Je souhaiterais confirmer si l'intersection des ensembles Eₙ définis par Eₙ = [n, ∞) dans ℝ, pour tout n ∈ ℕ, est effectivement vide malgré le caractère mesurable de chaque ensemble Eₙ.
Continuity from above

If E 1, E 2, E 3, … {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots } are measurable sets that are decreasing (meaning that E 1 ⊇ E 2 ⊇ E 3 ⊇ … {\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }) then the intersection of the sets E n {\displaystyle E_{n}} is measurable; furthermore, if at least one of the E n {\displaystyle E_{n}} has finite measure then μ (⋂ i = 1 ∞ E i) = lim i → ∞ μ (E i) = inf i ≥ 1 μ (E i). {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}

This property is false without the assumption that at least one of the E n {\displaystyle E_{n}} has finite measure. For instance, for each n ∈ N, {\displaystyle n\in \mathbb {N},} let E n = [ n, ∞) ⊆ R, {\displaystyle E_{n}=[n,\infty)\subseteq \mathbb {R},} which all have infinite Lebesgue measure, but the intersection is empty.
Continuité à partir du haut

Si E₁, E₂, E₃, … sont des ensembles mesurables décroissants (c'est-à-dire E₁ ⊇ E₂ ⊇ E₃ ⊇ …) alors l'intersection des ensembles Eₙ est mesurable ; de plus, si au moins un des Eₙ possède une mesure finie alors μ (⋂ᵢ=₁^∞ Eᵢ) = limᵢ→∞ μ (Eᵢ) = infᵢ≥₁ μ (Eᵢ).

Cette propriété est fausse sans l'hypothèse qu'au moins un des Eₙ possède une mesure finie. Par exemple, pour chaque n ∈ ℕ, soit Eₙ = [n, ∞) ⊆ ℝ, qui ont tous une mesure de Lebesgue infinie, mais l'intersection est vide.
### Query ###
Je souhaiterais confirmer si l'intersection des ensembles Eₙ définis par Eₙ = [n, ∞) dans ℝ, pour tout n ∈ ℕ, est effectivement vide malgré le caractère mesurable de chaque ensemble Eₙ.

### Main Text ###
Continuity from above

If E 1, E 2, E 3, … {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots } are measurable sets that are decreasing (meaning that E 1 ⊇ E 2 ⊇ E 3 ⊇ … {\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }) then the intersection of the sets E n {\displaystyle E_{n}} is measurable; furthermore, if at least one of the E n {\displaystyle E_{n}} has finite measure then μ (⋂ i = 1 ∞ E i) = lim i → ∞ μ (E i) = inf i ≥ 1 μ (E i). {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}

This property is false without the assumption that at least one of the E n {\displaystyle E_{n}} has finite measure. For instance, for each n ∈ N, {\displaystyle n\in \mathbb {N},} let E n = [ n, ∞) ⊆ R, {\displaystyle E_{n}=[n,\infty)\subseteq \mathbb {R},} which all have infinite Lebesgue measure, but the intersection is empty.

### Supplementary Text ###
Continuité à partir du haut

Si E₁, E₂, E₃, … sont des ensembles mesurables décroissants (c'est-à-dire E₁ ⊇ E₂ ⊇ E₃ ⊇ …) alors l'intersection des ensembles Eₙ est mesurable ; de plus, si au moins un des Eₙ possède une mesure finie alors μ (⋂ᵢ=₁^∞ Eᵢ) = limᵢ→∞ μ (Eᵢ) = infᵢ≥₁ μ (Eᵢ).

Cette propriété est fausse sans l'hypothèse qu'au moins un des Eₙ possède une mesure finie. Par exemple, pour chaque n ∈ ℕ, soit Eₙ = [n, ∞) ⊆ ℝ, qui ont tous une mesure de Lebesgue infinie, mais l'intersection est vide.

### Draft ###

Query parsing: "Eₙ = [n, ∞)" intersection for n∈ℕ. "Despite measurable character of each Eₙ."

Key phrase: "malgré le caractère mesurable" → despite measurability. User acknowledges individual measurability, seeks confirmation of empty intersection.

Simple retrieval task? No. Requires counter-example construction + measure calculation.

### 1. Measurability verification

Each Eₙ measurable? ✓ 

Standard intervals [a,b] have Lebesgue measure μ([a,b]) = b-a. Since Eₙ = [n,∞), μ(Eₙ) = ∞ for all n.

User correct: Eₙ measurable, infinite measure.

### 2. Intersection analysis

Intersection ⋂ₙ₌₁^∞ Eₙ = ⋂ₙ₌₁^∞ [n,∞).

Behavior of infinite intersections: ∩ₖ₌₁^∞ Aₖ can be empty even when Aₖ all have same property.

Here: Eₙ = [n,∞). Note E₁ = [1,∞), E₂ = [2,∞), E₃ = [3,∞), etc.

Visual check: timeline ℝ, intervals get "shrunk" to right. No overlap possible.

∴ ⋂ₙ₌₁^∞ Eₙ = ∅

### 3. Measure calculation

Measure of intersection: μ(⋂ₙ₌₁^∞ Eₙ) = μ(∅) = 0.

But each Eₙ has μ(Eₙ) = ∞.

**Key insight**: Infinite unions/intersections behave non-trivially. Empty intersection of infinite sets ≠ contradiction.

### 4. Counter-example structure

This demonstrates:
- Individual measurability ≠ measurable intersection
- Infinite measure sets can have empty intersection  
- Measure of empty set = 0, regardless of set properties

Classic example showing measure theory subtleties. Not pathological - perfectly legitimate mathematical construction.

**Verification**: User's intuition correct. Empty intersection confirmed. Measure calculation consistent. Counter-example serves pedagogical purpose in measure theory courses.

NB: This pattern appears in various mathematical contexts - topology, algebra, etc. Infinite objects require careful treatment.

### Answer###
Votre observation est correcte. L'intersection des ensembles Eₙ = [n, ∞) pour n ∈ ℕ est effectivement vide, malgré le caractère mesurable de chaque ensemble individuel.

Chacun de ces intervalles [n, ∞) a une mesure de Lebesgue infinie. Cependant, lorsque l'on considère leur intersection, les intervalles se "contractent" vers la droite à mesure que n augmente : E₁ = [1, ∞), E₂ = [2, ∞), E₃ = [3, ∞), etc. Il n'existe aucun point qui appartienne simultanément à tous ces intervalles, d'où l'intersection vide.

Ce contre-exemple illustre un résultat fondamental en théorie de la mesure : l'intersection d'une suite d'ensembles mesurables n'est pas nécessairement mesurable, même si chaque ensemble individuel l'est. De plus, le fait que tous les Eₙ aient une mesure infinie ne garantit pas que leur intersection ait une mesure finie ou même non nulle.

Cette situation révèle les subtilités de la notion de mesure et montre qu'il faut être prudent lorsque l'on manipule des unions et intersections infinies d'ensembles de mesure infinie.