Je travaille sur l'optimisation d'un processus de transformation géométrique et je dois comprendre comment appliquer la dilatation mathématique à une fonction existante. Étant donné une fonction y=f(x) représentant les coordonnées d'un ensemble de points, comment puis-je déterminer les équations de la fonction dilatée et quelles seraient les implications pratiques pour mon analyse ?
Function dilation and contraction

Given a point P (x, y) {\displaystyle P(x,y)}, the dilation associates it with the point P ′ (x ′, y ′) {\displaystyle P'(x',y')} through the equations

Therefore, given a function y = f (x) {\displaystyle y=f(x)}, the equation of the dilated function is
Dilatation et contraction

Étant donné un point P (x, y), la dilatation l'associe au point P' (x', y') selon les équations suivantes :

Par conséquent, étant donné une fonction y = f(x), l'équation de la fonction dilatée est :
### Query ###
Je travaille sur l'optimisation d'un processus de transformation géométrique et je dois comprendre comment appliquer la dilatation mathématique à une fonction existante. Étant donné une fonction y=f(x) représentant les coordonnées d'un ensemble de points, comment puis-je déterminer les équations de la fonction dilatée et quelles seraient les implications pratiques pour mon analyse ?

### Main Text ###
Function dilation and contraction

Given a point P (x, y) {\displaystyle P(x,y)}, the dilation associates it with the point P ′ (x ′, y ′) {\displaystyle P'(x',y')} through the equations

Therefore, given a function y = f (x) {\displaystyle y=f(x)}, the equation of the dilated function is

### Supplementary Text ###
Dilatation et contraction

Étant donné un point P (x, y), la dilatation l'associe au point P' (x', y') selon les équations suivantes :

Par conséquent, étant donné une fonction y = f(x), l'équation de la fonction dilatée est :

### Draft ###

### 1. Query Decomposition

"Je travaille sur l'optimisation d'un processus de transformation géométrique"
→ Working on geometric transformation optimization process

Key elements:
- Dilatation mathématique (mathematical dilation)  
- Fonction y=f(x) representing point coordinates
- Equations for dilated function
- Practical implications for analysis

Translation check: "dilatation" = mathematical dilation (not expansion/growth in biological sense).

### 2. Core Mathematical Framework

Given function y = f(x), dilation transforms coordinates via:
x' = k₁·x  
y' = k₂·y

Where k₁, k₂ are scale factors.

Dilated function equation: y = f(x/k₁) if k₂ = 1 (horizontal dilation)
Or y = f(x)/k₂ if k₁ = 1 (vertical dilation)

? User's context suggests practical optimization problem. Need to verify if pure geometric transformation or involves derivative analysis.

### 3. Practical Implications Analysis

Scale factor effects:
- k > 1: stretching/expansion
- k < 1: compression/contraction  
- k = 1: no change (identity)

For optimization context:
● Dilation changes function's rate of change
● Derivatives scale accordingly: f'(x) → f'(x/k₁) · (1/k₁)
● Integration becomes ∫f(x/k₁)dx = (1/k₁)∫f(u)du (substitute u = x/k₁)

∴ Optimization parameters must account for:
- Rescaled derivative behavior
- Integration domain changes
- Convergence properties

### 4. Geometric Interpretation

Dilation preserves:
✓ Proportional relationships
✓ Angle measures  
✓ Parallel lines

Changes:
⚠ Lengths by factor k
⚠ Area by factor k²
⚠ Curvature (depends on k)

NB: For practical process optimization, understanding these geometric invariants crucial for:
- Maintaining proportional constraints
- Preserving key geometric features
- Analyzing efficiency metrics

### 5. Verification & Synthesis

User seeks: equations + practical implications
Provided: transformation equations + mathematical framework
Missing: specific optimization context details

※ Response assumes general geometric optimization without knowing exact problem domain.

Critical gap: practical analysis depends heavily on:
- What specific optimization objective?
- What constraints govern the process?
- What metrics need preservation?

⚠ Cannot provide complete practical implications without knowing optimization target.

**Final assessment**: Mathematical framework solid, but practical implications require domain-specific context that user likely omitted intentionally or didn't specify clearly.

### Answer###
Pour appliquer la dilatation mathématique à une fonction y = f(x), vous pouvez utiliser les équations de transformation suivantes :

Les équations de la fonction dilatée sont :

Cette transformation géométrique associe chaque point (x, y) de la fonction originale au point (x', y') = (kx, ky).

Les implications pratiques pour votre analyse incluent le fait que la dilatation modifie l'échelle de la fonction selon le facteur k choisi. Un facteur k > 1 produira une dilatation (étirement), tandis qu'un facteur k < 1 produira une contraction (compression) de la fonction.

Cette transformation préserve les proportions entre les points de la fonction, mais modifie ses dimensions globales. Pour l'optimisation de votre processus, vous devrez considérer comment cette transformation affecte les propriétés clés de votre fonction, telles que les extrêmes, les points d'inflexion, et le comportement asymptotique, car ces caractéristiques seront modifiées par le facteur d'échelle k.

Les applications pratiques de cette transformation incluent la possibilité de modifier l'échelle de représentation graphique, d'analyser différents niveaux de détail, ou d'adapter la fonction aux contraintes géométriques spécifiques de votre processus de transformation.