Est-ce que les fonctions de Bessel I et K peuvent être utilisées pour trouver la solution à toutes les équations différentielles ?
Modified Bessel functions: I, K

The Bessel functions are valid even for complex arguments x, and an important special case is that of a purely imaginary argument. In this case, the solutions to the Bessel equation are called the modified Bessel functions (or occasionally the hyperbolic Bessel functions) of the first and second kind and are defined as I α (x) = i − α J α (i x) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α, K α (x) = π 2 I − α (x) − I α (x) sin α π, {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} when α is not an integer; when α is an integer, then the limit is used. These are chosen to be real-valued for real and positive arguments x. The series expansion for I (x) is thus similar to that for J (x), but without the alternating (−1) factor.

K α {\displaystyle K_{\alpha }} can be expressed in terms of Hankel functions: K α (x) = { π 2 i α + 1 H α (1) (i x) − π < arg x ≤ π 2 π 2 (− i) α + 1 H α (2) (− i x) − π 2 < arg x ≤ π {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}

Using these two formulae the result to J α 2 (z) {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)} + Y α 2 (z) {\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}, commonly known as Nicholson's integral or Nicholson's formula, can be obtained to give the following J α 2 (x) + Y α 2 (x) = 8 π 2 ∫ 0 ∞ cosh (2 α t) K 0 (2 x sinh t) d t, {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}

given that the condition Re(x) > 0 is met. It can also be shown that J α 2 (x) + Y α 2 (x) = 8 cos (α π) π 2 ∫ 0 ∞ K 2 α (2 x sinh t) d t, {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi)}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}

only when | Re(α) | < 1 / 2 and Re(x) ≥ 0 but not when x = 0.

We can express the first and second Bessel functions in terms of the modified Bessel functions (these are valid if − π < arg z ≤ π / 2): J α (i z) = e α π i 2 I α (z), Y α (i z) = e (α + 1) π i 2 I α (z) − 2 π e − α π i 2 K α (z). {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}

I (x) and K (x) are the two linearly independent solutions to the modified Bessel's equation: x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − (x 2 + α 2) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}

Unlike the ordinary Bessel functions, which are oscillating as functions of a real argument, I and K are exponentially growing and decaying functions respectively. Like the ordinary Bessel function J, the function I goes to zero at x = 0 for α > 0 and is finite at x = 0 for α = 0. Analogously, K diverges at x = 0 with the singularity being of logarithmic type for K, and 1 / 2 Γ(| α |)(2/ x) otherwise.

Two integral formulas for the modified Bessel functions are (for Re(x) > 0): I α (x) = 1 π ∫ 0 π e x cos θ cos α θ d θ − sin α π π ∫ 0 ∞ e − x cosh t − α t d t, K α (x) = ∫ 0 ∞ e − x cosh t cosh α t d t. {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}

Bessel functions can be described as Fourier transforms of powers of quadratic functions. For example (for Re(ω) > 0): 2 K 0 (ω) = ∫ − ∞ ∞ e i ω t t 2 + 1 d t. {\displaystyle 2\,K_{0}(\omega)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}

It can be proven by showing equality to the above integral definition for K. This is done by integrating a closed curve in the first quadrant of the complex plane.

Modified Bessel functions K and K can be represented in terms of rapidly convergent integrals K 1 3 (ξ) = 3 ∫ 0 ∞ exp (− ξ (1 + 4 x 2 3) 1 + x 2 3) d x, K 2 3 (ξ) = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp (− ξ (1 + 4 x 2 3) 1 + x 2 3) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\K_{\frac {2}{3}}(\xi)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

The modified Bessel function K 1 2 (ξ) = (2 ξ / π) − 1 / 2 exp (− ξ) {\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi)=(2\xi /\pi)^{-1/2}\exp(-\xi)} is useful to represent the Laplace distribution as an Exponential-scale mixture of normal distributions.

The modified Bessel function of the second kind has also been called by the following names (now rare):
Fonctions de Bessel modifiées : I, K

Les fonctions de Bessel sont valides même pour des arguments complexes x, et un cas particulier important est celui d'un argument purement imaginaire. Dans ce cas, les solutions de l'équation de Bessel sont appelées les fonctions de Bessel modifiées (ou parfois les fonctions de Bessel hyperboliques) du premier et du second type et sont définies comme Iα(x) = i−α Jα(ix) = ∑m=0∞ 1/(m!Γ(m+α+1)) (x/2)2m+α, Kα(x) = π/2 [I−α(x) − Iα(x)] / sin(απ),  lorsque α n'est pas un entier ; lorsque α est un entier, la limite est utilisée. Elles sont choisies pour être à valeurs réelles pour des arguments réels et positifs x. La série de développement pour I(x) est donc similaire à celle pour J(x), mais sans le facteur alterné (−1).

