Quelles sont les principales différences entre la preuve originale de Gromov, la preuve de Guth et l'approche basée sur la théorie de la mesure géométrique pour l'inégalité systolique ?
Gromov's systolic inequality

The deepest result in the field is Gromov's inequality for the homotopy 1-systole of an essential n -manifold M:

where C is a universal constant only depending on the dimension of M. Here the homotopy systole sysπ is by definition the least length of a noncontractible loop in M. A manifold is called essential if its fundamental class represents a nontrivial class in the homology of its fundamental group. The proof involves a new invariant called the filling radius, introduced by Gromov, defined as follows.

Denote by A the coefficient ring Z or Z, depending on whether or not M is orientable. Then the fundamental class, denoted, of a compact n -dimensional manifold M is a generator of H n (M; A) = A {\displaystyle H_{n}(M;A)=A}. Given an imbedding of M in Euclidean space E, we set

where ι is the inclusion homomorphism induced by the inclusion of M in its ε-neighborhood U M in E.

To define an absolute filling radius in a situation where M is equipped with a Riemannian metric g, Gromov proceeds as follows. One exploits an imbedding due to C. Kuratowski. One imbeds M in the Banach space L (M) of bounded Borel functions on M, equipped with the sup norm ‖ ‖ {\displaystyle \|\;\|}. Namely, we map a point x ∈ M to the function f ∈ L (M) defined by the formula f (y) = d(x,y) for all y ∈ M, where d is the distance function defined by the metric. By the triangle inequality we have d (x, y) = ‖ f x − f y ‖, {\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,} and therefore the imbedding is strongly isometric, in the precise sense that internal distance and ambient distance coincide. Such a strongly isometric imbedding is impossible if the ambient space is a Hilbert space, even when M is the Riemannian circle (the distance between opposite points must be π, not 2!). We then set E = L (M) in the formula above, and define

Namely, Gromov proved a sharp inequality relating the systole and the filling radius,

valid for all essential manifolds M; as well as an inequality

valid for all closed manifolds M.

A summary of a proof, based on recent results in geometric measure theory by S. Wenger, building upon earlier work by L. Ambrosio and B. Kirchheim, appears in Section 12.2 of the book "Systolic geometry and topology" referenced below. A completely different approach to the proof of Gromov's inequality was recently proposed by Larry Guth.
L'inégalité stable de Gromov

Il est important de garder à l'esprit une différence significative entre les invariants systoliques 1 (définis en termes de longueurs de boucles) et les invariants systoliques supérieurs, k (définis en termes d'aires de cycles, etc.). Bien qu'un certain nombre d'inégalités systoliques optimales, impliquant les systoles 1, aient été obtenues, la seule inégalité optimale impliquant purement les k-systoles supérieures est l'inégalité stable 2-systolique optimale de Gromov :

pour l'espace projectif complexe, où la borne optimale est atteinte par la métrique de Fubini–Study symétrique, ce qui témoigne d'un lien avec la mécanique quantique. Ici, la 2-systole stable d'une variété riemannienne M est définie par :

où ‖ ‖ est la norme stable, tandis que λ est la plus petite norme d'un élément non nul du réseau. Ce qui rend l'inégalité stable de Gromov si exceptionnelle ne l'est devenu qu'il y a peu de temps. En effet, il a été découvert que, contrairement aux attentes, la métrique symétrique sur le plan projectif quaternionien n'est pas sa métrique systoliquement optimale, contrairement au cas 2-systolique dans le cas complexe. Alors que le plan projectif quaternionien avec sa métrique symétrique a un ratio systolique stable de dimension intermédiaire de 10/3, le ratio analogue pour la métrique symétrique de l'espace projectif complexe 4-dimensionnel donne la valeur 6, tandis que la meilleure borne supérieure disponible pour un tel ratio d'une métrique arbitraire sur ces deux espaces est de 14. Cette borne supérieure est liée aux propriétés de l'algèbre de Lie E7. Si une variété 8-dimensionnelle existe avec une holonomie exceptionnelle Spin(7) et un 4e nombre de Betti égal à 1, alors la valeur 14 est en fait optimale. Les variétés avec une holonomie Spin(7) ont été étudiées intensivement par Dominic Joyce.
### Query ###
Quelles sont les principales différences entre la preuve originale de Gromov, la preuve de Guth et l'approche basée sur la théorie de la mesure géométrique pour l'inégalité systolique ?

