Pourquoi quand on a plusieurs façons de faire quelque chose et qu'on peut pas les faire ensemble, on peut juste ajouter les nombres pour savoir combien de façons il y a au total ?
In combinatorics, the addition principle or rule of sum is a basic counting principle. Stated simply, it is the intuitive idea that if we have A number of ways of doing something and B number of ways of doing another thing and we can not do both at the same time, then there are A + B ways to choose one of the actions. In mathematical terms, the addition principle states that, for disjoint sets A and B, we have | A ∪ B | = | A | + | B | , provided that the intersection of the sets is without any elements. The rule of sum is a fact about set theory, as can be seen with the previously mentioned equation for the union of disjoint sets A and B being equal to |A| + |B|. The addition principle can be extended to several sets. If S 1 , S 2 , … , S n are pairwise disjoint sets, then we have: This statement can be proven from the addition principle by induction on n.
D'autres façons d'additionner

L'incrémentation, également connue sous le nom d'opération successeur, est l'addition de 1 à un nombre.

La sommation décrit l'addition d'un nombre arbitraire, généralement plus de deux. Elle inclut l'idée de la somme d'un seul nombre, qui est lui-même, et la somme vide, qui est zéro. Une sommation infinie est une procédure délicate connue sous le nom de série.

Le comptage d'un ensemble fini est équivalent à la sommation de 1 sur l'ensemble.

L'intégration est une sorte de "sommation" sur un continuum, ou plus précisément et généralement, sur une variété différentiable. L'intégration sur une variété de dimension nulle se réduit à la sommation.

Les combinaisons linéaires combinent la multiplication et la sommation ; ce sont des sommes dans lesquelles chaque terme possède un multiplicateur, généralement un nombre réel ou complexe. Les combinaisons linéaires sont particulièrement utiles dans les contextes où une addition directe violerait une règle de normalisation, comme le mélange de stratégies en théorie des jeux ou la superposition d'états en mécanique quantique.

La convolution est utilisée pour additionner deux variables aléatoires indépendantes définies par des fonctions de distribution. Sa définition habituelle combine l'intégration, la soustraction et la multiplication. En général, la convolution est utile comme une sorte d'addition du côté du domaine ; par contraste, l'addition vectorielle est une sorte d'addition du côté de l'image.
### Query ###
Pourquoi quand on a plusieurs façons de faire quelque chose et qu'on peut pas les faire ensemble, on peut juste ajouter les nombres pour savoir combien de façons il y a au total ?

### Main Text ###
In combinatorics, the addition principle or rule of sum is a basic counting principle. Stated simply, it is the intuitive idea that if we have A number of ways of doing something and B number of ways of doing another thing and we can not do both at the same time, then there are A + B ways to choose one of the actions. In mathematical terms, the addition principle states that, for disjoint sets A and B, we have | A ∪ B | = | A | + | B | , provided that the intersection of the sets is without any elements. The rule of sum is a fact about set theory, as can be seen with the previously mentioned equation for the union of disjoint sets A and B being equal to |A| + |B|. The addition principle can be extended to several sets. If S 1 , S 2 , … , S n are pairwise disjoint sets, then we have: This statement can be proven from the addition principle by induction on n.

### Supplementary Text ###
D'autres façons d'additionner

L'incrémentation, également connue sous le nom d'opération successeur, est l'addition de 1 à un nombre.

La sommation décrit l'addition d'un nombre arbitraire, généralement plus de deux. Elle inclut l'idée de la somme d'un seul nombre, qui est lui-même, et la somme vide, qui est zéro. Une sommation infinie est une procédure délicate connue sous le nom de série.

Le comptage d'un ensemble fini est équivalent à la sommation de 1 sur l'ensemble.

L'intégration est une sorte de "sommation" sur un continuum, ou plus précisément et généralement, sur une variété différentiable. L'intégration sur une variété de dimension nulle se réduit à la sommation.

