Est-ce que la base des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants est toujours complète quand on a des racines multiples ?
Homogeneous equation with constant coefficients

A homogeneous linear differential equation has constant coefficients if it has the form a 0 y + a 1 y ′ + a 2 y ″ + ⋯ + a n y (n) = 0 {\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0} where a,..., a are (real or complex) numbers. In other words, it has constant coefficients if it is defined by a linear operator with constant coefficients.

The study of these differential equations with constant coefficients dates back to Leonhard Euler, who introduced the exponential function e, which is the unique solution of the equation f ′ = f such that f (0) = 1. It follows that the n th derivative of e is c e, and this allows solving homogeneous linear differential equations rather easily.

Let a 0 y + a 1 y ′ + a 2 y ″ + ⋯ + a n y (n) = 0 {\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0} be a homogeneous linear differential equation with constant coefficients (that is a,..., a are real or complex numbers).

Searching solutions of this equation that have the form e is equivalent to searching the constants α such that a 0 e α x + a 1 α e α x + a 2 α 2 e α x + ⋯ + a n α n e α x = 0. {\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.} Factoring out e (which is never zero), shows that α must be a root of the characteristic polynomial a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a n t n {\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}} of the differential equation, which is the left-hand side of the characteristic equation a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a n t n = 0. {\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}

When these roots are all distinct, one has n distinct solutions that are not necessarily real, even if the coefficients of the equation are real. These solutions can be shown to be linearly independent, by considering the Vandermonde determinant of the values of these solutions at x = 0,..., n – 1. Together they form a basis of the vector space of solutions of the differential equation (that is, the kernel of the differential operator).

In the case where the characteristic polynomial has only simple roots, the preceding provides a complete basis of the solutions vector space. In the case of multiple roots, more linearly independent solutions are needed for having a basis. These have the form x k e α x, {\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},} where k is a nonnegative integer, α is a root of the characteristic polynomial of multiplicity m, and k < m. For proving that these functions are solutions, one may remark that if α is a root of the characteristic polynomial of multiplicity m, the characteristic polynomial may be factored as P (t)(t − α). Thus, applying the differential operator of the equation is equivalent with applying first m times the operator d d x − α {\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }, and then the operator that has P as characteristic polynomial. By the exponential shift theorem, (d d x − α) (x k e α x) = k x k − 1 e α x, {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}

and thus one gets zero after k + 1 application of d d x − α {\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }.

As, by the fundamental theorem of algebra, the sum of the multiplicities of the roots of a polynomial equals the degree of the polynomial, the number of above solutions equals the order of the differential equation, and these solutions form a base of the vector space of the solutions.

In the common case where the coefficients of the equation are real, it is generally more convenient to have a basis of the solutions consisting of real-valued functions. Such a basis may be obtained from the preceding basis by remarking that, if a + ib is a root of the characteristic polynomial, then a – ib is also a root, of the same multiplicity. Thus a real basis is obtained by using Euler's formula, and replacing x k e (a + i b) x {\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}} and x k e (a − i b) x {\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}} by x k e a x cos (b x) {\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)} and x k e a x sin (b x) {\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}.
Équation homogène à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire homogène a des coefficients constants si elle est de la forme a₀y + a₁y' + a₂y'' + ⋯ + aₙy⁽ⁿ⁾ = 0 où a₀, ..., aₙ sont des nombres (réels ou complexes). En d'autres termes, elle a des coefficients constants si elle est définie par un opérateur linéaire à coefficients constants.

L'étude de ces équations différentielles à coefficients constants remonte à Leonhard Euler, qui a introduit la fonction exponentielle e, qui est la solution unique de l'équation f' = f telle que f(0) = 1. Il s'ensuit que la n-ième dérivée de e est c e, ce qui permet de résoudre facilement les équations différentielles linéaires homogènes.

Soit a₀y + a₁y' + a₂y'' + ⋯ + aₙy⁽ⁿ⁾ = 0 une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants (c'est-à-dire que a₀, ..., aₙ sont des nombres réels ou complexes).

Rechercher des solutions de cette équation de la forme eˣ est équivalent à rechercher les constantes α telles que a₀e^(αx) + a₁αe^(αx) + a₂α²e^(αx) + ⋯ + aₙαⁿe^(αx) = 0. En factorisant eˣ (qui est toujours non nul), on constate que α doit être une racine du polynôme caractéristique a₀ + a₁t + a₂t² + ⋯ + aₙtⁿ de l'équation différentielle, qui est le membre de gauche de l'équation caractéristique a₀ + a₁t + a₂t² + ⋯ + aₙtⁿ = 0.