### Main Text ###
Gromov's systolic inequality

The deepest result in the field is Gromov's inequality for the homotopy 1-systole of an essential n -manifold M:

where C is a universal constant only depending on the dimension of M. Here the homotopy systole sysπ is by definition the least length of a noncontractible loop in M. A manifold is called essential if its fundamental class represents a nontrivial class in the homology of its fundamental group. The proof involves a new invariant called the filling radius, introduced by Gromov, defined as follows.

Denote by A the coefficient ring Z or Z, depending on whether or not M is orientable. Then the fundamental class, denoted, of a compact n -dimensional manifold M is a generator of H n (M; A) = A {\displaystyle H_{n}(M;A)=A}. Given an imbedding of M in Euclidean space E, we set

where ι is the inclusion homomorphism induced by the inclusion of M in its ε-neighborhood U M in E.

To define an absolute filling radius in a situation where M is equipped with a Riemannian metric g, Gromov proceeds as follows. One exploits an imbedding due to C. Kuratowski. One imbeds M in the Banach space L (M) of bounded Borel functions on M, equipped with the sup norm ‖ ‖ {\displaystyle \|\;\|}. Namely, we map a point x ∈ M to the function f ∈ L (M) defined by the formula f (y) = d(x,y) for all y ∈ M, where d is the distance function defined by the metric. By the triangle inequality we have d (x, y) = ‖ f x − f y ‖, {\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,} and therefore the imbedding is strongly isometric, in the precise sense that internal distance and ambient distance coincide. Such a strongly isometric imbedding is impossible if the ambient space is a Hilbert space, even when M is the Riemannian circle (the distance between opposite points must be π, not 2!). We then set E = L (M) in the formula above, and define

Namely, Gromov proved a sharp inequality relating the systole and the filling radius,

valid for all essential manifolds M; as well as an inequality

valid for all closed manifolds M.

A summary of a proof, based on recent results in geometric measure theory by S. Wenger, building upon earlier work by L. Ambrosio and B. Kirchheim, appears in Section 12.2 of the book "Systolic geometry and topology" referenced below. A completely different approach to the proof of Gromov's inequality was recently proposed by Larry Guth.

### Supplementary Text ###
L'inégalité stable de Gromov

Il est important de garder à l'esprit une différence significative entre les invariants systoliques 1 (définis en termes de longueurs de boucles) et les invariants systoliques supérieurs, k (définis en termes d'aires de cycles, etc.). Bien qu'un certain nombre d'inégalités systoliques optimales, impliquant les systoles 1, aient été obtenues, la seule inégalité optimale impliquant purement les k-systoles supérieures est l'inégalité stable 2-systolique optimale de Gromov :

pour l'espace projectif complexe, où la borne optimale est atteinte par la métrique de Fubini–Study symétrique, ce qui témoigne d'un lien avec la mécanique quantique. Ici, la 2-systole stable d'une variété riemannienne M est définie par :

où ‖ ‖ est la norme stable, tandis que λ est la plus petite norme d'un élément non nul du réseau. Ce qui rend l'inégalité stable de Gromov si exceptionnelle ne l'est devenu qu'il y a peu de temps. En effet, il a été découvert que, contrairement aux attentes, la métrique symétrique sur le plan projectif quaternionien n'est pas sa métrique systoliquement optimale, contrairement au cas 2-systolique dans le cas complexe. Alors que le plan projectif quaternionien avec sa métrique symétrique a un ratio systolique stable de dimension intermédiaire de 10/3, le ratio analogue pour la métrique symétrique de l'espace projectif complexe 4-dimensionnel donne la valeur 6, tandis que la meilleure borne supérieure disponible pour un tel ratio d'une métrique arbitraire sur ces deux espaces est de 14. Cette borne supérieure est liée aux propriétés de l'algèbre de Lie E7. Si une variété 8-dimensionnelle existe avec une holonomie exceptionnelle Spin(7) et un 4e nombre de Betti égal à 1, alors la valeur 14 est en fait optimale. Les variétés avec une holonomie Spin(7) ont été étudiées intensivement par Dominic Joyce.

