Pourquoi que quand on a une fonction qui fait zéro partout sur une forme, ça fait une sphère ou quelque chose de pareil ?
Applications

In algebraic geometry, the first definition of an algebraic variety is through zero sets. Specifically, an affine algebraic set is the intersection of the zero sets of several polynomials, in a polynomial ring k {\displaystyle k\left} over a field. In this context, a zero set is sometimes called a zero locus.

In analysis and geometry, any closed subset of R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} is the zero set of a smooth function defined on all of R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. This extends to any smooth manifold as a corollary of paracompactness.

In differential geometry, zero sets are frequently used to define manifolds. An important special case is the case that f {\displaystyle f} is a smooth function from R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} to R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. If zero is a regular value of f {\displaystyle f}, then the zero set of f {\displaystyle f} is a smooth manifold of dimension m = p − n {\displaystyle m=p-n} by the regular value theorem.

For example, the unit m {\displaystyle m} - sphere in R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} is the zero set of the real-valued function f (x) = ‖ x ‖ 2 − 1 {\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}.
Théorème de la fonction implicite

Certaines formes géométriques naturelles, comme les cercles, ne peuvent pas être dessinées comme le graphe d'une fonction. Par exemple, si f (x, y) = x + y − 1, alors le cercle est l'ensemble de toutes les paires (x, y) telles que f (x, y) = 0. Cet ensemble est appelé l'ensemble de zéros de f, et n'est pas le même que le graphe de f, qui est un paraboloïde. Le théorème de la fonction implicite transforme des relations telles que f (x, y) = 0 en fonctions. Il énonce que si f est continûment différentiable, alors autour de la plupart des points, l'ensemble de zéros de f ressemble à des graphes de fonctions collés ensemble. Les points où cela n'est pas vrai sont déterminés par une condition sur la dérivée de f. Le cercle, par exemple, peut être assemblé à partir des graphes des deux fonctions ± √ 1 - x. Dans un voisinage de chaque point du cercle, à l'exception de (−1, 0) et (1, 0), l'une de ces deux fonctions possède un graphe qui ressemble au cercle. (Ces deux fonctions se rencontrent également en (−1, 0) et (1, 0), mais cela n'est pas garanti par le théorème de la fonction implicite.)

Le théorème de la fonction implicite est étroitement lié au théorème de la fonction inverse, qui indique quand une fonction ressemble à des graphes de fonctions inversibles collées ensemble.
### Query ###
Pourquoi que quand on a une fonction qui fait zéro partout sur une forme, ça fait une sphère ou quelque chose de pareil ?

### Main Text ###
Applications

In algebraic geometry, the first definition of an algebraic variety is through zero sets. Specifically, an affine algebraic set is the intersection of the zero sets of several polynomials, in a polynomial ring k {\displaystyle k\left} over a field. In this context, a zero set is sometimes called a zero locus.

In analysis and geometry, any closed subset of R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} is the zero set of a smooth function defined on all of R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. This extends to any smooth manifold as a corollary of paracompactness.

In differential geometry, zero sets are frequently used to define manifolds. An important special case is the case that f {\displaystyle f} is a smooth function from R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} to R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. If zero is a regular value of f {\displaystyle f}, then the zero set of f {\displaystyle f} is a smooth manifold of dimension m = p − n {\displaystyle m=p-n} by the regular value theorem.

For example, the unit m {\displaystyle m} - sphere in R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} is the zero set of the real-valued function f (x) = ‖ x ‖ 2 − 1 {\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}.

### Supplementary Text ###
Théorème de la fonction implicite

Certaines formes géométriques naturelles, comme les cercles, ne peuvent pas être dessinées comme le graphe d'une fonction. Par exemple, si f (x, y) = x + y − 1, alors le cercle est l'ensemble de toutes les paires (x, y) telles que f (x, y) = 0. Cet ensemble est appelé l'ensemble de zéros de f, et n'est pas le même que le graphe de f, qui est un paraboloïde. Le théorème de la fonction implicite transforme des relations telles que f (x, y) = 0 en fonctions. Il énonce que si f est continûment différentiable, alors autour de la plupart des points, l'ensemble de zéros de f ressemble à des graphes de fonctions collés ensemble. Les points où cela n'est pas vrai sont déterminés par une condition sur la dérivée de f. Le cercle, par exemple, peut être assemblé à partir des graphes des deux fonctions ± √ 1 - x. Dans un voisinage de chaque point du cercle, à l'exception de (−1, 0) et (1, 0), l'une de ces deux fonctions possède un graphe qui ressemble au cercle. (Ces deux fonctions se rencontrent également en (−1, 0) et (1, 0), mais cela n'est pas garanti par le théorème de la fonction implicite.)

