les harmoniques naturelles et les harmoniques artificielles (également appelées fausses harmoniques).

Les harmoniques naturelles sont jouées sur une corde à vide. La hauteur de la corde à vide lorsqu'elle est pincée ou grattée est appelée fréquence fondamentale. Les harmoniques sont également appelées harmoniques supérieures ou partiels. Elles se produisent à des multiples entiers de la fondamentale, qui est elle-même appelée première harmonique. La deuxième harmonique est la première harmonique supérieure (l'octave au-dessus de la corde à vide), la troisième harmonique est la deuxième harmonique supérieure, et ainsi de suite. La deuxième harmonique se situe au milieu de la corde et sonne une octave plus haute que la hauteur de la corde. La troisième harmonique divise la corde en trois parties et sonne une octave et une quinte au-dessus de la fondamentale, et la quatrième harmonique divise la corde en quatre parties, sonnant deux octaves au-dessus de la première. Le son de la deuxième harmonique est le plus clair de tous, car c'est un nœud commun avec toutes les harmoniques paires suivantes (4e, 6e, etc.). La troisième et les harmoniques impaires suivantes sont plus difficiles à jouer car elles divisent la corde en un nombre impair de parties vibrantes et ne partagent pas autant de nœuds avec d'autres harmoniques.

Les harmoniques artificielles sont plus difficiles à produire que les harmoniques naturelles, car elles impliquent à la fois d'arrêter la corde et de jouer une harmonique sur la note arrêtée. L'utilisation du cadre de l'octave (la distance normale entre le premier et le quatrième doigt dans une position donnée) avec le quatrième doigt touchant légèrement la corde à une quarte au-dessus de la note arrêtée produit la quatrième harmonique, deux octaves au-dessus de la note arrêtée. Le positionnement et la pression des doigts, ainsi que la vitesse, la pression et le point de contact de l'archet sont essentiels pour obtenir l'harmonique souhaitée. Et pour ajouter à la difficulté, dans les passages avec des notes différentes jouées comme fausses harmoniques, la distance entre le doigt d'arrêt et le doigt harmonique doit constamment changer, puisque l'espacement entre les notes varie le long de la longueur de la corde.

Le doigt harmonique peut également toucher à une tierce majeure au-dessus de la note pressée (la cinquième harmonique), ou à une quinte plus haut (une troisième harmonique). Ces harmoniques sont moins couramment utilisées ; dans le cas de la tierce majeure, la note arrêtée et la note touchée doivent être légèrement augmentées, sinon l'harmonique ne sonnera pas aussi facilement. Dans le cas de la quinte, l'étirement est plus important que ce qui est confortable pour de nombreux violonistes. Dans le répertoire général, les fractions inférieures à une sixte ne sont pas utilisées. Cependant, les divisions jusqu'à une huitième sont parfois utilisées et, avec un bon instrument et un musicien talentueux, des divisions aussi petites qu’un douzième sont possibles. Il existe quelques ouvrages consacrés uniquement à l’étude des harmoniques au violon. Deux œuvres complètes sont la Théorie des harmoniques en sept volumes d'Henryk Heller, publiée par Simrock en 1928, et la Tecnica dei suoni armonici en cinq volumes de Michelangelo Abbado, publiée par Ricordi en 1934.

Des passages élaborés en harmoniques artificielles se trouvent dans la littérature violonistique virtuose, en particulier de la fin du XIXe et du début du XXe siècle. Deux exemples notables sont une section entière du Csárdás de Vittorio Monti et un passage vers le milieu du troisième mouvement du Concerto pour violon de Piotr Ilitch Tchaïkovski. Une section du troisième mouvement du Concerto pour violon n° 1 de Paganini est composée de tierces à cordes pincées en harmoniques.

Lorsque les cordes sont usées, sales et anciennes, les harmoniques peuvent ne plus être justes en hauteur. Pour cette raison, les violonistes changent régulièrement leurs cordes.
### Query ###
Pourquoi certains nombres ils marchent pas dans cette histoire de harmoniques ?

### Main Text ###
Harmonic primes

Primes p for which there are no solutions to H ≡ 0 (mod p) and H ≡ − ω (mod p) for 1 ≤ k ≤ p −2, where H denotes the k -th harmonic number and ω denotes the Wolstenholme quotient.

