Si la densité de l'univers reste exactement égale à la densité critique, quelle serait sa trajectoire d'expansion future ?
Flat universe

If the average density of the universe exactly equals the critical density so that Ω = 1 {\displaystyle \Omega =1}, then the geometry of the universe is flat: as in Euclidean geometry, the sum of the angles of a triangle is 180 degrees and parallel lines continuously maintain the same distance. Measurements from the Wilkinson Microwave Anisotropy Probe have confirmed the universe is flat within a 0.4% margin of error.

In the absence of dark energy, a flat universe expands forever but at a continually decelerating rate, with expansion asymptotically approaching zero. With dark energy, the expansion rate of the universe initially slows down, due to the effects of gravity, but eventually increases, and the ultimate fate of the universe becomes the same as that of an open universe.
Estimations basées sur la densité critique

La densité critique est la densité d'énergie pour laquelle l'univers est plat. En l'absence d'énergie noire, c'est également la densité pour laquelle l'expansion de l'univers est à l'équilibre entre une expansion continue et un effondrement. D'après les équations de Friedmann, la valeur de ρ c {\displaystyle \rho _{\text{c}}} (densité critique) est :

où G est la constante gravitationnelle et H est la valeur actuelle de la constante de Hubble. La valeur de H, telle que donnée par le télescope Planck de l'Agence spatiale européenne, est H = 67,15 kilomètres par seconde par mégaparsec. Ceci donne une densité critique de 0,85 × 10 kg/m, soit environ 5 atomes d'hydrogène par mètre cube. Cette densité comprend quatre types importants d'énergie/masse : la matière ordinaire (4,8 %), les neutrinos (0,1 %), la matière noire froide (26,8 %) et l'énergie noire (68,3 %).

Bien que les neutrinos soient des particules du Modèle standard, ils sont listés séparément car ils sont ultra-relativistes et se comportent donc comme un rayonnement plutôt que comme de la matière. La densité de la matière ordinaire, telle que mesurée par Planck, représente 4,8 % de la densité critique totale, soit 4,08 × 10 kg/m. Pour convertir cette densité en masse, nous devons la multiplier par le volume, une valeur basée sur le rayon de l'"univers observable". Étant donné que l'univers est en expansion depuis 13,8 milliards d'années, la distance comobile (rayon) est désormais d'environ 46,6 milliards d'années-lumière. Ainsi, le volume (4 / 3 πr) est égal à 3,58 × 10 m et la masse de la matière ordinaire est égale à la densité (4,08 × 10 kg/m) multipliée par le volume (3,58 × 10 m), soit 1,46 × 10 kg.
### Query ###
Si la densité de l'univers reste exactement égale à la densité critique, quelle serait sa trajectoire d'expansion future ?

### Main Text ###
Flat universe

If the average density of the universe exactly equals the critical density so that Ω = 1 {\displaystyle \Omega =1}, then the geometry of the universe is flat: as in Euclidean geometry, the sum of the angles of a triangle is 180 degrees and parallel lines continuously maintain the same distance. Measurements from the Wilkinson Microwave Anisotropy Probe have confirmed the universe is flat within a 0.4% margin of error.

In the absence of dark energy, a flat universe expands forever but at a continually decelerating rate, with expansion asymptotically approaching zero. With dark energy, the expansion rate of the universe initially slows down, due to the effects of gravity, but eventually increases, and the ultimate fate of the universe becomes the same as that of an open universe.

### Supplementary Text ###
Estimations basées sur la densité critique

La densité critique est la densité d'énergie pour laquelle l'univers est plat. En l'absence d'énergie noire, c'est également la densité pour laquelle l'expansion de l'univers est à l'équilibre entre une expansion continue et un effondrement. D'après les équations de Friedmann, la valeur de ρ c {\displaystyle \rho _{\text{c}}} (densité critique) est :

où G est la constante gravitationnelle et H est la valeur actuelle de la constante de Hubble. La valeur de H, telle que donnée par le télescope Planck de l'Agence spatiale européenne, est H = 67,15 kilomètres par seconde par mégaparsec. Ceci donne une densité critique de 0,85 × 10 kg/m, soit environ 5 atomes d'hydrogène par mètre cube. Cette densité comprend quatre types importants d'énergie/masse : la matière ordinaire (4,8 %), les neutrinos (0,1 %), la matière noire froide (26,8 %) et l'énergie noire (68,3 %).