Kα peut être exprimée en termes de fonctions de Hankel : Kα(x) = { π/2 iα+1 Hα(1)(ix)  pour −π < arg(x) ≤ π/2 ; π/2 (−i)α+1 Hα(2)(−ix) pour −π/2 < arg(x) ≤ π }.

En utilisant ces deux formules, on peut obtenir le résultat pour Jα2(z) + Yα2(z), communément appelé intégrale de Nicholson ou formule de Nicholson, qui donne : Jα2(x) + Yα2(x) = 8/(π2) ∫0∞ cosh(2αt) K0(2x sinh t) dt,

sous réserve que la condition Re(x) > 0 soit satisfaite. On peut également montrer que Jα2(x) + Yα2(x) = 8 cos(απ) / (π2) ∫0∞ K2α(2x sinh t) dt,

uniquement lorsque |Re(α)| < 1/2 et Re(x) ≥ 0 mais pas lorsque x = 0.

On peut exprimer les premières et les secondes fonctions de Bessel en termes de fonctions de Bessel modifiées (ces expressions sont valides si −π < arg(z) ≤ π/2) : Jα(iz) = eαπi/2 Iα(z), Yα(iz) = e(α+1)πi/2 Iα(z) − 2π e−απi/2 Kα(z).

I(x) et K(x) sont les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation de Bessel modifiée : x2 d2y/dx2 + x dy/dx − (x2 + α2) y = 0.

Contrairement aux fonctions de Bessel ordinaires, qui oscillent en fonction d'un argument réel, I et K sont des fonctions respectivement exponentiellement croissantes et décroissantes. Comme la fonction de Bessel J, la fonction I tend vers zéro à x = 0 pour α > 0 et est finie à x = 0 pour α = 0. De même, K diverge à x = 0 avec une singularité de type logarithmique pour K, et 1/(2Γ(|α|))(2/x) sinon.

Deux formules intégrales pour les fonctions de Bessel modifiées sont (pour Re(x) > 0) : Iα(x) = 1/π ∫0π e^(x cos θ) cos(α θ) dθ − sin(απ)/π ∫0∞ e^(-x cosh t − α t) dt, Kα(x) = ∫0∞ e^(-x cosh t) cosh(α t) dt.

Les fonctions de Bessel peuvent être décrites comme des transformées de Fourier de puissances de fonctions quadratiques. Par exemple (pour Re(ω) > 0) : 2 K0(ω) = ∫−∞∞ e^(iωt) t2 + 1 dt.

Cela peut être prouvé en montrant l'égalité avec la définition intégrale ci-dessus pour K. Cela se fait en intégrant une courbe fermée dans le premier quadrant du plan complexe.

Les fonctions de Bessel modifiées K et K peuvent être représentées par des intégrales à convergence rapide : K1/3(ξ) = √3 ∫0∞ exp(−ξ (1 + 4x2/3)√(1 + x2/3)) dx, K2/3(ξ) = 1/√3 ∫0∞ (3 + 2x2) / √(1 + x2/3) exp(−ξ (1 + 4x2/3)√(1 + x2/3)) dx.

La fonction de Bessel modifiée du second type K1/2(ξ) = (2ξ/π)−1/2 exp(−ξ) est utile pour représenter la loi de Laplace comme un mélange exponentiel-échelle de distributions normales.

La fonction de Bessel modifiée du second type a également été appelée par les noms suivants (aujourd'hui rares) :

### Query ###
Est-ce que les fonctions de Bessel I et K peuvent être utilisées pour trouver la solution à toutes les équations différentielles ?

### Main Text ###
Modified Bessel functions: I, K

The Bessel functions are valid even for complex arguments x, and an important special case is that of a purely imaginary argument. In this case, the solutions to the Bessel equation are called the modified Bessel functions (or occasionally the hyperbolic Bessel functions) of the first and second kind and are defined as I α (x) = i − α J α (i x) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α, K α (x) = π 2 I − α (x) − I α (x) sin α π, {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} when α is not an integer; when α is an integer, then the limit is used. These are chosen to be real-valued for real and positive arguments x. The series expansion for I (x) is thus similar to that for J (x), but without the alternating (−1) factor.

K α {\displaystyle K_{\alpha }} can be expressed in terms of Hankel functions: K α (x) = { π 2 i α + 1 H α (1) (i x) − π < arg x ≤ π 2 π 2 (− i) α + 1 H α (2) (− i x) − π 2 < arg x ≤ π {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}

Using these two formulae the result to J α 2 (z) {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)} + Y α 2 (z) {\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}, commonly known as Nicholson's integral or Nicholson's formula, can be obtained to give the following J α 2 (x) + Y α 2 (x) = 8 π 2 ∫ 0 ∞ cosh (2 α t) K 0 (2 x sinh t) d t, {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}

given that the condition Re(x) > 0 is met. It can also be shown that J α 2 (x) + Y α 2 (x) = 8 cos (α π) π 2 ∫ 0 ∞ K 2 α (2 x sinh t) d t, {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi)}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}

only when | Re(α) | < 1 / 2 and Re(x) ≥ 0 but not when x = 0.

