Pourquoi un espace complètement séparé il est pas toujours complètement discontinu ?
Disconnected spaces

A space in which all components are one-point sets is called totally disconnected. Related to this property, a space X {\displaystyle X} is called totally separated if, for any two distinct elements x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} of X {\displaystyle X}, there exist disjoint open sets U {\displaystyle U} containing x {\displaystyle x} and V {\displaystyle V} containing y {\displaystyle y} such that X {\displaystyle X} is the union of U {\displaystyle U} and V {\displaystyle V}. Clearly, any totally separated space is totally disconnected, but the converse does not hold. For example take two copies of the rational numbers Q {\displaystyle \mathbb {Q} }, and identify them at every point except zero. The resulting space, with the quotient topology, is totally disconnected. However, by considering the two copies of zero, one sees that the space is not totally separated. In fact, it is not even Hausdorff, and the condition of being totally separated is strictly stronger than the condition of being Hausdorff.
Espaces disjoints

Un espace dans lequel tous les composants sont des ensembles à un point est appelé totalement discontinu. Lié à cette propriété, un espace X est appelé totalement séparé si, pour deux éléments distincts x et y de X, il existe des ensembles ouverts disjoints U contenant x et V contenant y tels que X est l'union de U et V. Il est clair qu'un espace totalement séparé est totalement discontinu, mais la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, prenons deux copies des nombres rationnels Q, et identifions-les en tout point sauf zéro. L'espace résultant, muni de la topologie quotient, est totalement discontinu. Cependant, en considérant les deux copies de zéro, on voit que l'espace n'est pas totalement séparé. En fait, il n'est même pas de Hausdorff, et la condition d'être totalement séparé est strictement plus forte que la condition d'être de Hausdorff.
### Query ###
Pourquoi un espace complètement séparé il est pas toujours complètement discontinu ?

### Main Text ###
Disconnected spaces

A space in which all components are one-point sets is called totally disconnected. Related to this property, a space X {\displaystyle X} is called totally separated if, for any two distinct elements x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} of X {\displaystyle X}, there exist disjoint open sets U {\displaystyle U} containing x {\displaystyle x} and V {\displaystyle V} containing y {\displaystyle y} such that X {\displaystyle X} is the union of U {\displaystyle U} and V {\displaystyle V}. Clearly, any totally separated space is totally disconnected, but the converse does not hold. For example take two copies of the rational numbers Q {\displaystyle \mathbb {Q} }, and identify them at every point except zero. The resulting space, with the quotient topology, is totally disconnected. However, by considering the two copies of zero, one sees that the space is not totally separated. In fact, it is not even Hausdorff, and the condition of being totally separated is strictly stronger than the condition of being Hausdorff.

### Supplementary Text ###
Espaces disjoints

Un espace dans lequel tous les composants sont des ensembles à un point est appelé totalement discontinu. Lié à cette propriété, un espace X est appelé totalement séparé si, pour deux éléments distincts x et y de X, il existe des ensembles ouverts disjoints U contenant x et V contenant y tels que X est l'union de U et V. Il est clair qu'un espace totalement séparé est totalement discontinu, mais la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, prenons deux copies des nombres rationnels Q, et identifions-les en tout point sauf zéro. L'espace résultant, muni de la topologie quotient, est totalement discontinu. Cependant, en considérant les deux copies de zéro, on voit que l'espace n'est pas totalement séparé. En fait, il n'est même pas de Hausdorff, et la condition d'être totalement séparé est strictement plus forte que la condition d'être de Hausdorff.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi un espace complètement séparé il est pas toujours complètement discontinu ?"

French query. "Complètement séparé" = totally separated. "Complètement discontinu" = totally disconnected. User asking why total separation ≠ total disconnection.

Key insight: This is about topological space classification. Mathematical hierarchy question.

### 2. Core Definitions

Quick recall:
- Totally disconnected space: every component is singleton
- Totally separated space: every pair points has disjoint neighborhoods

→ Implies total separation stronger than total disconnection.

### 3. Counterexample Construction

Need: space that is totally separated but not totally disconnected.

⟨H≈0.8⟩ Think about quotient spaces... identify points... create connected components... but need Hausdorff violation somewhere...

● Idea: Take ℚ (rationals) × ℚ. Identify pairs (a,a) for all a∈ℚ. Get quotient space X.

Topology on X: coarser than product topology. Open sets are sets U ⊆ X with U ∩ {(a,a)} = ∅ for all a.

### 4. Verification

Check total separation: For (x₁,y₁)≠(x₂,y₂), take U₁ = X ∩ {x₁}×ℚ, V₁ = X ∩ ℚ×{y₁}. Disjoint open sets.

Check total disconnection: Components are vertical lines {a}×ℚ and horizontal lines ℚ×{b}. Some infinite. ∴ Not totally disconnected.

! Key: This space is non-Hausdorff. The points (0,0) in different copies cannot be separated.

### 5. Hierarchy Clarification

Total separation ⊃ Hausdorff ⊃ Regular ⊃ Normal

The gap is precisely what the user asks about. Total separation requires more separation than just disconnected components.

### 6. Physical Intuition

Think of "glued together" vs "far apart." Totally disconnected means every point lives alone. Totally separated means every pair of points lives in different "universes."

The ℚ×ℚ/∼ example shows you can have "nearby but separate" without being totally disconnected.

∴ Total separation is indeed strictly stronger condition than total disconnection.

### Answer###
La raison principale pour laquelle un espace complètement séparé n'est pas toujours complètement discontinu réside dans la différence fondamentale entre ces deux notions topologiques.

Un espace est complètement séparé si, pour toute paire de points distincts, il existe des ouverts disjoints contenant chacun de ces points. En revanche, un espace est complètement discontinu si tous ses composants sont des singletons - autrement dit, si chaque point forme son propre composant connexe.

Il existe un espace classique qui illustre cette distinction : prenez deux copies des nombres rationnels ℚ, et identifiez-les en tout point sauf zéro. L'espace résultant, muni de la topologie quotient, est complètement discontinu car tous ses composants sont des singletons. Cependant, ce même espace n'est pas complètement séparé : en considérant les deux copies de zéro, on constate qu'elles ne peuvent pas être séparées par des ouverts disjoints, ce qui le rend non complètement séparé.

Cette situation révèle que la propriété de séparation totale est strictement plus forte que la propriété de discrétude totale. De manière générale, tout espace complètement séparé est nécessairement complètement discontinu, mais l'inverse ne tient pas. Cette hiérarchie reflète le fait qu'un espace complètement séparé doit satisfaire une condition de séparation plus stricte que celle requise pour être complètement discontinu.