Lorsque ces racines sont toutes distinctes, on a n solutions distinctes qui ne sont pas nécessairement réelles, même si les coefficients de l'équation sont réels. On peut montrer que ces solutions sont linéairement indépendantes, en considérant le déterminant de Vandermonde des valeurs de ces solutions à x = 0,..., n – 1. Ensemble, elles forment une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation différentielle (c'est-à-dire, le noyau de l'opérateur différentiel).

Dans le cas où le polynôme caractéristique n'a que des racines simples, le précédent fournit une base complète de l'espace vectoriel des solutions. Dans le cas de racines multiples, davantage de solutions linéairement indépendantes sont nécessaires pour avoir une base. Elles sont de la forme xᵏe^(αx), où k est un entier non négatif, α est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité m, et k < m. Pour prouver que ces fonctions sont des solutions, on peut remarquer que si α est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité m, le polynôme caractéristique peut être factorisé en P(t)(t − α). Ainsi, l'application de l'opérateur différentiel de l'équation est équivalente à l'application d'abord m fois de l'opérateur d/dx − α, puis de l'opérateur qui a P comme polynôme caractéristique. Par le théorème du décalage exponentiel, (d/dx − α)(xᵏe^(αx)) = kxᵏ⁻¹e^(αx), et on obtient ainsi zéro après k + 1 application de d/dx − α.

Comme, d'après le théorème fondamental de l'algèbre, la somme des multiplicités des racines d'un polynôme est égale au degré du polynôme, le nombre de solutions ci-dessus est égal à l'ordre de l'équation différentielle, et ces solutions forment une base de l'espace vectoriel des solutions.

Dans le cas courant où les coefficients de l'équation sont réels, il est généralement plus pratique d'avoir une base des solutions constituée de fonctions à valeurs réelles. Une telle base peut être obtenue à partir de la base précédente en remarquant que, si a + ib est une racine du polynôme caractéristique, alors a – ib est également une racine, de la même multiplicité. Ainsi, une base réelle est obtenue en utilisant la formule d'Euler, et en remplaçant xᵏe^(a + ib)x et xᵏe^(a − ib)x par xᵏe^(ax)cos(bx) et xᵏe^(ax)sin(bx).
### Query ###
Est-ce que la base des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants est toujours complète quand on a des racines multiples ?

### Main Text ###
Homogeneous equation with constant coefficients

A homogeneous linear differential equation has constant coefficients if it has the form a 0 y + a 1 y ′ + a 2 y ″ + ⋯ + a n y (n) = 0 {\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0} where a,..., a are (real or complex) numbers. In other words, it has constant coefficients if it is defined by a linear operator with constant coefficients.

The study of these differential equations with constant coefficients dates back to Leonhard Euler, who introduced the exponential function e, which is the unique solution of the equation f ′ = f such that f (0) = 1. It follows that the n th derivative of e is c e, and this allows solving homogeneous linear differential equations rather easily.

Let a 0 y + a 1 y ′ + a 2 y ″ + ⋯ + a n y (n) = 0 {\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0} be a homogeneous linear differential equation with constant coefficients (that is a,..., a are real or complex numbers).

Searching solutions of this equation that have the form e is equivalent to searching the constants α such that a 0 e α x + a 1 α e α x + a 2 α 2 e α x + ⋯ + a n α n e α x = 0. {\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.} Factoring out e (which is never zero), shows that α must be a root of the characteristic polynomial a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a n t n {\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}} of the differential equation, which is the left-hand side of the characteristic equation a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a n t n = 0. {\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}

When these roots are all distinct, one has n distinct solutions that are not necessarily real, even if the coefficients of the equation are real. These solutions can be shown to be linearly independent, by considering the Vandermonde determinant of the values of these solutions at x = 0,..., n – 1. Together they form a basis of the vector space of solutions of the differential equation (that is, the kernel of the differential operator).

In the case where the characteristic polynomial has only simple roots, the preceding provides a complete basis of the solutions vector space. In the case of multiple roots, more linearly independent solutions are needed for having a basis. These have the form x k e α x, {\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},} where k is a nonnegative integer, α is a root of the characteristic polynomial of multiplicity m, and k < m. For proving that these functions are solutions, one may remark that if α is a root of the characteristic polynomial of multiplicity m, the characteristic polynomial may be factored as P (t)(t − α). Thus, applying the differential operator of the equation is equivalent with applying first m times the operator d d x − α {\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }, and then the operator that has P as characteristic polynomial. By the exponential shift theorem, (d d x − α) (x k e α x) = k x k − 1 e α x, {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}

and thus one gets zero after k + 1 application of d d x − α {\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }.

