Pourquoi les nombres ont des trucs qui se multiplient comme ça et comment ça fait qu'ils peuvent être plus grand ou plus petit selon les trucs qui sont dedans ?
Examples

The first 41 highly composite numbers are listed in the table below (sequence A002182 in the OEIS). The number of divisors is given in the column labeled d (n). Asterisks indicate superior highly composite numbers.

The divisors of the first 19 highly composite numbers are shown below.

The table below shows all 72 divisors of 10080 by writing it as a product of two numbers in 36 different ways.

The 15,000th highly composite number can be found on Achim Flammenkamp's website. It is the product of 230 primes:

where a n {\displaystyle a_{n}} is the n {\displaystyle n} th successive prime number, and all omitted terms (a to a) are factors with exponent equal to one (i.e. the number is 2 14 × 3 9 × 5 6 × ⋯ × 1451 {\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}). More concisely, it is the product of seven distinct primorials:

where b n {\displaystyle b_{n}} is the primorial a 0 a 1 ⋯ a n {\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}.
Multiplication de différents types de nombres

Les nombres peuvent compter (3 pommes), ordonner (la 3e pomme) ou mesurer (3,5 pieds de haut) ; au fur et à mesure que l'histoire des mathématiques a progressé du comptage sur les doigts à la modélisation de la mécanique quantique, la multiplication a été généralisée à des types de nombres plus complexes et abstraits, et à des choses qui ne sont pas des nombres (comme les matrices) ou qui ne ressemblent pas beaucoup à des nombres (comme les quaternions).
### Query ###
Pourquoi les nombres ont des trucs qui se multiplient comme ça et comment ça fait qu'ils peuvent être plus grand ou plus petit selon les trucs qui sont dedans ?

### Main Text ###
Examples

The first 41 highly composite numbers are listed in the table below (sequence A002182 in the OEIS). The number of divisors is given in the column labeled d (n). Asterisks indicate superior highly composite numbers.

The divisors of the first 19 highly composite numbers are shown below.

The table below shows all 72 divisors of 10080 by writing it as a product of two numbers in 36 different ways.

The 15,000th highly composite number can be found on Achim Flammenkamp's website. It is the product of 230 primes:

where a n {\displaystyle a_{n}} is the n {\displaystyle n} th successive prime number, and all omitted terms (a to a) are factors with exponent equal to one (i.e. the number is 2 14 × 3 9 × 5 6 × ⋯ × 1451 {\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}). More concisely, it is the product of seven distinct primorials:

where b n {\displaystyle b_{n}} is the primorial a 0 a 1 ⋯ a n {\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}.

### Supplementary Text ###
Multiplication de différents types de nombres

Les nombres peuvent compter (3 pommes), ordonner (la 3e pomme) ou mesurer (3,5 pieds de haut) ; au fur et à mesure que l'histoire des mathématiques a progressé du comptage sur les doigts à la modélisation de la mécanique quantique, la multiplication a été généralisée à des types de nombres plus complexes et abstraits, et à des choses qui ne sont pas des nombres (comme les matrices) ou qui ne ressemblent pas beaucoup à des nombres (comme les quaternions).

### Draft ###

### 1. Query Parsing

"Pourquoi les nombres ont des trucs qui se multiplient" → Why numbers have tricks that multiply

Semantic gap alert: ● "trucs" = informal French, suggests intuitive question
User asking: multiplication mechanics + size variation causation

"comment ça fait qu'ils peuvent être plus grand ou plus petit selon les trucs qui sont dedans"
→ How can they be bigger/smaller depending on what's inside them?

Translation challenge: "trucs" suggests user sees numbers as containers, not abstract entities.

### 2. Domain Identification

Core domains needed:
├─ Elementary arithmetic: multiplication as repeated addition
├─ Factorization theory: prime decomposition  
└─ Number structure: composite vs prime

! Key insight: User likely confused about why multiplication *creates* magnitude changes vs just counting.