### Supplementary Text ###
Harmoniques

Toucher légèrement la corde avec le bout d'un doigt à un nœud harmonique, sans appuyer complètement sur la corde, puis pincer ou gratter la corde, crée des harmoniques. Au lieu du son normal, une note de plus haute tessiture se fait entendre. Chaque nœud se situe à une division entière de la longueur de la corde, par exemple à mi-chemin ou au tiers de sa longueur. Un instrument réactif produira de nombreux nœuds harmoniques possibles le long de la corde. Les harmoniques sont indiquées dans la musique soit par un petit cercle au-dessus de la note qui détermine la hauteur de l'harmonique, soit par des têtes de notes en forme de losange. Il existe deux types d'harmoniques : les harmoniques naturelles et les harmoniques artificielles (également appelées fausses harmoniques).

Les harmoniques naturelles sont jouées sur une corde à vide. La hauteur de la corde à vide lorsqu'elle est pincée ou grattée est appelée fréquence fondamentale. Les harmoniques sont également appelées harmoniques supérieures ou partiels. Elles se produisent à des multiples entiers de la fondamentale, qui est elle-même appelée première harmonique. La deuxième harmonique est la première harmonique supérieure (l'octave au-dessus de la corde à vide), la troisième harmonique est la deuxième harmonique supérieure, et ainsi de suite. La deuxième harmonique se situe au milieu de la corde et sonne une octave plus haute que la hauteur de la corde. La troisième harmonique divise la corde en trois parties et sonne une octave et une quinte au-dessus de la fondamentale, et la quatrième harmonique divise la corde en quatre parties, sonnant deux octaves au-dessus de la première. Le son de la deuxième harmonique est le plus clair de tous, car c'est un nœud commun avec toutes les harmoniques paires suivantes (4e, 6e, etc.). La troisième et les harmoniques impaires suivantes sont plus difficiles à jouer car elles divisent la corde en un nombre impair de parties vibrantes et ne partagent pas autant de nœuds avec d'autres harmoniques.

Les harmoniques artificielles sont plus difficiles à produire que les harmoniques naturelles, car elles impliquent à la fois d'arrêter la corde et de jouer une harmonique sur la note arrêtée. L'utilisation du cadre de l'octave (la distance normale entre le premier et le quatrième doigt dans une position donnée) avec le quatrième doigt touchant légèrement la corde à une quarte au-dessus de la note arrêtée produit la quatrième harmonique, deux octaves au-dessus de la note arrêtée. Le positionnement et la pression des doigts, ainsi que la vitesse, la pression et le point de contact de l'archet sont essentiels pour obtenir l'harmonique souhaitée. Et pour ajouter à la difficulté, dans les passages avec des notes différentes jouées comme fausses harmoniques, la distance entre le doigt d'arrêt et le doigt harmonique doit constamment changer, puisque l'espacement entre les notes varie le long de la longueur de la corde.

Le doigt harmonique peut également toucher à une tierce majeure au-dessus de la note pressée (la cinquième harmonique), ou à une quinte plus haut (une troisième harmonique). Ces harmoniques sont moins couramment utilisées ; dans le cas de la tierce majeure, la note arrêtée et la note touchée doivent être légèrement augmentées, sinon l'harmonique ne sonnera pas aussi facilement. Dans le cas de la quinte, l'étirement est plus important que ce qui est confortable pour de nombreux violonistes. Dans le répertoire général, les fractions inférieures à une sixte ne sont pas utilisées. Cependant, les divisions jusqu'à une huitième sont parfois utilisées et, avec un bon instrument et un musicien talentueux, des divisions aussi petites qu’un douzième sont possibles. Il existe quelques ouvrages consacrés uniquement à l’étude des harmoniques au violon. Deux œuvres complètes sont la Théorie des harmoniques en sept volumes d'Henryk Heller, publiée par Simrock en 1928, et la Tecnica dei suoni armonici en cinq volumes de Michelangelo Abbado, publiée par Ricordi en 1934.

Des passages élaborés en harmoniques artificielles se trouvent dans la littérature violonistique virtuose, en particulier de la fin du XIXe et du début du XXe siècle. Deux exemples notables sont une section entière du Csárdás de Vittorio Monti et un passage vers le milieu du troisième mouvement du Concerto pour violon de Piotr Ilitch Tchaïkovski. Une section du troisième mouvement du Concerto pour violon n° 1 de Paganini est composée de tierces à cordes pincées en harmoniques.

Lorsque les cordes sont usées, sales et anciennes, les harmoniques peuvent ne plus être justes en hauteur. Pour cette raison, les violonistes changent régulièrement leurs cordes.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi certains nombres ils marchent pas dans cette histoire de harmoniques ?"

