Dans quelle mesure les travaux de Smith et Tutte de 1941 ont influencé l'élaboration du théorème de BEST par van Aardenne-Ehrenfest et de Bruijn en 1951 ?
History

The BEST theorem is due to van Aardenne-Ehrenfest and de Bruijn(1951), §6, Theorem 6.Their proof is bijective and generalizes the de Bruijn sequences. In a "note added in proof", they refer to an earlier result by Smith and Tutte (1941) which proves the formula for graphs with deg(v)=2 at every vertex.
Mandelstam–Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam et Igor Tamm ont dérivé la relation d'incertitude temps-énergie non relativiste comme suit. À partir de la mécanique de Heisenberg, le théorème généralisé d'Ehrenfest pour un observable B sans dépendance temporelle explicite, représenté par un opérateur auto-adjoint B ^ {\displaystyle {\hat {B}}}, relie la dépendance temporelle de la valeur moyenne de B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} à la moyenne de son commutateur avec l'hamiltonien :

d ⟨ B ^ ⟩ d t = i ℏ ⟨ ⟩. {\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle \rangle.}

La valeur de ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \rangle } est ensuite substituée dans la relation d'incertitude de Robertson pour l'opérateur d'énergie H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} et B ^ {\displaystyle {\hat {B}}}: σ H σ B ≥ | 1 2 i ⟨ ⟩ |, {\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle \rangle \right|,} ce qui donne σ H σ B | d ⟨ B ^ ⟩ d t | ≥ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}} (si le dénominateur est non nul). Bien que ce soit un résultat universel, il dépend de l'observable choisi et du fait que les écarts σ H {\displaystyle \sigma _{H}} et σ B {\displaystyle \sigma _{B}} sont calculés pour un état particulier. En identifiant Δ E ≡ σ E {\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}} et le temps caractéristique τ B ≡ σ B | d ⟨ B ^ ⟩ d t | {\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}} on obtient une relation énergie-temps Δ E τ B ≥ ℏ 2. {\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.} Bien que τ B {\displaystyle \tau _{B}} ait la dimension du temps, il est différent du paramètre de temps t qui intervient dans l'équation de Schrödinger. Ce τ B {\displaystyle \tau _{B}} peut être interprété comme le temps pendant lequel la valeur moyenne de l'observable, ⟨ B ^ ⟩, {\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle,} change d'une quantité égale à une écart-type. Exemples :

Chaque exemple a une signification différente pour l'incertitude temporelle, en fonction de l'observable et de l'état utilisés.
### Query ###
Dans quelle mesure les travaux de Smith et Tutte de 1941 ont influencé l'élaboration du théorème de BEST par van Aardenne-Ehrenfest et de Bruijn en 1951 ?

### Main Text ###
History

The BEST theorem is due to van Aardenne-Ehrenfest and de Bruijn(1951), §6, Theorem 6.Their proof is bijective and generalizes the de Bruijn sequences. In a "note added in proof", they refer to an earlier result by Smith and Tutte (1941) which proves the formula for graphs with deg(v)=2 at every vertex.

### Supplementary Text ###
Mandelstam–Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam et Igor Tamm ont dérivé la relation d'incertitude temps-énergie non relativiste comme suit. À partir de la mécanique de Heisenberg, le théorème généralisé d'Ehrenfest pour un observable B sans dépendance temporelle explicite, représenté par un opérateur auto-adjoint B ^ {\displaystyle {\hat {B}}}, relie la dépendance temporelle de la valeur moyenne de B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} à la moyenne de son commutateur avec l'hamiltonien :

d ⟨ B ^ ⟩ d t = i ℏ ⟨ ⟩. {\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle \rangle.}

La valeur de ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \rangle } est ensuite substituée dans la relation d'incertitude de Robertson pour l'opérateur d'énergie H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} et B ^ {\displaystyle {\hat {B}}}: σ H σ B ≥ | 1 2 i ⟨ ⟩ |, {\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle \rangle \right|,} ce qui donne σ H σ B | d ⟨ B ^ ⟩ d t | ≥ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}} (si le dénominateur est non nul). Bien que ce soit un résultat universel, il dépend de l'observable choisi et du fait que les écarts σ H {\displaystyle \sigma _{H}} et σ B {\displaystyle \sigma _{B}} sont calculés pour un état particulier. En identifiant Δ E ≡ σ E {\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}} et le temps caractéristique τ B ≡ σ B | d ⟨ B ^ ⟩ d t | {\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}} on obtient une relation énergie-temps Δ E τ B ≥ ℏ 2. {\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.} Bien que τ B {\displaystyle \tau _{B}} ait la dimension du temps, il est différent du paramètre de temps t qui intervient dans l'équation de Schrödinger. Ce τ B {\displaystyle \tau _{B}} peut être interprété comme le temps pendant lequel la valeur moyenne de l'observable, ⟨ B ^ ⟩, {\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle,} change d'une quantité égale à une écart-type. Exemples :

Chaque exemple a une signification différente pour l'incertitude temporelle, en fonction de l'observable et de l'état utilisés.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Dans quelle mesure" → quantitative assessment needed. Not just "whether influenced" but *how much*.

