Comment le nombre de degrés de liberté k influence-t-il la précision de l'approximation de la distribution du khi-deux par une distribution normale dans un contexte d'inférence statistique ?
Asymptotic properties

By the central limit theorem, because the chi-squared distribution is the sum of k {\displaystyle k} independent random variables with finite mean and variance, it converges to a normal distribution for large k {\displaystyle k}. For many practical purposes, for k > 50 {\displaystyle k>50} the distribution is sufficiently close to a normal distribution, so the difference is ignorable. Specifically, if X ∼ χ 2 (k) {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}, then as k {\displaystyle k} tends to infinity, the distribution of (X − k) / 2 k {\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}} tends to a standard normal distribution. However, convergence is slow as the skewness is 8 / k {\displaystyle {\sqrt {8/k}}} and the excess kurtosis is 12 / k {\displaystyle 12/k}.
En théorie des probabilités et statistique, la distribution du khi-deux (aussi appelée khi-carré ou distribution χ² ) avec *k* degrés de liberté est la distribution d'une somme des carrés de *k* variables aléatoires normales standard indépendantes.

La distribution du khi-deux χ²*k* est un cas particulier de la distribution gamma et de la distribution de Wishart univariée. Plus précisément, si X ∼ χ²*k*, alors X ∼ Gamma (α = *k*/2, θ = 2) (où α est le paramètre de forme et θ le paramètre d'échelle de la distribution gamma) et X ∼ W₁(1, *k*).

La distribution du khi-deux pondérée s²χ²*k* est une ré-interprétation de la distribution gamma et de la distribution de Wishart univariée. Plus précisément, si X ∼ s²χ²*k*, alors X ∼ Gamma (α = *k*/2, θ = 2*s²*) et X ∼ W₁(s², *k*).

La distribution du khi-deux est l'une des distributions de probabilité les plus largement utilisées en statistique inférentielle, notamment dans les tests d'hypothèses et la construction d'intervalles de confiance. Cette distribution est parfois appelée distribution du khi-deux centralisée, un cas particulier de la distribution du khi-deux non centralisée plus générale.

La distribution du khi-deux est utilisée dans les tests du khi-deux courants pour l'adéquation d'une distribution observée à une distribution théorique, l'indépendance de deux critères de classification de données qualitatives, et pour trouver l'intervalle de confiance pour estimer l'écart-type de la population d'une distribution normale à partir d'un écart-type d'échantillon. De nombreux autres tests statistiques utilisent également cette distribution, comme l'analyse de la variance par rangs de Friedman.
### Query ###
Comment le nombre de degrés de liberté k influence-t-il la précision de l'approximation de la distribution du khi-deux par une distribution normale dans un contexte d'inférence statistique ?

### Main Text ###
Asymptotic properties

By the central limit theorem, because the chi-squared distribution is the sum of k {\displaystyle k} independent random variables with finite mean and variance, it converges to a normal distribution for large k {\displaystyle k}. For many practical purposes, for k > 50 {\displaystyle k>50} the distribution is sufficiently close to a normal distribution, so the difference is ignorable. Specifically, if X ∼ χ 2 (k) {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}, then as k {\displaystyle k} tends to infinity, the distribution of (X − k) / 2 k {\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}} tends to a standard normal distribution. However, convergence is slow as the skewness is 8 / k {\displaystyle {\sqrt {8/k}}} and the excess kurtosis is 12 / k {\displaystyle 12/k}.

### Supplementary Text ###
En théorie des probabilités et statistique, la distribution du khi-deux (aussi appelée khi-carré ou distribution χ² ) avec *k* degrés de liberté est la distribution d'une somme des carrés de *k* variables aléatoires normales standard indépendantes.

La distribution du khi-deux χ²*k* est un cas particulier de la distribution gamma et de la distribution de Wishart univariée. Plus précisément, si X ∼ χ²*k*, alors X ∼ Gamma (α = *k*/2, θ = 2) (où α est le paramètre de forme et θ le paramètre d'échelle de la distribution gamma) et X ∼ W₁(1, *k*).

La distribution du khi-deux pondérée s²χ²*k* est une ré-interprétation de la distribution gamma et de la distribution de Wishart univariée. Plus précisément, si X ∼ s²χ²*k*, alors X ∼ Gamma (α = *k*/2, θ = 2*s²*) et X ∼ W₁(s², *k*).