Les combinaisons linéaires combinent la multiplication et la sommation ; ce sont des sommes dans lesquelles chaque terme possède un multiplicateur, généralement un nombre réel ou complexe. Les combinaisons linéaires sont particulièrement utiles dans les contextes où une addition directe violerait une règle de normalisation, comme le mélange de stratégies en théorie des jeux ou la superposition d'états en mécanique quantique.

La convolution est utilisée pour additionner deux variables aléatoires indépendantes définies par des fonctions de distribution. Sa définition habituelle combine l'intégration, la soustraction et la multiplication. En général, la convolution est utile comme une sorte d'addition du côté du domaine ; par contraste, l'addition vectorielle est une sorte d'addition du côté de l'image.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi quand on a plusieurs façons de faire quelque chose et qu'on peut pas les faire ensemble, on peut juste ajouter les nombres pour savoir combien de façons il y a au total ?"

→ Core question: Why can we add ways when choices are mutually exclusive?

Key phrase: "on peut pas les faire ensemble" = cannot be done simultaneously = disjoint/mutually exclusive options.

### 2. Mathematical Foundation

● Addition principle for disjoint sets. If A, B disjoint → |A ∪ B| = |A| + |B|

Proof sketch: No overlap means no double-counting. Each element in A contributes exactly once to total. Each element in B contributes exactly once. ∴ Simple counting addition.

### 3. The "Why" Intuition

**Fundamental counting rule**: When AND = multiplication, when OR = addition.

But why addition specifically for disjoint cases?

**Inclusion-Exclusion Principle foundation**:
- Start: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|  
- When A ∩ B = ∅ → |A ∩ B| = 0
- ∴ |A ∪ B| = |A| + |B|

**Physical constraint**: Disjoint means no intersection. No intersection means no elements counted twice.

**Set-theoretic rigor**: 
P(A ∩ B) = 0 where P(·) is power set
→ No subsets of A ∩ B exist
→ No double-counting possible

### 4. Verification Logic

**Cardinality addition**: |A| + |B| = total distinct elements

**Why not multiplication?**
- Multiplication would imply overlap/intersection
- Would count some elements multiple times
- Would violate counting integrity

**Why not averaging?**  
- No meaningful "combining" in the mathematical sense
- Addition preserves individual contributions

### 5. Extended Principle

**Rule of sum**: More than two choices → add individual counts
**Only when**: choices are mutually exclusive
**Example**: 3 ways + 4 ways + 2 ways = 9 total ways

**Generalized**: Σ|Si| for pairwise disjoint sets Si

**Intuition**: Each option contributes exactly its count once. No cross-contamination.

∴ Addition emerges naturally from set theory foundations. Mathematical rigor + physical constraints → counting addition as only valid approach for disjoint combinatorial enumeration.

### Answer###
La raison pour laquelle on peut additionner simplement les nombres lorsque l'on a plusieurs façons de faire quelque chose et que ces façons sont mutuellement exclusives repose sur le principe d'addition en combinatoire.

Ce principe fondamental stipule que si vous avez A façons de faire une chose et B façons d'en faire une autre, et que vous ne pouvez pas faire les deux simultanément, alors il y a A + B façons de choisir l'une ou l'autre action. En termes mathématiques, cela s'écrit : |A ∪ B| = |A| + |B| pour des ensembles disjoints A et B.

Cette règle fonctionne parce que les ensembles sont disjoints - ils n'ont aucun élément en commun. Lorsque deux ensembles ne se chevauchent pas, chaque élément contribue exactement une fois au total. Par conséquent, additionner simplement les nombres individuels donne le résultat correct pour le nombre total de possibilités.

Le principe peut s'étendre à plusieurs ensembles : si vous avez plusieurs séries d'options qui ne se chevauchent pas entre elles, vous pouvez additionner le nombre de façons dans chaque série pour obtenir le nombre total de possibilités.

Cette approche intuitive d'addition s'explique par le fait que chaque option individuelle contribue de manière indépendante au comptage total, sans risque de double comptage ou de chevauchement qui rendrait nécessaire une approche plus complexe.