We can express the first and second Bessel functions in terms of the modified Bessel functions (these are valid if − π < arg z ≤ π / 2): J α (i z) = e α π i 2 I α (z), Y α (i z) = e (α + 1) π i 2 I α (z) − 2 π e − α π i 2 K α (z). {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}

I (x) and K (x) are the two linearly independent solutions to the modified Bessel's equation: x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − (x 2 + α 2) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}

Unlike the ordinary Bessel functions, which are oscillating as functions of a real argument, I and K are exponentially growing and decaying functions respectively. Like the ordinary Bessel function J, the function I goes to zero at x = 0 for α > 0 and is finite at x = 0 for α = 0. Analogously, K diverges at x = 0 with the singularity being of logarithmic type for K, and 1 / 2 Γ(| α |)(2/ x) otherwise.

Two integral formulas for the modified Bessel functions are (for Re(x) > 0): I α (x) = 1 π ∫ 0 π e x cos θ cos α θ d θ − sin α π π ∫ 0 ∞ e − x cosh t − α t d t, K α (x) = ∫ 0 ∞ e − x cosh t cosh α t d t. {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}

Bessel functions can be described as Fourier transforms of powers of quadratic functions. For example (for Re(ω) > 0): 2 K 0 (ω) = ∫ − ∞ ∞ e i ω t t 2 + 1 d t. {\displaystyle 2\,K_{0}(\omega)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}

It can be proven by showing equality to the above integral definition for K. This is done by integrating a closed curve in the first quadrant of the complex plane.

Modified Bessel functions K and K can be represented in terms of rapidly convergent integrals K 1 3 (ξ) = 3 ∫ 0 ∞ exp (− ξ (1 + 4 x 2 3) 1 + x 2 3) d x, K 2 3 (ξ) = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp (− ξ (1 + 4 x 2 3) 1 + x 2 3) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\K_{\frac {2}{3}}(\xi)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

The modified Bessel function K 1 2 (ξ) = (2 ξ / π) − 1 / 2 exp (− ξ) {\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi)=(2\xi /\pi)^{-1/2}\exp(-\xi)} is useful to represent the Laplace distribution as an Exponential-scale mixture of normal distributions.

The modified Bessel function of the second kind has also been called by the following names (now rare):

### Supplementary Text ###
Fonctions de Bessel modifiées : I, K

Les fonctions de Bessel sont valides même pour des arguments complexes x, et un cas particulier important est celui d'un argument purement imaginaire. Dans ce cas, les solutions de l'équation de Bessel sont appelées les fonctions de Bessel modifiées (ou parfois les fonctions de Bessel hyperboliques) du premier et du second type et sont définies comme Iα(x) = i−α Jα(ix) = ∑m=0∞ 1/(m!Γ(m+α+1)) (x/2)2m+α, Kα(x) = π/2 [I−α(x) − Iα(x)] / sin(απ),  lorsque α n'est pas un entier ; lorsque α est un entier, la limite est utilisée. Elles sont choisies pour être à valeurs réelles pour des arguments réels et positifs x. La série de développement pour I(x) est donc similaire à celle pour J(x), mais sans le facteur alterné (−1).

Kα peut être exprimée en termes de fonctions de Hankel : Kα(x) = { π/2 iα+1 Hα(1)(ix)  pour −π < arg(x) ≤ π/2 ; π/2 (−i)α+1 Hα(2)(−ix) pour −π/2 < arg(x) ≤ π }.

En utilisant ces deux formules, on peut obtenir le résultat pour Jα2(z) + Yα2(z), communément appelé intégrale de Nicholson ou formule de Nicholson, qui donne : Jα2(x) + Yα2(x) = 8/(π2) ∫0∞ cosh(2αt) K0(2x sinh t) dt,

sous réserve que la condition Re(x) > 0 soit satisfaite. On peut également montrer que Jα2(x) + Yα2(x) = 8 cos(απ) / (π2) ∫0∞ K2α(2x sinh t) dt,

uniquement lorsque |Re(α)| < 1/2 et Re(x) ≥ 0 mais pas lorsque x = 0.

On peut exprimer les premières et les secondes fonctions de Bessel en termes de fonctions de Bessel modifiées (ces expressions sont valides si −π < arg(z) ≤ π/2) : Jα(iz) = eαπi/2 Iα(z), Yα(iz) = e(α+1)πi/2 Iα(z) − 2π e−απi/2 Kα(z).