La distribution du khi-deux est l'une des distributions de probabilité les plus largement utilisées en statistique inférentielle, notamment dans les tests d'hypothèses et la construction d'intervalles de confiance. Cette distribution est parfois appelée distribution du khi-deux centralisée, un cas particulier de la distribution du khi-deux non centralisée plus générale.

La distribution du khi-deux est utilisée dans les tests du khi-deux courants pour l'adéquation d'une distribution observée à une distribution théorique, l'indépendance de deux critères de classification de données qualitatives, et pour trouver l'intervalle de confiance pour estimer l'écart-type de la population d'une distribution normale à partir d'un écart-type d'échantillon. De nombreux autres tests statistiques utilisent également cette distribution, comme l'analyse de la variance par rangs de Friedman.

### Draft ###

Query: "Comment le nombre de degrés de liberté k influence-t-il la précision de l'approximation de la distribution du khi-deux par une distribution normale dans un contexte d'inférence statistique ?"

Translation check: "How does the number of degrees of freedom k influence the accuracy of the approximation of the chi-squared distribution by a normal distribution in a context of statistical inference?"

→ Core question: k-dependence of chi-squared ↔ normal approximation quality.

### 1. Direct Answer

The relationship is inverse. As k increases, approximation improves.

Key threshold: k > 50. ● 

Why this matters: For k ≤ 50, approximation poor. For k > 50, sufficiently close for practical purposes.

### 2. Mathematical Foundation  

Central Limit Theorem basis. ●
Chi-squared = sum of k independent normals².
∴ As k → ∞, converges to normal by CLT.

Standardized form: (X - k) / √(2k) → N(0,1)

### 3. Convergence Rate Analysis

Slower than expected. ⚠
- Skewness: √(8/k) 
- Excess kurtosis: 12/k

? Why slow convergence?
→ Chi-squared inherently skewed right
→ Squared transformations amplify non-normality

### 4. Practical Implications

Statistical inference context crucial. ●

For hypothesis testing:
- Large k → normal approximation valid
- Small k → approximation unreliable

Example thresholds:
- k = 20: ◐ marginal approximation
- k = 50: ● good approximation  
- k = 100: ● excellent approximation

### 5. Critical Limitations

Approximation quality depends on:
- Sample size (n)
- Effect size  
- Alternative distribution shape
- Type I error control

∴ k alone insufficient predictor of approximation accuracy.

### 6. Conclusion

Inverse relationship confirmed: larger k → better normal approximation.
Practical threshold k > 50.
Slow convergence due to chi-squared distributional characteristics.
Context-dependent applicability in inference.

NB: Convergence speed varies with statistical application. Not all chi-squared statistics behave identically.

### Answer###
Le nombre de degrés de liberté k joue un rôle fondamental dans la précision de l'approximation normale de la distribution du khi-deux pour les applications d'inférence statistique.

L'approximation normale devient plus précise à mesure que k augmente. Selon le théorème de la limite centrale, puisque la distribution du khi-deux est la somme de k variables aléaoires normales indépendantes, elle converge vers une distribution normale lorsque k tend vers l'infini. Concrètement, pour k > 50, la distribution est suffisamment proche d'une distribution normale pour que les différences soient négligeables dans de nombreux contextes pratiques.

Plus précisément, lorsque X suit une distribution χ²(k), la variable standardisée (X - k) / √(2k) converge vers une distribution normale standard à mesure que k croît.

Cependant, cette convergence est plus lente que prévu en raison des propriétés de la distribution du khi-deux. L'asymétrie est égale à √(8/k) et l'excès de kurtosis est de 12/k, ce qui indique que la distribution chi-deux s'éloigne plus lentement de la normalité que ne le suggère simplement le théorème de la limite centrale.

Cette approximation est particulièrement importante en inférence statistique où la distribution du khi-deux est largement utilisée dans les tests d'hypothèses et la construction d'intervalles de confiance. L'efficacité de l'approximation normale dépend donc directement du nombre de degrés de liberté k, avec une amélioration substantielle au-delà de 50 degrés de liberté.