Pourquoi on peut faire la dérivée des trucs comme ça au lieu de juste faire le truc avec les petits nombres qui changent tout le temps ? C'est pas plus simple de faire comme avant ?
Using infinitesimals

One way to think of the derivative d f d x (a) {\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)} is as the ratio of an infinitesimal change in the output of the function f {\displaystyle f} to an infinitesimal change in its input. In order to make this intuition rigorous, a system of rules for manipulating infinitesimal quantities is required. The system of hyperreal numbers is a way of treating infinite and infinitesimal quantities. The hyperreals are an extension of the real numbers that contain numbers greater than anything of the form 1 + 1 + ⋯ + 1 {\displaystyle 1+1+\cdots +1} for any finite number of terms. Such numbers are infinite, and their reciprocals are infinitesimals. The application of hyperreal numbers to the foundations of calculus is called nonstandard analysis. This provides a way to define the basic concepts of calculus such as the derivative and integral in terms of infinitesimals, thereby giving a precise meaning to the d {\displaystyle d} in the Leibniz notation. Thus, the derivative of f (x) {\displaystyle f(x)} becomes f ′ (x) = st (f (x + d x) − f (x) d x) {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)} for an arbitrary infinitesimal d x {\displaystyle dx}, where st {\displaystyle \operatorname {st} } denotes the standard part function, which "rounds off" each finite hyperreal to the nearest real. Taking the squaring function f (x) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} as an example again, f ′ (x) = st (x 2 + 2 x ⋅ d x + (d x) 2 − x 2 d x) = st (2 x ⋅ d x + (d x) 2 d x) = st (2 x ⋅ d x d x + (d x) 2 d x) = st (2 x + d x) = 2 x. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}
En calcul différentiel, les problèmes de taux apparents consistent à trouver un taux de variation d'une quantité en la reliant à d'autres quantités dont les taux de variation sont connus. Le taux de variation est généralement par rapport au temps. Étant donné que la science et l'ingénierie relient souvent des quantités entre elles, les méthodes des taux apparents ont de larges applications dans ces domaines. La dérivation par rapport au temps ou à une autre variable nécessite l'application de la règle de la chaîne, car la plupart des problèmes impliquent plusieurs variables. Fondamentalement, si une fonction F est définie telle que F = f, alors la dérivée de la fonction F peut être prise par rapport à une autre variable. Nous supposons que x est une fonction de t, c'est-à-dire x = g. Alors F = f, donc, écrit en notation de Leibniz, cela donne : Ainsi, si l'on sait comment x varie par rapport à t, on peut déterminer comment F varie par rapport à t et vice versa. Nous pouvons étendre cette application de la règle de la chaîne avec les règles de la somme, de la différence, du produit et du quotient du calcul, etc. Par exemple, si F = G + H alors...
### Query ###
Pourquoi on peut faire la dérivée des trucs comme ça au lieu de juste faire le truc avec les petits nombres qui changent tout le temps ? C'est pas plus simple de faire comme avant ?

### Main Text ###
Using infinitesimals

One way to think of the derivative d f d x (a) {\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)} is as the ratio of an infinitesimal change in the output of the function f {\displaystyle f} to an infinitesimal change in its input. In order to make this intuition rigorous, a system of rules for manipulating infinitesimal quantities is required. The system of hyperreal numbers is a way of treating infinite and infinitesimal quantities. The hyperreals are an extension of the real numbers that contain numbers greater than anything of the form 1 + 1 + ⋯ + 1 {\displaystyle 1+1+\cdots +1} for any finite number of terms. Such numbers are infinite, and their reciprocals are infinitesimals. The application of hyperreal numbers to the foundations of calculus is called nonstandard analysis. This provides a way to define the basic concepts of calculus such as the derivative and integral in terms of infinitesimals, thereby giving a precise meaning to the d {\displaystyle d} in the Leibniz notation. Thus, the derivative of f (x) {\displaystyle f(x)} becomes f ′ (x) = st (f (x + d x) − f (x) d x) {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)} for an arbitrary infinitesimal d x {\displaystyle dx}, where st {\displaystyle \operatorname {st} } denotes the standard part function, which "rounds off" each finite hyperreal to the nearest real. Taking the squaring function f (x) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} as an example again, f ′ (x) = st (x 2 + 2 x ⋅ d x + (d x) 2 − x 2 d x) = st (2 x ⋅ d x + (d x) 2 d x) = st (2 x ⋅ d x d x + (d x) 2 d x) = st (2 x + d x) = 2 x. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}

### Supplementary Text ###
En calcul différentiel, les problèmes de taux apparents consistent à trouver un taux de variation d'une quantité en la reliant à d'autres quantités dont les taux de variation sont connus. Le taux de variation est généralement par rapport au temps. Étant donné que la science et l'ingénierie relient souvent des quantités entre elles, les méthodes des taux apparents ont de larges applications dans ces domaines. La dérivation par rapport au temps ou à une autre variable nécessite l'application de la règle de la chaîne, car la plupart des problèmes impliquent plusieurs variables. Fondamentalement, si une fonction F est définie telle que F = f, alors la dérivée de la fonction F peut être prise par rapport à une autre variable. Nous supposons que x est une fonction de t, c'est-à-dire x = g. Alors F = f, donc, écrit en notation de Leibniz, cela donne : Ainsi, si l'on sait comment x varie par rapport à t, on peut déterminer comment F varie par rapport à t et vice versa. Nous pouvons étendre cette application de la règle de la chaîne avec les règles de la somme, de la différence, du produit et du quotient du calcul, etc. Par exemple, si F = G + H alors...