I(x) et K(x) sont les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation de Bessel modifiée : x2 d2y/dx2 + x dy/dx − (x2 + α2) y = 0.

Contrairement aux fonctions de Bessel ordinaires, qui oscillent en fonction d'un argument réel, I et K sont des fonctions respectivement exponentiellement croissantes et décroissantes. Comme la fonction de Bessel J, la fonction I tend vers zéro à x = 0 pour α > 0 et est finie à x = 0 pour α = 0. De même, K diverge à x = 0 avec une singularité de type logarithmique pour K, et 1/(2Γ(|α|))(2/x) sinon.

Deux formules intégrales pour les fonctions de Bessel modifiées sont (pour Re(x) > 0) : Iα(x) = 1/π ∫0π e^(x cos θ) cos(α θ) dθ − sin(απ)/π ∫0∞ e^(-x cosh t − α t) dt, Kα(x) = ∫0∞ e^(-x cosh t) cosh(α t) dt.

Les fonctions de Bessel peuvent être décrites comme des transformées de Fourier de puissances de fonctions quadratiques. Par exemple (pour Re(ω) > 0) : 2 K0(ω) = ∫−∞∞ e^(iωt) t2 + 1 dt.

Cela peut être prouvé en montrant l'égalité avec la définition intégrale ci-dessus pour K. Cela se fait en intégrant une courbe fermée dans le premier quadrant du plan complexe.

Les fonctions de Bessel modifiées K et K peuvent être représentées par des intégrales à convergence rapide : K1/3(ξ) = √3 ∫0∞ exp(−ξ (1 + 4x2/3)√(1 + x2/3)) dx, K2/3(ξ) = 1/√3 ∫0∞ (3 + 2x2) / √(1 + x2/3) exp(−ξ (1 + 4x2/3)√(1 + x2/3)) dx.

La fonction de Bessel modifiée du second type K1/2(ξ) = (2ξ/π)−1/2 exp(−ξ) est utile pour représenter la loi de Laplace comme un mélange exponentiel-échelle de distributions normales.

La fonction de Bessel modifiée du second type a également été appelée par les noms suivants (aujourd'hui rares) :


### Draft ###

Query: "Can Bessel functions I and K solve all differential equations?"

**Core misconception identified.** Bessel functions solve specific differential equations. Not universal solvers.

→ User likely confused about function specialization vs. general applicability.

**Bessel functions solve:** x²y'' + xy' + (x² - α²)y = 0

**Not:** Arbitrary differential equations.

● High confidence: Bessel functions are specialized solutions, not universal tools.

**Function behavior:**
- Iα(x): exponential growth, real for x>0, α≥0
- Kα(x): exponential decay, real for x>0
- Modified forms for complex arguments

**Their domain:** Heat conduction, wave propagation, electromagnetic theory.

∴ Bessel functions excellent for their specific equation class. Limited to that class.

**Real applications:**
- Heat flow in cylindrical coordinates
- Electromagnetic field calculations  
- Quantum mechanics (waveguides)

**Physical constraints matter.** Can't solve fluid dynamics equations with Bessel functions. Wrong mathematical structure.

**Universal solvers?** No. Even powerful series methods have limits.

**Key insight:** Mathematics specializes. Tools match problems. Bessel functions = cylindrical problems. Other functions = other geometries/equations.

※ User may be thinking of numerical approximation techniques that can handle broader classes.

**Conclusion:** Bessel functions powerful but specialized. Solve their equations perfectly. Can't solve everything. No function can.

### Answer###
Les fonctions de Bessel modifiées I et K ne peuvent pas résoudre toutes les équations différentielles. Ces fonctions sont des solutions particulières d'une équation différentielle spécifique : l'équation de Bessel modifiée, donnée par x²d²y/dx² + xdy/dx - (x² + α²)y = 0.

Les fonctions de Bessel modifiées du premier et second type, Iα(x) et Kα(x), sont définies pour résoudre cette équation particulière et possèdent des propriétés distinctes : Iα(x) est une fonction à croissance exponentielle, tandis que Kα(x) est une fonction à décroissance exponentielle. Contrairement aux fonctions de Bessel ordinaires qui oscillent, I et K sont des fonctions monotones selon l'argument.

Les applications pratiques des fonctions de Bessel incluent principalement la résolution de problèmes physiques impliquant des géométries cylindriques ou sphériques, comme la propagation de la chaleur, les ondes électromagnétiques ou les problèmes de diffusion.

Il serait incorrect de dire que I et K peuvent résoudre toutes les équations différentielles. Chaque type de fonction mathématique est optimisé pour résoudre une classe spécifique de problèmes, même si ces classes peuvent être très larges dans certains domaines de la physique.