As, by the fundamental theorem of algebra, the sum of the multiplicities of the roots of a polynomial equals the degree of the polynomial, the number of above solutions equals the order of the differential equation, and these solutions form a base of the vector space of the solutions.

In the common case where the coefficients of the equation are real, it is generally more convenient to have a basis of the solutions consisting of real-valued functions. Such a basis may be obtained from the preceding basis by remarking that, if a + ib is a root of the characteristic polynomial, then a – ib is also a root, of the same multiplicity. Thus a real basis is obtained by using Euler's formula, and replacing x k e (a + i b) x {\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}} and x k e (a − i b) x {\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}} by x k e a x cos (b x) {\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)} and x k e a x sin (b x) {\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}.

### Supplementary Text ###
Équation homogène à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire homogène a des coefficients constants si elle est de la forme a₀y + a₁y' + a₂y'' + ⋯ + aₙy⁽ⁿ⁾ = 0 où a₀, ..., aₙ sont des nombres (réels ou complexes). En d'autres termes, elle a des coefficients constants si elle est définie par un opérateur linéaire à coefficients constants.

L'étude de ces équations différentielles à coefficients constants remonte à Leonhard Euler, qui a introduit la fonction exponentielle e, qui est la solution unique de l'équation f' = f telle que f(0) = 1. Il s'ensuit que la n-ième dérivée de e est c e, ce qui permet de résoudre facilement les équations différentielles linéaires homogènes.

Soit a₀y + a₁y' + a₂y'' + ⋯ + aₙy⁽ⁿ⁾ = 0 une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants (c'est-à-dire que a₀, ..., aₙ sont des nombres réels ou complexes).

Rechercher des solutions de cette équation de la forme eˣ est équivalent à rechercher les constantes α telles que a₀e^(αx) + a₁αe^(αx) + a₂α²e^(αx) + ⋯ + aₙαⁿe^(αx) = 0. En factorisant eˣ (qui est toujours non nul), on constate que α doit être une racine du polynôme caractéristique a₀ + a₁t + a₂t² + ⋯ + aₙtⁿ de l'équation différentielle, qui est le membre de gauche de l'équation caractéristique a₀ + a₁t + a₂t² + ⋯ + aₙtⁿ = 0.

Lorsque ces racines sont toutes distinctes, on a n solutions distinctes qui ne sont pas nécessairement réelles, même si les coefficients de l'équation sont réels. On peut montrer que ces solutions sont linéairement indépendantes, en considérant le déterminant de Vandermonde des valeurs de ces solutions à x = 0,..., n – 1. Ensemble, elles forment une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation différentielle (c'est-à-dire, le noyau de l'opérateur différentiel).

Dans le cas où le polynôme caractéristique n'a que des racines simples, le précédent fournit une base complète de l'espace vectoriel des solutions. Dans le cas de racines multiples, davantage de solutions linéairement indépendantes sont nécessaires pour avoir une base. Elles sont de la forme xᵏe^(αx), où k est un entier non négatif, α est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité m, et k < m. Pour prouver que ces fonctions sont des solutions, on peut remarquer que si α est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité m, le polynôme caractéristique peut être factorisé en P(t)(t − α). Ainsi, l'application de l'opérateur différentiel de l'équation est équivalente à l'application d'abord m fois de l'opérateur d/dx − α, puis de l'opérateur qui a P comme polynôme caractéristique. Par le théorème du décalage exponentiel, (d/dx − α)(xᵏe^(αx)) = kxᵏ⁻¹e^(αx), et on obtient ainsi zéro après k + 1 application de d/dx − α.

Comme, d'après le théorème fondamental de l'algèbre, la somme des multiplicités des racines d'un polynôme est égale au degré du polynôme, le nombre de solutions ci-dessus est égal à l'ordre de l'équation différentielle, et ces solutions forment une base de l'espace vectoriel des solutions.

Dans le cas courant où les coefficients de l'équation sont réels, il est généralement plus pratique d'avoir une base des solutions constituée de fonctions à valeurs réelles. Une telle base peut être obtenue à partir de la base précédente en remarquant que, si a + ib est une racine du polynôme caractéristique, alors a – ib est également une racine, de la même multiplicité. Ainsi, une base réelle est obtenue en utilisant la formule d'Euler, et en remplaçant xᵏe^(a + ib)x et xᵏe^(a − ib)x par xᵏe^(ax)cos(bx) et xᵏe^(ax)sin(bx).

