Si je fais une formule avec le même indice qui monte et qui descend dans un terme comme ça a^i_i, est-ce que ça va donner un résultat qui se transforme bien quand je change de base ?
Summation convention

The same symbol occurring twice (one upper and one lower) within a term indicates a pair of indices that are summed over:

The operation implied by such a summation is called tensor contraction:

This summation may occur more than once within a term with a distinct symbol per pair of indices, for example:

Other combinations of repeated indices within a term are considered to be ill-formed, such as

The reason for excluding such formulae is that although these quantities could be computed as arrays of numbers, they would not in general transform as tensors under a change of basis.
Formule de base

Une fraction continue (généralisée) est une expression de la forme

où a et b peuvent être n'importe quels nombres complexes.

Lorsque b = 1 pour tout i, l'expression est appelée fraction continue simple. Lorsque l'expression contient un nombre fini de termes, elle est appelée fraction continue finie. Lorsque l'expression contient un nombre infini de termes, elle est appelée fraction continue infinie. Lorsque les termes se répètent éventuellement à partir d'un certain point, l'expression est appelée fraction continue périodique.

Ainsi, les exemples suivants illustrent tous des fractions continues simples finies valides :

Pour les fractions continues simples de la forme

r = a₀ + 1 a₁ + 1 a₂ + 1 a₃ + ⋱ {\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}}

le terme aₙ peut être calculé en utilisant la formule récursive suivante :

aₙ = ⌊ Nₙ / Nₙ₊₁ ⌋ {\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {N_{n}}{N_{n+1}}}\right\rfloor }

où Nₙ₊₁ = Nₙ₋₁ mod Nₙ {\displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{\bmod {N}}_{n}} et { N₀ = r, N₁ = 1 {\displaystyle {\begin{cases}N_{0}=r\\N_{1}=1\end{cases}}}

D'où il est possible de comprendre que la séquence aₙ s'arrête si Nₙ₊₁ = 0 {\displaystyle N_{n+1}=0}.
### Query ###
Si je fais une formule avec le même indice qui monte et qui descend dans un terme comme ça a^i_i, est-ce que ça va donner un résultat qui se transforme bien quand je change de base ?

### Main Text ###
Summation convention

The same symbol occurring twice (one upper and one lower) within a term indicates a pair of indices that are summed over:

The operation implied by such a summation is called tensor contraction:

This summation may occur more than once within a term with a distinct symbol per pair of indices, for example:

Other combinations of repeated indices within a term are considered to be ill-formed, such as

The reason for excluding such formulae is that although these quantities could be computed as arrays of numbers, they would not in general transform as tensors under a change of basis.

### Supplementary Text ###
Formule de base

Une fraction continue (généralisée) est une expression de la forme

où a et b peuvent être n'importe quels nombres complexes.

Lorsque b = 1 pour tout i, l'expression est appelée fraction continue simple. Lorsque l'expression contient un nombre fini de termes, elle est appelée fraction continue finie. Lorsque l'expression contient un nombre infini de termes, elle est appelée fraction continue infinie. Lorsque les termes se répètent éventuellement à partir d'un certain point, l'expression est appelée fraction continue périodique.

Ainsi, les exemples suivants illustrent tous des fractions continues simples finies valides :

Pour les fractions continues simples de la forme

r = a₀ + 1 a₁ + 1 a₂ + 1 a₃ + ⋱ {\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}}

le terme aₙ peut être calculé en utilisant la formule récursive suivante :

aₙ = ⌊ Nₙ / Nₙ₊₁ ⌋ {\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {N_{n}}{N_{n+1}}}\right\rfloor }

où Nₙ₊₁ = Nₙ₋₁ mod Nₙ {\displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{\bmod {N}}_{n}} et { N₀ = r, N₁ = 1 {\displaystyle {\begin{cases}N_{0}=r\\N_{1}=1\end{cases}}}

D'où il est possible de comprendre que la séquence aₙ s'arrête si Nₙ₊₁ = 0 {\displaystyle N_{n+1}=0}.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"même indice qui monte et qui descend" → tensor notation aᵢⱼ, repeated indices
"formule qui se transforme bien" → covariance under basis change

User asking: **Do tensor formulas with repeated indices transform properly under coordinate changes?**

Simple yes/no question but needs tensor calculus explanation.

### 2. Tensor Transformation Theory

● High confidence: Yes, provided proper index placement rules followed.

**Einstein summation convention**: 
- Lower indices: contravariant components  
- Upper indices: covariant components
- Repeated pairs: implicit summation

**Transformation law for tensors**:
Tᵢⱼ = Rᵢₖ Rⱼₗ Tᵏₗ

Where R is rotation matrix.

**Forbidden patterns** (non-tensors):
- aᵢᵢ (mixed indices same position)
- aᵢⱼ + aⱼᵢ (non-symmetric handling)

### 3. Why Some Formulas "Don't Transform Well"

Ill-formed indices → scalar quantities that don't transform properly:

**Example**: aᵢᵢ = Σⱼ aᵢⱼ² (not tensor)
- Should be: Tᵢⱼ Tᵢⱼ (proper tensor product)
- Result: scalar that transforms as (RᵀR)ᵢⱼ ≠ identity under rotation

**Contrast**: aᵢⱼ aⱼᵢ = Σₖ aᵢₖ aⱼₖ (tensor)
- Transforms correctly: covariance + contravariance cancel
- Gives proper tensor behavior

### 4. Practical Implications

∴ **Rule**: Use proper index placement for tensor quantities
∴ **Result**: Formulas transform correctly under coordinate changes
∴ **Benefit**: Physical invariance preserved

**Key insight**: Repeated indices create implicit summations that must follow tensor algebra rules. Violate rules → lose transformation properties.

---

**Answer**: Yes, provided you follow proper tensor notation rules. Repeated indices indicate summations over contracted pairs. These transform correctly because:

- Lower indices: contravariant
- Upper indices: covariant  
- Contraction: tensor operation
- Result: scalar or higher-rank tensor with proper transformation

Avoid mixed index positions (aᵢᵢ) or non-symmetric handling. These give scalar results that don't transform as tensors.

**Bottom line**: Good tensor notation + proper index placement = well-transformed formulas.

### Answer###
Oui, les formules avec des indices répétés se transforment correctement lorsqu'on change de base, à condition que ces indices soient correctement positionnés et suivent les règles de notation tensorielle.

En notation tensorielle, l'indice répété (un indice supérieur et un indice inférieur) indique une paire d'indices qui sont sommés. Cette opération implicite de sommation est appelée contraction tensorielle. Par exemple, une formule du type aᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ transformerait correctement les composantes sous une transformation de base.

Les combinaisons d'indices répétés au sein d'un même terme sont considérées comme mal formées si elles ne respectent pas les conventions tensorielles. Par exemple, les expressions aᵢᵢ ou des sommes non symétriques de termes répétés ne sont pas considérées comme des tenseurs car elles ne se transformeraient pas correctement sous un changement de base.

La raison principale pour exclure ces formules est qu'elles pourraient être calculées comme des tableaux de nombres, mais elles ne formeraient pas en général des tenseurs sous un changement de base.

En suivant les conventions de notation appropriées pour les tenseurs et en évitant les configurations d'indices problématiques, vos formules avec indices répétés se transformeront bien selon les lois tensorielles prévues.