C'est quoi la différence entre les catégories normales et les catégories distributives ? Pourquoi dans les normales y'a juste une flèche entre les trucs mais dans les distributives y'a un truc qui fait comme si c'était égal ?
Distributivity

For any objects X, Y, and Z {\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z} of a category with finite products and coproducts, there is a canonical morphism X × Y + X × Z → X × (Y + Z), {\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),} where the plus sign here denotes the coproduct. To see this, note that the universal property of the coproduct X × Y + X × Z {\displaystyle X\times Y+X\times Z} guarantees the existence of unique arrows filling out the following diagram (the induced arrows are dashed):

The universal property of the product X × (Y + Z) {\displaystyle X\times (Y+Z)} then guarantees a unique morphism X × Y + X × Z → X × (Y + Z) {\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)} induced by the dashed arrows in the above diagram. A distributive category is one in which this morphism is actually an isomorphism. Thus in a distributive category, there is the canonical isomorphism
En théorie des catégories supérieures

En théorie des catégories supérieures, on considère non seulement des objets et des flèches, mais aussi des flèches entre les flèches, des flèches entre les flèches entre les flèches, et ainsi de suite à l'infini. Par exemple, la catégorie des petites catégories Cat est naturellement une 2-catégorie, avec les foncteurs comme flèches et les transformations naturelles comme flèches entre les foncteurs. Dans ce contexte, les diagrammes commutatifs peuvent inclure ces flèches supérieures également, qui sont souvent représentées de la manière suivante : ⇒. Par exemple, le diagramme suivant (un peu trivial) représente deux catégories C et D, ainsi que deux foncteurs F, G : C → D et une transformation naturelle α : F ⇒ G :

Il existe deux types de composition dans une 2-catégorie (appelées composition verticale et composition horizontale), et elles peuvent également être représentées par des diagrammes de collage (voir 2-catégorie#Définition pour des exemples).
### Query ###
C'est quoi la différence entre les catégories normales et les catégories distributives ? Pourquoi dans les normales y'a juste une flèche entre les trucs mais dans les distributives y'a un truc qui fait comme si c'était égal ?

### Main Text ###
Distributivity

For any objects X, Y, and Z {\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z} of a category with finite products and coproducts, there is a canonical morphism X × Y + X × Z → X × (Y + Z), {\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),} where the plus sign here denotes the coproduct. To see this, note that the universal property of the coproduct X × Y + X × Z {\displaystyle X\times Y+X\times Z} guarantees the existence of unique arrows filling out the following diagram (the induced arrows are dashed):

The universal property of the product X × (Y + Z) {\displaystyle X\times (Y+Z)} then guarantees a unique morphism X × Y + X × Z → X × (Y + Z) {\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)} induced by the dashed arrows in the above diagram. A distributive category is one in which this morphism is actually an isomorphism. Thus in a distributive category, there is the canonical isomorphism

### Supplementary Text ###
En théorie des catégories supérieures

En théorie des catégories supérieures, on considère non seulement des objets et des flèches, mais aussi des flèches entre les flèches, des flèches entre les flèches entre les flèches, et ainsi de suite à l'infini. Par exemple, la catégorie des petites catégories Cat est naturellement une 2-catégorie, avec les foncteurs comme flèches et les transformations naturelles comme flèches entre les foncteurs. Dans ce contexte, les diagrammes commutatifs peuvent inclure ces flèches supérieures également, qui sont souvent représentées de la manière suivante : ⇒. Par exemple, le diagramme suivant (un peu trivial) représente deux catégories C et D, ainsi que deux foncteurs F, G : C → D et une transformation naturelle α : F ⇒ G :

Il existe deux types de composition dans une 2-catégorie (appelées composition verticale et composition horizontale), et elles peuvent également être représentées par des diagrammes de collage (voir 2-catégorie#Définition pour des exemples).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"normal categories" vs "distributive categories" → terminology issue? 

User describes:
- Normal: single arrow X → Y  
- Distributive: "equal-like" construction X × Y + X × Z → X × (Y + Z)

! Key confusion: no standard "normal categories" terminology. Likely means:

Option A: Categories with no special properties
Option B: Categories vs distributive categories (the actual comparison)

### 2. Category Theory Context Retrieval

Distributive categories ● high confidence:
- Bicomplete categories (finite products ∧ finite coproducts)
- Satisfy: X × (Y ⊕ Z) ≅ (X × Y) ⊕ (X × Z)
- Morphism X × Y + X × Z → X × (Y + Z) is isomorphism

Standard categories ●:
- Basic categories with objects, morphisms
- No special distributive property
- Just composition X → Y, Y → Z gives X → Z

### 3. The "Equal-Like" Construction

User's observation: X × Y + X × Z → X × (Y + Z)

This IS the distributive law in action. The "+" denotes coproduct (not addition).
The "equal-like" part → canonical isomorphism in distributive categories.

∴ User observing precisely the defining property of distributive categories.

### 4. Resolution Strategy

Need to:
☐ Address terminology confusion
☑ Explain distributive category definition  
☑ Clarify the "equal-like" construction
☑ Show why it's not actually equality

Response should emphasize:
- Distributive categories ARE the special ones
- The construction IS the defining property
- "Equal-like" = canonical isomorphism, not true equality

### 5. Verification

⟨H≈0.8⟩ Category theory foundations... products, coproducts, natural transformations... distributive laws permeate algebra, topology, computer science... Haskell's list comprehensions follow distributive laws... monads, adjunctions, the hidden symmetries underlying mathematics...

↺ Back to user's concrete question.

The response correctly identifies:
✓ No standard "normal categories" 
✓ Distributive categories have special properties
✓ The observed construction IS the distributive law
✓ It's an isomorphism (not equality)

NB: User's intuition about "equal-like" construction is actually sophisticated → recognizing canonical morphisms.

### Answer###
Je pense qu'il y a peut-être une petite confusion dans vos catégories. En théorie des catégories, les catégories "normales" sont simplement des catégories avec des objets et des flèches, sans propriétés particulières.

Les catégories distributives, en revanche, sont une classe spéciale de catégories qui satisfont une propriété très spécifique concernant les produits et les coproduits. Plus précisément, dans une catégorie distributive, il existe une flèche canonique X × Y + X × Z → X × (Y + Z) qui est en réalité un isomorphisme - c'est cette propriété qui fait que les catégories distributives se distinguent.

Concernant votre observation sur le symbole "égal-like", cela fait référence au fait qu'il y a une correspondance bijective entre les morphismes dans le produit X × (Y + Z) et la somme directe des morphismes dans X × Y + X × Z. Ce n'est pas vraiment une égalité au sens strict, mais plutôt une construction canonique avec des propriétés particulières.

Les catégories distributives sont importantes en théorie des catégories car elles généralisent certaines propriétés que l'on observe dans des contextes algébriques familiers.