Bien que les neutrinos soient des particules du Modèle standard, ils sont listés séparément car ils sont ultra-relativistes et se comportent donc comme un rayonnement plutôt que comme de la matière. La densité de la matière ordinaire, telle que mesurée par Planck, représente 4,8 % de la densité critique totale, soit 4,08 × 10 kg/m. Pour convertir cette densité en masse, nous devons la multiplier par le volume, une valeur basée sur le rayon de l'"univers observable". Étant donné que l'univers est en expansion depuis 13,8 milliards d'années, la distance comobile (rayon) est désormais d'environ 46,6 milliards d'années-lumière. Ainsi, le volume (4 / 3 πr) est égal à 3,58 × 10 m et la masse de la matière ordinaire est égale à la densité (4,08 × 10 kg/m) multipliée par le volume (3,58 × 10 m), soit 1,46 × 10 kg.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Si la densité de l'univers reste exactement égale à la densité critique" → If universe density remains exactly equal to critical density.

Key assumption: exact equality, not just close to it. ●

"quelle serait sa trajectoire d'expansion future" → what would its future expansion trajectory be?

Translation clean. No semantic ambiguity. Standard cosmological terminology.

### 2. Critical Density Context

Critical density: Ω_c = 1 in Friedmann equations.
Current observational value: Ω_0 ≈ 1.002 ± 0.002 (Planck 2018)
→ Universe appears flat within observational uncertainties.

But query asks specifically about exact equality. Hypothetical scenario. ◐

### 3. Trajectory Analysis

**Without dark energy (Λ = 0):**
- Expansion decelerates
- Velocity approaches zero asymptotically  
- Open universe behavior despite flat geometry
- t → ∞: v → 0

**With dark energy (Λ > 0):**
- Initially: deceleration due to matter/radiation
- Transition: deceleration → acceleration
- Expansion accelerates indefinitely
- t → ∞: acceleration increases

### 4. Physical Reasoning

Why deceleration without dark energy?
- Gravitational forces dominate early
- Matter density decreases as a^{-3/2}  
- But critical density decreases as a^{-2}
- ∴ ρ/ρ_c increases → deceleration

Why acceleration with dark energy?
- Dark energy density constant: ρ_Λ = Λ/8πG
- ∴ ρ_Λ/ρ_c increases → acceleration dominates

### 5. Mathematical Framework

Friedmann equation: H² = (8πG/3)ρ - (kc²/a²) + Λ

For critical density: H² = (8πG/3)ρ_c → H² = Λ/3

Deceleration parameter: q = -a¨/aₑ = (1/2)(1 + 3p)

Without dark energy (Λ = 0):
- q = 1/2 (matter dominated)
- Expansion slows

With dark energy:
- Effective q < 0  
- Expansion accelerates

### 6. Observational Reality Check

⟨H≈0.8⟩ 
*Reality check: we're not exactly critical density. Dark energy dominates. Future trajectory: accelerating expansion, cosmic acceleration increases, heat death scenario. But the exact critical case... geometrically flat but dynamically open without dark energy...*

Current constraints:
- Ω_m ≈ 0.315  
- Ω_Λ ≈ 0.685
- Ω_k ≈ 0

Exact critical universe would have Ω_m + Ω_Λ = 1 exactly.
Not observed. ⚠

### 7. Synthesis

**Answer structure:**
1. Exact critical density scenario
2. Without dark energy: deceleration → asymptotic coasting  
3. With dark energy: initial deceleration → transition → acceleration
4. Dark energy overcomes matter/curvature effects
5. Future: accelerated expansion regardless of dark energy presence

**Confidence assessment:** ● High for theoretical predictions, ◐ partial for exact observational status

**Key insight:** ! Geometry (flat) vs dynamics (decelerating/accelerating) are separate in cosmological models.

∴ Even flat universe can decelerate if no dark energy, despite geometric flatness allowing stable expansion.

### Answer###
Si la densité de l'univers restait exactement égale à la densité critique, sa trajectoire d'expansion future dépendrait fortement de la présence ou non d'énergie noire.

Dans l'absence d'énergie noire, un univers à densité critique se dilaterait continuellement mais à un rythme de plus en plus lent, l'expansion s'approchant asymptotiquement de zéro. Cette situation correspond à une expansion décélérée en raison des effets de la gravité.

En présence d'énergie noire, le scénario devient différent. Initialement, l'expansion ralentit également en raison des effets gravitationnels de la matière. Cependant, l'énergie noire finit par dominer, et l'expansion s'accélère finalement. Dans ce cas, le destin ultime de l'univers serait le même qu'un univers ouvert : une expansion accélérée continue vers l'avenir.

Il est important de noter que même si l'univers semble plat dans l'ensemble, avec une densité qui correspond approximativement à la densité critique, la présence d'énergie noire modifie fondamentalement sa dynamique d'expansion à long terme. Cette distinction théorique s'explique par le fait que l'énergie noire peut contrebalancer les effets gravitationnels de la matière et de l'énergie noire froide, provoquant ainsi une transition de la décélération à l'accélération de l'expansion cosmique.