→ French phrasing suggests uncertainty/frustration with numerical patterns
→ "marchent pas" = "don't work/fail" 
→ Context: harmonics, presumably musical/mathematical

? Which domain exactly - music theory? Number theory? Physics of vibration?
? "Certains nombres" = which specific numbers?

### 2. Pattern Recognition

⟨H≈0.3⟩ Harmonically related frequencies... fundamental and overtones... natural harmonics on strings... mathematical series 1:2:3:4... but gaps, missing ratios...

Musical context most probable. Violins, guitars, string instruments.

Natural harmonics: ● 1/2 string = octave, ● 1/3 = 12th + fifth, ● 1/4 = two octaves
But: 1/5 string? 1/7? 1/9? → Problems emerge.

### 3. Mathematical Foundation

Fundamental frequency f₀
Harmonics: integer multiples 2f₀, 3f₀, 4f₀...

Ratio perspective: 
- Perfect 2:1 = octave ●
- Perfect 3:2 = fifth ●  
- Perfect 4:3 = fourth ●

But 5:4? 7:4? 11:8? → Increasingly dissonant, harder to produce cleanly.

### 4. Physical Constraints

String vibration mechanics:
- Nodes must be integer divisions of wavelength
- Wavelength λ = 2L/n (where n = harmonic number)
- L = string length

∴ Only perfect fractions work naturally:
1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4...

Higher ratios require:
- Precise finger placement (impossible precision)
- String tension adjustments
- Resonance issues

### 5. Specific Numbers Analysis

Why certain numbers "don't work":

**Odd denominators**: 1/5, 1/7, 1/9
- No clean node at midpoint
- Third harmonic (1/3) already difficult
- Fifth harmonic (1/5) requires 5 equal divisions → very hard

**Composite denominators**: 1/6, 1/8, 1/10  
- Multiple node positions possible
- But not "natural" - forced divisions
- 1/6 = 1/2 × 1/3 → two partial divisions required

**Higher ratios**: 1/11, 1/13, 1/17
- Extremely difficult fingering
- Rarely used in practice

### 6. Verification & Synthesis

⟨H≈0.8⟩ String theory meets human physiology... our fingers evolved for piano-style frets? Fixed divisions? Not continuous string splitting... like trying to cut a pie into 7.3 slices with a knife...

Physical impossibility + musical dissonance + fingering difficulty = "don't work"

∴ Numbers representing non-integer string divisions fail for:
1. Mechanical precision requirements
2. Harmonic series purity  
3. Practical musical utility

The "marche pas" phenomenon: higher harmonic ratios transcend from mathematical possibility into physical impossibility on bowed strings.

NB: This creates artificial scarcity in available harmonic pitches - explains why orchestral writing favors fundamental + first few harmonics, why extended techniques exist for rare higher harmonics.

### Answer###
Certains nombres ne fonctionnent pas dans l'histoire des harmoniques parce que les rapports harmoniques naturels suivent des proportions mathématiques spécifiques. 

Dans les harmoniques naturelles, les notes se produisent selon des rapports de fréquences entières avec la fondamentale. La deuxième harmonique (l'octave) divise la corde en deux parties égales, la troisième (une octave plus une quinte) la divise en trois parties, et ainsi de suite. Ces divisions correspondent à des fractions simples et naturelles.

Cependant, les fractions ou rapports harmoniques qui ne suivent pas ces proportions naturelles deviennent progressivement plus difficiles à produire. Les harmoniques avec des diviseurs impairs (comme 1/5 ou 1/7) sont particulièrement problématiques car elles nécessitent des divisions de la corde en nombres impairs de parties vibrantes.

Les fractions supérieures à une sixième (1/6) sont rarement utilisées car elles représentent des divisions très précises de la corde qui sont difficiles à obtenir avec une pression et un placement de doigt précis. Pour les divisions inférieures à une sixième, le positionnement et la pression des doigts doivent être extrêmement précis pour produire le son harmonique souhaité.

Les harmoniques artificielles (ou fausses) compliquent cette précision car elles nécessitent à la fois d'arrêter la corde et de jouer une harmonique sur cette note arrêtée, ce qui multiplie les variables de précision nécessaires.

En résumé, les nombres qui "marchent pas" correspondent à des proportions harmoniques qui dépassent les limites pratiques de production sonore sur les instruments à cordes.