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi on peut faire la dérivée des trucs comme ça" → Why can we do derivatives "this way" (notation/shortcuts)?

"au lieu de juste faire le truc avec les petits nombres qui changent tout le temps" → Instead of just doing the "thing" with tiny numbers that change constantly?

User sees: complicated calculus notation. Wants: intuitive understanding of why shortcuts work.

### 2. The Core Issue

User's instinct ✓ - "petits nombres qui changent tout le temps" = infinitesimals.

Traditional approach:
- Start with f(x)
- Consider f(x+h) where h ≈ 0  
- Compute [f(x+h) - f(x)]/h
- Take limit as h → 0

Why this works: ● Historical development ● Rigorous foundations (Cauchy, Weierstrass)

But computational burden ⚠ - those "petits nombres" are precisely what makes it tedious.

### 3. Leibniz Notation Intuition

Leibniz d/dx notation captures user's frustration. Why not just:

```
f'(x) = [f(x+dx) - f(x)]/dx
```

where dx is "infinitésimal"?

⟨H≈0.8⟩ 
The notation seduces us with its precision... dx as this ghost-number, smaller than any rational, carrying the weight of infinitely small change. But what is it really? A symbol? A limit? A fiction that works?

Leibniz saw it geometrically - tangent slopes as ratios of infinitesimals. Newton saw it as fluxions, rates of change. Both intuitions, neither rigorous until 19th century.

The "petits nombres" become manageable through:
- Linear approximations
- Chain rule applications  
- Differential geometry shortcuts
- Symmetry arguments

∴ Notation creates illusion of simplicity. Reality: centuries of mathematical wrestling behind every shortcut.

### 4. Why Shortcuts Work

Computational efficiency ≠ mathematical rigor.

Examples where shortcuts reveal true power:
- Composite functions: chain rule eliminates need for limit calculations
- Parametric curves: dx/dt, dy/dt give tangent vector instantly  
- Optimization: f'(c) = 0 finds critical points without full limit process
- Related rates: implicit differentiation handles changing relationships

! Key insight: Shortcuts emerge from pattern recognition in limit behavior.

### 5. Non-Standard Analysis Bridge

Modern resolution: infinitesimals are real numbers in extended fields.

Hyperreal numbers ℂ* contain:
- Standard part function: st(x) = x for finite values
- Infinitesimals: ω where ω ≠ 0 and st(1/ω) = ∞
- Transfer principle: ∀ standard statement φ(x), φ(ω) holds in ℂ*

∴ Leibniz notation becomes precise:
f'(x) = st([f(x+ω) - f(x)]/ω)

"Petits nombres" now rigorous. User's intuition validated.

### 6. Conclusion

Both approaches compute same thing. Notation choice depends on:
- Computational context
- Rigorous requirements  
- Efficiency needs

Shortcuts work because:
1. Historical optimization → patterns recognized
2. Limit theorems reduce repetitive calculations
3. Notation captures essential relationships
4. Underlying mathematics is consistent regardless of approach

NB: User's frustration with "petits nombres" reflects deeper issue: calculus as approximation system vs. rigorous limit theory.

Answer: Use shortcuts. Question the foundations if needed. But don't underestimate the power of notation to reveal underlying mathematical structures.

### Answer###
Ta question touche au cœur de l'intuition mathématique derrière le calcul différentiel. Effectivement, les "petits nombres qui changent tout le temps" que tu mentionnes font référence aux infinisimaux, et c'est précisément ce que la notation de Leibniz capture de manière élégante.

La dérivée d'une fonction f(x) peut être définie comme le rapport entre une infinitésimale variation de la sortie de la fonction et une infinitésimale variation de son entrée : f'(x) = st([f(x+dx) - f(x)]/dx), où dx représente cette infinitésimale variation et st est la fonction partie standard qui "arrondit" chaque hyperréel fini au nombre réel le plus proche.

Cette approche permet de passer directement aux calculs pratiques. Par exemple, pour la fonction f(x) = x², on obtient :
f'(x) = st([x² + 2xdx + (dx)² - x²]/dx) = st([2xdx + (dx)²]/dx) = st(2x + dx) = 2x

L'efficacité de cette méthode réside dans le fait que les règles de manipulation des quantités infinitésimales rendent les calculs systématiques et évitent les approximations itératives.

Les applications pratiques sont nombreuses : quand une fonction F est définie comme F = f et que x est une fonction de t (x = g(t)), on peut facilement calculer comment F varie par rapport à t en utilisant la règle de la chaîne. Cette approche s'étend naturellement aux sommes, différences, produits et quotients, permettant de résoudre efficacement les problèmes de taux apparents où plusieurs quantités sont liées.