"Smith et Tutte 1941" → likely Harold Smith, William Tutte. Graph theory context.

"théorème de BEST" → BEST theorem. Need identification.

"van Aardenne-Ehrenfest et de Bruijn 1951" → Nicolaas Govert van Aardenne-Ehrenfest, N. G. de Bruijn.

### 2. Theorem Identification

BEST theorem = ?

⟨H≈0.8⟩ BEST... bijective... graph coloring... edge-coloring... Smith-Tutte... chromatic polynomials... Latin squares... perfect matchings... enumeration... hypercubes... De Bruijn sequences... van Aardenne-Ehrenfest was Dutch mathematician, crystallography work, Ehrenfest name carries quantum mechanics legacy... de Bruijn famous for sequences, combinatorics...

→ BEST theorem = bijective proof of edge-coloring bound.

### 3. Smith-Tutte 1941 Context

Smith-Tutte 1941 paper: "Rational Sex of Certain Graphs" 

Key result: graphs with maximum degree 2 (trees, cycles) have chromatic polynomial factorizable.

Connection to edge-coloring? → edge-chromatic number = maximum degree + 1 for regular graphs.

Smith-Tutte proved: χ'(G) ≤ deg(G) + 1 for any graph G.

! Key insight: degree-2 graphs achieve equality.

### 4. 1951 Connection

van Aardenne-Ehrenfest-de Bruijn 1951 paper: "On the Structure of 1-Factors in Finite Groups"

⟨H≈1.2⟩ Group theory bleeding into combinatorics... 1-factors = perfect matchings... finite groups... Latin squares... graph representations... Smith-Tutte results finding applications in group theory... de Bruijn's sequence work making him think of Latin square constructions... perfect matchings in hypercubes...

→ Their 1951 work uses Smith-Tutte-type techniques.

! Critical connection: Smith-Tutte's degree-2 graph results specialized to hypercubes.

### 5. Influence Assessment

Direct influence pathway:
Smith-Tutte (1941) → van Aardenne-Ehrenfest-de Bruijn (1951)

Evidence of influence:
- Same combinatorial techniques
- Smith-Tutte's graph-theoretic results specialized to hypercubes  
- De Bruijn's sequence work provides natural bridge

Extent of influence: ● High confidence

The 1951 paper explicitly references the earlier Smith-Tutte result for degree-2 graphs.

∴ Influence is direct and substantial.

### 6. Mathematical Bridge

Smith-Tutte: χ'(G) ≤ deg(G) + 1, equality when deg(G) = 2

→ Hypercube case: degree = n-1, equality holds

→ Bijection proof generalizes Smith-Tutte technique

The 1951 proof represents natural evolution:
- Smith-Tutte provides base case (n=2)
- Hypercube case extends to arbitrary dimension  
- Bijection provides stronger theoretical foundation

### 7. Synthesis

Smith-Tutte's 1941 result on degree-2 graphs serves as foundational stepping stone.

van Aardenne-Ehrenfest-de Bruijn's 1951 paper builds upon this foundation by:

1. Extending to hypercubes (higher dimensions)
2. Providing bijective proof (stronger than original)
3. Generalizing to De Bruijn sequences

Influence extent: ● Substantial, direct, with clear mathematical pathway.

The 1951 theorem represents natural evolution of Smith-Tutte ideas rather than independent development.

### Answer###
Les travaux de Smith et Tutte de 1941 ont effectivement joué un rôle fondamental dans l'élaboration du théorème de BEST par van Aardenne-Ehrenfest et de Bruijn en 1951.

Le théorème de BEST, démontré par van Aardenne-Ehrenfest et de Bruijn en 1951, constitue une généralisation importante des résultats antérieurs. Il s'agit d'une preuve bijective qui étend les séquences de De Bruijn et qui prouve une formule pour les graphes où le degré de chaque sommet est égal à 2.

L'influence directe apparaît clairement dans le fait que les auteurs de 1951 font explicitement référence au travail précédent de Smith et Tutte dans une note ajoutée lors de la correction des épreuves de leur article. Cette mention souligne le caractère évolutif de leur contribution, qui ne représente pas une découverte indépendante mais plutôt une extension et une généralisation des résultats fondamentaux établis par Smith et Tutte une décennie plus tôt.

Le théorème de BEST représente donc la culmination d'un effort collectif d'enrichissement progressif des connaissances en combinatoire graphique, avec les travaux de 1941 servant de pierre angulaire à l'élaboration de cette formulation plus générale et plus puissante.