Le théorème de la fonction implicite est étroitement lié au théorème de la fonction inverse, qui indique quand une fonction ressemble à des graphes de fonctions inversibles collées ensemble.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi que quand on a une fonction qui fait zéro partout sur une forme, ça fait une sphère ou quelque chose de pareil ?"

Translation: "Why does a function that is zero everywhere on a shape make a sphere or something similar?"

Key confusion: Zero sets ≠ graphs. User expects graph-like behavior.

### 2. Core Misconception Identification

Critical error: Confusing f(x,y,z) = 0 with z = f(x,y).

→ Zero set is *where* f vanishes, not *how* it vanishes
→ Shape determined by vanishing *locus*, not by local behavior near origin

### 3. Mathematical Framework

**Definition**: Zero set of f(x,y,z) = 0 is {(x,y,z) : f(x,y,z) = 0}

**Key insight**: Zero sets can be any surface/manifold where function hits zero

**Why spheres emerge**: Often choose f with special symmetry → spherical zero sets

Example: f(x,y,z) = x²+y²+z²-R²

Zero set: x²+y²+z² = R² ∴ sphere radius R

### 4. Regular Value Theorem

Critical tool: If f: ℝⁿ → ℝ, f∈C¹, and c∈ℝ, then:

- f⁻¹(c) is manifold of dimension n-1 near regular points
- Regular points = where ∇f ≠ 0 on f⁻¹(c)
- Singular points = where ∇f = 0 on f⁻¹(c)

**Application**: For f(x,y,z) = x²+y²+z²-R², ∇f = (2x,2y,2z)

Zero set regular everywhere except origin → spherical topology

### 5. Why Not Always Spherical?

Functions f determine zero sets, not vice versa.

Different f → different zero sets
- f(x,y,z) = x² + y² + z² - R² → sphere
- f(x,y,z) = x² + y² - z → cylinder  
- f(x,y,z) = x² + y² → plane

**Key**: Symmetry in function → symmetry in zero set

### 6. Geometric Intuition

Zero sets are *level surfaces* of f.

Sphere as f⁻¹(0) emerges when:
- Function has rotational symmetry
- Origin is critical point
- Higher-order terms balance

**General principle**: Zero sets can be any surface/manifold, but spherical emerges as natural/symmetric solution.

∴ Answer: Zero sets are *locus* of vanishing, not *form* determined by local behavior. Spherical zero sets occur when function has spherical symmetry.

### Answer###
Votre question touche à un concept fondamental en géométrie : les ensembles de zéros d'une fonction. Quand vous avez une fonction qui s'annule partout sur une forme géométrique, cette forme correspond précisément à l'ensemble de tous les points où la fonction prend la valeur zéro.

Le principe est le suivant : une forme géométrique n'est pas nécessairement le graphe d'une fonction. Par exemple, un cercle n'est pas le graphe d'une fonction mais plutôt l'ensemble des points (x,y) qui vérifient une équation comme x² + y² = 1. Cette équation peut s'écrire sous forme d'une fonction f(x,y) = x² + y² - 1, et le cercle devient alors l'ensemble des zéros de cette fonction.

Concernant les sphères, elles peuvent effectivement apparaître comme ensembles de zéros de fonctions particulières. Par exemple, la sphère unité de dimension m dans l'espace ℝᵐ⁺¹ est le zéro de la fonction f(x) = ||x||² - 1. Cette fonction s'annule exactement sur la surface sphérique.

Le théorème de la fonction implicite explique que, pour une fonction continûment différentiable, l'ensemble de zéros peut souvent se décomposer en morceaux qui ressemblent localement aux graphes de fonctions. Les points où cela n'est pas vrai sont généralement ceux où la dérivée de la fonction s'annule.

La raison pour laquelle les sphères émergent souvent dans ce contexte est liée au fait que les fonctions ayant une symétrie sphérique produisent naturellement des ensembles de zéros sphériques.