Comment peut-on construire un ordre total strict à partir d'un ordre total non strict ?
Strict and non-strict total orders

A strict total order on a set X {\displaystyle X} is a strict partial order on X {\displaystyle X} in which any two distinct elements are comparable. That is, a strict total order is a binary relation < {\displaystyle <} on some set X {\displaystyle X}, which satisfies the following for all a, b {\displaystyle a,b} and c {\displaystyle c} in X {\displaystyle X}:

Asymmetry follows from transitivity and irreflexivity; moreover, irreflexivity follows from asymmetry.

For delimitation purposes, a total order as defined above is sometimes called non-strict order.For each (non-strict) total order ≤ {\displaystyle \leq } there is an associated relation < {\displaystyle <}, called the strict total order associated with ≤ {\displaystyle \leq } that can be defined in two equivalent ways:

Conversely, the reflexive closure of a strict total order < {\displaystyle <} is a (non-strict) total order.
Ordres totaux stricts et non stricts

Un ordre total strict sur un ensemble X est un ordre partiel strict sur X dans lequel deux éléments distincts quelconques sont comparables. Autrement dit, un ordre total strict est une relation binaire < sur un ensemble X qui satisfait les conditions suivantes pour tous a, b et c dans X :

L'asymétrie découle de la transitivité et de l'irréflexivité ; de plus, l'irréflexivité découle de l'asymétrie.

Pour des raisons de délimitation, un ordre total tel que défini ci-dessus est parfois appelé ordre non strict. Pour chaque (non strict) ordre total ≤, il existe une relation associée <, appelée ordre total strict associé à ≤, qui peut être définie de deux manières équivalentes :

Inversement, la fermeture réflexive d'un ordre total strict < est un (non strict) ordre total.
### Query ###
Comment peut-on construire un ordre total strict à partir d'un ordre total non strict ?

### Main Text ###
Strict and non-strict total orders

A strict total order on a set X {\displaystyle X} is a strict partial order on X {\displaystyle X} in which any two distinct elements are comparable. That is, a strict total order is a binary relation < {\displaystyle <} on some set X {\displaystyle X}, which satisfies the following for all a, b {\displaystyle a,b} and c {\displaystyle c} in X {\displaystyle X}:

Asymmetry follows from transitivity and irreflexivity; moreover, irreflexivity follows from asymmetry.

For delimitation purposes, a total order as defined above is sometimes called non-strict order.For each (non-strict) total order ≤ {\displaystyle \leq } there is an associated relation < {\displaystyle <}, called the strict total order associated with ≤ {\displaystyle \leq } that can be defined in two equivalent ways:

Conversely, the reflexive closure of a strict total order < {\displaystyle <} is a (non-strict) total order.

### Supplementary Text ###
Ordres totaux stricts et non stricts

Un ordre total strict sur un ensemble X est un ordre partiel strict sur X dans lequel deux éléments distincts quelconques sont comparables. Autrement dit, un ordre total strict est une relation binaire < sur un ensemble X qui satisfait les conditions suivantes pour tous a, b et c dans X :

L'asymétrie découle de la transitivité et de l'irréflexivité ; de plus, l'irréflexivité découle de l'asymétrie.

Pour des raisons de délimitation, un ordre total tel que défini ci-dessus est parfois appelé ordre non strict. Pour chaque (non strict) ordre total ≤, il existe une relation associée <, appelée ordre total strict associé à ≤, qui peut être définie de deux manières équivalentes :

Inversement, la fermeture réflexive d'un ordre total strict < est un (non strict) ordre total.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Comment peut-on construire un ordre total strict à partir d'un ordre total non strict ?"

Translation: How to construct strict total order from non-strict total order.

Key semantic issue: "construire" = construct/build, not "convert" or "derive". User wants algorithmic/formal construction process.

### 2. Domain Contextualization  

Order theory. Mathematical logic. Formal foundations.

● Core concept: Strict vs non-strict orders on sets
● Total orders: complete partial orders where any two elements comparable  
● Construction techniques: well-established in lattice theory

French mathematical terminology suggests advanced undergraduate/graduate level.

### 3. Problem Structure Analysis

Non-strict total order ≤ on set X. Want strict total order <.

Standard approach: Define < as strict part of ≤.

But query asks "comment peut-on construire" - wants constructive process.

### 4. Solution Framework

Construction proceeds via binary relation definition.

Given ≤ (reflexive, transitive, antisymmetric, total):
- Define < := {(a,b) ∈ X × X : a ≤ b ∧ a ≠ b}
- Alternative: < := {(a,b) ∈ X × X : ¬(a = b)}

Result: < is irreflexive, transitive, antisymmetric, total.

### 5. Verification Check

Why < is strict total order:
- Irreflexivity: ∀x ∈ X, x ≰ x (follows from definition)  
- Transitivity: inherited from ≤
- Antisymmetry: inherited from ≤  
- Totality: inherited from ≤

∴ < satisfies all strict order axioms.

### 6. Constructive Process

Formal construction steps:
1. Input: non-strict total order ≤ on X
2. Output: strict total order < on X  
3. Definition: < = {(a,b) : a ≤ b ∧ a ≠ b}
4. Verification: check < satisfies strict order axioms
5. Result: < is unique minimal strict order extending ≤

### 7. Uniqueness Argument

Construction is unique. Given any strict order <' extending ≤:
- Must have a < b for all a ≤ b, a ≠ b
- Minimal such <' is the unique strict total order <

### 8. Implementation Note

Standard notation: R^strict = {(x,y) ∈ R : x R y ∧ x ≠ y}

For any relation R, R^strict gives corresponding strict relation.

### 9. Final Synthesis

Construction process:
- Take non-strict total order ≤
- Extract strict part: < = {(a,b) : a ≤ b ∧ a ≠ b}  
- Verify < is strict total order
- Result is unique minimal strict order compatible with ≤

This transformation is canonical - always produces same strict order from given non-strict order.

### Answer###
Pour construire un ordre total strict à partir d'un ordre total non strict, il suffit de définir la relation stricte associée comme suit :

Soit ≤ un ordre total non strict (non-strict total order) sur un ensemble X. L'ordre total strict < associé à ≤ est défini par :

Cette relation < peut être comprise de deux manières équivalentes :
1. < = {(a, b) ∈ X × X : a ≤ b ∧ a ≠ b}
2. < = {(a, b) ∈ X × X : ¬(a = b)}

La première définition capture directement la relation stricte en excluant les paires où les éléments sont égaux. La seconde définition utilise la négation de l'égalité pour obtenir la même relation.

Cette construction garantit que la relation résultante < est irréflexive, transitive et asymétrique, ce qui fait d'elle un ordre total strict. L'ordre strict < hérite de la transitivité et de l'asymétrie de l'ordre non strict ≤, et l'irréflexivité découle de la définition excluant les comparaisons réflexives.

Il est important de noter que cette transformation est bijective : chaque ordre total non strict peut être associé à exactement un ordre total strict de cette manière, et inversement.