### Draft ###

Query: "Est-ce que la base des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants est toujours complète quand on a des racines multiples ?"

Translation check: "Is the solution basis for homogeneous linear DEs with constant coefficients always complete when we have multiple roots?"

※ Key semantic issue: "toujours complète" - always complete. Absolute claim. Need to verify.

**Domain**: Differential equations, linear algebra
**Complexity**: Moderate - requires connecting characteristic polynomial roots to solution space dimension

### Core Problem Structure

Linear homogeneous DE with constant coefficients:
a₀y + a₁y' + a₂y'' + ... + aₙy^(n) = 0

Characteristic equation: a₀ + a₁t + a₂t² + ... + aₙtⁿ = 0

**Simple roots case**: Each root rᵢ gives solution e^(rᵢx). Dimension = n. Basis complete. ✓

**Multiple roots case**: What happens when roots repeat?

### Root Multiplicity Analysis

Let α be root of multiplicity m. Then:
- Standard solution: e^(αx)  
- First derivative: e^(αx)
- Second derivative: α·e^(αx)
- ...
- mth derivative: α^m·e^(αx)

Wait. What about (m-1)th derivative? 

⟨H≈0.8⟩ *Chain rule cascading, exponential derivative property, fundamental theorem of calculus in reverse...*

If α has multiplicity m, then:
(D^m)e^(αx) = α^m·e^(αx) ≠ 0

But (D^(m-1))e^(αx) = α^(m-1)·e^(αx) = 0

→ e^(αx) is annihilated by D^m but not by lower powers

### Solution Form Construction

For each root α of multiplicity m:
- Standard: e^(αx)  
- Modified: xe^(αx), x²e^(αx), ..., x^(m-1)e^(αx)

Why these work? 

**Linear independence**: Wronskian non-zero
**Completeness**: Dimension argument + uniqueness

### Dimension Argument

Total roots r₁...rₖ with multiplicities m₁+...+mₖ = n.

Standard solutions: e^(r₁x), e^(r₂x), ..., e^(rₖx)
Modified solutions: x^(m₁-1)e^(r₁x), x^(m₂-1)e^(r₂x), ..., x^(mₖ-1)e^(rₖx)

Total: m₁ + m₂ + ... + mₖ = n solutions.

**Completeness claim**: These span entire solution space.

### Verification Strategy

Need to show: Any solution can be written as linear combination of these.

**Method 1**: Characteristic polynomial factorization
**Method 2**: Operator decomposition approach  ⟨H≈0.3⟩
**Method 3**: Direct expansion in terms of generalized eigenfunctions

**Answer**: Yes, always complete.

**Proof sketch**: Root multiplicity determines solution form. Standard + modified basis gives exactly right dimension. Linear independence follows from Wronskian.

**Key insight**: Multiple roots create "gaps" in solution space that modified exponential solutions fill.

**Caveat**: Real coefficients → complex conjugate roots → real solution basis via Euler's formula.

∴ Complete basis guaranteed regardless of root multiplicity structure.

### Answer###
Oui, la base des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants reste toujours complète même en présence de racines multiples.

Dans le cas général, lorsque les racines caractéristiques sont toutes distinctes, on obtient n solutions distinctes qui forment une base de l'espace vectoriel des solutions. Cependant, lorsque l'équation caractéristique présente des racines multiples, il est nécessaire d'introduire des solutions supplémentaires pour obtenir une base complète.

Dans ce cas de racines multiples, les solutions supplémentaires ont la forme xᵏe^(αx), où k est un entier non négatif, α est une racine du polynôme caractéristique de multiplicité m, et k < m. Ces solutions sont linéairement indépendantes et complètent la base standard pour former un ensemble complet de solutions.

Le nombre total de ces solutions correspond exactement à l'ordre de l'équation différentielle, ce qui garantit que la base obtenue est complète. Cette propriété découle du fait que la multiplicité totale des racines d'un polynôme est égale à son degré, selon le théorème fondamental de l'algèbre.

Il est important de noter que dans le cas des coefficients réels, une base réelle peut être obtenue en utilisant la formule d'Euler et en remplaçant les solutions complexes par des combinaisons réelles impliquant le cosinus et le sinus.

Ainsi, quelle que soit la structure des racines caractéristiques, l'équation différentielle homogène à coefficients constants admet toujours une base complète de solutions.