Je comprends pas pourquoi R carré reste le même quand on multiplie toutes les valeurs y par 1000 mais que la norme des résidus augmente de 1000. C'est quoi le rapport entre ces deux mesures ?
Comparison with norm of residuals

Occasionally, the norm of residuals is used for indicating goodness of fit. This term is calculated as the square-root of the sum of squares of residuals:

Both R and the norm of residuals have their relative merits. For least squares analysis R varies between 0 and 1, with larger numbers indicating better fits and 1 representing a perfect fit. The norm of residuals varies from 0 to infinity with smaller numbers indicating better fits and zero indicating a perfect fit. One advantage and disadvantage of R is the S S tot {\displaystyle SS_{\text{tot}}} term acts to normalize the value. If the y values are all multiplied by a constant, the norm of residuals will also change by that constant but R will stay the same. As a basic example, for the linear least squares fit to the set of data:

R = 0.998, and norm of residuals = 0.302.If all values of y are multiplied by 1000 (for example, in an SI prefix change), then R remains the same, but norm of residuals = 302.

Another single-parameter indicator of fit is the RMSE of the residuals, or standard deviation of the residuals. This would have a value of 0.135 for the above example given that the fit was linear with an unforced intercept.
Comparaison avec la norme des résidus

Parfois, la norme des résidus est utilisée pour indiquer la qualité de l'ajustement. Ce terme est calculé comme la racine carrée de la somme des carrés des résidus :

Tant R que la norme des résidus ont leurs avantages respectifs. Pour l'analyse des moindres carrés, R varie entre 0 et 1, les nombres plus élevés indiquant un meilleur ajustement et 1 représentant un ajustement parfait. La norme des résidus varie de 0 à l'infini, les nombres plus petits indiquant un meilleur ajustement et 0 indiquant un ajustement parfait. Un avantage et un inconvénient de R est que le terme SS tot normalise la valeur. Si les valeurs de y sont toutes multipliées par une constante, la norme des résidus changera également de cette constante, mais R restera le même. À titre d'exemple simple, pour l'ajustement des moindres carrés linéaires à l'ensemble de données :

R = 0,998 et norme des résidus = 0,302. Si toutes les valeurs de y sont multipliées par 1000 (par exemple, lors d'un changement de préfixe SI), alors R reste le même, mais la norme des résidus = 302.

Un autre indicateur d'ajustement à paramètre unique est l'erreur quadratique moyenne (RMSE) des résidus, ou l'écart type des résidus. Cela aurait une valeur de 0,135 pour l'exemple ci-dessus, étant donné que l'ajustement était linéaire avec une ordonnée à l'origine non forcée.
### Query ###
Je comprends pas pourquoi R carré reste le même quand on multiplie toutes les valeurs y par 1000 mais que la norme des résidus augmente de 1000. C'est quoi le rapport entre ces deux mesures ?

### Main Text ###
Comparison with norm of residuals

Occasionally, the norm of residuals is used for indicating goodness of fit. This term is calculated as the square-root of the sum of squares of residuals:

Both R and the norm of residuals have their relative merits. For least squares analysis R varies between 0 and 1, with larger numbers indicating better fits and 1 representing a perfect fit. The norm of residuals varies from 0 to infinity with smaller numbers indicating better fits and zero indicating a perfect fit. One advantage and disadvantage of R is the S S tot {\displaystyle SS_{\text{tot}}} term acts to normalize the value. If the y values are all multiplied by a constant, the norm of residuals will also change by that constant but R will stay the same. As a basic example, for the linear least squares fit to the set of data:

R = 0.998, and norm of residuals = 0.302.If all values of y are multiplied by 1000 (for example, in an SI prefix change), then R remains the same, but norm of residuals = 302.

Another single-parameter indicator of fit is the RMSE of the residuals, or standard deviation of the residuals. This would have a value of 0.135 for the above example given that the fit was linear with an unforced intercept.