### 3. Mathematical Foundation

**Multiplication mechanics:**
- 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 (repeated addition)
- 4 × 5 = 4 groups of 5 objects each

**Size variation causation:**
- 2 × 2 = 4 (doubling)  
- 2 × 3 = 6 (scaling)
- 2 × 7 = 14 (exponential-like growth)

∴ Multiplication inherently creates magnitude changes through grouping/scaling

### 4. Prime Factorization Connection

Critical link: numbers as products of primes
- 12 = 2² × 3¹
- 24 = 2³ × 3¹  
- 30 = 2¹ × 3¹ × 5¹

**Size relationship:** 12 < 24 < 30
**Factor count:** 6 factors vs 8 factors vs 12 factors

→ More prime factors = more divisors = larger "multiplicative structure"

### 5. Divisibility Patterns

⟨H≈0.8⟩ Numbers become like constellations of factors... 12 has this peculiar 6-way nature, divisible by 1,2,3,4,6,12... like a spider's web of connections reaching out to encompass more possibilities than just being a plain old 12...

Divisibility creates complexity:
- Prime numbers: only 1 and themselves (2 divisors)
- Composite numbers: multiple factors (2+ divisors)  
- Highly composite numbers: extreme factor richness

### 6. Pedagogical Translation

User's "trucs" → mathematical structures
"Inside numbers" → prime factorization
"Bigger/smaller" → factor count + magnitude

**Answer framework:**
1. Multiplication = repeated grouping (scaling)
2. Prime factorization determines size possibilities  
3. More factors = more ways to "multiply possibilities"

### 7. Verification Check

☑ Addresses why multiplication changes size
☑ Explains prime factorization role
☑ Connects to user's intuitive "container" model
☐ Need to verify mathematical accuracy

**Confidence assessment:** ● High for core explanation, ◐ partial for prime factorization details

### 8. Response Generation

Structure:
- Multiplication as scaling/grouping
- Prime factors determine size potential
- Factor count affects "multiplicative complexity"

Tone: Respectful of user's intuitive questions while providing rigorous mathematical framework.

### Answer###
Les nombres se comportent de cette façon parce que la multiplication est un concept fondamental qui va bien au-delà du simple comptage. Quand on multiplie des nombres, on les combine de manière à créer de nouveaux résultats qui peuvent être plus grands ou plus petits selon les facteurs impliqués.

Cette propriété s'explique par la structure même des nombres. Les nombres composés (comme 12, 24 ou 30) peuvent être décomposés en produits de nombres plus petits. Par exemple, 12 = 2 × 6, 24 = 2 × 12, et 30 = 2 × 15. Cette décomposition révèle que les nombres peuvent former des "groupes" ou "structures" multiples qui influencent leur taille finale.

Certains nombres ont une structure particulièrement riche en facteurs. Les nombres hautement composés, comme 10080, peuvent se décomposer de manière étonnante : 10080 = 1 × 10080, 2 × 5040, 3 × 3360, 4 × 2520, 5 × 2016, 6 × 1680, 7 × 1440, 8 × 1260, 9 × 1120, 10 × 1008, 12 × 840, 14 × 720, 15 × 672, 16 × 630, 18 × 560, 20 × 504, 21 × 480, 24 × 420, 28 × 360, 30 × 336, 35 × 288, 40 × 252, 42 × 240, 45 × 224, 56 × 180, 60 × 168, 63 × 160, 70 × 144, 72 × 140, 84 × 120, 90 × 112, 105 × 96, 120 × 84, 126 × 80, 140 × 72, 168 × 60, 180 × 56, 210 × 48, 240 × 42, 280 × 36, 315 × 32, 360 × 28, 420 × 24, 504 × 20, 560 × 18, 630 × 16, 720 × 14, 840 × 12, 1008 × 10, 1680 × 6, 2016 × 5, 2520 × 4, 3360 × 3, 5040 × 2, 10080 × 1.

Cette richesse en facteurs crée des nombres qui peuvent être divisibles par un grand nombre de combinaisons, ce qui explique pourquoi ils peuvent former des produits variés sans nécessairement être "trop grands" ou "trop petits".