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Quelles sont les principales différences" → requesting comparative analysis
"preuve originale de Gromov" → 1982 paper, systolic inequality for essential manifolds  
"preuve de Guth" → 2013-2014 breakthrough, new approach
"approche basée sur la théorie de la mesure géométrique" → Wenger et al., recent developments

? Translation note: "systolic inequality" = inégalité systolique, "filling radius" = rayon d'encadrement

Core task: Multi-method comparison. Not simple retrieval.

### 2. Gromov's Original Approach - 1982

⟨H≈0.2⟩ Gromov's proof fundamentally topological. Uses filling radius invariant. Key insight: connect systole to geometric properties via topological embedding. Elegant but somewhat black-box...

● High confidence: Filling radius construction
◐ Partial: Exact technical details of original proof
○ Low confidence: Complete comparison with other methods

### 3. Guth's Breakthrough - 2013-2014

! Larry Guth's approach: Completely different geometric framework
- Uses polynomial partitioning techniques
- Connects to discrete geometry, not topological invariants  
- Breakthrough: First proof avoiding Gromov's filling radius machinery
- ⚠ Potential issue: Guth's proof more computational, less topological

### 4. Geometric Measure Theory Approach

⟨H≈1⟩ Wenger building on Ambrosio-Kirchheim work... Recent years have seen geometric measure theory enter systolic geometry. The filling radius can be understood through geometric measure constructions. Hausdorff dimension, packing measures... New perspective on old invariant.

Recent work by Wenger, Schmidt, Lang. 

### 5. Technical Synthesis

Three approaches, distinct methodologies:

**Gromov (1982):**
- Topological invariant: filling radius  
- Essential manifold assumption required
- Elegant but somewhat indirect

**Guth (2013-2014):**  
- Pure geometric methods
- Polynomial partitioning
- Avoids filling radius entirely
- Broader applicability

**Geometric Measure Theory:**
- Refinement of Gromov's original approach
- Makes filling radius construction more explicit
- Connects to broader geometric framework

### 6. Methodological Implications

→ Each approach reveals different aspects of systolic geometry
→ Original Gromov proof remains foundational despite newer methods
→ Guth's computational approach opens new directions
→ Measure-theoretic perspective deepens understanding of classical results

! Key insight: Not competing theories but complementary tools

**Uncertainty markers:**
- ◐ Technical details of original proofs
- ○ Complete bibliographic references needed
- ⚠ Ongoing research may change landscape

**Physical constraints:** Essential for mathematical accuracy. Systolic geometry has concrete geometric meaning.

∴ Three distinct but interconnected approaches to fundamental systolic inequality, each with advantages for different applications.

### Answer###
Les trois approches que vous mentionnez représentent des développements successifs dans la preuve de l'inégalité systolique de Gromov, chacune apportant des éclaircissements techniques distincts.

La preuve originale de Gromov s'appuie sur un invariant nouveau qu'il a introduit : le rayon d'encadrement. Cette approche géométrique utilise une construction d'encastrement des variétés dans des espaces de fonctions bornées, permettant de relier de manière élégante la systole homotopique à cette notion de remplissage géométrique.

L'approche de Larry Guth, développée récemment, constitue une alternative fondamentale. Elle propose une méthode complètement différente pour démontrer l'inégalité de Gromov, évitant l'utilisation du rayon d'encadrement et s'appuyant sur d'autres outils mathématiques.

L'approche basée sur la théorie de la mesure géométrique, illustrée par les travaux récents de S. Wenger s'appuyant sur les résultats antérieurs de L. Ambrosio et B. Kirchheim, offre une synthèse et une reformulation des preuves originales. Cette méthode permet de mieux comprendre les liens entre les invariants systoliques et les propriétés géométriques des variétés.

Je dois cependant préciser que les détails techniques spécifiques de ces trois approches mériteraient une analyse plus approfondie pour saisir pleinement leurs différences méthodologiques et leurs implications respectives.