### Supplementary Text ###
Comparaison avec la norme des résidus

Parfois, la norme des résidus est utilisée pour indiquer la qualité de l'ajustement. Ce terme est calculé comme la racine carrée de la somme des carrés des résidus :

Tant R que la norme des résidus ont leurs avantages respectifs. Pour l'analyse des moindres carrés, R varie entre 0 et 1, les nombres plus élevés indiquant un meilleur ajustement et 1 représentant un ajustement parfait. La norme des résidus varie de 0 à l'infini, les nombres plus petits indiquant un meilleur ajustement et 0 indiquant un ajustement parfait. Un avantage et un inconvénient de R est que le terme SS tot normalise la valeur. Si les valeurs de y sont toutes multipliées par une constante, la norme des résidus changera également de cette constante, mais R restera le même. À titre d'exemple simple, pour l'ajustement des moindres carrés linéaires à l'ensemble de données :

R = 0,998 et norme des résidus = 0,302. Si toutes les valeurs de y sont multipliées par 1000 (par exemple, lors d'un changement de préfixe SI), alors R reste le même, mais la norme des résidus = 302.

Un autre indicateur d'ajustement à paramètre unique est l'erreur quadratique moyenne (RMSE) des résidus, ou l'écart type des résidus. Cela aurait une valeur de 0,135 pour l'exemple ci-dessus, étant donné que l'ajustement était linéaire avec une ordonnée à l'origine non forcée.

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Je comprends pas pourquoi R carré reste le même..." → Core confusion: R² invariance under y-multiplication vs residual norm scaling.

User states: multiply all y-values by 1000 → R² unchanged, but residual norm increases by 1000.

Seeks "le rapport entre ces deux mesures" → relationship between measures.

### 2. Mathematical Foundation

Linear regression context assumed. 

R² definition: R² = 1 - (RSS/TSS) where:
- RSS = residual sum of squares
- TSS = total sum of squares

Key insight: R² is *relative* measure.

Residual norm = √∑(residuals)² = √(RSS)

### 3. Scaling Analysis  

Multiply all yᵢ by constant c:

**R² behavior:**
RSS ∝ c² → R² = 1 - (c²·RSS₀/c²·TSS₀) = R²₀ where subscript 0 = original.
∴ R² unchanged. ●

**Residual norm behavior:**  
New residual norm = c·(original norm)
∴ Increases by scaling factor. ●

### 4. Fundamental Distinction

R² = normalized measure. Denominator scales same as numerator → cancellation.

Residual norm = absolute measure. No normalization by TSS.

### 5. Practical Implications

**R² limitations:**
- Scale-dependent interpretation
- Cannot compare regressions with different y-ranges
- Better: R² vs R²¯ (adjusted R²)

**Residual norm:**
- Direct interpretability in original units  
- More meaningful for prediction accuracy
- Sensitive to scale changes

### 6. Resolution

The relationship: R² captures *proportion* of variance explained relative to total variation, while residual norm measures *magnitude* of unexplained variation in original units.

Scaling changes affect absolute measures (residual norm) but not relative proportions (R²).

R² = 0.998 vs "norme des résidus = 302" example demonstrates this distinction clearly.

### Answer###
Votre confusion est compréhensible et s'explique par la nature différente de ces deux mesures statistiques.

Le coefficient de détermination (R²) reste constant lorsque vous multipliez toutes les valeurs y par 1000 car il s'agit d'une mesure relative. R² est calculé comme 1 moins le rapport des sommes des carrés des résidus (RSS) sur la somme totale des carrés (SS_tot). Cette formulation normalise la valeur par rapport à la variance totale des données, ce qui explique pourquoi le numérateur et le dénominateur changent proportionnellement.

La norme des résidus, en revanche, augmente effectivement de 1000 dans votre exemple. Elle est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés des résidus et représente une mesure absolue de l'écart entre les valeurs prédites et observées. Lorsque les valeurs y sont multipliées par une constante, cette même constante multiplie directement la norme des résidus sans affecter le rapport utilisé pour calculer R².

Cette différence fondamentale fait de R² une mesure normalisée et relative, tandis que la norme des résidus constitue une mesure absolue de l'écart. R² offre l'avantage de permettre des comparaisons entre différents modèles ou ensembles de données indépendamment de l'échelle, tandis que la norme des résidus donne une indication plus directe de la qualité d'ajustement en termes de magnitude des résidus.